Một số tính chất của độ đo điều hòa trên tập julia đối với ánh xạ tựa đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Kim Tri

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA
ĐỐI VỚI ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Kim Tri

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA
ĐỐI VỚI ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán –
Tin và Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện
để tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép.
Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là TS. Nguyễn Văn Đông.
Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng
lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những mặt thiếu sót. Rất mong nhận
được ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 4 tháng 10 năm 2013

Trần Kim Tri


MỤC LỤC
trang
Mục lục
Bảng danh mục các hình
MỞ ĐẦU.......................................................................................................................... 2
T
2

2T

Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................. 3
T
2

T
2

1.1. Một số kiến thức về hệ động lực phức ................................................................ 3
T
2

T
2

1.2. Một số kiến thức về lý thuyết thế vị .................................................................... 5
T
2

T
2

1.3. Một số kiến thức về lý thuyết ergodic và lý thuyết độ đo ................................... 8
T
2

T
2

Chương 2 - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ ............ 14
T
2

T
2

Chương 3 - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC .. 23
T
2

T
2

3.1. Về toán tử P trên lớp G .................................................................................. 24
T
2

2T

2T

T
2

3.2. Sự tồn tại của độ đo bất biến ............................................................................ 25
T
2

T
2

3.3. Một số tính chất mở rộng của độ đo điều hòa ω .............................................. 27
T
2

T
2

3.4. Các tính chất Ergodic của độ đo µ.................................................................... 31
T
2

T
2

3.5. So sánh với độ đo cực đại ................................................................................. 36
T
2

T
2

3.6. Chiều Hausdorff của độ đo điều hòa ................................................................ 39
T
2

T
2

KẾT LUẬN .................................................................................................................... 47
T
2

2T

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 48
T
2

2T


1

BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH

trang
Hình 3.3.1.1 Hình vành khăn hình học…………………………………………..32
Hình 3.3.1.2 Các đường cong của Qn ……………………………………………33


2

MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu địa phương các ánh xạ chỉnh hình lặp trong lân cận của điểm bất
động được phát triển mạnh vào cuối thế kỷ 19. Lĩnh vực này sau đó được sự quan tâm
của nhiều nhà toán học trên thế giới như Pierre Fatou, Gaston Julia, S. Lattes, J.F Ritt,
… Lý thuyết phép lặp của hàm hữu tỉ f ( z ) mà đóng vai trò quan trọng là tập Fatou

F ( f ) và tập Julia J ( f ) , đầu tiên được nghiên cứu bởi Fatou và Julia.
Một trong những quan tâm của các nhà toán học trong lĩnh vực hệ động lực phức là
tìm hiểu về độ đo điều hòa của tập Julia của các các ánh xạ tựa đa thức.
Xét f là ánh xạ tựa đa thức mở rộng. Luận văn trình bày sự tồn tại của một độ đo
bất biến ergodic tương đương với độ đo điều hòa trên tập Julia J ( f ) , đồng thời chỉ ra
rằng độ đo điều hòa này tương đương với độ đo entropy cực đại nếu và chỉ nếu f

tương đương bảo giác với một đa thức. Luận văn cũng chứng minh rằng chiều
Hausdorff của độ đo điều hòa trên J ( f ) nhỏ hơn 1 trừ khi tập Julia là liên thông.
Các nội dung chính của luận văn dựa trên hai bài báo [3], [11].
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Độ đo điều hòa trên tập Julia của ánh xạ hữu tỷ.
Chương 3: Độ đo điều hòa trên tập Julia của ánh xạ tựa đa thức.


3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số kiến thức về hệ động lực phức
1.1.1. Ánh xạ tựa đa thức
Định nghĩa 1.1.1.1 Một ánh xạ tựa đa thức bậc d là một bộ ba (U ,V , f ) trong
đó U ,V là các tập con mở của  đẳng cấu với các đĩa, với U compact tương đối
trong V và f : U → V là ánh xạ riêng, chỉnh hình bậc d . Trong luận văn này ta chỉ
xét d ≥ 2 .
Ở đây một ánh xạ f : U → V giữa hai không gian tô pô là ánh xạ riêng nếu và chỉ
nếu tạo ảnh của mọi tập compact trong V là compact trong U . Ánh xạ f biến biên
của U thành biên của V , hơn thế nữa những điểm gần ∂U thành những điểm gần ∂V
Định nghĩa 1.1.1.2

