Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán

1

Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán

Tạ Dung


2
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong chương I thuộc chương trình Đại số lớp 8 “Phép nhân và phép
chia các đa thức”, học sinh đã được giới thiệu các kiến thức cơ bản về các
hằng đẳng thức đáng nhớ và biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải
toán. Tuy nhiên, nhiều học sinh chưa hiểu được phương pháp vận dụng và
gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến hằng đẳng thức.
Việc hình thành được khả năng vận dụng được bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
và mở rộng của chúng sẽ làm tiền đề cho học sinh học tốt môn đại số và tạo
nền tảng để học tập các kiến thức tiếp theo. Bên cạnh đó, vì các lí do chủ quan
và khách quan nên việc học sinh nắm chắc và hiểu sâu kiến thức để vận dụng
hằng đẳng thức vào giải các bài tập toán liên quan như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức, và đặc biệt là
chứng minh chia hết… còn chưa được chú trọng nhiều.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ không những giúp cho chúng ta một
phương pháp tính nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức, hay sử
dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mà nó còn cho ta một ứng dụng
hết sức độc đáo đó là giải phương trình, hệ phương trình và chứng minh bất
đẳng thức. Đây là các dạng toán cơ bản và khó, thường gặp trong kỳ thi học
sinh giỏi và thi vào lớp 10. Bên cạnh nhiều phương pháp giải như phương
pháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích, dùng bất đẳng thức, qui về phương
trình bậc hai thì khá nhiều bài toán sẽ được giải quyết một cách ngắn gọn nếu
biết sử dụng các hằng đẳng thức. Tuy nhiên, ứng dụng của các hằng đẳng

thức trên đối với các bài tập trong sách giáo khoa cũng chỉ dừng lại ở mức độ
đơn giản. Hơn nữa, theo hiểu biết của cá nhân em thì hiện nay rất ít tài liệu
tham khảo giới thiệu cho giáo viên và học sinh các phương pháp biến đổi để
ứng dụng hằng đẳng thức vào giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh
bất đẳng thức.

Tạ Dung


3
Việc nghiên cứu các ứng dụng của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và mở
rộng của chúng đã và đang thu hút được sự quan tâm của giáo viên toán trung
học cơ sở và học sinh yêu thích môn toán. Nhiều giáo viên phổ thông đã
nghiên cứu về hằng đẳng thức và vận dụng nó trong giải toán thể hiện qua các
sáng kiến kinh nghiệm của họ (xem [3, 4, 5]).
Với mong muốn giúp các học sinh yêu thích môn toán, những bạn sinh
viên muốn tìm hiểu về các hằng đẳng thức và ứng dụng của nó, và hơn nữa để
bản thân em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức toán phổ thông phục vụ cho công
việc trong tương lai, em mạnh dạn chọn đề tài “Hằng đẳng thức và ứng
dụng trong giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Trình bày các kiến thức về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng
đẳng thức mở rộng, ứng dụng của chúng vào giải toán sơ cấp. Đồng thời đề
xuất một số bài tập có lời giải và không có lời giải nhằm khắc sâu hơn kiến
thức về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúng trong giải toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức
mở rộng.
- Nghiên cứu một số dạng toán về biểu thức, phép chia hết và chia có
dư, số chính phương, giải phương trình và hệ phương trình, các bài toán về

đẳng thức và bất đẳng thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình, sách giáo khoa có liên quan đến hằng đẳng thức, cách giải các bài toán
thông qua việc sử dụng hằng đẳng thức, hệ thống hóa các kiến thức.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo
tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
• Phương pháp lấy ý kiến: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng
dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa
luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tạ Dung


4
• Đối tượng: Các hằng đẳng thức đáng nhớ và mở rộng.
• Phạm vi: Các dạng toán về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúng
trong giải toán sơ cấp.
6. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn
Khoá luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những khiến thức về hằng
đẳng thức đồng đưa ra một số dạng toán cơ bản liên quan đến vận dụng hằng
đẳng.
Khoá luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,
giáo viên toán trung học cơ sở và học sinh yêu thích môn toán.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiến
được chia thành ba chương.
Chương 1: Các hằng đẳng thức.
Chương 2: Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán.
Chương 3: Bài tập.

