Phương pháp nâng lũy thừa giải phương trình vô tỉ đoàn việt hùng

Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

04. PP NÂNG LŨY THỪA GIẢI PT VÔ TỈ CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1. Giải phương trình x 4 − 4 x 3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = 0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với: x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 = 14 x 2 − 37 x + 14 ⇔ ( x 2 − 2 x ) = 14 x 2 − 37 x + 14 .
2

⇔ ( x 2 − 2 x ) + 2α ( x 2 − 2 x ) + α 2 = ( 2α + 14 ) x 2 − ( 4α + 37 ) x + α 2 + 14 .
2

⇔ ( x 2 − 2 x + α ) = ( 2α + 14 ) x 2 − ( 4α + 37 ) x + α 2 + 14
2

( ∗)

5
2
Có ∆ (∗) = ( 4α + 37 ) − 4 ( 2α + 14 ) (α 2 + 14 ) = 0 ⇔ α = − .
2
2

2

5
81 
9


Do đó phương trình ( ∗) ⇔  x 2 − 2 x −  = 9 x 2 − 27 x + =  3 x −  .
2
4 
2



5 ± 17
x=

5
9 
5
9

2
⇔  x 2 − 2 x − − 3 x +   x 2 − 2 x − + 3 x −  = 0 ⇔ ( x 2 − 5 x + 2 )( x 2 + x − 7 ) = 0 ⇔ 
2
2
2
2




1 ± 29
x = −

2

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

Ví dụ 2. Giải phương trình x 4 + 2 x3 − x 2 − 22 x − 35 = 0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với: x 4 + 2 x3 + x 2 = 2 x 2 + 22 x + 35 ⇔ ( x 2 + x ) = 2 x 2 + 22 x + 35 .
2

⇔ ( x 2 + x ) + 2α ( x 2 + x ) + α 2 = ( 2α + 2 ) x 2 + ( 2α + 22 ) x + α 2 + 35
2

⇔ ( x 2 + x + α ) = ( 2α + 2 ) x 2 + ( 2α + 22 ) x + α 2 + 35
2

( ∗)

Có ∆ (∗) = (α + 11) − ( 2α + 2 ) (α 2 + 35) = 0 ⇔ α = 1 .
2

Do đó phương trình ( ∗) ⇔ ( x 2 + x + 1) = 4 x 2 + 24 x + 36 = ( 2 x + 6 ) .
2

2

⇔ ( x 2 + x + 1 − 2 x − 6 )( x 2 + x + 1 + 2 x + 6 ) = 0 ⇔ ( x 2 − x − 5 )( x 2 + 3 x + 7 ) = 0 ⇔ x =

1 ± 21
.
2

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

Ví dụ 3. Giải phương trình x 4 + 6 x3 + 12 x 2 + 14 x + 11 = 0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với: x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 = −3 x 2 − 14 x − 11 ⇔ ( x 2 + 3 x ) = −3 x 2 − 14 x − 11 .
2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

⇔ ( x 2 + 3 x ) + 2α ( x 2 + 3 x ) + α 2 = ( 2α − 3) x 2 + ( 6α − 14 ) x + α 2 − 11
2

⇔ ( x 2 + 3 x + α ) = ( 2α − 3) x 2 + ( 6α − 14 ) x + α 2 − 11

( ∗)

2

Có ∆ (∗) = ( 3α − 7 ) − ( 2α − 3) (α 2 − 11) = 0 ⇔ α = 4 .
2

Do đó phương trình ( ∗) ⇔ ( x 2 + 3 x + 4 ) = 5 x 2 + 10 x + 5 = 5 ( x + 1) .
2

(

)(

2

)

(

)

⇔ x 2 + 4 x + 4 − 5 x − 1 x 2 + 3x + 4 + 5 x + 1 = 0 ⇔ x 2 + 4 − 5 x + 3 = 0 ⇔ x =

−3 − 5 ± 2

(

2

.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.
Ví dụ 4. Giải phương trình x 4 + 6 x3 − 2 x 2 − 42 x − 35 = 0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với: x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 = 11x 2 + 42 x + 35 ⇔ ( x 2 + 3 x ) = 11x 2 + 42 x + 35 .
2

⇔ ( x 2 + 3 x ) − 2 ( x 2 + 3 x ) + 1 = 9 x 2 + 36 x + 36 ⇔ ( x 2 + 3 x − 1) = 9 ( x + 2 ) .
2

2

2

x = ± 7
 x 2 + 3x − 1 = 3 ( x + 2 )
 x2 = 7

⇔ 2
⇔ 2
⇔  x = −1
 x + 3 x − 1 + 3 ( x + 2 ) = 0
 x + 6x + 5 = 0
 x = −5

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

Ví dụ 5. Giải phương trình x 4 − 4 x 3 + 10 x 2 − 28 x + 21 = 0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với: x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 = −6 x 2 + 28 x − 21 ⇔ ( x 2 − 2 x ) = −6 x 2 + 28 x − 21 .
2

⇔ ( x 2 − 2 x ) + 10 ( x 2 − 2 x ) + 25 = 4 x 2 + 8 x + 4 ⇔ ( x 2 − 2 x + 5 ) = 4 ( x + 1)
2

2

 x 2 − 2 x + 5 = 2 ( x + 1)
 x2 − 4 x + 3 = 0
x = 1
⇔ 2
⇔ 2

⇔
x = 3
x + 7 = 0
 x − 2 x + 5 + 2 ( x + 1) = 0

2

.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

Ví dụ 6. Giải phương trình sau x 4 + x 3 − 2 x 2 − 13 x − 5 = 0
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương
x 4 − 2 x 3 − x 2 + 3 x 3 − 6 x 2 − 3 x + 5 x 2 − 10 x − 5 = 0 ⇔ x 2 ( x 2 − 2 x − 1) + 3 x ( x 2 − 2 x − 1) + 5 ( x 2 − 2 x − 1) = 0

 x2 − 2 x − 1 = 0
⇔ ( x 2 − 2 x − 1)( x 2 + 3 x + 5 ) = 0 ⇔  2
⇔
 x + 3 x + 5 = 0 ( vn )

