toanmath com kĩ thuật đặt ẩn phụ giải phương trình và bất phương trình chứa căn nguyễn tiến chinh

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN THPT
NGUY N TI N CHINH

K
K
Đ
Đ

THU T Đ T M T N PH
THU T Đ T HAI N PH Đ A V PT Đ NG C P
T HAI N PH Đ A V H PT Đ I X NG
T N PH KHÔNG HOÀN TOÀN

VÍ D PHÂN TÍCH CHI TI T T D Đ N KHÓ
TÀI LI U S P PHÁT HÀNH TUY N T P PH
NG
TRÌNH Đ C S C NHI U CÁCH GI I M I CÁC EM ĐÓN

1


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

II GI I PH

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

NG TRÌNH

B T PH

NG TRÌNH B NG Đ T N S PH


KI N TH C C B N
Đ t m t n ph
Tìm m i liên h gi a các bi n đ đ t n ph thích h p M t s d ng c b n th
g p

ng


t  f x , t  0
a.f  x   b f x   c  0 
  2
at  bt  c  0




PP

Xin nh c l i h u h t các đ bài s không cho ngay m i quan h đ nhìn th y cách đ t

n ph ngay do đó ta c n bi t phán đoán h ng đi c a bài toán d a trên c s phân
tích h p lý

CÁC VÍ D Đ T M T N PH
BT M u

Gi i Ph

ĐK x 
Đ tt

2 x  1  x 2  3x  1  0

ng trình

1
2

2 x  1; t  0  x 

t2 1
2

thay vào ph

ng trình

ta có

2

 t2 1 
 t 2 1 
4
2

3
t 


  1  0  t  4t  4t  1  0
 2 
 2 

t  1

  t  1 t  1  t 2  4t  1  0  t  1
do t  0 nên t

t  2  5

2
khi t

thay vào

Khi t

2 5
ta có x

2

V y ph

ta có x

13  4 5
2

ng trình đã cho có hai nghi m x

ho c x
2

13  4 5
2

t

2 5
2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
BT M u

ng trình 2 x 2  3 x  14  2 3 2 x 2  3 x  10

Gi i Ph
3

Bài Gi i Đ t t

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

2 x 2  3 x  10  2 x 2  3x  t 3  10 thay vào ph

ng trình

ta có

t  2
 t 3  2t  4  0   t  2   t 2  2t  2   0   2
t  2t  2  0(VN )

ta có 2 x 2  3 x  18  0  x 

V it

ng trình x 2  2 x  4  x  x 2  4   0  

Gi i ph

BT M u

3  3 17
TM
4

Nh n xét Tho t đ u khi nhìn th y căn ta th ng nghĩ ngay s đ t t b ng căn đó tuy nhiên bình tĩnh phân
tích ta th y r ng có đi u gì đó b t n n u ta đ t nh v y vì vi c th theo t là h i khó khăn m t chút ta s
hóa gi i đi u này b ng cách chia c hai v cho x xem sao
L i gi i
ĐK x  0
Xét th y x

không là nghi m c a ph

x2  4
x2  4
2
 0 1 đúng h
x
x

Th y r ng ch c n quan sát đi m b t th
Gi i ph

ng trình

ng c a bài toán va b ng m t đ ng tác ta đã hóa gi i pt r i

2 x 2  3 x  1  4 x 

1
 3(*) Đ thi th S GD Vĩnh Phúc
x

x  0

1

ĐK  x  
2

 x  1
Đ thu n ti n cho l i gi i ta s chia bài toán làm tr
khi x

c pt m i nh sau

ng

L i Gi i

TH

thì đ

x2  4
, t  0 thay vào pt ta có t 2  t  2  0 Vô nghi m
x

Đ tt

BT M u

ng trình ta chia c hai v cho x

chia c hai v cho x ta có pt  2 

ng h p sau đây

3 1
1 3
 2  4  2  1
x x
x
x

Đ t t  2

3 1
3 1
 2 (t  0)   2  t 2  2
x x
x x

thay vào

ta có t  t 2  6  t 2  t  6  0  t  2( L)  t  3(TM )
3


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

3 1
3  37
3  37
V it
(tm)  x 
( L)
 2   2  3  7 x 2  3x  1  0  x 
x x
14
14
TH

Khi x

chia hai v cho x ta có  2 

3 1
1 3
 2  4  2  2
x x
x
x

Đ t t  2

3 1
3 1
 2 (t  0)   2  t 2  2
x x
x x

thay vào

ta có t  6  t 2  t 2  t  6  0  t  2(N)  t  3(L)

V it

 2

3 1
3  17
3  17
 2  2  2 x2  3x  1  0  x 
(L)  x 
(N)
x x
4
4

K t h p Đk bài toán ta có hai nghiêm là x 
BT M u

Gi i ph

3  37
3  17
x
14
4

ng trình 2 x  5 x  11 

14
 Chuyên Hùng V
x2

ng

ĐK 0  x  2
Vi t l i pt nh sau 2  x  2   5 x  7 

Vì x

x ta đ

nên chia c hai v cho

t

t

14
7x
 2  x  2  5 x 
x2
x2

c 2.

