Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ HOÀNG YẾN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG
MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ HOÀNG YẾN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG
MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng

Hà Nội – Năm 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Vũ Thị Hoàng Yến


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng, luận
văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Bài toán điều khiển tối
ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính
trong không gian Hilbert được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm
hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Vũ Thị Hoàng Yến

1

Mục lục

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

1.2

Một số kiến thức về giải tích hàm và độ đo . . . . . . . . .

5

1.1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4

Độ đo và hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Một số kiến thức về lý thuyết điều khiển . . . . . . . . . . . 21
1.2.1

Định lý tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.2

Hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không
gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3

Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển
trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 28

1.2.4

Nửa nhóm của các toán tử và định lý Phillips . . . . 33

2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương
mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không
gian hữu hạn chiều
2.1

38

Bài toán điều khiển tuyến tính và phương trình toán tử Riccati 38
2.1.1

Hàm giá và phương trình Bellman . . . . . . . . . . 38


2

2.1.2

Bài toán điều khiển hệ tuyến tính và phương trình
toán tử Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2

2.3

Điều khiển tuyến tính và ổn định hóa . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1

Nghiệm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2

Ổn định hóa của hệ phương trình tuyến tính . . . . 49

Phương trình Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương
mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không
gian Hilbert
3.1

60

Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương
mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2

Phương trình toán tử Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3

Trường hợp khoảng thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . . . 68

3.4

Trường hợp khoảng thời gian vô hạn . . . . . . . . . . . . . 73

Kết luận

Tài liệu tham khảo

78
79


3

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ
phương trình vi phân trong không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu
cách đây khoảng 50 năm (xem, thí dụ, [4]).
Nhiều bài toán thực tế dẫn tới phải nghiên cứu bài toán điều khiển tối
ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân
trong không gian Hilbert. Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu
toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân thường trong không gian
Hilbert đã được nghiên cứu và trình bày trong một số tài liệu (xem, thí
dụ, [5]).
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một hướng nghiên cứu tương đối
thời sự hiện nay là bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ
phương trình vi phân trong không gian Hilbert, dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Tạ Duy Phượng, tôi chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu toàn
phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian
Hilbert làm luận văn cao học.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và trình bày sơ lược về hệ phương trình vi phân thường trong
không gian Hilbert.
Tìm hiểu và trình bày bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn

4

phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian
Hilbert.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về hệ phương trình vi phân thường trong không gian Hilbert.
Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương
mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ
phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert.

5. Giả thuyết khoa học
Luận văn trình bày các nghiên cứu về một lớp bài toán trong lý thuyết tối
ưu. Trình bày chi tiết về phương trình vi phân tuyến tính trong không gian
Hilbert và bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương
trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert trong các khoảng thời
gian hữu hạn và vô hạn.

6. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các tài liệu liên quan tới Bài toán điều khiển tối ưu với hàm
mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình thường trong không gian
Hilbert.
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới Bài toán
điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương
trình vi phân thường tuyến tính trong không gian Hilbert.

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số kiến thức về giải tích hàm và độ đo
Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. [1, trang 1]
Ta gọi không gian metric một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d từ
tích Descartes X × X vào tập hợp các số thực R thỏa mãn các tiên đề sau
đây:
(1) ∀x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0,

d(x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng

nhất);
(2) ∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);
(3) ∀x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d được gọi là metric trên X , số d(x, y) được gọi là khoảng cách
giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X được gọi là các điểm; các tiên
đề 1), 2), 3) được gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric xác định trên tập X được ký hiệu là (X, d).
Định nghĩa 1.1.2. [1, trang 2]
Cho không gian metric (X, d). Một tập con bất kỳ X0 = ∅ của tập X
cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric.

Không gian metric (X0 , d) được gọi là không gian metric con của không
gian metric đã cho.


