ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp

Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
TÓM TẮT KHÓA LUẬN
"Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Khóa luận chia làm ba phần chính:
I. PHẦN MỞ ĐẦU(4 TRANG).
II. PHẦN NỘI DUNG(58 TRANG).
III. PHẦN KẾT LUẬN(1 TRANG).
Phần nội dung của khóa luận được chia làm 3 chương:
Chương I: Kiến thức liên quan.
1.1 Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng.
1.2 Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong Oxy.
1.3 Phép toán vectơ trong mặt phẳng.
1.4 Các công thức trong mặt phẳng.
1.5 Khái niệm hệ tọa độ trong không gian.
1.6 Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong Oxyz.
1.7 Các phép toán vectơ trong không gian.
Chương II: Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ.
2.1 Các bài toán hình học chứng minh, tính toán.
2.2 Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm cố định.
2.3 Bài toán quỹ tích.
2.4 Bài toán dựng hình.
2.5 Bài toán giải phương trình, hệ phương trình.
2.6 Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình.
2.7 Bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2.8 Bài toán cực trị.
Chương III: Một số bài tập vận dụng.
Ngoài ra khóa luận còn có:
PHẦN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 1 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp

Phần I: MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định những kiến thức về vectơ, tọa độ của môn
hình học giải tích là cần thiết và có hiệu quả trong khi giải một số dạng bài toán sơ cấp.
Chính vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết.
Hình học giải tích đươc sáng lập ra do hai nhà bác học người Pháp: Descartes (1596 −
1650) và Ferma(1601 −1655). Cốt lõi của phương pháp này là xác lập một sự tương ứng
giữa các cặp số thực có thứ tự với các vectơ, các điểm trong mặt phẳng hay không gian; nhờ
đó, chúng ta có thể sắp xếp một sự tương ứng giữa các dữ kiện cố định của bài toán giúp cho
việc giải một bài toán hình học được chuyển sang tính toán một cách định lượng.
Gần đây, trong nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán
học có nhiều bài toán không liên quan đến hình học nhưng dược giải bằng phương pháp tọa
độ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Hay đó là các
bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị.
Với các lí do đó đã gợi cho em đề xuất đề tài "Ứng dụng của phương pháp tọa độ vào
giải một số bài toán sơ cấp".
Qua việc nghiên cứu nội dung này, em đã có điều kiện củng cố lại kiến thức đã học, bổ
sung thêm nhiều điều bổ ích.
II. Mục đích nghiên cứu
Với các lý do như ở trên em đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau:
- Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ.
- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, để từ đó thấy dược tầm quan trọng và tính thiết
thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán.
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài toán sử dụng phương
pháp tọa độ để giải.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp tọa độ để rút ra một số
dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng của phương pháp tọa độ.

V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng của
phương pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và các bạn bè,
anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học,
kết hợp với đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và
các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 2 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Phần II: NỘI DUNG
Phần này, em tập trung nhắc lại những kiến thức liên quan trong hệ tọa độ phẳng và hệ
tọa độ không gian: khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm, của một vectơ, phép toán vectơ
(các phép cộng, trừ, tích của các vectơ), các công thức ( công thức trung điểm, trọng tâm,
điểm chia đoạn thẳng, công thức tính góc,khoảng cách), các công thức liên quan về phương
trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng,phương trình đường tròn và xét vị trí tương đối.
Ngoài ra đề cập đến một số ứng dụng về phép toán vectơ có sử dụng trong khóa luận. Trong
bản tóm tắt này, em chỉ xin trình bày một số kiến thức sử dụng nhiều trong khóa luận:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 3 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Chương 1
Kiến thức liên quan
A. HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG
1.3 Phép toán vec tơ
Trong mục này, ta cần chú ý hai phép toán sau:
a//

b⇔a = k


b hay

a
1
a
2
b
1
b
2

= 0 a ⊥

b⇔ a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0
1.4 Các công thức
Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy
Đường thẳng d đi qua M(x
0
,y
0
) nhận u(a,b) làm vectơ chỉ phương sẽ có phương trình
tham số là:


x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
,t ∈ R
và có phương trìh chính tắc là:
x −x
0
a
=
y −y
0
b
.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
) là:
x −x
A
x
B

−x
A
=
y −y
A
y
B
−y
A
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng:
Ax +By +C = 0, A
2
+ B
2
= 0
Đường thẳng d đi qua M(x
0
,y
0
) và có hệ số góc k cho trước là:
y = k(x −x
0
) +y
0
Phương trình đường thẳng đi qua A(a,0),B(0,b) có phương trình:
x
a
+
y
b

= 1 ( còn gọi là phương trình đoạn chắn).
Cho đường thẳng d có phương trình dạng: Ax + By +C = 0 hoặc y = kx +m .
+ Đường thẳng song song với d có phương trình dạng: Ax+By+M = 0 hoặc y = kx +m.
+ Đường thẳng vuông góc với d có phương trình dạng: Bx−Ay+N = 0 hoặc y = −
1
k
x+n
4
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R > 0 có phương trình:
(x −a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
hay x
2
+ y
2
−2ax −2by + c = 0
với c = a
2
+ b
2
−R
2
.
Phương tích của một điểm đối với đường tròn:

Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
−2ax −2by + c = 0 .
Phương tích của điểm M(x
0
,y
0
) đối với (C):
P
M/(C)
= x
2
0
+ y
2
0
−2ax
0
−2by
0
+ c
Trục đẳng phương của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
):
Cho hai đường tròn có phương trình:
(C

1
) : x
2
+ y
2
−2a
1
x −2b
1
y +c
1
= 0 và (C
2
) : x
2
+ y
2
−2a
2
x −2b
2
y +c
2
= 0.
Phương trình trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) có được bằng cách trừ hai phương trình
của hai đường tròn vế theo vế:

2(a
1
−a
2
)x +2(b
1
−b
2
)y +R
2
1
−R
2
1
= 0.
B. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.7 Các phép toán vectơ
Các phép tính
Ta cần chú ý đến công thức tích của vectơ mà có ứng dụng rất nhiều:
Công thức tính tích của hai vectơ:
+ Tích vô hướng: a.

b = a
1
b
1
+ a
2
b
2

+ a
3
b
3
.
Đặc biệt, nếu a⊥

b ⇔a.

b = 0.
+Tích vectơ( hay tích có hướng)
c = a ∧

b =






a
2
a
3
b
2
b
3






;





a
3
a
1
b
3
b
1





;





a
1

a
2
b
1
b
2






.
Các tính chất a ∧

b = −(

b ∧a).
a và

b cùng phương ⇔a ∧

b =

0.
(a ∧

b) ⊥a và (a ∧

b) ⊥


b.
|a ∧

b |=|a |. |

b | .sin(a,

b).
Ba vectơ a,

b,c đồng phẳng ⇔ (a∧

b).c = 0.
Ứng dụng của các phép toán và các công thức liên quan
Ứng dụng của tích vectơ
Gọi S
ABCD
là diện tích hình bình hành ABCD, ta có: S
ABCD
=|

AB ∧

AD |.
Gọi S
ABC
là diện tích tam giác ABC, ta có: S
ABC
=

1
2
|

AB ∧

AC |.
Gọi V ABCD.A

B

C

D

là thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 5 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
V
ABCD.A

B

C

D

=| (


AB ∧

AD).

AA

|.
Gọi V
ABCD
là thể tích hình tứ diện ABCD ta có:
V
ABCD
=
1
6
| (

AB ∧

AD).

AA

|.
Công thức phương trình mặt phẳng
Măt phẳng (P) đi qua M(x
0
,y
0
,z

0
) có vectơ pháp tuyến n(A,B,C) có phưng trình là:
A(x −x
0
) +B(y −y
0
) +C(z −z
0
) = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: Ax + By +Cz +D = 0 (A
2
+ B
2
+C
2
> 0).
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
với abc = 0 thì (P) có phương trình theo đoạn chắn là:
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M(x
0

,y
0
,z
0
) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0 được tính
bởi công thức:
d(M,α) =
| Ax
0
+ By
0
+Cz
0
+ D |
√
A
2
+ B
2
+C
2
Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình tổng quát
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng:
A
1
x +B
1
y +C
1

z +D
1
= 0
A
2
x +B
2
y +C
2
z +D
2
= 0
trong đó: A
2
1
+ B
2
1
+C
2
1
= 0; A
2
2
+ B
2
2
+C
2
2

= 0 và (A
1
,B
1
,C
1
) = k(A
2
,B
2
,C
2
)
Giao tuyến ∆ của α và β có phương trình tổng quát là:
(1)

A
1
x +B
1
y +C
1
z +D
1
= 0
A
2
x +B
2
y +C

2
z +D
2
= 0
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 6 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Chương 2
Một số dạng bài toán giải bằng phương
pháp tọa độ
2.1 Các bài toán hình học chứng minh, tính toán
2.1.1 Phương pháp giải
Đối với bài toán hình học muốn giải được bằng phương pháp tọa độ hóa các bước giải
cần tuân thủ theo các bước sau:
B
1
. Chọn hệ tọa độ thích hợp
Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng vuông góc
với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Trong không gian, thông thường chọ hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz là tam diện
vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông. Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
thích hợp.
B
2
.Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn. Tìm phương trình
đường, mặt, các đường và các mặt đã cho.
B
3
. Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải.
2.1.2 Các ví dụ
Ví dụ 2 (TSĐH- Khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = a
√
2,SA = a
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC,
I là giao điểm BM và AC. Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
7
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (O ≡ A).
Gọi E là giao điểm của AC và và BD. Ta có:
A(0; 0; 0),B(a; 0; 0),C(a; a
√
2; 0),D(0; a
√
2; 0),S(0; 0; a),
N(
a
2
;
a
√
2
2
;
a
2
),E(
a
2

;
a
√
2
2
; 0),M(0;
a
√
2
2
; 0) và I(
a
3
;
a
√
2
2
; 0), vì I là trọng tâm của ∆ABD.
*) Chứng minh: (SBM) ⊥SAC).
Ta có
−→
BM = (−a;
a
√
2
2
; 0),
−→
AC = (a; a

√
2; 0)
⇒
−→
BM.
−→
AC = 0 ⇒BM ⊥ AC.
Mặt khác: SA ⊥(ABCD) nên BM ⊥ SA.
Từ đây suy ra BM ⊥ (SAC)
⇒ (SBM) ⊥ (SAC) (đpcm).
*) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Ta có
−→
AB = (a;0;0),
−→
AI = (
a
3
;
a
√
2
2
; 0) và
−→
AN = (
a
2
;
a

√
2
2
;
a
2
)
⇒

−→
AB,
−→
AN

= (0; −
a
2
2
;
a
2
√
2
2
).
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là: V =
1
6





−→
AB,
−→
AN

.
−→
AI



=
a
3
√
2
36
(đvtt).
2.2 Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm cố định
2.2.1 Phương pháp
Điểm M(x
0
,y
0
) được gọi là điểm cố định của họ đồ thị đã cho nếu mọi đồ thị của họ đó
ứng với mọi giá trị m ∈T đều đi qua M.
Trong đó giả sử y = f (m,x),m ∈ T là tham số.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 8 SVTH: Bùi Thị Mãnh

Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
2.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 3
Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chử nhật có chu vi không đổi, A, C là hai điểm thuộc
Ox, Oy. Chứng minh rằng đường d vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi
qua một điểm cố định.
Hướng dẫn
- Bài toán này có dáng dấp của một bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất thuận tiện
khi ta đại số hóa bằng phương pháp tọa độ.
- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục tọa độ là Oxy trùng với góc Oxy.
Lời giải:
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ).
- Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a; 0),B(a;c),C(0; c).
Đặt a +c = b = const ( vì chu vi OABC không đổi).
Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:
x
a
+
y
c
= 1 ⇔y =
−c
a
x +c.
Phương trình đường thẳng d qua B(a; c) và vuông góc với AC có dạng:
y −c =
a
c
(x −a) ⇔y =

a
c
x +c −
a
2
c
⇒ y =
a
c
x +b(1 −
a
c
) do a +c = b
Giả sử d đi qua điểm cố định M(x
0
; y
0
).
Khi đó: y
0
=
a
c
x
0
+ b(1 −
a
c
),∀
a

c
⇔
a
c
(x
0
−b) −(y
0
−b) = 0, ∀
a
c
⇒

x
0
−b = 0
y
0
−b = 0
⇔

x
0
= b
y
0
= b
Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua điểm cố định M(b; b). (đpcm)
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 9 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50

Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
2.3 Bài toán quỹ tích
2.3.1 Phương pháp giải
B
1
Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết.
B
2
Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích của nó.
2.3.2 Các ví dụ
Ví dụ 5
Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA = 2MB.
Lời giải:
Cho hệ trục tọa độ vuông góc Oxy sao cho: O ≡ A và

i ≡
−→
AB. Trục Ox chứa A, B, trục
Oy vuông góc với AB tại A. Ta có: A(0; 0),B(1; 0). Theo giả thiết MA = 2MB, ta có:

x
2
+ y
2
= 2

(1 −x)
2
+ y

2
⇒ x
2
+ y
2
= 4[(1 −2x + x
2
) +y
2
]
⇔ (3x
2
−8x +4) + 3y
2
= 0 ⇔

x −
4
3
)
2

+ y
2
=

2
3

2

⇒ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm H(
4
3
; 0), bán kính R =
2
3
, điểm H thỏa mãn: nằm
trên đường thẳng AB, cùng phía với hai điểm A, B.
2.4 Bài toán dựng hình
2.4.1 Phương pháp giải
B
1
. Ta chọn hệ tọa độ thích hợp.
B
2
. Dùng các số đại số để xác định vị tríc và kích thước của các hình.
B
3
. Dựa vào đó ta dựng hình và biện luận các trường hợp có thể xảy ra.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 10 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
2.4.2 Các ví dụ
Ví dụ 7
Dựng 1 hình chữ nhật có chu vi 2p cho trước nội tiếp trong một vòng tròn có bán kính R
cho trước.
Lời giải:
+ Cách dựng:
Chọn hệ tọa độ như sau:
Gốc tọa độ trùng với tâm của đường tròn. Trục hoành, trục tung lần lượt là hai đường

kính vuông góc của đường tròn.
Giả sử hình chữ nhật cần dựng có các cạnh có độ dài lần lượt là: a, b thỏa mãn: a+b =
p(a > b > 0).
Ta sẽ có:





a
2
+ b
2
= 4R
2
a +b = p
a > b > 0
⇒







a =
p +

8R
2

−p
2
2
b =
p −

8R
2
−p
2
2
- Ta dựng điểm B(
a
2
;
b
2
).
- Lấy điểm A đối xứng với B qua Oy.
- Dựng D đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với B qua Ox.
⇒ ABCD là hình chữ nhật cần dựng.
+ Chứng minh: Theo cách dựng ta có điều phải chứng minh.
+ Biện luận: bài toán có nghiệm hình khi p >

8R
2
−p
2
hay p > 2R.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 11 SVTH: Bùi Thị Mãnh

Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
2.5 Bài toán giải phương trình, hệ phương trình
2.5.1 Phương pháp giải
- Sử dụng bất đẳng thức vectơ:
|u +v | |u | + |v |, dấu ” = ” xảy ra ⇔u = kv (k > 0)
|u −v | |u | −|v |, dấu ” = ” xảy ra ⇔u = kv (k > 0)
- Với mỗi phương trình, hệ phương tr ình đều cho ta mỗi phương trình là phương rình
của 1 đường vì vậy tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình là tìm giao điểm của hai
đường, hoành độ và tung độ của giao điểm là nghiệm của phương trình.
2.5.2 Các ví dụ
Ví dụ 8
Giải phương trình:
√
x
2
+ 2x +10 +
√
x
2
−6x +13 =
√
41 (∗)
Lời giải:
(∗) ⇒

(x +1)
2
+ 9 +


(3 −x)
2
+ 4 =
√
41
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có tọa độ:
u = (x + 1; 3) ⇒ |u |=

(x +1)
2
+ 9;
v = (3 −x; 2) ⇒ |v |=

(3 −x)
2
+ 4;
u +v = (4; 5) ⇒ |u +v |=
√
41
|u +v |= |u | + |v |, dấu ” = ” xảy ra ⇔u = kv (k > 0)
Nên
x +1
3 −x
=
3
2
⇔ 2x + 2 = 9 −3x ⇔x =
7
5
Vậy nghiệm của phương trình là x =

7
5
.
Ví dụ 9
Tìm m để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất

x
2
+ y
2
−x −6y + 8 = 0 (1)
x
2
+ y
2
−2mx −1 = 0 (2)
Lời giải:
Phương trình (1) là phương trình đường tròn có tâm I
1

1
2
; 3

,R
1
=

5
4

.
Phương trình (2) là phương trình đường tròn (C) có tâm I
2
(m; 0),R
2
=
√
m
2
+ 1.
Để hệ có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (C
1
) tiếp xúc với (C
2
).
a. Trường hợp 1 : (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 12 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Ta có I
1
I
2
=



m −
1
2

2
+ 3
2
,R
1
+ R
2
=
√
5
2
+
√
1 +m
2
Để (C
1
) tiếp xúc ngoài (C
2
) ⇔ I
1
I
2
= R
1
+ R

2
⇔


m −
1
2

2
+ 9 =
√
5
2
+
√
1 +m
2
⇔ m
2
−m +
37
4
=
5
4
+ m
2
+ 1 +

5(m

2
+ 1)
⇔

5(m
2
+ 1) = 7 −m ⇔ 5(m
2
+ 1) = 49 −14m +m
2
(m  −7)
⇔ 2m
2
+ 7m −22 = 0 ⇒


m = 2
m = −
11
2
( tmđk m  7)
Vậy có hai giá trị m = 2,m = −
11
2
để hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài nhau.
Trường hợp b. (C
1
),(C
2
) tiếp xúc trong

Hai đường tròn tiếp xúc trong tức là: I
1
I
2
=| R
1
−R
2
|
hay:


m −
1
2

2
+ 3
2
=





√
5
2
+
√

1 +m
2





⇔ 2m
2
+ 7m −22 = 0 ⇒


m = 2
m = −
11
2
Vậy có hai giá trị của m để hệ đã cho cho có nghiệm duy nhất.
2.6 Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình
2.6.1 Phương pháp giải
* Sử dụng bất đẳng thức vectơ:
uv  |u ||v |; |u +v | |u | + |v |
|u −v | |u | −|v |; |u +v +w | |u | + |v |+ |w |
ax +by + c < 0:
+ Với b > 0 ⇒ y  −
ax
b
−
c
b
.

+ Với b < 0 ⇒ y  −
ax
b
−
c
b
.
x
2
+ y
2
+ 2ax +2by + c  0. Với điều kiện a
2
+ b
2
−c  0 là tập hợp M(x; y) thuộc
hình tròn (x −a)
2
+ (y −b)
2
= a
2
+ b
2
−c.
* Sử dụng sự tương giao giữa các đường, các mặt trong mặt phẳng để tìm nghiệm của hệ
bất phương trình.
2.6.2 Các ví dụ
Ví dụ 12
Giải bất phương trình:

√
x
2
+ x + 1 −
√
x
2
−x + 1  1. (*)
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 13 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Lời giải:
Tập xác định: D ≡ R
(∗) ⇔





x +
1
2

2
+

√
3
2


2
−





x −
1
2

2
+

√
3
2

2
≥ 1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
u =

x +
1
2
;
√
3
2


⇒ |u |=





x +
1
2

2
+

√
3
2

2
.
v =

x −
1
2
;
√
3
2


⇒ |v |=





x −
1
2

2
+

√
3
2

2
.
u −v = (1; 0) ⇒ |u −v |= 1.
Khi đó:
|u −v | |u | −|v | ⇔
√
x
2
+ x + 1 −
√
x
2
−x + 1 ≥ 1 đúng ∀x ∈ R.

2.7 Bài toán chứng minh bất đẳng thức
2.7.1 Phương pháp giải
* Sử dụng các công thức:
uv  |u ||v |; |u+v | |u |+ |v |
|u −v | |u | −|v |;|u +v +w | |u | + |v |+ |w |
* Chú ý cần chọn các vectơu,v; so sánh |u ||v | với tích vô hướng của hai vectơu,v.
2.7.2 Các ví dụ
Ví dụ 14
Chứng minh:
1.x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2


x
2
1
+ y
2
1
+ z

2
1
.

x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
2.(x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
)
2
 (x
2
1

+ y
2
1
+ z
2
1
).(x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
)
( Bất đẳng thức Bunhiacôpxky).
Lời giải:
Trong không gian chọn:
u = (x
1
; y
1
; z
1
)
v = (x
2
; y
2

; z
2
)
|u |=

x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
|v |=

x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 14 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
uv  |u ||v | ⇒x
1

x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2


x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
.

x
2
2
+ y
2
2
+ z

2
2
uv  |u ||v | ⇔(u.v)
2
 |u |
2
|v |
2
⇔ (x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
)
2
 (x
2
1
+ y
2
1
+ z
2

1
).(x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
)
Ví dụ 16
Chứng minh rằng ∀x,y ∈ R ta luôn có:

x
2
+ 10x +4y
2
+ 28y +74 −

x
2
−6x +4y
2
+ 4y +10  10.
Lời giải:
Từ phương trình đã cho ta biến đổi vế trái, ta được:

x
2

+ 10x +4y
2
+ 28y +74 =

(x +5)
2
+ (2y +7)
2

x
2
−6x +4y
2
+ 4y +10 =

(x −3)
2
+ (2y +1)
2
Trong mặt phẳng tọa độ chọn 2 véctơ có tọa độ:
u = (x + 5; 2y +7) ⇒ |u |=

(x +5)
2
+ (2y +7)
2
v = (x −3; 2y +1) ⇒

(x −3)
2

+ (2y +1)
2
u −v = (8,6) ⇒ |u −v |= 10
Theo tính chất: |u −v | |u | −|v |
⇔

x
2
+ 10x +4y
2
+ 28y +74 −

x
2
−6x +4y
2
+ 4y +10  10( đpcm)
2.8 Bài toán cực trị
2.8.1 Phương pháp giải
* Sử dụng các bất đẳng thức vectơ:
uv  |u ||v |; |u+v | |u |+ |v |
|u −v | |u | −|v |;|u +v +w | |u |+ |v |+ |w |
* Chọn hệ tọa độ, các vectơ thích hợp.
* Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng tìm cực trị.
* Lựa chọn phương pháp tìm cực trị: phương pháp tam thức bậc hai, sử dụng bất đẳng
thức hoặc sử dụng đạo hàm.
2.8.2 Các ví dụ
Ví dụ 18
Cho ba số dương x, y, z và x +y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =


x
2
+
1
x
2
+

y
2
+
1
y
2
+

z
2
+
1
z
2
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 15 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
Lời giải:
Ta vận dụng kiến thức:
|u |+ |v |≥ |u +v |
|u |+ |v | + |w |≥|u +v | + |w |≥|u +v +w |

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
u =

x,
1
x

⇒ |u |=

x
2
+
1
x
2
;
v =

y,
1
y

⇒ |v |=

y
2
+
1
y
2

;
w =

z,
1
z

⇒ | w |=

z
2
+
1
z
2
u +v +w =

x +y + z,
1
x
+
1
y
+
1
z

⇒

x

2
+
1
x
2
+

y
2
+
1
y
2
+

z
2
+
1
z
2
≥

(x +y +z)
2
+

1
x
+

1
y
+
1
z

2
.
Ta có:
(x +y +z)
2
+

1
x
+
1
y
+
1
z

2
= 81(x + y + z)
2
−80(x +y + z)
2
+

1

x
+
1
y
+
1
z

2
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
81(x +y +z)
2
+

1
x
+
1
y
+
1
z

2
≥ 2.9(x + y + z)

1
x
+

1
y
+
1
z

≥ 2.9.9
Vì: (x +y + z)

1
x
+
1
y
+
1
z

≥ 9
Nên kết hợp giả thiết x +y +z = 1 ta có:

(x +y +z)
2
+

1
x
+
1
y

+
1
z

2
≥
√
2.81 −80 =
√
82
Vậy: ⇒

x
2
+
1
x
2
+

y
2
+
1
y
2
+

z
2

+
1
z
2
≥
√
82 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra ⇔x = y = z =
1
3
.
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x
2
+
1
x
2
+

y
2
+
1
y
2
+

z

2
+
1
z
2
là MinP =
√
82 ⇔ x = y = z =
1
3
.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 16 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Chương 3
Một số bài t ập vận dụng
Trong chương này, em đưa ra 21 bài tập có lời giải liên quan đến các dạng bài vừa nêu,
bổ sung, làm rõ và phong phú thêm các dạng bài; đồng thời em cũng đưa ra 10 bài tập tự giải
đầy đủ các dạng nhằm giúp người đọc tự thử sức bản thân sau khi tham khảo khóa luận
17
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua các bài toán trên, cũng đủ để thấy hết những ưu điểm, nhược điểm của phương pháp
tọa độ. Và tất nhiên, cũng là vừa đủ để chúng ta có thể thấy việc chọn hệ tọa độ như thế nào
là thích hợp.
Muốn giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ, ta cần chọn hệ trục tọa độ sao cho hình
vẽ của hình vẽ của chúng ta dễ quan sát tốt nhất trên hệ trục đó, việc tính toán cũng dơn giản
nhất. Để chọn được một hệ tr ục tọa độ tốt, chúng ta cần căn cứ vào các yếu tố cố định của
bài toán đã cho.
Tuy nhiên, khi đã chọn được hệ trục tọa độ tốt rồi, cũng cần phải có phương pháp tính và
kĩ năng tính tốt, thì việc giải một bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ mới trở nên đẹp

đẽ, ngắn gọn.
Thông qua bài khóa luận này đã chứng tỏ được một điều rằng: " không phải phương pháp
tọa độ làm mất đi vẻ đẹp của hình học, mà phương pháp tọa độ làm tăng thêm vẻ quyến rũ
của hình học".
Do trình độ còn hạn chế và thời gian nghiên cứu làm khóa luận này còn ít nên bài viết
không tránh khỏi sự sơ suất và thiếu sót mong các thầy cô và các bạn thông cảm, cùng đóng
góp ý kiến.
Cuối cùng, một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Quốc Tuấn và các thầy
cô trong khoa Toán - Tin trường Đại Học Quảng Bình đã tận tình hướng dẫn em để hoàn
thành bài khóa luận và dạy dỗ em trong suốt thời gian học tập.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 18 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Tóm tắt khóa luận tốt nghiệp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy( Chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần
Đức Huyên, (2006), Hình học 10, Hình học 12, NXB Giáo Dục.
2. Trần Văn Hạo( Chủ biên), Nguyễn Cam, Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Cam
Duy Lê, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thành, (2002), Chuyên đề luyện thi vào đại học
Hình học giải tích, NXB Giáo Dục.
3. Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục.
4. Trần Đình Thì,(2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình, bất đẳng thức ,, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
5. Lê Hồng Đức, Lê Đức trí, (2010), Phương pháp giải toán hình học giải tích không
gian, NXB Hà Nội.
6. Lê Hồng Đức, Lê Đức Trí, (2012), Phương pháp giải toán hình học trong mặt phẳng,
NXB Hà Nội.
7. Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, (12 −2008), Phương pháp giải toán vectơ,
NXB Hà Nội.
8. Nguyễn Văn Lộc, (5 −2008), Phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian,
NXB Giáo Dục.

9. Nguyễn Phương Thảo, (2009), Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc
giải toán ở trường THPT, khóa luận tốt nghiệp trường ĐH Hùng Vương.
10. Các trang web: vnmath.com.vn; vuptnk.tk; pdanghai.wordpress.com; ; các diễn đàn
toán học.v.v
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn 19 SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50