x2

x

5  7

x
Đ tt
x2

x2
thay vào pt có
x

2t 2  5t  7
7
 0    t  0 t 1
t
2


x2
 1  x  x  2  0(do x  0)  x  4
x

TH

Khi t

TH

7

x2

1


2
7
 x
2 x  7 x  4  0
 x  4  x 
 t 0 


2  12  x  2
x
2

2
 x  2

 x  2
0
 x

V y t p nghi m c a BPT là S
BT M u
ĐK

Gi i BPT sau

v

3x
1 x

2

1 



1
 
1  x2

x

Vi t l i pt nh sau

3x
1  x2

1 

1  x 2  x2
x2
3x


20

2
2
1 x
1 x
1  x2

4


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
x
Đ tt
ta có t 2  3t  2  0  t  1  t  2
2
1 x
TH

x



khi t
Khi
khi

1 x

x

 1  x  1  x 2 ( a)

thì a luôn đúng

 x  1, (a)  x 2  1  x 2  



TH Khi t

2

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

1
1
x
K t h p ĐK ta có ngay
2
2

x

1
2

x  0
2
 2  x  2 1  x2   2

x
2
2
5
1 x
 x  4(1  x )
x

1   2


V y t p nghi m c a BPT là S   1;
;  

2  5


BT M u

1
x 1
 x  (*)
2
x 1  3  x

Gi i BPT

Nh n xét Nhìn vào ph
ti p xem sao

ng trình ta th y ngay có d u hi u

Nhân l

ng liên h p r i nhé v y thì ta th

L i gi i
ĐK x   1;3 \ 1

  

x 1



x 1  3  x
2( x  1)

  x  1  x 1
2

Đ bài toán đ n gi n h n ta s chia tr
TH

x2  2x  3
1
 x  1
2( x  1)
2

ng h p r i quy đ ng b m u nhé

1  x  1 a ta có

 x  1   x 2  2 x  3  2 x 2  3 x  1  2   x 2  2 x  3   x 2  2 x  3  6  0(2)
Đăt t

 x 2  2 x  3, t  0  t 2   x 2  2 x  3 lúc đó

2t 2  t  6  0  2  t 

tr thành

3
do t  0 nên
2

  x2  2 x  3  0
3
2 7 2 7

0t  
 1  x 

 x3
3
2
2
2
2

  x  2x  3 

2

K t h p ĐK a ta có 1  x 
TH

2 7
2

x  3 1  x  1   x 2  2 x  3  2 x 2  3x  1  2   x 2  2 x  3   x 2  2 x  3  6  0

5


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

 x 2  2 x  3, t  0  t 2   x 2  2 x  3 lúc đó

Đăt t

2t 2  t  6  0  t 

3
2 7
2 7

2 7

x
k t h p v i b ta có 1  x 
2
2
2
2

V y t p nghi m c a BPT là 1  x 

Gi i BPT

BT M u

tr thành

2 7
2 7
 1 x 
2
2

x2 2

6  x2  2 x  4   2  x  2



1

 Thi th THPT Qu c Gia Lý T Tr ng
2

Nh n Xét
Ta th y BPT có chút gì đó mang ý t ng c a Nhân liên h p nh ng n u liên h p thì BT s c ng
k nh ph c t p quá vì th ta ko v i đi theo ý t ng này
6  x 2  2 x  4  2  x  2  

Nh n th y

2x2  4x  8

6  x  2x  4  2  x  2
2

 0x  2 V i đi u này bài toán s d

dàng h n m t chút r i làm thôi các em
ĐK x  2
Vi t l i
2
2 x  2  4  6  x 2  2 x  4   2  x  2   2 x  2  2  x  2   4  6  x  2   2  x  2   4 



ĐK x  2 ph

Đ tt x

ng trình tr thành

2t  2 t  4  6 t 2  2t  4  1

T i đây có hai h

ng

H

ng

Bình ph

H

ng

xét th y t

ng v r i đ a bài toán v b c
không là nghi m c a ph

bình ph

ng l n b n đ c t gi i

ng trình chia c

v cho t ta có

2 

 4

 2 t 
  2  6  t  t  2   2  t i đây ch c các em đã nhìn ra ý t
t




Đ tu

t

ng r i đúng ko

2u  2  0
2
4
 u 2  t   4;  2   2u  2  6  u 2  2    2
2
t
t
4u  8u  4  6u  12

u  1
2

u2 t 

 2  t  2 t  2  0  t  1  3( N )  t  1  3( L)
2
t
2  u  2   0
V i
BT M u

t  1  3  t  4  2 3  x  2  2 3(TM ) V y BPT đã cho có nghi m duy nh t





Gi i BPT sau x 2  5 x  4 1  x 3  2 x 2  4 x   THPT Chuyên ĐH Vinh
6


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
Nh n Xét

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

Tho t nhìn ta ch a th y d u hi u đ t n ph n u ti n hành đ t theo căn nh th ng l s th y bài toán
đi vào ngõ c t ngay b i bi u th c trong căn là b c ngoài căn là b c do v y ta nh n đ nh r ng có th
m i quan h s xu t hi n khi chúng ta phân tích bi u th c trong căn chăng
 x 3  2 x 2  4 x  x  x 2  2 x  4 
Phân tích 
2

2
 x  5 x  4  3 x  x  2 x  4

ta th y đ u m i c a bài toán đã xu t hi n có v nh n đ nh trên hoàn toàn đúng đ n gi i th nhé
ĐK x 3  2 x 2  4 x  0  1  5  x  0  x  1  5
 4 x  x 2  2 x  4   x 2  5 x  4  4 x  x 2  5 x  4   3 x  x 2  2 x  4(1)

Khi đó
TH

TH

x  1  5 khi đó chia c hai v c a

cho x ta có 1  4

x2  2x  4
x2  2x  4
 3
x
x

Đ tt

x2  2 x  4
, t  0,  2   t 2  4t  3  0  1  t  3
x

V y 1

2
1  17
x2  2 x  4
x2  2 x  4
7  65
 x  x  4  0
 3 1
9 2

x
x
x
2
2
 x  7 x  4  0

1  5  x  0  x 2  5 x  4  0 khi đó

V y t p nghi m c a BPT S

Gi i ph

BT M u

luôn đúng



 1  5; 0   1  17 ; 7  65 


 
2
2 


ng trình

x2  2 x  5  x  1  2  

ĐK x  1

   x  1

2

 4  2  x 1 Đ t t

x  1, t  0 tao có

t  2
Pt  t 4  4  2  t   4
2
4
2
t  4   2  t   t  t  4t  0
t  0
t t3  t  4  0   3
t  t  4  0

