Bài toán ổn định hoá đối với phương trình vi phân cấp phân số nửa tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG THỊ THẢO

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ
NỬA TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Trần Đình Kế đã tận tình
hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn
thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất
trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Đặng Thị Thảo


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Kế, luận văn
tốt nghiệp "Bài toán ổn định hóa đối với phương trình vi phân cấp
phân số nửa tuyến tính" được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản
thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Đặng Thị Thảo


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
4
1.1 Ổn định hoá cho hệ điều khiển cấp phân số tuyến tính . . . . . . 4
1.2 Không gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén . . . . . . . . . . . . . 11
2 Tính giải được của hệ điều khiển phản hồi

15

3 Tính ổn định hoá được yếu của hệ điều khiển
22
3.1 Tính ổn định hóa được yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tài liệu tham khảo

34

ii


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giả sử X và U là không gian Banach. Xét hệ điều khiển dạng
D0α x(t) ∈ Ax(t) + Bu(t) + F (t, xt ), t > 0,

(0.1)

x(t) = ϕ(t), t ≤ 0,

(0.2)

ở đó D0α , α ∈ (0, 1), là đạo hàm cấp phân số theo nghĩa Caputo, A sinh ra C0 -nửa
nhóm trên X , B : U → X là toán tử tuyến tính bị chặn, ϕ ∈ B với B là không
gian pha sẽ được giới thiệu trong phần sau, F : [0, ∞) × B → P(X) là ánh xạ đa
trị, và xt ký hiệu trạng thái lịch sử của hệ và được xác định bởi xt (s) = x(t + s)
với s ∈ (−∞, 0].

Phương trình vi phân cấp phân số đã được chứng minh là một công cụ hữu
hiệu mô tả nhiều hiện tượng vật lý như các dòng chảy trong môi trường vật liệu
xốp và các quá trình dao động (xem [14, 25, 28]). Các khái niệm và kết quả cơ
bản về phương trình vi phân cấp phân số có thể tìm thấy trong các cuốn sách
chuyên khảo [20, 24, 29]. Việc nghiên cứu các bao hàm thức vi phân cấp phân
số được thúc đẩy bởi nhiều bài toán. Một trong số đó đến từ lý thuyết phương
trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục (xem [10]). Cụ thể, hàm đa trị
F trong (0.1) là hàm chính quy hoá của hàm đơn trị không liên tục f theo cách
F (t, y) là bao lồi đóng của tập
Ξ(y) = {z : ∃yn → y, z = lim f (t, yn )}.
n→∞

Theo cách này, bao hàm thức vi phân nhận được được xem xét như là mô hình
xấp xỉ cho phương trình vi phân với chú ý F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên.
Tính giải được của (0.1)-(0.2) được nghiên cứu bởi nhiều tác giả dưới các giả
thiết khác nhau về nửa nhóm etA và số hạng phi tuyến F (xem [5, 21, 23, 32]).
Bên cạnh đó, câu hỏi về tính điều khiển được của (0.1)-(0.2) cũng thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà khoa học (xem [26, 27, 32]). Tuy nhiên, các kết quả về
tính ổn định hóa cho các hệ vi phân cấp phân số dạng (0.1)-(0.2) chưa được biết
đến.
1


Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết ổn định hóa đối với phương
trình vi phân cấp phân số, tôi chọn vấn đề "Bài toán ổn định hóa đối với
phương trình vi phân cấp phân số nửa tuyến tính" cho đề tài nghiên cứu
của luận văn. Vì tính duy nhất nghiệm của hệ (0.1)-(0.2) không được đảm bảo
nên lý thuyết ổn định Lyapunov không áp dụng được, ngay cả trong trường hợp
α = 1. Do đó ta sử dụng khái niệm ổn định hoá yếu như sau.
Định nghĩa 0.1. Hệ (0.1)-(0.2) được gọi là ổn định hoá được yếu bởi điều khiển

phản hồi nếu tồn tại toán tử tuyến tính D : U → X sao cho với u(t) = Dx(t), tập
nghiệm S(ϕ) = ∅ và thoả mãn
1. Ổn định: với bất kì > 0, tồn tại δ > 0 sao cho khi |ϕ|B < δ thì supt>0 |xt |B <
, với mọi x ∈ S(ϕ);
2. Hút yếu: với mỗi ϕ ∈ B, tồn tại nghiệm toàn cục x ∈ S(ϕ) sao cho |xt |B → 0
khi t → +∞.
Ta sẽ chứng minh kết quả ổn định hoá yếu cho (0.1)-(0.2) bằng cách sử dụng
kết quả ổn định hoá cho các hệ tuyến tính và lý thuyết điểm bất động cho các
ánh xạ đa trị nén. Khó khăn trong bài toán này bao gồm hai yếu tố. Trước hết
là sự xuất hiện của trễ vô hạn cùng với không gian pha. Để nghiên cứu tính hút
yếu ta cần tìm các điều kiện hợp lý cho không gian pha của hệ. Khó khăn tiếp
theo là thiếu tiêu chuẩn compact trong không gian BC(0, ∞; X), không gian các
hàm liên tục, bị chặn trên (0, ∞) và lấy giá trị trong X . Để vượt qua khó khăn
này, ta xây dựng một độ đo không compact (MNC) chính qui trên một không
gian con của BC(0, ∞; X), là không gian nghiệm cho bài toán đang xét.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính ổn định hóa được theo nghĩa yếu của hệ (0.1)-(0.2) dựa trên
tính ổn định hóa được của hệ tuyến tính tương ứng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu về lý thuyết nửa nhóm;
2. Tìm hiểu về giải tích bậc phân số;
3. Nghiên cứu điều kiện ổn định hóa của hệ tuyến tính;
4. Nghiên cứu tính ổn định hóa theo nghĩa yếu của hệ phi tuyến.
2


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: Hệ điều khiển mô tả bởi bao hàm thức vi phân cấp

phân số.
• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện ổn định hóa theo nghĩa yếu của hệ (0.1)-

(0.2).

