Bài tập ôn tập giải tích II

Bài tập ôn tập môn Giải tích II
1. Xét tính liên tục của hàm số
a)

 2 x2 ( x2  2 y 2 )
khi x 2  2 y 2

f  x, y    x 4  4 y 4

m
khi x 2  2 y 2


b)

 x 2 sin 1x cos 21y

f  x, y    e
1

c)

 x2  4 y2
sin 2
x  y2
f  x, y   
 1


khi x, y  0
khi x. y  0

d)


x2  y 2
khi  x, y   (0, 0)

2
f  x, y    x 2 . y 2   x  2 y 

0
khi  x, y   (0, 0)


e)


 2
2
khi x 2  y 2  0
  x  2 y  sin 2
2
x y
f  x, y   

0
khi x 2  y 2  0


khi x 2  y 2  0

khi x 2  y 2  0

2. Tìm cực trị của hàm số
a) u  x 4  y 4  2  x  y 

x y2 z2 2
b) u  
 
2 2x y z

2

d) u  3x 2 y  x 3  y 4
e) u  arctan x 2  y 2  2 y

 x, y , z  0 

f)

u  x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z

c) u  x3  y 2  z 2  3x 2  2 y
3. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số

y2
 z2  1
4
 x  y  1
b) u  x, y, z   x  y 2  z với điều kiện 
 z  xy  1

a) u  x 2  y 2  z 2 với điều kiện x 2 

 x2  y 2  4
c) u  xy  yz với điều kiện 
 x, y , z  0 
y  z  4
y2
d) u  2 x  y  z với điều kiện x 2   z 2  9
4
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
a) u  2 x 2 y  xy 2  3xy trong miền đóng 0  x  1, 0  y  2
b) u  4 x 2  y 2  2 x  2 y trong miền D: x  0, y  0, 2 x  y  2 .
c) u  x 2  y 2  12 x  16 y trong miền D  {(x,y): x 2  y 2  36}
5. Tính vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm ẩn
a) Cho z là hàm ẩn xác định bởi z  ye x / z  0 . Tính dz  0; 1 .



b) Cho u  ln 1  x 2  4 y 2  4 z 2

 và điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) . Tính đạo hàm của u tại điểm A theo


U  A 
 .
hướng AB . Tìm giá trị lớn nhất của


   
u

c) u  x sin(3 yz ) Xác định Grad u và  tại M 0 (1;1;0) với   i  2 j  2k .

d) z  z ( x, y) là hàm ẩn hai biến xác định bởi hệ thức: yz  e z  xe y  0 . Tính dz 1; 0  . Áp dụng tính
gần đúng z  0,95; 0, 05  .
1


e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức:

x3
 y 3  xy  1  0 . Tính d 2 y tại điểm x  0 .
27

6. Tính tích phân bội
 x 2  y 2  z 2  4
dxdydz với V xác định bởi 
2
2
V
 z  x  y
b)  ( x  y)3 ( x  y ) dxdy với
D là miền được

a)

x
 ze

2

 y2

giới

hạn

bởi

các

đường

thẳng

D

x  y  1, x  y  3, x  y  1, x  y  1
2x
c) 
dxdy D là miền x 2  y 2  4, x  0, y  0
2
2
4 x  y
D
d)

 xyzdxdydz với V là miền
V

e)



x2 y2

 z2  1
9
4

x 2  4 y 2  9 z 2 dxdydz , trong đó V là miền x 2  4 y 2  9 z 2  1, x, y, z  0 .

V

f)

 z

x 2  y 2 dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ x 2  y 2  2 x, 0  z  4 .

