Bài giảng giải tích hàm nâng cao của trần văn sự

Ph n IV. Không Gian Hilbert và Ph c a toán tầ ổ ủ ử
Chapter 3.
HILBERT SPACE
Gi i thi u: Không gian Hilebert là d ng t ng quát hoá các khái ni m, tínhớ ệ ạ ổ ệ
ch t c a không gian Euclide h u h n chi u sang các không gian vô h nấ ủ ữ ạ ề ạ
chi u. Không gian Hilbert có các khái ni m tr c giao, góc gi a cácề ệ ự ữ
vect là m t nét khá m i m so v i không gian đ nh chu n. Nh v yơ ộ ớ ẽ ớ ị ẩ ờ ậ
các đ i t ng c a gi i tích nh dãy s , hàm s có th mô t nh nh ngố ượ ủ ả ư ố ố ể ả ư ữ
y u t hình h c. Do đó có th s d ng tr c quan hình h c khi nghiên c uế ố ọ ể ử ụ ự ọ ứ
các đ i t ng v a đ c đ c mô t . ố ượ ừ ượ ượ ả
Không gian Hilbert là m t tr ng h p riêng c a không gian Banach,ộ ườ ợ ủ
là m t d ng không gian h u ích th c s , d thao tác trong các ng d ngộ ạ ữ ự ự ễ ứ ụ
c a gi i tích hàm phi tuy n vào v t lý l ng t nói riêng, khoa h c kủ ả ế ậ ượ ử ọ ỹ
thu t nói chung. ậ
Không gian Hilbert đ c đ t tên c a nhà toán h c ng i đ c tên làượ ặ ủ ọ ườ ứ
David Hilbert (1862-1943) ng i đã nghiên c u các đ i t ng này khiườ ứ ố ượ
kh o sát ph ng trình tích phân. Bài t p xemả ươ ậ
()
§1 Khái ni m không gian Hilbertệ
1.1 Tích vô h ng.ướ
Cho H là không gian vect trên tr ng ơ ườ
( , ).K R C

Tích vô h ng xác đ nh trong H là m t ánh x :ướ ị ộ ạ
.,. :
( , ) ,
H H K
x y x y
< >    
< >a
tho mãn các đi u ki n sau đâyả ề ệ

i.
, , , , .x y y x x y H< >=< > ∀ 
ii.
, , , , , , .x y z x z y z x y z H< + > = < > + < > ∀ 
iii.
, , , , , .x y x y x y H K
λ λ λ
< >= < > ∀ ��
iv.
, 0, , , 0 0.x x x H x x x< > ∀ < >= =� � �
S ố
,x y< >
g i là tích vô h ng c a hai véct x và y.ọ ướ ủ ơ
C p ặ
( , .,. )H < >
đ c g i là không gian ti n Hilbert hay không gian Unita. ượ ọ ề
Th ng chúng ta ký hi u không gian Hilbert H thay cho c p ườ ệ ặ
( , .,. )H < >
.
T đ nh nghĩa tích vô h ng trên ta d dàng suy raừ ị ướ ễ
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
, , ,
, , ,
x y x y
x y z x y x z
λ λ
< >= < >
< + >=< > + < >
v i m i ớ ọ

, , , .x y z H K
λ
� �
T đó suy ra tích vô h ng ừ ướ
.,.< >
là m t d ng song tuy n tính xác đ nhộ ạ ế ị
d ng trên H.ươ
Các ví d :ụ
1. Ký hi u X=ệ
1
l
là t p t t c các dãy s th c ho c ph c ậ ấ ả ố ự ặ ứ
( )
n n
x x=

tho mãnả
1
| | .
n
n
x

=
< +

V i m i ớ ọ
( ) , ( )
n n n n
x x y y= =

đ nh nghĩaị
1
, .
n n
n
x y x y

=
< >=


Khi đó
.,.< >
là m t tích vô h ng xác đ nh trên X. ộ ướ ị
2. Ký hi u ệ
[ , ]a b
C
là t p các hàm liên t c trên đo n [a, b]. ậ ụ ạ
V i m i ớ ọ
[ , ]
,
a b
f g C
đ nh nghĩa ị
, ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx< >=

.

Khi đó
.,.< >
là m t tích vô h ng xác đ nh trên ộ ướ ị
[ , ]a b
C
.
3. Cho
( , , )X
µ
A
là m t không gian đ đo và ộ ộ
E  .A
. Xét không gian
2 2
( , ) { : : | | }.
E
L E f E f d
µ µ
=    < +

R
V i m i ớ ọ
2
, ( , ),f g L E
µ

đ nh nghĩaị
, .
E
f g fg d

µ
< > =

Khi đó
.,.< >
là m t tích vô h ng xác đ nh trên ộ ướ ị
2
( , ).L E
µ
Theorem 1.1.1 Trong không gian ti n Hinbert H, v i m i ề ớ ọ
,x y H
ta luôn có
2
| , | , , .x y x x y y< >  < >< >
(1.1)
D u = x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ
: .t K y tx∃ =�
(1.1) g i là b t đ ng th c Schwarz.ọ ấ ẳ ứ
Theorem 1.1.2. N u H là không gian ti n Hilbert thìế ề
|| || , ,x x x x H= < > ∀ 
(1.2)
xác đ nh m t chu n trên H.ị ộ ẩ
Nh v y không gian ti n Hinbert H chính là m t không gian đ nh chu nư ậ ề ộ ị ẩ
v i chu n c m sinh t tích vô h ng b i công th c (1.2). T đây các k tớ ẩ ả ừ ướ ở ứ ừ ế
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
230
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
qu đ c thi t l p t không gian đ nh chu n có th áp d ng đ c choả ượ ế ậ ừ ị ẩ ể ụ ượ
không gian ti n Hilbert. ề

1.2 Không gian Hilbert
M t không gian ti n Hilbert xem nh không gian đ nh chu n có thộ ề ư ị ẩ ể
đ y đ ho c không đ y đ . N u H là không gian ti n Hilbert và đ y đầ ủ ặ ầ ủ ế ề ầ ủ
đ i v i chu n c m sinh t tích vô h ng b i công th c (1.2) g i là khôngố ớ ẩ ả ừ ướ ở ứ ọ
gian Hilbert.
Ví d : Xét l i các ví d 1,2,3 m c 1.1. Ta có X, ụ ạ ụ ụ
[ , ]a b
C
không ph i làả
không gian Hilbert v i các chu n t ng ng là ớ ẩ ươ ứ
Trong X chu n ẩ
2
1
|| || | | , ( ) .
n n
n
x x x x X

=
= ∀ = 

Trong
[ , ]a b
C
chu n ẩ
1
2
2
[ , ]
|| || | ( ) | , .

b
a b
a
f f x dx f C
� �
= ∀ 
� �
� �

Riêng
2
( , )L E
µ
là không gian Banach v i chu nớ ẩ
1
2
2 2
|| || | | , ( , ).
E
f f d f L E
µ µ
� �
= ∀ 
� �
� �

Nh v y không gian ư ậ
2
( , )L E
µ

là m t không gian Hilbert th c. ộ ự
Các tính ch t c b nấ ơ ả
Theorem 1.3.1 Cho H là không gian ti n Hilbert, ề
( ), ( )
n n
x y
là hai dãy h i tộ ụ
trong H. Khi đó
, , .
n n n n
lim x lim y lim x y< > = < >
Nói cách khác tích vô h ng ướ
.,.< >
là hàm s liên t c trên ố ụ
.H H

Trong hình bình hành ta luôn có t ng các bình ph ng đ dài 4 c nh b ngổ ươ ộ ạ ằ
t ng các bình ph ng đ dài hai đ ng chéo c a hình bình hành. M r ngổ ươ ộ ườ ủ ở ộ
k t qu này ta đ c m t k t qu t t h n sauế ả ượ ộ ế ả ố ơ
Theorem 1.3.2 Cho H là không gian ti n Hinbert. Khi đóề
2 2 2 2
, , || || || || 2(|| || || || ).x y H x y x y x y∀ + + − = +�
(1.3)
(1.3) g i là đ ng th c hình bình hành.ọ ẳ ứ
Corollarry 1.3.3 Cho H là không gian ti n Hinbert và ề
, , .x y z H
Ta có đ ngẳ
th c Apollonius: ứ
2 2 2 2
1

|| || || || 2 || || || || .
2 2
y z
x y x z x y z
+
− + − = − + −
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
231
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Theorem 1.3.4 V i m i không gian ti n Hilbert H đ u t n t i m t khôngớ ọ ề ề ồ ạ ộ
gian Hinbert H’ ch a H sao cho H là không gian con trù m t trong H’.ứ ậ
Ch ng minh: Dùng phép b sung đ y đ c a m t không gian đ nh chu nứ ổ ầ ủ ủ ộ ị ẩ
ta đ c m t không gian Banach H’ ch a H sao cho H là không gian đ nhượ ộ ứ ị
chu n trù m t trong H’. V i m i ẩ ậ ớ ọ
, 'x y H
s t n t i các dãy ẽ ồ ạ
( ), ( )
n n
x y H