BT M u

Gi i ph
2
x

Đk 1   0 
V ix

ng trình

1

2
3
 2 x  4 
x
x

x  0
x2
khi đó ph
0
x
 x  2

Ph

( x  )
2
x

ng trình  x 1   2 x 2  4 x  3

ng trình  x2  2 x  2( x2  2 x)  3
7


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

t  1
Đ t t  x  2 x ta có 2t  t  3  0  
3
t   (L)
2

 x  1  2 (L)
t  1  x2  2 x  1  x 2  2 x  1  
 x  1  2 (Tm)
2

2

V i x  2 có
Ph ng trình   x2  2 x  2( x 2  2 x)  3
t  1 (L)
Đ t t  x  2 x ph ng trình tr thành 2t  t  3  0   3

t 
 2

4  52
x

3
3
4
t   x 2  2 x   4( x 2  2 x )  9  4 x 2  8 x  9  0  
2
2

4  52
(L)
x 

4
4  52
K t lu n Ph ng trình có nghi m x 
; x  1  2
4
2

2

BT M u

Gi i Ph

TXĐ

ng trình sau

x 2  x  7  x 2  x  2  3x 2  3x  19 ĐH DL Tôn Đ c Th ng

D R

x 2  x  2, t  0 lúc đó vi t l i pt nh sau

Đ tt

  

t 2  5  t  3t 2  13  2t 2  5  2t t 2  5  3t 2  13  4t 2  t 2  5    t 2  8 

 3t 4  4t 2  64  0  t 2  4  t 2  

BT M u

Gi i ph

ng trình sau

16
( L) V i t 2  4  x 2  x  2  4  x  1  x  2(TM )
3

4 x 2  x  6  4 x  2  7 x  1  

Nh n xét Bài toán này có t i căn b c
Đ tt

câu h i đ t ra lúc này là đ t t

x  1  x  t 2  1 các em s gi i ph

   2 x  1

có hai ý t

ng nh sau

ng trình b c

Bi n đ i m t chút đ tìm ra l i gi i đ p h n
bày nhi u bài tr c r i nhé
2

2

đây ta s đi theo cách vì cách m t đã đ

 5  x  1  2  2 x  1  7 x  1 

 2 x  1
x 1

2

 5  2.

2 x 1
7
x 1

2x 1
thay vào ta có
x 1
t   7

t   7 2
2
2



5

2

7


 t  2
t
t
 

 2

2
2
t  5   2t  7 
3t  28t  44  0

Đ tt

8

c trình


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
1

2x 1
x  2
ta có
 2  2 x  1  1  2 x  
2
x 1
4  x  1  1  2 x 

V it

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN
1
 x  1 2


x
2
4 x 2  8 x  3  0

Qua ví d này ta th y r ng n u ch u khó quan sát và bi n đ i s cho ta m t l i gi i khá đ p m t
bài toán này s c m nh c a h s l i phát huy tác d ng


PP
f x   g  x   f  x  .g x   h x  
 t  f  x   g x 

Thông th ng v i d ng toán này ta quan sát s th y có hai căn nh và m t căn l n khi đó m t
cách t nhiên ta s suy nghĩ t i vi c đi phân tích bi u th c trong căn l n xem có m i quan h gì v i hai
căn nh
trên hay không N u có thì m i vi c đã đ c d tính ta gi i theo ph ng pháp n u không có
m i quan h này ta th bi n đ i ho c t duy bài toán theo m t h ng khác nhé

Gi i ph

BT M u

2 x  3  4  x  3x  23  2 x 2  5 x  12 

ng trình

Nh n th y bi u th c trong căn l n chính là tích c a hai bi u th c trong căn nh vì th ta gi i theo
ph ng pháp trên ĐK
Đk

3
 x4
2

2x  3  4  x, t  0  t2  x  7  2

Đ tt

 2 x  3  4  x   3t 2  3x  21  6

2 x 2  5 x  12

11
( L) V i t
ta có
3
x  3
x  3
4  3  2 x  4  x  2 2 x 2  5 x  12  9  3x  
 2
2
2
8 x  20 x  48  81  54 x  9 x
17 x  74 x  33  0
37  2 202
(TM )
X
17

  3t 2  t  44  0  t  4( N ), t  

MT M u

Gi i Ph

ng trình sau 3 x  2  6 2  x  4 4  x 2  10  3x  ĐH

L i gi i ĐK 2  x  2
Đ tt



3 x  2  6 2  x  t 2  9  x  2   36  2  x   36 4  x 2  9 10  3x  4 4  x 2

  t 2  9t  0  t  0  t  9
Khi t

ta có
3 2  x  6 2  x  0  3 2  x  6 2  x  9  x  2   36  2  x   x 

Khi t

ta có
3 2  x  6 2  x  9  3 2  x  9  6 2  x  5 x  15  12 2  x 1

K t h p ĐK 2  x  2 th y r ng x
V y bài toán đã cho có đúng m t nghi m x
BT M u
ĐK x  0

Gi i ph

ng trình sau

pt

vô nghi m

2 x  1  x  2 2 x 2  x  6 x  26  
L iG i

9

6
5




T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

2 x  1  x  t  0  t 2  3x  1  2 2 x2  x

Đ tt



 



