Bài giảng đại số tuyến tính

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê

MA TRẬN

1 / 10


Khái niệm ma trận
Ma trận cấp m × n: A = (aij )

a11
 a21

A= .
 ..

a12
a22
..
.

am1 am2

...
...

a1n

a2n
..
.

...
... amn







m là số dòng, n là số cột
aij là phần tử nằm ở dòng thứ i và cột thứ j

Ví dụ:

2 −1 3
1 4 −5


−2 3
0
 4
1 15 


 3 −6 2 
1 −5 9

ma trận cấp 2 × 3

ma trận cấp 3 × 4

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN

2 / 10


Hai ma trận bằng nhau

Definition
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và có các phần
tử tương ứng bằng nhau
Cho hai ma trận cùng cấp:

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

A = (aij )

và B = (bij )

A = B ⇔ aij = bij , ∀i, j

MA TRẬN

3 / 10

Một số dạng ma trận đặc biệt
Ma trận không: aij = 0 với mọi i, j
Ma trận cột: ma trận chỉ có một cột (1 × n )
Ma trận dòng: ma trận chỉ có một dòng (m × 1)
Ma trận vuông: số dòng và số cột bằng

a11 a12 ...
 a21 a22 ...

 ..
..
 .
. ...
an1 an2 ...

nhau (n × n )

a1n
a2n 

.. 
. 
ann

Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có aij = 0 với mọi i > j
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có aij = 0 với mọi i < j

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN

4 / 10


Một số dạng ma trận đặc biệt

Ma trận chéo là ma trận vuông có aij = 0 với mọi i = j
Ma trận đơn vị là ma trận chéo với aii = 1 với mọi i

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)




In = 



1 0 ... 0
0 1 ... 0 

.. ..
.. 
. . ... . 
0 0 ... 1

(ma trận đơn vị cấp n)

MA TRẬN

5 / 10


Các phép toán ma trận
Phép cộng:
1 −2 3
−3 1 −2
−2 −1 1
+
=
2 1 −4
2 0 3
4
1 −1
Hai ma trận phải cùng cấp
Cộng các phần tử tương ứng

Phép trừ: tương tự như phép cộng trong đó thay vì cộng ta sẽ trừ các
phần tử tương ứng
Nhân một số với ma trận:
2.

2 −3 1
4 −6
2
=
4 1 −5

8 2 −10

Nhân số với các phần tử của ma trận

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN

6 / 10


Các phép toán ma trận

Nhân hai ma trận:



3
−2 1 3 ×  2  = (−2).3 + 1.2 + 3.(−1) = −7
−1
ma trận dòng ma trận cột
số thực
Nếu D = (aij )1×n và C = (bij )n×1 thì
n

DC =

∑ a1k bk1 = a11 b11 + a12 b21 + · · · + a1n bn1

k =1

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN

7 / 10


Các phép toán ma trận
Nhân hai ma trận:
A

B

C




1 −2 0 0
−1 0 2
× 2 3 1 4 =
1 3 0
0 −1 0 1
cấp 2 × 3

cấp 3 × 4

−1 0 0 2
7 7 3 12

cấp 2 × 4

số cột của A phải bằng với số dòng của B
cij = dòng i của A × cột j của B
Nếu A = (aij )m×n và B = (bij )n×p thì AB = (cij )m×p , với
n

cij =

∑ aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj

k =1

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN

8 / 10


Các phép toán ma trận

Chuyển vị:

−1 4
2
−1 2
3 1
 2
1 −1


1 −2 0 =⇒ AT = 
A= 4
 3 −2 0 
2 −1 0 3
1
0
3






Chuyển vị của ma trận cấp m × n là ma trận cấp n × m
đổi dòng thành cột

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN

9 / 10


Những tính chất cơ bản

A+B = B +A

λ(A + B ) = λA + λB

(A + B ) + C = A + (B + C )
A+O = A
A + (−A) = O
(λ + µ)A = λA + µA

(λµ)A = λ(µA)
1.A = A
( A + B ) T = AT + B T
(AB )T = B T AT

(nói chung phép nhân không có tính chất giao hoán)

Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)

MA TRẬN

10 / 10