sao cho
,
n n
n n
x x y y
   
       
trong H’.
Áp d ng đ ng th c hình bình hành ta cóụ ẳ ứ

2 2 2 2
|| || || || 2(|| || || || ).
n n n n n n
x y x y x y+ + − = +
Cho
n  
ta đ c ượ
2 2 2 2
|| || || || 2(|| || || || ).x y x y x y+ + − = +
T đó suy ra t n t i m t tích vô h ng trong H’ c m sinh ra chu n c a Hừ ồ ạ ộ ướ ả ẩ ủ
và ta có

lim , , .
n n H H
x y x y< > =< >
Theorem 1.3.5. Cho S là t p l i đóng khác r ng trong không gian Hilbert Hậ ồ ỗ
thì v i m i ớ ọ
x H
t n t i duy nh t m t ph n t ồ ạ ấ ộ ầ ử
s S
sao cho
|| || ( , ) {|| ||: }.x s d x S inf x u u S− = = − 
(1.4)
Đi m ể
s S
xác đ nh b i công th c (1.4) g i là đi m chi u c a x lên S. Kýị ở ứ ọ ể ế ủ
hi u ệ
( )
S
proj x

là t p các đi m chi u c a x lên S v i S là t p khác r ng tuỳậ ể ế ủ ớ ậ ỗ
ý.
N u ế
( )
S
proj x
ch ch a duy nh t 1 ph n t thì ta nói ỉ ứ ấ ầ ử
( )
S
proj x
là t p đ n t . ậ ơ ử
Theo đ nh lý 1.3.5 n u S là t p l i đóng khác r ng trong H thì v i m iị ế ậ ồ ỗ ớ ọ
s S

, ta có
( )
S
proj x
là t p đ n t .ậ ơ ử
M t đi m có th có m t đi m chi u, nhi u đi m chi u và cũng có khiộ ể ể ộ ể ế ề ể ế
không có đi m chi u nào. T p không có đi m chi u nào thì ể ế ậ ể ế
( ) .
S
proj x
φ
=

Quan sát hình sau

1

s

8
s

S


4
s

5
s

2
s

6
s


3
s

1
C


9
s

7
s

9
C

7
C
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
232
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Hình H1.
ng d ng c a đ nh nghĩa phép chi u m t vect lên m t t p h p đóngỨ ụ ủ ị ế ộ ơ ộ ậ ợ
trong không gian Hilbert dùng đ đ nh nghĩa các khái ni m nón pháp tuy nể ị ệ ế
x p x , d i Gradient x p x . ấ ỉ ướ ấ ỉ
Bài t p:ậ
Bài 1. Trong
2
l
v i ớ
( ), ( )
n n
x x y y= =
ta đ nh nghĩaị
1
, .
n n
n

x y x y

=
< >=

Ch ng minh ứ
2
( , .,. )l < >
là không gian Hilbert th c.ự
Bài 2. Cho không gian ti n Hilbert H, ề
, , , .x y u v H
Ch ng minhứ
|| |||| || || |||| || || |||| || .x u y v x y u v y u x v− −  − − + − −

D u = x y ra khi nào?ấ ả
Bài 3. G i ọ
1 7 9
, ,x x x
l n l t là tâm các đ ng tròn ầ ượ ườ
1
C
,
7
C
,
9
C
t ng ngươ ứ
hình (H1). Hãy xác đ nh ị
( ), 1, 7, 9.

S k
proj x k k k= = =
Bài 4. Cho S là m t t p đóng trong không gian Hinbert th c H v iộ ậ ự ớ
dim .H < +
Ch ng minh r ng ứ ằ
, ( ) .
S
x H proj x
φ
∀ ι
Bài 5. Cho H là không gian Hilbert th c, ự
, , .S H x H s S� � �
Ch ng minh 4ứ
đi u ki n sau t ng đ ngề ệ ươ ươ
i.
Pr ( ),
S
s oj x
ii.
2
1
, ' || ' || ' ,
2
x s s s s s s S< − − > − ∀ 
iii.
Pr ( ( ) ), [0,1],
S
s oj s t x s t+ − ∀� �
iv.
( ( ), ) || ||, [0,1].d s t x s S t x s t+ − = − ∀ 

Bài 6. Cho S là t p con khác r ng trong không gian Hilbert H. Ch ng minhậ ỗ ứ
r ngằ

( , ) 0.x S d x S =� �
Bài 7. Cho H là không gian hilbert, T là toán t tuy n tính t H vào H thoử ế ừ ả
mãn
, , , .Tx y x Ty x y H< >=< > ∀ 

Ch ng minh T liên t c.ứ ụ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
233
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 8. Cho H là không gian Hilbert, T là toán t tuy n tính t H vào H.ử ế ừ
Ch ng minh r ng n u v i m i ứ ằ ế ớ ỗ
,u H
phi m hàm ế

,x Tx u x H< > ∀ a

đ u liên t c thì T liên t c.ề ụ ụ
§2. Khái ni m tr c giao-chu i Fourierệ ự ổ
2.1 Khái ni m tr c giao. H tr c giaoệ ự ệ ự
2.1.1 Define Cho không gian ti n Hilbert H, ề
, , , , .x y H S M N H� �
Ta nói
1. x tr c giao v i y (vi t ự ớ ế
x y⊥
) n u ế
, 0x y< >=

.
2. x tr c v i S (vi t ự ớ ế
x S⊥
) n u ế
, .x s s S⊥ ∀ 
3. M tr c giao v i N (vi t ự ớ ế
M N⊥
) n u ế
, , .m n m M n N⊥ ∀ ∀� �
4. S là h tr c giao n u ệ ự ế
, , .x y S x y x y∀ι ⊥�
5. H tr c giao S là m t h tr c chu n n u ệ ự ộ ệ ự ẩ ế
|| || 1.x S x∀ =��
Nh v y ư ậ
{ : 1,2,3, }
n
S x n= =
là m t h tr c chu n n uộ ệ ự ẩ ế
1,
, .
0,
n m
i f m n
x x
if m n
=

< > =




Ký hi u ệ
{ : }.M x H x M
⊥
= ⊥�
2.1.2 Properties
1.
, .x S x S x S⊥ ⊥< > ⊥�
2.
.S S
⊥ ⊥
=
3.
( , , 1, , )
i j
x x i j i j m∀ ⊥ ∀  = 
2 2 2 2
1 2 1 2
|| || || || || || || || .
m m
x x x x x x+ + + = + + +
(1.5)
(1.5) g i là đ ng th c Pythagoras. ọ ẳ ứ
Theorem 2.1.3 Cho
{ : 1,2, }
n
x n =
là m t h tr c giao đ m đ c trongộ ệ ự ế ượ
không gian Hilbert H. Khi đó
1

n
n
x

=

h i t ộ ụ
2
1
|| ||
n
n
x

=


h i t .ộ ụ
H n n a ta có ơ ử
2 2
1 1
|| || || || .
n n
n n
x x
 
= =
=
� �

Theorem 2.1.4 Cho h tr c chu n ệ ự ẩ
{ : 1,2, }
n
x n =
trong không gían Hilbert
H và
( ) .
n
K
λ

Khi đó
2
1 1
| |
n n n
n n
x x
λ λ
 
= =
= 
� �
h i t và ộ ụ
2 2
1
|| || | | .
n
n
x

λ

=
=

Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
234
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Ch ng minh: Áp d ng cho h tr c giao ứ ụ ệ ự
{ : 1,2, }
n n
x n
λ
=
.
Theorem 2.1.5 Gi s ả ử
{ : 1,2, }
n
x n =
là m t dãy vect đ c l p tuy n tínhộ ơ ộ ậ ế
trong không gian hilbert H. Khi đó t n t i các s ồ ạ ố
( 1)
i
n
a n i> 
sao cho các
vect ơ
1
1

i
n
n n i n
i
y a x x
−
=
= +

là tr c giao và tho mãn ự ả

1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
x x x y y y< >  < >
.
Ch ng minh: V i ứ ớ
1 1
1 .n y x= =�
Gi s đã tìm đ c các vectả ử ượ ơ
, 1,2, , 1
j
y j n= −
(n>1), ta s tìm vect d i d ngẽ ơ ướ ạ
1
1
i
n
n n i n
i

y x x
λ
−
=
= +

.
Đ có ể
( 1,2, , 1)
n j
y y j n⊥ = −
ta ph i cóả
2
0 , || || , , 1,2, , 1,
j
n j n j n j
y y y x y j n
λ
=< >= + < > = −
hay tìm đ c các s ượ ố
2
,
.
|| ||
j
n j
n
j
x y
y

