Giải và khai thác một số dạng toán cơ sở về hàm số một biến phức

1

Giải và khai thác
một số dạng toán cơ sở về
hàm số một biến phức

Hà Thu Giang


2

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Cơ sở lý thuyết hàm số biến phức được đặt nền móng từ giữa thế kỉ XVII
bởi các công trình nghiên cứu của hai nhà toán học vĩ đại: L.Euler, Giăng
Đalămbe. Tuy nhiên phải đến giữa thế kỷ XIX nhờ các công trình của Cauchy,
Becna Riman… thì lý thuyết hàm số biến số phức mới được xây dựng tương đối
hoàn chỉnh và trở thành thành một bộ môn độc lập.
Một trong những đặc điểm nổi bật của bộ môn hàm số biến phức là, một
mặt nội dung của nó có một giá trị lý luận sâu sắc, mặt khác những thành tựu đẹp
đẽ nhất mà nó đạt được phần lớn là do việc trực tiếp giải quyết các bài toán thực
tiễn. Chính vì thế công cụ toán học của nó đã được áp dụng một cách rất có hiệu
lực để giải quyết hàng loạt các vấn đề khó trong nội bộ toán (tính các tích phân
suy rộng, chứng minh các định lý cơ bản của đại số học,..) cũng như để giải
quyết các vấn đề lớn của thực tiễn (các bài toán của lý thuyết đàn hồi, nước
thấm, các bài toán về thủy khí động học,..). Việc học tập nghiên cứu bộ môn này
rất cần thiết cho mọi sinh viên ngành khoa học tự nhiên (không phân biệt đó là
khoa học cơ bản hay khoa học kỹ thuật)
Lý thuyết hàm số biến số phức nghiên cứu các hệ thống hàm số một hay
nhiều biến và các biến số đều là số phức. Đã có nhiều giáo trình và tài liệu viết
về lý thuyết hàm biến phức:[1], [2], [5], [7], [8]… Giáo trình Hàm biến phức

chủ yếu được biên soạn cho sinh viên năm thứ 2, thứ 3 khoa toán các trường Đại
học Sư phạm, Đại học Khoa học Tự nhiên, học viên cao học và nghiên cứu sinh
chuyên ngành.
Việc nghiên cứu hàm số biến số phức đối với sinh viên chuyên ngành toán
các trường Đại học Sư phạm không chỉ giúp người học hiểu hơn các kiến thức đã
học ở giải tích cổ điển. Về mặt nghiệp vụ, nhờ học hàm số biến số phức, người
học hiểu được những quan hệ gắn bó giữa các hàm sơ cấp như: hàm lượng giác,
hàm số mũ và hàm số logarit, người học sẽ có một công cụ mới để giải nhiều bài
toán khó về hình học sơ cấp. Điều này sẽ nâng cao kiến thức chuyên môn của
người học sau khi tốt nghiệp.
Trong học phần Hàm biến phức ở học kì VI đối với sinh viên chuyên
ngành Toán của trường Đại học Hùng Vương, sinh viên đã tiếp cận với những
Hà Thu Giang


3

kiến thức cơ sở của hàm số một biến phức. Nhưng do thời lượng không nhiều
nên việc tìm hiểu về hàm số một biến phức còn rất hạn chế, đặc biệt là khi vận
dụng lý thuyết để giải bài tập, bên cạnh đó việc khai thác các dạng toán cơ sở
của lớp hàm này vẫn còn khá mới mẻ đối với sinh viên.
Trong các kì thi Olympic toán sinh viên quốc tế và quốc gia, các bài toán
liên quan đến biến phức thường được đề cập đến với nhiều dạng phong phú
thông qua các đặc trưng và các phép biến đổi khác nhau của phương pháp giải,
vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang tính đặc thù sâu. Vì vậy việc phân dạng
bài toán cơ sở của hàm số một biến phức sẽ tạo nền tảng khoa học để sinh viên
có thể áp dụng giải bài tập một cách tốt hơn.
Như vậy việc giải và khai thác các dạng bài tập toán học thực sự cần thiết.
Đóng vai trò như một công cụ đắc lực để giải quyết có hiệu quả nhiều lớp bài
toán điển hình. Việc nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi

đem đến cho người học nhiều kết quả thú vị đồng thời phát huy năng lực tìm tòi
sáng tạo, tập dượt cho sinh viên kỹ năng nghiên cứu khoa học. Vấn đề giải và
khai thác các dạng bài toán đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm. Có nhiều
tài liệu viết về khai thác các dạng bài tập toán như [4], [6], [11]... Các tài liệu
trên đã đưa ra được hệ thống bài tập trên cơ sở phân dạng, hướng dẫn giải từ đó
khai thác đưa ra được các dạng bài tập mới dựa trên những dữ liệu cụ thể. Tuy
nhiên tài liệu chỉ giới hạn cho bài toán phổ thông.
Thực tế hiện nay chưa có nhiều những nghiên cứu tiếp cận hàm số một
biến phức theo hướng giải và khai thác một số dạng bài toán cơ sở của nó. Như
vậy việc cung cấp thêm cho người đọc đề tài thể hiện được hệ thống ý tưởng,
cách tiếp cận các dạng bài toán cơ sở của hàm số một biến phức theo hướng khai
thác sẽ đáp ứng được nhu cầu toán học đặt ra cũng như tạo được nền tảng kiến
thức để tiếp tục nghiên cứu giải tích hàm nhiều biến phức, hình học vi phân và
các chuyên đề toán học chuyên sâu về sau.
Trên cơ sở đã nắm được những khái niệm, tính chất của hàm số một biến
phức, bản thân tôi với mong muốn đưa ra một hệ thống tập trung, phân loại kiến
thức và khai thác một số dạng bài toán cơ sở nhằm đem lại thuận lợi cho học
sinh, sinh viên hiểu sâu sắc hơn về các hàm số một biến số phức.Vì vậy chúng

