Tính gián tiếp thể tích khối đa diện

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

TÍNH GIÁN TI P TH TÍCH KH I A DI N
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
A. S
T DUY
Các em xem l i bài gi ng “Bài 5. Ph
B. CÁC VÍ D MINH H A

ng pháp tính nhanh th tích kh i đa di n qua s đ t duy”.

Ví d 1. Cho hình chóp tam giác S. ABC có BC  a , ABC  300 và SA  a . Hình chi u vuông góc c a

S xu ng m t đáy là đi m H thu c đ an AB sao cho BH  3 AH , góc t o b i SA và m t đáy ABC
b ng 600 . G i G là tr ng tâm tam giác SBC và m t ph ng ( ) qua AG song song v i BC , c t SB
và SC l n l t t i M và N . Tính th tích kh i chóp S. AMN theo a .
Gi i:
Do SH  ( ABC ) , suy ra góc t o b i SA và m t
đáy ABC là góc SAH  600
a

0
 AH  SA.cos 60  2  AB  4 AH  2a

 SH  SA.sin 600  a 3

2

Khi đó SABC

1
1
a2
0
 AB.BC sin ABC  .2a .a .sin 30 
2
2
2

1
1 a 3 a2 a3 3
 VS. ABCD  SH .SABC  .
. 
3
3 2 2
12
SG 2
SM SN SG 2
G i I là trung đi m c a BC , khi đó


 , khi
 . Ta có ( ) // BC  MN // BC 
SB SC SI 3
SI 3
đó:
VS. AMN SM SN 2 2 4
4

4 a3 3 a3 3
a3 3
. V y VS. AMN 
.
.

 .   VS. AMN  .VS. ABC  .

27
9
9 12
27
VS. ABC
SB SC 3 3 9

Ví d 2. Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a , SA  2a và SAvuông
góc v i m t ph ng (ABC). G i M và N l n l t là hình chi u vuông góc c a A trên các đ ng th ng
SB và SC . Tính th tích c a kh i chóp ABCNM
.
.
Gi i:

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

+) Ta có ABC là tam giác đ u c nh a nên SABC 

Chuyên đ : Hình h c không gian

a2 3
, suy ra :
4

1
1
a2 3 a3 3
VS. ABC  SAS
. ABC  .2a .

3
3
4
6
2
+) Xét tam giác SAB : SM.SB  SA

SM SA2
SA2
4a 2 4
 2 2



SB SB
SA  AB2 5a 2 5
Xét tam giác SAC : SN.SC  SA2


SN SA2
SA2
4a 2 4





SC SC 2 SA2  AC 2 5a 2 5
V
SM SN 4 4 16
16
Khi đó: S. AMN 
 . 
 VS. AMN  .VS. ABC .
.
VS. ABC
SB SC 5 5 25
25
Suy ra:
VA.BCNM  VS. ABC  SS. AMN

16
9

9 a 3 3 3a 3 3
3a 3 3
.
V
y
.
VA.BCNM 
 VS. ABC  VS. ABC  VS. ABC  .

50
25
25
25 6
50

Ví d 3. Cho hình chóp t giác đ u S. ABCD , đáy là hình vuông c nh a , c nh bên t o v i đáy góc 600
. G i M là trung đi m c a SC . M t ph ng đi qua AM và song song v i BD , c t SB , SD l n l t t i
E và F . Tính th tích kh i chóp S. AEMF
Gi i:
G i AC

BD  H   SH  ( ABCD) , suy ra góc t o b i SA và

( ABCD) là SAH  600 , suy ra SH  AH .tan 600 

Ta có SABCD  a  VS. ABCD
2

G i AM

S

a 2
a 6
. 3
2
2
M

1
1 a 6 2 a3 6
 SH .SABCD  .
.a 
3
3 2
6

E

SH  I  . Do BD / /( AEMF )  I  EF / / BD

SF
SI 2
Tam giác SAC có I là tr ng tâm và EF / / BD nên


SD SH 3
Ta có VS. AEMF  VS. AMF  VS. AME  2VS. AMF (1). Khi đó :

I

B

C

F
H
A

D

VS. AMF SM SF 1 2 1
1
1
1 a3 6 a3 6
(2)
.

 .   VS. AMF  VS. ACD  VS. ABCD  .

3
6
6 6
36
VS. ACD SC SD 2 3 3

T (1) và (2), suy ra VS. AEMF 

Hocmai – Ngôi tr

a3 6

.
18

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Ví d 4. Cho t di n ABCD , có ABC  BAD  900 , CAD  1200 , AB  a , AC  2a , AD  3a . Tính
th tích c a kh i chóp ABCD theo a .
Gi i:
G i M, N l n l

t là các đi m thu c đo n AC, AD

sao cho: AM  AN  a . Khi đó:
BM 

AC
 a ; BN  a 2 . Xét tam giác AMN :
2

MN 2  AM 2  AN 2 2 AM. AN.cos MAN

 a 2  a 2  2.a.a.cos1200  3a 2  MN  a 3
Do AM  AN  AB nên hình chi u vuông góc c a A
trên ( BCD) là tâm H c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác

BCD .M t khác BMN vuông t i B
(vì BM 2  MN 2  3a 2  MN 2 )
Suy ra H là trung đi m c a MN  MH 
Ta có : AH  AM 2  MH 2  a 2 
Suy ra VA.BMN

MN a 3

2
2

3a 2 a
a2 2
1
 ; SBMN  BM .BN 
4
2
2
2

V
1
1 a a2 2 a3 2
AM AN a a 1
, khi đó ta có: A.BMN 
 AH .SBMN  . .


.
 . 
3
3 2 2
12
VA.BCD
AC AD 2a 3a 6

 VA.BCD  6VA.BMN  6.

a3 2
a3 2 a3 2
. V y VA.BCD 
.

2
12
2

Giáo viên
Ngu n

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

: Nguy n Thanh Tùng

:
Hocmai.vn

- Trang | 3 -