6

Tính chất
Giả sử (X, d) là không gian metric. Khi ấy ta có các tính chất sau
∗

n−1

1) ∀xj ∈ X, j = 1, 2, .., n, n ∈ N : d (x1 , xn ) ≤

d(xj , xj+1 ),
j=1

2) ∀x, y, u, v ∈ X : |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u)+d (y, v) , (bất đẳng thức
tứ giác),
3) ∀x, y, u ∈ X : |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u) , (bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.1.3. [1, trang 8]
Cho không gian metric (X, d), dãy điểm (xn ) ⊂ X , điểm x
¯ ∈ X . Dãy
điểm (xn ) được gọi là hội tụ tới điểm x
¯ trong không gian (X, d) khi n → ∞
nếu

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n ≥ n0 : d(xn , x¯) < ε.
Ký hiệu: lim xn = x
¯ hoặc xn → x¯ (n → ∞).

n→∞

Điểm x
¯ được gọi là giới hạn của dãy (xn ) trong không gian (X, d).
Định nghĩa 1.1.4. [1, trang 11]
Cho không gian metric (X, d), a ∈ X , số r > 0. Khi ấy

• Tập S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} được gọi là hình cầu mở tâm a,
bán kính r.

¯ r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm
• Tập S(a,
a, bán kính r.
Định nghĩa 1.1.5. [1, trang 12]
Cho không gian metric (X, d). Mọi tập chứa hình cầu mở tâm x, bán
kính r > 0 được gọi là lân cận của điểm x ∈ X trong không gian (X, d).
Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ), ánh xạ f : X → Y .
Định nghĩa 1.1.6. [1, trang 20]


7

Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x
¯ ∈ X , nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈

X mà dX (x, x¯) < δ thì dY (f (x), f (¯
x)) < ε. Hay nói cách khác:
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x
¯ ∈ X , nếu với lân cận tùy ý cho
trước Uy¯ = S(¯

y , ε) ⊂ Y của điểm y¯ = f (¯
x) trong (Y, dY ), tìm được lân
cận Vx¯ = S(¯
x, ε) ⊂ X của điểm x¯ trong (X, dX ) sao cho f (Vx¯ ) ⊂ Uy¯.
Định nghĩa 1.1.6 tương đương với định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.7. [1, trang 21]
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x
¯ ∈ X , nếu với mọi dãy điểm

(xn ) ⊂ X hội tụ tới điểm x¯ trong (X, dX ) thì dãy điểm (f (xn )) hội tụ tới
f (¯
x) trong (Y, dY ).
Định nghĩa 1.1.8. [1, trang 21]
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập A ⊂ X nếu ánh xạ f liên tục tại
mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f được gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.1.9. [1, trang 21]
Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập A ⊂ X nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, x ∈ A : dX (x, x ) < δ thì dY (f (x), f (x )) < ε.
Nếu f liên tục đều trên tập A ⊂ X thì f liên tục trên A.
Định nghĩa 1.1.10. [1, trang 24]
Trong không gian metric (X, d). Một dãy {xn } được gọi là dãy cơ bản
nếu

lim d (xn , xm ) = 0,

n,m→∞

tức là

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 : d (xn , xm ) < ε.
Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn → x thì theo bất đẳng
thức tam giác ta có d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → 0 (n, m → ∞).


8

Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu coi khoảng (0, 1) là một không gian metric
thì dãy

1
n

, là dãy cơ bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy.

Định nghĩa 1.1.11. [1, trang 24]
Không gian metric (X, d) được gọi là một không gian đầy (không gian
đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Định nghĩa 1.1.12. [1, trang 29]
Ánh xạ T : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α, 0 ≤ α < 1
sao cho:

dY (T x, T x ) ≤ αdX (x, x ), ∀x, x ∈ X.
Định lý 1.1.1. [1, Nguyên lý ánh xạ co Banach,trang 29]
Mọi ánh xạ co T ánh xạ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó đều
có điểm bất động x
¯ duy nhất, nghĩa là x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức T x¯ = x¯.
Định nghĩa 1.1.13. [1, trang 45]
Không gian metric (X, d) được gọi là không gian tách được (separable

space) nếu tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không
gian (X, d).
Với mỗi p ≥ 1, kí hiệu Lp (α, β; E) là không gian của tất cả các lớp
tương đương của hàm khả tích Bochner f từ (α, β) < (−∞, +∞) vào E
sao cho

β

f (t) p dt < +∞.
α

Nó là không gian Banach được trang bị chuẩn


β

 p1

f (t) p dt .