5. Dự kiến đóng góp mới
Chứng minh chi tiết các kết quả trong công trình [19].

6. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Giải tích đa trị, giải tích bậc phân số, độ đo không compact;
• Lý thuyết nửa nhóm;
• Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén.

Luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 nhắc lại một số khái niệm
và kết quả liên quan tới lý thuyết nửa nhóm và giải tích bậc phân số. Thêm vào
đó, chúng tôi sẽ trình bày một kết quả cơ bản cho tính ổn định hoá của hệ tuyến
tính tương ứng với (0.1)-(0.2). Trong Chương 2, chúng tôi trình bày kết quả về
sự tồn tại nghiệm toàn cục trên (−∞, T ], với T > 0. Kết quả tồn tại nghiệm
ở đây không yêu cầu về tính compact của nửa nhóm etA hoặc tính Lipschitz
của F . Nếu etA không compact, ta sẽ yêu cầu tính chính qui của F qua độ đo
không compact Hausdorff (xem [5, 21, 23, 32] cho trường hợp sử dụng giả thiết
compact hoặc Lipschitz). Chương 3 dành cho việc chứng minh kết quả chính về
tính ổn định hoá được yếu với giả giả thiết rằng phần tuyến tính tương ứng là
ổn định hoá được. Phần cuối chương này chúng tôi trình bày một ví dụ để minh
hoạ các kết quả đạt được.

3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Ổn định hoá cho hệ điều khiển cấp phân số
tuyến tính

Giả sử A là toán tử tuyến tính với miền D(A) là phần tử sinh của một C0 -nửa
nhóm {etA }t≥0 trên X . Ký hiệu
σ(A)

là phổ của A,

s(A)

là bán kính phổ của A,

ω(A)

là độ tăng trưởng mũ của A,
là độ tăng trưởng cốt yếu của A,

ωess (A)

ln etA
t→∞
t

trong đó s(A) = sup{Re(λ) : λ ∈ σ(A)}; ω(A) = lim

ln etA
t→∞
t
lim

ess

, ở đây ·

L(X)

và ·

ess

L(X)

; ωess (A) =

tương ứng là ký hiệu của chuẩn và chuẩn

cốt yếu của toán tử tuyến tính trên X (xem sách chuyên khảo của Engel và
Nagel [9]).
Ta sẽ nhắc lại một số kết quả liên quan tới tính chất của các đại lượng trên.
Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [9].
Bổ đề 1.1. Giả sử A là phần tử sinh của C0 -nửa nhóm trên không gian Banach
X . Khi đó
(i) ω(A) = max{s(A), ωess (A)};
(ii) Nếu nửa nhóm {etA } liên tục theo chuẩn, nghĩa là, hàm t → etA liên tục
với t > 0 thì s(A) = ω(A);

(iii) ωess (A) = ωess (A + K), ở đó K : X → X là toán tử compact;
4


(iv) Với mỗi ω > ωess (A) tập σ(A) ∩ {λ ∈ C : Re(λ) ≥ ω} là bị chặn.
Nhắc lại rằng với mỗi ω > ωess (A) cố định (ω được gọi là điểm tách phổ) thì
σ(A) có thể được viết dưới dạng σ(A) = σu (A) ∪ σs (A) (xem [9, Định lý V.3.7]),
ở đó
σu (A) = σ(A) ∩ {λ ∈ C : Re(λ) ≥ ω}
σs (A) = σ(A) ∩ {λ ∈ C : Re(λ) < ω}.

Chúng ta có thể thấy rằng σu (A) là bị chặn và tách σs (A) bởi một đường cong
đóng ΓC . Khi đó theo kết quả của Kato [17, Định lý 6.17], ta thu được biểu diễn
tương ứng của không gian trạng thái và toán tử A như sau
X = Xu ⊕ Xs , A = Au ⊕ As ,

ở đây Xu = P X, Xs = (I − P )X , P là toán tử chiếu
P =

1
2πi

(λI − A)−1 dλ
ΓC

và
Au = A

Xu

, As = A

.
Xs

Thực tế, Xu và Xs là hai không gian con bất biến dưới tác động của toán tử A,
nghĩa là, AXu ⊂ Xu , AXs ⊂ Xs . Hơn nữa, σ(Au ) = σu (A), σ(As ) = σs (A) và Au là
toán tử bị chặn trên Xu .
Ký hiệu L1 (0, T ; X) là không gian các hàm trên [0, T ] lấy giá trị trong không
gian X và khả tích theo nghĩa Bochner.
Định nghĩa 1.1. Tích phân cấp phân số α > 0 của hàm f ∈ L1 (0, T ; X) được
xác định bởi
I0α f (t)

1
=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s)ds,
0

ở đó Γ là hàm Gamma.
Định nghĩa 1.2. Đạo hàm cấp phân số α ∈ (0, 1) theo nghĩa Caputo của f ∈
C 1 ([0, T ]; X) cho bởi
D0α f (t)

t

1
=
Γ(1 − α)

(t − s)−α f (s)ds.
0

5


Xét bài toán Cauchy
D0α x(t) = Ax(t) + f (t), t > 0, α ∈ (0, 1],

(1.1)

x(0) = x0 .

(1.2)

Định nghĩa 1.3. Một hàm x ∈ C([0, T ]; X) được gọi là nghiệm tích phân của
(1.1)-(1.2) trên khoảng [0, T ] khi và chỉ khi
t

x(t) = Sα (t)x0 +

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds, ∀t ∈ [0, T ],

(1.3)

θA

(1.4)

0

ở đó
∞

φα (θ)et

Sα (t) =
0

α

∞

θφα (θ)et

Pα (t) = α

dθ,

α

θA

(1.5)

dθ,

0

φα (θ) =

1
απ

∞

(−1)n−1 θn−1
n=1

Γ(nα + 1)
sin nπα, θ ∈ (0, ∞).
n!

(1.6)

Công thức của (1.3) và của các toán tử Sα (·), Pα (·) có thể tìm thấy trong bài
báo [33]. Chúng ta gọi Sα (·) và Pα (·) là toán tử giải thức cấp phân số sinh bởi
toán tử A.
Trong (1.1)-(1.2), ta đặt f (t) = Bu(t), khi đó chúng ta bàn về hệ điều khiển
tuyến tính
D0α x(t) = Ax(t) + Bu(t), t > 0,

(1.7)

x(0) = x0 .

(1.8)

Để ngắn gọn, chúng ta sử dụng ký hiệu(A, B)α để chỉ hệ (1.7)-(1.8) và (A, B)
để chỉ hệ (A, B)1 . Nhắc lại rằng, hệ (A, B) ổn định hoá mũ bởi phản hồi nếu có
toán tử tuyến tính D : U → X sao cho toán tử A = A + BD sinh ra nửa nhóm
ổn định mũ {S(t)}t≥0 , nghĩa là,
S(t)

L(X)

≤ M e−at ,

với M ≥ 1, a > 0. Trong phần còn lại của luận văn, ta nói toán tử tuyến tính bị
chặn D : U → X là toán tử phản hồi nếu A = A + BD sinh ra C0 -nửa nhóm.
Định nghĩa 1.4. Ta nói rằng hệ (A, B)α là ổn định hoá được bởi điều khiển
phản hồi nếu tồn tại toán tử phản hồi D : U → X sao cho nghiệm của bài toán
6


Cauchy
D0α x(t) = Ax(t), t > 0,
x(0) = x0 ,

tồn tại và x(t) → 0 khi t → +∞, ở đây A = A + BD.
Ta sẽ chỉ ra rằng, nếu (A, B) ổn định hoá được thì (A, B)α cũng ổn định
hoá được. Để chứng minh điều này, trước hết ta thiết lập một vài ước lượng
quan trọng sau. Giả sử 0 < α < 1, δ > −1 là các hằng số cho trước. Xét hàm số
Ψα,δ : [0, ∞) → [0, ∞) xác định bởi
∞

e−sθ θδ φα (θ) dθ, s ≥ 0,

Ψα,δ (s) =

(1.9)

0

ở đó φα cho bởi (1.6). Khi đó ước lượng quan trọng sau được chứng minh trong
[1].
Bổ đề 1.2 ([1]). Tồn tại số Dδ sao cho
0 ≤ Ψα,δ (s) ≤

Dδ
, ∀s > 0.
s1+α

(1.10)

Cho trước toán tử A, ký hiệu S(·) và {Sα (·), Pα (·)} tương ứng là C0 -nửa nhóm,
các toán tử giải thức cấp phân số sinh ra bởi A. Khi đó chúng ta có
∞

φα (θ)S(tα θ)dθ,

Sα (t) =
0

(1.11)

∞

θφα (θ)S(tα θ)dθ.

Pα (t) = α

(1.12)

0

Bổ đề 1.3. Giả sử S(·) là một nửa nhóm ổn định mũ
S(t)

L(X)

≤ M e−at , ∀t ≥ 0,

(1.13)

với M ≥ 1, a > 0. Khi đó với bất kì t ≥ 0 cố định, Sα (t) và Pα (t) là các toán tử
tuyến tính bị chặn, hơn nữa, ta cũng có
Sα (t)

L(X)

≤ M min 1,

D0
atα

(1.14)

,

và
Pα

L(X)

≤ αM min

1
D1
, 2 2α
Γ(1 + α) a t

,

với bất kì t > 0, ở đó D0 , D1 là các hằng số cho trong Bổ đề 1.2.
7

(1.15)


Chứng minh. Ta biết rằng (xem, ví dụ, [33, Bổ đề 3.2])
Sα (t)

L(X)

≤ M, Pα (t)

L(X)

≤

M
.
Γ(α)

(1.16)

Từ (1.12), (1.10) và (1.13) ta có ước lượng
∞

Sα (t)

L(X)

φα (θ) S(θtα )

≤
0

∞

α

φα (θ)e−at

≤M

L(X) dθ
θ

dθ = M Ψα,0 (atα ) ≤

0

M D0
atα

(1.17)

và
∞

Pα (t)

L(X)

θφα (θ) S(θtα )

≤α
0

∞

αθφα (θ)e−at

≤M

α

θ

L(X) dθ

dθ = αM Ψα,1 (atα ) ≤

0

αM D1
.
a2 t2α

(1.18)

với mỗi t > 0. Do đó (1.14) và (1.15) được chứng minh từ (1.16), (1.17) và (1.18).

Kết quả sau đây đưa ra một điều kiện đủ để hệ (1.7)-(1.8) ổn đinh hoá được
bởi phản hồi.
Định lí 1.4. Giả sử
(A1) C0 -nửa nhóm {etA }t≥0 là liên tục theo chuẩn,
(A2) ωess (A) < 0,
(A3) (Au , P B) ổn đinh hoá được mũ bởi phản hồi, ở đó P là toán tử chiếu tương
ứng với tách phổ ω ∈ (ωess (A), 0) và Au = A|P X .
Khi đó hệ điều khiển (1.7)-(1.8) ổn định hoá được bởi phản hồi.
Chứng minh. Vì nửa nhóm {etA }t≥0 liên tục theo chuẩn, từ đó và Bổ đề 1.1(i)
chúng ta có s(A) = ω(A). Mặt khác dưới giả thiết (A1), nửa nhóm {Ss (t)}t≥0
sinh bởi As cũng liên tục theo chuẩn. Thêm vào đó, từ (A2) chúng ta thấy với

tách phổ ω mà ωess (A) < ω < 0 thì s(As ) = ω(As ) < 0.
Giả sử Du là toán tử phản hồi sao cho (Au , P B) ổn định hoá được, và đặt
D = (Du , 0) ∈ L(X, U). Khi đó sử dụng các lập luận tương tự như trong chứng
minh [6, Định lý 3.32] (cũng xem [30, Định lý 6.1]), ta có toán tử A = A + BD

8


sinh ra một C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 ổn định mũ, nghĩa là tồn tại các hằng số
dương M ≥ 1, a > 0 sao cho
S(t)

L(X)

≤ M e−at , t ≥ 0.

(1.19)

Sử dụng điều khiển phản hồi u(t) = Dx(t), nghiệm tích phân của (1.7)-(1.8) cho
bởi công thức
x(t) = Sα (t)x0 .

Từ đó và Bổ đề 1.3 ta có
x(t) ≤ Sα (t)

L(X)

x0 = O(t−α ) khi đó t → +∞,

Bất đẳng thức cuối cho ta điều phải chứng minh.

Xét toán tử Qα : Lp (0, T ; X) → C([0, T ]; X) xác định bởi
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds,

Qα (f )(t) =

(1.20)

0

ở đó p > α1 . Các tính chất của S(·), Sα (·), Pα (·) và Qα (·) được dùng cho các phần
sau cho bởi Mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.5. Giả sử nửa nhóm sinh bởi toán tử A là liên tục theo chuẩn và
A = A + BD, trong đó D là toán tử phản hồi. Khi đó
1. Nửa nhóm S(·) sinh bởi A và các họ giải thức cấp phân số Sα (·), Pα (·) liên
tục theo chuẩn;
2. Toán tử Qα cho bởi công thức (1.20) ánh xạ mọi tập bị chặn trong Lp (0, T ; X)
thành tập liên tục đồng bậc trong C([0, T ]; X);
3. Nếu nửa nhóm sinh bởi toán tử A là compact thì nửa nhóm S(·) cũng
compact. Hơn nữa, Sα (t) và Pα (t) cũng là các toán tử comapct với mọi
t > 0.
Chứng minh. Theo công thức biến thiến hằng số nửa nhóm S(·) có biểu diễn sau
t

S(t)z = etA z +

e(t−s)A BDS(s)zds.

(1.21)

0

Vì nửa nhóm t → etA là liên tục theo chuẩn, và toán tử BDS(s) bị chặn với mỗi
s ≥ 0, nên ánh xạ
t

e(t−s)A BDS(s)zds, t > 0,

t→
0

9


liên tục đều, với tất cả z nằm trong tập bị chặn. Vì thế ánh xạ t → S(t)z cũng
liên tục đều với t > 0. Nghĩa là, nửa nhóm S(·) cũng liên tục theo chuẩn. Sử
dụng các lập luận như trong [31, Định lý 3.2], chúng ta có các họ giải thức cấp
phân số Sα (·), Pα (·) cũng liên tục theo chuẩn. Do vậy khẳng định thứ nhất được
chứng minh. Khẳng định thứ hai cũng được chứng minh bởi sử dụng [1, Mệnh
đề 2.2].
Để chứng minh khẳng định thứ ba, theo công thức (1.21) chúng ta quan sát
thấy rằng nếu t → etA là nửa nhóm compact thì S(t), t > 0, là toán tử compact.
Từ đây và [31, Định lý 3.5], ta có Sα (t) và Pα (t) là toán tử compact với mọi
t > 0.

1.2

Không gian pha

Trong phần này và các phần tiếp theo, ta sử dụng định nghĩa không gian pha
B được giới thiệu bởi Hale và Kato trong tài liệu [12]. Không gian pha B là
không gian tuyến tính các hàm đi từ (−∞, 0] vào X cùng với nửa chuẩn | · |B và
thoả mãn các tiên đề cơ bản sau: nếu một hàm y : (−∞, T + σ] → X sao cho
y|[σ,T +σ] ∈ C([σ, T + σ]; X) và yσ ∈ B , thì
(B1) yt ∈ B với t ∈ [σ, T + σ];
(B2) hàm t → yt liên tục trên t ∈ [σ, T + σ];
(B3) |yt |B ≤ K(t − σ) sup y

X

+ M (t − σ)|yσ |B , ở đó K, M : [0, ∞) → [0, ∞), K

σ≤s≤t

là hàm liên tục, M bị chặn địa phương, và K, M không phụ thuộc vào y .
Ta cần bổ sung thêm một giả thiết trên B:
(B4) tồn tại

> 0 sao cho φ(0)

X

≤ |φ|B , với mọi φ ∈ B .

Ta đưa ra một vài ví dụ về không gian pha. Các ví dụ cụ thể khác có thể tra
cứu trong cuốn sách chuyên khảo của Hino, Mukarami và Naito [15].
Xét không gian
Cγ = {φ ∈ C((−∞, 0]; X) : lim eγθ φ(θ) tồn tại trong X},
θ→−∞

(1.22)

ở đó γ là số dương. Khi đó Cγ là không gian pha thoả mãn tiên đề (B1)-(B3) với
K(t) = 1, M (t) = e−γt ,

10

(1.23)


và Cγ là không gian Banach với chuẩn cho bởi
|φ|B = sup eγθ φ(θ) .
θ≤0

Một ví dụ khác về không gian pha như sau. Giả sử rằng 1 ≤ p < +∞, 0 ≤ r < +∞
và g : (−∞, −r] → R là hàm đo được Borel không âm trên (−∞, −r). Giả sử CLpg
là lớp các hàm ϕ : (−∞, 0] → X sao cho ϕ liên tục trên [−r, 0] và g(θ) ϕ(θ) pX ∈
L1 (−∞, −r). Một nửa chuẩn trên CLgX cho bởi công thức
−r

|φ|

CLgX

=

sup { ϕ(θ)

X }+

−r≤θ≤0

g(θ) ϕ(θ)
−∞

p
X

dθ

1
p

.