Tạ Dung


5
CHƯƠNG I. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức về bảy hằng đẳng
thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng kèm theo chứng minh. Bên
cạnh đó, chúng tôi cũng giới thiệu thêm về mối liên hệ giữa tam giác Pascal
và các hằng đẳng thức.
1.1. Tam giác Pascal và hằng đẳng thức
Pascal viết về tam giác số thông qua một quyển sách có tên là “Luận lí
trong tam giác số học”. Nhưng Pascal không phải là người đầu tiên nghiên
cứu tam giác này mặc dù công bố công trình nghiên cứu của ông gây ngạc
nhiên cho mọi người thời ấy. Trước đây vào thế kỷ thứ 10, một nhà toán học
người Ấn Độ nhận thấy các con số này hữu ích cho việc đại diện cho số kết
hợp các âm thanh ngắn và dài trong thơmet. Các tam giác này cũng xuất hiện
trong những bài viết của Omar Khayyam, nhà thiên văn học ở thế kỷ 17, nhà
thơ, nhà triết học và là nhà toán học hiện đại ở Iran ( xem [6]).
Tam giác số Pascal được thiết lập như sau:
+) Dòng thứ nhất gồm một số 1
+) Dòng thứ hai gồm hai số 1
+) Với N > 2 , dòng thứ N gồm N số, trong đó số thứ nhất và số thứ N bằng 1,
còn các số khác bằng tổng của hai số đứng kề nhau ở dòng thứ N − 1 từ trái
qua phải.
1
1
1
1
1

Tạ Dung

1
2

3
4

1
3

6

1
4

1


6
Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển các biếu thức (a + b) n như sau:
1
1
1
1

1

1

2

3

1

4
5

( a + b) 0 = 1
(a + b)1 = a + b
1
3

6
10

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
1

4
10

(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
1

5

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4
1

(a + b)5 = a 5 + 5a 4b + 10a 3b 2 + 10a 2b3 + 5ab 4 + b5

Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển các biếu thức (a − b) n như sau:
1
1
1
1

1

1
2

3

1

4
5

( a − b) 0 = 1

1
3

6
10

(a − b)1 = a − b

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
1
4

10

(a − b)3 = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
1

5

(a − b) 4 = a 4 − 4a 3b + 6a 2b 2 − 4ab3 + b 4
1

(a − b)5 = a 5 − 5a 4b + 10a 3b 2 − 10a 2b3 + 5ab 4 − b5

Chúng ta đánh số mỗi hàng của tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu là
hàng số 0, tiếp đến là hàng số 1, hàng số 2,……
Còn trên mỗi hàng chúng ta sắp xếp thứ tự các con số bắt đầu là con số
thứ 0, tiếp đến là con số thứ 1, rồi con số thứ 2,…………
Gọi con số thứ k ở hàng thứ n là Cnk . Từ đó suy ra công thức để xây
(1 < k < n)

dựng tam giác Pascal là: Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk
hàng 0

1

hàng 1

1

hàng 2

1

hàng 3
hàng 4
Tạ Dung

1
1

1
2

3
C41

1
3

C42

1
4

1

7
hàng 5

1

5

C52

10

5

1

ô

ô

ô

ô

ô

ô

thứ

thứ

thứ

thứ

thứ

thứ

0

1

2

3

4

5

k
Công thức tổng quát của Cnk là: Cn =

2
Ví dụ: C5 =

n!
k !( n − k ) !

5!
1.2.3.4.5
=
= 10
2!( 5 − 2 ) ! 1.2.1.2.3

Có thể thấy rằng tam giác Pascal có liên quan mật thiết đến các hằng
đẳng thức cụ thể là:
1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2) (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
3) a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
4) (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
5) (a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
6) a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
7) a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Trong các hằng đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta có thể thấy:
+) Ở những phép cộng trong dấu ngoặc thì phá ra hoàn toàn là thế
+) Còn nếu là dấu trừ thì dấu cộng đầu tiên rồi đến dấu trừ cứ thế đan xen nhau
+) Các biến: lũy thừa của a giảm dần, lũy thừa của b tăng dần.
Từ tam giác Pascal bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được
định lí về nhị thức Newton.
Định lí về nhị thức Newton
n

(a + b) n = ∑ Cnk a n−k b k
k =0

+) Số các số hạng của công thức là n + 1
Tạ Dung

8
+) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
thức là:
k + (n − k ) = n
+) Số hạng tổng quát của nhị thức là Tk +1 = Cnk a n −k b k (Đó là số hạng thứ k +1
trong khai triển (a + b) n )
+) Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau
1.2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
+) Bình phương của một tổng: Bình phương một tổng bằng bình phương số
thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bình
phương:

( a + b)

2

= a 2 + 2ab + b 2

+) Bình phương của một hiệu: Bình phương một hiệu bằng bình phương số
thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bình
phương:

( a − b)

