Các vấn đề về góc trong hình không gian phần 3 thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

CÁC V N

ng)

Hình h c không gian

V GÓC (PH N 03)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các v n đ v góc (Ph n 03) thu c khóa h c Luy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c
tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, tâm O. C nh SA = a và
SA  (ABCD). G i E, F l n l t là hình chi u vuông góc c a A lên các c nh SB và SD.
a) Ch ng minh BC  (SAB), CD  (SAD).
b) Ch ng minh (AEF)  (SAC).

c) Tính tan  v i  là góc gi a c nh SC v i (ABCD).
Gi i
a. Vì SA  ( ABCD)  SA  BC, BC  AB  BC  (SAB)
SA  ( ABCD)  SA  CD, CD  AD  CD  (SAD)

b. SA  ( ABCD), SA  a , các tam giác SAB, SAD vuông cân

 FE là đ

ng trung bình tam giác SBD  FE BD

BD  AC  FE  AC, SA  ( ABCD)  BD  SA FE  SA
FE  (SAC), FE  ( AEF )  (SAC)  ( AEF )

c. SA  ( ABCD) nên AC là hình chi u c a SC trên (ABCD)    SCA
 tan  

SA
a
1
2
2



   arctan(
)
AC a 2
2
2

2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình vuông c nh a ; SA = a 6 . G i
AH, A l n l t là đ ng cao c a các tam giác SAB và SAD.
1) Ch ng minh :  SAD ;  SDC là nh ng tam giác vuông.
2) Ch ng minh: AK  (SDC) ; HK  (SAC)
3) Tính góc gi a đ

ng th ng SD và m t ph ng (SAC).

Gi i:
1). C/m:  SAD là tam giác vuông.
Ta có : SA  (ABCD) ; AD  (ABCD)
 SA  AD   SAD vuông t i A.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

C/m:  SDC là tam giác vuông.
Ta có : SA  (ABCD) ; DC(ABCD)

S

 DC  SA

H

DC  AD (do ABCD vuông)
 DC  (SAD) mà SD  (SAD)
K

  SDC vuông t i D.

 DC  SD

B
A

2). C/m: AK  (SDC)
O

Ta có: DC  (SAD) ; AK  (SAD)
 AK  DC, có
 AK  SDC

AK  SD

D

(gi thi t)

C

đpcm

C/m: HK  (SAC)
Ta có :  SAB =  SAD (c-g-c) SB=SD
Mà H, K là hình chi u c a A lên SB, SD


SH SK

SB SD

 HK // BD

(1)

Xét tam giác cân SBD
OB=OD (O là tâm hvuông ABCD)
T (1),(2)  HK  SO

(*)

AO  BD

(3)

M t khác:

SO  BD

(2)

T (1),(3)  HK  AO (**)
T (*),(**)

HK  (SAO)

Hay HK  SAC

đpcm

3). Tính góc gi a SD và mp (SAC).
Ta có: SO  OD
 SO là hình chi u c a SD trên mp (SAC)
 góc gi a SD và mp (SAC) là góc h p b i SD và SO.
DO=

2
a , SD= 7a
2

2
a
DO
1
Sin DSO =

 2 
SD
7a
14

V y DSO = arcsin
Hocmai.vn – Ngôi tr

1
14

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 3: Cho hình chóp đ u S.ABCD, đáy có c nh b ng a và có tâm O. G i M,N l n l t là trung đi m
SA;BC.Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng 600.Tính MN, SO, góc gi a MN và m t ph ng (SAO)
Gi i
G i P là trung đi m AO. hi đó MP // SO và SO  (ABCD).
Do đó MN; ABCD =  MNP = 600

Trong  NCP , theo đ nh lý hàm s Cosin ta có:
NP 2  CN 2  CP 2  2CN.CP .cos450
2

2
a2  3
a 3

  a 2   2. . a 2.
4 4
2 4
2

2
2
2
10
a 18a 12a
 

 a2
4
16
16
16


a 10
PN
a 10

5
 4 
a
Trong tam giác vuông MNP ta có MN 
0
1
cos60
2
2
2

và PM  PN.tan 600 

a 10
a 30
a 30
. 3
 SO  2MP 
4
4
2

G i H là trung đi m OC. Suy ra NH // BD mà BD  (SAC , do đó MN; SAC =  NMH.