V

7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
a) z  x 2  y 2  1 và z  3
b) x 2  y 2  z 2  2 3 xyz nằm trong góc
x, y , z  0
c) z  x 2  y 2 , 2 y  z  8

d) ( x 2  y 2  z 2 ) 2  4 z ( x 2  y 2 ) nằm trong góc
x, y , z  0
e) 2 z  x 2  y 2 , z  8  x 2  y 2

f) ( x  2) 2  y 2  4, x 2  y 2  z 2  16
g) x 2  y 2  4 và x 2  z 2  4

8. Tính diện tích
a) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( x 2  y 2 ) 2  2 x3
2

 x2 y 2 
b) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong     2 xy ( x  0, y  0)
9 
 4
2

c) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong  x 2  y 2   2  x 2  y 2 
d) Mặt paraboloid z  x 2  y 2 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  4
e) Mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  3x
9. Tính tích phân đường, tích phân mặt
a)  ( x 2  y )ds với 
AB là nửa phía trên trục hoành của cung tròn x 2  y 2  1

AB

b)

  y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy

với S là mặt mặt nón x 2  y 2  z 2  0  z  2  có pháp

S

tuyến hướng ra phía ngoài.
2
2
2
2
2
2
c)  x dydz  y dzdx  z dxdy với S là mặt nón x  y  z

 0  z  1

có pháp tuyến hướng ra phía

S

ngoài.
d)

  y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz

trong đó C là đường x 2  y 2  4 ,

C

ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz.

2

x z
  1 chiều lấy tích phân

2 3


e)

 xdydz  ydzdx  zdxdy với S là mặt ngoài của hình trụ

x 2  y 2  4, 0  z  2 có pháp tuyến hướng

S

ra phía ngoài
 là cung x 2  y 2  2 x
f)   x  1 e x  y dx  xe x  y dy với OA

 y  0

theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0).


OA

g)

 x

3

y 2  z 2 dydz với S là biên của miền V : x 2  y 2  z 2 , 0  x  2 có pháp tuyến hướng ra phía

S

ngoài.
h)

  -x


OA

2

 là nửa cung tròn x 2  y 2  2 y,  x  0  chiều từ
y  2 x  y  dx   xy 2  x  2 y  dy với OA

O(0,0) đến A(0,2)
2
2
i) I    x 2  y 2 dx  y xy  ln( x  x 2  y 2 dy  trong đó L là đường tròn  x  2    y  2   4 lấy


L
theo chiều dương.
 x  y  dx   x  y  dy với C là đường tròn bán kính
j) 
R  3 bao quanh gốc tọa độ. Trong trường hợp
2
2
x


y
C
này có áp dụng công thức Green được không?
k) Tìm điều kiện của m để tích phân đường  (3 x 2  2 y 2 ) dx  ( mxy  3 y 2  4) dy không phụ thuộc vào






AB

đường cong nối A(1;3) và B(2; 4) . Hãy tính tích phân đó.
10. Giải phương trình, hệ phương trình vi phân
a) y  3 y  2 y  4 xe x
y'  y  z
o) 
b) y  4 y   3 y   x  1 e 2 x
 y '  y  3z
1
ln x
y
x
x
2
q) xy  y  x sin x

c)

y " 4 y ' y  x 2

p) y '

d)
e)
f)

y " 6 y ' 8 y  e x  e 2 x
y " 4 y  x sin 2 x
y " y  sin x

r)

1  x y  dx  x  y  x  dy  0

s)

(1  x 2 ) y ' 2 xy  (1  x 2 ) 3
(1  x 2 ) y ' xy  1, y (0)  0

g) y " 2 y  4 x 2 e x

2

h) y  5 y  4 y  e  x  3
x

i)
j)

t)

1
với y  0   1, y  0   2
1  ex
y  3 y  2 y  xe 3 x

2

u) (1  x 2 y)dx  x 2 ( y  x)dy  0

y  y 

y
y

v) y  x sin   x  y sin
x
x


 x  2 x  y
 y '  x  2 y
 x  2 x  y

 y  x  4 y





w) sin 2 y  x 2 dx  x sin 2 ydy  0 bằng cách nhân

k) 
l)

2

thêm thừa số tích phân

1
x2

y

với điều kiện y 1 
x
2
x
y) xy  2 y   xy  e bằng phép đổi biến z  x. y
z) x 2 y " xy ' y  x bằng phép đổi biến x  et

x) xy  y  x sin

y '  2y  z
m) 
z '  y  2z
y '  2y  z
n) 
 y '  y  2z

3