Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LA HỒNG NGỌC

CÁC ĐIỂM HỮU TỶ
TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC
TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN.
Chuyên ngành: Hình học và tôpô.
Mã số:
604610

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Tiến sĩ Phan Dân

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


LỜI CẢM ƠN
Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới
Thầy - TS. Phan Dân - người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề
tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện, truyền
đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn
chỉnh nội dung của bài luận.

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán - Tin của
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của
Khóa học giúp tôi nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu
ích, giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp.

Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Khoa học Công Nghệ Sau Đại học, phòng Tổ
chức Hành chính, phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh;
Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đông thị xã Gò
Công tỉnh Tiền Giang cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Chân thành cảm ơn!

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010.
Tác giả
La Hồng Ngọc.


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
An

Không gian afin n-chiều.

D

Biệt thức của đa thức bậc 3.

deg

Bậc của đường cong phẳng.

E(k)

Tập điểm hữu tỷ của đường cong elliptic E trên trường k.

E(Fp)

Tập hợp các điểm hữu tỷ của E trên trường Fq.

#E(Fp)

Cấp của E(Fp).

| Ek  Cr 2 | Số các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn.

q

Trường hữu hạn q phần tử.

Ga

Nhóm cộng tính.
Nhóm nhân.

Gm
(a)

Gm

Nhóm xoắn.

G(k)

Nhóm các điểm hữu tỷ.

gcd( )

Ước số chung lớn nhất.

(X)

Ideal triệt tiêu của X.

k[x1, …, xn] Vành đa thức trên k với n biến.
k[ X ]

Trường các hàm hữu tỷ trên X.

Np(f(x))

Số nghiệm của phương trình đồng dư f ( x )  0(mod p) .

N(p)

Số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong Fp.

N(p)

*

Số cặp của các số nguyên liên tiếp trong Fp.

(X)

Vành các hàm chính quy trên X.

Pn

Không gian xạ ảnh n-chiều (trên trường k đóng đại số).

Qp

Tập hợp các thặng dư bậc 2 modulo p.

T(A)

Nhóm con xoắn của A..


X(k)

Tổng trực tiếp.
Tập tất cả các điểm k-hữu tỷ trên X.


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết các đường cong Elliptic, vấn đề về số các điểm hữu tỷ trên các đường cong
và cách xác định các điểm đó là một trong những vấn đề hết sức quan trọng. Đối với cấu trúc của
nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên Q cũng như tính chất của các điểm xoắn
trên chúng (được mô tả qua các Định lý Mordell-Weil, Mazur và Nagell-Lutz) là những kết quả rất
đẹp nhưng chủ yếu mang ý nghĩa về mặt lý thuyết, bởi vì trong thực tế việc xác định các đối tượng
đã được mô tả cũng không đơn giản (đối với trường hợp tổng quát), thậm chí ngay cả trường hợp
chỉ xét các đường cong trên trường hữu hạn thì tập các điểm hữu tỷ như vậy cũng chỉ có lực lượng

hữu hạn và có cấu trúc nhóm nhưng việc tính toán cũng không dễ dàng. Một mặt khác, trong thời
gian gần đây lý thuyết về các đường cong Elliptic không còn là lĩnh vực nghiên cứu riêng của các
nhà Hình học hay các nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số. Một trong những ứng dụng
được quan tâm phát triển rất mạnh hiện nay là “sử dụng các kết quả nghiên cứu về đường cong
elliptic trên trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hoá thông tin”. Vì vậy, có một vấn đề tiếp
theo được đặt ra rất tự nhiên là thử tìm hướng tiếp cận đến một số thuật toán tính toán để xác định
các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn.
Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận và giới
thiệu một số kiến thức chuyên môn về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn”
cùng với việc xét tính chất của một số họ đường cong cụ thể để thực hiện việc mô tả cấu trúc của
nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng và xây dựng thuật toán tính toán tương ứng.
Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn được mô
tả dưới dạng Weierstrass.
Vì vậy, luận văn có tên gọi là:
“Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn”.
2.

Lịch sử của vấn đề
Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong Luận

văn dựa trên một số kết quả sau đây:
a) Định lý Hasse mô tả cận trên của lực lượng nhóm E(Fq) của đường cong elliptic trên
trường hữu hạn Fq.
b) Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm trên nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường
cong Elliptic trên trường hữu hạn .
c) Các kết quả mô tả về các nhóm abel hữu hạn sinh.


Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các điểm hữu
tỷ trên một số họ đường cong

trên trường Fq được cho dưới dạng Weierstrass:

y 2 = x 3 + Ax + B . Trong trường hợp đường cong được xét trên trường Zp thì vấn đề được xét
sẽ là các thuật toán xác định nhóm các điểm hữu tỷ và tập các điểm trên đường cong. Một số kết quả
nghiên cứu thuộc các hướng này đã và đang được tiếp tục phát triển trong thời gian gần đây bởi
nhiều tác giả, và là đề tài thường trực trong các Hội nghị Khoa học về “Lý thuyết trường hữu hạn và
ứng dụng” – một trong các vấn đề rất được chú trọng trong Lý thuyết mã hóa thông tin.
3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong elliptic dưới

dạng Weirstrass trên trường hữu hạn.
- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng: y2 =x 3 +kx , y 2 =x 3 + b với