a 2
1
5
, MN  a
Ta có NH  OB 
. Suy ra trong tam giác vuông MNH ta có

2
4
2
sin NHM 

NH
1

MN 2 5

V y góc gi a MN và m t ph ng (SAC) là 1 góc có giá tr  th a mãn sin  

1
2 5

;0   


2

.

Bài 4: Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a n m trong 2 m t ph ng vuông góc. G i I là
trung đi m AB. CMR: SI  (ABCD) và tính góc h p b i SC v i (ABCD).
Gi i
S d ng tính ch t 2 mp vuông góc ta có:

 SI  ( SAB)

( SAB)  ( ABCD)  AB  SI  ( ABCD)

 SI  AB

hi đó, I là hình chi u c a S lên (ABCD) suy ra SC có hình chi u lên (ABCD) là IC
 (SC,( ABCD))  (SC, IC)  SCI ( do tam giác SIC vuông t i I nên góc SCI là góc nh n)
SI là đ

ng cao c a tam giác đ u ABC nên SI 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

a 3
2
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Hình h c không gian

S

Trong tam giác vuông ICB:
IC  IB2  BC 2 

ng)

a2
a 5
 a2 
4
2

a 3
3
15
SI
 tan SCI 
 2 

5
5
CI a 5
2

V y ( SC , ( ABCD))  SCI  arctan(

K

L

H

D
A
I

15
)
5

B
Bài 5. Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a
G i O là trung đi m c a c nh AB.

J

C
trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau.

1. Tìm góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD)
2. Tìm góc gi a SO và m t ph ng (SCD)
3. Tìm góc gi a SC, SD và m t ph ng (SAB)
Bài gi i
1. G i O là trung đi m c a AB=> SO vuông góc v i m t ph ng (ABCD)
góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD) l n l

t là các góc

SAB  600 , SBA  600 , SCO, SDO
OC  BC 2  OB2  a 2 

S

a2
5
a

4
4

E

a2
3
a
SO  SB  OB  a 
4
4
2

2

 tan SCO 

2

SO
15

OC
5

ng t ta tính đ

K

O

B

15
)
5

 SCO  arctan(

T

D
A

c SDO  arctan(

C

15
)
5

2. T O k OK vuông góc v i DC, K OE vuông góc v i SK t i E => góc gi a SO và m t ph ng (SCD) là
góc: OSK  tan OSK 


3 2 3
OK
 a :  a
 
3

SO
4



2 3
 OSK  arctan 

 3 

3. T ng t nh ý : ta có góc gi a SC, SD v i m t ph ng (SAB) l n l

t là các góc:

BSC  ASD  450
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 6 (t gi i): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh là a . K SA vuông góc v i
(ABCD) và SA  a 2 .
a) Tính góc gi a SC và (ABCD) .
b) Tính góc gi a SC và (SAB) .
c) Tính góc gi a SC và (SBD) .

S

A

D
O

B
C

H

áp s :

a) [SC,(ABCD)] = 45o

b) [SC,(SAB)] = 30o

c) [SC,(SBD)] = arcsin

1
10

Ý c): có góc gi a SC và SBD là góc CSO
Ta có tam giác SAC vuông cân t i A. có O là trung đi m AC.
Có tan ASO 

1
2

tan ASC  tan 450  1





 1  tan ASO  OSC 
 tan OSC 

tan ASO  tan OSC
1  tan ASO.tan OSC



1/ 2  tan OSC
1  1/ 2.tan OSC

1
1
1
 cot OSC  3  sin OSC 
 OSC  arcsin
3

10
10

Các em có th làm t i tan OSC 

1
là ok. Không c n ph i tìm ra sin.
3

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N







Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-