Vi t L i pt đã cho ta có 2 3 x  1  2 2 x 2  x 

2 x  1  x  28  0 lúc đó pt

tr thành

7
2t 2  t  28  0  t  4  t   ( L)
2

Khi t

15  3 x  0
 2 x  1  x  4  2 2 x 2  x  15  3x  
2
2
4  2 x  x   15  3x 
x  5
 2
 x  47  8 31 TMĐK
 x  94 x  225  0
ng trình 20 x  11  12 x 2  5 x  4  5

Gi i ph

BT M u



x 1  3 x  4  0

L i gi i

ĐK x  1
Đ tt
Vi t l i ph



x  1  3 x  4  t  0   t 2  10 x  37  6
ng trình



ta có 2 10 x  37  6

 x  1 x  4 

 x  1 x  4    5 



x  1  3 x  4  63  0 1

9
2
 x  1  3 x  4  7  6  x  1 x  4   12  10 x  3

1  2t 2  5t  63  0  t  7( N )  t    L 
V it

 x  1 x  4   6  5 x

6

6  5 x  0
x 

 x  0 TM
5
2  
2
2
9  x  5 x  4    6  5 x 

16 x  105 x  0
BT M u

Gi i ph

1
ĐK 5  x 
3

Đ tt

ng trình sau

1  3 x  

3 x 2  14 x  5  x  5  9  x  

L i Gi i

1  3 x  x  5,  t  0   t 2  6  2 x  2 3 x 2  14 x  5

Vi t l i pt đã cho ta có

6  2x  2

 

3x 2  14 x  5  2



1  3 x  x  5  24

 t 2  2t  24  0  t  4  t  6( L)
ta có 1  3 x  x  5  4  t 2  6  2 x  2 3 x 2  14 x  5  3x 2  14 x  5  5  x
 x  5
 x  5



 x  1  x  5 TMĐK

2
2
2
4 x  24 x  20  0
3x  14 x  5   5  x 

V it

BT M u

Gi i ph

ĐK 2  x  2
Đ tt
Vi t l i ph

ng trình 24 8  2 x 2  22 x  2  33 4  2 x  14 x  8(*)
L i gi i

2 x  2  3 4  2 x , t  0  t 2  44  14 x  24 8  2 x 2
ng trình



9
 5t 2  11t  36  0  t  4( N )  t   ( L)
5

V it



ta có 5(44  14 x  24 8  2 x 2 )  11 2 x  2  3 4  2 x  36

14 x  28  0
ta có 4  2 x  2  3 4  2 x  24 8  2 x 2  14 x  28  
2
2
576(8  2 x )  14 x  28 

10


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
 x  12 / 7


478  x  2 TMĐK
2
1348

784

3824

0



2



x
x
x
x

337

V y ph

ng trình ch có m t nghi m là x

BT M u

Gi i ph

ng trình

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN



2x  3  x  1  3x  2 2x 2  5x  3  16

Đ ih cM

Đ a Ch t năm

L i gi i
2x  3  0

x  1  0
 x  1
Đi u ki n 
 2
2x  5x  3  x  12x  3  0

Đ t t  2x  3  x  1,  t  0  t2  3x  4  2 2x 2  5x  3

  t  t

2

 4  16  t2  t  20  0  t  5 N  t  4

L 

V i t  5  25  3x  4  2 2x 2  5x  3  2 2x2  5x  3  21  3x

x  7
21  3x  0
x  7




 2
  x  3  x  3
4 2x 2  5x  3  21  3x 
x  146x  429  0



 x  143






So v i đi u ki n ph
BT M u

Gi i ph

ng trình

ng trình có nghi m duy nh t x  3

2
 1  3  2 x  x 2 Đ thi th ĐH tr
x 1  3  x

ng THPT L

ng Ng c

Quy n

t2  4
Đ t t  x 1  3  x , t  0  3  2x  x 
Thay vào pt ta có
2
2

t 3  2t  4  0  t  2  x  1  3  x  2  x  1  x  3(TM )

BT M u

Gi i ph

ng trình 9 x 2  2 x  2  2 x3  2 x 2  2 x  1 

Nh n Xét
Tr c h t ta phân tích th bi u th c trong căn xem sao đã nhé dùng casio th y có
m t nghi m là x
s d ng s đ hoocner ta có bi u th c  x  1  x 2  x  1
Trong khi đó 9 x 2  2 x  2  7( x  1)  9( x 2  x  1) Vì sao phân tích đ
tôi đã m n s c m nh c a đ ng nh t h s c th nh sau

c nh trên

đây

Cho 9 x 2  2 x  2    x  1    x 2  x  1   x 2      x     đ ng nh t v i VT ta có
11

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
CÔNG PHÁ MÔN TOÁN
  9
   9
th nhé bài sau các em c làm v y nhé


