Cách tính trực tiếp thể tích khối da diện

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hình học không gian

TÍNH TRỰC TIẾP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

A. SƠ ĐỒ TƯ DUY
Các em xem lại bài giảng ở “Bài 5. Phương pháp tính nhanh thể tích khối đa diện qua sơ đồ tư duy”.

B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC  2a , ACB  300 . Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của AC và góc tạo bởi SB và đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích
của khối chóp S. ABC .
Giải:
Do SH  ( ABC ) nên HB là hình chiếu
của SB trên mặt phẳng đáy.
Vậy góc tạo bởi SB và đáy là góc SBH  600

ABC vuông tại B , suy ra: BH 

AC
a
2

Khi đó: SH  BH .tan SBH  a.tan 600  a 3
Xét tam giác vuông ABC ta có: BC  AC.cos ACB  2a cos300  a 3
Suy ra : S ABC

1
1
a2 3
0
 AC.BC.sin ACB  .2a.a 3.sin 30 
2
2
2

1
1
a 2 3 a3
Thể tích của khối chóp S. ABC là: VS . ABC  SH .S ABC  .a 3.

3
3
2
2
a 10
; AC  a 2 và BC  a . Hình chiếu
4
vuông góc của C ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M của đoạn AB . Tính theo a thể tích

Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ACB  1350 , CC ' 

của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .

Giải:

1
1
a2
0
Ta có S ABC  CA.CB sin ACB  a 2.a sin135 
2
2
2
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:
AB2  AC 2  BC 2  2 AC.BC cos ACB

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hình học không gian

C'

 2a2  a2  2.a 2.a.cos1350  5a2
Khi đó CM 2 

CA2  CB 2 AB 2 a 2


 .
2
4
4

Suy ra C ' M  C ' C 2  CM 2 

B'

A'

a 6
4

C

Suy ra thể tích VABC . A' B 'C '  C ' M .S ABC 

a 6 a 2 a3 6
.
. 
4 2
8

B
M

A

Ví dụ 3. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD  DC  a ; AB  3a

. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AD . Tam giác SNC là tam giác cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc tạo bởi mặt phẳng (SDC ) và đáy bằng 600 . Tính theo a thể
tích của khối chóp S.MNCB .
Giải:
Gọi H là trung điểm của NC  SH  NC
( SNC )  ( ABCD)

Khi đó ta có: ( SNC ) ( ABCD)  NC  SH  ( ABCD)
 SH  NC


ND AD a



 HI 
Gọi I là trung điểm của DC  
2
4
4
 HI / / ND  HI  DC
Suy ra góc tạo bởi mặt phẳng (SDC ) và đáy là SIH  600 .
a
a 3
Xét tam giác vuông SHI : SH  HI .tan SIH  .tan 600 
4
4

Ta có AM 

1
3a 2
1
a2
AB 3a
AD a
; SCDN  CD.DN 
và AN  DN 

 . Khi đó S AMN  AM . AN 
2
8
2
4
2
2
2
2

Diện tích hình thang ABCD : S ABCD 

( AB  DC ). AD (3a  a ).a

 2a 2
2
2

 3a 2 a 2  11a 2
 
Suy ra : SMNCB  S ABCD  ( S AMN  SCDN )  2a 2  

4
8
 8
1
1 a 3 11a 2 11a3 3
Vậy VS .MNCB  SH .SMNCB  .
.
.

3
3 4
8
96

Ví dụ 4. Cho hình chóp đều S. ABCD có AB  a . Gọi M là trung điểm của AD và góc tạo bởi mặt
phẳng ( SCM ) và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích của khối chóp S. ABCD .
Giải:
Gọi AC

BD  O . Do S. ABCD là hình chóp đều . Nên SO  ( ABCD) .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hình học không gian

Gọi I là hình chiếu vuông góc của O trên CM , khi đó góc tạo bởi mặt phẳng ( SCM ) và mặt đáy là
SIO  600 . Do ABCD là hình vuông cạnh a nên S ABCD  a 2
2

a 5
AD a
a
Ta có: DM 
 . Xét tam giác CDM ta có: CM  CD 2  DM 2  a 2    
2
2
2
2

Mặt khác: SCOM 
suy ra: OI 

S
1
1 1
a2
SCAM  . S ABCD  ABCD  ,
2
2 4
8
8

2SCOM 2a 2 a 5 a 5

:

CM
8
2
10

 SO  OI tan SIO 

a 5
a 15
.
.tan 600 
10
10

1
1 a 15 2 a3 15
Vậy SS . ABCD  SO.SABCD  .
.
.a 
3
3 10
30

Ví dụ 5. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại A . Góc giữa AA ' và BC ' bằng 300 .
Góc giữa hai mặt bên qua AA ' bằng 600 . Biết khoảng cách giữa AA ' và BC ' bằng a . Tính thể tích của khối
lăng trụ.

Giải:
+) Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC nên AI  BC
Có CC '  ( ABC )  CC '  AI  AI  ( BCC ' B ')
Mặt khác AA ' // ( BCC ' B ')
 d ( AA ', BC ')  d ( AA ',( BCC ' B '))  d ( A,( BCC ' B '))  AI  a
Vì ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên góc tạo bởi ( AA ' B ' B)
và ( AA ' C ' C ) là CAB  600 . Suy ra ABC đều

 BC  AB 
 SABC

AI
a
2a 2 3a



0
sin B sin 60
3
3

1
1 2 3a a 2 3
 AI .BC  .a.

2
2
3
3

+) Vì AA ' // CC '  góc tạo bởi AA ' và BC ' bằng góc tạo bởi CC ' và BC ' và bằng CC ' B  300 .
Xét tam giác vuông CC ' B ta có: CC '  CB.cot CC ' B 
Suy ra VABC . A' B 'C '  CC '.SABC  2a.

2 3a
.cot 300  2a
3

a 2 3 2a 3 3
.

3
3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Giáo viên

: Nguyễn Thanh Tùng

Nguồn

:

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 3 -