Cho

f : U ' → U và g : V ' → V là các ánh xạ tựa đa thức,

trong đó K f , K g liên thông. Khi đó f và g được gọi là tương đương ngoài (ký hiệu

f  ext g

) nếu tồn tại các tập mở liên thông U1 , U1' , V1 , V1' sao cho

'
−1
(V1 ) V1' và một đẳng cấu
, f −1 (U1 ) U=
K f ⊂ U1' ⊂ U1 ⊂ U , K g ⊂ V1' ⊂ V1 ⊂ V =
1, f

chỉnh hình ϕ : U1 \ K f → V1 \ K g sao cho ϕ  f = g  ϕ .
Định nghĩa 1.1.1.3 Chúng ta cho tương ứng một ánh xạ tựa đa thức f : U ' → U
bậc d với một ánh xạ giải tích thực mở rộng h f : S 1 → S 1 cũng bậc d, sai khác một liên
hợp của phép quay. Ta gọi h f là ánh xạ ngoài của f .
Ánh xạ z  z d là ánh xạ ngoài của f .
Định nghĩa 1.1.1.4 Cho f : U ' → U và g : V ' → V là các ánh xạ tựa đa thức.


4

Ta nói f và g là tương đương tô pô (ký hiệu f  top g ) nếu tồn tại một đồng phôi

ϕ từ một lân cận của K f lên một lân cận của K g sao cho ϕ  f = g  ϕ gần K f .
Nếu ϕ là chỉnh hình ta nói f và g là tương đương bảo giác (ký hiệu f  hol g )
Nếu ϕ là tựa bảo giác ta nói f và g là tương đương tựa bảo giác (ký hiệu
f  qc g )

Ta có

f  hol g ⇒ f  qc g ⇒ f  top g .

Định nghĩa 1.1.1.5 Cho f là các ánh xạ tựa đa thức bậc d. Khi đó f tương đương
bảo giác với một đa thức nếu và chỉ nếu f tương đương ngoài với z  z d .
1.1.2. Tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ
Định nghĩa 1.1.2.1 Một dãy ( f n ) các ánh xạ từ không gian metric ( X 1 , d1 ) đến
không gian metric ( X 2 , d 2 ) được gọi là hội tụ đều địa phương trên X 1 tới một ánh xạ

f nếu mỗi điểm x ∈ X 1 tồn tại có một lân cận của x mà f n hội tụ đều đến f trên lân
cận đó.
Định nghĩa 1.1.2.2

Một họ  các ánh xạ từ không gian metric ( X 1 , d1 ) vào

không gian metric ( X 2 , d 2 ) được gọi là họ chuẩn tắc trong X 1 nếu mọi dãy vô hạn các
ánh xạ trong  đều chứa một dãy con hội tụ đều địa phương trên X 1 .
Định lý 1.1.2.3 (Định lý Montel) Cho  là một họ các hàm chỉnh hình trong miền

D ⊂  . Giả sử tồn tại ba điểm phân biệt a, b, c ∈  sao cho f ( z ) ∉ {a, b, c}, ∀z ∈ D , khi
đó  chuẩn tắc trong D .
1.1.3. Tập Fatou, tập Julia, đĩa Siegel.


5

Định nghĩa 1.1.3.1 Cho f là một hàm hữu tỉ. Tập Fatou của f , ký hiệu là F ( f )
là tập con mở lớn nhất của  mà trên đó dãy

{f }
n

là chuẩn tắc. Tập Julia của một

hàm hữu tỉ f , ký hiệu là J ( f ) được định nghĩa là phần bù của F ( f ) , tức

J ( f ) =  \ F ( f ) . Hay nói cách khác tập J ( f ) chứa tất cả các điểm z ∈  ∞ mà dãy

{f

n

( z )} không chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.1.3.2 Cho f : S → S là một tự đồng cấu chỉnh hình, ở đây S là mặt