k , b  Fq , Fq có q phần tử và có đặc số p, nhằm mục đích là mô tả nhóm các điểm hữu tỷ trên
chúng.
Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi xét các đường cong Elliptic E không kỳ dị trên trường hữu
hạn F với ý tưởng là mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) và mô tả các thuật toán
tính toán đã nêu (với F như đã mô tả ở trên).
4. Mục đích nghiên cứu
- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) của đường cong Elliptic không kỳ dị E
trên F.
- Mô tả các điểm hữu tỷ trên một số lớp đường cong Elliptic: y 2  x3  kx , y 2  x3  b
trên trường Fq .
Trình bày phương pháp chứng minh một số Định lý mô tả cách xác định các đối tượng đã
liệt kê ở trên đối với các họ đường cong được xét.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kết quả tổng quát đã biết về tính chất của các đường cong Elliptic trên trường

hữu hạn để mô tả và xác định nhóm các điểm hữu tỷ trên các họ đường cong được xét.
- Sử dụng các phương pháp, công cụ của Đại số và Lý thuyết số để giải quyết bài toán xác định
nghiệm của phương trình đồng dư trên trường hữu hạn, cùng với kết quả của Định lý Hasse về
khoảng giới nội của lực lượng của nhóm E(F) để xây dựng các thuật toán tính toán. Đây là một số


hướng nghiên cứu và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường
cong elliptic trên trường hữu hạn. Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như các thuật
toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [6],
[24], [30].
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm: phần mở đầu, 2 chương: nội dung, và phần kết luận.
Cụ thể như sau:
Phần mở đầu: Nêu xuất sứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Chương 1:

Một số kiến thức cơ bản.

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố
trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán:
- Các định lý cơ bản về các nhóm abel hữu hạn sinh.
- Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Trường hữu hạn.
- Các đa tạp xạ ảnh, afin.
- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu đã được công bố về đường cong elliptic. Các
đường cong trên trường hữu hạn. Các định lý cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ
trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn.

Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên trường hữu hạn.
-

Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên trường hữu hạn.

-

Các điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic trên trường hữu hạn

-

Mô tả chung về luật nhóm.

-

Nhóm con các điểm hữu tỷ của các họ đường cong y 2  x3  kx , y 2  x3  b , với

k , b  Fq .

Phần kết luận: Mô tả tóm tắt và nêu kết luận về các vấn đề, nội dung đã thực hiện trong Luận
văn..


CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
§1. CÁC BƯỚC MỞ ĐẦU
Trong chương này, ta xem lại một số định nghĩa và các kết quả cơ bản trong Đại số giao
hoán và Lý thuyết phạm trù, và ta suy ra một số thuật toán cho việc nghiên cứu trong các vành đa
thức.

1.1. ĐẠI SỐ
Cho A là một vành. Một A-đại số là một vành B với một phép đồng cấu iB : A  B . Phép đồng cấu

của A-đại số từ B  C là một phép đồng cấu vành  : B  C sao cho  (iB (a ))  iC (a ), a  A.
Một A-đại số B sinh ra các phần tử x1, x2, ... , xn nêú như mọi phần tử của B có thể được biểu
diễn như một đa thức trong xi với tọa độ trong iB(A). Nghĩa là, nếu phép đồng cấu của A-đại số
A[X1, X2, … , Xn]  B biến Xi thành xi là một song ánh.
 A[ X 1 , X 2 ,..., X n ]  B 

 là song ánh.
X i  xi 


Khi đó ta viết:

B = (iBA)[x1, … , xn]

Một A-đại số B được gọi là hữu hạn sinh (hoặc của một loại hữu hạn trên A) nếu nó được sinh ra
bởi một tập hữu hạn các phần tử.
Một phép đồng cấu vành A  B là hữu hạn, và B là một A-đại số hữu hạn, nếu B hữu hạn
sinh như một A-module.
Cho k là một trường, và cho A là một k-đại số. Khi l  0 trong A, ánh xạ

k  A là đơn

ánh, và ta có thể đồng nhất k với ảnh của nó. Ta có thể xem k như một vành con của A. Khi l = 0
trong vành A, thì A là vành 0, A = {0}.
Cho A[X] là vành đa thức ký hiệu X với các hệ số trong A. Nếu A là một miền xác định
nguyên, thì deg(fg) = deg(f) + deg(g), và suy ra A[X] cũng là một miền xác định nguyên; hơn nữa
A[X]X = AX.
1.2.

IDEALS.

Cho A là một vành. A vành con của A là một tập con chứa l mà bị đóng dưới phép cộng, phép nhân,
và sự cấu thành của các đại lượng âm. Một ideal a trong A là một tập con sao cho:


(a) a là một nhóm con của A được xem như một nhóm có phép cộng.
(b) a  a, rA  r a  a.
Ideal được sinh ra bởi một tập con S của A là tập giao của tất cả các ideal a chứa trong Athực chất đây là một ideal, và nó bao gồm tất cả các tổng hữu hạn của dạng  ri si với ri  A, si  S .
Khi đó, S ={s1, s2, … }, ta viết là: (s1, s2, …).
o Cho a và b là hai ideal trong A.
Tập {a + b | aa, bb} là một ideal, kí hiệu: a + b.
Ideal sinh bởi: {ab | aa, bb}, ký hiệu: ab.
Rõ ràng, ab bao gồm tất cả các tổng hữu hạn  aibi với ai  a và bi b, và nếu a =