(1.24)

Giả sử thêm rằng
−r

g(θ)dθ < +∞, với mọi s ∈ (−∞, −r) và

(1.25)

s

g(s + θ) ≤ G(s)g(θ) với s ≤ 0 và θ ∈ (−∞, −r),

(1.26)

ở đó G : (−∞, 0] → R+ là hàm bị chặn địa phương. Ta biết từ [15] rằng nếu (1.25)(1.26) thoả mãn, thì CLpX thoả mãn (B1)-(B3). Hơn nữa, ta có thể lấy

1
với 0 ≤ t ≤ r,
1
K(t) =
(1.27)
1+ −r g(θ) dθ p với t > r;
−t

1

max 1+ −r g(θ) dθ p , G(−t) p1
với 0 ≤ t ≤ r,
−t
M (t) =
(1.28)
1
1
p

−r
max
p
g(θ) dθ , G(−t)
với t > r.
−t

1.3

Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén

Trong phần này ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan tới
độ đo không compact trong không gian Banach và giải tích đa trị. Giả sử E là
không gian Banach. Ký hiệu
P(E) = {Y ⊂ E : Y = ∅},
Pb (E) = {Y ∈ P(E) : Y bị chặn},
K(E) = {Y ∈ P(E) : Y là tập compact},
Kv(E) = {Y ∈ K(E) : Y là tập lồi}.

Ta sử dụng định nghĩa sau đây của độ đo không compact (xem [16]).
11


Định nghĩa 1.5. Một hàm β : Pb (E) → R+ được gọi là độ đo không compact
(MNC) trên E nếu
β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb (E),

ở đó β(co Ω) là bao đóng của bao lồi của tập Ω. Một MNC β được gọi là:
(i) đơn điệu nếu với mỗi tập Ω0 , Ω1 ∈ Pb (E) sao cho Ω0 ⊆ Ω1 , chúng ta có
β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 );
(ii) không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ Pb (E);
(iii) bất biến với hợp của tập compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact
tương đối K ∈ E và Ω ∈ Pb (E);
(iv) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω0 +Ω1 ) ≤ β(Ω0 )+β(Ω1 ) với mọi Ω0 , Ω1 ∈ Pb (E);
(v) chính qui nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω.
Một ví dụ về MNC thoả mãn các tính chất nêu trên là MNC Hausdorff χ(·),
với χ(·) định nghĩa bởi
χ(Ω) = inf{ε > 0 : Ω có hữu hạn ε − lưới}.

Bây giờ, ta giới thiệu một vài độ đo không compact. Giả sử L > 0 và D ⊂ E =
C([0, T ]; X), đặt
ωT (D) = sup e−Lt χ(D(t)), ở đo D(t) := {x(t) : x ∈ D},

(1.29)

t∈[0,T ]

modT (D) = lim sup

max

δ→0 x∈D t,s∈[0,T ],|t−s|<δ

x(t) − x(s) .

(1.30)

Theo [16, Ví dụ 2.1.2, 2.1.4], ωT và modT là các MNC và chúng thoả mãn tất cả
các tính chất trong định nghĩa 1.5, ngoại trừ tính chính qui. Thêm vào đó, với
D ⊂ C([0, T ]; X) thì
• ωT (D) = 0 khi và chỉ khi D(t) là tập compact tương đối với mọi t ∈ [0, T ];
• modT (D) = 0 khi và chỉ khi D liên tục đồng bậc.

Đặt
χT (D) = ωT (D) + modT (D),

khi đó χT là một MNC chính qui trên C([0, T ]; X). Thật vậy, nếu χT (D) = 0 thì
ωT (D) = modT (D) = 0. Điều này suy ra rằng D(t) là tập compact tương đối với

12


mọi t ∈ [0, T ] và D là tập liên tục đồng bậc. Do đó theo định lý Arzelà-Ascoli là
tập D là tập compact tương đối.
Ta cần khái niệm về χ-norm cho một toán tử tuyến tính bị chặn trên E . Giả
sử L ∈ L(E), định nghĩa
L

χ

= inf{C > 0 : χ(L(Ω)) ≤ Cχ(Ω) với tất cả tập bị chặn Ω ⊂ E}.

(1.31)

Chúng ta biết rằng (xem, ví dụ [2])
• L

χ

= χ(L(B1 )), ở đó B1 là hình cầu đơn vị trong E ;

• L

χ

là một nửa chuẩn trên L(E) và L

• L

χ

= 0 khi và chỉ khi L là toán tử compact.

χ

≤ L

L(E) ;

Ta nhắc lại một số ước lượng cơ bản về MNC.
Mệnh đề 1.6. ([16]) Nếu {ωn } ⊂ L1 (0, T ; X) sao cho
ωn (t)

X

≤ ν(t), với hầu khắp nơi trên [0, T ],

với ν ∈ L1 (0, T ), thì
t

χ

t

ωn (s) ds

≤2

χ({ωn (s)}) ds

0

0

với mọi t ∈ [0, T ].
Mệnh đề 1.7. ([1]) Nếu D ⊂ L1 (0, T ; X) sao cho
(i) ζ(t) ≤ ν(t), với mọi ζ ∈ D và với hầu khắp nơi trên [0, T ],
(ii) χ(D(t)) ≤ q(t) với hầu khắp nơi trên [0, T ], ở đó ν, q ∈ L1 (0, T ). Thì
t

t

χ

D(s) ds

≤4

0
t

ở đó

t

ζ(s) ds : ζ ∈ D .