Hà Thu Giang


4

tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Giải và khai thác một số dạng toán cơ
sở về hàm số một biến phức”
2. Mục tiêu khóa luận
Hệ thống, phân loại một số bài tập về hàm số một biến phức theo các chủ
điểm từ đó xây dựng lời giải và đưa ra những khai thác về chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu những kiến thức cơ sở về hàm số một biến phức.
• Phân loại một số dạng bài tập về hàm số một biến phức và xây dựng
lời giải cho các dạng bài toán đó.
• Đưa ra hướng khai thác các dạng bài toán từ các bài toán cho trước
trong mỗi dạng
4. Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình, luận văn có nội dung liên quan đến hướng nghiên cứu rồi phân
hóa, hệ thống hóa các kiến thức, các hướng khai thác một bài toán như
khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự.

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên
cứu.

• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực
tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và
hình thức của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

•

Đối tượng: Hàm số một biến phức

• Phạm vi: Tập trung nghiên cứu những dạng toán cơ sở về các vấn đề
liên quan đến hàm số một biến phức như: lý thuyết chuỗi, giới hạn,
tính liên tục, tính khả vi phức, tính biến hình …
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận đã hệ thống những kiến thức cơ sở về hàm số một biến phức,
đồng thời trên cơ sở nghiên cứu lời giải của những bài toán đã cho, đề xuất các
hướng khai thác chúng dưới dạng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự. Qua đó,
cung cấp thêm thông tin khai thác bài toán, tạo ra tài liệu tham khảo hữu ích.
Hà Thu Giang


5

7. Bố cục của khóa luận:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành 4 chương.
Chương 1 trình bày sơ lược các bước giải và khai thác một bài toán và
một số kiến thức cơ cở về lý thuyết hàm số một biến phức.
Chương 2 trình bày lời giải và khai thác một số dạng toán dạng toán về
giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến phức.
Chương 3 trình bày lời giải và khai thác một số dạng toán dạng toán về
tính khả vi và tính biến hình của hàm số một biến phức.
Chương 4 trình bày lời giải và khai thác một số dạng toán dạng toán về
tích phân hàm số một biến phức, lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư.

Hà Thu Giang


6

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này, khóa luận tập trung trình bày một số kiến thức cơ sở về các
bước giải và khai thác một bài toán. Những nội dung lý thuyết liên quan đến

hàm số một biến phức như: Dãy số, chuỗi số, giới hạn và tính liên tục, tích phân
theo biến phức, lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư.
1.1. Sơ lược về các bước giải và khai thác một bài toán.
Thông thường để giải một bài toán, cần qua nhiều công đoạn khác nhau.
Trong [6] đã đưa ra một số công đoạn sau: tìm hiểu sơ bộ đề bài, khai thác đề
bài, tìm tòi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đề xuất
các bài toán mới. Tất nhiên không phải bài toán nào cũng phải trải qua đủ các
công đoạn đó, song chúng giúp ích rất nhiều cho việc giải các bài toán, và đối
với các bài toán được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kỹ theo trình tự đó để
rèn luyện các thao tác tư duy.
1.1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán.
Khi chọn bài toán, không nên chọn bài quá khó, mà cũng không nên chọn
bài quá dễ. Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho
người học.
Trước hết cần đọc kỹ bài toán để thấy được “toàn cảnh” của bài toán, càng
sáng sủa càng rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết nhất là chi tiết rắc rối.
Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: bài toán này thuộc “vùng”
kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kỹ năng gì? Nếu giải quyết được thì
sẽ giải quyết được vấn đề gì?
1.1.2. Khai thác đề toán.
Nếu là bài toán về tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn? Cần phải tìm gì?
Đâu là các dữ kiện? Đã cho biết những gì? Mối tương quan giữa cái cần tìm cái
chưa biết (các điều kiện rằng buộc). Nếu là bài toán chứng minh thì cần nêu rõ
các giả thiết, kết luận.
Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình (các phép biến hình bảo
giác,..). Nếu cần có thể sử dụng nét đậm nét nhạt, nét đứt hoặc dùng màu trong
hình vẽ. Cảm nhận trực giác trên hình vẽ có thể giúp chúng ta nắm bắt được dễ
dàng hơn nội dung ghi trong đề toán.
1.1.3. Tìm tòi lời giải.

Hà Thu Giang


7

Đây là bước quan trọng trong việc giải bài toán. Không có một thuật toán
tổng quát nào để giải được mọi bìa toán, mà chỉ đưa ra những lời khuyên, những
kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, nhanh
hơn, thuận lợi hơn và có nhiều khả năng dẫn tời thành công hơn. Tùy trường hợp
cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt càng nhuần nhuyễn thì
càng dễ tời thành công. Càng giải quyết được nhiều bài toán thì chúng càng trở
thành “của mình”, thành những “kinh nghiệm sống” chứ không phải là những
chỉ dẫn khô khan.
1.1.4. Trình bày lời giải.
Khi đã tìm được lời giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn
nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn bản
để đánh giá kết quả hoạt động tìm tòi lời giải bài toán.
Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng lập
luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lý
luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi
tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong
từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng
dưng” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi
tiết mà ta trình bày trước đó. Khi trình bày lời giải, để cho ngắn gọn ta thường
dùng những phương pháp tổng hợp.
Lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
1.1.5. Khai thác một số bài toán
Công việc này rất cần thiết trong học toán nhưng thường hay bị bỏ qua.
Việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải một bài toán có thể giúp chúng ta phát hiện
được cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn. Việc nhìn

nhận lại toàn bộ lời giải sẽ gợi ý cho ta tìm được những bài toán mới, mà bài
toán vừa xét chỉ là một trường hợp đặc biệt. Công đoạn này được gọi là khai thác
bài toán.
Có thể khai thác một bài toán như sau:
a) Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không?
b) Hướng 2: Khái quát hóa, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bài
toán tổng quát có còn đúng nữa không? Trái lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa
luôn luôn đưa đến kết quả đúng, thậm chí có thể mạnh hơn.

Hà Thu Giang


8

c) Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được một bài toán mới. Phương pháp để giải
một bài toán khác.
d) Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã giải dẫn đến phương pháp giải một bài toán
khác.
Ví dụ 1.1: Từ bài toán “ Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp
chia hết cho hai” đưa đến hai bài toán tương tự sau:
Bài toán 1: Chứng minh rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Bìa toán 2: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.
Ví dụ 1.2: Từ bài toán “ Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp
chia hết cho hai” có thể khái quát thành:
Bài toán khái quát 1: Tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 (đúng)
Bài toán khái quát 2: Tích của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n (đúng)
Bài toán đặc biệt hóa: Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 (mạnh hơn)
1.2. Dãy số và chuỗi số phức.
1.2.1. Giới hạn của một dãy số phức.
Định nghĩa1.2.1: Dãy số phức là một ánh xạ từ tập hợp các số tự nhiên vào

(hay

£

), nghĩa là ánh xạ

£

A: ¥ → £
n a A ( n ) = zn

Kí hiệu:

{ zn } ∞n = 1

hay

{ zn }

Định nghĩa 1.2.2: Số phức

ε−

lân cận

zn ∈V

V

của

z0

z0

gọi là giới hạn của dãy số phức

đều tồn tại

n0 ∈¥

sao cho với mọi

∀ε > 0, ∃ n0 ∈¥ , n > n0 ⇒ zn − z0 < ε

, nghĩa là
lim zn = z0

.

n→∞

Kí hiệu:

{z }
n

z0

z n → z0 , n → ∞

Ta còn nói dãy
hội tụ về . Kí hiệu
£
Trong
mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Hà Thu Giang

{z }

n ∈¥

n

nếu với mỗi

mà

n > n0

thì


9

Định lí 1.2.1: Dãy
x0

và dãy

{z }
n

hội tụ về

{y}

z0 = x0 + iy0

khi và chỉ khi dãy

{x }
n

hội tụ về

y0

n

hội tụ về .
{ zn } { ωn }
z0
ω0
Định lí 1.2.2: Giả sử
và
có giới hạn lần lượt là
và . Khi đó
lim ( zn ± ωn ) = z0 ± ω 0

n→∞

(i)

lim ( zn .ωn ) = z0 .ω 0
n→∞

(ii)
zn
z
= 0
ω0
n →∞ ωn

(ω

lim
(iii)

Định lí 1.2.3: Dãy

{r}

n

{z }
n

≠ 0, ω0 ≠ 0 )
z0 = r0 ( cos ϕ0 + i sin ϕ0 )

hội tụ về

,

(z

0

≠ 0)

khi và chỉ

{ϕ }

ω0
n
khi
hội tụ về và
hội tụ về .
1.2.2. Dãy cơ bản (dãy Cauchy)
{ zn }
Định nghĩa 1.2.3: Dãy
được gọi là dãy cơ bản (hay còn gọi là dãy Cauchy)
r0

n

nếu

∀ε > 0, ∃ n0 ∈ ¥ , ∀ m, n ∈ ¥ , m > n0

và

Định lí 1.2.4: (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy

n > n0

{z }
n

thì

z m − zn < ε

là dãy cơ bản khi và chỉ khi dãy

{z }
n

hội tụ.
1.2.3. Chuỗi số phức.
Định nghĩa 1.2.4: Cho dãy số phức

{z }
n

, biểu thức

z1 + z2 + z3 ... + zn + ...

∞

∑ zn

được gọi là chuỗi số phức. Kí hiệu

n =1

.

n

S n = ∑ zk
Đặt

k =1

, ta gọi

các tổng riêng của chuỗi.
Hà Thu Giang

Sn

là tổng riêng thứ

n

của chuỗi. Dãy

{S }
n

gọi là dãy


10
∞

∑ zn

Chuỗi

n =1

được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng riêng

n

hội tụ. Nếu

∞

lim S n = S

n→∞

{S }

S

thì ta gọi

∑ zn

là tổng của chuỗi. Khi đó ta nói chuỗi

hội tụ.

∞

lim Sn = ∞

Ngược lại nếu

n =1

∑ zn

n→∞

hoặc không tồn tại thì ta nói chuỗi
∞

Điều kiện cần và đủ để chuỗi số phức

phân kỳ.

lim zn = 0.

∑ zn

n =1

n =1

hội tụ là

n→∞

Định lí 1.2.5: (Tiêu chuẩn Cauchy đối với chuỗi số phức)
∞

∑ zn

Chuỗi

n =1

ε >0

hội tụ khi và chỉ khi với mọi

tồn tại

n0 ∈ ¥

sao cho

p

∑ zn + k < ε

k =1

với mọi

n > n0

và

p∈¥.

∞

∞

∑ zn

∑ zn

n =1

n =1

Định nghĩa 1.2.5: Chuỗi
gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
hội tụ.
Định lí 1.2.6: Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.

1.3. Tôpô trên mặt phẳng phức.
z → ( Re z , Im z )
£
¡2
Mặt phẳng phức
có thể đồng nhất với
qua ánh xạ:
nên
tôpô mặt phẳng phức

Cho

r > 0, a ∈ ¡

£

cũng chính là tôpô

, khi đó:

¡

2

.

D ( a , r ) = { z ∈ £ : z − a < r}

D ( a, r ) = { z ∈ £ : z − a ≤ r }

Cho

X ⊂£

Hà Thu Giang

khi đó:

;


11

∃ r > 0 : D ( z, r ) ⊂ X

z∈ X

Điểm trong:
được gọi là điểm trong nếu
.
X ⊂£
z∈ X
Tập mở:
là tập mở nếu mọi
là điểm trong.
£ X
X ⊂£
Tập đóng:
là tập đóng nếu
là tập mở.

z0
X
z
U
Điểm tụ: được gọi là điểm tụ của
nếu mọi lân cận
của
chứa ít nhất

z0

X

một điểm của
khác .
X ⊂£
∂X
X
Biên: Cho
. Tập tất cả các biên của kí hiệu là
.
 D( a, r ) ∩ X ≠ ∅
:
∀r > 0  D( a, r ) ∩ £ X ≠ ∅
z ∈∂X
nếu
F⊂X F
Bao đóng: Cho
,
đóng

X = IF
X
X.
X
là tập đóng nhỏ nhất chứa .Khi đó
được gọi là bao đóng của
X
z
z
X
Lân cận:
được gọi là lân cận của
nếu
là điểm trong của
, hay

(

∃ r > 0: D ( z , r ) ⊂ X
Điểm cô lập:

của

z

.
được gọi là điểm cô lập của

chứa duy nhất điểm

Tập bị chặn:

z∈ X

z∈ X

)

z∈ X

, hay

∃ r >0

X

nếu tồn tại một lân cận

D ( z , r ) ∩ X = { z}

đủ bé để
.
z ∃M >0
X
được gọi là tập bị chặn nếu
để
với mọi

.

Định nghĩa 1.3.1:

{z }
kn

dãy con

X ⊂£

được gọi là tập compact nếu

lim
z = z∈X
n →∞ k

∀{ zn } ⊂ X

n

sao cho
.
X
X
Định lí 1.3.1:
là tập compact khi và chỉ khi
đóng và bị chặn.

Hà Thu Giang

U

tồn tại một


12

Định lí 1.3.2:

X

X
là tập đóng khi và chỉ khi với mọi dãy trong

hội tụ thì giới

X.

hạn của nó thuộc
1.4. Giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến số phức
1.4.1. Định nghĩa hàm số biến số phức
Định nghĩa 1.4.1: Giả sử
trên

Ω⊂C

là một tập tùy ý cho trước. Một hàm biến phức
f :Ω→£

Ω

với giá trị phức là một ánh xạ
ω = f ( z ) , z ∈ Ω.
Hàm như vậy được kí hiệu là
Ví dụ 1.4.1
(i ) f : Ω → £
z a a
là hàm hằng
(ii ) f : £ → £

.

z a a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n

( a , a , a ,..., a ) ∈ £
0

1

2

n

là hàm đa thức
(iii) f : £ { a ∈ £ : b0 + b1a + b2a + ... + bn a n ≠ 0} → £
2

a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n
z a
b0 + b1 z + b2 z 2 + ... + bn z n

1.4.2. Giới hạn
Định nghĩa 1.4.2: Cho hàm phức

{z } ⊂Ω
n

f :Ω→£

là hàm phân thức
và

zn ≠ zm ( ∀m ≠ n )

tại
phân biệt sao cho
lim f ( z ) = l ∈ £
z→z
∀ε > 0, ∃δε > 0
z∈Ω
a)
nếu
sao cho
0

f ( z ) − l < ε , ∀z ∈Ω,0 < z − z0 < δε .

lim f ( z ) = ∞

z → z0
z∈Ω

∀M > 0, ∃RM > 0

b)
nếu
sao cho
f ( z ) > M , ∀z ∈Ω ,0 < z − z0 < RM .
Hà Thu Giang

z0

là một điểm tụ của

sao cho

lim
z = z0 .
n →∞ n

Ω

, tồn


13

c) Xét trường hợp

z0 = ∞

là điểm tụ của

lim zn = ∞ ⇔ nlim
z = +∞
→∞ n

n→∞

biệt sao cho
lim f ( z ) = l ∈£
z →∞

nếu

lim f ( z ) = ∞
z →∞

∀ε > 0, ∃ R > 0

Ω

(trong

Ω

phân

f ( z ) − l < ε , ∀z ∈Ω , z > R

sao cho

f ( z) > M

nếu
sao cho
lim f ( z ) = l ( z0 , l ∈£
z , l = ∞)

Định lí 1.4.1:
lim z = z0
lim f ( zn ) = l
n→∞ n

n

)

∀M > 0, ∃RM > 0

z → z0

tồn tại dãy

{z } ⊂Ω

0

hoặc

z > RM , z ∈ Ω

với
⇔ ∀{ zn } ⊂ Ω ,

n→∞

thì
1.4.3. Hàm số liên tục

Định nghĩa 1.4.3: Cho
z0

f : Ω → £ , z a f ( z ) , z0 ∈ Ω

f
ta nói

liên tục tại điểm

nếu:

(i) hoặc

z0

là điểm cô lập.
lim
f ( z ) = f ( z0 ) .
z0
z→ z
(ii) hoặc

là điểm tụ và
Định lí 1.4.2:
f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )
z0 = x0 + iy0
(i) Hàm số
liên tục tại điểm
khi và chỉ
0

khi

u ( x, y )

v ( x, y )

và
f ( z)

(x, y )
0

0

liên tục tại điểm
f ( z)
z0
z0
(ii) Hàm số
liên tục tại điểm
thì hàm

cũng liên tục tại
(iii) Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác không) của các hàm liên tục là một hàm
liên tục.
1.4.4. Hàm số liên tục đều
Định nghĩa 1.4.4:
∀z1 , z 2 ∈Ω

f :Ω→£
z1 − z2 < δ

là liên tục đều trên

Ω

nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0

f ( z1 ) − f ( z2 ) < ε .

cho
mà
ta có
Định lí 1.4.3: Hàm số liên tục trên tập hợp compact thì liên tục đều
Hà Thu Giang

sao


14

f ( z) =

1
z

Ω = { z ∈ £ : 0 < z − z0 < 1 }

Ví dụ 1.4.2: Ta xét hàm số
trên tập hợp
f ( z)
Ω
Ω
Hàm
liên tục trên
nhưng không liên tục đều trên
.
1
1
n>
ε>
ε = 1, ∀ε > 0, ∃ n ∈ N
ε
n
Thật vậy, lấy
sao cho
( hay
)
1
1

z=
z′ =
n
2n
Chọn
,
ta có
1 1
1
1
1 1
1
f ( z ) − f ( z′ ) = − =
−
= n >1
z − z′ = −
=
<δ
z z ′ 1 n 1 2n
n 2n 2n
và
f ( z)
Ω
Vậy
không lên tục đều trên

.

1.5. Lý thuyết chuỗi lũy thừa, định lý Abel
Định nghĩa 1.5.1: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

∞

∑c (ξ − z )
n

n =0

n

0

(1)
trong đó

cn , z0

( n = 0, 1,2,.....)

là những hằng số phức,
∞

z = ξ − z0

∑c z

n=0

ξ

là một biến số phức.

n

n

Nếu ta đặt:
thì chuỗi (1) sẽ có dạng:
(2)
Định lí 1.5.1: (Định lí Abel)
z0 ≠ 0
z
a) Nếu chuỗi (2) hội tụ với
thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi thỏa mãn điều

kiện

z < z0

{ z ∈£ : z ≤ r , 0 < r < z } .
0

và hội tụ đều trong mọi hình tròn
z > z1 .
z1
z
b) Nếu chuỗi (2) phân kì tại thì nó phân kì tại mọi sao cho

Hà Thu Giang

15
∞

∑c z

n=0

Định lí 1.5.2: (Về bán kính hội tụ). Với mọi chuỗi lũy thừa

R≥0

tại số

n

n

luôn luôn tồn

z z (có thể bằng vô cùng) sao cho chuỗi (2) hội tụ với mọi ,
và

z z >R
R
phân kì với ,
. Số như vậy gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (2).
Định lí 1.5.3: (Công thức Cauchy – Hadamard)
Bán kính hội hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính theo công thức
1

R=
limsup n cn
x →∞
(3)
1
 1

= 0, = +∞ ÷

0
 +∞

Quy ước
Công thức (3) gọi là công thức Cauchy – Hadamard.
C
lim n +1
n →∞ Cn
Nhận xét: Nếu tồn tại
thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa cũng

R = lim

n →∞

được cho bởi

Cn
Cn +1

.

1.6. Hàm chỉnh hình
1.6.1. Đạo hàm

f
Định nghĩa 1.6.1: Hàm

gọi là chỉnh hình tại

xác định trong miền
z0 ∈Ω

Ω⊂£

r>0

nếu tồn tại

với giá trị trong

Nếu

chỉnh hình tại mọi

Hà Thu Giang

z0 ∈Ω

để

khả vi phức tại mọi

f
thì ta nói

được

f

z ∈ D ( z0 , r ) ⊂ Ω.
f

£

chỉnh hình trên

Ω.


16

f
Định nghĩa 1.6.2: Cho hàm số

f ( z + ∆z ) − f ( z )
∆z

lim
∆z → 0

;

xác định trong

Ω⊂£

. Xét giới hạn

z , ( z + ∆z ) ∈Ω
f

z

z
giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của tại
df
f ( z + ∆z ) − f ( z )
z
′
(
)
f
z
=
lim
(
)
f ′( z )
∆z → 0
dz

∆z
Ký hiệu là
hay
. Như vậy
f
z.
£−
Khi đó hàm được gọi là khả vi phức hay
khả vi tại
f ( z)
g ( z)
α f ( z) + β f ( z) ,
z0
Định lí 1.6.1: Nếu
và
khả vi phức tại
thì
Nếu tại điểm

f ( z) g ( z)

α , β ∈£

(i)

(α f

(ii)

và

f ( z) g ( z)

( g ( z ) ≠ 0)

cũng khả vi phức tại

z0

với mọi

và

+ β g ) ′ ( z0 ) = α f ′ ( z 0 ) + β f ′ ( z 0 )

fg ) ′ ( z0 ) = f ′ ( z0 ) g ( z0 ) + f ( z0 ) g ′ ( z0 )

(
(

f g ) ′ ( z0 ) =

(iii)
(iv) Nếu

ω = f ( z)

go f

f ′ ( z0 ) g ( z0 ) − f ( z 0 ) g ′ ( z 0 )

g 2 ( z0 )
khả vi phức tại
z0

z0

, còn

g ( ω)

khả vi phức tại

ω0 = f ( z0 )

( gf ) ′ ( z ) = g ′ ( f ( z ) ) f ′ ( z )
0

0

thì

0

hàm hợp
khả vi phức tại
và
1.6.2. Điều kiện Cauchy – Riemann
u ( x; y ) ,
f ( z ) = u ( x; y ) + iv ( x; y )
Định lí 1.6.2: Cho hàm

, nếu các hàm 2 biến

v ( x, y )

có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:

Hà Thu Giang


17

∂v
 ∂u
( x, y ) = ( x , y )

∂y
 ∂x

 ∂u ( x, y ) = − ∂v ( x, y )

∂x
 ∂y

z = x + iy
Tại điểm

thì

f ( z)

khả vi tại điểm này.

f ( z) = zz

z0 = 0

Ví dụ 1.6.1: Tính đạo hàm của hàm
tại
2
2
f ( z ) = ( x + iy ) ( x − iy ) = x + y − 2 xy
Ta có
∂u
∂u
∂v
∂u
= 2x;
= 2 y;
= 0;
=0
∂x
∂y
∂x
∂y

Tại

z0 = 0

f

, ta có

∂u
∂u
( 0, 0 ) = ( 0, 0 ) = 0
∂x
∂y
z0 = 0

và

∂u
∂v
( 0, 0 ) = − ( 0, 0 ) = 0
∂y
∂x

Vậy khả vi tại
1.7. Một số hàm số sơ cấp
1.7.1. Hàm số mũ

zn
f ( z) = e = ∑
n = 0 n!
∞

z

Được định nghĩa qua chuỗi lũy thừa

£
Hàm mũ xác định đơn trị trên
và có các tính chất như hàm mũ thực
¡
(i) Hàm mũ thu hẹp trên tập hợp
trùng với hàm mũ thông thường trong giải

tích cổ điển và khi đó

f ( 1) = e
e z + z = e z . e z , ∀z1 , z2 ∈ £
1

2

1

2

(ii) Hàm mũ có tính chất cộng tính, nghĩa là
£
(iii) Hàm mũ khả vi trên
f ( z ) = ez
2π i
(iv) Hàm
là hàm tuần hoàn với chu kì cơ bản

ez

(v) Hàm

bảo giác trên mọi miền đơn diệp ủa nó
1.7.2. Hàm lượng giác

Hà Thu Giang


18

eiz + e −iz
cos z =
2

;

eiz − e −iz
sin z =
2i

tan z =
;

sin z
cos z

cot z =
và

cos z
sin z

Lưu ý:
(i) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực.
sin z
cos z
(ii)
và
nói chung không bị chặn như trong số thực.
1.7.3. Hàm Lôgarit
Là hàm ngược của hàm mũ, nó được xác định bởi tập hợp tất cả các số logarit

của

z

( { ω ∈£ : e

Kí hiệu

ω

)

= z} .

ω = Lnz

z≠0

Lnz = ln z + iA rg z.

Nói cách khác, với
thì
Hàm logarit là một hàm đa trị.
Lưu ý:
Ln ( z1.z2 ) = Ln z1 + Ln z2
(i)
z
Ln 1 = Ln z1 − Ln z2
z2
(ii)
2 Ln z ≠ Ln z + Ln z
(iii)
1.7.4. Hàm phân tuyến tính
Hàm phân tuyến tính là hàm có dạng tính có dạng:
az +b
ω=
,
ad − bc ≠ 0
cz+d
1
b
a
bc 

⇒ ω = ( a z + b ) z 2 = a  z + ÷z2 =  c z + ÷z 2
z1
a
c
a 


a
bc
a
bc − ad
a bc − ad

=  c z + d + − d ÷z2 = z1 z2 +
z2 = +
z2
c
a
c
a
c
a

z1 = c z + d , z 2 =

.

Tính chất của ánh xạ phân tuyến tính.
(i) Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất bảo giác.
(ii) Ánh xạ phân tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn.
(iii) Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền.
(iv) Ánh xạ phân tuyến tính biến các điểm đối xứng thành điểm đối xứng.
(v) Có duy nhất một ánh xạ phân tuyến tính biến 3 điểm tương ứng thành 3 điểm:
( )
z1, z2 , z3 
→ ω1 , ω2 , ω3
w= f z

Hà Thu Giang


19

1.7.5. Hàm Jukovski

Người ta gọi hàm hữu tỉ

1
1
ω = z+ ÷
2
z

là hàm Jukovski

z = 0.
(i) Hàm Jukovski chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ tại điểm
1
1
f ′ ( z ) = 1 − 2 ÷.
£ { 0}
2 z 
(ii) Hàm Jukovski khả vi trên
và đạo hàm của nó là
£ { 0, 1, − 1} .
f
Suy ra bảo giác trên miền

1.8.Tích phân theo biến phức

f ( z)
Định nghĩa 1.8.1: (Tích phân đường). Cho hàm

γ = »AB

»AB

,chia

cung từ

lim

zk

A ≡ z0 , z1, z2 , z3....zn ≡ B

bởi các điểm chia theo thứ tự
zk +1

đến

xác định trên đường

ξk

lấy bất kỳ điểm

trên

nếu tồn tại giới hạn

n −1

∑ f (ξ k )∆zk

d →0 k =0

trong đó

d = max ∆zk

với

∆zk = zk +1 − zk

»AB

không phụ thuộc vào phép chia

phân của hàm

f ( z)

và cách chọn

»AB

∫
¼

∫

»AB

thì giới hạn đó gọi là tích

f ( z )dz .

AB

dọc theo cung
và viết
f ( z ) = U ( x, y ) + iV ( x, y )
dz = dx + idy
và
trong đó
thì
f ( z )dz = ∫ U ( x, y )dx − V ( x, y ) dy + i ∫ V ( x, y ) dx + U ( x, y ) dy

z = x + iy

Với

ξk

và giới hạn

Hà Thu Giang

¼
AB

¼
AB


20

Định lí 1.8.1: Giả sử

đầu còn

A

γ−

∫

là điểm cuối) khi đó

f

trên

với mọi

γ

−

lấy theo chiều ngược lại (

và

α, β ∈£

Định lí 1.8.3: Nếu

B

là điểm

fdz = − ∫ fdz .
γ

g

Định lí 1.8.2: Nếu

γ

đường cong,

γ−

là các hàm khả tích trên

γ

thì

α f + βg

khả tích

∫ ( α f + β g ) dz = α ∫ fdz + β ∫ gdz .

γ

và

γ

γ

γ

γ1

được phân lần lượt thành

và

γ2

thì

∫ fdz = ∫ fdz + ∫ fdz .

γ

γ1

γ2

∫ fdz ≤ ∫ f ( z )

γ

dz ≤ sup f ( z ) l .
z∈γ

γ

Định lí 1.8.4:
Định lí 1.8.5: Nếu

γ

là đường cong kín (không tự cắt), định hướng

dương sau đó lấy hai điểm khác nhau

cùng chiều với

γ

∫ fdz = ∫

γ

»AB

. Khi đó

A

và

fdz +
+

B

∫

»AB

thuộc

γ

g′ ( z ) = f ( z )

Giả sử

với mọi

z ∈Ω

z = z ( t ) , t ∈ [ a, b ]

Hà Thu Giang

A

tới

B

fdz .
−

trong miền

Ω

chứa

g
, thì

theo chiều

sao cho chiều từ

g

Định lí 1.8.6: Nếu tồn tại hàm chỉnh hình

γ

γ

sao cho

f
được gọi là một nguyên hàm của

là phương trình của đường cong

γ

thì

.


21

∫

γ

b

b

a

a

(

f ( z ) dz = ∫ g ′ ( z ) dz = ∫ g ′ ( z ( t ) ) z′ ( t ) dt = ∫ d g ( z ( t ) )
γ

)

= g ( z ( b) ) − g ( z ( a ) ) = g ( B ) − g ( A)

Đây là công thức Newton-Leibniz, trong đó A là điểm đầu còn
của

Nếu

là điểm cuối

γ.

γ

là đường cong kín

( A = B)

∫ f ( z ) dz = g ( A) − g ( A) = 0.

thì

γ

Bổ đề 1.8.1: (Bổ đề Goursat). Nếu hàm

Ω

B

và

γ

ω = f ( z)

liên tục trong miền đơn liên

là một đưpừng cong kín, trơn từng khúc nằm trong

tồn tại một hình đa giác

P⊂Ω

có các đỉnh trên

∫ fdz − ∫

γ

γ

Ω

,thì với mọi

sao cho

fdz < ε .

γP

1.9. Lý thuyết tích phân Cauchy
Định lí 1.9.1: (Định lí Cauchy cho miền đơn liên). Nếu hàm
hình trong miền đơn liên

∫ fdz = 0.

γ

Hà Thu Giang

Ω

ε >0

ω = f ( z)

thì với mọi chu tuyến trơn từng khúc

γ ⊂Ω

chỉnh
ta có


22

Ω

Định lí 1.9.2: Giả sử

là miền đơn liên bị chặn, với biên

f
tuyến trơn từng khúc. Khi đó nếu

hình trên

∫

Ω

thì

là hàm liên tục trên

là hàm liên tục trên

Ω

, chỉnh hình trên

Ω

∫

và chỉnh

thì

z0 ∈ Ω

. Khi đó với mọi chu tuyến

Ω

là một miền

n

- liên,

fdz = 0.

∂Ω

f

Định lí 1.9.4: (Công thức tích phân Cauchy). Giả sử

và

Ω = Ω ∪ ∂Ω

∂D

f

miền

là một chu

f ( z ) dz = 0 .