2

= a 2 − 2ab + b 2

+) Hiệu hai bình phương: Hiệu hai bình phương bằng tổng của số thứ nhất và

số thứ hai nhân với hiệu của số thứ nhất và số thứ hai:
a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )
+) Lập phương của một tổng: Lập phương của một tổng bằng lập phương của
số thứ nhất, cộng ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng ba
lần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, cộng số thứ hai lập phương:

( a + b)

3

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3

+) Lập phương của một hiệu: Lập phương của một hiệu bằng lập phương của
số thứ nhất, trừ ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng ba
lần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, trừ số thứ hai lập phương:

( a − b)

Tạ Dung

3

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3


9
+) Tổng hai lập phương: Tổng hai lập phương bằng tổng của số thứ nhất và số
thứ hai, nhân với bình phương số thứ nhất trừ tích số thứ nhất và số thứ
hai cộng bình phương số thứ hai:

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
+) Hiệu hai lập phương: Hiệu hai lập phương bằng hiệu số thứ nhất và số thứ
hai, nhân với bình phương số thứ nhất cộng tích số thứ nhất và số thứ
hai cộng bình phương số thứ hai:

a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
Chú ý:
+) Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau
ngược lại hai số đối nhau, bằng nhau thì có bình phương bằng nhau:

( a − b)

2

= ( b − a)

2

+) Ngoài ra ta có thể viết: ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b)
3

(a − b)3 = a 3 − b3 − 3ab ( a − b )
Hệ quả:
1) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 . Đặt a = x ,b = y ta được:
2

x + 2 xy + y =

(

x+ y

)

2

với x, y là các số thực không âm.

2) Từ hằng đẳng thức ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 . Đặt a = x , b = 1 ta được:
2

x − 2 x +1 =

(

)

x −1

2

với x là số thực không âm.

2
2
3) Từ hằng đẳng thức: a − b = ( a + b ) ( a − b ) . Đặt a = x , b = y ta được:

x− y=

( x) −( y) =(

2

2

x− y

)(

x+ y

)

với x, y là các số thực không

âm.
3
3
2
2
4) Từ hằng đẳng thức: a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) .

Đặt a = x , b = y ta được:

Tạ Dung


10

( x) +( y) =(
3

3

x+ y

)(x−

)

xy + y = x x + y y với x, y là các số

thực không âm.
3
3
2
2
5) Từ hằng đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) .

Đặt a = 1, b = y ta được: 1 −

( ) = (1− y ) (1+
y

3

)

y + y = 1 − y y với y

là số thực không âm.

6) Với a, b là các số thực không âm thì
a b + b a = a 2b + b 2a = ab

(

a+ b

)

7) Với a là số thực không âm thì
a + a = a 2 + a = a ( a + 1)
8) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ta thêm vào hai vế −2ab ta
2

được:

a 2 + b 2 + 2ab − 2ab = (a + b) 2 − 2ab = a 2 + b 2 hay a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab
9) Từ hai hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 và ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ,
2

2

trừ vế với vế ta được: (a + b) 2 − ( a − b ) = 4ab hay (a + b) 2 = ( a − b ) + 4ab
2

2

2
2
10) Từ hằng đẳng thức ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 , ta thêm − ( a + b ) vào hai vế

2

2
2
2
ta được: (a + b) − (a + b ) = 2ab
2
2
11) Từ hằng đẳng thức ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ta thêm − ( a + b ) vào hai vế
2

2
2
2
ta được: (a − b) − (a + b ) = −2ab
3
3
12) Từ hằng đẳng thức: ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b) ta thêm − ( a + b ) vào
3

3
3
3
hai vế ta được: (a + b) − ( a + b ) = 3ab(a + b)
3
3
13) Từ hằng đẳng thức: ( a − b ) = a 3 − b 3 + 3ab(a − b) ta thêm − ( a − b ) vào
3

3

3
hai vế ta được: ( a − b ) − ( a − b ) = 3ab(a − b)
3

1.3. Một số hằng đẳng thức mở rộng
(1) ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
2

Tạ Dung


11
Chứng minh:
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng thức: (a + b) = a + 2ab + b ta được:

( a + b + c)

2

= ((a + b) + c) 2
= (a + b) 2 + 2( a + b)c + c 2

= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
(2) ( a + b − c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab − 2bc − 2ac
2

Chứng minh

2
2
2
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng thức: (a + b) = a + 2ab + b và (a − b) = a − 2ab + b

ta được:

( a + b − c)

2

= ((a + b) − c ) 2
= (a + b) 2 − 2( a + b)c + c 2

= a 2 + b2 + c 2 + 2ab − 2bc − 2ac
(3) ( a − b − c ) = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac + 2bc
2

Chứng minh
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng thức: (a − b) = a − 2ab + b ta được:

( a − b − c)

2

= ((a − b) − c ) 2
= (a − b) 2 − 2(a − b)c + c 2

= a 2 + b2 + c 2 − 2ab − 2ac + 2bc
3
3
3
3
(4) (a + b + c) = a + b + c + 3( a + b)(b + c)( a + c)

Chứng minh
3
3
3
Áp dụng hằng đẳng thức: (a + b) = a + b + 3ab( a + b) ta được:

(a + b + c) 3 = (( a + b) + c)3
= (a + b)3 + c 3 + 3(a + b)c( a + b + c)

= a 3 + b3 + 3ab( a + b) + c 3 + 3(a + b)c (a + b + c)

= a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(ab + c(a + b + c ))
Tạ Dung


12

= a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a(b + c) + c(b + c))
= a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)

Từ: ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
3

Suy ra: a 3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) − 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
3

3
3
3
2
2
2
(5) a + b + c − 3abc = (a + b + c )(a + b + c − ab − bc − ac )

Chứng minh
Từ ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , ta có
3

a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) − 3( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
3

Do đó

a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c )3 − 3(a + b)(b + c )(a + c ) − 3abc
= ( a + b + c ) − 3abc − 3ab(a + b) − 3(a + b)c (a + b + c )
3

= (a + b + c)3 − 3ab(a + b + c ) − 3(ac + bc )(a + b + c )

= (a + b + c)3 − 3( a + b + c)(ab + ac + bc )

= (a + b + c)((a + b + c) 2 − 3(ab + bc + ac ))

= (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc)
1
2
2
2
= (a + b + c) ( a − b ) + ( b − c ) + ( a − c ) 
2
(6) ( a + b + c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3ab(a + b) + 3c (a + b)(a + b + c )
3

Chứng minh
Áp dụng hằng đẳng thức: ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b) , ta được:
3

( a + b + c)

3

= ( ( a + b) + c)

3

= ( a + b ) + c 3 + 3c ( a + b ) (a + b + c)
3

= a 3 + b3 + 3ab(a + b) + 3c (a + b)(a + b + c)
Tạ Dung

13
2
2
2
(7) ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) − 8abc = a (b − c ) + b(c − a ) + c (a − b)

Chứng minh
Sử dụng hằng đẳng thức: ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 , ta có
2

( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) − 8abc = (ac + bc + b

2

+ ab)(a + c ) − 8abc

= a 2 c + ac 2 + abc + bc 2 + b 2 a + b 2c + a 2b + abc − 8abc
= (a 2c − 2abc + b 2c) + (ba 2 − 2abc + bc 2 ) + (b 2 a − 2abc + ac 2 )
= c(a − b) 2 + b(c − a ) 2 + a (b − c ) 2
(8) ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ac ) − abc
Chứng minh

( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = (a + b)(a(b + c) + c(b + c))
= ab( a + b) + c( a + b + c)(a + b)
= ab(a + b + c) + (ac + bc)( a + b + c) − abc
= (a + b + c)(ab + ac + bc ) − abc
(9) ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

3

Chứng minh
ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2

(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2 )
=3
3
(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − cb 2 − ac 2 )
= a − a + b − b + c − c +3
3

3

=

3

3

3

3

3

( a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 ) + (b3 − 3b 2c + 3bc 2 − c 3 ) + (c 3 − 3c 2 a + 3ca 2 − a 3 )
3

Áp dụng hằng đẳng thức: ( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 ta được
3

ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

(10) ab + bc + ca − ba − cb − ac =
3

Tạ Dung

3

3

3

3

3

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

3

(a + b + c )  (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a )3 

3


14
Chứng minh

ab3 + bc3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3 = a 2b 2 − a 2b 2 + abc 2 − abc 2 + ab 2c − ab 2c
+ a 2c 2 − a 2c 2 + b 2 c 2 − b 2c 2 + a 2bc − a 2bc + ab 3 + bc 3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3
= (a 2b 2 + abc 2 + ca 3 − ba 3 − ab 2c − a 2c 2 ) + (ab 3 + b 2c 2 + a 2bc − a 2b 2 − b 3c − abc 2 )
+ (cab 2 + bc 3 + c 2 a 2 − a 2bc − c 2b 2 − ac 3 )

