Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Gia Huy

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Gia Huy

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người đã từng bước
hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt
những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp tôi nâng cao trình độ
chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học tập cao học,
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT
Nguyễn Thượng Hiền đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng tôi xin cảm ơn người thân và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập.
TPHCM, tháng 9 năm 2013
Học viên

Trần Gia Huy


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
T
0

0T

Chương 1.SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ ........... 3

T
0

T
0

1.1. Sử dụng nguyên lý Entropy................................................................................... 3
0T

T
0

1.2. Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát ................................................................... 11
0T

T
0

Chương 2. SỬ DỤNG LÁT CẮT ................................................................................ 23
T
0

T
0

2.1. Các định nghĩa..................................................................................................... 23
0T

0T

2.2. Sự tồn tại hàm chọn (lát cắt) của ánh xạ đa trị .................................................... 25
0T

T
0

2.3. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động ................................................................ 30
0T

T
0

Chương 3.SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ .............................................................................. 32
T
0

T
0

3.1. Các định nghĩa..................................................................................................... 32
0T

0T

3.2. Chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị ............................................................... 33
0T

T
0

3.3. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động ................................................................ 35
0T

T
0

KẾT LUẬN ................................................................................................................... 41
T
0

0T

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 42
T
0

0T


1

PHẦN MỞ ĐẦU
Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành trong thập
niên 1940, đạt được những kết quả ấn tượng trong những năm 1950 – 1970 và được
tiếp tục hoàn thiện đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi
trong nghiên cứu các phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ khoa học – kỹ
thuật, trong nghiên cứu các mô hình kinh tế– xã hội, trong lý thuyết điều khiển – tối ưu.
Một trong những hướng nghiên cứu gần đây của Lý thuyết phương trình trong
không gian có thứ tự là xét các phương trình trong không gian có thứ tự với ánh xạ đa
trị. Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu một cách hệ thống trong Toán học từ những năm

1950 – 1960 do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng như do nhu cầu mô tả, tìm
hiểu các mô hình, hiện tượng mới của khoa học và xã hội. Các phương trình chứa ánh
xạ đa trị trong không gian có thứ tự được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau.
Một mặt, ta có thể áp dụng các phương pháp tổng quát như phương pháp ánh xạ co,
phương pháp bậc tôpô kết hợp với các tính chất thứ tự của không gian. Mặt khác, ta có
thể áp dụng các phương pháp đặc thù trong không gian có thứ tự như sử dụng nguyên
lý Entropy, nguyên lý về dãy lặp suy rộng, …
Luận văn trình bày một cách hệ thống và chi tiết 3 phương pháp nghiên cứu bao
hàm thức trong không gian có thứ tự. Đó là phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy,
nguyên lý đệ quy; phương pháp lát cắt đơn điệu; phương pháp bậc tôpô.
Luận văn có 3 chương:
Chương 1 trình bày 2 nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự, đó là nguyên lý Entropy
và nguyên lý Đệ quy tổng quát. Sau đó áp dụng 2 nguyên lý này vào việc xét sự tồn tại
nghiệm của bao hàm thức. Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn
trong các tài liệu [2], [3], [4].
Chương 2 trình bày về sự tồn tại lát cát (hàm chọn) đơn điệu của ánh xạ đa trị, kết
hợp với định lý Tarskii, ta được một kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa


2

trị trong không gian Banach sinh bởi nón minihedral mạnh. Các kết quả chính của
chương này chủ yếu được trích dẫn trong các tài liệu [1], [8].
Chương 3 giới thiệu chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị, từ đó chứng minh sự
tồn tại điểm bất động của các toán tử cô đặc trong nón. Các kết quả chính của chương
này chủ yếu được trích dẫn trong tài liệu [10].


3

Chương 1. SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN
VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ
1.1. Sử dụng nguyên lý Entropy
Định nghĩa 1.1.1
Cho X là không gian Banach trên trường số thực  . Tập con K của X được
gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i) K là tập đóng
ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ 0

( ) {}

iii) K  −K =
θ
Định nghĩa 1.1.2

Nếu K là nón trong không gian Banach X , ta định nghĩa thứ tự sinh bởi K như
sau: ∀x , y ∈ K , x ≤ y ⇔ y − x ∈ K .
Mệnh đề 1.1.3
Giả sử “ ≤ ” là thứ tự trong không gian Banach X sinh bởi nón K . Khi đó :
i) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X và λx ≤ λy, ∀λ ≥ 0 ,
ii) Nếu x n ≤ yn , ∀n ∈ * và=
lim x n a=
, lim yn b thì a ≤ b ,
n →∞

n →∞

iii) Nếu x n ≤ x n +1 (n ∈ * ) và lim x n = a thì x n ≤ a, ∀n ∈ * .
n →∞

Chứng minh:
i) Do x ≤ y nên ta có :

(y + z ) − (x + z ) = y − x ∈ K nên x + z ≤ y + z
λy − λx = λ (y − x ) ∈ K nên λx ≤ λy .
ii) Do x n ≤ yn , ∀n ∈ * ⇒ yn − x n ∈ K, ∀n ∈ *


4

)

(

a, lim yn =⇒
b
b a
lim yn − x n =−
Mà lim x n =
n →∞

n →∞

n →∞

Mặt khác K đóng nên b − a ∈ K ⇒ a ≤ b

( )

iii) Giả sử x n là dãy tăng, khi đó x n ≤ x n +m (m, n ∈ * ) .

Cố định n , cho m → ∞ , do ii), ta có: x n ≤ a, ∀n ∈ *
Mệnh đề 1.1.4 (Nguyên lý Entropy)
Giả sử
i) X là tập sắp thứ tự sao cho mọi dãy đơn điệu tăng trong X có cận trên
( xn ≤ a ∈ X )

)

ii) S : X →  −∞; +∞ là một hàm:

( )

()

• Đơn điệu tăng, nghĩa là u ≤ v ⇒ S u ≤ S v

( )

• Bị chặn trên, nghĩa là ∃M : S u ≤ M , ∀u ∈ X

( )

( )

Khi đó, tồn tại phần tử uo ∈ X có tính chất: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ S u =
S uo
Chứng minh:

( ) {−∞} , ta lấy u

• Nếu S X =

o

∈ X tùy ý

( )

( ) { }

• Giả sử S X ≠ −∞ , lấy u1 ∈ X , S u1 ≠ −∞
Xây dựng các phần tử u1 ≤ u2 ≤  như sau: giả sử đã có un , ta đặt:

{

{ ()

}

}

Mn =
u ∈ X : u ≥ un , β n =
sup S u : u ∈ M n . Khi đó −∞ < βn < +∞

( )

 Nếu βn = S un , ta lấy uo := un
Khi đó: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ u ≥ un ⇒ u ∈ M n

( )

( )

( )

( )

Suy ra: S u ≤ βn =
S uo . Mà S u ≥ S uo ( S là hàm đơn điệu tăng)


5

( )

( )

Do đó: S u = S uo

( )

 Nếu βn > S un , ta tìm được un +1 thỏa mãn:

un +1 ∈ M n


1
S un +1 > βn −  βn − S un 
2



(

( )

)

( )

Nếu quá trình trên vô hạn thì ta có dãy tăng un thỏa mãn:

(

)

( )

2S un +1 − S un > βn , ∀n ∈ *

( )

Gọi uo là một cận số trên của un ( uo ≥ un ).

( )

(

)

( )

Với u ≥ uo , ta có: u ≥ un ⇒ u ∈ M n ⇒ S u ≤ βn < 2S un +1 − S un

( )

( )

( )

( )

⇒ S u ≤ lim S un ⇒ S u ≤ S uo
n →∞

( )

( )

Mặt khác: S u ≥ S uo ( S là hàm đơn điệu tăng).

( )

( )

Do đó: S u = S uo
Định nghĩa 1.1.5

Cho X ,Y là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y là họ tất cả các tập con của Y . Một ánh
xạ F : X → 2Y gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y

{ }

Cho M ⊂ X và ánh xạ đa trị F : M → 2M \ ∅ . Khi đó v ∈ M được gọi là
điểm bất động của F nếu v ∈ Fv
v ∈ Fv được gọi là điểm bất động cực đại của F nếu với u ∈ Fu và v ≤ u thì
u =v

v ∈ Fv được gọi là điểm bất động cực tiểu của F nếu với u ∈ Fu và u ≤ v thì
u =v

Định nghĩa 1.1.6


6

Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K . Gọi A, B là các tập
con của X .
i) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập A, B như sau:

∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b
AB ⇔ 
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : a ≤ b
ii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự < giữa hai tập A, B như sau:

(

A < B ⇔ ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b

)

iii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập A, B như sau:

(

A  B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ b

)

Ví dụ: Trong không gian Banach thực X =  với nón K
= 0; +∞

)

sau: A =
Ta xét các tập con của X như=
2; 3  , B =
1; 4  ,C 3; 4 
Khi đó: A  C , A < B, B  C
Định nghĩa 1.1.7
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và ánh xạ đa trị

F : M ⊂ X → 2X
i) Ánh xạ đa trị F được gọi là ánh xạ đa trị đơn điệu nếu:

( )

()

∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x < F y

ii) Ánh xạ đa trị F được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu:

( )

()

∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x  F y

Định lý 1.1.8
Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K , M ⊂ X là một tập

{ }

đóng. F : M → 2M \ ∅ là ánh xạ đa trị đơn điệu thỏa mãn: