Phương pháp tính thể tich khối đa diện

1

MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


NGUYỄN THỊ HƯỜNG
(Tổ trưởng Tổ Toán – Lý – Hoá trường THPT Sông Lô)

I. GIỚI THIỆU
1. Lý do viết chuyên đề:
- Trong đề thi Đại học – Cao đẳng hàng năm, luôn xuất hiện 01 câu về hình học không
gian. Trong đó phần nhiều có liên quan về vấn đề tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là
các khối chóp, khối lăng trụ.
- Trong quá trình dạy ôn thi đại học, tôi thấy không ít học sinh có tâm lý “sợ” câu hình
học không gian. Vì vậy, tôi viết chuyên đề này với mục đích hệ thống lại một số kỹ năng
tính thể tích khối đa diện giúp học sinh giải quyết tốt bài toán này trong đề thi đại học.
2. Đối tượng học sinh:
- Sử dụng dạy cho học sinh lớp 12, chuẩn bị thi vào đại học (sau khi học hết chương trình
Hình học cấp THPT).
- Chuyên đề cũng có thể sử dụng để dạy cho học sinh lớp 12 (trung bình khá trở lên) sau
khi học xong chương I-Hình học (tuy nhiên chưa dạy phần sử dụng phương pháp chọn hệ
trục toạ độ trong không gian)
3. Thời gian dự kiến dạy: 05 tiết, dạy vào các tiết tự chọn, tiết dạy chuyên đề (buổi
chiều).

II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRỰC TIẾP:
Mấu chốt của phương pháp này là tính được đường cao và diện tích đáy của khối đa diện.

Trước hết cần nắm vững kiến thức cơ bản sau;
1.1. Kiến thức cơ bản
Góc
 Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng
đi qua một điểm và lần lượt cùng phương
với a và b.
b'
b
a'
a

 Góc giữa đường thẳng a không
vuông góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng
(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a
và mp(P) là 90
0
.
P
a'
a




2

B
h
 Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao
tuyến tại 1 điểm
b
a
Q
P

P
Q
a
b

 Diện tích hình chiếu:
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong
mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của
(H) trên mp(P’) thì
' cos
S S



trong đó

là góc giữa hai mặt phẳng

(P),(P’).

C
B
A
S

Các công thức thể tích của khối đa diện:
 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao


 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh
trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao

 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

 
' '
3
h
V B B BB
  
với B, B’ là diện tích hai đáy, h là chiều
cao của hình chóp cụt.

B
A
C
A'
B'
C'

Hai yếu tố quan trọng để tính thể tích là chiều cao và diện tích đáy. Trong qua trình tính
cần lưu ý:
+ Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông
+ Một số khối chóp đặc biệt:
 Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy
Và AO

(BCD)
 Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

A
C
D
M
O


3

+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O
+ SO

(ABCD)

O
C
D
B
A
S

 Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng nhau ) thì chân
đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
 Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là cách
đều các cạnh của đáy
 Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy góc thì chân đường cao thuộc
giao tuyến mặt đó với đáy
 Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là giao
tuyến của hai mặt đó
+ Với khối lăng trụ có thể tính thể tích bằng các hướng trên, hoặc chia nhỏ thành nhiều
khối chóp để tính
+ Với khối đa diện phức tạp để tính thể ta thường chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính
1.2. Một số ví dụ:
1.2.1.Ví dụ 1 . (Trích Đề TSĐH khối A năm 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a , CD=a
, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. gọi I là trung điểm của AD . Biết

hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính
.
S ABCD
V
Hướng dẫn giải .

Gọi H là hình chiếu của I trên BC
Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt
đáy. Ta có thể dễ dàng tính được :
2, 5
IC a IB BC a
   ,
 
2
1
. 3
2
ABCD
S AD AB CD a
  
Có
2 2
2 2
1
.
2
3
3
2 2
IBC ABCD ABI CDI

IH BC S S S S
a a
a a
   
   

S
60
0
A
D C
B
I
H


Nên
2
3 3
5
BCI
S
IH a
BC
 
. Từ đó tìm được
3
.
3 15
5

S ABCD
V a
 (đvtt)
1.2.2.Ví dụ 2.( Trích Đề TSĐH khối B năm 2009)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và

BAC
= 60
0
. Hình chiếu vuông góc

4

của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích
khối tứ diện A’ABC theo a.
Hướng dẫn giải .

Gọi M là trung điểm của AC, H là trọng tâm
tam giác ABC
Dễ dàng tính được :
3 3
, '
2 4 2
a a
BH BM a B H   
Đặt


1 1
.
2 2
2 3
tan
BC x
BC x CM AC
BAC
    


a
60
0
60
0
B
C
A
C'
A'
B'
M
H


Ta có
2
2 2 2 2 2 2 2
9 27

16 12 52
x
BM BC CM a x x a
      
2 3
2
' '
1 9 3 1 9
. ' .
2 104 3 208
2 3
ABC A ABC B ABC ABC
x a
S BC AC a V V B H S       

1.2.3. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có
ABC

vuông tại C , AC=a,AB=2a , SA vuông
góc với đáy , góc giữa mặt (SAB) và măt (SBC) bằng 60
0
.Gọi H,K lần lượt là hình chiếu
của A lên SB,SC . CMR
AK HK

và tính
.
S ABC
V
Hướng dẫn giải .

*Ta có
:


,
SA BC AC BC BC SAC BC AK
     

Mà


AK SC AK SBC AK HK
    

*Dễ dàng tính được
2
3
2
ABC
a
S  (đvdt)
Trong tam giác vuông AKH ,
AK=AH.sin60
0
=
3
2
AH .
Ta lại có các tam giác SAB,SAC vuông tại A nên
2 2 2 2 2

1 1 1 1 1
4
AH SA AB SA a
    (1) ,
a
2a
60
0
S
A
C
B
K
H


2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 1 1 3 3
3 4 4
AK SA AC AH SA a AH SA a
        (2)
Từ (1),(2) suy ra ,
3
.
2 2
1 1 2 6
4 2 2 12
S ABC
a a
SA V

SA a
     ( đvtt)
1.2.4. Ví dụ 4. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a , khoảng cách từ tâm O
của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng
6
a
. Tính
. ' ' '
ABC A B C
V
Hướng dẫn giải .

5


Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu của O
lên A’M
Có


,AA' AA'
AM BC BC BC M BC OH
     

Do đó ,
   
 
' , '
6
a

OH A BC d O A BC OH
   

Đặt AA’=x , ta có
MOH

và
'
MA A

đồng dạng nên
C
B
A
C'
B'
A'
M
O
H


2 2 2
2 2
/ 6 3 / 6 3 6
3
AA' ' 4 4
3
4
OH MO a a

x a x x a
MA x
x a
       


3
. ' ' '
3 2
AA'.
16
ABC A B C ABC
V S a
   ( đvtt )
1.2.5. Ví dụ 5. Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho
trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Hướng dẫn giải .
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’.
Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’.
Ta có:
     
' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH


   




Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với
hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại
điểm
'
K II

. Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x
là cạnh đáy lớn. Ta có:
1 3 1 3
' ' ' ' ' ;
3 6 3 3
x x
I K I H I C IK IH IC     
Tam giác IOI’ vuông ở O nên:
2 2 2 2
3 3
' . . 6r
6 3
x x
I K IK OK r x     .

Thể tích hình chóp cụt tính bởi:
 
' . '
3
h
V B B B B
  

Trong đó:
2 2 2
2 2
4x 3 3 3r 3
3 6r 3; ' ; 2r
4 4 2
x
B x B h
     
.
Từ đó, ta có:
2 2 3
2 2
2r 3r 3 3r 3 21r . 3
6r 3 6r 3.
3 2 2 3
V
 
 
   
 
 
.
2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TỶ SỐ THỂ TÍCH
Trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo
công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy,
nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã
biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.