( a1 ,..., am ) và b = (b1,, …, bn), thì ab = ( a1b1 ,..., aib j ,..., ambn ).
Chú ý rằng: ab  a  b.
o Cho a là một ideal của A. Tập hợp của các lớp của a trong A hình thành một vành A/a, và

a  a  a là một phép đồng cấu  : A  A/a. Ánh xạ b   1 (b) là một sự tương ứng một-một
giữa các ideal của A/a và các ideal của A đang chứa a.
o Một ideal p là nguyên tố nếu p  A và ab  p  a  p hoặc b  p. Do đó p là số nguyên tố
nếu và chỉ nếu A/p khác 0 và có tính chất:
ab = 0, b  0  a = 0, nghĩa là: A/p là một miền nguyên.
o Một ideal m là tối đại nếu m  A và không tồn tại ideal n chứa một cách nghiêm ngặt giữa m
và A. Do đó m là tối đại nếu và chỉ nếu A/m khác 0 và không có các ideal khác 0 thích hợp, và do
đó nó là một trường. Chú ý rằng:
m tối đại



m nguyên tố.

Các ideal của A x B là tập tất cả các dạng a x b với a và b là các ideal trong A và B. Chú ý
rằng, nếu c là một ideal trong A x B và (a, b)c, thì:
(a, 0) = (1, 0)(a, b)  c và (0, b) = (0, 1)(a, b)  c.
Vì thế, c = a x b với
a = {a | (a, 0)  c}, b = {b | (0, b)  c}.


Định lý 1.2.1: ( Định lý số dư Trung hoa).
Cho a1, a2, … , an là các ideal trong một vành A. Nếu ai là số nguyên tố cùng nhau với aj
(nghĩa là: ai + aj = A), với bất kỳ i  j, khi đó ánh xạ:
A  A/ a1 x . . . x A/an
là song ánh, với hạt nhân:
Chứng minh:

(1)

ker  ai =  ai.

Đầu tiên giả sử rằng n = 2. Khi a1 + a2 = A, tồn tại ai  ai sao cho:

a1 + a2 = 1.

Khi đó x = a1x2 + a2x1 ánh xạ vào (x1 mod a1, x2 mod a2), sao cho chứng tỏ rằng (1) là song ánh.
Với mỗi i, tồn tại các phần tử ai  a1 và bi  ai sao cho:
ai + bi = 1, với mọi i  2 .
Tích  i2 (a i  bi )  1 và nằm trong a1 +  i 2 ai, và do đó:
a1 +  ai = A.
i2

Áp dụng định lý trong trường hợp n = 2 để thu được một phần tử y1 của A sao cho:

y1  1mod a1 , y1  0 mod  a1.
i2

y1  1mod a1 , y1  0mod aj , với mọi j >1.

Suy ra

Tương tự, tồn tại các phần tử y2, … , yn sao cho:

yi  1mod ai , yi  0mod aj , j  i.
Phần tử x 

x y

i i

ánh xạ vào (x1 mod a1, … , xn mod an), để chứng tỏ rằng (1) là song ánh.

Điều đó chứng minh rằng:  ai =  ai. Ta chú ý rằng:  ai   ai.
Đầu tiên giả sử rằng: n = 2, và cho a1 + a2 = 1, như trước. Vì c  a1  a2, ta có:
c = a1c + a2c  a1.a2
Ta chứng minh: a1  a2 = a1a2.
Việc chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp toán học. Điều này cho phép chúng ta giả sử rằng:

i 2 ai =



i 2

a i.

Ta đã chứng minh ở trên: a1 và  i  2 ai là nguyên tố cùng nhau, và do đó:
a1.(  ai) = a1 ( ai) =  ai.
i 2

1.3.

Các vành Noether

i2


Mệnh đề 1.3.1: Các điều kiện sau trên vành A là tương đương:
(a) Mọi ideal trong A đều là hữu hạn sinh;
(b) Mọi dãy tăng của các ideal a1  a2  ... dần dần trở thành hằng số, nghĩa là với một số m,

a m  am1  ...,
(c) Mọi tập khác rỗng của ideal trong A có một phần tử lớn nhất (nghĩa là: một phần tử không
tương thích chứa trong bất kỳ ideal nào đó trong một tập).
Chứng minh:
(a)  (b): Nếu a1  a2  ... là một dãy tăng, khi đó a =  ai là một ideal

 tồn tại một tập hữu hạn {a1,..., an } các phần tử sinh.
Với mọi m,  ai  am ta suy ra:

am = am + 1 = … = a.

(b)  (c): Cho S là một tập khác rỗng của các ideal trong A. Cho a1  S, nếu a1 không lớn nhất
trong S, khi đó tồn tại một ideal a2  S thích hợp chứa a1. Tương tự, nếu a2 không lớn nhất
trong S, thì tồn tại một ideal a3S thích hợp chứa a2, vân vân…Trong cách này, ta thu được
một dãy tăng các ideal a1  a2  a3  ... trong S và xác định được giới hạn trong một
ideal là ideal lớn nhất trong S.
(c)  (a): Cho a là một ideal, và cho S là một tập của các ideal b  a hữu hạn sinh. Khi đó S là
một tập khác rỗng, do đó nó chứa một phần tử lớn nhất c = ( a1 , a2 ,..., ar ) . Nếu c  a, thì tồn
tại một phần tử a  a\c, và ( a1 , a2 ,..., ar , a ) sẽ là một ideal hữu hạn sinh trong a thích hợp
chứa c. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của (c)  (điều phải chứng minh).
Một vành A là Noether nếu nó thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề. Ta lưu ý trong một vành
Noether, mọi ideal thích hợp được chứa trong một ideal lớn nhất (áp dụng (c) đối với tất cả các ideal
thích hợp của A chứa các ideal đã cho).
Thực tế, điều này đúng với mọi vành, nhưng việc chứng minh các vành không Noether phải sử
dụng các tiên đề lựa chọn.
Một vành A được xem là địa phương nếu nó có chính xác một ideal m tối đại. Bởi vì mọi vành
không đơn vị được chứa trong một ideal lớn nhất, vì một vành địa phương

AX = A \ m.

Mệnh đề 1.3.2: (Bổ đề Nakayama’s).
Cho A là một vành noether địa phương với ideal tối đại m, và cho M là một A-module hữu
hạn sinh.
(a) Nếu M = mM, thì M = 0.


(b) Nếu N là một module con của M sao cho M = N + mM, thì M = N.
Chứng minh:
(a) Cho x1, x2, … ,xn sinh ra M, và viết: xi 

 a x , với a
ij

j

ij

 m.

j

Khi đó x1, x2, … , xn là nghiệm của hệ n phương trình với n biến sau:

 (

ij

 aij ) x j  0,  ij  Kronecker delta.

j

Do đó, theo quy luật của Cramer cho ta: det(ij – a ij)xj = 0, với mọi i.
Nhưng det(ij – a ij)  m, do đó nó là một đơn vị. Suy ra, mọi xi = 0, do đó M = 0.
(b) Giả thuyết rằng M/N = m(M/N), và do đó M/N = 0, nghĩa là: M = N.
Do đó, cho A là một vành Noether địa phương với ideal tối đại m. Khi ta xem m như một Amodule, tác động của A trên các thừa số m/m2 với k = A/m.
Hệ quả 1.3.3:
Các phần tử a1 ,..., an của m sinh ra m như một ideal nếu và chỉ nếu các thặng dư module m2
sinh ra m/m2 như một không gian vectơ trên k. Đặt biệt, số nhỏ nhất của các phần tử sinh vì ideal tối
đại bằng số chiều của không gian vectơ m/m2.
Chứng minh:

Nếu a1 ,..., an sinh ra m, các thặng dư sinh ra m/m2. Ngược lại, giả sử rằng các thặng dư của
chúng sinh ra m/m2, sao cho m = ( a1 ,..., an ) + m2. Vì A là noether và do đó m là hữu hạn sinh.
Áp dụng bổ đề Nakayama với M = m và N = ( a1 ,..., an ), chứng minh rằng: m = ( a1 ,..., an ).
Định nghĩa 1.3.4: Cho A là một vành Noether.
(a) Độ cao ht(p) của một ideal nguyên tố p  A là chiều dài lớn nhất của một dãy các ideal
nguyên tố:

p = pd  pd-1 … p0.

(2).

(b) Số chiều Krull của A là sup{ht(p) | p  A, p nguyên tố}.
Do đó, số chiều Krull của một vành A là cận trên đúng của chiều dài của dãy các ideal
nguyên tố trong A (chiều dài của một chuỗi là số các kẻ hở, do đó chiều dài của (2) là d).
Ví dụ, một trường có số chiều Krull là 0, và ngược lại một miền nguyên của số chiều Krull
bằng 0 là một trường. Chiều cao của mỗi ideal nguyên tố khác 0 trong miền xác định ideal chính là
1, do đó một vành có số chiều Krull bằng 1.
Chiều cao của bất kỳ ideal nguyên tố nào trong một vành noether là hữu hạn, nhưng số chiều
Krull của vành có thể vô hạn. (Ví dụ: xét Nagata, các vành địa phương, 1962, appendix; phụ lục


A1). Trong một ví dụ của Nagata, có các ideal tối đại p1, p2, p3, … trong A sao cho dãy ht(pi) hướng
tới vô hạn.
Định nghĩa 1.3.5: Một vành noether địa phương của số chiều Krull d được xem là chính quy nếu
ideal tối đại của nó có thể được sinh ra bởi các phần tử d.
Nó suy ra từ hệ quả (1.3.3) mà một vành noether địa phương là chính quy nếu và chỉ nếu số
chiều Krull của nó bằng với số chiều của không gian vectơ m/m2.
Bổ đề 1.3.6: Cho A là một vành Noether. Tập bất kỳ của các phần tử sinh cho một ideal trong A
chứa một tập con hữu hạn sinh.
Chứng minh:

Cho a là một ideal được sinh bởi một tập con S của A. Khi đó a = ( a1 ,..., an ) với ai  A. Mỗi

ai nằm trong ideal được sinh bởi một tập con hữu hạn Si của S. Bây giờ

 S là hữu hạn và sinh ra
i

a.
Định lý 1.3.7: (Định lý tương giao Krull). Trong bất kỳ vành địa phương noether A nào với ideal
tối đại m, thì



n 1

mn  {0}.