)

5 −1

x = 1+ 2

 x = 1 − 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 + 2; x = 1 − 2

Ví dụ 7. Giải phương trình sau x 4 + 2 x3 − 7 x 2 − 26 x − 20 = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Lời giải
Phương trình đã cho tương đương
x 4 − 2 x 3 − 4 x 2 + 4 x3 − 8 x 2 − 16 x + 5 x 2 − 10 x − 20 = 0 ⇔ x 2 ( x 2 − 2 x − 4 ) + 4 x ( x 2 − 2 x − 4 ) + 5 ( x 2 − 2 x − 4 ) = 0

 x2 − 2 x − 4 = 0
⇔ ( x − 2 x − 4 )( x + 4 x + 5 ) = 0 ⇔  2
⇔
 x + 4 x + 5 = 0 ( vn )
2

2

x = 1+ 5

 x = 1 − 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 + 5; x = 1 − 5

Ví dụ 8. Giải phương trình sau x 4 − x3 − 6 x 2 − 30 x − 36 = 0
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương

x 4 − 3 x3 − 6 x 2 + 2 x 3 − 6 x 2 − 12 x + 6 x 2 − 18 x − 36 = 0 ⇔ x 2 ( x 2 − 3 x − 6 ) + 2 x ( x 2 − 3 x − 6 ) + 6 ( x 2 − 3 x − 6 ) = 0

 x 2 − 3x − 6 = 0
3 ± 33
⇔ ( x − 3 x − 6 )( x + 2 x + 6 ) = 0 ⇔  2
⇔x=
2
 x + 2 x + 6 = 0 ( vn )
2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

3 + 33
3 − 33
;x =
2
2

Ví dụ 9. Giải phương trình sau x 4 − 3 x3 − 15 x 2 − 38 x − 36 = 0
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương
x 4 − 5 x3 − 9 x 2 + 2 x 3 − 10 x 2 − 18 x + 4 x 2 − 20 x − 36 = 0 ⇔ x 2 ( x 2 − 5 x − 9 ) + 2 x ( x 2 − 5 x − 9 ) + 4 ( x 2 − 5 x − 9 ) = 0

 x2 − 5x − 9 = 0
5 ± 61
⇔ ( x − 5 x − 9 )( x + 2 x + 4 ) = 0 ⇔  2
⇔x=
2

 x + 2 x + 4 = 0 ( vn )
2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

5 + 61
5 − 61
;x =
2
2

Ví dụ 10. Giải phương trình sau x 4 − 8 x3 + 7 x 2 + 34 x + 15 = 0
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương
x 4 − 5 x3 − 3 x 2 − 3 x 3 + 15 x 2 + 9 x − 5 x 2 + 25 x + 15 = 0 ⇔ x 2 ( x 2 − 5 x − 3) − 3 x ( x 2 − 5 x − 3) − 5 ( x 2 − 5 x − 3) = 0

 x2 − 5x − 3 = 0
5 ± 37
3 ± 29
⇔ ( x − 5 x − 3)( x − 3 x − 5 ) = 0 ⇔  2
⇔x=
;x =
2
2
 x − 3x − 5 = 0
2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

5 ± 37
3 ± 29
;x =
2
2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Ví dụ 11. Giải phương trình x 4 − 8 x 3 + 21x 2 − 20 x + 5 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x 2 ( x 2 − 3 x + 1) − 5 x ( x 2 − 3 x + 1) + 5 ( x 2 − 3 x + 1) = 0

3± 5
x =
2
thỏa mãn (*)
⇔ ( x 2 − 3 x + 1)( x 2 − 5 x + 5 ) = 0 ⇔ 

5± 5
x =

2

4
3
2
Ví dụ 12. Giải phương trình x − 6 x + 5 x + 8 x + 2 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x 2 ( x 2 − 2 x − 1) − 4 x ( x 2 − 2 x − 1) − 2 ( x 2 − 2 x − 1) = 0

 x = 1± 2
⇔ ( x 2 − 2 x − 1)( x 2 − 4 x − 2 ) = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
 x = 2 ± 6
Ví dụ 13. Giải phương trình x 4 − 9 x3 + 17 x 2 + 13 x + 2 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x 2 ( x 2 − 4 x − 1) − 5 x ( x 2 − 4 x − 1) − 2 ( x 2 − 4 x − 1) = 0

x = 2 ± 5

⇔ ( x − 4 x − 1)( x − 5 x − 2 ) = 0 ⇔ 
5 ± 33 thỏa mãn (*)
x
=

2
4

3
2
Ví dụ 14. Giải phương trình x + 3 x − 3 x − 7 x + 6 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x3 ( x − 1) + 4 x 2 ( x − 1) + x ( x − 1) − 6 ( x − 1) = 0
2

2

⇔ ( x − 1) ( x3 + 4 x 2 + x − 6 ) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 1) ( x 2 + 5 x + 6 ) = 0

x = 1
⇔ ( x + x − 2 )( x + 2 x − 3) = 0 ⇔  x = −2 thỏa mãn (*)
 x = −3
2

2

Ví dụ 15. Giải phương trình x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 3 x − 2 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x3 ( x − 1) − 5 x 2 ( x − 1) + 5 x ( x − 1) + 2 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x3 − 5 x 2 + 5 x + 2 ) = 0

x = 1

thỏa mãn (*)
⇔ ( x − 1)( x − 2 ) ( x 2 − 3 x − 1) = 0 ⇔  x = 2


 x = 3 ± 13

2

Ví dụ 16. Giải phương trình x 4 − 3 x3 − 2 x 2 + 5 x + 3 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x 3 ( x + 1) − 4 x 2 ( x + 1) + 2 x ( x + 1) + 3 ( x + 1) = 0 ⇔ ( x + 1) ( x 3 − 4 x 2 + 2 x + 3) = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95


 x = −1

thỏa mãn (*)
⇔ ( x + 1)( x − 3) ( x 2 − x − 1) = 0 ⇔  x = 3

x = 1± 5

2

Ví dụ 17. Giải phương trình x 4 − 2 x3 − 8 x 2 + 3 x + 6 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ

(*)
Khi đó (1) ⇔ x3 ( x − 1) − x 2 ( x − 1) − 9 x ( x − 1) − 6 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x3 − x 2 − 9 x − 6 ) = 0

x =1

thỏa mãn (*)
⇔ ( x − 1)( x + 2 ) ( x 2 − 3 x − 3) = 0 ⇔  x = −2

 x = 3 ± 21

2

Ví dụ 18. Giải phương trình x 4 − 9 x3 + 24 x 2 − 19 x + 3 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x3 ( x − 1) − 8 x 2 ( x − 1) + 16 x ( x − 1) − 3 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 3 − 8 x 2 + 16 x − 3) = 0

x = 1

thỏa mãn (*)
⇔ ( x − 1)( x − 3) ( x 2 − 5 x + 1) = 0 ⇔  x = 3

 x = 5 ± 21

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a)

3x − 2 = x − 2 .

b)

c)

x3 + 3x + 5 − 2 x = 1 .

d)

x2 + 6x = 2x −1 .
3

x3 + 3x 2 + 7 x + 1 = x + 1 .

Câu 2: Giải các phương trình sau:
a)

3x + 8 − 2 x
=3.
x −1

1 + 3x − 1 − 3x 2
= 2.
x
Câu 3: Giải các phương trình sau:
c)

a)

2 x − 4 − 2 = 3x + 1 .

c) 1 + x = 1 − x + 3 .

b)

d)

b)

4x − 3
x + x+4 −2
2

= 1.

x 2 − 3x 2 − x − 2 − x
= x−2.
x +1
3x + 7 − 2 x = 2 .

d) 2 x + 3 − x + 2 = 2 .

Câu 4: Giải các phương trình sau:
a)

3x + 1 − x = 4 x − 3 .

b)

c)

3x + 1 − 2 x − 1 + x
= 2.
3x + 1 − 2 x − 1

d)

5 x − 1 − x − 1 = 3x + 1 .
2 10 x − 1 − 3 x
= −1 .
x −2 x+3

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Câu 5: Giải các phương trình sau:
a)

3 + x + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2 .

b)

3x − 4 + 4 x + 1 = 2 x + 2 + 5 x − 5 .

c)

5 x − 2 + 2 x − 1 = 6 x + 1 + 3x + 2 .

d)

3x + 7 + x = 2 x + 1 + 2 x + 6 .

Câu 6: Giải các phương trình sau:
a)

x2 − 4 + 2 = x − 2 + x .

b) x + 2 x 2 + 5 x + 3 = 5 x + 1 − 1 .

Câu 7: Giải các phương trình sau:
a)

x2 + 2 x + 6 − x2 + x + 2 = 1 .

b)

x2 + 8 + x2 − 3x + 6 = 5 .

c)

5x 2 + 4 x = 5x2 − 2 x + 1 + 1 .

d)

x2 + x + 2 − 2 x − 1 = x2 − x + 1 .

Câu 8: Giải các phương trình sau:
a) 11x + ( 5 − x ) 4 − x = x 2 + 30 .

b) 7 x + ( x − 2 ) x + 3 = 3 x 2 + 2 .

c) ( x − 1) x 2 + x + 2 + 1 = x 2 .

d) 1 − x3 + ( x 2 − 1) x + 3 = x 2 − x .

Câu 9: Giải các phương trình sau:
a)

2 x 2 − 3x − x + 1
3x + 1
− x=
.
x
x

b)

2 + x 2 − 3x + 2
3x + 2
+ 2x −1 =
.
2 2x −1
2x −1

Câu 10: Giải các phương trình sau:
a)

x 2 − 2 x + x 2 − 4 x = 3x 2 + x .

b)

x2 + x + x2 − 2 x = x2 − 5x .

b)

x − 4 x − 4 + x −3+ 2 x − 4 = 3.

b)

8 x3 − 1
− x + 1 = 4 x2 + 2 x + 1 − 2 x − 1 .
x +1

b)

x2 − 4 = ( 7 − x )

Câu 11: Giải các phương trình sau:
a)

x −1 − 2 x − 2 + x + 7 + 6 x − 2 = 4 .

Câu 12: Giải các phương trình sau:
a)

x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = x2 + 3 .

Câu 13: Giải các phương trình sau:
a) 2 x 2 − 9 = ( x + 5 )

x+3
.
x−3

x−2
.
x+2

Câu 14: Giải các phương trình sau:
a)

2 x + 1 + x2 − x − 1 = 0 .

b) x 2 + x + 2 = 2 .

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a)

3x − 2 = x − 2 .

b)

c)

x3 + 3x + 5 − 2 x = 1 .

d)

x2 + 6x = 2x −1 .
3

x3 + 3x 2 + 7 x + 1 = x + 1 .

Lời giải
a) Điều kiện : x ≥

2
. Phương trình đã cho tương đương
3

x ≥ 2
x ≥ 2
x ≥ 2
 x ≥ 2
⇔
⇔
⇒x=6



2 ⇔ 
2
2

 x = 1; x = 6
3 x − 2 = x − 4 x + 4
x − 7x + 6 = 0
3 x − 2 = ( x − 2 )
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6
b) Điều kiện : x 2 + 6 x ≥ 0 . Phương trình đã cho tương đương
1

1

x
≥
1
1


5 + 22
2
x ≥ 2
x ≥
x ≥

⇔

⇔
⇔
⇒x=
2
2

3
2
 2
 x2 + 6x = 4x2 − 4 x + 1
3 x 2 − 10 x + 1 = 0
 x = 5 ± 22


 x + 6 x = ( 2 x − 1)
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

5 + 22
3

c) Điều kiện : x3 + 3 x + 5 ≥ 0 . Phương trình đã cho tương đương

1

1

x ≥ − 2
x ≥ −

x + 3x + 5 = 2 x + 1 ⇔ 
⇔
⇒ x = 4; x = 1
2
 x 3 + 3x + 5 = ( 2 x + 1) 2
 x3 − 4 x 2 − x + 4 =


3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; x = 4

d) Điều kiện : x ∈ ℝ . Phương trình đã cho tương đương
x3 + 3 x 2 + 7 x + 1 = ( x + 1) ⇔ x3 + 3 x 2 + 7 x + 1 = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ⇔ x = 0
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Câu 2: Giải các phương trình sau:
a)

3x + 8 − 2 x
=3.
x −1

b)

1 + 3x − 1 − 3x 2
c)
= 2.

x

4x − 3
x + x+4 −2
2

= 1.

x 2 − 3x 2 − x − 2 − x
d)
= x−2.
x +1
Lời giải

3 x + 8 ≥ 0
a) Điều kiện : 
. Phương trình đã cho tương đương
x ≠ 1

3

x ≥ 5
3x + 8 − 2 x = 3x − 3 ⇔ 3 x + 8 = 5 x − 3 ⇔ 
3x + 8 = ( 5 x − 3)2

3

x≥
3
3




33 + 989
5
x ≥
x ≥

⇔
⇔
⇔
⇒x=
5
5
50
3 x + 8 = 25 x 2 − 30 x + 9
25 x 2 − 33 x + 1 = 0
 x = 33 ± 989



50
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

b) Điều kiện :

x 2 + x + 4 − 2 ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương

4x − 3 = x + x + 4 − 2 ⇔
2

33 + 989
50

1

x ≥ 4
x + x + 4 = 4x − 1 ⇔ 
 x 2 + x + 4 = ( 4 x − 1)2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

1

x≥
1
1



3 + 29
4
x ≥

x ≥

⇔
⇔
⇔
⇒x=
4
4
10
 x 2 + x + 4 = 16 x 2 − 8 x + 1
15 x 2 − 9 x − 3 = 0
 x = 3 ± 29



10

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

3 + 29
10

1 − 3x 2 ≥ 0
c) Điều kiện : 
. Phương trình đã cho tương đương
x ≠ 0
 x ≥ −1
1 + 3x − 1 − 3x 2 = 2 x ⇔ 1 − 3x 2 = x + 1 ⇔ 
2
2

1 − 3 x = ( x + 1)

 x ≥ −1
 x ≥ −1
 x ≥ −1
⇔
⇔
⇔
⇒x=0
 2
2
2
 x = 0; x = −2
1 − 3x = x + 2 x + 1 4 x + 2 x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

3x 2 − x − 2 ≥ 0
d) Điều kiện : 
. Phương trình đã cho tương đương
x + 1 ≠ 0
x 2 − 3x 2 − x − 2 − x = x 2 − x − 2 ⇔ 3x 2 − x − 2 = 2 ⇔ 3 x 2 − x − 6 = 0 ⇔ x =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

1 ± 73
6

1 + 73
1 − 73
;x =
6

6

Câu 3: Giải các phương trình sau:
a)

2 x − 4 − 2 = 3x + 1 .

c) 1 + x = 1 − x + 3 .

b)

3x + 7 − 2 x = 2 .

d) 2 x + 3 − x + 2 = 2 .

Lời giải
a) Điều kiện: x ≥ 2 . Phương trình đã cho tương đương
2 x − 4 = 3 x + 1 + 2 ⇔ 2 x − 4 = 3 x + 5 + 4 2 x + 1 ⇔ x + 9 + 4 2 x + 1 = 0 ( vn )
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

b) Điều kiện: x ≥ 0 . Phương trình đã cho tương đương
3x + 7 = 2 x + 2 ⇔ 3x + 7 = 2 x + 4 + 4 2 x ⇔ x + 3 = 4 2 x

 x = 13 + 4 10
2
⇔ ( x + 3) = 32 x ⇔ x 2 + 6 x + 9 = 32 x ⇔ x 2 − 26 x + 9 = 0 ⇔ 
 x = 13 − 4 10 ( l )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 13 + 4 10

c) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 . Phương trình đã cho tương đương

9

x ≥ 2
1 + x = 10 − x + 6 1 − x ⇔ 2 x − 9 = 6 1 − x ⇔ 
( 2 x − 9 ) 2 = 36 (1 − x )


Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

9
9


x ≥
x ≥
⇔
⇔
2
2
( vn )
4 x 2 − 36 x + 81 = 36 − 36 x
4 x 2 + 45 = 0



Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
d) Điều kiện: x ≥ −2 . Phương trình đã cho tương đương
2 x + 3 = x + 2 + 2 ⇔ 4 ( x + 3) = x + 6 + 4 x + 2 ⇔ 3 x + 6 = 4 x + 2

 x+2 =2
x = 2

⇔ 3( x + 2) = 4 x + 2 ⇔
⇔
 x+2 = 4
x = − 2
9

3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2; x = −

2
9

Câu 4: Giải các phương trình sau:
a)

3x + 1 − x = 4 x − 3 .

b)

c)

3x + 1 − 2 x − 1 + x
= 2.
3x + 1 − 2 x − 1

d)

5 x − 1 − x − 1 = 3x + 1 .
2 10 x − 1 − 3 x
= −1 .
x −2 x+3

Lời giải:
a)

3x + 1 − x = 4 x − 3

ĐK : x ≥

3
4

(*)

Khi đó (1) ⇔ 3x + 1 = x + 4 x − 3 ⇔ 3x + 1 = 5 x − 3 + 2 x ( 4 x − 3)

⇔ 2 4 x 2 − 3x = 4 − 2 x ⇔ 4 x 2 − 3x = 2 − x
x = 1
x ≤ 2
2 − x ≥ 0


⇔ 2
⇔
2 ⇔ 
2
x = − 4
4 x − 3 x = ( 2 − x )
3 x + x − 4 = 0
3

Kết hợp với (*) ta được x = 1 thỏa mãn.

Đ/s: x = 1
b)

5 x − 1 − x − 1 = 3x + 1

ĐK: x ≥ 1

(*)

Khi đó (1) ⇔ 5 x − 1 = x − 1 + 3x + 1 ⇔ 5 x − 1 = 4 x + 2
⇔2

( x − 1)( 3x + 1)

x ≥ 1

( x − 1)( 3x + 1) = x − 1 ⇔ 

4 ( x − 1)( 3 x + 1) = ( x − 1)

2

x ≥ 1
x ≥ 1


⇔  x = 1
⇔  x = 1
⇔ x = 1 thỏa mãn (*)

 4 ( 3 x + 1) = x − 1  11x + 5 = 0



Đ/s: x = 1
c)

3x + 1 − 2 x − 1 + x
=2
3x + 1 − 2 x − 1
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

1


1
1


1
x ≥
x ≥
x ≥
2
ĐK: 
⇔
⇔
⇔x≥
(*)
2
2
2
 3x + 1 ≠ 2 x − 1
3 x + 1 ≠ 2 x − 1  x + 2 ≠ 0

Khi đó (1) ⇔ 3 x + 1 − 2 x − 1 + x = 2 3 x + 1 − 2 2 x − 1

⇔ 2 x − 1 + x = 3 x + 1 ⇔ 3 x − 1 + 2 x ( 2 x − 1) = 3 x + 1
x = 1
⇔ 2 2x − x = 2 ⇔ 2x − x = 1 ⇔ 
x = − 1

2
2

2

Kết hợp với (*) ta được x = 1 thỏa mãn.
Đ/s: x = 1

d)

2 10 x − 1 − 3 x
= −1
x −2 x+3

1
1


1

1
x ≥
x ≥
x ≥
10
ĐK:  10
⇔
⇔
⇔ x≥
10
10

 x ≠ 4 ( x + 3)

3 x + 12 ≠ 0

 x ≠ 2 x+3

(*)

Khi đó (1) ⇔ 2 10 x − 1 − 3 x = 2 x + 3 − x ⇔ 2 10 x − 1 = 2 x + 3 + 2 x

⇔ 10 x − 1 = x + 3 + x ⇔ 10 x − 1 = 2 x + 3 + 2 x ( x + 3)
⇔ 2 x 2 + 3x = 8 x − 4 ⇔ x 2 + 3x = 4 x − 2
1

4 x − 2 ≥ 0
x ≥
⇔ 2
⇔ x = 1 thỏa mãn (*)
2
2 ⇔ 
15 x 2 − 19 x + 4 = 0
 x + 3 x = ( 4 x − 2 )


Đ/s: x = 1
Câu 5: Giải các phương trình sau:
a)

3 + x + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2 .

b)

3x − 4 + 4 x + 1 = 2 x + 2 + 5 x − 5 .

c)

5 x − 2 + 2 x − 1 = 6 x + 1 + 3x + 2 .

d)

3x + 7 + x = 2 x + 1 + 2 x + 6 .

Lời giải:
a)

3 + x + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2

ĐK: x ≥ 0

(*)

(

) (

Khi đó (1) ⇔ 2 x − 3 x + 1 +

⇔

)

2x + 2 − x + 3 = 0

4 x − ( 3 x + 1)

+

2 x + 2 − ( x + 3)

=0
2 x + 3x + 1
2x + 2 + x + 3
x −1
x −1
⇔
+
=0
2 x + 3x + 1
2x + 2 + x + 3
1
1


⇔ ( x − 1) 
+
 = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)
2x + 2 + x + 3 
 2 x + 3x + 1

Đ/s: x = 1
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !

Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

b)

Facebook: Lyhung95

3x − 4 + 4 x + 1 = 2 x + 2 + 5 x − 5

ĐK: x ≥

4
3

(*)

Khi đó (1) ⇔

(

) (

5x − 5 − 4x + 1 +

⇔

)

2 x + 2 − 3x − 4 = 0

5 x − 5 − ( 4 x + 1)

+

2 x + 2 − ( 3x − 4 )

=0
5x − 5 + 4x + 1
2 x + 2 + 3x − 4
x−6
6− x
⇔
+
=0
5x − 5 + 4x + 1
2 x + 2 + 3x − 4
1
1


⇔ ( x − 6) 
−
=0
2 x + 2 + 3x − 4 
 5x − 5 + 4 x + 1
x = 6
⇔
 5x − 5 + 4 x + 1 = 2 x + 2 + 3x − 4
Ta có (2) ⇔

(

) (

5 x − 5 − 3x − 4 +
⇔

(2)

(3)

)

4x + 1 − 2x + 2 = 0

5 x − 5 − ( 3x − 4 )

+

4x +1 − ( 2x + 2)

=0
5 x − 5 + 3x − 4
4x +1 + 2x + 2
2x −1
2x −1
⇔
+
=0
5 x − 5 + 3x − 4

4x +1 + 2x + 2
1
1


⇔ ( 2 x − 1) 
+
=0
4x + 1 + 2x + 2 
 5 x − 5 + 3x − 4
⇔ x=

1
không thỏa mãn (*) nên (3) ⇔ x = 6 thỏa mãn (*)
2

Đ/s: x = 6
c)

5 x − 2 + 2 x − 1 = 6 x + 1 + 3x + 2

ĐK: x ≥

1
2

Khi đó (1) ⇔

(*)

(

) (

6x + 1 − 5x − 2 +

⇔
⇔

)

3x + 2 − 2 x − 1 = 0

6x + 1 − (5x − 2)
6 x + 1 + 5x − 2

+

3x + 2 − ( 2 x − 1)
3x + 2 + 2 x − 1

=0

x+3
x+3
+
= 0.
6 x + 1 + 5x − 2
3x + 2 + 2 x − 1

1
Phương trình vô nghiệm với ∀x ≥ .
2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d)

3x + 7 + x = 2 x + 1 + 2 x + 6

ĐK: x ≥ 0

(*)

Khi đó (1) ⇔ 4 x + 7 + 2 x ( 3 x + 7 ) = 4 x + 7 + 2

( 2 x + 1)( 2 x + 6 )

⇔ 3 x 2 + 7 x = 4 x 2 + 14 x + 6 ⇒ 3x 2 + 7 x = 4 x 2 + 14 x + 6 ⇔ x 2 + 7 x + 6 = 0.
Phương trình vô nghiệm với ∀x ≥ 0.
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 6: Giải các phương trình sau:
a)

x2 − 4 + 2 = x − 2 + x .

b) x + 2 x 2 + 5 x + 3 = 5 x + 1 − 1 .
Lời giải:

a)

x2 − 4 + 2 = x − 2 + x

ĐK: x ≥ 2

(*)

Khi đó (1) ⇔ x 2 − 4 = x − 2 + x − 2 ⇒ x 2 − 4 = ( x − 2 ) + ( x − 2 ) + 2 ( x − 2 ) x − 2
2

(

)

⇔ ( x − 2 ) ( x + 2 ) − ( x − 2 ) − 1 − 2 x − 2  = 0 ⇔ ( x − 2 ) 3 − 2 x − 2 = 0
x = 2
x = 2
x = 2

⇔
⇔
⇔
17 đã thỏa mãn (1)


4
2
9
x
−
=
x
=
(
)
2
x
−
2
=
3



4
x = 2
Đ/s: 
 x = 17

4

b) x + 2 x 2 + 5 x + 3 = 5 x + 1 − 1
x +1 ≥ 0
 x ≥ −1
ĐK:  2

⇔
⇔ x ≥ −1
2 x + 5 x + 3 ≥ 0
( x + 1)( 2 x + 3) ≥ 0
Khi đó (1) ⇔ x + 1 +

( x + 1)( 2 x + 3) = 5

⇔ x +1
Ta có (2) ⇔

(

(

⇔

x +1

 x = −1
x +1 + 2x + 3 − 5 = 0 ⇔ 
 x + 1 + 2x + 3 − 5

) (

x +1 − 2 +

(*)

)

)

2x + 3 − 3 = 0 ⇔

(2)

(3)

2x + 3 − 9
x +1− 4
+
=0
x +1 + 2
2x + 3 + 3

2 ( x − 3)
x −3
1
2


+
⇔ ( x − 3) 
+
 = 0 ⇔ x = 3.
2 + x +1 3 + 2x + 3
 2 + x + 1 3 + 2x + 3 

 x = −1

Dođó (3) ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 3
 x = −1
Đ/s: 
x = 3
Câu 7: Giải các phương trình sau:

a)

x2 + 2 x + 6 − x2 + x + 2 = 1 .

b)

x2 + 8 + x2 − 3x + 6 = 5 .

c)

5x 2 + 4 x = 5x2 − 2 x + 1 + 1 .

d)

x2 + x + 2 − 2 x − 1 = x2 − x + 1 .

Lời giải:
a)

x2 + 2 x + 6 − x2 + x + 2 = 1

ĐK: x ∈ ℝ

(*)

Khi đó (1) ⇔ x 2 + 2 x + 6 = x 2 + x + 2 + 1 ⇔ x 2 + 2 x + 6 = x 2 + x + 3 + 2 x 2 + x + 2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 x ≥ −3
⇔ 2 x2 + x + 2 = x + 3 ⇔ 
2
2
4 ( x + x + 2 ) = ( x + 3)
x = 1
 x ≥ −3
⇔ 2
⇔
1 thỏa mãn (*)

x
=
−
3
x
−
2

x
−
1
=
0

3

x = 1
Đ/s: 
1
x = −
3


b)

x2 + 8 + x2 − 3x + 6 = 5

ĐK: x ∈ ℝ

(*)

5 − x 2 + 8 ≥ 0
Khi đó (1) ⇔ x 2 − 3 x + 6 = 5 − x 2 + 8 ⇔ 
 x 2 − 3 x + 6 = 33 + x 2 − 10 x 2 + 8

 x 2 + 8 ≤ 25
 x 2 + 8 ≤ 5


⇔
⇔ 3 x + 27 ≥ 0
2
100 x 2 + 8 = 3 x + 27 2
10 x + 8 = 3 x + 27
)
(
) (

 x 2 ≤ 17
x = 1

⇔  x ≥ −9
⇔
71 thỏa mãn (*)

x
=
 2
91

91x − 162 x + 71 = 0
x = 1
Đ/s: 
71
x =
91


c)

5x 2 + 4 x = 5x2 − 2 x + 1 + 1

2
5 x + 4 x ≥ 0
ĐK:  2
5 x − 2 x + 1 ≥ 0

(*)

Khi đó (1) ⇔ 5 x 2 + 4 x = 5 x 2 − 2 x + 2 + 2 5 x 2 − 2 x + 1

⇔ 2 5 x 2 − 2 x + 1 = 6 x − 2 ⇔ 5 x 2 − 2 x + 1 = 3x − 1
1

1

x ≥ 3
x ≥
⇔
⇔
⇔ x = 1 thỏa mãn (*)
3
5 x 2 − 2 x + 1 = ( 3x − 1)2
4 x 2 − 4 x = 0


Đ/s: x = 1
d)

x2 + x + 2 − 2 x − 1 = x2 − x + 1

ĐK: x ≥

1
2

(*)

Khi đó (1) ⇔ x 2 + x + 2 = 2 x − 1 + x 2 − x + 1

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

⇔ x2 + x + 2 = x2 + x + 2
⇔2

Facebook: Lyhung95

( 2 x − 1) ( x 2 − x + 1)

( 2 x − 1) ( x 2 − x + 1) = 2 ⇔ ( 2 x − 1) ( x 2 − x + 1) = 1

⇔ 2 x3 − 3 x 2 + 3 x − 2 = 0 ⇔ ( x − 1) ( 2 x 2 − x + 2 ) = 0

2

1  15 

⇔ ( x − 1)  x 2 −
 + 8  = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)
2 2



Đ/s: x = 1
Câu 8: Giải các phương trình sau:
a) 11x + ( 5 − x ) 4 − x = x 2 + 30 .

b) 7 x + ( x − 2 ) x + 3 = 3 x 2 + 2 .

c) ( x − 1) x 2 + x + 2 + 1 = x 2 .

d) 1 − x3 + ( x 2 − 1) x + 3 = x 2 − x .
Lời giải :

a) Điều kiện: 4 ≥ x . Phương trình đã cho tương đương với: ( 5 − x ) 4 − x = x 2 − 11x + 30
x = 5
5 − x = 0
⇔ ( 5 − x ) 4 − x = ( 5 − x )( 6 − x ) ⇔ 
⇔
 4 − x − 4 − x + 2 = 0
 4− x =6− x

( ∗)

⇔ x = 5.

