Module tựa tự do trên miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Viết Huy

MODULE TỰA TỰ DO TRÊN
MIỀN DEDEKIND

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Viết Huy

MODULE TỰA TỰ DO TRÊN
MIỀN DEDEKIND
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán-Tin, quý thầy cô
trong bộ môn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường
Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến
thức làm nền tảng trong quá trình viết luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Mỵ Vinh Quang, là người trực
tiếp hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian qua.
Tp.Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012
Phạm Viết Huy


2

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................1
MỘT SỐ KÝ HIỆU ....................................................................................................3
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................4
CHƯƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.................................................................6
A. MIỀN DEDEKIND ...........................................................................................6
1.1

Phần tử nguyên ...........................................................................................6

1.2

Bao đóng nguyên ........................................................................................9

1.3

Vành Noether ...........................................................................................10

1.4

Miền Dedekind .........................................................................................11

1.5

Một số kết quả trên vành giao hoán .........................................................24

B. MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND ...........................................................24
1.6

Module tự do trên miền Dedekind ...........................................................24

1.7

Cấp của phần tử trong module trên miền Dedekind ................................26

1.8

Module cyclic trên miền Dedekind ..........................................................32

CHƯƠNG II. MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND .......................41
2.1

Định nghĩa module tựa tự do trên miền Dedekind ...................................41

2.2

Cơ sở của module tựa tự do trên miền Dedekind.....................................43

2.3

Sự đẳng cấu của hai module tựa tự do trên miền Dedekind ....................50

2.4

Điều kiện cần và đủ để một P-module trên miền Dedekind là module tựa

tự do ..................................................................................................................52
KẾT LUẬN ...............................................................................................................59
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................60


3

MỘT SỐ KÝ HIỆU
A[ x], A[ x1 ,x2 ,...,xn ] Vành đa thức trên miền nguyên A
Q( A)

Trường các thương của miền nguyên A

AB

Bao đóng nguyên của A trong B

PR

P là ideal của vành R

S −1R

Vành các thương của vành R theo tập con nhân S

p

Ideal chính sinh bởi p

OK

Vành các số của K nguyên trên Z

ord P ( A)

Cấp của ideal A ứng với ideal nguyên tố P

A B

Ideal A chia hết cho ideal B

BA

Ideal B là ước của ideal A

( A, B ),[A, B ]

Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai ideal A, B

DP

Vành địa phương hóa của vành D theo ideal nguyên tố P

X

Module sinh bởi tập hợp X

X

Lực lượng của tập hợp X

O( x)

Cấp của phần tử x

MP

Thành phần P-nguyên sơ của module M

MT

Phần xoắn của module M

M ⊗N

Tích tenxơ của hai module M, N

4

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết về module tự do, đặc biệt là module tự do trên miền các ideal
chính có vai trò đặc biệt quan trọng. Trong lý thuyết module nói riêng và trong đại
số nói chung đã có nhiều kết quả rất đẹp và thú vị về các module tự do trên miền
các ideal chính.
Như ta đã biết, các miền Dedekind có thể xem là mở rộng gần gũi nhất của
miền các ideal chính, vì nó còn bảo lưu được nhiều tính chất rất “giống” miền các
ideal chính, bên cạnh đó nó cũng có nhiều tính chất khác lạ so với miền các ideal
chính. Module tự do có thể định nghĩa như là tổng trực tiếp một họ nào đó của các
module cyclic không xoắn. Từ đây, một cách tự nhiên nảy sinh ra một câu hỏi như
sau: “Tại sao trong định nghĩa của module tự do lại có yêu cầu là module cyclic
không xoắn? Nếu ta bỏ đi điều kiện không xoắn thì kết quả thay đổi như thế nào?
Và nếu ta thay miền các ideal chính thành một miền Dedekind thì kết quả thay đổi
như thế nào?”. Chúng tôi gọi các module mà phân tích được thành tổng trực tiếp
của các module cyclic là module tựa tự do. Như vậy module tựa tự do có thể xem
như là một khái niệm mở rộng của module tự do và các kết quả nghiên cứu về nó
hiện nay chưa nhiều. Chính vì vậy mà chúng tôi quyết định chọn đề tài “Module tựa
tự do trên miền Dedekind” để nghiên cứu và tìm hiểu.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ xây dựng và mở rộng một số kết quả của
module trên miền các ideal chính sang module trên miền Dedekind, giới thiệu
những tính chất của module tựa tự do trên miền Dedekind, đặc biệt là khảo sát, chỉ
ra sự giống nhau và khác nhau giữa module tựa tự do trên miền các ideal chính và
module tựa tự do trên miền Dedekind .


5

Luận văn được chia thành 2 chương:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về miền
Dedekind, xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp của một phần tử trong
module trên miền Dedekind, các tính chất của module cyclic trên miền Dedekind
Chương 2: Module tựa tự do trên miền Dedekind
Là chương chính của luận văn, trình bày một số kết quả mới về module tựa
tự do trên miền Dedekind
Vì thời gian và khả năng hạn chế, luận văn có thể có những thiếu sót nhất
định. Kính mong quý thầy cô và các bạn vui lòng chỉ bảo và lượng thứ.


6

CHƯƠNG I.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
A. MIỀN DEDEKIND
1.1 Phần tử nguyên
1.1.1 Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên và A ⊂ B .
Phần tử b ∈ B được gọi là phần tử nguyên trên A nếu tồn tại đa thức đơn khởi

f ( x) ∈ A [ x ] ,deg f ≥ 1 nhận b làm nghiệm.
Nói cách khác, b nguyên trên A khi và chỉ khi tồn tại a0 , a1 ,..., an −1 ∈ A sao cho

b n + an−1b n−1 + ... + a1b + a0 =
0.
1.1.2 Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên, A ⊂ B . Nếu mọi phần tử

b ∈ B nguyên trên A thì ta nói B nguyên trên A.
1.1.3 Mệnh đề. Cho tháp các miền nguyên A ⊂ B . Nếu B là A-module hữu hạn

sinh thì B nguyên trên A
Chứng minh. Giả sử b1 , b2 ,..., bm là hệ sinh của A-module B

1, 2,..., m) sao cho
Với mọi b ∈ B* , tồn tại aij ∈ A(i, j =
b1b= a11b1 + ... + a1mbm
b b= a b + ... + a b
 2
21 1
2m m

...
bm=
b am1b1 + ... + ammbm

Do đó hệ phương trình
0
(a11 − b) x1 + a12 x2 + ... + a1m xm =
a x + (a − b) x + ... + a x =
0
 21 1
22
2
2m m

...
am1 x1 + am 2 x2 + ... + (amm − b) xm =
0

7

có nghiệm không tầm thường ( x1 , x2 ,..., xm ) = ( b1 , b2 ,..., bm ) . Vì vậy, định thức ma
trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính bằng 0,
a11 − b
a12
a1m
...
a21
a22 − b ...
a2 m
=0




am1
am 2
... amm − b

Khai triển định thức, ta được phương trình

b m + am−1b m−1 + ... + a1b + a0 =
0
với a0 , a1 ,..., am−1 ∈ A . Vì thế b nguyên trên A.
1.1.4 Hệ quả. Cho A và B là những miền nguyên, A ⊂ B . Giả sử b ∈ B . Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương
i) b nguyên trên A
ii) A [b ] là A-module hữu hạn sinh
iii) A [b ] nguyên trên A

Chứng minh. Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) và iii ) ⇒ i ) . Ta chứng minh i ) ⇒ ii )
Giả sử b nguyên trên A. Khi đó, tồn tại a0 , a1 ,..., an −1 ∈ A sao cho

0.
b n + an−1b n−1 + ... + a1b + a0 =

{

}

Ta chứng minh 1, b,..., b n−1 là hệ sinh của A [b ] trên A.
Đầu tiên, ta chứng minh bằng quy nạp (theo k) b k biểu thị tuyến tính được qua

1, b,..., b n−1 với hệ số thuộc A.


8

Giả sử bi biểu thị tuyến tính được qua 1, b,..., b n −1 ,với mọi i ≤ k (k ≥ n) . Nhân

0 với b k +1− n , ta được
cả hai vế của b n + an −1b n −1 + ... + a1b + a0 =

b k +1 + an−1b k + ... + a1b k + 2−n + a0b k +1−n =
0
Suy ra

b k +1 =−an−1b k − ... − a1b k + 2−n − a0b k +1−n
Vì b k ,..., b k + 2− n , b k +1− n biểu thị tuyến tính được qua 1, b,..., b n −1 (giả thiết quy
nạp), nên b k +1 cũng biểu thị tuyến tính được qua 1, b,..., b n −1 với hệ số thuộc A.

Vậy b k (k ∈ N ) biểu thị tuyến tính được qua 1, b,..., b n −1 với hệ số thuộc A.
Với mọi x ∈ A [b ] , x = a0 + a1b + ... + ak b k ,(ai ∈ A) . Vì 1, b,..., b k biểu thị tuyến
tính được qua 1, b,..., b n −1 với hệ số thuộc A nên x biểu thị tuyến tính được qua