= a(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 ) + b(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
+ c(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
= ( a + b + c)( ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
Từ đẳng thức ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

ta suy ra
ab + bc + ca − ba − cb − ac
2

2

2

2

2

2

( a − b)
=

3

+ ( b − c) + ( c − a)
3
3

3

Do đó

ab3 + bc3 + ca 3 − ba 3 − cb3 − ac 3
= (a + b + c)(ab 2 + bc 2 + ca 2 − ba 2 − b 2c − ac 2 )
=

( a + b + c) (a − b)3 + (b − c )3 + (c − a )3 
3

n
n
n −1
n− 2
n −3 2
2 n −3
n−2
n −1
(11) a − b = ( a − b ) ( a + a b + a b + ... + a b + ab + b )

Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
2
2
Với n = 2 ta có a − b = ( a − b ) ( a + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 3;

3
3
2
2

Với n = 3 ta có a − b = (a − b)(a + ab + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 7,

Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

a k − b k = ( a − b ) ( a k −1 + a k − 2b + a k −3b 2 + ... + a 2b k −3 + ab k − 2 + b k −1 )
Ta phải chứng minh:

a k +1 − b k +1 = ( a − b ) ( a k + a k −1b + a k −2b 2 + ... + a 2b k −2 + ab k −1 + b k )
Tạ Dung

3


15
Thật vậy, ta có:
a k +1 − b k +1 = a k +1 − ba k + ba k − b k +1

b( a k − b k )
= a ( a − b) + ( a − b)
a−b
k

b( a k − b k )
= ( a − b)(a +
)
a −b
k

 k b ( a − b ) ( a k −1 + a k −2b + a k −3b 2 + ... + a 2b k −3 + ab k −2 + b k −1 )
= ( a − b)  a +


a−b



÷
÷


= ( a − b ) ( a k + b ( a k −1 + a k − 2b + a k −3b 2 + ... + a 2b k −3 + ab k −2 + b k −1 ) )
k
k −1
k −2 2
2 k −2
k −1
k
= ( a − b ) ( a + a b + a b + ... + a b + ab + b )

(12) Với n lẻ thì

a n + b n = ( a + b ) ( a n −1 − a n − 2b + a n −3b 2 − ... + a 2b n−3 − ab n −2 + b n −1 )
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
3
3
2
2
Với n = 3 ta có a + b = (a + b)(a − ab + b ) đây là hằng đẳng thức thứ 6,

Giả sử với n = 2k + 1 ≥ 3 ta có:

a 2 k +1 + b 2 k +1 = ( a + b ) ( a 2 k − a 2 k −1b + a 2 k −2b 2 − ... + a 2b 2 k − 2 − ab 2 k −1 + b 2 k )
Ta phải chứng minh:

a 2 k +3 + b 2 k +3 = ( a + b ) ( a 2 k + 2 − a 2 k +1b + a 2 k b 2 − ... + a 2b 2 k − ab 2 k +1 + b 2 k +2 )
Thật vậy, ta có:

a 2 k +3 + b 2 k +3 = a 2 k +3 − ba 2 k + 2 + ba 2 k + 2 + b 2 k +3 − b 2 a 2 k +1 + b 2 a 2 k +1
= a (a

2 k +2

−a

= ( a + b ) (a

2k +2

= ( a + b ) (a

2k +2

Tạ Dung

b ) + b( a

2 k +1

−a

2 k +1

−a

2 k +1

2 k +2

b) + b
b+b

2

−a
2

b) + b

2 k +1

( a + b) ( a

2

( a + b) ( a

a+b

2 k +1

+ b 2 k +1 )

a+b

(a

2 k +1

+ b 2 k +1 )

a+b

2 k +1

)

+ b 2 k +1 )


16
= ( a + b ) (a

= ( a + b) ( a

−a

2k +2

b+b

2 k +1

2

( a + b) ( a

− a 2 k −1b + a 2 k − 2b 2 − ... + a 2b 2 k − 2 − ab 2 k −1 + b 2 k )

2k

a+b

− a 2 k +1b + a 2 k b 2 − ... + a 2b 2 k − ab 2 k +1 + b 2 k + 2 )

2k +2

(13) Nhị thức Newton:
n

( a + b ) = ∑ Cnk a n−k b k , trong đó Cnk =
n

k =0

n!
.
k!( n − k ) !

