Những hằng đẳng thức và ứng dụng

Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng:
( )
22
2
2 BABABA
++=+
=
( )
ABBA 4
2
+−
2. Bình phương của một hiệu:
( ) ( )
22
22
2 BABAABBA
+−=−=−
=
( )
ABBA 4
2
−+
3. Hiệu của hai bình phương:
( )( )
BABABA
+−=−
22
4. Lập phương của tổng:

( ) ( )
BAABBABABBAABA
+++=+++=+
333
333223
3
5. Lập phương của hiệu:
( ) ( )
BAABBABABBAABA
−−−=−+−=−
333
333223
3
6. Tổng hai lập phương:
( )
( )
( )
).(3
3
2233
BAABBABABABABA
−−+=+−+=+
7. Hiệu hai lập phương:
( )
( )
).(3)(
32233
BAABBABABABABA
−+−=++−=−

* Một số hằng đẳng thức tổng quát
1. a
n
– b
n
= (a- b)(a
n-1
+ a
n-2
b

+ … + ab
n-2
+ b
n-1
)
2. a
2k
– b
2k
= (a + b )(a
2k-1
– a
2k-1
b + … + a
2k-3
b
2
–b
2k-1

)
3. a
2k+1
– b
2k+1
= (a + b )(a
2k
– a
2k-1
b + a
2k-2
b
2
- … + b
2k
)
4. (a + b)
n
= a
n
+ na
n-1
b +
2.1
)1( −nn
a
n-2
b
2
+…+

2.1
)1( −nn
a
2
b
n-2
+nab
n-1
+ b
n
5. (a -b)
n
= a
n
- na
n-1
b +
2.1
)1( −nn
a
n-2
b
2
- …-
2.1
)1( −nn
a
2
b
n-2

+nab
n-1
- b
n
Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1
( ) ( )
ACBCABCBACBA
+++++=++
2
222
2
2.
( ) ( ) ( ) ( )
CACBBACBACBA
++++++=++
..3
333
3
3.
( )
( ) ( )
22
22
2 BABABA
−++=+
4.
( ) ( )
( ) ( )
22

2222
. BYAXBYAXYXBA
++−=++
Bài tập 2. Tính :
a/ A = 1
2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … – 2004
2
+ 2005
2
b/ B = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
Giải
a/ A = 1

2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … – 2004
2
+ 2005
2
A = 1 + (3
2
– 2
2
) + (5
2
– 4
2
)+ …+ ( 2005
2
– 2004
2
)
A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005
A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(2
2
+1)(2

4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = (2
2
- 1) (2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = ( 2
4
– 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2

16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = …
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
B =(2
32
- 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = 2
64
– 1 – 2
64
B = - 1
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A
2
– B
2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x
2
– 4x + 7
b/ B = x
2

+ 8x
c/ C = - 2x
2
+ 8x – 15
Giải
a/ A = x
2
– 4x + 7 = x
2
– 4x + 4 + 3 = ( x - 2)
2
+ 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x
2
+ 8x = (x
2
+ 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)
2
– 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x
2
+ 8x – 15 = – 2(x
2
– 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)
2
– 7 < - 7

Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
* Chú ý:
 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A > m với m là một hằng số.
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )
 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A < t với t là một hằng số.
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )
2
= 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c
Giải
( a + b + c )
2
= 3(ab + bc + ac )
 a
2
+ 2ab + b
2
+ 2bc + 2ac + c
2
= 3ab + 3bc + 3ac
 a
2
+ b
2
+ c

2
- ab - bc – ac = 0
 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab - 2bc – 2ac = 0
 ( a
2
– 2ab + b
2
) + ( b
2
– 2bc + c
2
) + ( c
2
– 2ac + a
2
) = 0
 ( a – b)
2
+ ( b – c)
2
+ ( c – a)
2
= 0
 ( a – b)

2
=0 hay ( b – c)
2
= 0 hay ( c – a)
2
= 0
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
 a = b hay b = c hay c = a
 a = b = c
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
Bài tập 5. Chứng minh rằng:
a/ 7.5
2n

+ 12.6
n


19 ( n
∈
N)
b/ 11
n+2
+ 12
2n+1


133 ( n
∈
N)
Giải
a/ 7.5
2n
+ 12.6
n
= 7.(25
n
– 6
n
) + 19.6
n


19

Vì ( 25
n
– 6
n
)

( 25 – 6) nên ( 25
n
– 6
n
)

19 và 19.6
n


19
Vậy 7.5
2n
+ 12.6
n


19 ( n
∈
N)
b/ 11
n+2
+ 12
2n+1


133 = 11
2
. 11
n
+ 12.12
2n

= 12.( 144
n
– 11
n
) + 133.11
n


133
Vì (144
n
– 11
n
)

(144 – 11) nên (144
n
– 11
n
)


133
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
a
n
– b
n
= (a- b)(a
n-1
+ a
n-2
b

+ … + ab
n-2
+ b
n-1
) do đó (a
n
– b
n
)

(a- b)
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x
2
+ 2y
2
+ z
2

+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
2x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
⇔ (x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz) + (x
2
+ 10x + 25) + (y
2
+ 6y + 9) = 0
⇔ ( x + y + z)
2
+ ( x + 5)
2
+ (y + 3)
2
= 0
⇔ ( x + y + z)
2
= 0 ; ( x + 5)

2
= 0 ; (y + 3)
2
= 0
 x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
Bài tập 7: Cho x =

1 soá chöõ n
15...11
; y =

1 soá chöõ n
19...11
. Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

Ta có : y =

1 soá chöõ n
19...11
=

1 soá chöõ n
15...11
+ 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x
2
+ 4x + 4 = ( x + 2 )
2
hay xy + 4 =
 
1 soá chöõ n
2
17...11
là số chính phương.
B. Ứng dụng hằng đẳng thức
Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
Ta có: a

3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
– 3ab(a+b) + c
3
– 3abc
= [(a+b)
3
+c
3
] – 3ab(a+b+c)
= (a+b+c) [(a+b)
2
–c(a+b)+c
2
]– 3ab (a+b+c)
= (a+b+c) (a
2
+ 2ab + b
2
– ac- ab + c
2
- 3ab)

= (a +b + c) (a
2

+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ac)
=
2
1
(a + b + c) [(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ (a-c)
2
]
Nhận xét: Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc thì a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0
=>
2

1
(a+b+c) [(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ (a-c)
2
] = 0
=>



=−+−+−
=++
0)()()(
0
222
cacbba
cba
=>



==
=++
cba
cba 0
Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)
3
+ (y – z)
3
+ (z - x)
3
thành phân tử.
Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x-y)
3
+ (y – z)
3
+ (z - x)
3
= 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 2: Phân tích đa thức (x
2
+ y
2
)
3
+ (z
2
– x
2
)
3

– (y
2
+ z
2
)
3
thành nhân tử.
Ta có (x
2
+ y
2
)
3
+ (z
2
– x
2
)
3
– (y
2
+ z
2
)
3
= (x
2
+ y
2
)

3
+ (z
2
– x
2
)
3
+ (-y
2
- z
2
)
3
Ta thấy x
2
+ y
2
+ z
2
– x
2
– y
2
– z
2
= 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x
2
+y
2

)
3
+ (z
2
-x
2
)
3
+ -y
2
-z
2
)
3
= 3(x
2
+ y
2
) (z
2
–x
2
) (-y
2
– z
2
) = 3(x
2
+y
2

) (x+z)(x-z)(y
2
+z
2
)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
thành nhân tử
(x+y+z)
3
– x
3
-y
3
-z
3
=[(x +y) +z]
3
– x
3
– y
3
– z
3

.
= (x+y)
3
+ 3 (x+y) (x+y+z) – x
3
-y
3
-z
3
= x
3
+ y
3
+3xy(x+y)+z
3
+3z(x+y)(x+y+z) –x
3
-y
3
-z
3
.
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z
2
) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x+y+z)
3

–(x+y-z)
3
-(x-y+z)
3
-(-x+y+z)
3
Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
=>x+y+z = a+b+c
=>(a+b+c)
3
- a
3
- b
3
-c
3
= 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho
0
111
=++
zyx
tính P =
222
y
zx
x
yz
z

xy
++
Từ
0
111
=++
zyx
=>
xyzzyx
3111
333
=++
=> P =
3
3111
333333222
==








++=++=++
xyz
xyz
zyx
xyz

y
xyz
x
xyz
z
xyz
y
zx
x
yz
z
xy
Bài 2: Cho abc
≠
0, a
3
+b
3
+c
3
= 3abc tính A =






+







+






+
a
c
c
b
b
a
111
Từ a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc =>



==

=++
cba
cba 0
Nếu a+b+c = 0 thì A =
1.. −=
−−−
=






+






+






+
α
b

c
a
b
c
c
ca
c
cb
b
ba
Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
=> A có 2 giá trị: -1 và 8
Bài 3: Cho xyz
≠
0 thoả mãn x
3
y
3
+ y
3
z
3
+ x
3
z
3
= 3x
2
y
2

z
2
. Tính P =






+






+








+
x
z
z
y

y
x
111
Đặt a= xy, b = yz, c =zx.
Ta có x
3
y
3
+ y
3
z
3
+ x
3
z
3
= 3x
2
y
2
z
2
=> a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc =>




==
=++
cba
cba 0
Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
P =
( ) ( ) ( )
xy
yzx
zx
xzy
yz
zyx
x
xz
z
zy
y
yx
x
z
x
y
y
x +++
=







+






+








+
=






+







+








+ ..111
Giáo viên: NGUYỄN VĂN TƯỞNG Trường THCS Văn Trị