D(s) ds =
0

q(s) ds,
0

0

Trong luận văn này ta sẽ sử dụng một vài khái niệm và kết quả của giải tích
đa trị. Giả sử Y là không gian metric.
Định nghĩa 1.6. ([16]) Một ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

13


(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu với mọi tập con đóng V ⊂ E tập F −1 (V ) :=
{y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là tập con đóng của Y ;
(ii) nửa liên tục dưới yếu nếu với mọi tập đóng yếu V ⊂ E tập F −1 (V ) là tập
con đóng của Y ;
(iii) đóng nếu đồ thị ΓF := {(y, z) : z ∈ F(y)} là tập con đóng của Y × E ;
(iv) compact nếu F(Y ) là tập compact tương đối trong E ;
(v) tựa compact nếu hạn chế của F trên mỗi tập con compact A ⊂ Y là compact.
Bổ đề 1.8. ([16, Định lý 1.1.12]). Giả sử G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng
tựa compact với giá trị comapct. Khi đó G là u.s.c.
Bổ đề 1.9. ([4, Mệnh đề 2]). Giả sử X là không gian Banach và Ω là một tập
con khác rỗng của không gian. Giả sử rằng G : Ω → P(X) là ánh xạ đa trị với
giá trị lồi compact yếu. Khi đó G là u.s.c yếu khi và chỉ khi {xn } ⊂ Ω mà từ sự
hội tụ mạnh xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) suy ra sự hội tụ yếu yn
y0 ∈ G(x0 )
(đúng tới một dãy con).
Cuối cùng ta nhắc lại một số nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén.
Định nghĩa 1.7. Một ánh xạ đa trị F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là nén tương

ứng với độ đo không compact β (β−nén) nếu với bất kỳ tập bị chặn Ω ⊂ Z , thì
từ bất đẳng thức
β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω.
Giả sử β là một MNC đơn điệu không suy biến trong E . Áp dụng lý thuyết
bậc tô-pô cho ánh xạ đa trị nén (xem [16]) ta có nguyên lý điểm bất động sau.
Định lí 1.10. ([16, Hệ quả 3.3.1]) Giả sử M là tập con khác rỗng lồi đóng bị
chặn của E và F : M → Kv(M) là ánh xạ đa trị đóng β -nén. Khi đó Fix(F) :=
{x ∈ E : x ∈ F(x)} khác rỗng.
Ta có định lý sau là trường hợp đặc biệt của Định lý 1.10.
Định lí 1.11. Giả sử M là tập con lồi compact của E và F : M → P(M) là
một ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi. Khi đó Fix(F) = ∅.
Chứng minh. Ta thấy F : M → P(M) có giá trị lồi đóng và compact. Hơn nữa,
F là χE -nén, với χE là độ đo không compact Hausdorff trên E . Theo định lý 1.10,
ta có Fix(F) = ∅.
14


Chương 2
Tính giải được của hệ điều khiển
phản hồi
Trong phần này, ta giả sử rằng tồn tại toán tử phản hồi D : U → X , nghĩa là
A = A + BD sinh ra một C0 -nửa nhóm, ký hiệu bởi {S(t)}t≥0 . Ta xem xét tính
giải được của hệ (0.1)-(0.2) với u(t) = Dx(t), t ≥ 0. Khi đó, hệ (0.1)-(0.2) được
viết lại dưới dạng
D0α x(t) ∈ Ax(t) + F (t, xt ), t > 0,

(2.1)

x(t) = ϕ(t), t ≤ 0.

(2.2)

Giả sử T > 0 và ϕ ∈ B, ký hiệu Cϕ là tập tất cả các hàm liên tục y : [0, T ] → X
sao cho y(0) = ϕ(0). Khi đó Cϕ là không gian con đóng của C([0, T ]; X) với chuẩn
y

C

= sup

y(t) .

t∈[0,T ]

Với ϕ ∈ B và y ∈ C([0, T ]; X), chúng ta định nghĩa hàm y[ϕ] : (−∞, T ] → X bởi
y[ϕ](t) =

y(t) với t ∈ [0, T ],
ϕ(t) với t < 0.

Với x ∈ Cϕ , ký hiệu
PFp (x) = {f ∈ Lp (0, T ; X) : f (t) ∈ F (t, x[ϕ]t )}.

Lập luận như trong [11], ta có PFp hoàn toàn xác định. Bởi công thức (1.3), ta
có định nghĩa nghiệm tích phân cho hệ (2.1)-(2.2) như sau.
Định nghĩa 2.1. Một hàm x : (−∞, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân của
bài toán (2.1)-(2.2) trên (−∞, T ] khi và chỉ khi x(t) = ϕ(t) với t ≤ 0, và tồn tại
15

một hàm f ∈ PFp (x|[0,T ] ) sao cho
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s) ds, t > 0,

x(t) = Sα (t)ϕ(0) +
0

ở đó Sα (·) và Pα (·) tương ứng được cho bởi (1.11) và (1.12).
Cho trước ϕ ∈ B, xét toán tử nghiệm Σ : Cϕ → P(Cϕ ) như sau
t

Σ(y)(t) = Sα (t)ϕ(0)+
0

(t − s)α−1 Pα (t − s)f (s) ds : f ∈ PFp (y) ,

(2.3)

hay tương đương,
Σ(y) = Sα (·)ϕ(0) + Qα ◦ PFp (y),

ở đó Qα cho bởi (1.20). Vì F có giá trị lồi nên PFp cũng có giá trị lồi. Do đó Σ
cũng có giá trị lồi.
Chúng ta cũng dễ kiểm tra được là nếu y là điểm bất động của Σ thì y[ϕ] là
nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2) trên (−∞, T ].
Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2), ta sử dụng các
giả thiết sau.

