Thể tích khối lăng trụ phần 1 đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a.
Tính thể tích lăng trụ đã cho biết rằng
a) ( AB '; A ' B ' C ') = 600
c) d ( C ; ABC ' ) =

a 3
4

b) ( A ' BC '; A ' B ' C ') = 300
d) d ( AC ; BM ) =

a
, với M là trung điểm của CC '.
3

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, với AB = a 2. Gọi
M là trung điểm của CC '. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B ' M và A ' C biết thể tích lăng trụ bằng
2a 3 .
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi tâm O, với

AC = 2a; BD = 2a 3. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho biết rằng

a) ( B ' D; ABCD ) = 450

b) ( A ' CD; ABCD ) = 600
d) d ( B ' C '; DE ) =

a 2
1
, với E là điểm trên CC ' sao cho CE = EC '.
3
2

Lời giải:
Gọi O = AC ∩ BD
AC
BD
OA = OC =
= a, OB = OD =
=a 3
2
2

⇒ AD = OA2 + OD 2 = a 2 + 3a 2 = 2a = AC
⇒ ∆ACD là tam giác đều

a) ( B ' D, ( ABCD ) ) = ( B ' D, BD ) = BDB ' = 450

⇒ BB ' = BD = 2a 2 ⇒ VABCD. A ' B ' C ' D ' = BB '.S ABCD
1
= 2a 2. .2a.2a 3 = 4a 3 6 ( dvtt )
2
b) Gọi M là trung điễm CD ⇒ AM ⊥ CD
CD ⊥ AM

Ta có : 
⇒ CD ⊥ ( AA ' M )
CD ⊥ AA '

⇒ ( ( A ' CD ) , ( ABCD ) ) = AMA ' = 600
tan AMA ' =

AA '
1
⇒ AA ' = AM .tan 600 = 3a ⇒ VABCD. A ' B 'C ' D ' = AA '.S ABCD = 3a. .2a.2a 3 = 6a 3 3 ( dvtt )
AM
2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

c) Vì B ' C '/ / AD ⇒ d ( B ' C ', DE ) = d ( B ' C ', ( ADE ) ) = d ( C ', ( ADE ) ) = 2d ( C , ( ADE ) ) =

a 2
3

⇒ d ( C , ( ADE ) ) =

a 2
6
Gọi N là trung điễm của AD ⇒ CN ⊥ AD , kẻ CH ⊥ NE

 AD ⊥ CN
Ta có: 
⇒ AD ⊥ ( CNE ) ⇒ AD ⊥ CH mà CH ⊥ NE ⇒ CH ⊥ ( ADE )
 AD ⊥ CE

⇒ CH = d ( C , ( ADE ) ) =
Xét ∆CNE ta có:

a 2
6

1
1
1
1
1
1
53
a 3
3a 3
=
+
⇒
=
−
= 2 ⇒ CE =
⇒ CC ' = 3CE =
2
2
2

2
2
2
CH
CN
CE
CE
CH
CN
3a
53
53

3a 3 1
18a 3
. .2a.2a 3 =
( dvtt )
53 2
53
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' = a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường
hợp sau:

⇒ VABCD. A ' B 'C ' D ' = CC '.S ABCD =

a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600.
c) Khoảng cách từ A đến (A’BC) bằng

a
.
2

b) A'B hợp với đáy (ABC) một góc 450.
d) Diện tích tam giác A’BC bằng

a2
.
4

Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC và H là chân đường cao hạ từ A xuống
A’M. Đặt cạnh AB = x .

 BC ⊥ AM
a) Do 
⇒ BC ⊥ ( A ' AM ) ⇒ A ' MA = 600 .
BC
⊥
A
'
A

Khi đó ta có: AM tan 600 = AA ' = a ⇒ AM =

Ta có:

a
.
3

x 3

a
2a
x 2 3 a3 3
=
⇒x=
⇒ V = AA '.S ABC = a.
=
( dvtt ) .
2
3
4
9
3

b) A'B hợp với đáy (ABC) một góc 450 khi đó A ' BA = 450 , do vậy tam
giác A’AB vuông cân tại A do đó AB =

Suy ra V = AA '.

AA ' a
=
.
2
2

AB 2 3 a 3 3
=
( dvtt ) .
4
8

 BC ⊥ AH
a
1
1
1
c) Ta có 
⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) . Khi đó AH =
. Ta có:
+
=
⇒ AM = a .
2
2
AM
AA '
AH 2
2
 AH ⊥ A ' M
Khi đó:

x 3
2a
x2 3 a3 3
=a⇒x=
⇒ V = a.
=
( dvtt ) .
2
4

3
3

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
d) S A ' BC =

Facebook: Lyhung95

1
a2
a2
3x 2
a2
3x 4 a 4
A ' M .BC =
x=
⇔ A ' M .x =
⇔ a2 −
⇔ a2 x2 −
=
⇔ a 4 − 4a 2 x 2 + 3 x 4 = 0 .
2
4
2
4
2
4

4


a3 3
x
=
a
⇒
V
=

4
2
2
2
2

−
−
3
=
0
⇔
a
x
a
x
(
)(
)


a
a3 3
⇒V =
x =
12
3

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a . Tính thể tích lăng trụ trong
các trường hợp sau đây:
a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 450.

b) BD' hợp với (ABCD) một góc 600.

c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a.

d) Diện tích tam giác ACD’ bằng

a2 5
2

Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD.