λ
< >
= −
V i cách tìm trên thìớ
( 1,2, , 1)
n j
y y j n⊥ = −
. Theo gi thi t quy n p ả ế ạ
1 2 1 1 2 1
( , , , ) ( , , , )
n n
x x x y y y
− −
< >  < >
do đó t n t i các s ồ ạ ố
j
n
a
đ ể
1
1
i
n
n n i n
i
y a x x
−
=
= +


.
Cu i cùng rõ ràng là ố
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
x x x y y y< >  < >
.
2.2 Phép chi u tr c giaoế ự
Cho M, N là các không gian con c a không gian ti n Hilbert H và ủ ề
M N⊥
, khi đó
{ 0 }.M N =�
T p ậ
M
⊥
g i là ph n bù tr c giao c a M. H nọ ầ ự ủ ơ
n a ử
M
⊥
là m t không gian con đóng c a H. ộ ủ
Theorem 2.2.1 Gi s M là m t không gian con đóng c a không gianả ử ộ ủ
Hilbert H. Khi đó m i ph n t ỗ ầ ử
x H
đ u t n t i duy nh t m t c pề ồ ạ ấ ộ ặ
( , )y z M M
⊥
δ
sao cho
.x y z
= +

H n n a ơ ử
y M
là vect tho đi u ki n ơ ả ề ệ
|| || || || ( , ) || || .
u M
x y z d x M inf x u

− = = = −
Ch ng minh:ứ
S t n t i: Đ t ự ồ ạ ặ
( , ).d d x M=
Theo đ nh nghĩa infimium t n t i dãyị ồ ạ
( )
n
y M
sao cho
lim || || .
n
x y d− =
Ta ch ng minh dãy ứ
( ) .
n
n
y y M
 
    
Vì M là không gian con đóng c aủ
không gian Hilbert H nên M là không gian Hilbert, vì v y ta đi ki m tra ậ ể
( )
n

y

là dãy c b n trong M. ơ ả
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
235
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Áp d ng đ ng th c Apollonius cho 3 vect ụ ẳ ứ ơ
, , ( , ).
n m
x y y m n R
Ta có
( )
2
2 2 2
4 || || 2 || || || ||
2
n m
n m n m
y y
x y y y x y x
+
− + − = − + −
Do M là không gian con nên
2
m n
y y
M
+


và
2
2
.
2
m n
y y
x d
+
− 
V y ậ
( )
2 2 2 2
0 || || 2 || || || || 4 0.
n
m n n m
y y y x y x d
 
 −  − + − −    
Do M đ y đ nên t n t i ầ ủ ồ ạ
y M
sao cho
lim .
n
y y=
Ta k t lu n ế ậ
|| || lim || || .
n
d x y x y= − = −
Ti p theo đ t ế ặ

z x y= −
thì
.x y z= +
Ta có
.z M
⊥

Tính duy nh t. Gi s có thêm c p ấ ả ử ặ
( ', ')y z M M
⊥
δ
sao cho

' '.x y z y z= + = +
Khi đó

' ' {0}.y y z z M M
⊥
− = − =��

Nên
', '.y y z z= =
Theorem 2.1.2 Gi s không gian Hilbert H có c s tr c chu nả ử ơ ở ự ẩ
1
{ , , }
n
E e e=
và
.M E
=< >

Khi đó m i vect ỗ ơ
x H

có hình chi u tr c giaoế ự
y lên không gian con
M
đ c bi u di n nh sauượ ể ễ ư
1
, .
n
i i
i
y x e e
=
= < >

Ch ng minh: Ta có E là c s c a M nên M là không gian h u h n chi uứ ơ ở ủ ữ ạ ề
nên M đóng trong H. Áp d ng đ nh lý hình chi u tr c giao ta có ụ ị ế ự
, , .x y z y M z M
⊥
= + ��
Ta có
1
.
n
i i
i
y a e
=
=


Suy ra
1
, , , 1,2, , .
n
j i i j j
i
x e a e e a j n
=
< >=< > = =

Thay vào có đ c đi u c n ch ng minh.ượ ề ầ ứ
2.3 Chu i Fourier trong không gian Hilbertỗ
Gi s ả ử
{ | }
n
E e n N= 
là c s tr c chu n trong không gian Hilbert. Ta cóơ ở ự ẩ
Define 2.3.1. Cho
,x H
chu i hình th c ổ ứ
1
,
n n
n
x e e

=
< >


g i là chu i Fourierọ ổ
c a vect x đ i v i h tr c chu n E, các s ủ ơ ố ớ ệ ự ẩ ố
,
n
x e< >
g i là h s Fourierọ ệ ố
th n c a x đ i v i h E.ứ ủ ố ớ ệ
Theorem 2.3.1.
2 2
1 1
, , , | , | || || .
n n n
n n
x H x e e x e x
 
= =
∀ < > < >� �
� �
]
(1.2)
B t đ ng th c (1.2) g i là b t đ ng th c Bessel.ấ ẳ ứ ọ ấ ẳ ứ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
236
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
2.4 C s tr c chu nơ ở ự ẩ
Define 2.4.1. Gi s ả ử
1 2
{ , , }E e e=
là m t h tr c chu n đ m đ c c aộ ệ ự ẩ ế ượ ủ

không gian Hilbert H. Ta g i E là m t c s tr c chu n hay m t h tr cọ ộ ơ ở ự ẩ ộ ệ ự
chu n đ y đ trong H n u ẩ ầ ủ ế
.E H=
Theorem 2.4.2. Gi s ả ử
{ : 1}
n
e n 
là m t h tr c chu n trong không gianộ ệ ự ẩ
Hilbert H. Khi đó 4 m nh đ sau t ng đ ngệ ề ươ ươ
a.
{ : 1}
n
e n 
là m t c s tr c chu n.ộ ơ ở ự ẩ
b.
1
, , .
n n
n
x H x x e e

=
∀ = < >�

c.
1
, , , , , .
n n
n
x y H x y x e y e


=
∀ < >= < > < >�

d.
2 2
1
, || || | , | .
n
n
x H x x e

=
∀ = < >�

Ch ng minh:ứ
:a b

Ta có
1
, , .
n n
n
x H x e e

=
∀ < >�

]
Đ t ặ

1
, .
n n
n
y x x e e

=
= − < >


V i m i ớ ỗ
, , 0.
m
m N y e< >=�
Nh v y ư ậ
0.y M M H y y y
⊥
⊥ ⊥
= = ⊥ =� � �
V i ớ
{ : 1} .
n
M e n=<  >
:b c
1 1 1 1
1 1
, lim , , , lim , , ,
lim , , , , .
n n n m
i i j j i j i j

n n
i j i j
n
i i i i
n
i i
x y x e e x e e x e y e e e
x e y e x e y e
   
= = = =

 
= =
< >= < < > < > >= < > < > < >
= < > < > = < > < >
� � ��
� �
:c d
Thay
.y x=
:d a
Ta có
.H M M
⊥
= 
Ta ch c n ch ng minh ỉ ầ ứ
{0}.M
⊥
=
V i m i ớ ọ

z M M
⊥
⊥
=�
ta có
.z M
⊥
V y ậ
, 0, 1.
n n
z e z e n⊥ < >= ∀� �
Áp d ng d trên ta có ụ
2 2
1
|| || | , | 0 0.
n
n
z z e z

=
= < > = =�

V y ậ
.H M=
Ví d 2.4.3. V i m i ụ ớ ỗ
n

N
xét
{

(0,0, ,0, 1, 0 ,0, )
n
n
e =
.
Ta có
{ : 1}
n
e n 
là m t h tr c chu n trong không gian ộ ệ ự ẩ
2
.l
Th t v y, v i m i ậ ậ ớ ọ
2 2 2
( ) , , | , | | | .
n n n n n
x x l x e x x e x= < >= < > =� �

H n n a ơ ử
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
237
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
2 2 2
1 1
|| || | | | , | .
n n
n n
x x x e
 

= =
= = < >
� �
Theo đ nh lý 2.4.2 trên h ị ở ệ
{ : 1}
n
e n 
là m t c s tr c chu n trong khôngộ ơ ở ự ẩ
gian
2
l
v i tr ng s ph c. ớ ườ ố ứ
Theorem 2.4.3 (Riesz-Fischer). Cho H là không gian Hilbert và
{ : 1}
n
e n 
là
m t c s tr c chu n đ m đ c c a H. N u ộ ơ ở ự ẩ ế ượ ủ ế
( )
n
K
λ

sao cho
2
1
| |
n
n
λ


=
< +

thì s t n t i duy nh t m t vect ẽ ồ ạ ấ ộ ơ
x H

nh n cácậ
, ,( 1)
n n
x e n
λ
=< > 
làm h s Fourier.ệ ố
Ch ng minh: Do ứ
2
1
| |
n
n
λ

=
< +

nên
1
.
n n
n

e
λ

=

]
Đ t ặ
1
,
n n
n
x e H
λ

=
= 

khi đó v iớ
m i ỗ
k  N
ta có
1
, , .
k n n k k
n
x e e e
λ λ

=
< >=< >=


V y x nh n các ậ ậ
, ,( 1)
n n
x e n
λ
=< > 
làm h s Fourier.ệ ố
N u có x’ nh n các ế ậ
, ,( 1)
n n
x e n
λ
=< > 
làm h s Fourier thì ệ ố
1
, , ', .
k n n k k k
n
x e e e x e
λ λ