    2
  7

Bài Gi i
ĐK x  1 Vi t l i pt

ta có

7  x  1  9  x 2  x  1  2

 x  1  x 2  x  1 1 chia hai v cho

1  7

x 1
x 1
9 2 2
 0  2 Đ t t
x  x 1

x  x 1
2

 7t 2  2t  9  0  t  1( L)  t 

V it

x 2  x  1  0 ta có

x 1
,t  0
x  x 1
2

9
(N )
7

x 1
9
  49 x  49  81x 2  81x  81  81x 2  32 x  32  0(VN )
x  x 1 7

ta có

2

V y pt đã cho vô nghi m
BT M u

Gi i ph

ng trình 5 x 2  4 x  3  3 2 x 3  x 2  2 x  1 

L i Gi i
Đk x  

1
phân tích bài toán gi ng vd trên ta có pt m i nh
2

sau

2x  1 
2x 1
 5  0 1
3 2
2
x 1
 x 1 

  2  2 x  1  5  x 2  1  3  2 x  1  x2  1  0  2 
Đ tt
V it

2x 1
5
; t  0, 1  2t 2  3t  5  0  t  1( L)  t  (TM )
2
x 1

2


2x 1 5
  8 x  4  25 x 2  25  25 x 2  8 x  21  0(VN )
2
x 1 2

V y pt đã cho vô nghi m
BT M u

Gi i b t ph

ng trình

7x  7  7x  6  2 49x 2  7x  42  181  14x

1

Đ i h c An Ninh kh i A năm

Bài gi i tham kh o
7x  7  0

6
7x  6  0
Đi u ki n 
x

7

49x 2  7x  42  0

12


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

1 

7x  7  7x  6  2 7x  7 7x  6  7x  7   7x  6  182






CÔNG PHÁ MÔN TOÁN



7x  7





7x  7  7x  6

2

 2 7x  7 7x  6 

 
2



2
7x  6   7x  7  7x  6  182






7x  7  7x  6  182  0

2

Đ t t  7x  7  7x  6
Do x 

6
6
6
6
 t  t    7.  7  7.  6  13  t  13
7

7
7
 7 



t  13
t  13


2
  t2  t  182  0 14  t  13  13  t  13



 7x  7  7x  6  13, x  6
 
7  14x  1  2 7x  7 7x  6  169

 7x  7  7x  6  13

84  7x  0

 7x  77x  6  84  7x  7x  7 7x  6  0

7x  7 7x  6  84  7x 2

x  12

6 

6

 x  1  x   x  ; 1   ; 6

7
 7 
x  6


K t h p v i đi u ki n t p nghi m c a b t ph
BT M u

Gi i ph

ng trình sau

6 
ng trình là x   ; 6
 7 

2x 2 12x  5  2x 2  3x  5  8 x  

Nh n xét Tho t nhìn ta th y ph ng trình không có m i liên h nào h t tuy nhiên n u đ ý các b n
s th y v trái xu t hi n anh b n th ba theo kinh nghi m c khi nào có s xu t hi n này ta s chia c
hai v cho anh b n Ý t ng v y nhé th c hi n thôi
ĐK x  0
Xét th y x

không là nghi m c a ph

ng trình chia c hai v cho x

2 x  5  12  2 x  5  3  8 1 Đ t t
x
x

1 

t  12  t  3  8  2t  9  2

2x 

ta có pt m i nh sau

5
ta có
x

 t  12  t  3  64  2  t  12  t  3  55  2t

13


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
55

55


3169
3  t  2
3  t 


t
2
256
 4  t  12  t  3   55  2t  2
256t  3169


 2x 
BT M u

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

5 3169
3169  7421121

 512 x 2  3169 x  1280  0  x 
x 256
1024

Gi i b t ph

ng trình 3 x 

3
2 x

 2x 

1
7
2x

1
Đ i h c Thái Nguyên kh i A B năm

Bài gi i tham kh o
Đi u ki n x  0












1
  3 
1  2 x  4x



Đ t t x 

x

1
2 x

Ta có t  x 

1 
  7  0
2 x 

 t2  x 

1
2 x

1
1
1  x 
 t2  1
4x
4x

Cauchy

 2

2

x.

1
2 x

t 2

t  2
t  2
t  2



  2

 t3
2   2
3
2 t  1  3t  7  0
2t  3t  9  0
t    t  3
2









 x  3 7
x  4  3 7

1

2
2
 x
 3  2x  6 x  1  0  


3


3
7
2 x
x4
7
 x


2

2


3  
3

K t h p v i đi u ki n t p nghi m c a h là x  0; 4 
7   4 
7; 

2
2
 


BT M u

Gi i b t ph

ng trình x  1  x 2  4x  1  3 x



Tài li u th y LÊ VĂN ĐOÀN Đ thi Đ i h c kh i B năm

Bài gi i tham kh o
x  0

Đi u ki n 
 2
x  4x  1  0

0  x  2  3


x  2  3



14


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
V i x  0   : 2  0  x  0 : là nghi m b t ph
V i x  0 : chia hai v c a  cho

 

x

1
x

 x

Đ t t x 

1
x

1
4 3
x

Cauchy



c

1

2  t2  x 

1
2
x

2

1 

3  t  0


5
2
 t
t  6  3  t  3  t  0
 2
2
2
t  6  3  t


2 

x

1
x



5

2

x 2 

V y t p nghi m c a b t ph
Gi i ph

BT M u

x, ta đ

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN
ng trình

x

1
1
0x

 x4
2
4

 1
ng trình là x  0;    4; 


 4

ng trình sau 2 3 3x  2  3 6  5 x  8  0 ĐH

A

Nh n xét đây là bài toán khá ph bi n và nhi u cách gi i trong ph m vi bài vi t này tôi ch xin đ c p t i
ph ng pháp đ t n ph theo hai cách sau đây
ĐK x 
Cách

Đ tt

6
5
3

3x  2  x 

t3  2
thay vào ph
3

ng trình ta có

t  4
t3  2
8  5t 3

pt  2t  3 6  5
8  0  3
 8  2t    8  5t 3 
2
3
3
9  3    8  2t 

 
t  4
t  4
 3

 t  2  x  2 TMĐK

2
2
15t  4t  32t  40  0
 t  2  15t  26t  20   0
Cách

Đ tt

2 3 3.

