phuong phap giai phuong trinh vô tỉ

3.Phương trình và Bất phương trình vô tỉ:
a)Phương pháp 1:Sử dụng các phép biến đổi tương đương
*
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
= ⇔ = ≥
n n
f x g x f x g x
*
2
( ) ( )= ⇔
n
f x g x

( ) 0
2
( ) ( )
≥
=
g x
n
f x g x
*
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
= ⇔ =
n
n

f x g x f x g x
*
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
> ⇔ >
n
n
f x g x f x g x
*
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
< ⇔ <
n
n
f x g x f x g x
*
2
( ) ( )
< ⇔
n
f x g x
( ) 0
( ) 0
2 1

( ) ( )
≥
≥
+
<
f x
g x
n
f x g x

*
2n
f(x)>g(x) ⇔

( ) 0
( ) 0
( ) 0
2
( ) ( )
<
≥
≥
>
g x
f x
g x
n
f x g x
Ví duï 1: Giaûi caùc pt sau:
1)

2 3 0− + =x x
; 2)
4 1 1 2+ − − = −x x x
; 3)
1 1− − − =x x x
4)
2
2 1 ( 1) 0− − − − + − =x x x x x x
; 5)
2
( 1) ( 2) 2− + + =x x x x x
;
6)
( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2+ − − + = − + − + +x x x x x x
(CÑSP NA
1999)
7)
2
2 6 1 1+ + = +x x x
; 8)
2
3 2 1
3 2
− − = −
−
x
x x
x
;9)
3 x

x+ x - x- x =
2
x+ x
10)
2
2
2
2
2(1 1 )
− =
+ +
x x
x
;11)
2 2
4 2 4− − + = +x y y x y
(HSG ÑN 2004)
12)
36 4
28 4 2 1
2 1
+ = − − − −
− −
x y
x y
; 13)
4 4 2 2
( 1)+ + + = +ax x x a x a a
;
14)

4 2 2 2
2 2 16 2 6 20 0− − + + − + =x x x x x x
;15)
2
7 7+ + =x x
16)
3(2 2) 2 6+ − = + +x x x
; 17)
2 2
9 24 6 59 149 5− + + − + = −x x x x x
Ví duï 2:Giaûi caùc bpt sau:
1)
2 1+ − + ≤x x x
;2)
( 5)(3 4) 4( 1)
+ + > −
x x x
;3)
7 13 3 9 5 27− − − ≤ −x x x
;
14)
4 3 10 3 2− − = −x x
(HSG QG 2000); 4)
1 1+ − − ≥x x x
;
5)
3 4 3 4 9+ + − ≤ +x x x
;6)
2
2x -6x+1-x+2>0

; 7)
2 2
( 3) 4 9− + ≤ −x x x
8)
2 2
4 3 2 3 1 1− + − − + ≥ −x x x x x
; 9)
2 2
25 7 3− + + >x x x
;
10)
2
2
4
(1 1 )
> −
+ +
x
x
x
;11)
2 2 2
8 15 2 15 4 18 18− + + + − > − +x x x x x x
;
12)
2 2
1 1 2
x+ + x- >
x x x
;13)

2x
< 2x+1-1
2x+9
;14)
2 2 2
x -3x+2+ x -4x+3 2 x -5x+4≥
Ví dụ 3:Tìm m để các pt:
1)
2
1− − =x x m
có n
o
duy nhất; 2)
2 2
2 4 0− − − =x mx x
có n
o
; 3)
2
x -m- 2x-4=0
có n
o
; 4)
mx- x-3 m+1≤
có n
o
; 5)
4-x + x+5 ≥ m

có n

o
b)Phương pháp 2:Đặt ẩn phụ đưa về pt-bpt:Ta thường đặt ẩn phụ cho
Các biểu thức đồng dạng
Ví dụ 1:Giải các pt sau
1)
2
(x+5)(-x)=3 x +3x
; 2)
3+x + 6-x =3+ (3+x)(6-x)
; 3)
2
2
1 1
3
x x x x+ − = + −
4)
2x+3+ x+1=3x+2 (2x+3)(x+1)-16
; 5)
2
9 9 9x x x x+ − = − + +
;6)
2 2
11 31x x+ + =
; 7)
1
( 3)( 1) 4( 3) 3 0
3
x
x x x
x

+
− + + − + =
−
;8)
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
; 9)
4
2 2
1 1 2x x x x− − + + − =
10)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
; 11)
3 2
5 1 2( 2)x x
+ = +
12)
2 2
2(1 ) 2 1 2 1x x x x x
− + − = − −
; 12); 13)
2 2
5x +14x+9- x -x-20=5 x+1
;

14)
2 2
( 4) 4 ( 2) 2x x x x x− − + + − =
; 15)
3 3
3 3
35 ( 35 ) 30x x x x
− + − =
16)
2 2 2 2
3x -1+ x -x -x x +1= x(x +2)(5x-1)
;17)
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −
;
18)
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
;19)
3 2 4
1 1 1 1x x x x x− + + + + = + −
19)
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
Ví dụ 2:Giải các bpt sau:
1)
+ + > − −
2 2

5 10 1 7 2x x x x
; 2)
2 2
2 5 6 10 15+ − − > +x x x x
;
3)
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14+ + − + + − ≤ −x x x x x
; 4)
2
2 8 4 (4 )( 2) 0− + − − + ≥x x x x
;5)
3
24 12 6+ + − ≤x x
; 6)
2
2 1+ ≥ +x x x
; 7)
2
2
1 3
1
1
1
> −
−
−
x
x
x

8)
2 2
2 2
2
1 5 1
( ) 2 0
1 2
1
−
+ + + + >
−
−
x x x
x x x
x
; 9)
5 1
5 2 4
2
2
+ < + +x x
x
x
;
10)
12 2 82
(12 ) ( 2)
2 12 3
− −
− + − <

− −
x x
x x
x x
Ví dụ 3:Tìm m để các pt-bpt sau có n
o
1)
m+x =m- m-x
; 2)
x- x-1>a
(a>0); 3)
2
x -2mx+1=m-2
; 4)
1 1
x+ x+ + x+ =m
2 4
4)
2 2 2 2
3
3 3
(x+a) +m (x-a) =(m+1) x -a
; 5)
x-m- x-2m> x-3m
;6)
2 2
x -2m+2 x -1=x
7)
2
4

4 4
1+x 1-x
1-m + 1+m =2 1-m
1-x 1+x
; 8)
2 2 2
x +2x+m 5-2x-x = m
;9)
x+1
(x-3)(x+1)+4(x-3) =m
x-3
c)Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ pt
Các dạng thường gặp
*
n
n
x +b=a ax-b
đặt t=
n
ax-b
*
n m
a-f(x)± b+f(x)=c
đặt u=
n
a-f(x)
;v=
m
b+f(x)
ta có:

n m
u±v=c
u +v =a+b
Ví dụ 1:Giải các pt sau
1)
3
3
1 2 2 1+ = −x x
;2)
4 4
17 3+ − =x x
; 3)
3
2 1 3− + + =x x
; 4)
4 4 4
1 1= + − −x x x
;
5)
8 8
3
4
17 2 1 1− − − =x x
6)
2 2
3 3
3
(2-x) + (x+7) - (2-x)(x+7)=3
; 7)
2

3
2 4
2
+
+ =
x
x x
; 8)
2
2 15
8 8 5
16
+
+ − =
x
x x
9)
2
4
2 8 6
2
+
+ + =
x
x x
; 10)
2 2
2
1-x =( - x )
3

; 11)
2 2
3 3
3
7x+1+ x -8x-1- x -x-8=2
12)
3 2
3
2 2− = −x x
;13)
2
1000 1 8000 1000− − + =x x x
;14)
3 3
1 2 1 2 2− + + =x x
;
15)
2 2
4
6
1 1 1 1− + + − + − =x x x x
;
Ví dụ 2:Tìm m để các pt sau có n
o
1)
3 2 2
x +(3-m )m=3 3x+(m -3)m
;2)
3 3
1 2 1 2− + + =x x m

;3)
2
2 2+ + = + +x m x x m
4)
3 6 (3 )(6 )+ + − − + − =x x x x m
d)Một số phương pháp khác:
Nếu
( ) ; ( )≥ ≤f x k g x k
thì pt: f(x)=g(x)
⇔

( )
( )
=
=
f x m
g x m
Ví dụ 1:Giải các pt sau:
1)
2
2 4 6 11− + − = − +x x x x
; 2)
2
4 1 4 1 1− + − =x x
;3)
2 2 2
1 1 2+ − + − + = − +x x x x x x
4)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4− + − − = − − − − +x x x x x x x

Vấn đề 3:Hệ phương trình