=
< >=< >= =< >

Suy ra
'.x x=
Theorem 2.4.4. Không gian Hilbert H có c s tr c chu n h u h n ho cơ ở ự ẩ ữ ạ ặ
đ m đ c khi và ch khi H là không gian kh ly. ế ượ ỉ ả
Ch ng minh:ứ

Gi s H kh ly nên t n t i ả ử ả ồ ạ
1 2
{ , , }A a a H= 
là m t t p h u h nộ ậ ữ ạ
hay
đ m đ c trù m t kh p n i. ế ượ ậ ắ ơ
N u ế
1 1
, ,
n n
a a a
−
< >�
thì lo i b ạ ỏ
n
a
và thu đ c m t t p đ c l p tuy nượ ộ ậ ộ ậ ế
tính
1 2
{ , , }B b b A= 
. Ta có
.A B
< >=< >
Áp d ng ph ng pháp tr c chu n hoá Schmidth cho h ụ ươ ự ẩ ệ
1 2
{ , , }b b
ta thu
đ c h tr c chu n ượ ệ ự ẩ
1 2
{ , , }.e e

Ta có
1 2 1 2
{ , , , , } { , , , , } .
n n
H A A b b b e e e H= < > = < > = < >� �
Suy ra
1 2
{ , , , , } .
n
H e e e= < >
Ng c l i:ượ ạ
G i ọ
{ : 1}
n
M e n= 
là c s tr c chu n h u h n ho c đ m đ c trong H.ơ ở ự ẩ ữ ạ ặ ế ượ
Đ t ặ
.Z M H Z=< > =�
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
238
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Ký hi u C là t p h p t t c các t h p tuy n tính v i h s h u t c aệ ậ ợ ấ ả ổ ợ ế ớ ệ ố ữ ỉ ủ
m t s h u h n các ph n t c a M. Ta có ộ ố ữ ạ ầ ử ủ
| | | |
n
n N
C Q

=

U
nên C đ m đ c. Ta ch ng minh C trù m t trong Z.ế ượ ứ ậ
V i m i ớ ọ
1
, , .
k
i i i
i
z Z z a x x M
=
=� �

Cho
0
ε
>
tuỳ ý. V i m i ớ ỗ
{1,2, , }i k

ch n các s h u t ọ ố ữ ỉ
i
r
sao cho
| || | , 1,2 , .
i i i
a r x i k
k
ε
− < =
Khi đó

1 1
, | | | ||| || .
k k
i i i i i
i i
t r x C z t a r x
ε
= =
= − − <� �
� �
V y C trù m t trong Z và Z trù m t trong H nên C trù m t trong H. V y Hậ ậ ậ ậ ậ
là không gian Hilbert kh ly.ả
2.5 Phép đ ng c u trong không gian Hilbertẳ ấ
Define 2.5.1. Cho hai không gian ti n Hilbert H và H’. M t song ánh ề ộ
: 'H H
ϕ
  
g i là phép đ ng c u n u v i m i ọ ẳ ấ ế ớ ọ
, , ,x y H a b K� �
ta có

( ) ( ) ( ),
( ), ( ) , .
ax by a x b y
x y x y
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ = +



< >=< >

Hai không gian ti n Hilbert g i là đ ng c u v i nhau n u t n t i m t phépề ọ ẳ ấ ớ ế ồ ạ ộ
đ ng c u t không gian này lên không gian kia.ẳ ấ ừ
Phép đ ng c u Hilbert là m t phép đ ng c gi a hai không gian đ nhẳ ấ ộ ẳ ự ữ ị
chu n t ng ng. ẩ ươ ứ
Theorem 2.5.2 N u hai không gian Hilbert cùng s chi u h u h n ho cế ố ề ữ ạ ặ
cùng vô h n chi u và kh ly thì chúng đ ng c u v i nhau.ạ ề ả ẳ ấ ớ
Ch ng minh:ứ
Gi s H, H’ là hai không gian Hilbert cùng kh ly và vô h n chi u. ả ử ả ạ ề
G i ọ
{ : 1}, { ' : 1 }
n n
e n e n 
t ng ng là c s tr c chu n trong H và H’. ươ ứ ơ ở ự ẩ
V i m i ớ ỗ
2 2
1 1
, , || || | , | .
n n n
n n
x H x x e e x x e
 
= =
= < > = < > < +� � �
� �
Theo đ nh lý Riesz-Fischer chu i ị ổ
1
, ' ' .
n n

n
x e e x H

=
< > 

]
Ta có
', ' , .
n n
x e x e< > = < >
Xét ánh x ạ
: 'H H
ϕ
  
xác đ nh b iị ở
1 1
, ' , ' .
n n n n
n n
x x e e x x e e
 
= =
= < > = < >
� �
a
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
239
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert

Áp d ng đ nh nghĩa c s tr c chu n và đ nh lý Riesz-Fischer suy ra ụ ị ơ ở ự ẩ ị
ϕ
là
m t song ánh tuy n tính. Ta ki m tra đi u ki n b o toàn chu n.ộ ế ể ề ệ ả ẩ
Ta có

1 1
1
( ), ( ) , ' , , '
, , ,
n n n n
n n
n n
n
x y x e e y e e
x e y e x y
ϕ ϕ
 
= =

=
< >=< < > < > >
= < >< > =< >
� �

v i m i ớ ọ
, .x y H

V y ậ
ϕ

là m t phép đ ng c u gi a H và H’.ộ ẳ ấ ữ
Corrollary 2.5.3 M i không gian Hilbert H kh ly vô h n chi u đ u đ ng ọ ả ạ ề ề ẳ
c u v i không gian ấ ớ
2
.l
Bài t p.ậ
Bài 9. Cho H là không gian ti n Hilbert, ề
, .M N H
Ch ng minhứ
, .M N N M N M
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
� � � �
Bài 10. Cho
.S H
Ch ng minh ứ
a.
( ) .S S S
⊥ ⊥
� �
b. N u S là không gian con c a H thì ế ủ
( ) .S S
⊥ ⊥
=
Bài 11. Cho S là m t h tr c giao g m nh ng ph n t khác 0 trongộ ệ ự ồ ữ ầ ử
không gian ti n Hilbert H. Ch ng minh S là m t h đ c l p tuy n tính. ề ứ ộ ệ ộ ậ ế
Bài 12. Cho
1
, ,
n
H H

là n không gian Hilbert. Ch ng minh r ngứ ằ

1
n
k
k
H H
=
=

là không gian Hilbert.
Bài 13. Cho H là không gian Hilbert có c s tr c chu n đ m đ cơ ở ự ẩ ế ượ
1 2
{ , , }E e e=
. Ch ng minh ứ
1
{ : 1}
n n
n
S x e n
n
+
= = 
là t p đóng trong H. ậ
Bài 14. Cho H là không gian Hilbert và
* \{0}.f H
Ký hi uệ
{ : ( ) 0}.M Kerf x H f x= = =�
Ch ng minh ứ
M

⊥
là không gian con m t chi u c a H. ộ ề ủ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
240
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 15. Gi s L là không gian con đóng c a không gian Hilbert H vàả ử ủ
.x H
Ch ng minhứ
a.
, || || 1
min || || | , | .
u L
y L y
x u max x y

⊥ =
− = < >
b.
|| || || ||x L x x u
⊥
−�
v i m i ớ ọ
.u L

Bài 16. Cho M và N là hai không gian con đóng c a không gian Hilbert Hủ
sao cho
.M N⊥
Ch ng minh r ng ứ ằ
M N+

cùng là m t không gian con đóngộ
c a H. ủ
Bài 17. Gi s ả ử
{ : 1 }
n
e n 
là m t c s tr c chu n c a không gian Hilbertộ ơ ở ự ẩ ủ
H,
1
, , , 1,2,
n
n j j
j
P x x e e x H n
=
= < > =�

là dãy phép chi u tr c giao. ế ự
Ch ng minh r ngứ ằ
a.
{ }
n
P
h i t đi m đ n toán t đ ng nh t Id.ộ ụ ể ế ử ồ ấ
b.
{ }
n
P
không h i t theo chu n đ n toán t đ ng nh t Id.ộ ụ ẩ ế ử ồ ấ
Bài 18. Gi s ả ử

{ : 1 }
n
e n 
là m t h tr c chu n trong không gian Hilbert H,ộ ệ ự ẩ
1,2,
( )
n n
a
=
là m t dãy v i ộ ớ
1
sup | | .
n
n
a