6

2.1. Công thức tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC có
' , ' , '
A SA B SB C SC
  
.
Khi đó:
' ' '
' ' '
. .
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC

S
A
B
C
A'
B'
C'


2.2. Các ví dụ :
2.2.1. Ví dụ 1.( Trích Đề TSĐH khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M
là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích
khối tứ diện IABC .

Hướng dẫn giải .
Dễ dàng tính được
5, 2
AC a BC a
 

Có I là trọng tâm tam giác AA’C’ nên
2
3
IA AM


Suy ra:
.
. . '.
.
3
2 2 2
3 3 3
2 1 4
. . .2 .2
3 6 9
I ABC
I ABC M ABC A ABC
M ABC
V
V V V
V
a a a a
   

 

a
2a
3a
I
B
A
C
A'
C'
B'
M


2.2.2. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có



0 0
90 , 120 ,
ABC BAD CAD  
,
AB a


2 ,
AC a


3
AD a

.Tính
ABCD
V .

Hướng dẫn giải .
Lấy
,
M AC N AD
 
sao cho AM = AN = a
có

2 2 2 2
1
, 2,
2
2 . .cos 3
3
BM AC a BN a
MN AM AN AM AN MAN a
MN a
  
   
 
Do đó , tam giác BMN vuông tại B. V
ì AB =
AM = AN nên hình chiếu của A

trên (BMN) là tâm H của đường tròn ngoại
tiếp
BMN

, H cũng chính là trung điểm của
MN
a
a
a
120
0
B
M
N
A
H
C

Có
1
. .
6
ABMN
ABCD
V AB AM AN
V AB AC AD
 

3
2 2

.
1 1 3 1 2
. . . 2
3 3 4 2 12
A BMN BMN
a
V AH S a a a a   
3
2
2
ABCD
a
V  ( đvtt)
2.2.3. Ví dụ 3. (Trích Đề TSĐH khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

7

với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối
tứ diện CMNP theo a
Hướng dẫn giải .
Ta có
.
.
1
. ( )
4
1
( )
2

CMNP
CMBD
CMBD M BCD
CSBD S BCD
V CN CP
a
V CB CD
V V MB
b
V V SB
 
  

Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được
.
.
1 1
.
8 8
CMNP
CMNP S BCD
S BCD
V
V V
V
  

P
M
H

N
C
S
D
B
A

Gọi H là trung điểm của AD ta có
SH AD

mà
( ) ( )
SAD ABCD

nên
( )
SH ABCD

. Do đó
3
2
.
1 1 3 1 3
. . . .
3 3 2 2 12
S BCD BCD
a a
V SH S a

  

Vậy:
3
3
96
CMNP
a
V  (đvtt)
2.2.4. Ví dụ 4: (Trích Đề TSĐH khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là
hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a
2
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM
theo a
Hướng dẫn giải .
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta
có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó
2 1
3 3
AI AI
AO AC
  

nên
1 1 1
. .
3 2 6
AIMN
ACDN
V AI AM
V AC AD

  
(1)
Mặt khác
1
2
ACDN
ACDS
V NC
V SC
 
(2)

a
a
a 2
I
M
O
C
A
D
B
S

Từ (1) và (2) suy ra
1
12
AIMN
ACDS
V

V


Mà
3
1 1 2 2
. . .
3 3 2 6
SACD ACD
a a a
V SA S a

   . Vậy
3
1 2
.
12 72
AIMN SACD
a
V V  (đvtt)
2.2.5. Ví dụ 5. (Trích Đề TSĐH khối B – 2008 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,


0
90
BAD ABC
 
,
, 2 , ( )

AB BC a AD a SA ABCD
   
và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA
và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
Hướng dẫn giải:

8

Áp dụng công thức (1) ta có
.
.
.
.
1
2
1
.
4
S BCM
S BCA
S CMN
S CAD
V SM
V SA
V SM SN
V SA SD
 