Khi đó:

( a + b)
+

n

= an +

n!
n!
n!
a n−1b +
a n −2b 2 + ... +
a n−k b k + ...
1!( n − 1) !
2!( n − 2 ) !
k !( n − k ) !

n!
n!
a 2b n − 2 +
ab n−1 + b n
2!( n − 2 ) !
1!( n − 1) !

n 2 (n + 1) 2
(14) 1 + 2 + 3 + ..... + n =
4
3

3

3

3

Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với n = 1 thì 1 = 1 đẳng thức đúng
Giả sử với n = k ≥ 1 ta có
k 2 ( k + 1) 2
1 + 2 + 3 + ... + k =
4
3

3

3

3

Ta phải chứng minh:
1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1)
3

3

3

3

2

( k + 1)
=

2

(k + 2) 2
4

Thật vậy ta có:
13 + 23 + 33 + ... + k 3 + (k + 1) 2 =
=

k 2 (k + 1) 2
+ (k + 1) 2
4

(k + 1) 2 ( k 2 + 4(k + 1)) ( k + 1) 2 (k + 2) 2
=
4
4

(15) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2)
3

Chứng minh
Tạ Dung

)


17
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với n = 1 thì 1.2 = 2 đẳng thức đúng
Giả sử với n = k ≥ 1 ta có
1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + k ( k + 1) =

k (k + 1)(k + 2)
3

Ta phải chứng minh:
1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + k ( k + 1) + (k + 1)(k + 2) =

(k + 1)(k + 2)(k + 3)
3

Thật vậy, ta có:
1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + k ( k + 1) + ( k + 1)( k + 2)
=

k (k + 1)(k + 2)
+ (k + 1)(k + 2)
3

=

(k + 1)(k + 2)(k + 3)

3

2
2
2
2
(16) 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)(2n + 1)
6
Chứng minh

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với n = 1 thì 12 = 1 đẳng thức đúng
Giả sử với n = k ≥ 1 ta có
12 + 2 2 + 32 + ... + k 2 =

k (k + 1)(2k + 1)
6

Ta phải chứng minh:
12 + 2 2 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1) 2 =

(k + 1)( k + 2)(2k + 3)
6

Thật vậy, ta có:
12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =
=

( k + 1) ( 2k

2

+ k + 6(k + 1) )
6

=

k (k + 1)(2k + 1)
+ ( k + 1) 2
6

( k + 1) ( 2k

2

6

+ 7k + 6 )

=

( k + 1) ( k + 2 ) ( 2k + 3)
6

(17) ( a1 + a2 + a3 + ... + an ) = a12 + a22 + ... + an2 + 2a1a2 + ... + 2an −1an
2

Tạ Dung

18
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
2
2
2
Với n = 2 thì (a1 + a2 ) = a1 + 2a1a2 + a2 hằng đẳng thức 1;

Giả sử với n = k ≥ 1 ta có

(a

1

+ a2 + a3 + ... + ak ) = a12 + a22 + ... + ak2 + 2a1a2 + ... + 2ak −1ak
2

Ta phải chứng minh:

(a

1

+ a2 + a3 + ... + ak +1 ) = a12 + a22 + ... + ak2+1 + 2a1a2 + ... + 2ak ak +1
2

Thật vậy, ta có:

(a

+ a2 + a3 + ... + ak +1 )
1

2

= ( a1 + a2 + a3 + ... + ak ) + 2ak +1 (a1 + a2 + a3 + ... + ak ) + ak2+1
2

= a12 + a22 + ... + ak2 + 2a1a2 + ... + 2ak −1ak + 2ak +1 (a1 + a2 + a3 + ... + ak ) + ak2+1
= a12 + a22 + ... + ak2+1 + 2a1a2 + ... + 2ak ak +1

Tạ Dung


19
CHƯƠNG II. VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN
Trong chương này, chúng tôi trình bày việc vận dụng hằng đẳng thức
vào giải các dạng toán như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của
biểu thức, rút gọn biểu thức và đặc biệt là chứng minh chia hết, tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng
thức.
2.1. Một số bài toán về biểu thức
2.1.1. Tính giá trị của biểu thức
Trong thực tế, học sinh thường gặp những bài toán tính giá trị của một
biểu thức rất cồng kềnh và phức tạp. Tuy nhiên, nhờ sử dụng các hằng đẳng
thức ta có thể đưa các biểu thức đó về các biểu thức đơn giản và dễ tính toán.
Để tính giá trị của biểu thức, chúng ta thường sử dụng một số hằng đẳng thức
như:

a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )

( a + b + c)

3

= a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(b + c )(a + c )

2
a 3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) ( a − b ) + (b − c ) 2 + (a − c) 2 

Ngoài ra, ta có thể sử dụng một số hằng đẳng thức khác hoặc đặc biệt
hóa hằng đẳng thức tuỳ theo yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 2.1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = 12 – 2 2 + 32 – 4 2 + … – 2004 2 + 20052
2
4
8
16
32
64
b) B = ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) – 2

Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )
Giải
a) Ta có:

A = 1 + ( 32 – 22 ) + ( 52 – 42 ) + … + ( 20052 – 20042 )
2

2
Từ hằng đẳng thức a − b = ( a − b ) ( a + b ) , ta suy ra

Tạ Dung


20

( k + 1)

2

− k 2 = k + ( k + 1)

Do đó
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 2004 + 2005
= ( 1 + 2002 ) 2005 : 2
= 2011015
2
4
8
16
32
64
b) Ta có B = ( 2 − 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) – 2
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng ( a − b ) ( a + b ) = a − b ta được ( 2 − 1) ( 2 + 1) = ( 2 − 1) .

