Bài tập giải tích 1 toán cao cấp

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
CHƯƠNG 1
Hình học vi phân
Ứng dụng trong hình học phẳng
1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y  x3  2 x 2  4 x  3 tại điểm (2;5) .
2

b) y  e1 x tại giao điểm của đường cong với đường thẳng y  1 .
 1 t
 x  t 3
c) 
tại điểm A(2;2) .
3
1
y 

3 2t

2t
2
x3

2
y3



 5 tại điểm M (8;1) .
d)
2. Tính độ cong của:

a) y   x3 tại điểm có hoành độ x 
 x  a (t  sin t )
b) 
 y  a (1  cos t )

c)

2
x3



2
y3

2
 a3 ,

1
.
2

(a  0) tại điểm bất kỳ.

(a  0) tại điểm ( x, y ) bất kỳ.

d) r  aeb , (a, b  0) tại điểm bất kỳ.
3. Tìm hình bao của họ các đường cong sau:
x
a) y   c 2
b) cx 2  c 2 y  1
c

Ứng dụng
trong
hình học không gian



c) y  c 2 ( x  c)2 .

1. Giả sử p (t ) , q(t ) ,  (t ) là các hàm khả vi. Chứng minh rằng:





d
d p(t ) d q (t )
p (t )  q (t ) 

a)
.
dt
dt
dt


d

d p (t )

( (t ) p (t ))   (t )
  ' (t ) p (t ) .
b)
dt
dt

 d q (t )  d p (t )
d  
p (t )q (t )  p (t )
 q (t )
c)
.
dt
dt 
dt



d 
d q(t ) d p(t ) 
p (t )  q (t )  p (t ) 

 q (t ) .
d)
dt

dt
dt













1


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

2. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
 x  a sin 2 t


a)  y  b sin t cos t tại điểm ứng với t  , (a, b, c  0) .
4

2

 z  c cos t

et sin t
x


2


b)  y  1
tại điểm ứng với t  0 .

t
 z  e cos t

2
3. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x 2  4 y 2  2 z 2  6 tại điểm (2;2;3) .
b) z  2 x 2  4 y 2 tại điểm (2;1;12) .
c) z  ln(2 x  y ) tại điểm (1;3;0) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
 x 2  y 2  10
a) 
tại điểm A(1;3;4) .
2
2
 y  z  25
2 x 2  3 y 2  z 2  47
b) 
tại điểm B (2;1;6) .

2
2
 x  2 y  z

CHƯƠNG 2
Tích phân bội
Tích phân kép
1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau
1

1 x 2

a)  dx



1

1

b)  dy

f ( x, y )dy

 1 x

1 1 y 2



f ( x, y )dx

1 y 2

d)  dy



0

sin y

2

e)

f ( x, y )dx

2. Tính các tích phân sau
a)  x sin( x  y )dxdy với

y



0

= {( , ) ∈

≤

f ( x, y )dx

0

2

:0 ≤

2 x x

f ( x, y )dy
2

4 y 2

2

 dy  f ( x, y)dx   dy 
0

c)  dx
0


2

2x

2 y

0

2

2

; 0≤

≤ }.

D

b)

 x

2

( y  x)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường cong x  y 2 và y  x 2 .

D

c)

 | x  y | dxdy

với

= {( , ) ∈

: | | ≤ 1 ; | | ≤ 1}.

D

d)



| y  x 2 |dxdy , với

= {( , ) ∈

:| | ≤ 1 ;0 ≤

D

2

≤ 2}.


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
e)

 | y  x

2 3

| dxdy , với

= {( , ) ∈

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016
:| | ≤ 1 ;0 ≤

≤ 2}.

D

f)

 2 xydxdy

với D giới hạn bởi các đường x  y 2 ; x  1; y  0 và y  1 .

D

 | x |  | y | dxdy .

g)

| x|| y| 1

h)

 ( x  y )dxdy

với D giới hạn bởi các đường x 2  y 2  1; x  y  1.

D

3. Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của

 f ( x, y)dxdy

trong đó D là miền xác

D

định như sau:
a)
≤
+
≤
b)
+
≥4 ,

, ( , > 0).
+
≤8 , ≥ ,

≤2 .

c) + ≤ 1, ≥ 0, ( , > 0).
4. Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực, hãy tính các tích phân sau
R

R2  x2

a)  dx



0

ln(1  x 2  y 2 ) dy , ( R  0) .

0

R

Rx  x 2

b)  dx



0

c)

Rx  x 2  y 2 dy , ( R  0) .