Riemann U là một thành phần liên thông của tập Fatou F ( f ) . Ta nói U là một đĩa
Siegel của f quanh điểm zo nếu tồn tại một đồng phôi chỉnh hình φ :U → D với D
là đĩa mở đơn vị sao cho sao cho φ ( f n (φ −1 ( z ))) = e 2π iα z với số α nào đó thuộc  \ 
và φ ( zo ) = 0 .
Định lý 1.1.3.3 Giả sử f là hàm hữu tỉ có bậc ≥ 2 , khi đó J ( f ) là tập vô hạn
phần tử.
1.2. Một số kiến thức về lý thuyết thế vị
1.2.1. Miền chính quy
Định nghĩa 1.2.1.1 Giả sử D là một miền con thực sự của  ∞ và ζ 0 ∈ ∂D . Hàm
cản tại ζ 0 là một hàm điều hòa dưới b xác định trên D ∩ N , với N là một lân cận mở
của ζ 0 , thỏa mãn b < 0 trên D ∩ N

và

lim b( z ) =
0.

z →ζ 0

Một điểm biên mà ở đó tồn tại hàm cản được gọi là điểm chính quy. Trong trường
hợp ngược lại gọi là điểm kỳ dị. Nếu mọi điểm ζ ∈ ∂D là điểm chính quy, thì D được
gọi là miền chính quy.
1.2.2. Hàm Green


6

Định nghĩa 1.2.2.1 Cho là một tập con compact của  với , D =  \ K . Giả
sử D là miền chính quy (theo nghĩa Dirichlet), Một hàm Green của D là một ánh xạ
g D : D × D → (−∞, ∞] sao cho với mỗi ω ∈ D :
(a) g D (., ω ) điều hòa trên D \ {ω} , và bị chặn bên ngoài mỗi lân cận của ,


log z + O(1),
(b) g D (ω , ω ) = ∞ và khi z → ω thì g D ( z , ω ) = 
− log z − ω + O(1),

ω=
∞
ω≠∞

,

(c) g D ( z , ω ) → 0 khi z → ς , với ς ∈ ∂D gần khắp nơi.
(nếu viết f=
(t ) g (t ) + O(1) khi t → t0 ta hiểu f (t ) − g (t ) bị chặn với t đủ gần t0
hoặc t đủ lớn nếu t0 = ∞ ).

Định lý 1.2.2.2 (Công thức Poisson – Jensen)
Công thức này được dùng trong tài liệu này chỉ ở trường hợp chính quy và được
dùng trong phát biểu sau :
Với U là một miền trên  sao cho ∂U là một hợp hữu hạn của các đường cong
trơn và F là một hàm số giải tích xác định trên lân cận của cl U . Khi đó với bất kì

x ∈ U ta có

=
log F( x )

∫

∂U

log F( x ) ωU d ( x, dz) −

∑ gU (z, w)
w∈U: F (w)=
0

trong đó gU là hàm số Green trên U và những phần tử không của F được lý tùy theo
bội số của chúng.
1.2.3. Độ đo điều hòa
Định nghĩa 1.2.3.1 Cho miền và u là hàm điều hòa dưới, u ≡/ −∞ thì tồn tại
duy nhất toán tử ∆u tuyến tính dương trên không gian trên C0∞ ( D)
∆u (φ )=

∫

D

u∆φ

∀φ ∈ C0∞ ( D) .


7

Đối với các miền chính quy D độ đo điều hòa trên K = ∂D (tính tại y ) có thể
được định nghĩa như sau ωD ( y, v) =
∆g y (v) =
∆g D (v, y ) =
∫ g D (v, y)∆v
D

Một định nghĩa khác được đưa ra như sau: Nếu φ là một hàm liên tục xác định
trên ∂D thì (do tính chính quy) φ có một mở rộng điêu hòa φ trên miền D. Ta đặt

ωD ( z ,φ ) = φ ( z ) .
Định lý 1.2.3.2 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa dưới)
Cho miền D ⊂  và u ∈ SH ( D) . Khi đó
a. Nếu u nhận giá trị cực đại toàn cục trên D thì u = const ;
b. Nếu limsup u ( z ) ≤ 0 ∀ζ ∈ ∂D thì u ≤ 0 trên D .
z →ζ

Tính điều hòa dưới bất biến qua ánh xạ bảo giác.
Định lý 1.2.3.4 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa)
Cho D là tập con mở khác rỗng của  và h là hàm điều hòa trên D .
i) Nếu h đạt giá trị cực đại tại điểm nào đó trên D thì h là hàm hằng trên D .

ii) Nếu h liên tục trên D và h ≤ 0 trên δ D thì h ≤ 0 trên D .