6  5x  x 

6 t2
, t  0 pt đã cho t
5

ng đ

ng

 8  3t 2 
6 t2
3
3
2
 2  3t  8  0  8 
   8  3t   135t  1104t  2880t  2496  0
5
5



t  4  135t 2  564t  624  0(VN ) v i t

thì x
15

TMĐK

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

Đ t hai n ph

Thông th ng ta tìm m i liên h gi a bi n đ đ t n ph đ a v ph ng trình đ ng
c p đ ng b c ho c h ph ng trình đ i x ng lo i đ ng c p Ta th ng g p
m t s d ng c b n sau

u  n a  f  x 
n
m
 . a  f x  . b  f x  c 
 đ t
 v  m b  f x 

 n 2
n
n
2
a. A  b. AB  c. B  0

PP
 a.A  x  b.B  x  c A x .B x  
 đ t u, v  PT : u2  uv  v2  0


2
2
.A  .B  mA  nB

PP

PP
 y  n bx  a
 x n  a  b n bx  a 

x n  by  a  0

 n
y  bx  a  0


đ a v h đ i x ng lo i II

 ax  b  cx 2  dx  e

PP
 

 đ t
a  0, c  0, a  1

c

ax  b  2cy  d đ a v h đ i x ng lo i II

N u pt có d ng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b thu t đ t n ph đ i
x ng
n

 C n l u ý m t s khai tri n và bi n đ i sau









x 3  1   x  1 x 2  x  1 hay t ng quát h n x 3  a 3   x  a  x 2  ax  b









2







x 4  x 2  1  x 4  2x 2  1  x 2  x 2  1  x 2  x 2  x  1 x 2  x  1











x 4  1  x 2  2.x  1 x 2  2.x  1



4x 4  1  2x 2  2x  1 2x 2  2x  1

u  v  1  uv  u  1v  1  0

Các bài t p m u minh h a
BT M u

Gi i ph

ng trình sau 4 56  x  4 x  41  5 H c vi n B u chính Vi n Thông

Nh n Xét Đây là ki u bài toán khá đ c tr ng cho ph
b c c a căn l n ta có l i gi i nh sau
ĐK 41  x  56

16

ng pháp đ t hai n ph đ đ a v hpt bài toán có


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
Đ t u  4 56  x , u  0; v  4 x  41  1  u  v  5(a ) v y còn m t ph

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN
ng trình n a l y đâu ra

Pt đó s đ c l y t vi c các em nâng lũy th a các phép đ t n phu rôi sau đó ta tìm phép toán phù h p
đ làm m t x đi c ng tr nh sau u 4  v 4  97(b)
K t h p a và b ta có hpt
u  v  5
u  v  5

u  v  5
2


 4 4

2

2
2 2
2  uv   100uv  528  0  uv  6  uv  44
u  v  97
  u  v   2uv   2u v  97
TH

u  v  5
u  2 u  3
lúc đó u v là nghi m c a pt X 2  5 X  6  0  X  2  X  3  


uv  6
v  3  v  2

4
u  2
56  x  16
 56  x  2


 x  40(TM )

4
v  3
 x  41  81
 x  41  3

u  3  4 56  x  3
56  x  81



 x  25(TM )

v  2
 x  41  16
 4 x  41  2
TH

u  v  5
lúc đó u v là nghi m c a pt X 2  5 X  44  0(VN )

uv  44

V y pt đã cho có hai nghi m là x

ho c x

ng trình sau x 2  3x  1  x 3  1  

BT M u

Gi i ph

Phân tích

 x 3  1   x  1  x 2  x  1

 2
2

2
 x  3x  1    x  1    x  x  1   x      x      0    1,   2

Vi t l i pt đã cho 2  x  1   x 2  x  1 

 x  1  x 2  x  1 1

x  1, v  x 2  x  1; u  0, v  0 lúc đó ta có pt

Đ tu

2

u u
2u  v  uv  2u  v  uv  0  2       1  0(vn)
v v
2

BT M u

2

Gi i ph

2

2

ng trình sau

3

2  x  1  x  1   ĐH Tài Chính k toán

ĐK x  1
Đ t u  3 2  x , v  x  1, v  0 lúc đó ph
ph ng trình n a ta có u 3  v 2  1

ng trình

đ

c vi t l i nh sau u v

c n tìm thêm m t

v  1  u
u  v  1
v  1  u
u  0 u  1 u  2
 3
 3



V y ta có hpt  3 2
2
2
v  1  v  0 v  3
u  v  1 u  1  u   1 u  u  2u  0

17


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
 3 2  x  0
u  0
TH 

 x  2(n)
v  1
 x  1  1

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

TH

 3 2  x  1
u  1

 x  1(n)

v  2
 x  1  0

TH

3

u  2
 2  x  2

 x  10


v  3
 x  1  3

BT M u

Gi i ph

ng trình 3  2 x  3 5  3 x  3 

Đây là ki u bài khá quen thu c có nhi u cách gi i khác nhau trong ph m vi bài này tôi ch n u cách đ t hai
n ph
3
Đ t u  3  2 x , u  0; v  3 5  3 x khi đó ta có hpt
2
u  3  v
u  3  v
u  v  3


 3
 2
1
2
2

3
3
3u  2v  19
2v  3v  18v  8  0  v  2  v  4  v  2
3  3  v   2v  19

ĐK x 

1
1

3
v  2
 5  3x  2
13
TH 

x
8
u  5
 3  2x  5


2
2
TH

 3 5  3x  4
v   4


 x  23

u  7
 3  2 x  7

TH

 3 5  3x  2
v  2

 x  1(tm)


u  1
 3  2 x  1

V y pt đã cho có nghi m
BT M u

Gi i ph

ng trình

3

x 2  3x  2



3



x  1  3 x  2  1  

Đ t u  3 x  1; v  3 x  2 ta có v 3  u 3  1 thay vào

ta có

u  v
2
uv(u  v )  v 3  u 3  uv  u  v    u  v   u 2  uv  v 2   0   u  v  u  v   0  
u  v
 3 x 1  3 x  2
3
x