(A) C0 -nửa nhóm sinh bởi toán tử A là liên tục theo chuẩn.
(B) Không gian pha B thoả mãn (B1)-(B4).
(F) Ánh xạ đa trị F : R+ × B → Kv(X) thoả mãn
(1) với hầu khắp t ∈ R+ ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) là u.s.c;
(2) với mỗi v ∈ B cố định, ánh xạ đa trị F (·, v) : [0, T ] → Kv(X) luôn có
hàm chọn đo được mạnh với mỗi T > 0;
(3) tồn tại hàm không âm m ∈ Lploc (R+ ) với p >

1
sao cho với mọi v ∈ B,
α

ta có
F (t, v) ≤ m(t)|v|B ,

với hầu khắp t ∈ R+ , ở đó F (t, v) = sup{ ξ : ξ ∈ F (t, v)};
(4) nếu nửa nhóm sinh bởi toán tử A không compact thì với mỗi tập bị
chặn Ω ⊂ B, ta có
χ(F (t, Ω)) ≤ k(t) sup χ(Ω(θ))
θ≤0

với hầu khắp t ∈ R+ , ở đó k ∈ Lploc (R+ ) là một hàm không âm.
16


Trước khi phát biểu kết quả trong phần này, ta chứng minh một tính chất quan
trọng của PFp .
Bổ đề 2.1. Giả sử (F) thoả mãn. Khi đó ánh xạ đa trị PFp là u.s.c yếu.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.9, ta cần chứng minh rằng nếu {xk } ⊂ Cϕ với xk → x∗
và fk ∈ PFp (xk ) thì fk f ∗ ∈ PFp (x∗ ).

Thật vậy, giả sử {xk } ⊂ Cϕ là dãy sao cho xk → x∗ , fk ∈ PFp (xk ). Ta thấy
{fk (t)} ⊂ C(t) := F (t, {xk [ϕ]t }), và C(t) là tập compact với hầu khắp t ∈ (0, T ).
Từ (F)(3), chúng ta suy ra {fk } bị chặn bởi một hàm Lp -khả tích. Do đó,
theo Bổ đề [7, Hệ quả 3.3], {fk } là tập compact yếu trong Lp (0, T ; X). Giả sử
fk
f ∗ ∈ Lp (0, T ; X). Khi đó, theo bổ đề Mazur (xem, ví dụ [8]), tồn tại dãy
f˜k ∈ co{fi : i ≥ k} sao cho f˜k → f ∗ in Lp (0, T ; X) và do đó f˜k (t) → f ∗ (t) với hầu
khắp t ∈ (0, T ). Vì F giá trị compact, nên tính lửa liên tục dưới của F (t, ·) có
nghĩa là > 0 ta có
F (t, xk [ϕ]t ) ⊂ F (t, x∗ [ϕ]t ) + B

với k đủ lớn, ở đây B là hình cầu tâm tại gốc toạ độ bán kính trong X . Vì thế
fk (t) ∈ F (t, x∗ [ϕ]t ) + B , với hầu khắp t ∈ (0, T ).

Tương tự, do tính lồi của F (t, x∗ [ϕ]t ) + B , chúng ta cũng có f˜k (t) ∈ F (t, x∗ [ϕ]t ) +
B , với hầu khắp t ∈ (0, T ). Do vậy, f ∗ (t) ∈ F (t, x∗ [ϕ]t ) + B với hầu khắp t ∈
(0, T ). Mặt khác, vì là số dương tuỳ ý, nên chúng ta có f ∗ ∈ PFp . Từ đây, ta có
điều phải chứng minh.
Từ Bổ đề 2.1, chúng ta thu được kết quả sau đây liên quan tới tính đóng yếu
của toán tử nghiệm Σ.
Bổ đề 2.2. Dưới các giả thiết (A) và (F), Σ là toán tử đóng.
Chứng minh. Giả sử {xn } ⊂ Cϕ , xn → x∗ , yn ∈ Σ(xn ) và yn → y ∗ . Chứng ta cần
chứng minh y ∗ ∈ Σ(x∗ ). Thật vậy, lấy fn ∈ PFp (xn ) sao cho
yn (t) = Sα (t)ϕ(0) + Qα (fn )(t),

(2.4)

ở đó Qα cho bởi (1.20). Theo Bổ đề 2.1, chúng ta có thể giả sử rằng fn
f∗ ∈
Lp (0, T ; X) và f ∗ ∈ PFp (x∗ ). Thêm vào đó, C(t) := {fn (t) : n ≥ 1} là tập compact

17


tương đối và do đó
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)fn (s) ds

χ({Qα (fn )(t)}) ≤ χ
0
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)

≤2

χ χ({fn (s)}) ds

0

= 0.

Từ Mệnh đề 1.5, ta thấy {Qα (fn )} là tập liên tục đồng bậc. Do đó, theo định
lý Arzelà-Ascoli ta có {Qα (fn )} là tập compact tương đối. Lập luận như trong
chứng minh của Bổ đề 2.1, ta có fn (t) → f ∗ (t) với hầu khắp t ∈ (0, T ), và do đó
Qα (fn ) → Qα (f ∗ ). Từ đây và (2.4) chúng ta có
y ∗ (t) = Sα (t)ϕ(0) + Qα (f ∗ )(t), ∀t ∈ [0, T ],

ở đó f ∗ ∈ PFp (x∗ ). Do đó y ∗ ∈ Σ(x∗ ). Do đó ta đã chứng minh được Bổ đề 2.2.