< +
Ch ng minh r ngứ ằ
V i m i ớ ọ
1
, , .
n n n
n
x H a x e e

=
< >�

]
Bài 19. Toán t ử

1
: , ,
n n n
n
T H H x a x e e

=
   < >

a
là toán t tuy n tính liênử ế
t c. Tính ụ
|| || ?T
Bài 20. Ch ng minh không gian ti n Hilbert H là Hilbert n u và ch n uứ ề ế ỉ ế
m i không gian con đóng F c a H đ u có ọ ủ ề
.F F
⊥⊥
=
§3. Không gian liên hi pệ
3.1 Phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian Hilbert. ế ế ụ
Ký hi u ệ
* ( , )H H K= L
là t p các phi m hàm tuy n tính liên t c trênậ ế ế ụ
không gian Hilbert H.
Theorem 3.1.1. (F.Riesz) Cho H là không gian Hilbert, v i m i ớ ỗ
,a H
đ t ặ
: , ,
a
f H K x a x   < >a

thì
*
a
f H
và
|| || || || .
a
f a=
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
241
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Ng c l i v i m i ượ ạ ớ ỗ
*f H
đ u t n t i duy nh t ề ồ ạ ấ
a H

sao cho
a
f f=

nghĩa là
, ( ) , .x H f x x a∀ =< >�
Ch ng minh:ứ
Hi n nhiên ể
( , ).f L H K
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz ta cóụ ấ ẳ ứ
: | ( ) | | , | || |||| ||
a
x H f x x a x a∀ = < >� �

suy ra
|| || || || .
a
f a

B t đ ng th c ng c l i ta ch n ấ ẳ ứ ượ ạ ọ
0x a
= 
suy ra
| ( ) |
|| || || ||
|| ||
a
a
f a
f a
a
 =
.
V y ậ
|| || || || .
a
f a=
Ng c l i cho ượ ạ
*f H
, ta có
M Kerf=
là không gian con đóng c a H.ủ
N u ế
0f =

thì ch n ọ
0.a =
N u ế
0f 
thì
.M H
Theo đ nh lý hình chi uị ế
tr c giao ta vi t ự ế
, {0}.H M M M
⊥ ⊥
= Ź
Ch n ọ
\{0}e M
⊥

thì
( ) 0.f e 
V iớ
m i ọ
x H
đ t ặ
( ) ( )y f e x f x e= −
suy ra
( ) 0f y =
hay
.y Kerf
Ta có
, 0y e< >=

( ) ( ) , 0.f e x f x e e< − >=�

Suy ra
2
2
( )
( ) , ( ) || || ( ) , .
|| ||
f e
f e x e f x e f e x e
e
< >= =< >�
Đ t ặ
2
( )
|| ||
f e
a e
e
=
ta có
( ) , ( ), .
a
f x a x f x x H=< >= ∀ 
Cu i cùng ta ch ng minh tính duy nh t c a ố ứ ấ ủ
.a
Gi s có ả ử
b H
sao cho
( ) , , .f x b x x H=< > ∀ 
Ta có

0 , , .a b x x H=< − > ∀ 
Suy ra
.a b=
3.2 Không gian liên hi pệ
Áp d ng đ nh lý Riesz chúng ta có th thi t l p m t song ánh gi a Hụ ị ể ế ậ ộ ữ
và H* nh sau:ư
Đ t ặ
: *, ( )
a
H H a a f
ϕ ϕ
   =a
v i ớ
( ) , , .
a
f x x a x H=< > ∀ 
V i m i ớ ọ
, ,a b H t K� �
d dàng ch ra đ cễ ỉ ượ
( ) ( ) ( ),
( ) ( ).
a b a b
ta t a
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ = +
=
H n n a, ơ ử
|| ( ) || || || || ||
a

a f a
ϕ
= =
v i m i ớ ọ
.a H

Nh v y ta rút ra đ c các k t qu sauư ậ ượ ế ả
+ N u ế
K = R
thì
ϕ
là m t phép đ ng c tuy n tính.ộ ẳ ự ế
+ N u ế
K = C
thì
ϕ
là c ng tính nh ng không thu n nh t. ộ ư ầ ấ
3.3 S h i t y u trong không gian Hilbertự ộ ụ ế
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
242
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Cho H là không gian Hilbert,
( )
n
x H
là m t dãy trong H. Ta nóiộ
r ng dãy ằ
( )
n

x
h i t y u đ n ộ ụ ế ế
x X

vi t ế
w
n
x x  
n u ế
lim , ,
n
n
x y x y
 
< >=< >
v i m i ớ ọ
.y Y
Theorem 3.3.1. Cho H là không gian Hilbert. Ta có
a.
||.||
, , , .
w n
n n n n
x x y y x y x y
 
< > < >��� ��� � ����
b.
||.||
, || || || || .
w n

n n n
x x x x x x
 
       �� �������
Ch ng minhứ
Ta có
a.
1
| , , | sup || |||| || | , , | 0.
n
n n n n n
n
x y x y x y y x y x y
 

< > − < >  − + < > − < >    
b.
2 2 2
|| || || || , , || || 0.
n
n n n n n
x x x x x x x y
 
− = − < > − < > +    
Bài t p. ậ
Bài 21. Cho M là không gian con đóng c a không gian Hilbert H vàủ
*
( ).x M L
Ch ng minh t n t i m t phi m hàm liên t c duy nh t ứ ồ ạ ộ ế ụ ấ
%

x
trên H
sao cho
% %
* *
| , || || || || .
M
x x x x= =
Bài 22. Gi s ả ử
{ : 1}
n
E e n= 
là h tr c chu n trong không gian Hilbert H.ệ ự ẩ
Ch ng minh r ng ứ ằ
0
w
n
e   
nh ng ư
( )
n
e
không h i t m nh đ n 0.ộ ụ ạ ế
Bài 23. Ch ng minh r ng ứ ằ
||.||
, , , .
w n
n n n n
x x y y x y x y
 

< > < >��� ��� � ����
Kh ng đ nh trên còn đúng không n u đ i gi thi t ẳ ị ế ổ ả ế
||.||
n
x x  
thành
.
w
n
x x  
Bài 24. Gi s ả ử
{ : 1}
n
E e n= 
là h tr c chu n trong không gian Hilbert Hệ ự ẩ
và
( )
n
y
tr c giao v i các ự ớ
, 1,2,3
n
e n =
có
|| || 1.
n
y =
Ch ng minh r ng ứ ằ
0.
w

n
y   
Bài 25. Gi s H và H’ là không gian ti n Hilbert và ả ử ề
: 'T H H  
là m tộ
toàn ánh b o toàn tích vô h ng nghĩa làả ướ
, , , , .Tx Ty x y x y H< >=< > ∀ 
Ch ng minh r ng ứ ằ
T
là m t toán t tuy n tính.ộ ử ế
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
243
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 26. Gi s H là không gian Hilbert v i c s tr c chu n ả ử ớ ơ ở ự ẩ
1
{ }
n n
e

. Giả
s ử
2n n
a e=
và
2 2 1
1
, 1.
1
n n n

b e e n
n
−
= + 
+
Gi s A là không gian con đóngả ử
sinh b i các vector ở
.
n
a
B là không gian con đóng sinh b i các vector ở
.
n
b

Ch ng minh r ngứ ằ
a.
0,A B =�
do đó
A B+
là t ng tr c ti p đ i s c a A và B.ổ ự ế ạ ố ủ
b.
A B+
không ph i là t ng tr c ti p tôpô c a A và B.ả ổ ự ế ủ
c.
A B+
trù m t nh ng không đóng trong H.ậ ư

§4.Toán t liên hi p trong không gianử ệ
Hilbert

Define 4.1.1. Cho X, Y là các không gian Hilbert và
( , ).T X Y L
Ta nói r ngằ
toán t tuy n tính liên t c ử ế ụ
*
( , )T Y X L
là liên h p c a T n u ợ ủ ế
*
, , , , .x T y Tx y x X y Y< >=< > ∀ ∀� �
Theorem 4.1.2. Cho X, Y, Z là các không gian Hilbert và
, ( , ),T K X Y L
( , ).S Y Z L
Khi đó
a.
* *
, ( ) .a aT aT∀ =�K
b.
* * *
( ) .T K T K+ = +
c.
* * *
0 0
( ) .S T T S=
Ch ng minh:ứ
a. V i m i ớ ọ
, ,x X y Y t� � �K
ta có

* *
, ( ) ( ) , , , , ( ) .x tT y tT x y t T y Tx ty x tT y< >=< >= < >=< >=< >

Suy ra
* *
( ) ( ) ( )( ), .tT y tT y y Y= ∀ 
Suy ra
* *
, ( ) .t tT tT∀ =�K
b. V i m i ớ ọ
,x X y Y� �
ta có

* * *
, ( ) ( ) , , , , ( ) .x T S y T S x y Tx y Sx y x T S y< + >=< + >=< > + < >=< + >
c. V i m i ớ ọ
,x X y Y� �
ta có
*
0 0
* * *
* *
0
, ( ) ( ) , ( ),
, , ( )
, ( ) .
x S T y S T x y S Tx y
Tx S y x T S y
x T S y
< =< > = < >
= < > = < >
= < >
4.4.3 ví d : Xét ụ

n
H C=
có c s chính t c ơ ở ắ
1 2
{ , , , }
n
e e e
và
( ).
n
T C L
V i cớ ơ
s ở
1 2
{ , , , }
n
e e e
gi s toán t T có ma tr n ả ử ử ậ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
244
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert

11 12 1
21 22 2
, 1,2 ,
1 2


( )

n
n
i j i j n
n n nn
a a a
a a a
A a
a a a
=
� �
� �
� �
= =
� �
� �
� �
� �
M M M
.
Gi s ả ử

11 12 1
21 22 2
, 1,2 ,
1 2


( )

n
n
i j i j n
n n nn
b b b
b b b
B b
b b b
=
� �
� �
� �
= =
� �
� �
� �
� �
M M M
là ma tr n c a toán t liên h p ậ ủ ử ợ
*
.T
Ta có
* *
1 1
, , , ,
n n
k ik i j sj s k s k s
i s
Te a e T e b e Te e e T e
= =

= = < >=< >
� �
và suy ra
kj jk
b a=

nghĩa là ma tr n c a toán t liên hi p ậ ủ ử ệ
*
T
đ c suy ra t ma tr n c a ượ ừ ậ ủ
T

b ng cách l y liên hi p các s h ng c a ma tr n A và sau đó chuy n v .ằ ấ ệ ố ạ ủ ậ ể ị
Theorem 4.4.4. Cho X, Y là các không gian Hilbert và
( , ).T X Y L
Khi đó ta
có
* *
Im , Im .X KerT T Y KerT T= =� �
Ch ng minh:ứ
Do T là toán t tuy n tính liên t c nên ử ế ụ
Ke rT
là không gian con đóng
c a X. Theo đ nh lý hình chi u tr c giao ủ ị ế ự
( ) .X KerT KerT
⊥
= 
Ta ch ng minh ứ
*
( ) Im .KerT T

⊥
=
(*)
V i m i ớ ọ
* *
Im , ( ) , lim .
n n
n
x T y Y T y x
 
∃ =� �

V i m i ớ ọ
*
, , lim , lim , 0.
n n
n n
u Ke rT x u T y u y Tu
   
< >=< > = < >=�
Suy ra
( ) .x KerT
⊥

Ta k t lu n ế ậ
*
( ) Im .KerT T
⊥

Ng c l i gi s ượ ạ ả ử

*
Imx T
khi đó t n t i ph n t ồ ạ ầ ử
a X
sao cho

*
, || || 0, , 0 Im .x a x z a z T< >=  < >= ∀ 
Đ c bi t v i m i ặ ệ ớ ọ
*
, , 0y Y T y a< >=�
hay
, 0 0.y Ta Ta< >= =�
V y ậ
.a KerT
Đi u này kéo theo ề
( ) .x KerT
⊥


Ta kh ng đ nh ẳ ị
*
( ) Im .KerT T
⊥

(*) đúng.
Thay
T
b i ở
*

T
và áp d ng k t qu ụ ế ả
**
.T T=
(Đpcm)
Bài t p.ậ
Bài 27. Cho
2 2
: [0,1] [0,1]T L L  
xác đ nh b iị ở
a.
0
, [0,1] ( ) ( ) .
t
x Tx t Tx t tx s ds=�

a a
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
245
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
b.
0
, [0,1] ( ) ( ) .
t
x Tx t Tx t sx s ds=�

a a
c.
0

, [0,1] ( ) ( ) .
t
x Tx t Tx t x s ds=�

a a
Ch ng minh các toán t trên tuy n tính liên t c và tìm toán t liên h p ứ ử ế ụ ử ợ
*
.T
Bài 28. Cho u, v là hai ph n t c đ nh trong không gian Hilbert H và toánầ ử ố ị
tử
: , , .T H H x x u v   < >a
Ch ng minh r ng ứ ằ
a.
T
là toán t tuy n tính liên t c và tìm toán t liên h p ử ế ụ ử ợ
*
T
c a T. ủ
b.
*
|| || || || .T T=
Bài 29. Cho H là không gian Hilbert ph c, ứ
( )T H L
và
, 0, .Tx x x H< >= ∀ 

Ch ng minh r ng ứ ằ
0.T =
§5. Toán t t liên hi pử ự ệ
Define 5.1 Cho H là không gian Hilbert và

( ).T H L
Ta nói r ng T là toánằ
t t liên h p n u v i m i ử ự ợ ế ớ ọ
,x y H
ta có
, , .x Ty Tx y< >=< >
Nói cách khác
T
là toán t t liên h p n u ử ự ợ ế
*
.T T=
Theorem 5.2 Cho H là không gian Hilbert và
( )T H L
là toán t t liênử ự
h p. ợ
Ta có
|| || 1
|| || sup | , | .
x
T Tx x
=
= < >
Ch ng minh:ứ
V i m i ớ ọ
x H
mà
|| || 1.x 
Ta có
| , | || |||| |||| || || || .Tx x T x x T< >  =
Suy ra

|| || 1
sup | , | || || .
x
a Tx x T
=
= < > 
Xét thêm đi u ki n ề ệ
0,Tx 
đ t ặ
.
|| ||
Tx
y
Tx
=
Th thìế
( )
2 2 2 2
4 | Re , | | , , | | ( ), ( ), |
|| || || || 2 (|| || || || ) 4 .
Tx y Tx y Ty x T x y x y T x y x y
a x y x y a x y a
< > = < > + < > = < + + >− < − − >
 + + −  + =
Nh v y ư ậ
| Re , | || || .
|| ||
Tx
Tx Tx a
Tx

< > = 
Suy ra
|| || 1
|| || sup || || .
x
T Tx a
=
= 
V y ậ
|| || 1
|| || sup | , | .
x
T a Tx x
=
= = < >
(Đpcm).
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
246
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài t pậ
Bài 30. Gi s ả ử
2 2
: [0,1] [0,1]T L L  
xác đ nh b i ị ở
( )( ) ( ), [0, 1].Tx t tx t t= ∀ 
Ch ng minh ứ
T
là toán t t liên hi p và tính ử ự ệ
|| || .T

Bài 31. Cho H là không gian Hilbert và
, ' ( )T T H L
là toán t t liên hi p. ử ự ệ
Ch ng minh r ng ứ ằ
2
|| ' || || ( ') ||.T T T T+ = +
Bài 32. Cho H là không gian Hilbert ph c và ứ
( ).T H L
Ch ng minh r ng Tứ ằ
t liên hi p khi và ch khi ự ệ ỉ
,Tx x< >  R
v i m i ớ ọ
.x H
Bài 33. Gi s H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng c a H.ả ử ủ
Xét toán t ử
:
( )
P H M M M
x y z P x y
⊥
= ž��
= + =a
.
Ch ng minh r ng P là toán t t liên hi p và ứ ằ ử ự ệ
2
.P P=
Bài 34. Cho H là không gian Hilbert ph c và ứ
( )T H L
tho mãn ả
, 0, .Tx x x H< > ∀ 

Ch ng minh r ng ứ ằ
T
là toán t t liên hi p.ử ự ệ
Chapter 4
TOÁN T COMPACT VÀ PH C A TOÁN TỬ Ổ Ủ Ử
§1. Toán t compactử
Cho X, Y là các không gian đ nh chu n, ký hi u ị ẩ ệ
'(0, 1)B
là hình c uầ
đóng đ n v trong không gian đ nh chu n X. Xét toán tuy n tínhơ ị ị ẩ ế
:T X Y  
.

( ) {
'(0, 1) | || || 1 }.T B y Tx x= = 
1.1 Đ nh nghĩa T đ c g i là toán t compact n u ị ượ ọ ử ế
( )
'(0, 1)T B
là t pậ
compact t ng đ i trong Y. ươ ố
1.2 Các nh n xét: ậ
1. T compact khi và ch khi T bi n m i t p b ch n trong X thành t pỉ ế ỗ ậ ị ặ ậ
compact t ng đ i trong Y.ươ ố
2. T compact thì T liên t c.ụ
3. N u Y h u h n chi u và T liên t c thì T compact.ế ữ ạ ề ụ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
247
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
4. Toán t đ ng nh t ử ồ ấ

:Id X X  
là compact khi và ch khi X h uỉ ữ
h n chi u.ạ ề
5. T đ c g i là h u h n chi u n u ượ ọ ữ ạ ề ế
Im ( )T T X=
là không gian con
h u h n chi u c a Y. Suy ra T liên t c và h u h n chi u thì T compact.ữ ạ ề ủ ụ ữ ạ ề
Ch ng minh: ứ
1/ Gi s M là t p b ch n trong X. Khi y t n t i s a>0 sao choả ử ậ ị ặ ấ ồ ạ ố
, || || .x M x a∀ Σ
Cho
( )
n
y
là m t dãy tuỳ ý trong T(M), khi đó t n t i dãyộ ồ ạ
( )
n
x M
sao cho
.
n n
y Tx=
Vì T compact nên t dãy ừ
n
n
x
T
a
� �
� �

� �
trích ra dãy con
h i t là ộ ụ
0
.
n
k
n
x
T y Y
a
 
� �
    
� �
� �
Suy ra
0
.
n
n
k
y ay Y
 
    
V y T(M) là t pậ ậ
compact t ng đ i. Chi u ng c l i là hi n nhiên.ươ ố ề ượ ạ ể
2/ Vì
( '(0, 1))T B
là t p compact t ng đ i nên nó b ch n nghĩa là t n t iậ ươ ố ị ặ ồ ạ

a>0 sao cho
|| || 1
|| || sup || || ( || || 1).
x
T Tx a x

=  ∀ 
V y T b ch n nên T liên t c.ậ ị ặ ụ
3/ Vì m i ch n b ch n trong không gian h u h n chi u là t p compactọ ặ ị ặ ữ ạ ề ậ
t ng đ i.ươ ố
4/ Suy ra t đ nh nghĩa toán t I.ừ ị ử
1.3 Các tính ch t c b n: ấ ơ ả
Đ nh lý 1.3.1: T compact và ị
w
n
x x  
trong X thì
||.||
n
Tx Tx  
trong Y.
Ch ng minh: Ta có ứ
w
n
x x  
và đ t ặ
0 0
, .
n n
y Tx y Tx= =

Gi s dãy ả ử
( )
n
y

không h i t v ộ ụ ề
0
y
. Khi đó t n t i ồ ạ
0, ( ) ( )
n
k n
y y
ε
> 
sao cho
0
|| || .
n
k
y y
ε
− 

M i dãy h i t y u đ u b ch n nên ọ ộ ụ ế ề ị ặ
{ : 1}
n
x n 
b ch n. Áp d ng tính nh nị ặ ụ ậ
xét 1 thì t p ậ

{ | 1} { ( ) | 1}
n n
k k
y k T x k = 
là compact t ng đ i và do đó t nươ ố ồ
t i dãy con ạ
( )
k
l
n
y
c a ủ
( )
n
k
y
h i t v ộ ụ ề
0
z Y
v i ớ
0 0
|| || .y z
ε
− 

Ta có
0
k
l
w

n
y z  
và
0
( )
k k
l l
w
n n
y T x y=   
suy ra
0 0
. ( )z y= ><
Đ nh lý 1.3.2. Cho ị
, , ,X Y Z V
là các không gian đ nh chu n, ị ẩ
:T X Y  
là
toán t compact, ử
( , ), ( , ).B Y Z C V X� �L L
Khi đó
0 0
,B T T C
là các toán tử
compact.
Đ nh lý 1.3.3. Ký hi u ị ệ
( , )K X Y
là t p các toán t compact t X vào trongậ ử ừ
Y. Khi đó
( , )K X Y

là không gian con c a ủ
( , ).X YL
H n n a khi Y Banachơ ử
thì
( , )K X Y
Banach.
Ch ng minhứ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
248
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Th t v y ậ ậ
0 ( , ).K X Y
Xét
, ( , ), , .A B K X Y a b K� �
D dàng ch ra đ c ễ ỉ ượ
( , ).aB bB K X Y+ 
Ta có
( , )X YL
là không gian Banach và
( , )K X Y
là không gian con c aủ
( , ).X YL
Do đó n u ế
( , )K X Y
đóng thì nó là Banach. Ta ki m tra ể
( , )K X Y

đóng. Gi s ả ử
( ) ( , ),

n n
A K X Y A A̾��
trong
( , )X YL
và s d ng ố ươ
ε
tuỳ ý.
V i ớ
0
n
đ l n thì ủ ớ
0
|| || .
2
n
A A
ε
− <

N u ế
x X
mà
|| || 1x 
thì
0
|| || .
2
n
A x Ax
ε

− <
T p ậ
0
( '(0, 1))
n
A B
là compact
t ng đ i nên nó hoàn toàn b ch n trong Y, vì v y đ c ph b i m t sươ ố ị ặ ậ ượ ủ ở ộ ố
h u h n hình c u bán kính ữ ạ ầ
:
2
ε

0
1
( '(0, 1)) ( , ).
2
m
n i
i
A B B y
ε
=

U

Do đó v i ớ
'(0, 1)x B
thì t n t i ồ ạ
0 0

, 1i i m 
sao cho
0 0
( , ).
2
n i
A x B y
ε

T đâyừ
suy ra
0 0 0
0
|| || || || || || ,
n n i
A x y A x A x A x y
ε
−  − + − <
hay
0
( , ),
2
i
A x B y
ε

nghĩa là
1
( '(0, 1)) ( , ).
m

i
i
A B B y
ε
=

U
Suy ra
( '(0, 1))A B
là t p hoàn toàn b ch n trong Y và do đó nó là compactậ ị ặ
t ng đ i suy ra A là toán t compact. V y ươ ố ử ậ
( , ).A K X Y
H qu 1.3.4. Gi s Y Banach, X đ nh chu n, ệ ả ả ử ị ẩ
:T X Y  
là gi i h nớ ạ
trong
( , )X YL
c a m t dãy các toán t h u h n chi u ủ ộ ử ữ ạ ề
( , )
n
T X Y L
thì T là
toán t compact.ử
Đ nh lý 1.3.5. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n và ị ị ẩ
( , ).T X Y L
Khi đó
a. T compact
*
T
compact.

b. Y Banach,
* * *
( , )T Y X L
compact
T
compact.
Ch ng minh: ứ
a. Gi s ả ử
*
*
( ) ' (0, 1).
n Y
y B
Theo gi thi t t p ả ế ậ
( '(0,1))M T B Y= 
compact.
Đ t ặ
*
| ( )
n n M
f y C M= 
, ta có
* * *
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
, , | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | || |||| || || ||
n n n n n
y y M f y f y y y y y y y y y y∀ − = − − −� � �
nên
( )
n n

f
liên t c đ ng b c trên M. Ngoài ra v i m i ụ ồ ậ ớ ọ
, '(0,1)y M x B∃� �
sao
cho
.y Tx=
Khi y ta cóấ

* *
| ( ) | | ( ) | || || .|| || . || || || || .
n n n
f y y Tx T y x T=  
V y ậ
( )
n n
f
b ch n đ u trên M. Áp d ng đ nh lý Ascoli, t n t i dãy conị ặ ề ụ ị ồ ạ
( )
n
k n
f
sao cho
( )
n
k n
f
h i t , nh v y nó c b n. Ta cóộ ụ ư ậ ơ ả
* * * * * * * * * *
|| || 1 || || 1
,

|| || 1
, , || || sup | ( ) ( ) | sup | ( ) ( ) |
sup | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | || || 0.
n m n m n m
n m n m n m
k k k k k k
x x
n m
k k k k k k
y M
x
m n N T y T y T y x T y x y Tx y Tx
f Tx f Tx max f y f y f f
= =
 

=
∀ − = − = −�
−  − = −    
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
249
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
V y ậ
* *
( )
n
k
T y
là dãy c b n trong ơ ả

*
X
nên nó h i t .ộ ụ
b. Theo a, ta có
**
T
compact. Cho
**
( ) ' (0,1)
n X
x B X� �
nh v y t n t i dãyư ậ ồ ạ
con
( ) ( )
n
k n
x x
sao cho
**
( )
n
k n
T x ]
trong
**
.Y
Vì Y Banach nên Y đóng trong
**
.Y
Do v y ậ

**
n n
k k
Tx T x= ]
trong Y nên T là toán t compact.ử
Bài t pậ
Bài 35. Cho
[ , ]a b
X C=
là không gian đ nh chu n v i chu n “max” vàị ẩ ớ ẩ
1 2
, ( )T T X L
xác đ nh b i ị ở
a.
1
( )( ) (0) (1)T x t x tx= +
b.
1
2
0
( )( ) ( ) ,
ts
T x t e x s ds=


v i m i ớ ọ
, [0, 1].x X t� �
Ch ng minh r ng ứ ằ
1 2
,T T

là các toán t compact trong X.ử
Bài36. Ch ng minh r ng n u A là t p compact trong X thì ứ ằ ế ậ

1
2
( ) ( ) ' (0, 1)
X
Id T A B
−
− 

là t p compact trong X.ậ
Bài 37. Cho toán t tuy n tính ử ế
2 2
:T l l  
xác đinh b i ở
1
1
( )
n n n
n
x x Tx x e
n

=
= =

a

v i ớ

( : 1)
m
e m 
là c s c a ơ ở ủ
2
l
.
Ch ng minh r ng T là toán t compact.ứ ằ ử
Bài 38. Cho toán t tuy n tính ử ế
2 2
:T l l  
xác đinh b i ở
2
1
( ) ( , , , , )
2
n
n
x
x
x x Tx x
n
= =a
.
Ch ng minh r ng T là toán t compact.ứ ằ ử
Bài 39. Cho
( : 1)
m
e m 
là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbert Hộ ơ ở ự ẩ

và
( ) 0.
n
a ]
Ch ng minh r ng toán t ứ ằ ử
:T H H  
xác đ nh b iị ở
1
,
n n n
n
x Tx a x e e