 

Suy ra

. . .
3 3 3
. .
1 1 2
2 4 2.3 4.3 3
S BCNM S BCM S CNM
S BCA S CAD
V V V
a a a
V V
 
    


2a
a
2a
M
N
A
D
B
C
S

2.2.6. Ví dụ 6. (Trích Đề TSĐH khối D – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao
cho AH =
4

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung
điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta tính được
2 14 3 2
, , ,
4 4 4
2
a a a
AH SH CH
SC a SC AC
  
  

Do đó tam giác SAC cân tại C nên M
là trung điểm của SA.
Ta có
.
. .
.
1 1
2 2
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
V SM
V V
V SA
   

2 3
.
1 1 14 14
. . . .
3 6 2 4 48
S ABC ABC
a a a
V SH S

  
(đvtt)
A
B
C
D
S
H
M

3. PHƯƠNG PHÁP CHỌN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
3.1. Kiến thức cơ bản:
 Diện tích hình bình hành ABCD: ,
S AB AD
 

 
 

 Diện tích tam giác ABC:
1

,
2
S AB AC
 

 
 

 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
. ' ' ' '
, . '
ABCD A B C D
V AB AD AA
 

 
  

 Thể tích khối tứ diện ABCD:
'
1
, .
6
ANBD
V AB AC AD
 

 
  

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải
chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ
đã chọn và độ dài cạnh của hình.
3.2. Nội dung phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxy một cách thích hợp (Chú ý vị trí của gốc O)

9

Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan.
Khi xác định cần căn cứ:
 Ý nghĩa hình học của các điểm (Khi các điểm thuộc trục toạ độ, mặt phẳng
toạ độ).
 Dựa vào các quan hệ hình học như song song, bằng nhau, vuông góc, cùng
phương ,…
 Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng , đường thẳng với mặt
phẳng …
 Dựa vào quan hệ về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng…
Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải quyết bài toán.
3.3. Một số ví dụ:
3.3.1. Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc.
Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC),
mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3

z
M
= 3.
Tương tự


M(1; 2; 3).

pt(ABC):
1
x y z
a b c
  

1 2 3
( ) 1
M ABC
a b c
    
(1).
.
1
6
O ABC
V abc
 (2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
    
1
27
6
abc

 
.
(2)
min
1 2 3 1
27
3
V
a b c
     
.

3.3.2. Ví dụ 2. (Trích Đề TSĐH khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
chữ nhật với , 2,
AB a AD a SA a
  
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tìm thể tích
khối tứ diện ANIB.
Hướng dẫn giải

10

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với A là
gốc toạ độ. Khi đó, ta có:
(0;0;0), ( 2;0;0), (0; ;0),
( 2; ;0), (0;0; )
A D a B a
C a a S a

Khi đó ta có:

2 2
;0;0 ; ; ;
2 2 2 2
a a a a
M N
   
   
   
.
Ta có:
1 1
2 2
MI IB MI IB
  
 
.
Gọi
0 0 0
( ; ; )
I x y z
. Dễ thấy
0
0
z

,
 
 

0 0
0 0
0 0
2 1
0
2 2
1
0
2
3
,
2 3
a
x x
y a y
a a
x y

  




  


  

x
z

y
I
N
M
B
A
D
C
S

Như vậy
3
; ;0
2 3
a a
I
 
 
 

Ta có:
3 2 2
; ; , ; ; , ; ;
2 2 2 2 2 2 6 6 2
a a a a a a a a a
NA NB NI
     
          
     
     

  

Suy ra:
2 2
2
, ;0;
2 2
a a
NA NB
 
 
 
 
 
 
 

Vậy
3
1 2
, .
6 36
a
V NA NB NI
 
 
 
  
(đvtt).
Nhận xét: Giải toán hình không gian bằng phương pháp toạ độ thường là cách làm dài

hơn cách giải bằng hình học thuần tuý. Tuy nhiên nó là một sự lựa chọn tốt cho những
học sinh học tốt đại số nhưng ngại môn hình học không gian.
3.3.3. Ví dụ 3. (Trích Đề TSĐH khối A – 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ
diện CMNP theo a.
Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của AD thì SH vuông góc với mp (ABCD). Chọn
hệ trục toạ độ Hxyz như hình vẽ. Ta có:
 
3
0; ;0 , ; ;0 , ; ;
2 2 4 2 4
a a a a a
N a P M
 
 

 
 
 
 
.
Tính
. 0
AM BP

 
suy ra
AM BP


.
3
1 3
, .
6 96
CMNP
a
V CM CN CP
 
 
 
  
.

11

x
y
z
I
P
N
M
H
B
A
D
C
S

3.3.4. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là
5
tâm O, SO
vuông góc với đáy; các cạnh bên
2 3, 3
SA SB
 
. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng: SA và BM.
b. Mp (AMB) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Đặt OA = x, OB = y, OC = z, ta có:
2 2
2 2
2 2
5
2
9 1
12
2 2
x y
x
y z y
x z
z

 





   
 
 
 




Suy ra tọa độ các đỉnh như sau:
(0;0;0), (2;0;0), (0;1;0), (0;0;2 2),
(0; 1;0), ( 2;0;0), ( 1;0; 2)
O A B S
D C M  

a. Ta có

| . | 3
cos( , )
2
| |.| |
SA BM
SA BM
SA BM
 
 
 
. Do đó

góc giữa hai đường thẳng này là
0
60
.
z
x
y
M
N
O
C
D
A
B
S


, .
2 2
( , )
11
,
SA BM SB
d SA BM
SA BM
 
 
 
 
 

  
 

b. (ABM) và (SCD) chứa hai đt song song AB và CD nên giao tuyến của chúng là
MN//AB//CD. Suy ra N là trung điểm của SD
1
0; ; 2
2
N
 
 
 
 
.
. . . . .
, . , .
2 2 2 3 2
, ,
3 3 3
, ,
S ABN S BMN S ABMN S ABN S BMN
SA SB SN SB SM SN
V V V V V
SA SB SB SM
   
   
      
   
   
     

   
.


12

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1.Cho tứ diện ABCD có
,
ABC ABD
 
đều cạnh a ,




ACD BCD

. Tính V
ABCD
Bài 2. Cho tứ diện ABCD, M,N,P lần lượt thuộc BC,BD,AC sao cho BC=4BM,
BD=2BN, AC=3AP, mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ
diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt phẳng (A’AB),(A’BC),(A’CA) hợp với
đáy (ABC) góc 60
0
, góc

0
60 , 7, 2

ACB AB a AC a
  
. Tính
. ' ' '
ABC A B C
V


Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a , gọi M,N,P lần thuộc các
đoạn AA’,BC,CD sao cho
AA' 3 ' , 3 , 3
A M BC BN CD DP
  
mặt phẳng (MNP) chia
khối lập phương thành hai phần tính thể tích từng phần
Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy góc 60
0
,
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D , N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN) chia
khối chóp S.ABCD thành hai phần . Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a ,
'
K CC

sao cho
2
3
CK a
 .
Mặt phẳng (α) qua A, K và song song với BD chia khối lập phương trình 2 phần . Tính tỷ

số thể tích hai phần đó.
Bài 7. (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc
giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60
0
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

YÊU CẦU THÊM CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
Mỗi học sinh sưu tầm hoặc sáng tác 06 bài toán khác nhau về tính thể tích khối đa
diện và kèm theo hướng dẫn giải (có sử dụng các phương pháp đã học).

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Sau khi dạy, tác giả đã thăm dò ý kiến học sinh và tổ chức kiểm tra, kết quả cho thấy
học sinh thấy hứng thú với nội dung kiến thức được học. Bước đầu giải được các bài hình
học không gian trong các đề thi Đại học – Cao đẳng nhờ các phương pháp được học.