Định lí 1.9.3: ( Định lí Cauchy cho miền đa liên). Nếu

Ω

∂Ω

là hàm chỉnh hình trên

γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω

ta có công thức tích

phân Cauchy
1
f (η )

f ( z0 ) =
dη .
2π i γ∫ η − z0

f
Nếu thêm
f (z) =

liên tục trên

Ω

và

∂Ω

là một chu tuyến, thì với mọi

z ∈Ω

ta có

1
f (η )
∫ η − z dη .
2π i ∂Ω

Định nghĩa 1.9.1: (Tích phân loại Cauchy). Giả sử

từng khúc,

f (η )

Hà Thu Giang

là hàm liên tục trên

Γ

. Với mọi

Γ

là đường cong Jordan trơn

z ∈£ Γ

ϕ (η ) =
, hàm

f (η )
η−z


23

Γ

liên tục trên

định trên

£ Γ

F ( z) =
. Do đó nếu đặt

. Hàm

1 f (η )
2π i Γ∫ η − z

ta nhận được hàm

F

xác

F ( z)

được gọi là tích phân loại Cauchy
f
f
Ω
Định lí 1.9.5: Giả sử
là hàm chỉnh hình trên miền . Khi đó
có đạo hàm

Ω

mọi cấp trên

và các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên

f

z ∈Ω
ra các đạo hàm của tại
cho bởi công thúc
f (η )
n!
n
f ( ) ( z) =
dη , n = 0, 1, 2...
∫
2π i ( η − z ) n +1
1.10. Lý thuyết chuỗi và thặng dư
1.10.1. Chuỗi Taylor
f ( z)
z = z0
Mọi hàm
chỉnh hình tại
luôn biểu diễn dưới dạng
(n)
f ( z0 )
f (z) = ∑
( z − z0 ) n .
n!
n≥0
Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại

z 2 n +1
sin z = ∑ ( −1)
( 2n + 1) !
n=0
∞

(i)

z=0

(ii)

∞

z 2n
cos z = ∑ (−1)
( 2n ) !
n=0
n

∞

zn
e =∑
n = 0 n!
z

(iii)

n

Đặc biệt

z = ix

ta có

2n
2n +1
∞
∞
(ix)
n x
n x
e =∑
= ∑ (−1)
+ i ∑ (−1)
= cos x + i sin x
n
!
2
n
!
2
n
+
1
!
(

)
(
)
n=0
n =0
n =0
ix

∞

n

(Công thức Euler)
1.10.2. Chuỗi Laurent
Hà Thu Giang

Ω

. Ngoài


24

f ( z)

Hàm

chỉnh hình trong miền

G = { r < z − a < R}

;

z∈G

thì luôn có

∞

n
∑ cn ( z − a )

f ( z) =

n =−∞

f ( z)

. Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của

tại

z=a

trong đó
∞

∑ cn ( z − a )

(i)

n=0
∞

∑

n

gọi là phần đều.
c− n

n =1

( z − a) n

(ii)
gọi là phần chính.
 Điểm bất thường của hàm chỉnh hình.
f
z0 ∈ £
Ω
Giả sử
là hàm xác định trên miền . Điểm
Gọi là điểm bất

f
thường của
trong

z0

Ω

nếu tồn tại

r>0

sao cho vành khăn

0 < z − z0 < r

bao hàm

f
và

chỉnh hình trên vành khăn đó không thể mở rộng chỉnh hình tới

g
, tức là không tồn tại hàm chỉnh hình

g ( z) = f ( z)

trên hình tròn

z − z0 < r

sao cho

0 < z − z0 < r

với
0 < z − z0 < r.
f
Giả sử
chỉnh hình trên vành khăn
Chỉ xảy ra một trong

ba khả năng sau:
lim f ( z ) = a ∈ £
(i) Tồn tại
(ii) Tồn tại

z → z0

lim f ( z ) = ∞

z → z0

Hà Thu Giang

. Khi đó
. Khi đó

z0

z0

f
được gọi là điểm thường của

f
được gọi là cực điểm của


25

lim f ( z )

(iii) Không tồn tại

z → z0

£

(trong

). Khi đó

z0

được gọi là điểm bất thường

f
cốt yếu của
1.10.3. Lý thuyết thặng dư

f ( z)

Định nghĩa 1.10.2: Cho hàm

γ

chỉnh hình trên vành khăn

là chu tuyến bất ký (đặc biệt là đường tròn) vây quanh
1
2π i

khăn trên. Khi đó
1
f ( z )dz
2π i γ∫
Ta gọi

Ký hiệu:

γ

Định nghĩa 1.10.3: Nếu

thì thặng dư của

tại

∞

f ( z)

Khi

n = −1 ⇒

z0 .

Hà Thu Giang

tại

z0 .

R< z <∞
chỉnh hình trên vành khăn

1
2π i

với

1
f (η ) dη
2π i γ∫

tại
Cách tính thặng dư:

f ( z)

(tại

z0 = 0

)

là số

Công thức tính:
1
f (η ) dη
cn =
∫
2π i γ (η − z0 ) n +1
c−1 =

nằm trong vành

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.

res [ f , ∞ ] =

Ta đã có

z0

,

∫ f (η )dη

là thặng dư của
1

res [ f ( z ), zo ] =
f ( z )dz .
2π i γ∫

f

0 < z − z0 < r

∫

γ

f (η )dη = −

−

1
2π i

∫ f (η )dη .

γ

n = 0, ±1, ±2, ± 3,...

trong đó

c−1

là hệ số trong khai triển Laurent