( Bao đóng và biên của D trong định lý này được lấy trong  )
Định lý 1.2.3.5 (Bất đẳng thức Harnack)
Lấy h là một hàm số điều hòa dương xác định trên dĩa B (0,1) với tâm 0 và bán
kính là 1. Với mọi r < 1 , có hằng số Cr (không phục thuộc vào h ) sao cho với mọi

x, y ∈ B(0, r ) (đĩa với bán kính r), ta có

h( x )
< Cr
h( y )


8

1.3. Một số kiến thức về lý thuyết ergodic và lý thuyết độ đo
1.3.1. Ergodic
Định nghĩa 1.3.1.1 Ta gọi ( X ,  , m) là không gian xác suất trong đó X là một
tập hợp,  là σ − đại số các tập con của X là một độ đo trên ( X ,  ) có m( X ) = 1 .
Định nghĩa 1.3.1.2 Cho ( X 1 , 1 , m1 ) và ( X 2 ,  2 , m2 ) là các không gian xác suất.
a) Một phép biến đổi T : X 1 → X 2 được gọi là đo được nếu T −1 ( 2 ) ⊂ 1
b) Một phép biến đổi T : X 1 → X 2 được gọi là bảo toàn độ đo nếu T đo được
và nếu ( m1 (T −1 ( B2 ) = m2 ( B2 ) với mọi B2 ∈  2
Định nghĩa 1.3.1.3 Cho ( X ,  , m) là không gian xác suất. Phép biến đổi bảo toàn

độ đo T : X → X được gọi là ergodic nếu phần tử B của  thỏa T −1 ( B) = B thì

m( B ) = 0 (hay m( B ) = 1 ).

Định lý 1.3.1.4 Nếu T : X → X là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian
xác suất ( X ,  , m) thì các phát biểu sau tương đương:
i)

T là ergodic

ii)

0 là các phần tử mà m( B) = 0
Chỉ các phần tử B ∈ với m(T −1 ( B)∆B) =
hay m( B) = 1 . (Ở đây ta sử dụng ký hiệu A=
∆B

( A \ B ) ∪ ( B \ A)

∞

iii)

Với mọi A∈  mà m( A) > 0 ta có m( T − n A) = 1
n =1

iv)

Với mọi A, B ∈  mà m( A) > 0 , m( B) > 0 ta có m( B ∩ T − n ( A)) > 0

Định lý 1.3.1.5 Nếu T : X → X là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian
xác suất ( X ,  , m) thì các phát biểu sau tương đương:

9

i)

T là ergodic

ii)

Nếu f đo được và f  T=
( x) f ( x) ∀x ∈ X thì f là hàm hằng h.k.n.

iii)

Nếu f đo được và f  T ( x) = f ( x) h.k.n thì f là hàm hằng h.k.n

iv)

Nếu f ∈ L2 (m) và f  T=
( x) f ( x) ∀x ∈ X thì f là hàm hằng h.k.n.

v)

Nếu f ∈ L2 (m) và f  T ( x) = f ( x) h.k.n thì f là hàm hằng h.k.n.

Định lý 1.3.1.6 (Định lý truy hồi PoinCaré)
Cho T : X → X là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất ( X ,  , m)
. Giả sử E ∈  sao cho m( E ) > 0 . Khi đó tồn tại F ⊂ E với m( F ) = m( E ) sao cho với
mỗi x ∈ F tồn tại dãy n1 < n2 < n3  các số tự nhiên với T ni ( x) ∈ F với mọi i .
1.3.2. Entropy, mở rộng tự nhiên

1.3.2.1. Entropy
Định nghĩa 1.3.2.1.1 Nếu α là một phủ mở của X , gọi N (α ) là số lượng các
phần tử trong phủ con hữu hạn nhỏ nhất của α . Ta định nghĩa entropy của α bởi :
H (α ) = log N (α ) .

Giả sử α , β là các phủ mở của X , thì nối của chúng (kí hiệu là α ∨ β ) là một phủ
mở được xác định bởi : α ∨ β = { A ∩ B : A ∈ α , B ∈ β }.
Giả sử α là một phủ mở của X và T : X → X liên tục thì T −1α là một phủ mở
của X chứa các tập hợp dạng T −1 A , với A ∈α .
Ta ký hiệu :

T − iα =α ∨ T −1α ∨  ∨ T − ( n −1)α .

n −1
i =0

V

Định lý 1.3.2.1.2 Giả sử α là một phủ mở của X và T : X → X liên tục, khi đó
tồn tại giới hạn lim
n →∞

1
H
n

(V

)

T − iα .

n −1
i =0


10

Định nghĩa 1.3.2.1.3 Nếu T : X → X liên tục, thì entropy tô pô của T được định
nghĩa là: htop (T ) = sup h(T , α ) với α chạy trên tập các phủ mở của X .
α

Cho ( X , d ) là không gian metric compact và T : X → X liên tục. Ký hiệu bởi
 ( X ) là σ − đại số các tập con Borel của X và M ( X , T ) là không gian các độ đo xác

suất bảo toàn bởi T , trên không gian đo được ( X ,  ( X ))
Định nghĩa 1.3.2.1.4 Ánh xạ entropy của một phép biến đổi liên tục T : X → X là
ánh xạ µ  hµ (T ) xác định trên M ( X , T ) và nhận giá trị trong [0, ∞] .
Định lý 1.3.2.1.5 (Nguyên lý biến phân). Cho T : X → X là một ánh xạ liên tục
trên không gian metric compact X=
thì htop (T ) sup{hµ (T ) | µ ∈ M ( X , T )} .
Định nghĩa 1.3.2.1.6 Cho T : X → X là một phép biến đổi liên tục trên không
gian metric compact X . Một độ đo µ ∈ M ( X , T ) được gọi là độ đo entropy cực đại
của T nếu hµ (T ) = htop (T ) .
Ta ký hiệu M max ( X , T ) là tập hợp tất cả các độ đo với entropy cực đại của T .
Định nghĩa 1.3.2.1.7 Một phép biến đổi liên tục T : X → X của không gian metric
compact được gọi là có một độ đo duy nhất với entropy cực đại nếu M max ( X , T ) chỉ
chứa chính xác một phần tử.
Cho K là một không gian mê-tric và f : K → K là ánh xạ liên tục. Độ đo Borel
xác suất µ là f − bất biến nếu f* µ = µ , tức là với mọi tập đo được A , ta có

µ ( f −1 ( A)) = µ ( A) .
Lấy K là một không gian compact và f : K → K liên tục và độ đo xác suất Borel

µ là f − bất biến. Ký hiệu entropy mê tric và entropy tôpô lần lượt là hµ ( f ) và
htop ( f ) . Nếu f :  →  là một ánh xạ hữu tỷ với bậc d ≥ 2 thì htop ( f ) = log d và một


11

độ đo duy nhất của entropy cực đại thỏa mãn m( f ( E ))= d ⋅ m( E ) với mỗi tập Borel
sao cho f|E là đơn ánh.
Trong trường hợp các ánh xạ tựa đa thức tổng quát cũng tồn tại duy nhất một độ đo
cực đại ( f liên hợp tôpô với một đa thức)
1.3.2.2. Mở rộng tự nhiên.
Với một tự đồng cấu ( K , f , µ ) với µ là f − bất biến, ta định nghĩa một đẳng cấu

 ) như sau: K
 , f , µ
 là một không gian các quỹ đạo
(K

=
K

(...x , x ,..., x , x ,...) : f ( x )
{=
−n

− n +1

o

1

i

xi +1} ,

 được xác định bởi :
Độ đo µ
 (K
 ∩ (...K × A × A ×  × A × K × ))= µ ( A ∩ f −1 ( A ) ∩ f −2 ( A ) ∩  ∩ f − n −1 ( A ))
µ
n
n
1
2
1
2
3

 là phép nâng trái. Khi đó nếu π : K
→K
 → K là phép chiếu lên tọa
Ánh xạ f : K

 là bất biến. Nếu µ là ergodic thì
độ thứ 0 thì f  π = π  f . Nếu µ là bất biến thì µ