2
 3 x  1   3 x  2
BT M u

Gi i ph

ng trình 2 x  1  3 x  2  5 x 2  2 x  2  
18


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

2
ĐK x 
3

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

Nh n xét B ng kinh nghi m ta nghĩ ngay t i vi c phân tích bi u th c trong căn l n và k t qu nh sau

   2 x  1 
Đ tu

3x  2  2  2 x  1  2  3 x  2  1
2

u  0; v  3x  2; v  0 thay vào

x

ta có

u  v  2u  2v  u  2uv  v  2u  2v   u  v   0  u  v
2

2

2

2

2

2

2

4
 2 x  1  3x  2  4 x 2  4 x  1  3x  2  4 x 2  7 x  3  0  x  1(n)  x  (n)
3

x2  1  2 x 2  2 x  3  3 x 2  4 x  5  

Gi i BPT

BT M u

Xin nh c l i v i ki u bài toán đ t n ph thì đi u quan tr ng nh t là tìm ra đ
các hàm s cóa m t trong bài t đó đ a ra gi i pháp g n đ p nh t
bài này ta vi t l i ph
T đay cho ta ý t

x 2  1  2 x 2  2 x  3  3 2  x 2  2 x  3  ( x 2  1) 

ng trình nh sau

ng Đ t u

c m i quan h gi a

x 2  1; u  0; v  x 2  2 x  3; v  0

Thay vào pt ta có u  2v  3 2v 2  u 2  10u 2  4uv  14v 2  0   u  v 10u  14v   0  u  v
Vì

u

v

v i moi u v

v i u v  x 2  1  x 2  2 x  3  x  1 v y t p nghi m c a BPT là S
BT M u

Gi i ph

ng trình sau x x 2  2



(; 1]



15  x 2  x  15  3 15 x  x3  4 x  

ĐK 0  x  15
Vi t l i pt

15  x   3
2

x . 15  x 2  4 x  2

Đ t u  15  x 2 , v  x (u , v  0) thay vào
U

v u





15  x 2  x  0 1

ta có u 2  3uv  4v  2(v 2  u )  0 cho v

ta có ngay

v

V y u  2v  15  x 2  2 x  x 2  4 x  15  0  x  2  19(n)  x  2  19(l )
V iu v

 15  x 2  x  2(2)

v i 0  x  15 thì  15  x 2  x  2 
BT M u

Gi i Ph

15  2 

16  2  0(vn)

ng trình sau x  2 7  x  2 x  1   x 2  8 x  7  1 HSG Vĩnh Phúc

ĐK 1  x  7
19


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
  x  1  2 7  x  2 x  1   7  x  x  1 (1)

ta có v 2  2u  2v  uv   u  v  v  2   0  u  v  v  2

7  x , v  x  1, u; v  0 thay vào

Đ tu

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

TH

u  v  7  x  x  1  x  4(Tm)

TH

v  2  x  1  2  x  5 Tm

N u pt có d ng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b thu t đ t n ph đ i x ng
n

BT M u

Gi i ph

ng trình 2 3 2x 1  27x 3  27x 2 13x  2 HSG H i Phòng

Nh n xét Nhìn qua ta th y bài toán có th đi theo các h ng quen thu c là Hàm s ho c nhân liên
h p tuy nhiên đây ta s ch bàn t i làm th nào đ đ t n ph b ng cách ch ra các m i quan h
ng trình 2 3 2x 1   3x 1  4x 1 bài toán có d ng s
3

Vi t l i ph

Ta có h ph
L y

ta đ t 3 2x 1  3y 1

2  3 y  1   3x  13  4 x  1(1)
ng trình 
3
2 x  1   3 y  1 (2)
ta có

3
3
2

2
2  3 y  1   2 x  1   3x  1   3 y  1  4 x  1   x  y  6  3  3x  1   3x  1 3 y  1   3 y  1    0




x  y

2

1
2
2
2

 9


6  3  3 x  1   3 x  1 3 y  1   3 y  1  6  3  3 x  1   3 y  1    3 y  1  0(VN )



2

 4

V i x y thay vào

ta có 2x 1   3x 1  27x 3  27x 2  7x  0  x  27x 2  27x  7   0  x  0

BT M u

ng trình x 3  3x 2  3 3 3x  5  1 3x  Đ thi olympic

Gi i ph

3

Vi t l i pt nh sau x 3  3x 2  3x 1  3 3 3x  5   x 1  2  3 3 3x  5
3

Đ t

3

3x  5  y 1  3x  5   y 1 ta có hpt
3

 x  13  2  3( y  1)(1)
3
3
2
2
  x  1   y  1  3  y  x    x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  3  0

3


 y  1  3x  5(2)
x  y


2



1
2
2
2
 3
x
1
x
1
y
1
y
1
3
x
1
y
1
y
1
3















 0x, y


















2

4







V i x y ta có 3 3x  5  y  1  3x  5   x  1  x3  3 x 2  4  0  x  1  x  2
3

20


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
Th l i pt th y th a mãn đó là các nghi m c n tìm
Gi i ph

BT M u

Vi t l i pt

3

ng trình sau

3

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

3x  4  x 3  3x 2  x  2  

3x  4  2 x  3  ( x  1)3

Đ t

3

3x  4  y  1  3 x  4   y  1

3

3 x  4   y  13 (1)
2
2
(1)  (2)
Ta có hpt 

  x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  1  0
3


 y  2 x  4   x  1 (2)
 x  y  x  1  3 3 x  4  ( x  1)3  3x  4   x  1 x  2  2  0  x  1  x  2

2



1
2
 3
   x  1   y  1    y  1  1  0x, y (vn)
2
 4

 
Th l i th y th a mãn do đó nghi m c a pt là x

ho c x

các em nh ph i th l i nhé vì nâng lũy

th a không có đk là pt h qu mà thôi
Chú ý ta cũng có th tìm ra phép đăt 3 3x  4  y 1  3x  4   y 1 b ng cách sau
3

Xét y x 3  3x 2  x  2  y '  3x 2  6x 1  y ''  6(x 1) tuy nhiên không ph i lúc nào cũng dùng đ
cách này nhé các em

c

Đ t n ph không hoàn toàn
Đ t n s ph không hoàn toàn là m t hình th c phân tích thành nhân t Khi đ t n
ph t thì bi n x v n t n t i và ta xem x là tham s Thông th ng thì đó là ph ng
trình b c hai theo t tham s x và gi i b ng cách l p

BT M u

gi i ph

ng trình sau x 2  3x  1   x  3 x 2  1  

Nh n xét Nhìn vào ph ng trình ta s nghĩ ngay t i vi c đ t t
x 2  1 tuy nhiên khó ch sau khi đ t
n ph xong thì bài toán không rút đ c v theo n t tri t đ mà v n con ch a n x làm th nào bây
gi
Đ ng v i lo quá đây chính là n i dung c a ph ng pháp mà tôi mu n trình bày cho các b n Đ T
N PH KHÔNG HOÀN TOÀN
L i Gi i
Đ tt
Ta đ

c ph

x 2  1  x 2  t 2  1, t  0 bài không có tham s ko c n tìm chính xác đi u ki n nhé các em
ng trình m i t 2   x  3 t  3x  0 ta có hai cách sau gi i ph

tính đ

c    x  3

2

th y ít khi dùng

Li t kê các h ng t ch a x xt
D dàng có hai nghi m t

ng trình

x

khi t

và t x
21

r i phân tích theo s đ hoocner ho c casio


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
V it
ta có x 2 2 t x vô nghi m

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

Th t d dàng đúng không các em tuy nhiên th c t không gi ng nh v y đâu có nh ng ph ng trình
n u không khéo léo ta cũng s không có l i gi i đ p hãy xét ví d sau và coi nh m t bài t ng quát nhé
BT M u

ng trình  3 x  1 2 x 2  1  5 x 2 

Gi i ph

1
1

x
2
2

ĐK x  

2 x 2  1, t  0  x 2 

Đ tt

3
x 3
2

t 2 1
Vi t l i ph
2

4 x 2  2   3 x  1 2 x 2  1  x 2 

ng trình ta có

3
3
x  1  0  2t 2   3 x  1 t  x 2  x  1  0
2
2

Có    x  3  t  2 x  1  t  x  2
2

t

x

1

x 
 2x 1  2 x 1  
 x  1(tm)
2
2
 x  2x  1  0

2

 x  2
 2x2 1  x  2   2
 x  1  x  5
 x  4x  5  0

t x

Đi u gì làm b n c m th y băn khoăn nh t trong l i gi i trên có l là vi c t i sao l i không th nh bình
th ng mà mà l i ph i tách 5 x 2  4 x 2  x 2 và làm th nào đ bi t ph i tách ra nh v y
ph

Th t đ n gi n khi làm toán b ng ph ng pháp này ta luôn hi v ng r ng dellta s là m t s chính
ng dó đó c n tìm h sô a th t là đ p T ng quát ta đi tìm m th a mãn pt sau

mt 2   3 x  1 t   5  2m  x 2  m  3  0     8m 2  20m  9  x 2   6  6m  x  12m  4m 2  1
L uý

đây tôi đã s p x p l i dellta v ph

Đ dellta chính ph
Vi c tìm ra m

ng ta cho  x   6  6m   4  8m 2  20m  9  4m2  12m  1  0  m  2
2

nhanh nh t là dùng mode trong casio các em nhé không nên ng i gi i pt này

Th là xong ph
BT M u

ng trình n x nhé

ng pháp t ng quát r i nhé các ví d sau tôi s ko nh c l i thêm n a nhé

Gi i ph

ng trình sau 4 x 2  12 x x  1  27  x  1 

ĐK x  1
Đ t t

x  1  x  t 2  1   27t 2  12 xt  4 x 2  0

PT đ ng b c cho x

ta có ngay t

x và t

22

x


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
x  0
2
2

t  x  x 1  x  
4 2  x3
3
3


1
x
x

9

t

BT M u
Đ tt

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

x  0
2
81  9 97

 x
4 2 x
9
8
 x  1  81 x
Gi i ph

ng trình 7 x 2  4 x  10  7  x  2  x 2  1  

x 2 1 ta có    6t 2  7  x  2  t  x 2  4x  4  0    25  x  2  t i đây d r i nhé

Chú ý bài toán này s d ng ph

2

ng pháp h s b t đ nh

ví d t ng quát đ tìm pt đ p nhé

Nói Tóm l i n ph là ph ng pháp làm cho bài toán tr nên nh nhàng h n nh ng d ng ph ng trình

đ c bi t k trên ch mang tính ch t gi i thi u ta không nên ph thu c quá nhi u vào các d ng đó mà xin
nh r ng mu n ph ng pháp đ t hi u qu cao thì đi u quan tr ng nh t là phân tích và tìm ra m i quan
h t n t i trong ph ng trình đ t đó đ t n ph m t cách h p lý và sáng t o nh t

23