2

1 3

Vì 4 − x − 4 − x + 2 =  4 − x −  + > 0; ∀x nên phương trình ( ∗) vô nghiệm.
2 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5 .

b) Điều kiện: x ≥ −3 . Phương trình đã cho tương đương với: ( x − 2 ) x + 3 = 3 x 2 − 7 x + 2

⇔ ( x − 2)

x = 2
x − 2 = 0

x = 2
x + 3 = ( x − 2 )( 3x − 1) ⇔ 
⇔  3x − 1 ≥ 0
⇔
.
=
1
x
x
+
3
=
3
x
−

1

2



  x + 3 = ( 3x − 1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2 .

c) Điều kiện: x ∈ ℝ . Phương trình đã cho tương đương với: ( x − 1) x 2 + x + 2 = x 2 − 1

x = 1
x
−
1
=
0


x 2 + x + 2 = ( x − 1)( x + 1) ⇔  2
⇔   x + 1 ≥ 0
⇔ x = 1.
x
+
x
+
2
=
x

+
1
  x 2 + x + 2 = ( x + 1) 2

 

⇔ ( x − 1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 .

d) Điều kiện: x ≥ −3 . Phương trình đã cho tương đương với: ( x 2 − 1) x + 3 = x3 + x 2 − x − 1

(

)

⇔ x2 − 1

 x2 − 1 = 0
x −1 = 0

x = 1
.
x + 3 = x 2 − 1 ( x + 1) ⇔ 
⇔   x + 1 ≥ 0
⇔
 x + 3 = x + 1  
 x = −1
2
  x + 3 = ( x + 1)

(

)

2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = −1 .
Câu 9: Giải các phương trình sau:
2 x 2 − 3x − x + 1
3x + 1
a)
− x=
.
x
x

2 + x 2 − 3x + 2
3x + 2
b)
+ 2x −1 =
.
2 2x −1

2x −1

Lời giải :
a) Điều kiện: x ≥ 3 . Nên phương trình đã cho tương đương với: 2 x 2 − 3x − x + 1 − x = 3x + 1
x ≥ 3
 x ≥ 3
⇔ 2 x 2 − 3x = 5 x ⇔ 
⇔ 2
( hệ phương trình vô nghiệm ).
2
2
4
x
−
3
x
=
25
x
21
x
+
12
x
=
0



(

)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

x ≥ 2
b) Điều kiện: 
. Nên phương trình đã cho tương đương với: 2 + x 2 − 3x + 2 + 2 ( 2 x − 1) = 3x + 2
1
1 ≥ x >
2

⇔

2 ≤ x
2 ≤ x
x 2 − 3x + 2 = 2 − x ⇔  2
⇔x=2
2 ⇔  2
2
 x − 3 x + 2 = ( 2 − x )
 x − 3x + 2 = 4 − 4 x + x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 .

Câu 10: Giải các phương trình sau:
a)

x 2 − 2 x + x 2 − 4 x = 3x 2 + x .

b)

x2 + x + x2 − 2 x = x2 − 5x .

Lời giải :
x ≥ 4
a) Điều kiện: 
. Phương trình đã cho tương đương với:
x ≤ − 1
3


x2 − 2 x + 2

(x

2

)(

)

− 2 x x 2 − 4 x + x 2 − 4 x = 3x 2 + x

 x 2 + 7 x ≥ 0
⇔ 2 x − 2x x − 4x = x + 7 x ⇔ 
2
2
2
2

4 x − 2 x x − 4 x = x + 7 x
x = 0
x = 0
2
 2
 x + 7 x ≥ 0

⇔ 2
⇔   x + 7 x ≥ 0
⇔
2
2
 x = 19 + 2 203
4
x
x
−
2
x
−
4
=
x
x
+
7

(
)(
)

(
)
2


3

 4 ( x − 2 )( x − 4 ) = ( x + 7 )

(

2

)(

2

)

2

(

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0; x =

)(

) (

)

19 + 2 203
.
3

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

x ≥ 5
b) Điều kiện: 
. Phương trình đã cho tương đương với:
 x ≤ −1

x2 + x + 2

(x

2

)(

)

+ x x2 − 2 x + x2 − 2 x = x2 − 5x

 x 2 + 4 x ≤ 0

⇔ 2 x + x x − 2x = − x − 4x ⇔ 
2
2
2
2
4 x + x x − 2 x = x + 4 x
x = 0
 x 2 + 4 x ≤ 0
 2
x = 0
x + 4x ≤ 0
⇔ 2
⇔
⇔



2
2
2

x = 2 − 2 3
4 x ( x + 1)( x − 2 ) = x ( x + 4 )
 4 ( x + 1)( x − 2 ) = ( x + 4 )

(

2

)(

2

)

2

(

)(

) (

)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0; x = 2 − 2 3 .

Câu 11: Giải các phương trình sau:
a)

x −1 − 2 x − 2 + x + 7 + 6 x − 2 = 4 .

x − 4 x − 4 + x −3+ 2 x − 4 = 3.

b)
Lời giải :

(

)

x −1 − 2 x − 2 = x − 2 − 2 x − 2 + 1 = x − 2 −1 2

a) Điều kiện: x ≥ 2 . Ta có 
2
x + 7 + 6 x − 2 = x − 2 + 6 x − 2 + 9 = x − 2 + 3


(

Nên phương trình đã cho tương đương với:
⇔

x − 2 −1 + x − 2 + 3 = 4 ⇔

(

)

x − 2 −1

2

+

(

x−2 +3

)

)

2

=4

 x − 2 −1 = 1− x − 2
⇔3≥ x≥ 2
x − 2 −1 = 1− x − 2 ⇔ 
3
2
≥
x
≥


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = [ 2;3] .