µ là ergodic
1.3.3. Định lý biểu diễn Riesz, định lý Radon-Nykodym.
Định nghĩa 1.3.3.1 Một độ đo Borel µ trên không gian tô pô X được gọi là độ
đo Radon nếu µ ( K ) < ∞ với mỗi tập con compact K của X .
Cho không gian tô pô X , ký hiệu Cc ( X ) là không gian vector các hàm liên tục

φ : X →  có giá compact. Mỗi độ đo Radon µ trên X cảm sinh một phiếm hàm
tuyến tính f trên Cc ( X ) được xác định bởi
=
f (φ )

∫ φd µ , φ ∈ C ( X )
c

X


12

Toán tử tuyến tính này được gọi là dương nếu f (φ ) ≥ 0 với φ ≥ 0 . Định lý sau
khẳng định cho chiều ngược lại đối với toán tử tuyến tính dương, gọi là định lý Riesz.
Định lý 1.3.3.2 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho X là không gian metric có vét cạn
compact. Nếu f là một toán tử tuyến tính dương trên Cc ( X ) , khi đó tồn tại duy nhất
một độ đo Radon µ trên X sao cho
=
f (φ )

∫ φd µ , φ ∈ C ( X ) .
c

X

ở đây X được gọi là có vét cạn compact theo nghĩa tồn tại một dãy tập con compact

( K n ) n≥1 sao cho với mỗi n ∈  thì  n K n = X . Ta sẽ đồng nhất phiếm hàm tuyến tính
liên tục f với độ đo µ và gọi nó là độ đo. Khi đó ta có thể viết là
=
µ (φ )

∫ φd µ , φ ∈ C ( X )
c

X

Định nghĩa 1.3.3.3 Cho ( X ,  ) là không gian đo được và giả sử µ , m là hai độ
đo xác suất trên ( X ,  ) . Ta nói µ liên tục tuyệt đối đối với m , ký hiệu µ  m , nếu

µ ( B) = 0 khi m( B) = 0 . Ta nói µ , m là tương đương nếu µ  m và m  µ .
Hai độ đo xác suất µ , m trên ( X ,  ) được gọi là kỳ dị với nhau, ký hiệu µ ⊥ m
nếu tồn tại B ∈  một sao cho µ ( B ) = 0 và m( X \ B ) = 0 .
Định lý 1.3.3.4 (Định lý Phân tích Lebesgue) Cho µ , m là hai độ đo xác suất
trên ( X ,  ) . Tồn tại p ∈ [0,1] và các độ đo xác suất µ1 , µ 2 sao cho µ= pµ1 + (1 − p ) µ2
và µ1  m, µ2 ⊥ m . Số p và µ1 , µ 2 xác định duy nhất.
Định lý 1.3.3.5 (Định lý Radon-Nykodym) Cho µ , m là hai độ đo xác suất trên
không gian đo được ( X ,  ) . Khi đó µ  m nếu và chỉ nếu tồn tại f ∈ L1 (m) , với

f ≥ 0 và

∫

fdm = 1 sao cho µ ( B ) = ∫ fdm với mọi B ∈  . Hàm f duy nhất h.k.n.
B


13

Hàm f được gọi là đạo hàm Radon- Nikodym của µ đối với m , ký hiệu

dµ
.
dm

Cho ( X ,  , m) là không gian đo được và ℭ là một σ - đại số con của ℬ. Ta định

nghĩa toán tử E (⋅ C ) : L1 ( X ,  , m) → L1 ( X , C , m) như sau: Nếu f ∈ L1 ( X ,  , m) nhận giá
trị thực không âm thì µ f (C ) =

1
fdm (với a = ∫ fdm ) xác định một độ đo xác suất,
X
a ∫C

µ f , trên ( X , C, m) và µ f  m . Theo định lý Radon-Nikodym tồn tại một hàm E ( f C )
sao cho E ( f C ) ≥ 0 và

∫

C

)dm

E ( f C=

∫

C

fdm ∀C ∈ C . Hơn nữa, E ( f C ) là duy nhất

h.k.n. Tương tự nếu f là hàm giá trị phức ta có thể sử dụng các phần thực và phần ảo để
định nghĩa E ( f C ) một các tuyến tính. Do đó nếu f ∈ L1 ( X ,  , m) thì E ( f C ) là hàm
ℭ- đo được với

∫

C

E ( f C=
)dm

∫

C

fdm ∀C ∈ C .

1.3.4. Chiều Hausdorff
Trong Toán học chiều Hausdorff khái quát khái niệm chiều của không gian vectơ.
Cho X là không gian mê-tric. Nếu S ⊂ X và d ∈ [0, +∞) ta định nghĩa

CHd ( S ) := inf{∑ ri d : có một phủ S bởi các quả cầu với bán kính ri > 0} .

i

Quy ước inf ∅ = ∞

{

}

Chiều Haussdorff của X được định nghĩa là dim H ( X ) = inf d ≥ 0 : CHd = 0 .
Chiều Hausdorff của một độ đo HD(ω ) là một cận dưới đúng của HD( A) trên tất
cả các tập A của độ đo đủ.


14

Chương 2 ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ
Nội dung của chương này dựa vào bài báo “ Julia sets are uniformly perfect” của
R.Mané và L.F. Da Rocha.
Trong chương này trước hết ta chứng minh rằng các tập Julia của một ánh xạ hữu
tỷ là tập hoàn chỉnh đều theo nghĩa Pommerenke và do đó là tập chính quy theo nghĩa
Dirichlet (định lý 1). Sử dụng kết quả này ta nhận được công thức tính entropy một độ
đo điều hòa bất biến trên các tập Julia. Từ đây ta đưa ra một chứng minh của Lopes đối
với chiều đảo của định lý Brolin.
Cho  là một mặt cầu Riemann. Ta có một số khái niệm sau :
i) Ta nói rằng tập A ⊂  là một hình vành khăn nếu tồn tại một biểu diễn bảo

{

}

giác của z ∈  : r < z < 1 lên A với số r ∈ (0,1) nào đó. Số log

1
được gọi là modun
r

của A. Ký hiệu là modA.

∅ và K giao với cả hai thành
ii) Cho K ⊂  , ta nói rằng A tách K nếu K ∩ A =
phần liên thông của phần bù Ac của A .
iii) Một tập K ⊂  được gọi là tập hoàn chỉnh đều nếu nó chứa nhiều hơn một
phần tử và tồn tại m > 0 sao cho mọi hình vành khăn A tách K có mod A ≤ m . Đặc
biệt các tập liên thông là tập hoàn chỉnh đều vì không hình vành khăn nào có thể tách
chúng.
Một tập hoàn chỉnh đều luôn là tập chính quy (theo nghĩa Dirichlet). Trong [4]
Pommerenke đã chứng minh một tính chất mạnh hơn, đó là: Cho d (.,.) là mêtric cầu
trên  , γ ( S ) là dung lượng loga của một tập compact S. Khi đó một tập compact


15

K ⊂  là tập hoàn chỉnh đều nếu và chỉ nếu tồn tại δ > 0 sao cho với mọi a ∈ K và

r > 0 ta có γ ({ z ∈ K : d ( z , a) ≤ r} ≥ δ r .
Tính chất này dẫn đến tính chính quy của K ( xem [9]). Ta có kết quả sau:
2.1. Định lý Tập Julia K = J ( f ) của một ánh xạ hữu tỷ f :  →  là tập hoàn
chỉnh đều.
Chứng minh.

Giả sử phản chứng rằng có một dãy các hình vành khăn

An (n = 1, 2..) tách K sao cho lim mod An = +∞ . Tính chất này dẫn đến rằng với mỗi
n →+∞

n , một thành phần liên thông K n của Anc =  \ An có thể được chọn sao cho
lim diamK n = 0 .
n →∞

Kí hiệu K n′ là thành phần liên thông khác của Anc . Khi đó inf diamK n′ > 0 vì nếu
n >0

không ta có thể lấy một dãy con

{K }

với lim diamK n′ j = 0 và các điểm

'
nj

j →∞

p′j ∈ K n′ j ∩ J ( f ) , p j ∈ K n j ∩ J ( f ) lần lượt hội tụ về p′ và p trong J ( f ) . Khi đó từ

f ) {p} ∪ {p′} ,
lim
=
diamK n′ j lim
=

diamK n j 0 và J ( f ) ⊂ K n j ∪ K n′ j , ∀j dẫn đến J ( =
j →∞

n →∞

mà điều này không thể được.
Kí hiệu D =∈
{ z  :| z |< 1} và ϕn : D → An ∪ K n là một biểu diễn bảo giác với

mod( An ) . Do đó lim diam ϕ n−1 ( K n )) = 0 vì
ϕn (0) ∈ K n . Khi đó mod( D − ϕn−1 ( K n )) =
n →+∞

lim mod( An ) = ∞ . Lấy 2 > rn > ρ n > 2diam( K n ) thỏa lim rn = 0 , lim

n →+∞

n →+∞

n →+∞

Dn' =∈
{ z  :| z |< ρ n } .

Họ

các

hàm

ϕn : D → 

là

ρn
rn

chuẩn

= 0 . Đặt

tắc

vì

inf diam
=
ϕn ( D)c inf diam K n′ > 0 . Do đó lim diam ϕn ( Dn′ )) = 0 . Nhưng ϕ n ( Dn′ )) là
n

n

n →+∞


16

một tập mở chứa các điểm của J ( f ) . Do đó theo lý thuyết cổ điển về các tập Julia tồn
tại các số nguyên tn > 0 sao cho J ( f ) ⊂ f tn (ϕ n ( Dn′ )) .
Lấy 0 < c < diam J ( f ) và lấy mn là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

f mn (ϕ n ( Dn′ )) ≥ c . Vì lim(ϕ n ( Dn′ )) = 0
n →∞

dẫn đến

lim mn = +∞ . Hơn nữa vì

n →+∞

diam f mn −1 (ϕ n ( Dn′ )) < c dẫn đến f mn (ϕ n ( Dn′ )) < Lc ở đây L là hằng số Lipschitz của
f . Cho S là một tập gồm bốn điểm trong J ( f ) . Lấy c đủ nhỏ để mọi tập có bán kính
nhỏ hơn Lc không chứa hai điểm của chúng. Khi đó f mn (ϕ n ( Dn′ )) không thể chứa ba
điểm của S . Định nghĩa ψ n : D →  bởi ψ n ( z ) = f mn ϕ n (rn z ) . Ta chứng minh rằng họ

{ψ n }

chuẩn tắc. Chỉ cần chứng minh rằng với mọi n , ψ n ( D ) không thể chứa ba điểm

(có thể phụ thuộc vào n ) của S . Nếu
diam ϕ n−1 ( K n ) <

ρn
2

ρn
2rn

< | z | < 1 thì

ρn
2

< | rn z | < rn và vì

dẫn đến rn z ∉ ϕ n−1 ( K n ) và ϕ n (rn z )) ∉ K n . Khi đó ϕ n (rn z )) ∉ J ( f ) vì

=
K n J ( f ) ∩ ϕ n ( D) . Do đó ψ n ( z ) = f mn ϕ n (rn z ) ∉ f mn ( J ( f )) = J ( f ) . Do đó ψ n ( z ) ∉ S
khi

ρn
2rn

< | z | < 1 . Mặt khác nếu | z | ≤

ρn
2rn

dẫn đến | rn z | ≤

ρn
2

< ρ n và khi đó

=
ψ n ( z ) f mn ϕn (rn z ) ∈ f mn ϕ n ( Dn′ ) không thể chứa ba điểm của S . Điều này chứng minh
tính chuẩn tắc của họ {ψ n } . Do đó với ε > 0 cho trước, tồn tại một lân cận V của 0


ρ 
sao cho diamψ n ( z ) ≤ ε , ∀n . Nhưng với n đủ lớn, ta có V ⊃  z :| z | < n  và
rn 


ρ 
ε ≥ diamψ n (V ) ≥ diamψ n  z :|=
z | < n  diam f mnϕ ( Dn′ ) ≥ c


rn 

Vì ε > 0 tùy ý nên ta có điều mâu thuẫn. 