 Rx  x 2

 xydxdy , với
D

2
2
1) D là mặt tròn ( x  2)  y  1
2
2
2) D là nửa mặt tròn ( x  2)  y  1 , y  0 .
2
2
d)  xydxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường tròn x  ( y  1)  1 và
D

2

x  y2  4y  0 .
5. Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v :
1

x

u  x  y
a)  dx  f ( x, y )dy , nếu đặt 

v  x  y
b) Áp dụng tính với f ( x, y )  (2  x  y ) 2 .
0

x

6. Tính các tích phân sau
4 y  x 2  y 2  8 y

dxdy
a)  2
, trong đó D : 
(x  y 2 )2
 x  y  3 x
D

b)


D

1 x2  y2
dxdy , trong đó D : x 2  y 2  1 .
1 x2  y2

 x 2  y 2  12
 2
2
xy
x  y  2x
c)  2 2 dxdy , trong đó D :  2 2
x y
D
x  y  2 3 y
 x  0, y  0

3

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

x2 y2

1
4
9
D
1  xy  4
e)  (4 x 2  2 y 2 )dxdy , trong đó D : 
x  y  4 x
D

d)

2
2
 | 9 x  4 y | dxdy , trong đó D :

Tích phân bội 3
Tính các tích phân bội ba sau

 zdxdydz ,

1.

trong đó miền V được xác định bởi: 0  x 

V

1
, x  y  2x ,
4

0  z  1  x2  y 2 .

2.

 ( x

2

 y 2 )dxdydz , trong đó V xác định bởi: x 2  y 2  z 2  1 , x 2  y 2  z 2  0 .

2

 y 2 ) zdxdydz , trong đó V xác định bởi: x 2  y 2  1 , 1  z  2 .

V

3.

 ( x
V

4.

x 2  y 2 dxdydz , trong đó

 z
V

a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x 2  y 2  2 x và các mặt phẳng: y  0 ,
z  0 , z  a , (a  0) .
b) V là nửa của hình cầu x 2  y 2  z 2  a 2 , z  0 , (a  0) .
c) V là nửa của khối elipxôit
5.

 ydxdydz , trong đó V

x2  y 2
a2



z2
b2

 1 , z  0 , (a, b  0) .

là miền giới hạn bởi mặt nón: y  x 2  z 2 và mặt phẳng

V

y  h , (h  0) .

 

6.

x2
a2



y2
b2



z2
c2

 dxdydz , trong đó V

là miền giới hạn bởi

V

x2
a2



y2
b2



(a, b, c  0) .

7.

 ( x

2

 y 2  z 2 )dxdydz , trong đó V : 1  x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  z 2 .

V

8.



x 2  y 2 dxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi x 2  y 2  z 2 , z  1.

V

9.

 ( x
D

10.



2

dxdydz
x 2  y 2  1 , | z | 1.
2
2 2 , trong đó V :
 y  ( z  2) )

x 2  y 2  z 2 dxdydz , trong đó V là miền xác định bởi x 2  y 2  z 2  z .

V
4

z2
c2

 1,


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

Ứng dụng của tích phân bội
1. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y  2 x , y  2 x , y  4 .
2. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
y2  x , y 2  2 x , x2  y , x2  2 y .
3. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi
y  0 , y 2  4ax , x  y  3a , y  0 , (a  0) .
2

2
4. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi 2 x  x  y  4 x , 0  y  x .
2
cos  .
5. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường tròn r  1 ; r 
3
6. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
a) ( x 2  y 2 )2  2a 2 xy , (a  0) .
b) x3  y 3  axy , (a  0) .
c) r  a (1  cos  ) , (a  0) .

7. Chứng minh rằng diện tích miền D xác định bởi x 2  ( x  y )2  1 không đổi
   .
8. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt
3x  y  1 , 3x  2 y  2 , y  0 , 0  z  1  x  y .
9. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z  4  x 2  y 2 , 2 z  2  x 2  y 2 .
10. Tính thể tích của miền giới hạn bởi 0  z  1  x 2  y 2 , y  x , y  3 x .
11. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi mặt cầu x 2  y 2  z 2  4a 2 và nằm trong mặt
trụ x 2  y 2  2ay  0 , (a  0) .
12. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z  0 , z 

x2
a2



y2
b2

,

x2
a2



y2
b2



2x
,
a

(a, b  0) .

13. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt az  x 2  y 2 , z  x 2  y 2 , (a  0) .

5


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

CHƯƠNG 3
Tích phân phụ thuộc tham số
1

yf ( x)

1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I ( y )  

x2  y2
0

dx với f ( x) là hàm số dương,

liên tục trên đoạn [0,1] .
2. Tính các tích phân sau
1



a)  x

 ln x 

n

 /2

dx , n là số nguyên dương.

b)



0

ln(1  y sin 2 x)dx , với y  1 .