f =
α


9

Nếu E là không gian Hilbert và p = 2 thì L2 (α, β; E) cũng là một không
gian Hilbert và tích vô hướng cho bởi công thức
β

f, g

=

f (t), g(t) E dt.
α

Nếu E = R hoặc E = C thì ta viết Lp (α, β)
Định lý 1.1.2. [5, trang 250]
Nếu 1 ≤ p, q < +∞,

1
r

= p1 + 1q − 1 và f ∈ Lp (0, +∞), g ∈ Lq (0, +∞)

t

f (t − s)g(s)ds ∈ Lr (0, +∞), t ≥ 0 và

thì f ∗ g(t) =
0

 1r

 +∞

f ∗ g(t) r dt ≤ 



0

1.1.2

 p1  +∞

 +∞

f (t) p dt 
0

 1q

g(t) q dt .
0

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.14. Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu
là α, β, γ, ..., và K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán
Phép cộng + : V × V → V, α, β → α + β ,
Phép nhân . : K × V → V, (λ, α) → λ.α,
thỏa mãn các tiên đề sau
(1) α + β + γ = α + β + γ , ∀α, β, γ ∈ V.
(2) ∃0 ∈ V : 0 + α = α + 0 = α, ∀α ∈ V .
(3) ∀α ∈ V, ∃α ∈ V : α + α = α + α = 0.
(4) α + β = β + α, ∀α, β ∈ V.
(5) (λ + µ)α = λ.α + µ.α, ∀λ, µ ∈ K, α ∈ V.
(6) λ(α + β) = λ.α + λ.β, ∀λ ∈ K, ∀α, β ∈ V.
(7) (λ(µα)) = (λµ)α, ∀λ, µ ∈ K, ∀α ∈ V.

(8) 1.α = α, ∀α ∈ V.


10

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là không gian tuyến
tính (không gian vectơ) trên trường K.
Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là
các vô hướng.
Khi K = R (K = C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (không gian
vectơ phức).
Định nghĩa 1.1.15. [1, trang 57]
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)
là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với
một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
(1) ∀x ∈ X : x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ );
(2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P : αx = |α| x ;
(3) ∀x, y ∈ X : x + y ≤ x + y .
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là X . Các tiên đề trên được gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định lý 1.1.3. [1, trang 57]
Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai véctơ bất kì x, y ∈ X ta đặt

d(x, y) = x − y .

(1.1)

Khi đó d là một metric trên X .
Nhờ Định lý 1.1.3, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành

không gian metric với metric (1.1). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.16. [1, trang 58]


11

Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản,
nếu

lim

m,n→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.1.17. [1, trang 58]
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy
cơ bản trong X đều hội tụ.
Bổ đề 1.1.1. [5, trang 236]
Cho ánh xạ T từ không gian Banach X và chính nó, v ∈ X và α > 0.
Nếu T (0) = 0, v ≤ 21 α và

T (p1 ) − T (p2 ) ≤

1
p1 − p2 , p1 ≤ α, p2 ≤ α,
2

thì phương trình

T (p) + v = p
có duy nhất một nghiệm p thỏa mãn p ≤ α.
Định nghĩa 1.1.18. [1, trang 68]
Toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y
được gọi là tuyến tính nếu
(1) A(x + y) = A(x) + A(y);
(2) A (αx) = αA (x).
Toán tử A được gọi là toán tử bị chặn nếu tồn tại hằng số k > 0, sao cho

A(x) ≤ k x , với mọi x ∈ X .
Nếu A bị chặn thì ta định nghĩa

A = sup Ax
x ≤1

hay

A = sup Ax .
x =1


12

Định lý 1.1.4. [1, trang 68]
Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương
(1) A liên tục;
(2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X ;
(3) A bị chặn.

Chứng minh

(1) ⇒ (2). Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa, toán tử A liên
tục tại mỗi điểm x ∈ X , do đó toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X .

(2) ⇒ (3). Giả sử A liên tục tại điểm x0 ∈ X nhưng A không bị chặn.
Khi đó

∀n ∈ N∗ , ∃(xn ) ∈ X :

A(xn ) > n xn .