(

)

x − 4 x − 4 = x − 4 − 4 x − 4 + 4 = x − 4 − 2 2

b) Điều kiện: x ≥ 4 . Ta có 
x − 3 + 2 x − 4 = x − 4 + 2 x − 4 + 1 = x − 4 + 1


(

Nên phương trình đã cho tương đương với:
⇔

x − 4 − 2 + x − 4 +1 = 3 ⇔

(

x−4 −2

)

2

+

(

)

)

x − 4 +1

2

2

=3

 x−4 −2= 2− x−4
x−4 −2 = 2− x−4 ⇔ 
⇔ 8≥ x ≥ 4.
 2 − x − 4 ≥ 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = [ 4;8] .

Câu 12: Giải các phương trình sau:

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a)

x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = x2 + 3 .

8 x3 − 1
− x + 1 = 4 x2 + 2 x + 1 − 2 x − 1 .
x +1

b)
Lời giải :

(

Facebook: Lyhung95

)(

(x −

)
− 1 )( x +

a) Điều kiện: x ∈ ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) . Ta có x − x 2 − 1 x + x 2 − 1 = x 2 − ( x 2 − 1) = 1
Nên phương trình đã cho tương đương x − x 2 − 1 + 2

x2

)

x2 − 1 + x + x2 − 1 = x2 + 3 .

⇔ 2 x + 2 = x 2 + 3 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ( thỏa mãn điều kiện ).
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 .

b) Điều kiện: x ≥

(

Nên phương trình đã cho tương đương

⇔

)

1

. Ta có 8 x3 − 1 = ( 2 x − 1) 4 x 2 + 2 x + 1 .
2
8 x3 − 1 − x − 1 =

(

4x2 + 2x + 1 − 2x − 1

)

x +1 .

( 2 x − 1) ( 4 x 2 + 2 x + 1) − ( x + 1) ( 4 x 2 + 2 x + 1) = x + 1 − ( 2 x − 1)( x + 1) .

⇔ 4x2 + 2x + 1

(

)

2x − 1 − x + 1 = x + 1

(

)

x + 1 − 2x − 1 .

 2x − 1 − x + 1 = 0
 2x − 1 = x + 1

⇔
⇔ 2
⇔ x = 2 ( thỏa mãn điều kiện ).
 4 x 2 + 2 x + 1 + x + 1 = 0
 4 x + 2 x + 1 = x + 1 = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 .

Câu 13: Giải các phương trình sau:
a) 2 x 2 − 9 = ( x + 5 )

x+3
.
x−3

b)

x2 − 4 = ( 7 − x )

x−2
.
x+2

Lời giải :
a) Điều kiện: x ∈ ( −∞; −3] ∪ ( 3; +∞ ) .
Phương trình đã cho tương đương với: 2

( x + 3)( x − 3) = ( x + 5 )

 x+3 = 0
x+3

⇔
x −3
 2 ( x − 3)2 = x + 5


 x = −3
 x = −3; x = 11
 x = −3

⇔
⇔  2 ( x − 3) = x + 5 ⇔ 
( thỏa mãn điều kiện ).
x = 1
2
x
−
3
=
x
+
5

2 x − 3 = − x − 5
3

)
 (
1
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = −3; x = 11; x = .
3

b) Điều kiện: x ∈ ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) .
Phương trình đã cho tương đương với:

( x − 2 )( x + 2 ) = ( 7 − x )

 x−2 =0
x−2
⇔
x+2
 ( x + 2 )2 = 7 − x


Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

x = 2
x = 2
x = 2
⇔
⇔  x + 2 = 7 − x ⇔ 
( thỏa mãn điều kiện ).
x
+
2
=

7
−
x
x
=
5


 x + 2 = x − 7
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2; x = 5 .
Câu 14: Giải các phương trình sau:
a)

2 x + 1 + x2 − x − 1 = 0 .

b) x 2 + x + 2 = 2 .
Lời giải:

1
a) Điều kiện: x ≥ − . Đặt y + 1 = 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ y 2 + 2 y + 1 = 2 x + 1 ⇔ y 2 = 2 x − 2 y .
2
2
2
2
 y + 1 + x − x − 1 = 0
 x = x − y
 x = x − y
Khi đó, ta có hệ phương trình  2
⇔ 2
⇔ 2

2
 y = 2 x − 2 y
 y = 2 x − 2 y
 x − y + x − y = 0

x = y = 0
x = y = 0
 x 2 = x − y
 x 2 = x − y


⇔
⇔   x 2 = x − y ⇔  x = 1 − 2; y = 2 − 2
⇔
( x − y )( x + y + 1) = 0
( x − y )( x + y ) + x − y = 0


 x + y + 1 = 0
 x = 1 + 2; y = −2 − 2
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 0; x = 1 − 2 .
b) Điều kiện: x ≥ −2 . Đặt y = x + 2 ≥ 0 ⇔ y 2 = x + 2 . Khi đó, ta có hệ phương trình
 x 2 + y = 2
 x 2 + y = 2
 x 2 + y = 2
 x 2 + y = 2
⇔ 2
⇔ 2
⇔
 2

2
 y = x + 2
 y − x = 2
 x − y + x + y = 0
( x + y )( x − y ) + x + y = 0
 x2 − x − 2 = 0
 x = −1; x = 2
 x 2 + y = 2
 x2 − x − 2 = 0
 2
⇔
⇔  x + y = 2 ⇔  2
⇔
x = −1± 5
x
+
y
x
−
y
+
1
=
0
(
)(
)
x
+
x

−
1
=
0


 y = x + 1

2

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = −1; x = −

1− 5
.
2

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !