Phép biến đổi laplace hữu hạn và ứng dụng (LV01642)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THÀNH BIÊN

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE HỮU HẠN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung
học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ
vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn
thành luận văn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thành Biên


Lời cam đoan
Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Phép biến đổi Laplace
hữu hạn và ứng dụng” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giải
tích phức, đặc biệt là những khái niệm quan trọng của phép biến đổi
Laplace hữu hạn. Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn
Hào.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thành Biên


i

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Một số tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5.2. Công thức thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Phép biến đổi Laplace hữu hạn . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1. Định nghĩa và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1. Khái niệm về phép biến đổi Laplace hữu hạn . . . . . . . . . . .

23

2.1.2. Một số ví dụ về phép biến đổi Laplace hữu hạn . . . . . . . . .

27

2.2. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace hữu hạn

32


ii

Chương 3. Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu
hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2. Bài toán dao động điều hòa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3. Bài toán giá trị biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.4. Bài toán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn . . . . . .

40

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Một trong những dấu ấn đậm nét của sự xuất hiện phép biến đổi tích
phân phải kể đến một số các công trình của nhà Toán học Leonhard
Euler trong nững năm 1763 - 1769. Các nghiên cứu của ông về mặt cơ
bản là sử dụng phép biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược để
giải phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai. Đến năm 1910,
Bateman là người đầu tiên áp dụng phép biến đổi Laplace trong việc
giải quyết một số vấn đề của Vật lý lượng tử. Bằng cách đặt
∞

e−xt P (t)dt,

p(x) =
0

ông đã thu được các phương trình biến đổi của các phương trình về sự
phân rã phóng xạ của Rutherford
dP

= −λi P.
dt
Qua phép biến đổi Lappace các phép tính vi phân và tích phân được
chuyển thành các phép tính đại số (ta có thể hình dung như qua phép
tính logarit mà phép nhân được chuyển thành phép cộng) mà phép biến
đổi này cho ta một công cụ hiệu lực trong việc giải toán về phương trình
vi phân tuyến tính thường, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, các
bài toán về xử lý mạch điện trong vật lý,... Tuy nhiên phép biến đổi này
thường được sử dụng để tìm lời giải của một hệ tuyến tính nào đó tại


2

thời điểm t thỏa mãn điều kiện đầu t = 0 và hàm nhiễu f (t) với t ≥ 0.
Trong trường hợp hàm nhiễu (hay cũng còn gọi là hàm đầu vào) là hàm
f (t) = exp(at2 ); a > 0 thì phép biến đổi Laplace thông thường không
thể sử dụng trong việc tìm nghiệm của bài toán với điều kiện đầu vì biến
đổi Laplace của hàm f (t) không tồn tại. Theo một số cách nhìn từ khía
cạnh Vật lý, điều này là một lý do tại sao hàm f (t) không được sử dụng
như một hàm nhiễu chấp nhận được để giải quyết những vấn đề đặt ra.
Điều này thường chỉ đúng cho lời giải của bài toán ở thời điểm sau t
nhưng không còn hiệu lực tại chính thời điểm t. Từ thực tế này, đưa các
nhà Toán học hình thành ý tưởng giới thiệu phép biến đổi Laplace hữu
hạn trong đoạn 0 ≤ t ≤ T . Tính hiệu lực cũng như sự hữu ích của phép
biến đổi Laplace hữu hạn so với phép biến đổi Laplace thường cũng đã
được khẳng định trên nhiều lĩnh vực khác trong Toán học cũng như thực
tiễn.
Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "Phép biến
đổi Laplace hữu hạn và ứng dụng" để thực hiện luận văn Thạc sĩ
Toán học chuyên ngành Toán giải tích.

Luận văn được cấu trúc thành 03 chương. Chương 1, chúng tôi trình bày
một số kiến thức chuẩn bị. Phần nghiên cứu chính được trình bày trong
chương 2 của luận văn, ở đây chúng tôi trình bày một cách hệ thống về
phép biến đổi Laplace hữu hạn. Chương 3 sẽ trình bày một số ứng dụng
của phép biến đổi Laplace hữu hạn.


3

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép biến đổi Laplace hữu hạn
sau đó nêu ra một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến Laplace hữu hạn
và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vực
Vật lý.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phép biến đổi Laplace hữu hạn và một số ứng dụng của phép biến đổi
Laplace hữu hạn để giải phương trình vi phân thường trong việc giải
quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý như: bài toán Cauchy, bài
toán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn, bài toán giá trị biên,
bài toán dao động điều hòa đơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của
người hướng dẫn.

4

6. Đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về phép biến đổi Laplace hữu hạn; trình
bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vực
Vật lý.


5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Khái niệm và tính chất cơ bản
Số phức là số có dạng
z = x + iy; x, y ∈ R;
trong đó i là đơn vị ảo mà i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần
ảo, kí hiệu tương ứng bởi
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )


6

và
z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Một số tính chất của phép cộng và nhân số phức
+ Tính chất giao hoán
z1 + z2 = z2 + z1 ; z1 .z2 = z2 .z1 .
+ Tính chất kết hợp
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ); (z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ).
+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 .
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
|z| =

x2 + y 2 .

Modul của số phức có các tính chất đơn giản dưới đây
(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,
(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,
(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu là z¯ = x − iy.
Không khó khăn ta có thể kiểm tra được
Rez =

z + z¯
z − z¯
; Imz =
2
2i

7

và
|z|2 = z.¯
z;

1
z¯
= 2 với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực
z = r.eiθ ; với r > 0, θ ∈ R.
Trong biểu diễn trên θ được gọi là argument của số phức z (argument
của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội
nguyên của 2π) và
eiθ = cosθ + i sin θ
Bởi vì |eiθ | = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng,
ta lưu ý rằng z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì
z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức
Dãy số phức {zn } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là
w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = 0.
n→∞

n→∞

Dễ dàng kiểm tra rằng

w = lim zn ⇔
n→∞



 lim Rezn = Rew
n→∞


 lim Imzn = Imw
n→∞

Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu
|zn − zm | → 0; khi m, n → ∞.


8

Điều đó, tương đương với mọi ε > 0 tồn tại N = N (ε) ∈ N∗ sao cho
|zn − zm | < ε; với mọi n, m ≥ N.
Định lý 1.1. Tập hợp C là không gian đầy (nghĩa là mọi dãy Cauchy
đều hội tụ).
1.1.3. Một số tập hợp trong mặt phẳng phức
Cho z0 ∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} .
Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp
¯ r (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} .
D

Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}.
Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính bằng 1 gọi là đĩa đơn vị, ký hiệu là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} .
cho tập hợp Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn
tại r > 0 sao cho
Dr (z0 ) ⊂ Ω.
Phần trong của tập Ω ⊂ C ký hiệu là intΩ gồm tất cả các điểm trong
của Ω. Tập Ω được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó là điểm trong.
Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là tập mở.
Điểm z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy
các điểm zn ∈ Ω sao cho zn = z và lim zn = z. Chúng ta có thể kiểm
n→∞


9

tra được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.
Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu
¯ Biên của Ω ký hiệu và được xác định bởi ∂Ω = Ω\intΩ.
¯
là Ω.
Tập Ω là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho |z| ≤ M với mọi z ∈ Ω.
Nếu Ω là bị chặn, ta xác định được đường kính của nó bởi
diam(Ω) = sup |z − w| .
z,w∈Ω

Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn.
Định lý 1.2. Tập Ω ⊂ C là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy {zn } ⊂ Ω
đều chứa một dãy con {znk } hội tụ tới một điểm z ∈ Ω.
Một phủ mở của Ω là một họ các tập mở {Uα }α∈I sao cho Ω ⊂ ∪ Uα .

α∈I

Định lý 1.3. Tập Ω là compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của Ω có
một phủ con hữu hạn.
Mệnh đề 1.1. Nếu Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ . . . ⊃ Ωn ⊃ . . . là một dãy các tập
compact khác rỗng trong C mà
diam(Ωn ) → 0; khi n → ∞
thì tồn tại duy nhất điểm ω ∈ C sao cho ω ∈ Ωn với mọi n.
Chứng minh. Với mỗi n chọn điểm zn ∈ Ωn . Bởi vì
Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ . . . ⊃ Ωn ⊃ . . .
nên zn , zm ∈ ΩN với mọi m, n ≥ N . Như vậy, ta thấy dãy {zn } là dãy
Cauchy. Do đó lim zn = w. Bởi vì Ωn compact, nên ta có ω ∈ Ωn với
n→∞


10

mọi n.
Thêm nữa, nếu tồn tại w ∈ Ωn với mọi n thì ta có
0 ≤ |w − w | < diam(Ωn ) → 0.
Như vậy ω là điểm chung duy nhất của mọi tập Ωn .
Tập mở Ω ⊂ C được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập
mở khác rỗng Ω1 và Ω2 rời nhau sao cho
Ω = Ω1 ∪ Ω2 .
Một tập mở liên thông trong C được gọi là một miền. Tập đóng F là
liên thông nếu không thể viết F = F1 ∪ F2 ở đó F1 và F2 là các tập đóng
không rỗng rời nhau.