Vì A là toán tử tuyến tính nên A(0) = 0 do đó xn = θ. Đặt yn =

xn
n xn

xn
1
=
→ 0, khi n → ∞. Nghĩa là, yn → θ khi
n xn
n
n → +∞, suy ra yn + x0 → x0 (n → ∞). Theo giả thiết, ta có

khi ấy yn

=

A(yn + x0 ) − A(x0 ) → 0 (n → ∞) ⇒ Ayn → 0 (n → ∞).

Nhưng A(yn ) =

n xn
A(xn )
>
≥ 1 (mâu thuẫn). Vậy toán tử A bị
n xn
n xn

chặn.

(3) ⇒ (1) Giả sử A bị chặn. Lấy (xn ) ⊂ X, xn → x tương đương với
xn − x → 0.
Ta có A(xn ) − A(x) = A(xn − x) ≤ k xn − x → 0.
Suy ra d (A(xn ), A(x)) = A(xn ) − A(x) → 0 hay A(xn ) → A(x). Do
đó A liên tục. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.5. [1, trang 71]


13

Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian
định chuẩn Y có toán tử ngược A−1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số

α > 0 sao cho
Ax ≥ α x ,
Khi đó A−1 =

∀x ∈ X.

1
.
α

Định nghĩa 1.1.19. [1, trang 81]
Cho họ (At )t∈T gồm các toán tử tuyến tính At ánh xạ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T là tập chỉ số nào đó. Họ

(At )t∈T được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mỗi x ∈ X tập (At (x))t∈T
bị chặn. Họ (At )t∈T được gọi là bị chặn đều nếu tập ( At )t∈T bị chặn.
Định lý 1.1.6. [1, Nguyên lý bị chặn Banach- Steinhaus, trang 81]
Nếu họ (At )t∈T các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Banach

X vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều.
1.1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.20. [1, trang 123]
Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là R hoặc C). Ta gọi
tích vô hướng trên không gian X là ánh xạ từ tích Descartes X × X vào
trường P , ký hiệu là ., . , thỏa mãn các tiên đề sau:
(1) ∀x ∈ X :

x, x ≥ 0,

x, x = 0 nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử

không);
(2) ∀x, y ∈ X :

(3) ∀x, y, z ∈ X :

x, y = y, x ;
x + y, z = x, z + z, y ;

(4) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ P :

αx, y = α x, y .

Các phần tử x, y, z, .... được gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)
được gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y .
Kí hiệu z¯ = a − bi là phần tử liên hợp phức của z¯ = a + bi.


14

Tính chất
1) ∀x ∈ X :

θ, x = 0, vì θ, x = 0x, x = 0 x, x = 0.

2) ∀x, y ∈ X; ∀α ∈ P :

x, αy = α
¯ x, y .

¯ y, x = α
¯ x, y .
Thật vậy, x, αy = αy, x = α
3) ∀x, y, z ∈ X : x, y + z = x, y + x, z .

Thật vậy, x, y + z = y + z, x = y, x + z, x = x, y + x, z .
Định lý 1.1.7. [1, trang 124]
Đối với mỗi x ∈ X , ta đặt

x =

x, x .

(1.2)

Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz

| x, y | ≤ x

y .

Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X .
Định nghĩa 1.1.21. [1, trang 125]
Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô hướng được
gọi là không gian tiền Hilbert.
Hệ quả 1.1.1. [1, trang 125]
Tích vô hướng x, y là một hàm liên tục của hai biến x và y trong không
gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn (1.2).
Chứng minh
Giả sử các dãy điểm tùy ý (xn ) , (yn ) ⊂ X hội tụ lần lượt tới x và y .
Với mọi n ∈ N∗ , áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có

| xn , yn − x, y | = | xn , yn − x, yn + x, yn − x, y |
≤ | xn , yn − x, yn | + | x, yn − x, y |
≤ | xn − x, yn | + | x, yn − y |

≤ xn − x

yn + x

yn − y .


15

Cho n → ∞, vế phải của bất đẳng thức trên tiến đến không. Hay,

lim xn , yn = x, y . Hệ quả đã được chứng minh.

n→∞

Định nghĩa 1.1.22. [1, trang 125]
Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z, .... nào đấy là không
gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
(1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
(2) H được trang bị một tích vô hướng ., . ;
(3) H là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , x ∈ H .

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .
Định nghĩa 1.1.23. [1, trang 144]
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X
được gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu

Ax, y = x, By , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử liên hợp B được kí hiệu là A∗ .
Định lý 1.1.8. [1, trang 144]
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp với toán tử A ánh
xạ không gian Y vào không gian X . Hơn nữa, A∗ là cũng toán tử tuyến
tính bị chặn và A∗ = A .
Định nghĩa 1.1.24. [1, trang 146]


16

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính
nó được gọi là tự liên hợp nếu

Ax, y = x, Ay , ∀x, y ∈ H.
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.1.9. [1, trang 146]
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính
nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng Ax, x là số thực với mọi

x ∈ H . Khi đó,
A = sup | Ax, x | .
x =1

1.1.4

Độ đo và hàm đo được

Cho tập X = ∅ và họ F các tập con của X .
Định nghĩa 1.1.25. [2, trang 29]

F được gọi là một đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện
(i) X, ∅ ∈ F .
(ii) A ∈ F ⇒ Ac = X\A ∈ F .
n

(iii) Ak ∈ F, k = 1, 2, ..., n ⇒ ∪ Ak ∈ F .
k=1

Định nghĩa 1.1.26. [2, trang 30]

F được gọi là một σ− đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện
(i) X, ∅ ∈ F .
(ii) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F .
∞

(iii) Ak ∈ F, k = 1, 2, ... ⇒ ∪ Ak ∈ F .
k=1


17

Nếu F là σ− đại số các tập con của X thì cặp (X, F) được gọi là một
không gian đo được và mỗi tập A ∈ F được gọi là tập đo được (đo được
với F hay F− đo được).
Định nghĩa 1.1.27. [2, trang 45]

σ− đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric

X được gọi là σ− đại số Borel của không gian X , và những tập thuộc σ−
đại số này được gọi là tập Borel trong không gian X .
Định nghĩa 1.1.28. [2, trang 86,87]
Một hàm số µ gọi là một độ đo nếu nó xác định trên một đại số F và
thỏa mãn
(i) µ(A) ≥ 0,

∀A ∈ F .

(ii) µ(∅) = 0.
∞

(iii) Với Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., Ai ∩ Aj = ∅, i = j và ∪ Ai ∈ F , khi đó

µ

∞

∪ Ai

i=1

i=1

∞

=

µ(Ai ).
i=1

Điều kiện (ii) có thể thay bằng điều kiện
(ii’) Tồn tại A ∈ F sao cho µ(A) < +∞.
Thật vậy,

(ii) ⇒ (ii ). Tồn tại ∅ ∈ F mà µ(∅) = 0 < +∞.
(ii ) ⇒ (ii). Với A ∈ F , xét
µ(A) = µ(A ∪ ∅) = µ(A) + µ(∅).
Do µ(A) < +∞ suy ra

µ(∅) = µ(A) − µ(A) = 0.


18

Định nghĩa 1.1.29. [2, trang 103]
Cho không gian X , một σ− đại số F các tập con của X và tập A ∈ F .
Hàm số f : X → R được gọi là đo được trên tập A đối với σ− đại số F
nếu

∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F.

(1.3)

Thường trên σ− đại số F có một độ đo µ, khi đó f (x) cũng được gọi
là đo được đối với độ đo µ hay µ− đo được.
Trong trường hợp X = Rk , F = Lk thì ta nói f (x) là đo được theo
nghĩa Lebesgue (đo được (L)). Nếu X = Rk , F = B k (σ− đại số Borel
trong Rk ) thì ta nói f (x) là đo được theo nghĩa Borel hay hàm f (x) là
hàm số Borel. Điều kiện (1.3) có thể thay bằng một trong các điều kiện

sau

∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) > a} ∈ F,
∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) ≤ a} ∈ F,
∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) ≥ a} ∈ F.
Nếu f (x) đo được trên tập A thì nó cũng đo được trên mọi tập con của A
thuộc F .
Cho không gian đo được X với σ− đại số F trên X và một độ đo µ
trên F .
Hàm XM (t) là hàm đặc trưng của M , nghĩa là

XM (t) =
Ta có

{XM (t) > a} =

0, t ∈
/ M;
1, t ∈ M.
∅, a ≥ 1;
X, a < 0;
A, 0 ≤ a < 1.

XM (t) là đo được khi và chỉ khi M là tập đo được.


19

Định nghĩa 1.1.30. Một hàm f : X → R được gọi là hàm đơn giản nếu
nó đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị.

Gọi αi là các giá trị khác nhau của hàm đơn giản f , kí hiệu tập Ai =

{t : f (t) = αi } thì các tập Ai là đo được, rời nhau và ta có
k

f (t) =

αi XAi (t).
i=1

Ta có thể định nghĩa tích phân của hàm đơn giản, có giá trị không âm
trên tập A là
k

f (t)dµ =

αi µ(Ai ).
i=1

Định lý 1.1.10. Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm
đơn giản, không âm fn sao cho

fn+1 (x) ≥ fn (x), lim fn (x) = f (x),
n→∞

∀x ∈ A.

Như vậy, nếu f đo được, không âm thì ta định nghĩa

f (t)dµ = lim

fn (t)dµ.

n→∞

A

A

Nếu f là hàm đo được bất kì thì

f + (t) := max {f (t), 0} ,

f − (t) := max {−f (t), 0}

cũng là các hàm đo được, không âm và ta có f (t) = f + (t) − f − (t).

f − dµ là số hữu hạn thì ta

f + dµ,

Nếu ít nhất một trong các tích phân
A

A

định nghĩa

A

A

Ta nói f khả tích trên A nếu

f − dµ.

f + dµ −

f dµ =

A

f dµ tồn tại và hữu hạn.
A

Hàm f được gọi là khả tích địa phương trên A nếu nó khả tích trên mọi
đoạn hữu hạn.


20

Định nghĩa 1.1.31. Hàm y : (a, b) → Rn được gọi là liên tục tuyệt đối
nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số δ > 0, với mọi hệ hữu hạn khoảng đôi một
N

không cắt nhau (ak , bk ) ⊂ (a, b), k = 1, 2, ..., N , sao cho

(bk − ak ) < δ
k=1

thì

N

y(bk ) − y(ak ) < ε.
k=1

Định lý 1.1.11. Nếu hàm y : (a, b) → Rn là liên tục tuyệt đối trên (a, b)
thì nó khả vi hầu khắp nơi trên (a, b), đạo hàm y(.)
˙ của nó khả tích trên

(a, b) và công thức
τ

y(t) − y(τ ) =

y(s)ds,
˙
t

đúng vợi mọi t, τ ∈ (a, b).
Nếu hàm ξ(.) : (a, b) → Rn khả tích trên a, b) và τ ∈ (a, b) thì hàm số
t

y(t) =

ξ(s)ds là liên tục tuyệt đối và y(t)
˙ = ξ(t) hầu khắp nơi.
τ

21

1.2

Một số kiến thức về lý thuyết điều khiển

Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại lý thuyết về phương trình vi phân
tuyến tính và một số khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển.

1.2.1

Định lý tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình vi
phân

Xét phương trình vi phân

y˙ = u,
trong đó u(t) =

0,
1,

t < 0;
t ≥ 0.

Khi ấy,

y(t)
˙ =

0,
1,

t < 0;
t ≥ 0. ⇔ y(t) =

C1 , t < 0;
t + C2 , t ≥ 0.

Để nghiệm liên tục tại t = 0 thì C1 = C2 = C . Vậy ta có nghiệm liên tục

y(t) =

C, t < 0;
t + C, t ≥ 0.

Nghiệm này không khả vi tại t = 0. Điều này dẫn tới phải mở rộng khái
niệm nghiệm của phương trình vi phân.
Cho hệ phương trình vi phân thường

dy
= f (t, y),
dt

t ∈ (a, b) ,

(1.4)

với điều kiện ban đầu

y(t0 ) = y0 ,

t0 ∈ (a, b) ,

(1.5)

trong đó (a, b) ⊆ R; tập D := (a, b) × G ⊆ R × Rn , trong đó G là tập mở
trong Rn . Hàm f : D → Rn xác định và liên tục trên D.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm số f : D → Rn được gọi là Lipschitz đối với y
đều theo t trên D nếu tồn tại số thực dương L sao cho với mọi (t, y1 ) ∈