0

1 y

3. Tìm lim



y 0

y

dx
1  x2  y 2

.
1

4. Xét tính liên tục của hàm số I ( y )  

y 2  x2

( x 2  y 2 )2
0

dx .


5. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số I ( y ) 

arctan( x  y )
dx là một hàm
2
1

x




số liên tục, khả vi đối với biến y . Tính I '( y ) rồi suy ra biểu thức của I ( y ) .
6. Tính các tích phân sau
1 b

  x

x  xa
a) 
dx , (0  a  b) .
ln x
0
  x 2

c)



e

x

0


e)



 e  x

e ax

0

2

b)



e

0

2

 e  x

dx , (  0,   0) .
x



dx , (  0,   0) .

d)


0


sin(bx)  sin(cx)
dx , (a, b, c  0) .
x

f)



dx
2

( x  y)

n 1

.

2

e  x cos( yx)dx .

0

 /2

7. Biểu thị



sin m x cos n xdx qua hàm B(m, n) , (m, n  ; m, n  1) .

0

8. Tính các tích phân sau
 /2

a)


0


c)


0


f)

a
6

4

sin x cos xdx .
10  x 2

x e

b)  x 2n a 2  x 2 dx , (a  0) , (Gợi ý đặt x  a t )
0


dx .

d)

x

 (1  x 2 )



dx .
2

e)

0

x n 1

 (1  x n )

 1  x3 dx .

0
1

dx , 2  n   .
2

g)

0

1

*

 n 1  xn dx , (n   , n  1) .
0

6

1

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

CHƯƠNG 4
Tích phân đường
Tích phân đường loại 1
Tính các tích phân sau:
1.  ( x  y )ds , C là đường tròn x 2  y 2  2 x .
C

2.

 x  a (t  sin t )
2
y
ds
C
(0  t  2 , a  0) .
,
là
đường
có
phương
trình


y  a (1  cos t )


C

3.

 x  a(cos t  t sin t )
x 2  y 2 ds , C là đường cong 
(0  t  2 , a  0) .
y

a
(sin
t

t
cos
t
)



C

Tính phân đường loại 2
Tính các tích phân sau:
1.  ( x 2  2 xy )dx  (2 xy  y 2 )dy , trong đó AB là cung parabol y  x 2 từ A(1;1) đến
AB

B(2;4) .
 x  a (t  sin t )

(2
x

y
)
dx

xdy
,
trong
đó
là
đường
cong
theo chiều tăng của ,
C


y  a (1  cos t )

C
(0  t  2 , a  0) .

2.

3.



2( x 2  y 2 )dx  x(4 y  3)dy , trong đó ABCA là đường gấp khúc đi qua A(0;0) ,

ABCA

B(1;1) , C (0;2) .
dx  dy
4.
 | x |  | y | , trong đó ABCDA là đường gấp khúc đi qua A(1;0) , B(0;1) ,
ABCDA

C (1;0) , D(0; 1) .
4 x2

 x  t sin t
 y 2 dx
 dy , trong đó C là đường cong 
5. 
theo chiều tăng của
2
y

t
cos
t

C
0 ≤ ≤ /4.
6. Tính tích phân sau
 ( xy  x  y)dx  ( xy  x  y)dy
C

bằng hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là
đường:
a) x 2  y 2  R 2 .
b) x 2  y 2  2 x .
7


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
c)

x2
a2



b2



7.
8.

y2

x2  y 2  2 x
x



Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

 1 , (a, b  0) .
x
y


x 2  y   dy  y 2  x   dx .
4
4



e [(1  cos y )dx  ( y  sin y )dy ] , trong đó OABO là đường gấp khúc qua

OABO

O (0;0) , A(1;1) , B (0;2) .



9.

( xy  e x sin x  x  y )dx  ( xy  e y  x  sin y )dy .

x2  y 2  2 x

10.

4
2

 ( xy  x  y cos( xy))dx  (
C

x3
 xy 2  x  x cos( xy ))dy , trong đó C là đường
3

 x  a cos t
(a  0) .
cong 
 y  a sin t
11. Dùng tích phân đường loại 2 tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp xycloit:
x  a (t  sin t ) ; y  a (1  cos t ) và trục Ox, (a  0) .
(3;0)

12.

( x 4  4 xy 3 )dx  (6 x 2 y 2  5 y 4 )dy .


( 2;1)
(2;2 )

13.