1.2. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1. Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm

f (z) được gọi là C - khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu
thức
f (z0 + h) − f (z0 )
; khi h → 0,
h

(1.1)

ở đó 0 = h ∈ C sao cho z0 + h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z)
tại điểm z0 . Như vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f (z) được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là C - khả vi
tại một lân cận nào đó của điểm z0 .


11

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.
Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
Ví dụ 1.1. Hàm f (z) = z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong
C và f (z) = 1. Thật vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
(z + h) − z

= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f (z0 ) = lim

Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n chỉnh hình trên
toàn mặt phẳng phức C và
P (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 .
Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.2 được trình bày sau phần này.
1
là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ D không
z
1
chứa điểm gốc và f (z) = − 2 . Thật vậy, ta có
z
f (z0 + h) − f (z0 )
f (z0 ) = lim
h→0
h
1
1
−
1
1
= lim z + h z = lim −
= − 2.

h→0
h→0
h
z(z + h)
z
Ví dụ 1.2. Hàm f (z) =

Ví dụ 1.3. Hàm f (z) = z¯ là không chỉnh hình. Thật vậy, ta tính thương
vi phân của hàm này như sau
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h
=
=
= .
h
h
h
h
Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy
ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)


12

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
h→0

ta có a = f (z0 ).
Nhận xét 1.1. Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm f chỉnh hình
trên Ω thì f là liên tục trên đó.
Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng
tương tự như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì
(i) f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g) = f + g ,
(ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g) = f g + f.g ,
f
f
f .g − f.g
(iii) Nếu g(z0 ) = 0, thì chỉnh hình tại z0 ∈ Ω và
=
.
g
g
g2
Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì hàm
hợp gof : Ω → C cũng là hàm chỉnh hình.
Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của
hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f (z) = z¯ tương ứng như ánh xạ của
một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm này khả vi theo nghĩa
hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính
được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạo
hàm riêng của các hàm tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các
đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi phức,
ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều

kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải được
điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong đó
hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả vi


13

tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.4 (Điều kiện Cauchy - Riemann). Để hàm f (z) là C - khả
vi tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 khả vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂u
∂v
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y); (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x

1.3. Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên đoạn
[a, b] và z (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z (a) và z (b) được hiểu như các giới hạn một phía
z (a) = lim+

h→0

z(a + h) − z(a)
z(b + h) − z(b)
và z (b) = lim−
.
h→0
h
h

Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [ak , ak+1 ]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thể
khác nhau với mọi k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến


14

[a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Điều kiện t (s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác định như
sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);

được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s) (trừ ra khi s = a và t = b). Ta thường gọi đường
cong đơn và kín là một chu tuyến. Một chu tuyến γ giới hạn một miền
trong mặt phẳng phức C được gọi là miền đơn liên và thường được ký
hiệu bởi Dγ .
Ví dụ 1.4. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 , bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π] .
Ta ký hiệu C là đường tròn định hướng dương.


15

Định nghĩa 1.2. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)).z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Thật vậy, giả sử z¯ là một tham số hóa tương
đương xác định như trên thì

d

b

f (z(t)).z (t)dt =
a

f (z(t(s))).z (t(s)).t (s)ds
c
d

=

f (¯
z (s)).¯
z (s)ds.
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
n−1

ak+1

f (z(t)).z (t)dt.

f (z)dz =
k=0 a
k

γ

Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ được tính bởi công
thức

b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Định lý 1.5. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các
tính chất sau
(i)

(αf + βg)dz = α
γ

g(z)dz; α, β ∈ C.

f (z)dz + β
γ

γ


16

(ii) Nếu γ − là đường cong ngược hướng với γ thì
f (z)dz = −

γ−

f (z)dz.
γ

f (z)dz ≤ sup |f (z)| length(γ).

(iii) Ta có

z∈γ
γ

Định lý 1.6. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và
γ là một đường cong trơn từng khúc nằm trong Ω có điểm đầu là ω1 và
điểm cuối ω2 , thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Hệ quả 1.1. Giả sử γ là đường cong đóng nằm trong tập mở Ω. Nếu
hàm liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.2. Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f = 0, thì f là hàm
hằng.