Kết quả chính trong Chương 2 là định lý sau.
Định lí 2.3. Dưới các giả thiết của Bổ đề 2.2, bài toán (0.1)-(0.2) có ít nhất
một nghiệm tích phân trên (−∞, T ].
Chứng minh. Để sử dụng Định lý 1.11, đầu tiên ta cần xây dựng một tập lồi
compact M sao cho M bất biến bởi toán tử nghiệm, nghĩa là, Σ(M) ⊂ M.
Với x ∈ Cϕ và z ∈ Σ(x), sử dụng bất đẳng thức H¨older, ta có
t

z(t) ≤ Sα (t)

L(X)

(t − s)α−1 Pα (t − s)

ϕ(0) +

L(X) m(t)

x[ϕ]s ds

0
t

≤ SαT ϕ(0) + PαT

(t − s)

(α−1)p
p−1

p−1
p

(m(s))p x[ϕ]s

ds

0

≤ SαT ϕ(0) + PαT

ở đây SαT = sup

Sα (t)

t∈[0,T ]

p

ds

0

p−1
αp − 1

T
L(X) , Pα

1

p

t

p−1
p

T

1
p

t

αp−1
p

(m(s))p x[ϕ]s

p

ds

,

(2.5)

0

Pα (t)

= sup

L(X) .

t∈[0,T ]

Sử dụng tiên đề (B2), ta có
x[ϕ]s ≤ K(s) sup

x(r) + M (s)|ϕ|B

r∈[0,s]

≤ KT sup

x(r) + MT |ϕ|B ,

r∈[0,s]

18

(2.6)


với
KT = sup K(s), MT = sup M (s).
s∈[0,T ]

s∈[0,T ]

Kết hợp (2.5) và (2.6), ta đi đến đánh giá
t

(m(s))p KT sup

z(t) ≤ C1 + C2

≤ C1 + 2

x(r) + MT |ϕ|B

ds

r∈[0,s]

0
p−1
p

1
p

p

1
p

t

C2
0

(m(s))p KTp ( sup

r∈[0,s]

x(r) )p + MTp |ϕ|pB ds

ở đó
p−1
αp − 1

C1 = SαT ϕ(0) , C2 = PαT

p−1
p

T

αp−1
p

,

(2.7)

.

Vì vế phải của (2.7) không giảm nên ta có

t

( sup

p

(m(s))p ( sup

z(r) ) ≤ C3 + C4

r∈[0,t]

x(r) )p ds

(2.8)

r∈[0,s]

0

ở đó
C3 = 2p−1 C1p + 22(p−1) C2p MTp |ϕ|pB m

p
,
Lp (0,T )

C4 = 22(p−1) C2p KTp .

Giả sử ψ là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân

t

(m(s))p ψ(s) ds,

ψ(t) = C3 + C4
0

và M0 = {x ∈ Cϕ : ( sup x(r) )p ≤ ψ(t)}. Hiển nhiên, M0 là tập con lồi đóng
r∈[0,t]

của Cϕ . Tuy nhiên, từ (2.8) chúng ta thấy nếu x ∈ M0 thì z ∈ M0 . Do đó
Σ(M0 ) ⊂ M0 .
Bây giờ, chúng ta xây dựng tập con M như yêu cầu. Với k ≥ 1, ký hiệu
Mk = coΣ(Mk−1 ). Theo định nghĩa của Mk , chúng ta có các tính chất sau đây
• Mk là tập lồi đóng;
• Mk ⊂ Mk−1 , với mọi k ≥ 1;
• Mk là tập liên tục đồng bậc, do Mệnh đề 1.5.

Đặt M =

Mk . Khi đó M là tập lồi khác rỗng và liên tục đồng bậc. Thêm
k≥1

vào đó, Σ(M) ⊂ M. Do đó ta sẽ chỉ ra rằng M là tập compact. Theo định lý
19


Arzelà-Ascoli, ta cần chứng minh χ(M(t)) = 0 với mọi t ∈ [0, T ]. Để chứng minh
điều này, ta sẽ kiểm tra µk (t) = χ(Mk (t)) → 0 khi k → ∞. Thật vậy, sử dụng
Mệnh đề 1.7, ta có

µk (t) = χ(Mk (t))
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)PFp (Mk−1 )(s) ds

≤χ
0
t

≤4
0

(t − s)α−1 χ(Pα (t − s)PFp (Mk−1 )(s)) ds.

Nếu nửa nhóm {etA : t ≥ 0} compact, vì thế theo Mệnh đề 1.5, Pα (·) cũng
comapct, và do đó µk (t) = 0. Nếu trái lại, sử dụng (F)(3) và bất đẳng thức
H¨older, ta có
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)

µk (t) ≤ 4

L(X) k(s) sup χ(Mk−1 [ϕ](s + θ)) ds
θ≤0

0
t

≤ 4PαT

(t − s)α−1 k(s) sup χ(Mk−1 (r)) ds
r∈[0,s]

0
t

≤ 4PαT

(t − s)

(α−1)p
p−1

p−1
p

(k(s))p ( sup µk−1 (r))p ds

ds

r∈[0,s]

0

0

= 4PαT

1

p

t

p−1
αp − 1

p−1
p

T

1
p

t

αp−1
p

(k(s))p ( sup µk−1 (r))p ds

.

r∈[0,s]

0

Vì bất đẳng thức cuối không giảm theo t, ta có
t

p

(k(s))p ( sup µk−1 (r))p ds,

( sup µk (t)) ≤ C5
r∈[0,t]

ở đó C5 = (4PαT )p

p−1
αp−1

p−1

(2.9)

r∈[0,s]

0

T αp−1 . Đặt ζk (t) = ( sup µk (t))p thì (2.9) được viết
r∈[0,t]

lại như sau

t

(k(s))p ζk−1 (s) ds.

ζk (t) ≤ C5

0

Vì dãy {ζk (t)} là tăng, chúng ta có thể cho qua giới hạn trong bất đẳng thức
cuối để được
t

(k(s))p ζ∞ (s) ds

ζ∞ (t) ≤ C5

(2.10)

0

ở đó ζ∞ (t) = lim ζk (t). Đến đây, áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho (2.10), ta
k→∞

có ζ∞ (t) = 0. Chú ý rằng 0 ≤ µk (t) ≤ ζk (t), ta có lim µk (t) = 0, ∀t ∈ [0, T ].
k→∞

20


Như vậy, ta chứng minh được M ⊂ Cϕ là tập lồi compact. Xét toán tử nghiệm
Σ : M → P(M). Áp dụng Định lý 1.11 ta có Fix(Σ) = ∅. Từ đây ta có điều phải
chứng minh.

21