Chứng minh:
Cho a1 ,..., ar sinh ra m. Khi đó mn được sinh bởi các đơn thức bậc n trong ai . Mặt khác, mn
bao gồm tất cả các phần tử của A mà bằng g( a1 ,..., ar ) cho một số đa thức thuần nhất g(X1, . . . , Xr)
 A[X1, . . . , Xr] bậc n. Cho Sm là tập tất cả các đa thức thuần nhất f có bậc m sao cho
f( a1 ,..., ar )



n1

m n , và cho a là một ideal được sinh bởi tất cả các S m. Theo bổ đề 1.3.6, tồn tại

một tập hữu hạn f1, f2, . . ., fs các phần tử của  S m mà sinh ra a.

Cho d i = degfi , và cho d = maxd i. Cho b 



n 1

mn ; đặc biệt b md+1, và do đó b =

f( a1 ,..., ar ) với một số đa thức thuần nhất f bậc d + 1. Từ định nghĩa,

f Sd +1  a, và do đó: f =

g1f1 + . . . + gsfs, với gi  A.
Khi f và fi là thuần nhất, từ mỗi g i ta có thể bỏ qua tất cả các số hạng không có bậc degf – degfi, vì
các số hạng này triệt tiêu lẫn nhau. Do đó, ta có thể chọn g i thuần nhất bậc degf - degfi = d + 1 – di >
0.
Khi đó:

b  f (a1 , a2 ,..., ar )   gi ( a1 , a2 ,..., ar ) fi (a1 , a2 ,..., ar )  m.  m n .
Do đó,

 m n  m.  m n ,


và từ bổ đề của Nakayama ta suy ra:
1.4.

 mn  0 .

Nhân tử hóa duy nhất

Cho A là một miền xác định nguyên. Một phần tử a của A là một phần tử tối giản nếu nó

khác 0, không là một đơn vị, và chỉ cho các nhân tử hóa tầm thường, nghĩa là:

a  bc  b hoặc c là một đơn vị.
Nếu mọi phần tử không đơn vị khác không trong A có thể được viết như một tích hữu hạn của các
phần tử tối giản được một cách chính xác trong một cách nào đó (đối với các đơn vị và bậc của các
nhân tử), khi đó A được gọi là một miền tầm thường hóa địa phương. Như trong một vành, một
phần tử tối giản a chỉ có thể chia tích bc nếu nó là một nhân tử tối giản của b hoặc c (viết bc = aq và
biểu diễn b, c, q như tích của các phần tử rút gọn).
Mệnh đề 1.4.1:
Cho (a) là một ideal chính thích hợp khác 0 trong một miền nguyên A. Nếu (a) là một ideal
nguyên tố, khi đó a là tối giản, và ngược lại khi A là một miền nhân tử hóa duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử (a) là số nguyên tố. Bởi vì (a) không là (0) cũng không phải là A, a khác 0 mà cũng
không là đơn vị. Nếu a = bc thì bc  (a), bởi vì (a) là số nguyên tố, nghĩa là b hoặc c thuộc (a), ta
nói b = aq. Bây giờ a = bc = aqc, nghĩa là qc = 1, và khi đó c là một đơn vị.
Ngược lại, giả sử rằng a tối giản. Nếu bc  (a), khi đó a|bc (mà ta đã chú ý ở trên) nghĩa là
a|b hoặc a|c, nghĩa là: b hoặc c  (a).
Mệnh đề 1.4.2: (Bổ đề Gauss)
Cho A là một miền nhân tử hóa duy nhất với trường của các phân số F. Nếu các thừa số f(X)

 A[X] là tích của hai đa thức không hằng số trong F[X], khi đó là tích của hai đa thức không hằng
số trong A[X].
Chứng minh: Cho f = gh trong F[X]. Cho c, d A, các đa thức g 1 = cg và h1 = dh có các hệ số
trong A, và vì thế ta có một nhân tử hóa
cdf = g1h1 trong A[X].
Nếu một phần tử tối giản p của A chia cho cd, khi đó, tìm modulo (p), ta thấy rằng:
0 = g1.h1 trong (A/(p))[X].
Theo mệnh đề 1.4.1, (p) là số nguyên tố, và do đó (A/(p))[X] là một miền xác định nguyên. Do vậy,

p chia hết cho tất cả các hệ số của một trong các đa thức nhỏ nhất g1, h1, giả sử g1, để cho g 1 = pg2
với g2  A[X]. Do đó, ta có một nhân tử hóa


(cd/p)f = g2h 1 trong A[X].
Tiếp tục phương pháp này, ta có thể di chuyển lại toàn bộ các thừa số tối giản của cd, và vì thế ta
thu được một nhân tử hóa của f trong A[X].
Cho A là một miền nhân tử hóa duy nhất. Một đa thức khác 0

f  a0  a1 X  ...  am X m
trong A[X] được nói là nguyên hàm nếu ai không có nhân tử chung (khác hơn những đơn vị). Mỗi
đa thức f trong A[X] có thể được viết f = c(f).f1 với c(f)  A và f1 nguyên hàm, và sự phân tích này
là duy nhất đến các đơn vị trong A. Phần tử c(f), được định nghĩa tốt đối với phép nhân bởi một đơn
vị, được gọi là dung lượng của f.
Bổ đề 1.4.3. Tích của hai đa thức nguyên hàm là nguyên hàm.
Chứng minh:
Cho

f  a0  a1 X  ...  am X m ,
g  b0  b1 X  ....  bn X n ,

là các đa thức nguyên hàm, và cho p là một phần

tử tối giản của A. Cho ai0 là hệ số đầu tiên của f không thể chia được bởi p và b j0 là hệ số đầu tiên
của g không thể chia được bởi p. Khi đó tất cả các số hạng trong



i  j i 0  j0

aib j có thể chia được

bởi p, ngoại trừ ai0 b j0 , là không thể chia được bởi p. Do đó, p không thể chia hệ số thứ-(i0 + j0) của
fg. Ta chứng minh rằng không có phần tử tối giản của A chia tất cả các hệ số của fg, vì thế phải là
nguyên hàm.
Bổ đề 1.4.4:
Cho các đa thức f, g  A[X], c(fg) = c(f). Khi đó, mọi nhân tử trong A[X] của một đa thức
nguyên hàm là nguyên hàm.
Chứng minh: Lấy f = c(f)f1 và g = c(g)g1 với f1, g1 là nguyên hàm.
Khi đó fg = c(f)c(g)f1g1 với f1g1 là nguyên hàm, và do đó: c(fg) = c(f)c(g).
Mệnh đề 1.4.5:
Nếu A là một miền nhân tử hóa duy nhất, thì A[X] cũng là miền nhân tử hóa duy nhất.
Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh rằng mọi phần tử f của A[X] là tích của các phần tử tối giản.
Từ nhân tử hóa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy rằng đủ để làm được điều này vì f nguyên
hàm.
Nếu f không thể tối giản trong A[X], thì nó có các thừa số như f = gh với g, h là các đa thức
nguyên hàm trong A[X] của bậc thấp hơn. Thực hiện tiếp tục ta thu được nhân tử hóa cần tìm.


Từ nhân tử hóa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy rằng các phần tử tối giản của A[X] được
tìm ra giữa các đa thức hằng số và các đa thức nguyên hàm.
Lấy

f  c1...cm f1... f n  d1...d r g1... g s là hai nhân tử hóa của một phần tử f của A[X] vào

các phần tử tối giản với các hằng số ci, dj và các đa thức nguyên hàm fi, gj. Khi đó:

c ( f )  c1...cm  d1...d r (tùy vào các đơn vị trong A)
Tiếp tục sử dụng A là một miền nhân tử hóa duy nhất, ta thấy m = r và sự phân biệt của ci chỉ từ d i
bởi các đơn vị và sự sắp xếp thứ tự.

f1... f n  g1... g s (tùy vào các đơn vị trong A).

Do đó

Bổ đề Gauss chứng minh fi, gj là các đa thức tối giản trong F[X] và, sử dụng F[X] là một
miền xác định nhân tử hóa duy nhất, ta thấy n = s và sự khác nhau của fi chỉ từ gi bởi các đơn vị
trong F và bởi sự sắp xếp thứ tự của chúng.
Nhưng nếu f i 

a
g j với a và b là các phần tử khác 0 của A, khi đó:
b
bfi = a gj.

Khi fi và gj là nguyên hàm, ta suy ra b = a (tùy vào một đơn vị trong A).
Do đó

§2.

a
là một đơn vị trong A.
b

CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH.

Phần này giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhóm abel hữu hạn sinh.
Định nghĩa 2.1: Một nhóm abel A là hữu hạn sinh nếu có hữu hạn phần tử a1 , a2 ,..., an  A sao
cho với bất kỳ x  A , có các số nguyên k1, k2, … , kn sao cho:
n

x   i 1 ki ai .
Định nghĩa 2.2: Cho A là một nhóm abel. Nhóm con xoắn của A, ký hiệu T(A), là tập:
T(A) = {a  A | n   : na  0} .
Định nghĩa 2.3: Một nhóm abel A được gọi là không có xoắn nếu T(A) = {0}.
Bổ đề 2.4: Cho A là một nhóm abel. Khi đó A/T(A) là không có xoắn.


Định nghĩa 2.5:  n    ...   tổng của n bản được gọi là nhóm abel không có hạng n.
Định lý 2.6: Nếu A là một nhóm abel không có xoắn hữu hạn sinh mà có một tập hợp các phần tử
sinh có lực lượng bé nhất với n phần tử, khi đó A đẳng cấu với nhóm abel tự do hạng n.
Chứng minh:
Bằng phương pháp quy nạp trên số các phần tử sinh cực tiểu của A. Nếu A là cyclic (nghĩa là
được sinh bởi một phần tử khác 0), thì khi đó A   .
Giả sử rằng mệnh đề đúng với cho thấy tất cả các nhóm abel không có xoắn hữu hạn sinh với
một tập hợp các phần tử sinh cực tiểu có ít hơn n phần tử. Giả sử A là không có xoắn và
{ a1 , a2 ,..., an } là một tập các phần tử sinh cực tiểu của A.
Nếu T(A/< a1 >)={0} khi đó A/< a1 > là không có xoắn và được sinh bởi n - 1 phần tử, thì kết
quả được suy ra từ phép quy nạp và < a1 >  . Nếu T(A/< a1 >) không là nhóm tầm thường thì có
một nhóm con B  A sao cho:
T(A/< a1 >)  B/< a1 >.
Như vậy với bất kỳ phần tử 0  b  B tồn tại một số nguyên 0  i  sao cho ib< a1 >.
Nhưng, vậy thì ib  ja1 với số nguyên j   .
Định nghĩa một ánh xạ

f :B
(và f(0) = 0). Ta có thể kiểm tra ánh xạ này là một
b  f(b) = j/i

phép đồng cấu của các nhóm abel, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ này có hạt nhân tầm thường, và

do đó là đơn ánh suy ra B  f ( B) .
Vì vậy, nếu B là hữu hạn sinh (vì  là một vành Noether) thì B là cyclic.
Thật vậy, giả sử B = <b1, …, bm>. Khi đó:
f(B) = < f(b1), … , f(b m) > = <j1/i1, … , jm/im > là một nhóm con của nhóm cyclic
<1/i1…im>, do đó là cyclic.
Nếu B = A thì A tự do sinh bởi một phần tử. Nếu không, khi đó:

A / B  a1 ,..., an  a2 ,..., an 
và

A / B  ( A/  a1 ) / ( B /  a1 )  ( A/  a1 ) / T ( A/  a1 ).

Do đó, A/B là không có xoắn và được sinh bởi nhiều nhất n – 1 phần tử, do đó là abel tự do hạng m
< n bằng phương pháp quy nạp.
Suy ra: A  B   m sao cho: B  A /  m và là hữu hạn sinh.
Do trên, B là cyclic nên suy ra kết quả. Chú ý, m = n – 1 vì n là cực tiểu.


Định nghĩa 2.7: Cho A là một nhóm abel, và cho B và C là các nhóm con của A. Ta nói rằng A là
tổng trực tiếp trong của B và C, ký hiệu A  B  C , nếu
A = B + C và B  C  {0} , với B + C = { b + c | bB và cC}.
Định nghĩa 2.8: Cho P là một phạm trù và cho X và Y là các vật của P. Một cấu xạ f : X  Y
được gọi là đơn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Z  X, nếu f  i  f  j
thì i = j.
Định nghĩa 2.9: Cho P là một phạm trù và cho X và Y là các vật của P. Một cấu
xạ f : X  Y được gọi là toàn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Y  Z,
nếu i  f  j  f thì i = j.
Định nghĩa 2.10: Cho A và B là các nhóm abel. Tổng trực tiếp ngoài của A và B trong phạm trù
của các nhóm abel, ký hiệu A  B là một nhóm abel A  B với các phép đồng cấu chính tắc i : A
 A  B và j: B  A  B thỏa mãn điều kiện với bất kỳ nhóm abel C và các cấu xạ f : A  C

và g : B  C, tồn tại một ánh xạ duy nhất k : A  B  C sao cho biểu đồ sau giao hoán:
i
j
A 
 A  B 
B

f

k

g

C
Suy ra i, j là các phép đơn cấu.
Định lý 2.11:
Cho A là một nhóm abel hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một phép đẳng cấu:

f : A  T ( A)  A / T ( A) .
Chứng minh: Giả sử A  a1 ,...., an  .
Khi đó A / T ( A)  a1 ,..., an  nên A/T(A) là hữu hạn sinh.
Giả sử  x1 ,..., xm  là một tập hợp cực tiểu các phần tử sinh của A/T(A).
Nếu a  A / T ( A) thì a 
Suy ra:
Do đó,



m

k x i với các số nguyên ki   .

i 1 i

m

a   i 1 ki xi  T ( A) .

A =  x1 ,..., xm  T ( A) .

Hơn nữa, vì A/T(A) là không có xoắn, nó suy ra  x1 ,..., xm  T ( A)  {0} và do đó:
A =  x1 ,..., xm  T ( A) .


Chú ý: Nếu:  : A  A / T ( A) là đồng cấu thương và  : A / T ( A)  A được cho bởi  ( xi )  xi
thì    là một phép đồng cấu đồng nhất của A/T(A) và  là một phép đơn cấu.
Hệ quả 2.12: Mỗi nhóm abel hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một nhóm hữu hạn và một nhóm
abel tự do của hạng n với số nguyên n   .
Chứng minh: Ta có thể kiểm tra rằng: T(A) là một nhóm hữu hạn, và
A/T(A) hữu hạn sinh và không có xoắn.
Và vì thế, do định lý 2.6, A/T(A) là một nhóm abel tự do hạng n với số nguyên n   .

§3.

MỘT SỐ KẾT QUẢ QUEN BIẾT VỀ LĨNH VỰC
LÝ THUYẾT SỐ VÀ TRƯỜNG HỮU HẠN.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu đến một số khía cạnh về số học của các đường cong

elliptic, nhằm nêu lại một ít kiến thức nền trong Lý thuyết số và Hình học Đại số.
3.1. Các đường cong phẳng.

Cho k là một trường. Ví dụ chẳng hạn, k có thể là trường  của các số hữu tỷ, trường  của
các số thực, trường  của các số phức, trường  p của số p – adic, hoặc trường hữu hạn q của q
phần tử.
Cho k là một bao đóng đại số của k.
Một đường cong phẳng X trên k được xác định bởi phương trình f ( x, y )  0 , ở đây

f ( x, y )   aij x i y j  k [ x, y ] là bất khả qui trên k . Ta định nghĩa bậc của X và f như sau:
deg X = deg f = max{i + j : aij  0}.
Một điểm k-hữu tỷ (hoặc đơn giản là k-điểm) trên X là một điểm ( a, b ) với tọa độ thuộc k sao
cho f ( x, y )  0 .
Tập tất cả các điểm k- hữu tỷ trên X được ký hiệu: X(k).
Ví dụ: Phương trình x 2 y  6 y 2  11  0 xác định một đường cong phẳng X trên  bậc 3 và
(5,

1
)  X(  ).
2


Tại điểm này ta có thể phát biểu một bài toán mở, mà trong nhiều thế kỷ đã được dùng như một
động lực thúc đẩy cho sự phát triển của nhiều ngành toán học.
Câu hỏi: Cho một đường cong phẳng X trên  , tồn tại hay không một thuật toán xác định
X(  ) (liệu X(  ) có khác rỗng hay không)?
Mặc dù X(  ) không nhất thiết hữu hạn, nhưng ta sẽ thấy rằng, nó luôn luôn thừa nhận một sự
mô tả hữu hạn, vì thế vấn đề xác định X(  ) có thể được chính xác hóa bằng cách sử dụng khái
niệm của máy Turing; xem [8] để tiếp cận định nghĩa. Vì có mối quan hệ của câu hỏi này với bài
toán thứ 10 của Hilbert, xin xem tổng quan trong [16].
Hiện nay có tồn tại các phương pháp tính toán trả lời câu hỏi cho một X đặc biệt, mặc dù nó
chưa từng được chứng minh rằng các phương pháp này làm việc chung nhau. Thậm chí các vấn đề
sau đây còn bỏ ngỏ :

(1) Có hay không một thuật toán khi cho một đa thức bậc bốn f(x)  [x], liệu có xác định
được y 2  f ( x) có một điểm hữu tỷ?
(2) Có hay không một thuật toán khi cho một đa thức f ( x, y ) [ x, y ] bậc 3, liệu có
biết f ( x, y )  0 có một điểm hữu tỷ?
Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương.
3.2. Các đường cong trên trường hữu hạn.
Cách xác định X(): sự phân chia nhỏ theo bậc. Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu
tỷ X() ở đây X là một đường cong phẳng afin f ( x, y )  0 trên hoặc bao đóng xạ ảnh của nó.
Cho d = deg f . Ta xét bài toán khi tăng dần giá trị của d.
Bậc d = 1: X là các đường thẳng.
Ta có thể tham số hóa các điểm hữu tỷ trên đường thẳng ax  by  c  0 với

a, b, c  ; a, b, c  0 .
Bậc d = 2: X là các đường conic.
Legendre đã chứng minh rằng các đường conic thỏa mãn nguyên lý Hasse. Điều này nghĩa là:
X có một  -điểm nếu và chỉ nếu X có  điểm và một  p- điểm với mỗi số nguyên tố p.
Vì một đường conic xạ ảnh được mô tả bởi một dạng bậc hai có 3 biến, kết quả của Legendre
có thể được xem như một trường hợp đặc biệt của định lý Hasse-Minkowski [21, Chương IV, bài
3.2].
Định lý Legendre dẫn đến một thuật toán để xác định sự tồn tại của một
đường conic X.

 -điểm trên


Đây là một thuật toán: bổ sung bình phương, nhân với một hằng số, và tập trung các bình
phương vào các biến, để cảm sinh trường hợp aX 2  bY 2  cZ 2  0 trong 2, ở đây a, b, c  0 ,
không chính phương, đôi một nguyên tố. Khi đó ta có thể chứng minh rằng tồn tại một  - điểm nếu
và chỉ nếu a, b, c đều không cùng dấu và các phương trình đồng dư:

ax 2  b  0 (mod c)
by 2  c  0 (mod a)
cy 2  a  0 (mod b)
có thể giải được trong tập các số nguyên. Hơn nữa, trong trường hợp này, aX 2  bY 2  cZ 2  0 có
một

nghiệm

không

tầm

thường

trong

tập

các

số

nguyên

X,

Y,

Z

thỏa

mãn

| X || bc |1/2 , | Y || ac |1/2 , và | Z || ab |1/2 . Xem [22].
Trong trường hợp đường conic X có một  -điểm P0, vấn đề là mô tả tập hợp của tất cả các

 -điểm. Vì có một cách làm hợp lý là: với mỗi điểm P  X(  ) vẽ một đường qua P0 và P,, và giả sử
t là hệ số góc của nó trong  (hoặc có thể là  ). Ngược lại, cho t   , từ định lý Bézout suy ra rằng

đường qua P0 với hệ số góc t sẽ

cắt đường conic tại một điểm khác (miễn là đường này không

tiếp xúc với conic tại P0), và đây sẽ là một điểm hữu tỷ.
Ví dụ: nếu X là đường tròn x2  y 2  1 và P0(-1, 0), thì:

 1  t 2 2t 
t 
,

2
1
1 t2 

t

y
 ( x, y )
x 1

Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ của một đường tròn.
Định nghĩa các ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X và ngược lại, nghĩa là bỏ qua hữu hạn các tập
con có số chiều nhỏ hơn (một vài điểm), chúng là các ánh xạ được cho bởi các hàm hữu tỷ của các