Do đó

B = ( 22 −1) ( 22 + 1) ( 24 + 1) ( 28 + 1) ( 216 + 1) ( 232 + 1) – 2 64
Sử dụng hằng đẳng trên sau năm lần, ta được:
B = ( 264 – 1) – 264

Vậy B = −1 .
Ví dụ 2.2: Cho x, y,z là các số thực khác không thoả mãn

Tính giá trị của biểu thức P =

1 1 1
+ + = 0.
x y z

xy yz xz
+
+
z 2 x2 y2

Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:

( a + b + c)

3

= a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
Giải

Từ hằng đẳng thức ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) , ta có

3

3

1 1 1
 1 1  1 1   1 1 
1 1 1
 x + y + z ÷ = x 3 + y 3 + z 3 + 3  x + y ÷ y + z ÷ x + z ÷






Mặt khác, từ giả thiết

1 1 1
+ + = 0 , ta suy ra
x y z

 1 1  1 1   1 1 
1 1 1
+ 3 + 3 = −3  + ÷ + ÷ + ÷
3
x
y
z
 x y  y z   x z 

Tạ Dung

21
⇔

1 1 1
( x + y) ( y + z) ( x + z)
+
+
=
−
3
x3 y 3 z 3
x2 y2 z 2

Áp dụng hằng đẳng thức

( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ac ) − abc ,
ta được:

1 1 1
x+ y+ z1 1 1 3
3
+ 3 + 3 = −3
+ + ÷+
=

3
x
y

z
xyz  x y z  xyz xyz
Vậy

P=

 1 1 1  3xyz
xy zy xz xyz xyz xyz
+ 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz  + + ÷ =
=3
2
z
x
y
z
x
y
 x y z  xyz

3
3
3
Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn abc ≠ 0, a + b + c = 3abc .

 a  b  c 
Tính giá trị của biểu thức A =  1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷
 b  c  a 
Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2
Giải

Từ giả thiết a 3 + b 3 + c 3 = 3abc suy ra
1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = a 3 + b3 + c 3 − 3abc = 0
2
a + b + c = 0
⇒
 a =b=c
 a + b  b + c  a + c  −c −a −b
Nếu a + b + c = 0 thì A = 
÷
÷
÷ = . . = −1
 b  c  a  b c a
Nếu a = b = c thì A = ( 1 + 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1) = 8
Vậy A có thể nhận một trong hai giá trị là -1 và 8.

Tạ Dung

22
Ví dụ 2.4: Cho x, y, z là các số thực thoả mãn x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3x 2 y 2 z 2 và

x 
y 
z
xyz ≠ 0 . Tính giá trị của biểu thức: P =  1 + ÷1 + ÷1 + ÷
y 
z 
x

Nhận xét: Nếu đặt a = xy, b = yz , c = zx thì x 3 y 3 + y 3 z 3 + x 3 z 3 = 3x 2 y 2 z 2 trở
thành a 3 + b3 + c3 = 3abc sau đó sử dụng hằng đẳng thức:
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2
Giải

Đặt a = xy, b = yz , c = zx thì a 3 + b3 + c3 = 3abc
Suy ra:
1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = a 3 + b3 + c3 − 3abc

2
= x3 y 3 + y 3 z 3 + x3 z 3 − x 2 y 2 z 2
=0
Do đó, ta có
a + b + c = 0
 a=b=c

Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì ( x + z ) y = − xz
 x + y   z + y  x + z 
P=
÷
÷
÷
 y   z  x 
( x + y ) z .( z + y ) x .( x + z ) y
=
yz
zx
xy
=

( − xy ) ( − yz ) ( − zx )
yz.zx.xy

= −1
Nếu a = b = c thì xy = yz = zx => x = y = z , suy ra P = 8
Ví dụ 2.5: Cho x, y, z là các số thực khác không thoả mãn x + y + z = 0 . Tính
giá trị biểu thức:
x3 + y 3 + z 3
B=

