chứng minh quan hệ vuông góc phần 2 đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Câu 1: [ĐVH]. Cho khối chóp tam giác S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt phẳng
( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với đáy. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các
cạnh SCvà SB. Chứng minh rằng:
a) ( SAC ) ⊥ ( SBC ) .
b) ( SAB ) ⊥ ( ADE )

Lời giải:

( SAB ) ⊥ ( ABC )
a) Do 
⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC .
( SAC ) ⊥ ( ABC )
Lại có: AC ⊥ BC suy ra BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBC ) .

b) Do BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AD , lại có AD ⊥ SC

do vậy AD ⊥ ( SBC ) ⇒ AD ⊥ SB , mặt khác SB ⊥ AE nên

suy ra SB ⊥ ( ADE ) do vậy ( SAB ) ⊥ ( ADE ) ( dpcm ) .

Câu 2: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) là trọng tâm tam giác ABD. Gọi E là hình chiếu của điểm B trên
cạnh SA. Chứng minh rằng:

a) ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .
b) ( SAC ) ⊥ ( BDE )

Lời giải

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD ⊥ AC .
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD ⊥ SH do vậy BD ⊥ ( SAC )
Suy ra ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .

b) Ta có: BD ⊥ ( SAC ) ⇒ SA ⊥ BD

Lại có BE ⊥ SA ⇒ SA ⊥ ( BDE )

Do vậy ( SAC ) ⊥ ( BDE ) ( dpcm ) .

Câu 3: [ĐVH]. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm của AB,
hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông
góc của M trên A’C. Chứng minh rằng:
a) ( A ' ABB ') ⊥ ( A ' MC ) .
b) ( A ' ACC ') ⊥ ( A ' NB ) .

Lời giải

a) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM ⊥ AB , lại có AB ⊥ A ' H ⇒ AB ⊥ ( A ' MC )

( A ' ABB ') ⊥ ( A ' MC ) .
b) Do vậy AB ⊥ ( A ' MC ) ⇒ AB ⊥ A ' C .
Lại có: A ' C ⊥ MN ⇒ A ' C ⊥ ( ANB )
Do vậy ( A ' ACC ') ⊥ ( A ' NB ) ( dpcm )

Do vậy

Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng ( SAD ) ⊥ ( SAB ) , ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .
b) Gọi I là trung điểm của SB . Chứng minh rằng ( ACI ) ⊥ ( SBC ) .
c) Xác định J trên cạnh SA sao cho ( BJD ) ⊥ ( SAD ) .
Lời giải :

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Gọi H là trung điễm của AB ⇒ SH ⊥ AB
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
Ta có 
⇒ SH ⊥ ( ABCD )
 SH ⊥ AB
 AD ⊥ AB

⇒ AD ⊥ ( SAB )
Ta có 
 AD ⊥ SH
mà AD ⊂ ( SAD ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SAB )

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )
Ta có 
 BC ⊥ SH
mà BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )

b) ∆SAB đều ⇒ AI ⊥ SB (1)

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AI ( 2 )

Từ (1) , ( 2 ) ⇒ AI ⊥ ( SBC )

mà AI ⊂ ( ACI ) ⇒ ( ACI ) ⊥ ( SBC )

c) Ta có AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ BJ

⇒ Để ( BJD ) ⊥ ( SAD ) thì BJ ⊥ SA ⇒ J là trung điễm của SA

Câu 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAC = 600 , SA =

a 6
và vuông
2

góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng:

a) ( SDB ) ⊥ ( SDC ) .

b) ( SBC ) ⊥ ( SAD ) .

Lời giải :
a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Kẻ OH ⊥ SD, AE ⊥ SD
 BC ⊥ AD
Ta có 
⇒ BC ⊥ ( SAD ) ⇒ BC ⊥ SD
 BC ⊥ SA
Mà SD ⊥ OH ⇒ SD ⊥ ( BHC ) ⇒ BH ⊥ SD (1)
Trong tam giác vuông SAD ta có
a 6
.a 3
2 S SAD
SA. AD
AE =
=
= 2
=a
SD
3a 2
SA2 + AD 2
+ 3a 2
2
1
a 1
⇒ OH = AE = = BC ⇒ ∆BHC vuông ở H
2

2 2
⇒ BH ⊥ CH ( 2 )

Từ (1) , ( 2 ) ⇒ BH ⊥ ( SCD ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SCD )

 BC ⊥ AD
b) Ta có 
⇒ BC ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAD )
 BC ⊥ SA

(

)

Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông A = D = 900 , AB = AD = 2CD .
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AB .
a) Chứng minh rằng ( SCM ) ⊥ ( SAB ) .

b) Chứng minh rằng ( SAC ) ⊥ ( SDM ) .

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

c) Gọi AD giao BC tại E . Tìm K trên SE sao cho ( AKC ) ⊥ ( SEB ) .
Lời giải :
a) Ta có CM / / AD ⇒ CM ⊥ AB

CM ⊥ AB
Ta có : 
⇒ CM ⊥ ( SAB )
CM ⊥ SA
Mà CM ⊂ ( SCM ) ⇒ ( SCM ) ⊥ ( SAB )
b) AMCD là hình vuông ⇒ DM ⊥ AC
 DM ⊥ AC
⇒ DM ⊥ ( SAC )
Ta có : 
 DM ⊥ SA
Mà DM ⊂ ( SDM ) ⇒ ( SDM ) ⊥ ( SAC )

Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC).
b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC).
Lời giải:

a) Kẻ SH ⊥ AC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ BC . Kết hợp BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAC ) .
b) Theo câu a, BC ⊥ ( SAC ) , AI ∈ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AI .
Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI ⊥ SC ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ ( ABI ) ⊥ ( SBC ) .

Câu 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ⊥ (ABCD). Gọi M,
a
3a
N lần lượt là hai điểm trên BC và DC sao cho MB = ; DN = . Chứng minh rằng (SAM) ⊥ (SMN).
2
4
Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Ta có
a 2 5a 2
AM = AB + BM = a +
=
4
4
2

2

2

2

2

25a 2
 3a 
AN = AD + DN = a +   =
16
 4 
2

2

2

2

2

2

2
 a   a  5a
MN = MC + NC =   +   =
16
2 4
2

2

2

Dẫn đến AN 2 = AM 2 + MN 2 ⇒ AM ⊥ MN . Mà SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ MN .
Kết hợp thu được MN ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAM ) .
Câu 9: [ĐVH]. Cho chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D, có AB = 2a , AD = DC = a, ( SAB ) và

( SAD )

cùng vuông góc với đáy, SA = a. Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho AM = x.
(α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB).
a) Chứng minh SA ⊥ ( ABCD )

b) Xác định (α)
Lời giải:
a) Ta có : ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
Mặt khác: 
⇒ SA ⊥ ( ABCD )
SAD
⊥
ABCD
(
)
(
)

 AD ⊥ AB
b) Do 
⇒ AD ⊥ ( SAB )
 AD ⊥ SA

Điểm M thuộc AD do vậy MA ⊥ ( SAB ) .
Khi đó: ( EMA ) ⊥ ( SAB )
Hay (α ) ≡ ( EMA)

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Câu 10: [ĐVH]. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh SA vuông góc với đáy. (α) là mặt
phẳng qua A và vuông góc với SC. (α ) ∩ SC = I .
a) Xác định K = SO ∩ (α )

b) Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC )
c) Chứng minh BD

(α )

d) Xác định giao tuyến d của (SBD) và (α ) . Tìm thiết diện chóp và (α ) .
Lời giải:
Dựng AI ⊥ SC , AI cắt SO tại K, từ K kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SB va SD lần lượt tại M và N.
Ta có: MN / / BD ⇒ MN ⊥ AC
Mặt khác MN / / BD ⊥ SA ⇒ MN ⊥ ( SAC ) ⇒ MN ⊥ SC .
Lại có: AI ⊥ SC ⇒ ( AMIN ) ⊥ SC .

a) Điểm K = AI ∩ SO .
 BD ⊥ AC
b) Do 
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD )
 BD ⊥ SA
c) Do BD / / MN ⇒ BD / / (α )
d) ( SBD ) ∩ (α ) = MN và thiết diện là tứ giác AMIN.

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!