Tải bản đầy đủ (.doc) (10 trang)

Những hằng đẳng thức và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (168.63 KB, 10 trang )

Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng:
( )
22
2
2 BABABA
++=+
=
( )
ABBA 4
2
+−
2. Bình phương của một hiệu:
( ) ( )
22
22
2 BABAABBA
+−=−=−
=
( )
ABBA 4
2
−+
3. Hiệu của hai bình phương:
( )( )
BABABA
+−=−
22
4. Lập phương của tổng:


( ) ( )
BAABBABABBAABA
+++=+++=+
333
333223
3
5. Lập phương của hiệu:
( ) ( )
BAABBABABBAABA
−−−=−+−=−
333
333223
3
6. Tổng hai lập phương:
( )
( )
( )
).(3
3
2233
BAABBABABABABA
−−+=+−+=+
7. Hiệu hai lập phương:
( )
( )
).(3)(
32233
BAABBABABABABA
−+−=++−=−


* Một số hằng đẳng thức tổng quát
1. a
n
– b
n
= (a- b)(a
n-1
+ a
n-2
b

+ … + ab
n-2
+ b
n-1
)
2. a
2k
– b
2k
= (a + b )(a
2k-1
– a
2k-1
b + … + a
2k-3
b
2
–b
2k-1

)
3. a
2k+1
– b
2k+1
= (a + b )(a
2k
– a
2k-1
b + a
2k-2
b
2
- … + b
2k
)
4. (a + b)
n
= a
n
+ na
n-1
b +
2.1
)1( −nn
a
n-2
b
2
+…+

2.1
)1( −nn
a
2
b
n-2
+nab
n-1
+ b
n
5. (a -b)
n
= a
n
- na
n-1
b +
2.1
)1( −nn
a
n-2
b
2
- …-
2.1
)1( −nn
a
2
b
n-2

+nab
n-1
- b
n
Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1
( ) ( )
ACBCABCBACBA
+++++=++
2
222
2
2.
( ) ( ) ( ) ( )
CACBBACBACBA
++++++=++
..3
333
3
3.
( )
( ) ( )
22
22
2 BABABA
−++=+
4.
( ) ( )
( ) ( )
22

2222
. BYAXBYAXYXBA
++−=++
Bài tập 2. Tính :
a/ A = 1
2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … – 2004
2
+ 2005
2
b/ B = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
Giải
a/ A = 1

2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … – 2004
2
+ 2005
2
A = 1 + (3
2
– 2
2
) + (5
2
– 4
2
)+ …+ ( 2005
2
– 2004
2
)
A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005
A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(2
2
+1)(2

4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = (2
2
- 1) (2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = ( 2
4
– 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2

16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = …
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
B =(2
32
- 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = 2
64
– 1 – 2
64
B = - 1
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A
2
– B
2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x
2
– 4x + 7
b/ B = x
2

+ 8x
c/ C = - 2x
2
+ 8x – 15
Giải
a/ A = x
2
– 4x + 7 = x
2
– 4x + 4 + 3 = ( x - 2)
2
+ 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x
2
+ 8x = (x
2
+ 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)
2
– 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x
2
+ 8x – 15 = – 2(x
2
– 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)
2
– 7 < - 7

Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
* Chú ý:
 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A > m với m là một hằng số.
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )
 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A < t với t là một hằng số.
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )
2
= 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c
Giải
( a + b + c )
2
= 3(ab + bc + ac )
 a
2
+ 2ab + b
2
+ 2bc + 2ac + c
2
= 3ab + 3bc + 3ac
 a
2
+ b
2
+ c

2
- ab - bc – ac = 0
 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab - 2bc – 2ac = 0
 ( a
2
– 2ab + b
2
) + ( b
2
– 2bc + c
2
) + ( c
2
– 2ac + a
2
) = 0
 ( a – b)
2
+ ( b – c)
2
+ ( c – a)
2
= 0
 ( a – b)

2
=0 hay ( b – c)
2
= 0 hay ( c – a)
2
= 0
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
 a = b hay b = c hay c = a
 a = b = c
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
Bài tập 5. Chứng minh rằng:
a/ 7.5
2n

+ 12.6
n


19 ( n

N)
b/ 11
n+2
+ 12
2n+1


133 ( n

N)
Giải
a/ 7.5
2n
+ 12.6
n
= 7.(25
n
– 6
n
) + 19.6
n


19

Vì ( 25
n
– 6
n
)

( 25 – 6) nên ( 25
n
– 6
n
)

19 và 19.6
n


19
Vậy 7.5
2n
+ 12.6
n


19 ( n

N)
b/ 11
n+2
+ 12
2n+1



133 = 11
2
. 11
n
+ 12.12
2n

= 12.( 144
n
– 11
n
) + 133.11
n


133
Vì (144
n
– 11
n
)

(144 – 11) nên (144
n
– 11
n
)


133
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
a
n
– b
n
= (a- b)(a
n-1
+ a
n-2
b

+ … + ab
n-2
+ b
n-1
) do đó (a
n
– b
n
)

(a- b)
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x
2
+ 2y
2
+ z
2

+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
2x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
⇔ (x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz) + (x
2
+ 10x + 25) + (y
2
+ 6y + 9) = 0
⇔ ( x + y + z)
2
+ ( x + 5)
2
+ (y + 3)
2
= 0
⇔ ( x + y + z)
2
= 0 ; ( x + 5)

2
= 0 ; (y + 3)
2
= 0
 x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
Bài tập 7: Cho x =

1 soá chöõ n
15...11
; y =

1 soá chöõ n
19...11
. Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

Ta có : y =

1 soá chöõ n
19...11
=

1 soá chöõ n
15...11
+ 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x
2
+ 4x + 4 = ( x + 2 )
2
hay xy + 4 =
 
1 soá chöõ n
2
17...11
là số chính phương.
B. Ứng dụng hằng đẳng thức
Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
Ta có: a

3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
– 3ab(a+b) + c
3
– 3abc
= [(a+b)
3
+c
3
] – 3ab(a+b+c)
= (a+b+c) [(a+b)
2
–c(a+b)+c
2
]– 3ab (a+b+c)
= (a+b+c) (a
2
+ 2ab + b
2
– ac- ab + c
2
- 3ab)

= (a +b + c) (a
2

+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ac)
=
2
1
(a + b + c) [(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ (a-c)
2
]
Nhận xét: Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc thì a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0
=>
2

1
(a+b+c) [(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ (a-c)
2
] = 0
=>



=−+−+−
=++
0)()()(
0
222
cacbba
cba
=>



==
=++
cba
cba 0
Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)
3
+ (y – z)
3
+ (z - x)
3
thành phân tử.
Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x-y)
3
+ (y – z)
3
+ (z - x)
3
= 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 2: Phân tích đa thức (x
2
+ y
2
)
3
+ (z
2
– x
2
)
3

– (y
2
+ z
2
)
3
thành nhân tử.
Ta có (x
2
+ y
2
)
3
+ (z
2
– x
2
)
3
– (y
2
+ z
2
)
3
= (x
2
+ y
2
)

3
+ (z
2
– x
2
)
3
+ (-y
2
- z
2
)
3
Ta thấy x
2
+ y
2
+ z
2
– x
2
– y
2
– z
2
= 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x
2
+y
2

)
3
+ (z
2
-x
2
)
3
+ -y
2
-z
2
)
3
= 3(x
2
+ y
2
) (z
2
–x
2
) (-y
2
– z
2
) = 3(x
2
+y
2

) (x+z)(x-z)(y
2
+z
2
)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
thành nhân tử
(x+y+z)
3
– x
3
-y
3
-z
3
=[(x +y) +z]
3
– x
3
– y
3
– z
3

.
= (x+y)
3
+ 3 (x+y) (x+y+z) – x
3
-y
3
-z
3
= x
3
+ y
3
+3xy(x+y)+z
3
+3z(x+y)(x+y+z) –x
3
-y
3
-z
3
.
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z
2
) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x+y+z)
3

–(x+y-z)
3
-(x-y+z)
3
-(-x+y+z)
3
Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
=>x+y+z = a+b+c
=>(a+b+c)
3
- a
3
- b
3
-c
3
= 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho
0
111
=++
zyx
tính P =
222
y
zx
x
yz
z

xy
++
Từ
0
111
=++
zyx
=>
xyzzyx
3111
333
=++
=> P =
3
3111
333333222
==








++=++=++
xyz
xyz
zyx
xyz

y
xyz
x
xyz
z
xyz
y
zx
x
yz
z
xy
Bài 2: Cho abc

0, a
3
+b
3
+c
3
= 3abc tính A =






+







+






+
a
c
c
b
b
a
111
Từ a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc =>



==

=++
cba
cba 0
Nếu a+b+c = 0 thì A =
1.. −=
−−−
=






+






+






+
α
b

c
a
b
c
c
ca
c
cb
b
ba
Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
=> A có 2 giá trị: -1 và 8
Bài 3: Cho xyz

0 thoả mãn x
3
y
3
+ y
3
z
3
+ x
3
z
3
= 3x
2
y
2

z
2
. Tính P =






+






+








+
x
z
z
y

y
x
111
Đặt a= xy, b = yz, c =zx.
Ta có x
3
y
3
+ y
3
z
3
+ x
3
z
3
= 3x
2
y
2
z
2
=> a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc =>




==
=++
cba
cba 0
Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
P =
( ) ( ) ( )
xy
yzx
zx
xzy
yz
zyx
x
xz
z
zy
y
yx
x
z
x
y
y
x +++
=







+






+








+
=






+







+








+ ..111
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị

×