− xyz
Tạ Dung


23
Nhận xét: Quan sát và biến đổi biểu thức sử dụng hằng đẳng thức:
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2

Giải
Áp dụng hằng đẳng thức :
a 3 + b3 + c3 − 3abc =

1
2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2

ta được

x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = 0
=> x 3 + y 3 + z 3 = 3 xyz

x 3 + y 3 + z 3 3xyz
⇒B=
=
= −3
− xyz
− xyz
2.1.2. Rút gọn biểu thức.
Bài toán rút gọn biểu thức thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10
trung học phổ thông. Một số bài toán thì trong biểu thức cần rút gọn đã chứa
sẵn các hằng đẳng thức. Tuy nhiên, một số bài toán khác thì hằng đẳng thức
chỉ xuất hiện sau khi qui đồng mẫu, thêm hoặc bớt, hoặc nhân với biểu thức
liên hợp. Một số hằng đẳng thức thường được sử dụng trong các bài toán rút
gọn biểu thức là:
( a + 1) 2 = a + 2 a + 1
a − b = ( a − b )( a + b )
Ngoài ra, ta có thể sử dụng một số hằng đẳng thức khác tuỳ theo độ
phức tạp của biểu thức cần rút gọn.
Một lưu ý khác khi giải bài toán rút gọn biểu thức là ta cần quan tâm
đến điều kiện xác định của biểu thức đã cho.

Tạ Dung


24
 x −2
x + 2  (1− x)
−
Ví dụ 2.6: Rút gọn biểu thức P = 
÷.
x

−
1
2
x
+
2
x
+
1



2

trong đó x là số thực dương khác 1.
Nhận xét: Trong biểu thức đã cho, ta có thể nhận ra các hằng đẳng thức sau:
a −1 =

(

)(

)

a −1

(

a +1 , a + 2 a +1=

)

a +1

2

Giải
Áp dụng hằng đẳng thức: x − 1 =

(

)(

x −1

)

x +1 , x + 2 x +1 =

(

ta được:

P=



=



(

x −2

(

)(

x −1
x −2

)(

) (

x +1

)

) ( x + 2) (
( x − 1) ( x + 1)

)

x −1  ( 1− x) 2
÷.
÷
÷ 2


x +1 −

2


−2 x
=
 ( x − 1) x + 1


(

=

−

2

x + 2 ÷ ( 1− x)
2 .
÷ 2
x +1 ÷


 (1− x) 2
÷.
÷ 2


)

− x ( x − 1)

(

)

x +1

Áp dụng hằng đẳng thức: x − 1 =

P=

− x

(

(

)(

x +1

)

x +1

) =−

x −1

(

x

)(

x −1

(

)

)

x + 1 ta được

(

x −1 = x 1− x

)

Ví dụ 2.7: Rút gọn biểu thức rồi so sánh giá trị của M với 1, biết :

1 
a +1
 1
M =

+
( a > 0 và a ≠ 1 )
÷:
a −1 a − 2 a +1
a− a
Nhận xét:
Tạ Dung

)

x +1

2


25
Ta sẽ áp dụng hai hằng đẳng thức
a − a = a ( a − 1) và a − 2 a + 1 =

(

)

2

a − 1 vào giải bài toán:

Giải
Ta có a − a = a ( a − 1) và a − 2 a + 1 =


1
1 ÷

M=
+
:
 a a −1
a −1÷



(

)

 1+ a 
÷:
=
 a a −1 ÷



(

Do đó M =
Vì

) (

(

)

2

a − 1 nên

a +1

(

)

a −1

2

a +1

)

a −1

2

a −1
1
=1−
.
a

a

a > 0 nên M > 1.

Ví dụ 2.8: Cho biểu thức :
1   a +1
a +2
 1
−
:
−

÷ ( a > 0; a ≠ 4 ; a ≠ 1)
÷
a   a −2
a −1 
 a −1

Q=

a) Rút gọn Q;
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
Nhận xét: Sau khi qui đồng mẫu thức, ta có thể rút gọn biểu thức bằng cách
áp dụng hằng đẳng thức:
a−b =

(

a− b

)(

a+ b

)

Giải
a) Ta có:

(

) ÷:  (

 a − a −1
Q=
 a a −1


(

)

)(

a +1

÷
 

Từ hằng đẳng thức a − b =

a −1 =
Tạ Dung

(

)(

a −1

(

) (
( a − 2) (
a −1 −

a− b

)

)(

a +2

)

)(

)÷

a −2 

÷


a −1

)

a + b , ta có

a + 1 và a − 4 =

(

a −2

)(

a +2

)