1.4. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an z n ,

(1.3)

n=0

trong đó an ∈ C; n = 0, 1, 2, ....
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại điểm z0 nào đó, thì
nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Việc tìm miền hội tụ của
chuỗi lũy thừa được xác định bởi định lý dưới đây.


17
∞

Định lý 1.7 (Cauchy - Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa

an z n . Khi

n=0

đó, tồn tại số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ của chuỗi.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì có thể chuỗi hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức là các
hàm lượng giác
∞

z 2n
cos z =
(−1)
và sinz =
(2n)!
n=0

∞

n

(−1)n
n=0

z 2n+1
.
(2n + 1)!

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
cosz =

eiz + e−iz
eiz − e−iz
và sinz =
.
2
2
∞

Định lý 1.8. Chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n xác định một hàm chỉnh

n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi lũy
thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f (z),
tức là

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f (z) có cùng bán kính hội tụ với f (z).


18

Hệ quả 1.3. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách
lấy đạo hàm của từng số hạng của chuỗi đã cho.
Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc
có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa
∞

an (z − z0 )n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho

n=0
∞

an (z − z0 )n

f (z) =
n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f (z) có khai triển chuỗi lũy
thừa tại mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f (z) giải tích trên Ω.
Từ Định lý 1.8, ta thấy rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh
hình trên đó.

1.5. Lý thuyết thặng dư
1.5.1. Không điểm và cực điểm
Định nghĩa 1.3. Điểm z0 được gọi là không điểm của hàm f (z) nếu
f (z0 ) = 0.
Định lý 1.9. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tập con mở
liên thông Ω, có một không điểm tại z0 ∈ Ω và không đồng nhất bằng
không trong Ω. Thế thì, tồn tại một lân cận U ⊂ Ω của z0 và một hàm

chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu trên U với một số nguyên dương


19

lớn nhất n sao cho
f (z) = (z − z0 )n g(z); với mọi z ∈ U.
Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc n (hoặc
bội n) tại điểm z0 . Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z0 là
không điểm đơn.
Định nghĩa 1.4. Điểm z0 ∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của
hàm f (z) nếu tồn tại một lân cận thủng {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < R} của
điểm z0 sao cho tại lân cận này hàm f chỉnh hình nhưng không chỉnh
hình tại z0 .
Ví dụ 1.5. Hàm f (z) =

1
nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô
z−1

lập.
Định nghĩa 1.5. Điểm bất thường cô lập z0 được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim f (z) = a ∈ C;
z→z0

(ii) cực điểm nếu lim f (z) = ∞;
z→z0

(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f (z) không có giới hạn khi
z → z0 .

Ví dụ 1.6. Hàm số f (z) =

sin z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường
z

bỏ được bởi vì
sin z
= 1.
z→0 z

lim f (z) = lim

z→0

Hàm số f (z) =

1
nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì
z
1
= ∞.
z→0 z

lim f (z) = lim

z→0


20

1

Hàm số f (z) = e z nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì
1

1

lim f (z) = lim e z = lim+ e x = ∞,

z→0

z→0
y=0,x>0

x→0

1

1

lim f (z) = lim e z = lim− e x = 0.

z→0

z→0
y=0,x<0

x→0

Định lý 1.10. Nếu f (z) có một cực điểm tại z0 ∈ Ω, thì trong một

lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số
nguyên dương n lớn nhất sao cho
f (z) =

h(z)
.
(z − z0 )n

Số nguyên dương n trong Định lý 1.10 được gọi là bậc (hoặc bội) của
cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0 . Nếu
cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Định lý 1.11. Nếu f có cực điểm bậc n tại z0 , thì
f (z) =

a−n
a−n+1
a−1
+
+
·
·
·
+
+ G(z),
(z − z0 )n (z − z0 )n−1
(z − z0 )

ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0 .
1.5.2. Công thức thặng dư
Định nghĩa 1.6. Hệ số a−1 trong khai triển

f (z) =

a−n
a−n+1
a−1
+
+
·
·
·
+
+ G(z)
(z − z0 )n (z − z0 )n−1
(z − z0 )

của hàm f tại cực điểm z0 của nó được gọi là thặng dư của f tại cực
điểm đó, ký hiệu là res f. Như vậy res f = a−1 .
z=z0

z=z0