(1; )

(1 

y2

y
y y
y
cos
)
dx

(sin

cos
)dy .
x
x x
x
x2

14. Tìm hằng số  để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định
(1  y 2 )dx  (1  x 2 )dy
.


(1

xy
)
AB
15. Tìm các hằng số a, b để biểu thức

( y 2  axy  y sin( xy ))dx  ( x 2  bxy  x sin( xy ))dy
là vi phân toàn phần của một hàm số u ( x, y ) nào đó. Hãy tìm hàm số u ( x, y ) đó.
16. Tìm hàm số h( x) để tích phân

 h( x)[(1  xy)dx  ( xy  x

2

)dy ]

AB

không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định. Với h( x) vừa tìm được, hãy tính
tích phân trên từ A(1;1) đến B (2;3) .
17. Tìm hàm số h( y ) để tích phân

 h( y)[ y(2 x  y

3

)dx  x(2 x  y 3 )dy ]

AB

8


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định. Với h( y ) vừa tìm được, hãy tính
tích phân trên từ A(0;1) đến B (3;2) .
18. Tìm hàm số h( xy ) để tích phân

 h( xy)[( y  x

3 2

y )dx  ( x  x 2 y 3 )dy ]

AB

không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định. Với h( xy ) vừa tìm được, hãy tính
tích phân trên từ A(1;1) đến B (2;3) .

CHƯƠNG 5
Tích phân mặt
Tính các tích phân mặt loại 1 sau đây
1.

 ( z  2 x 
S

2.

 ( x

2

x y z
4y
)dS , trong đó S  {( x, y, z ) :    1, x  0, y  0, z  0} .
3
2 3 4

 y 2 )dS , trong đó S  {( x, y, z ) : z  x 2  y 2 ,0  z  1} .

S

Tính các tích phân mặt loại 2 sau đây
3.

 z( x

2

 y 2 )dxdy , trong đó S là nửa mặt cầu: x 2  y 2  z 2  1 , z  0 , hướng của S

S

là phía ngoài mặt cầu.
y2
 z 2  1,
4.  ydzdx  z dxdy , trong đó S là phía ngoài của mặt elipxoit: x 
4
2

2

S

x  0, y  0, z  0.

5.

 x

y zdxdy , trong đó S là mặt trên của nửa mặt cầu: x 2  y 2  z 2  R 2 , z  0 .

2 2

S

6.

 xdydz  ydzdx  zdxdy , trong đó S là phía ngoài của mặt cầu: x

2

 y2  z2  a2 .

S

7.

3

3

3

 x dydz  y dzdx  z dxdy ,

trong đó

S

là phía ngoài của mặt cầu:

S

2

x  y 2  z 2  R2 .
8.

 y

2

zdxdy  xzdydz  x 2 ydzdx , trong đó S là phía ngoài của miền: x  0 , y  0 ,

S

x2  y 2  1 , 0  z  x2  y 2 .
9.

 xdydz  ydzdx  zdxdy , trong đó

2
2
2
S là phía ngoài của miền: ( z  1)  x  y ,

S

a  z  1.
9


Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2016

10. Gọi S là phần mặt cầu x 2  y 2  z 2  1 nằm trong mặt trụ x 2  x  z 2  0 , y  0 ,
hướng của S là phía ngoài của mặt cầu. Chứng minh rằng:
 ( x  y)dxdy  ( y  z)dydz  ( z  x)dzdx  0 .
S

CHƯƠNG 6
Lý thuyết trường


1. Tính đạo hàm theo hướng l của hàm u  x3  2 y 3  3z 3 tại điểm A(2;0;1) với
 
l  AB , B(1;2; 1) .

2. Tính môđun của grad u , với

u  x3  y 3  z 3  3xyz



tại A(2;1;1) . Khi nào thì grad u vuông góc với Oz , khi nào thì grad u  0 ?

3. Tính grad u , với
1
u  r 2   ln r , r  x 2  y 2  z 2 .
r
4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u  x sin z  y cos z từ gốc O (0;0;0) là
lớn nhất?

5. Tính góc giữa hai vectơ grad z của các hàm số z  x 2  y 2 và z  x  3 y  3xy
tại (3;4) .
6. Trong các trường sau đây, trường nào là trường thế:

 

a) a  5( x 2  4 xy )i  (3x 2  2 y ) j  k .




b) a  yzi  xzj  xyk .




c) a  ( x  y )i  ( x  z ) j  ( z  y ) k .






7. Cho F  xz 2i  yx 2 j  zy 2k . Tính thông lượng của F qua mặt cầu S :

x 2  y 2  z 2  1 , hướng ra ngoài.




8. Cho F  x( y  z )i  y ( z  x ) j  z ( x  y ) k ,

L là giao tuyến của mặt trụ

x 2  y 2  y  0 và nửa mặt cầu x 2  y 2  z 2  2 , z  0 . Chứng minh rằng lưu số của

F dọc theo L bằng 0.

10