ỨNG DỤNG của đạo hàm và VI PHÂN TRONG một số bài TOÁN KINH tế

TTRần

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN
KINH TẾ

Trần Thị Lan Hương


TTRần

BẢNG KÍ HIỆU
P
Qs
Qd
TC
TR
C
S
MC
MPPL
MR

Trần Thị Lan Hương

Price
Quantity supplied
Quantity demanded
Total cost
Total revenue
Consumption
Saving

Marginal cost
Product Value in kind of

Giá hàng hóa
Lượng cung
Lượng cầu
Tổng chi phí
Tổng doanh thu
Tiêu dùng
Tiết kiệm
Chi phí cận biên
Giá trị sản phẩm hiện vật cận

marginal workers
Marginal revenue

biên của lao động
Doanh thu cận biên


TTRần

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài khóa luận
Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế so với các ngôn ngữ khoa
học khác, vì nó là một phương cách truyền thông ý tưởng với kiến thức ngắn
gọn, chính xác, dễ hiểu, nghiêm túc, là công cụ suy diễn lý luận rất mạnh.
Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới. Để đạt
được mục tiêu đó đòi hỏi các nước phải có sự kết hợp hài hòa việc phát triển
tất cả các ngành khác nhau. Trong phát triển kinh tế thì toán học là một yếu tố

có ứng dụng quan trọng. Toán học là một trong những ngành học có lịch sử
hình thành lâu đời. Toán học được xem là tiền đề căn bản để xây dựng các
lĩnh vực khoa học khác. Trong thời đại khoa học và công nghệ ngày nay,
Toán học ứng dụng được sử dụng như là một công cụ không thể thay thế để
phân tích, tổng hợp, cải tiến hoặc tìm các giải pháp, phương án quản lý, thiết
kế, điều khiển tốt nhất trong kinh tế, kỹ thuật và công nghệ. Các chuyên gia
toán học ứng dụng là nguồn nhân lực đang nắm giữ những vị trí quan trọng
trong các lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ, chẳng hạn như tài chính,
marketing, công nghệ thông tin, tính toán khoa học.
Toán kinh tế là môn khoa học nhằm vận dụng toán học trong phân tích
các mô hình kinh tế để từ đó hiểu rõ hơn các quy tắc và quy luật kinh tế của
nền kinh tế thị trường. Toán kinh tế cung cấp cho các Nhà quản lý các kiến
thức để họ có thể vận dụng vào việc ra quyết định sản xuất. Toán học đóng
một vai trò rất quan trọng, có thể nói là không thể thiếu trong bộ môn kinh tế.
Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian. Toán học đã giúp kinh tế
tiến triển rất nhiều. Vai trò này được thể hiện qua nhiều khía cạnh, từ giảng
dạy, nghiên cứu đến chính sách kinh tế. Mở bất cứ cuốn sách giáo khoa kinh
tế nào ra, dù là vi mô hay vĩ mô, dù là nhập môn hay cấp cao, người đọc cũng
dễ dàng nhận thấy vai trò quan trọng của toán. Đa số các nhà kinh tế ngày nay
thích dùng toán để diễn đạt các nghiên cứu của mình. Sự ứng dụng của toán
học trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới. Thật ra toán đã đóng vai


TTRần

trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỉ nay mặc dù các thuyết kinh
tế cổ điển đã được phát triển và hệ thống hóa không cần dùng toán. Sự phát
triển của lý thuyết kinh tế học hiện đại dựa vào toán rất nhiều. Điều đó cũng
không đáng ngạc nhiên vì toán có nhiều lợi thế hơn các ngôn ngữ khác. Toán
học được coi như là một phương cách truyền thông ý tưởng, kiến thức ngắn

gọn, chính xác và nghiêm túc; là một ngôn ngữ phổ quát nhất nhờ sự tiêu
chuẩn hóa các kí hiệu toán trên toàn thế giới; là một dụng cụ suy diễn lý luận
rất mạnh (nhờ vào sự phong phú của các định lý toán) và là phương pháp rất
ích lợi trong việc giải quyết các vấn đề quá phức tạp cho các tưởng tượng hay
trực giác. Toán học có vai trò là một phương tiện, không phải là cứu cánh, và
do đó tầm nhìn về sự kiện và ý nghĩa phải nhất thiết đi trước việc phân tích
vấn đề, phẩm chất của một lý thuyết kinh tế hoàn toàn không phụ thuộc vào
chiều sâu hay tính phức tạp của nội dung toán trong lý thuyết đó.
Để thấy rõ vai trò của toán học trong kinh tế, trước hết chúng ta nên tìm
hiểu ý nghĩa của cụm từ “Kinh tế học”. Cụm từ “Kinh tế học” được dùng với
hai ý nghĩa sau: Là một ngành riêng biệt của bộ môn kinh tế trong đó ứng
dụng và phát triển của các kĩ thuật khoa học được dùng làm sáng tỏ các vấn
đề về kinh tế; là một tập hợp các phương pháp diễn giải dùng để trình bày,
phân tích và thông hiểu các hiện tượng về kinh tế. Dù kinh tế học được hiểu
theo nghĩa nào đi nữa ta thấy toán học đóng một vai trò không thể thiếu trong
kinh tế học. Mở bất kì một cuốn sách giáo trình kinh tế nào ra người đọc cũng
dễ dàng nhận thấy vai trò quan trong của toán, nhất là phần “Đạo hàm và vi
phân” trong việc trình bày các khái niệm và giải quyết các bài tập về kinh tế.
Do đó, bằng công cụ đạo hàm và vi phân trong toán học sẽ giúp cho các sinh
viên trong ngành kinh tế có thể áp dụng nhờ đó có thể trình bày được nhiều
vấn đề mà phương pháp diễn giải bằng lời thông thường không có hiệu quả.
Từ lý do trên em chọn đề tài: “Ứng dụng của đạo hàm và vi phân
trong một số bài toán kinh tế” làm nội dung khóa luận tốt nghiệp của mình.


TTRần

2. Mục tiêu khóa luận
+ Giúp cho sinh viên toán tìm hiểu sâu hơn ứng dụng của toán học. Đặc
biệt là ứng dụng của đạo hàm và vi phân.

+ Giúp sinh viên ngành kinh tế giải quyết các bài toán phức tạp mà thông
qua đạo hàm và vi phân có thể giải quyết được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong một số bài toán kinh tế.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong đại số rồi phân
hóa, hệ thống hóa các kiến thức.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực
tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình
thức của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Đạo hàm và vi phân.
+ Phạm vi : Ứng dụng đạo hàm và vi phân trong một số bài toán kinh tế.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận đã hệ thống các khái niệm về đạo hàm và vi phân một cách
cơ bản. Từ đó, nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong việc giải
một số dạng bài tập kinh tế như bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu, bài
toán lực chọn tối ưu trong kinh tế, bài toán định mức thuế doanh thu và một
số bài toán khác.
7. Bố cục của khóa luận
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương 2. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong một số bài toán kinh tế
Chương 3. Bài tập


TTRần

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến
1.1.1. Hàm số
1.1.1.1. Định nghĩa 1.1
Cho X là một tập con của tập số thực ¡ . Một hàm số xác định trên X
là một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x ∈ X với một giá trị duy nhất
f ( x) ∈ ¡ .
Kí hiệu : f : X → ¡
x a y = f ( x)
X được gọi là tập xác định của hàm số f .

{

}

Tập hợp f ( x ) x ∈ X được gọi là tập giá trị của hàm số f .
1.1.1.2. Hợp của các hàm số
Hợp của f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số được kí hiệu là g o f và được
định nghĩa bởi:

( g o f ) ( x) = g ( f ( x) )
Miền xác định của g o f là tập hợp các giá trị x sao cho f ( x ) thuộc
miền giá trị g .
Ví dụ 1.1. Hàm số y = x 2 − 3x + 2 có miền xác định là tập hợp tất cả các số
thực x sao cho:
x 2 − 3x + 2 ≥ 0
Hay x ∈ ( 1,2 ) .
Vậy miền xác định: D = ( −∞,1) ∪ [ 2, + ∞ ) .
1.1.1.3. Hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a, b ) .

TTRần

 Nếu ∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) thì f được gọi là hàm
số tăng trên khoảng ( a, b ) .
 Nếu ∀x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) thì f được gọi là hàm
số giảm trên khoảng ( a, b ) .
1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến
1.1.2.1. Định nghĩa 1.2
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a, b ) có thể trừ ra điểm
x0 ∈ (a, b). Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn là A khi x tiến tới x0 nếu với
xn = x0 ta đều có:
mọi dãy { xn } ⊂ (a, b) \ { x0 } ,lim
n →∞
lim f ( x0 ) = A
n →∞

f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0,0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − A < δ .
Kí hiệu: xlim
→ x0
1.1.2.2. Các phép toán về giới hạn
Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số có giới hạn khi x → x0 .
Khi đó:
i ) lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x)
x → x0

x → x0

x → x0

ii ) lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x)
x → x0

iii ) lim

x → x0

x → x0

x → x0

(

f ( x)
f ( x) xlim
→x
= 0
lim g ( x) ≠ 0
g ( x) lim g ( x) x→ x0

iv) lim [ f ( x) ]

x → x0

g ( x)

x → x0

)

lim g ( x )

x → x0
=  lim f ( x) 
 x→ x0


Một số giới hạn cơ bản:
i ) lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x)
x → x0

x → x0

x → x0

(

f ( x)
f ( x) xlim
→ x0
iii ) lim
=
lim g ( x) ≠ 0
x → x0 g ( x )
lim g ( x) x→ x0
x → x0

iv) lim [ f ( x) ]
x → x0

g ( x)

lim g ( x )

x → x0
=  lim f ( x) 
 x→ x0


)


TTRần

Một số giới hạn đặc biệt:
a) Nếu f ( x ) là một hàm số sơ cấp và x0 thuộc miền xác định của nó thì:
lim f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0

e x = +∞, lim e x = 0
b) xlim
→+∞
x →−∞
c) lim+ ln x = −∞, lim ln x = +∞
x →+∞

x →0

c=c

d) xlim
→ x0

sinx
=1
x →0
x
ex −1
f) lim
=1
x →0
x
x
 1
g) lim 1 + ÷ = e
x →∞
 x
e) lim

Ví dụ 1.2. Tính các giới hạn sau:
e− x
a) lim
x →∞

2

1

b) lim ( 1 + sinx ) x

+ 2 x +1

x→∞

sin5x
x →0
x

c) lim

Giải
Ta có:
− x 2 + 2 x +1
=0
a) lim e
x →∞

sinx

lim

1
1
x →∞
x
b) lim ( 1 + sinx ) = lim ( 1 + sinx ) sinx  = lim ( 1 + sinx ) sinx 

 x→∞

x →∞

x →∞ 

sin5x
 sin5x 
 sin5x 
= lim5.
= 5lim 
c) lim
÷
÷ = 5.1 = 5
x →0
x→0
x →0
x
 5x 
 5x 
1
x

sinx
x

=e

1.1.3. Hàm số một biến liên tục
Định nghĩa 1.3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a, b ) , x0 ∈ (a, b)
Hàm số f ( x ) được gọi là liên tục tại x0 nếu:
lim f ( x) = f ( x0 ) .

x → x0

Trường hợp:
lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0 −


TTRần

f ( x) = f ( x0 ) thì ta nói hàm
thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x0 , xlim
→ x0 +
số liên tục bên phải tại điểm x0 .
f ( x) = lim− f ( x) = f ( x0 ) .
Vậy f liên tục tại x0 ⇔ xlim
→ x0 +
x → x0
Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x0 .
f ( x) hoặc:
Vậy f gián đoạn tại điểm x0 khi không tồn tại xlim
→ x0
lim f ( x) = f ( x0 ) .

x → x0

Định lý 1.1. Cho hàm số f liên tục trên [ a, b ] .
Khi đó:
i) f bị chặn trên đoạn [ a, b ] , nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho:
f ( x) ≤ M ∀x ∈ [ a, b ]
ii) f đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trong [ a, b ] .

Tức là tồn tại c1 , c2 ∈ [ a, b ] sao cho:
sup f ( x ) = f ( c1 ) và inf f ( x ) = f ( c2 ) .
x∈[ a ,b ]

x∈[ a , b ]

iii) Nếu f ( a ) . f ( b ) < 0 thì tồn tại c ∈ [ a, b ] : f (c) = 0 .
iv) ∀λ ∈ [ f ( a), f (b) ] , ∃c ∈ [ a, b ] : f (c ) = λ .
Chứng minh
i) Ta hãy chứng minh định lý bằng phản chứng.
Thật vậy, ta giả sử rằng hàm số không bị chặn. Khi đó với mỗi số tự
nhiên n ta tìm được trên [ a, b ] giá trị x = xn sao cho:
f ( xn ) > n

(1)

Theo bổ đề Bolzanô - Weierstrass từ dãy { xn } có thể trích ra một dãy

{ }

con xnk hội tụ đến một giới hạn hữu hạn: xnk → x0 khi k → +∞ , trong đó:
a ≤ x0 ≤ b .


TTRần

( )

Vì hàm liên tục tại x0 nên f xnk → f ( x0 ) . Nhưng khi đó từ (1) ta suy
ra:

( )

f xnk → +∞ ,
khác f ( x0 ) là một hàm số hữu hạn.
Mâu thuẫn này suy ra định lý được chứng minh.
Ta chú ý rằng định lý không còn đúng đối với những khoảng không đóng.
Ví dụ 1.3. Như hàm

1
liên tục trên khoảng ( 0,1) nhưng trong khoảng này
x

hàm số không bị chặn.
ii) Theo định lý trên, do hàm liên tục nên nó bị chặn. Ta có:
M = sup f ( x ) < +∞
x∈[ a , b ]

Theo định lý supremum ta có một dãy { xn } ⊂ [ a, b ] sao cho:
M = lim f ( xn )
x →∞

{ }

Dãy { xn } bị chặn nên nó chứa một dãy con xnk hội tụ, cụ thể: xnk → c1 khi
k → ∞.
Mặt khác từ các bất đẳng thức:
a ≤ xnk ≤ b
Suy ra:
a ≤ lim xnk ≤ b , tức là: c1 ∈ [ a, b ] .

k →∞

( )

f xnk = f ( c1 ) .
Theo giả thiết hàm f liên tục tại c1 , nên M = lim
k →∞
Hoàn toàn tương tự ∃c2 sao cho: xi∈n[ af,b] f ( x ) = f ( c2 ) .
iii) Không mất tổng quát ta có thể giả thiết f ( a ) < 0 và f ( b ) > 0 .
Đặt
A = { x ∈ [ a, b ] | f ( x ) ≤ 0} .
Vì a ∈ A nên A ≠ φ . Gọi c = sup A .


TTRần

Ta chứng minh:
f ( c) = 0 .
Theo định nghĩa của cận trên đúng tồn tại dãy { tn } n ⊂ A sao cho:
lim tn = c
n →∞

Vì f liên tục tại c nên
f ( c ) = lim f ( tn ) ≤ 0 .
n→∞

Do f ( b ) > 0 nên c ≠ b và do đó c < b .
Nếu f ( c ) < 0 thì do f liên tục tại c,
lim f ( x ) = f ( c ) < 0 .

x →c +

Do đó, tồn tại δ > 0 sao cho:
c + δ < b và f ( x ) < 0 với mọi x ∈ [ c, c + δ ] .
Đặc biệt f ( c + δ ) < 0 .
Vì thế c + δ ∈ A , điều này mâu thuẫn với c là cận trên của A .
Vậy f ( c ) = 0 .
iv) Nếu f ( a ) = f ( b ) định lý hiển nhiên đúng.
Giả sử :
f ( a) ≠ f ( b) .

Không mất tính tổng quát ta có thể xem rằng f ( a ) < f ( b ) .
Giả sử λ là số sao cho:
f ( a) < λ < f ( b) .
Xét hàm:
g ( x) = f ( x) − λ .


TTRần

Ta có
g ( a ) < 0, g ( b ) > 0 .
Theo iii) tồn tại c ∈ ( a, b ) sao cho:
g ( c ) = 0 hay f ( c ) − λ = 0 .
Do đó
f ( c) = λ .
1.1.4. Đạo hàm
1.1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao
Định nghĩa 1.4. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a, b ) , x0 ∈ ( a, b ) .
Cho x0 một số gia ∆x . Đặt

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) .
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆y
thì giới hạn này được
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x

Nếu tồn tại giới hạn lim

gọi là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 .
Kí hiệu:
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x

f '( x0 ) = lim

Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi.
Định nghĩa 1.5. Cho U là một tập mở trong ¡ , f : U → ¡ là một hàm xác
định trên U . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm
của U . Khi đó hàm số f ′ : U → ¡ , x a f ′ ( x ) được gọi là đạo hàm của hàm
số f trên U .
Nếu f ′ liên tục trên U thì ta nói rằng f khả vi liên tục trên U hay f
1
thuộc lớp C ( U ) .

TTRần

Đạo hàm của hàm số y′ được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số
y = f ( x) .
Kí hiệu: y′′ = f ′′ ( x ) .
Tổng quát: Đạo hàm cấp n của hàm số:

(

y = f ( x ) là y ( n ) = y ( n−1)

)

'

Định lý 1.2. Nếu hàm y = f ( x ) khả vi tại x0 ∈U thì f ( x ) liên tục tại x0 .
Chứng minh
Thật vậy, ta có:
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ∆x + ο ( ∆x )
Suy ra:
lim  f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )  = lim f ′ ( x0 ) ∆x + lim ο ( ∆x )
∆x →0
∆x →0

∆x →0

1.1.4.2. Cách tính đạo hàm

( c) ′ = 0

( c _ const )

( x ) ′ = nx
( a ) ′ = a .ln x ( 0 < a ≠ 1)
n −1

n

x

x

1
x

( ln x ) ′ = ( x > 0 )
( sinx ) ′ = cos x
( tgx ) ′ =

1
cos 2 x

( cos x ) ′ = − sinx
( cot gx ) ′ = −

1
sin 2 x

1.1.4.3. Các quy tắc tính đạo hàm
Định lý 1.3. Cho f , g : U → ¡ , trong đó U là một tập mở trong ¡ , còn f , g
là hai hàm khả vi tại x0 ∈U . Khi đó ∀c1 , c2 ∈ ¡ các hàm c1 f + c2 g , f .g ,

( g ≠ 0)

cũng là các hàm khả vi tại điểm x0 và ta có các công thức sau:

f
,
g


TTRần

a) ( c1 f + c2 g ) ′ ( x0 ) = c1 f ′ ( x0 ) + c2 g ′ ( x0 )
b)

(

f .g ) ′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) g ( x0 ) + f ( x0 ) g ′ ( x0 )

f ′ ( x0 ) g ( x0 ) − g ′ ( x0 ) f ( x0 )
 f ′
c)  ÷ ( x0 ) =
, g ( x0 ) ≠ 0
2
g
g
x

(
)
 
0
1.1.4.4. Đạo hàm của hàm số hợp
Định lý 1.4. Cho g : U → V và f : V → ¡ , trong đó U ,V là hai tập mở trong
¡ , hàm u = g ( x ) khả vi tại x0 ∈U và hàm y = f ( u ) khả vi tại u0 = g ( x0 )

thuộc V . Khi đó hàm hợp f ° g khả vi tại x0 và ta có công thức:

(

f° g ) ′ ( x0 ) = f ′ ( g ( x0 ) ) g ′ ( x0 )

Hay gọn hơn
y′x = yu′ .u′x
Chứng minh
Theo công thức:
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ∆x + ο ( ∆x )
Ta có hàm f khả vi tại u0 thì
∆f = f ( u0 + ∆u ) − f ( u0 ) = f u′ ( u0 ) ∆u + ο ( ∆u )
Mặt khác hàm g khả vi tại x0 nên
∆u = g ( x0 + ∆x ) − g ( x0 ) = g ′x ( x0 ) ∆x + ο ( ∆x )
Thế ∆u vào biểu thức ∆f ta được
f ( u0 + ∆u ) − f ( u0 ) = fu′ ( u0 )  g ′x ( x0 ) ∆x + ο ( ∆x )  + ο ( ∆u )

= f u′ ( u0 ) .g ′x ( x0 ) ∆x + f u′ ( u0 ) ο ( ∆x ) + ο ( ∆u )

Chia cả hai vế cho ∆x
f ( u0 + ∆u ) − f ( u0 )

ο ( ∆x ) ο ( ∆u )
= f u′ ( u0 ) .g ′x ( x0 ) + f u′ ( u0 )
+
∆x
∆x
∆x


TTRần

Ta thấy do hàm u liên tục tại x0 nên khi ∆x → 0 thì ∆u → 0 và
f ( u0 ) = f ( g ( x0 ) ) = f ° g ( x0 ) .

f ( u0 + ∆u ) = f ( u ) = f ( g ( x ) ) = f ° g ( x )
Bây giờ ta hãy viết lại biểu thức trên dưới dạng:
f ° g ( x ) − f ° g ( x0 )
ο ( ∆x ) ο ( ∆u ) ∆u
= fu′ ( u0 ) .g ′x ( x0 ) + f u′ ( u0 )
+
.
∆x
∆x
∆u ∆x
Cho ∆x → 0 ta được ( f° g ) ′ ( x0 ) = f u′ ( g ( x0 ) ) .g ′ ( x0 ) . Từ đó công thức được
chứng minh.
Ví dụ 1.4
+) Ta thấy a x = e x ln a∀a > 0 nên ( a x ) ′ = ( e x ln a ) ′ .
Đặt
′
u = x ln a, ( eu ) = e x ln a .ln a = a x ln a

Do đó ta có công thức sau:

( a )′ = a
x

x

ln a, ∀a > 0

+) Ta có:
xα = ea ln x ∀α ∈ ¡ , ∀x > 0
Do đó:

( x )′ = ( e )′ = e
α

α ln x

α ln x

1
1
.α . = xα .α .
x
x

Và ta có công thức:

( x ) ′ = α .x
α

d cos xx−+11
Ví dụ 1.5. Tính I = e
, x ≠ 1.
dx
Đặt u = cos

x −1
x +1

α −1


TTRần
x −1
cos
d u
x − 1 ′

u
x
+
1
I = e = e .u′x = e
. cos
÷
dx
x +1


Lại đặt: v =

x −1
x +1

Ta có:

( cos v ) ′ = − sin v.v′ = − sin

x − 1  x − 1 ′
x −1
2
.

÷ = − sin
x +1 x +1 
x + 1 ( x + 1) 2

Cuối cùng
I = −2e

cos

x −1
x +1

.

 x −1 
.sin 

÷
 x +1 
( x + 1)
1

2

Ví dụ 1.6. Cho f , g : U → ¡ trong đó f ( x ) > 0 , ∀x ∈U và tồn tại f ′ ( x ) ,
g ′ ( x ) với x ∈U .
Khi đó:
g( x)
d 
 = d e g ( x ) ln f ( x )  = e g ( x ) ln f ( x ) d ( g ( x ) .ln f ( x ) )
f
x
(
)
(
)
 dx 

dx 
dx
f ′( x ) 
g( x) 
= ( f ( x ) ) .  g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) .

f ( x) 


1.1.4.5. Đạo hàm các hàm số sơ cấp
Sau đây là bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp:

( x ) ′ = α .x
α

α −1

( u ) ′ = α .u
α

α −1

.u′

( x )′ = 2 1x

( u ) ′ = 2u′u

1
 1 ′
 ÷ =− 2
x
 x

u′
 1 ′
 ÷ =− 2
u
u

( sinx ) ′ = cos x

( sin u ) ′ = u′.cos u


TTRần

( cos x ) ′ = − sinx
( tgx ) ′ =

1
cos 2 x

( cot gx ) ′ = −

( e )′ = e
x

( cos u ) ′ = −u′.sin u
( tgu ) ′ =

1
sin 2 x

( cot gu ) ′ = −

( e ) = u′.e
u

x

( a ) ′ = a .ln a
x

( ln x ) ′ =

u′
cos 2 u
u′
sin 2 u

u

x

( a ) ′ = u′.a .ln a

1
x

( ln u ) ′ =

( log a x ) ′ =

u

1
x.ln a

u

u′
u

( log a u ) ′ =

u′
u.ln a

1.1.5. Vi phân của hàm một biến
1.1.5.1. Định nghĩa 1.6
Cho hàm y = f ( x ) xác định trên tập hợp mở U ⊂ ¡ và x0 ∈U . Cho
x0 một số gia ∆x ≠ 0 đủ nhỏ sao cho x0 + ∆x ∈U .
Giả sử f ( x ) khả vi tại x0 ∈U .
Khi đó:
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ∆x + ο ( ∆x ) .
Ta gọi biểu thức f ′ ( x0 ) ∆x là vi phân của hàm số tại điểm x0 ứng với
số gia ∆x của đối số và kí hiệu là:
df ( x0 , ∆x ) = f ′ ( x0 ) ∆x .
Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi f ′ ( x ) = 1 .
Do đó:
dx = 1.∆x = ∆x ,
Vì thế trong biểu thức:
df ( x0 , ∆x ) = f ′ ( x0 ) ∆x ,


TTRần

Ta có thể viết dx thay cho ∆x và dx gọi là vi phân của biến số độc lập.

Từ đây, ta có thể xác định vi phân của hàm f tại x ∈U theo công thức:
Df = f ′ ( x ) ∆x
hay
dy = y′ ( x ) dx
Hệ thức này giả thích lý do ta kí hiệu đạo hàm của hàm y = f ( x ) là
y′ ( x ) =

dy
.
dx

1.1.5.2. Các quy tắc tính vi phân
Từ các quy tắc tính đạo hàm, ta dễ dàng suy ra các quy tắc tương ứng
cho vi phân.
i ) d ( c1 f + c2 f ) = c1df + c2dg
ii ) d ( f .g ) = gdf + fdg
 f  gdf − fdg
iii ) d  ÷ =
,( g ≠ 0)
2
g
g
 
1.1.5.3. Vi phân của hàm số hợp
Giả sử các hàm y = f ( x ) và x = g ( t ) sao cho đối với chúng có thể thiết
lập hàm hợp y = f ( g ( t ) ) . Nếu tồn tại các đạo hàm y′x và xt′ thì theo quy tắc
đạo hàm hàm hợp sẽ tồn tại đạo hàm:
yt′ = y′x .xt′ .
Nếu xem x là độc lập thì vi phân dy được biểu thị bởi công thức
dy = y′ ( x ) dx . Bây giờ ta xem x là hàm của biến t .

Ta có:
dy = yt′dt
Tuy nhiên nếu thay đạo hàm yt′ bởi biểu thức yt′ = y′x .xt′ và chú ý rằng
dx = xt′.dt , thì cuối cùng ta được:


TTRần

dy = y′x xt′dt = y′x dx
hay
dy = y′ ( x ) dx ,
tức là quay lại dạng ban đầu của vi phân.
Như vậy, ta luôn luôn có quyền vi phân của y dưới dạng dy = y′ ( x ) dx
dù x có phải là biến độc lập hay không. Điều khác nhau chỉ là ở chỗ, nếu
chọn t là biến độc lập thì dx không phải là số gia tùy ý mà là vi phân của x
xem là hàm của t . Tính chất đó gọi là tính chất biến dạng của vi phân.
ex + 1
Ví dụ 1.7. Cho hàm số y = ln x
, hãy tính dy .
e −1
Ta thấy:
y′ =

Ví dụ 1.8. Tính

′
ex −1  ex + 1 
−2e x
2e x
⇒ dy = − 2 x dx .


÷=
e x + 1  e x − 1  e2 x − 1
e −1

d ( sinx )
.
d ( cos x )

Ta có:
d ( sinx )
cos xdx
=−
= − cot dx với x ≠ kπ , k ∈ ¡ a .
d ( cos x )
sin xdx
1.1.5.4. Ứng dụng của vi phân
Cho hàm y = f ( x ) xác định trên tập mở U ∈ ¡ và x0 ∈U . Giả sử f
khả vi tại x0 ∈U . Cho x0 một số gia h sao cho x0 + h ∈U , khi đó:
∆f ( x0 , h ) = f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) h + ο ( h ) .
Nếu h đủ lớn thì ο ( h ) nhỏ tùy ý và ta có xấp xỉ
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ≈ f ′ ( x0 ) h
hay
f ( x0 + h ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) h .


TTRần

Ví dụ 1.9. Tính gần đúng arctg1,05.
Theo công thức f ( x0 + h ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) h , ta có:

arcsin1,05 ≈ arctg1 +

1
1 + x2

.1,05 ≈ 0,81.
x =1

1.1.6. Các định lý cơ bản của hàm khả vi
1.1.6.1. Cực trị địa phương
Cho hàm f ( x ) xác định trên khoảng ( a, b ) . Ta nói rằng hàm f ( x )
đạt cực đại địa phương tại điểm c ∈ ( a, b ) nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho:
f ( x) ≤ f ( c)

∀x ∈ ( c − δ , c + δ ) .

Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại c ∈ ( a, b ) nếu:
f ( x) ≥ f ( c)

∀x ∈ ( c − δ , c + δ )

Điểm mà tại đó hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương gọi chung là điểm
cực trị.
1.1.6.2. Định lý Ferma
Cho f : ( a, b ) → ¡ , nếu hàm đạt cực trị tại c ∈ ( a, b ) và nếu f ( x ) khả
vi tại c thì:
f ′( c ) = 0
Chứng minh
Giả sử hàm đạt cực đại tại c (trường hợp đạt cực tiểu tại c chứng minh
tương tự).

Do hàm đạt cực đại tại c nên ∀h đủ nhỏ ta có:
f ( c + h ) − f ( c ) ≤ 0 ∀h
Suy ra
f ( c + h) − f ( c)
≤ 0 ∀h > 0
h
f ( c + h) − f ( c)
≥ 0 ∀h < 0
h


TTRần

Cho nên
f +′ ( x ) = lim+
h →0

f ( c + h) − f ( c)
f ( c + h) − f ( c)
≤ 0 và f −′ ( x ) = lim+
≥0
h →0
h
h

Mặt khác vì f có đạo hàm tại điểm c nên f ′ ( c ) = f +′ ( c ) = f −′ ( c )
Do đó:
f ′( c ) = 0

Hình 1

Chú ý rằng sự triệt tiêu của đạo hàm f ′ ( c ) về phương diện hình học có
ý nghĩa là tiếp tuyến tại điểm tương ứng của đường cong song song với trục
Ox .
1.1.6.3. Định lý Rolle
Cho hàm f : [ a, b ] → ¡ có tính chất sau:
i) f ( x ) liên tục trên [ a, b ]
ii) f ( x ) khả vi trên ( a, b )
iii) f ( a ) = f ( b )
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho:
f ′( c ) = 0 .


TTRần

Chứng minh
Do f ( x ) liên tục trên đoạn [ a, b ] nên theo định lý Weierstrass thứ hai
hàm f ( x ) sẽ đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [ a, b ] :
M = max f ( x ) , m = min f ( x ) .
x∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
Ta sẽ xét hai khả năng có thể xảy ra:
+) M = m.
Khi đó từ bất đẳng thức:
m ≤ f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [ a, b ] suy ra f ( x ) = m, ∀x ∈ [ a, b ]
Vì vậy:
f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ [ a, b ] .
Do đó điểm c là lấy điểm bất kì thuộc khoảng ( a, b ) .
+) m < M .
Do f ( a ) = f ( b ) , hàm f ( x ) không thể đạt cả hai giá trị m, M tại hai
đầu mút của khoảng, có nghĩa là ít nhất một trong hai giá trị đó đạt tại một

điểm c ∈ ( a, b ) .
Khi đó, theo định lý Fermat:
f ′( c ) = 0 .
Định lý đã được chứng minh.
Chú ý rằng giả thiết f ( x ) liên tục trên đoạn [ a, b ] là một giả thiết
không thể bỏ qua được.
Ví dụ 1.10. Xét hàm số:
 x, 0 < x ≤ 1
f ( x) = 
1, x = 0


TTRần

Cho dù f ( 0 ) = f ( 1) , nhưng hàm số không liên tục trên [ 0,1] , nên
không thể áp dụng định lý Rolle được (đạo hàm không nơi nào bằng 0 trên

( 0,1) ).
Giả thiết hàm f ( x ) khả vi trong khoảng ( a, b ) cũng là một giả thiết
không thể bỏ qua được.
Ví dụ 1.11. Xét hàm số:
1

 x, 0 ≤ x ≤ 2
f ( x) = 
1 − x, 1 < x ≤ 1

2
Hàm số này liên tục trên đoạn [ 0,1] , f ( 0 ) = f ( 1) , nhưng không có đạo
hàm tại x =

1
, do đó cũng không áp dụng định lý Rolle được.
2

Ví dụ 1.12. Hàm số f ( x ) = 1 − 3 x 2 triệt tiêu khi x1 = −1, x2 = 1 nhưng
f ′ ( x ) ≠ 0 với x ≤ 1 .
Điều này không mâu thuẫn với định lý Rolle.
1.1.6.4. Định lý về số gia hữu hạn (Định lý Lagrange)
Giả sử f : [ a, b ] → ¡ có các tính chất sau:
i) f liên tục trên [ a, b ]
ii) f khả vi trên ( a, b )
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho:
f ( b) − f ( a )
= f ′( c ) .
b−a
Chứng minh
Ta hãy xét hàm bổ trợ sau:
F ( x) = f ( x) − f ( a) −

f ( b) − f ( a )
( x − a) .
b−a


TTRần

Hiển nhiên F ( x ) liên tục trên [ a, b ] vì nó là hiệu của hàm liên tục
f ( x ) và hàm tuyến tính.
Trong khoảng ( a, b ) hàm đó có đạo hàm hữu hạn bằng:

F ′( x ) = f ′( x ) −

f ( b) − f ( a )
.
b−a

y
f ( b)

B
C

f ( a)

A

a

O

c

b

x

Hình 2
Cuối cùng ta thấy:
F ( a) = F ( b) = 0 .
Theo định lý Rolle tồn tại một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho F ′ ( c ) = 0 . Như vậy:

f ′( c ) −

f ( b) − f ( a)
=0
b−a

Do đó:
f ′( c ) =
Ý nghĩa hình học: Tỷ số

f ( b) − f ( a)
b−a

f ( b) − f ( a )
là hệ số góc của cát tuyến AB,
b−a

còn f ′ ( c ) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f ( x ) tại điểm
C ( c, f ( c ) ) .


TTRần

Theo định lý Lagrange trên cung AB tìm được ít nhất một điểm c, mà
tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB. Trường hợp f ( a ) = f ( b ) ta có
định lý Rolle.
Chú ý 1: Bởi vì c ∈ ( a, b ) , nên ta có thể viết
c = a +θ ( b − a) , 0 < θ < 1.
Khi đó công thức Lagrange có thể viết dưới dạng
f ( b ) − f ( a ) = f  a + θ ( b − a )  ( b − a ) , 0 < θ < 1 .

Chú ý 2: Nếu đặt a = x, b = x + ∆x thì ta nhận được
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = f ( x + θ∆x ) ∆x trong đó 0 < θ < 1.
1.1.6.5. Định lý Cauchy
Giả thiết:
i) Các hàm f ( x ) và g ( x ) xác định và liên tục trên [ a, b ]
ii) f ( x ) và g ( x ) khả vi trên ( a, b )
iii) g ′ ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b ) .
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho:
f ( b) − f ( a ) f ′( c )
=
.
g ( b) − g ( a ) g′( c )
Rõ ràng rằng định lý Lagrange là trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy: Để
được công thức số gia hữu hạn thì công thức Cauchy:
f ( b ) − f ( a ) = f  a + θ ( b − a )  ( b − a ) , 0 < θ < 1 ta đặt g ( x ) = x .
Chứng minh
Trước hết ta để ý rằng theo định lý Lagrange ta có thể tìm được một số
c1 ∈ ( a, b ) sao cho:
g ( b ) − g ( a ) = g ′ ( c1 ) ( b − a )
Theo giả thiết
g ′ ( c1 ) ≠ 0 ,