=
= < >

a
là m t toán t Compact.ộ ử
Bài 40. Gi s ả ử
( : 1)
m
e m 
là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbertộ ơ ở ự ẩ
H, Y là m t không gian Banach, ộ
( , )T H Y L
và chu i ổ
2
1
|| || .
n

n
Te

=

]
Ch ngứ
minh T là m t toán t Compact.ộ ử
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
250
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 41. Gi s ả ử
( : 1)
m
e m 
là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbertộ ơ ở ự ẩ
H và
( )T H L
là m t toán t compact. Ch ng minh r ngộ ử ứ ằ
0.
n
n
Te
 
   
Bài 42. Cho X, Y là các không gian đ nh chu n và ị ẩ
( )T X L
là m t toán tộ ử
compact. Ch ng minh r ng không gian con T(X) c a Y là không gian khứ ằ ủ ả

li.
§2. Ph c a toán t liên t cổ ủ ử ụ
2.1 Các đ nh nghĩa:ị
Lý thuy t ph c a toán t tuy n tính trong không gian Banach khiế ổ ủ ử ế
xét trong không gian ph c s đ t đ c nh ng k t qu cân đ i và đ p đ .ứ ẽ ạ ượ ữ ế ả ố ẹ ẽ
Đ th hi n đ c đi u đó t đây tr đi cho đ n h t ch ng III chúng taể ể ệ ượ ề ừ ở ế ế ươ
s làm vi c v i tr ng s ph c ẽ ệ ớ ườ ố ứ
.K = C

Cho X là m t không gian đ nh chu n. Ta kí hi u ộ ị ẩ ệ
( )XL
thay cho
( , )X XL
và I là toán t đ ng nh t trên X. ử ồ ấ
Trong
( )XL
ta đ nh nghĩa ị phép lu th aỹ ừ nh sau: ư
Gi s ả ử
( )T X L
, đ nh nghĩa ị

0 0 0
0
.
0
n
n time
T T T i f n
T
I i f n

>


=


=

142 43
Cho
( )T X L
. gi s ả ử
λ
 C
sao cho t n t i vector ồ ạ
0x 
trong X
nghi m đúng ệ
Tx x
λ
=
thì
λ
đ c g i là m t ượ ọ ộ giá tr riêngị c a T và x làủ
vector riêng t ng ng v i tr riêng ươ ứ ớ ị
λ
.
Ta g i ọ
λ
 C

là m t ộ giá trị phổ c a toán t T n u không t n t i toán ủ ử ế ồ ạ
t ng c liên t c ử ượ ụ
1
( ) .T I
λ
−
−
T p các ậ giá tr ph c a Tị ổ ủ đ c g i là ượ ọ phổ
c a toán t Tủ ử , ký hi u ệ
( ).T
σ

Nh n xét:ậ
1/ N u ế
λ
là m t giá tr riêng c a T thì ộ ị ủ
( ).T
λ σ

2/ N u ế
dim( )X <+ 
thì
( ) { |T
σ λ λ
=  C
là giá tr riêng c a Tị ủ }.
3/ N u ế
dim( )X = +
thì có nh ng giá tr thu c ph nh ng không ph iữ ị ộ ổ ư ả
là giá tr riêng.ị

Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
251
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
4/ S ố
( )T
µ σ

g i là ọ giá tr chính quyị c a T nghĩa là t n t iủ ồ ạ
1
( ) ( ).T I X
µ
−
−  L
T p ậ
\ ( )T
σ
C
đ c g i làượ ọ t p h p gi i c a toán t T, kýậ ợ ả ủ ử
hi u ệ
( )T
ρ
còn toán t ử
1
( ) ( )R T T I
µ
µ
−
= −
g i là toán t gi i hayọ ử ả gi i th cả ứ

c a toán t T.ủ ử
2.2 Các tính ch t:ấ
Đ nh lí 2.2.1. N u X là không gian Banach và toán t ị ế ử
( ).T X L
N u ế

1
| | lim || ||
n
n
n
T
λ
>

thì
( )T
λ ρ

và toán t gi i đ c khai tri n đ c d i d ngử ả ượ ể ượ ướ ạ

1
1
0
( ) ( ) .
n
n
n
T
R T T I

µ
µ
λ

−
+
=
= − = −

Ch ng minh: Ta ch ng minh t n t i gi i h n h u h n ứ ứ ồ ạ ớ ạ ữ ạ
1
lim || ||
n
n
n
T
. Th tậ
v y l y ậ ấ
k  N
tuỳ ý ta có
, 0 ,n kp r r k n= +  < ∀  .N
. Ta có
1 1
1
|| || || || || || || ||
|| || || ||
p r
n kp r k
n n n n
r r

k
k nk n
T T T T
T T
+
−
= 

.
Suy ra
1 1
lim || || || || , 1.
n k
n k
n
T T k
 
 ∀ 

Do đó
1 1
lim || || lim || || .
n k
n k
n
k
T T
 
 


V y ậ
1
lim || ||
n
n
n
T
t n t i h u h n.ồ ạ ữ ạ
Theo tiêu chu n Cauchy- Hadamard ta th y chu i ẩ ấ ổ

1
1
0
|| ||
lim|| || | | .
| |
n
n
n
n
n
n
T
T
λ
λ

+
 
=

 <

]
Vì
( )XL
là không gian Banach nên chu i ổ
1
0
( ).
| |
n
n
n
T
S X
λ

+
=


] L
Ta có
1
lim 0.
| |
n
n
n
T

λ
+
 
=
Ngoài ra ta có
1 1
0 0
1 1
1 1
( ) ( ) lim ( )
lim lim .
n n
k
n n
k
n n
n n k
n n k
k k
T T
T I S T I T I
T T T
I I
λ λ λ
λ λ
λ λ λ

+ +
 
= =

+ +
+ +
   
� � � �
− = − − = − −
� � � �
� � � �
� �
= − − = − =
� �
� �
� �
.
R i l i có ồ ạ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
252
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
( ) ( )
1 1
0 0
1 1
1 1
( ) ( ) lim ( )
lim lim .
n n
k
n n
k
n n

n n k
n n k
k k
T T
S T I T I T I
T T T
I I
λ λ λ
λ λ
λ λ λ

+ +
 
= =
+ +
+ +
   
� � � �
− = − − = − −
� � � �
� � � �
� �
= − − = − =
� �
� �
� �
Ta k t lu n ế ậ
T I
λ
−

là song ánh tuy n tính liên t c nên theo đ nh lý Haln-ế ụ ị
Banach
T I
λ
−
là phép đ ng phôi tuy n tính và S là toán t ng c c aồ ế ử ượ ủ
T I
λ
−
hay
1
1
0
( ) ( ) .
n
n
n
T
R T T I
µ
µ
λ

−
+
=
= − = −

H qu 2.2.2. Cho X là không gian Banach và toán t ệ ả ử
( ).T X L

N u s ế ố
λ
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
| | || ||T
λ
>
thì
( )T
λ ρ

và toán t gi i đ c khai tri nử ả ượ ể
đ c d i d ngượ ướ ạ

1
1
0
( ) ( ) .
n
n
n
T
R T T I
µ
µ
λ

−
+
=
= − = −


Ch ng minh: Ta có ứ
( )
1
1
lim || || lim || || || || | | .
n n
n
n
n n
T T T
λ
   
 = <

Theo đ nh lý 2.2.1 suy ra đi u c n ch ng minh.ị ề ầ ứ
H qu 2.2.3. Cho X là không gian Banach,ệ ả
( ), || || 1.T X T <�L
Khi đó
1
( )T I
−
+
t n t i và ồ ạ
1
0
( ) ( ) .
n
n
T I T


−
=
+ = −

Gi s X là không gian Banach, ả ử
( ).T X L
Khi đó
( )A
ρ
là t p m trong ậ ở
.C
.
Ch ng minh: Ta có ứ
0
( )A
λ ρ

kéo theo
0
( )T I ISom X
λ
− 
và do
( )ISom X
là t pậ
m nên t n t i ở ồ ạ
0r >
sao cho
0

( , ) ( ).B T I r ISom X
λ
− 
Ta ch ng minh ứ
0
( , ) ( ).B r T
λ ρ

V i m i ớ ọ
0
( , )B r
λ λ

suy ra
1 1
0 0 0
|| ( ) ( ) || | | || ( ) || .T T T I T I r
λ λ λ λ λ
− −
− − − = − < − =
V y ậ
1
( ) ( )T I X
λ
−
−  L
hay
0
( , ) ( ).B r T
λ ρ


Bài t p:ậ
Bài 43. Xét toán t ử
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
253