 DI ⊥ AC
a) Ta có: 
⇒ AC ⊥ ( D ' ID ) ⇒ D ' ID = 450.
 AC ⊥ DD '
Khi đó tam giác D’ID vuông cân tại D ta có:

DI = DD ' = 2a ⇒ DB = 4a ⇒ AB = 2a 2 .
VABCD. A ' B 'C ' D ' = V = S .h = 16a 3 .

c) BD' hợp với (ABCD) một góc 600 khi đó
D ' BD = 600 ⇒ BD = DD ' = 2a ⇒ AB = a 2 .
Ta có: V = 4a 3 .

d) Ta có S ACD ' =
=

1
1
D ' I . AC =
DD '2 − DI 2 . AC
2
2

1
4a 2 + x 2 .2 x = a 2 5
2

( AC = 2 x = BD )

Khi đó x 2 ( 4a 2 + x 2 ) = 5a 4 ⇔ 5a 4 − 4a 2 x 2 − x 4 = 0 ⇔ x = a ⇒ AC = 2a ⇒ AB = a 2
Do vậy V = 4a 3 .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
• CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO MỌI HỌC SINH

Bài 1: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và

AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300. Tính thể tích lăng trụ.
32a 3
9
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với
(ABCD) một góc 300 và hợp với (ABB'A') một góc 450. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.

Đ/S: V =

a3 2
Đ/s: V =
8

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Bài 3: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a. Tính thể tích lăng
trụ trong các trường hợp sau đây:
a) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o.
b) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o.
a3 3
a3 2
Đ/s: a) V =
b) V =
16
8
Bài 4: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại B, biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy

ABC một góc 300. Tính thể tích lăng trụ.
a3 3
2
Bài 5: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết AB' hợp với mặt bên
(BCC'B') một góc 300. Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ.

Đ/s: V =

a3 3
Đ/s: AB ' = a 3, V =
2
Bài 6: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại A, AC = a và góc ACB bằng 600. Biết
rằng BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 300. Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'.

Đ/s: V = a 3 6, S ∆ABC =

3a 2 3
2

• CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI (Học sinh TB – Khá chỉ nên tham khảo)
Bài 7: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a. Tính thể tích lăng trụ
trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 600.
b) A'B hợp với đáy ABC một góc 450.
c) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
a3 3
Đ/s: a) V = a 3
b) V =
c) V = a 3 3
4

Bài 8: [ĐVH]. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a . Tính thể tích lăng trụ trong
3

các trường hợp sau đây:
a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 450.

b) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600.
c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a.
Đ/s:

a) V = 16a3

b) V = 12a3

c) V =

16a 3
3

Bài 9: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích lăng trụ
trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 600 .
b) Tam giác BDC' là tam giác đều.
c) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
Đ/s:

a) V =

a3 6
2

b) V = a3

c) V = a3 2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Bài 10: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng
600. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 600.
b) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a/2
c) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
3a 3 3
3a 3 2
3a 3
b) V =
c) V =
4
8
2
Bài 11: [ĐVH]. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có BD' = 5a, BD = 3a. Tính thể tích khối hộp trong
các trường hợp sau đây:
a) AB = a

Đ/s:

a) V =

b) BD' hợp với AA'D'D một góc 300
c) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300
Đ/s:

a) V = 8a3 2

b) V = 5a3 11

c) V = 16a3

Bài 12: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a , Mặt phẳng
(A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc 600.

a) Chứng minh AB ⊥ ( ACC ' A ')

b) Tính thể tích khối lăng trụ theo a.

b) Tính khoảng cách từ A đến đến (A’BC).
d) Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’).
Bài 13: [ĐVH]. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’, góc giữa mặt phẳng (C’AB) với (ABC) bằng 300, khoảng cách
từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) bằng a. Tính khoảng cách từ C đến mp(C’AB) và thể tích khối lăng trụ.
Bài 14: [ĐVH]. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A1 B1C1 D1 có khoảng cách giữa AB và A1 D bằng 2. Độ dài
đường chéo mặt bên bằng 5.
a) Hạ AK ⊥ A1 D . Chứng minh AK = 2.
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Bài 15: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông đường chéo bằng 2a. Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 600.
b) Tam giác BDC' là tam giác đều.
c) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450.

d) Khoảng cách giữa AC với BD’ bằng

a 3
2

Bài 16: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn BAC = 600.
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

a) Mặt (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 600.

b) Khoảng cách từ C đến (BDC’) bằng a

c) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450.

d) Diện tích tam giác BDC’ bằng

a2
2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!