1, b,..., b n−1 với hệ số thuộc A. Vậy A[b ] là A-module hữu hạn sinh.
1.1.5 Hệ quả. Cho A và B là những miền nguyên, A ⊂ B . Giả sử b1 ,..., bn ∈ B . Khi
đó, các mệnh đề sau là tương đương
i) b1 ,..., bn nguyên trên A
ii) A [b1 ,..., bn ] là A-module hữu hạn sinh
iii) A [b1 ,..., bn ] nguyên trên A
Chứng minh. Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) và iii ) ⇒ i ) . Ta chứng minh i ) ⇒ ii ) .
Giả sử b1 ,..., bn nguyên trên A, ta chứng minh A [b1 ,..., bn ] là A-module hữu hạn
sinh bằng quy nạp theo n.
Mệnh đề đúng khi n = 1 (hệ quả 1.1.4).
Giả sử mệnh đề đúng với n-1. Khi đó, A [b1 ,..., bn−1 ] là A-module hữu hạn sinh.
Vì bn nguyên trên A nên bn nguyên trên A [b1 ,..., bn−1 ] . Vì thế, theo hệ quả 1.1.4, ta


9

có A [b1 ,..., bn −1 ][bn ] = A [b1 ,..., bn ] là A [b1 ,..., bn−1 ] -module hữu hạn sinh. Do vậy,

A [b1 ,..., bn ] là A-module hữu hạn sinh.
1.1.6 Hệ quả. Cho tháp các miền nguyên A ⊂ B . Nếu b1 , b2 ∈ B nguyên trên A thì
b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 cũng nguyên trên A. Nói cách khác, tập hợp các phần tử của B

nguyên trên A,

AB=

{b ∈ B / b nguyên trên A}

là một vành con của B chứa A.
Chứng minh. Vì b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 là các phần tử của A [b1 , b2 ] và A [b1 , b2 ]
nguyên trên A (hệ quả 1.1.5) nên b1 + b2 , b1 − b2 , b1.b2 nguyên trên A.
1.1.7 Hệ quả. Cho tháp các miền nguyên A ⊂ B ⊂ C . Nếu B nguyên trên A và C
nguyên trên B thì C nguyên trên A.
Chứng minh. Lấy c ∈ C . Vì c nguyên trên B nên có b0 ,..., bn −1 ∈ B sao cho

c n + bn−1c n−1 + ... + b1c + b0 =
0
Suy ra c nguyên trên A [b0 ,..., bn −1 ]
Vì thế, theo hệ quả 1.1.4, A [b0 ,..., bn−1 , c ] là A [b0 ,..., bn −1 ] -module hữu hạn
sinh. Mặt khác, vì b0 ,..., bn −1 nguyên trên A nên A [b0 ,..., bn −1 ] là A-module hữu hạn
sinh (hệ quả 1.1.5).Do đó, A [b0 ,..., bn−1 , c ] là A-module hữu hạn sinh. Vậy c nguyên
trên A.
1.2 Bao đóng nguyên
1.2.1 Định nghĩa. Cho A, B là những miền nguyên và A ⊂ B

AB=

{b ∈ B / b nguyên trên A} được gọi là bao đóng nguyên của A trong B.

B được gọi là nguyên trên A nếu AB = B
A được gọi là đóng nguyên trong B nếu AB = A .
1.2.2 Nhận xét. A ⊂ AB ⊂ B


10

1.2.3 Định nghĩa. Cho A là một miền nguyên, Q( A) là trường các thương của A.
Bao đóng nguyên của A trong Q( A) được gọi là bao đóng nguyên của A.
Miền nguyên A được gọi là đóng nguyên nếu AQ ( A) = A
1.3 Vành Noether
Trong phần này, ta giả sử R là vành giao hoán.
1.3.1 Định nghĩa. Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu
mọi dãy tăng các ideal I1 ⊂ I 2 ⊂ ... đều là dãy dừng, nghĩa là tồn tại số tự nhiên n
sao cho =
I n I=
...
n +1
1.3.2 Định nghĩa. Một vành R được gọi là vành Noether nếu R thỏa mãn điều kiện
dây chuyền tăng.
1.3.3 Định nghĩa. Một vành R được gọi là thỏa điều kiện tối đại nếu mọi tập hợp
không rỗng gồm các ideal của R đều chứa phần tử tối đại.
1.3.4 Mệnh đề. Cho R là một vành. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
i )R là vành Noether
ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại
iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh
Chứng minh. (xem [11], định lý 7.1.1, trang 189-190)
1.3.5 Bổ đề.
i) P là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi với mọi ideal B, C của R, nếu

BC ⊂ P thì B ⊂ P hoặc C ⊂ P .
ii) P là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi nếu P ⊃ B1...Bk ( Bi  R ) thì
P ⊃ Bi , với i ∈ {1, 2,..., k} nào đó.

1.3.6 Mệnh đề. Mọi ideal khác 0 của vành Noether R đều chứa tích của một hay
nhiều ideal nguyên tố.

11

Chứng minh. Giả sử ngược lại. Gọi S là tập tất cả các ideal khác 0 của R không
chứa tích của các ideal nguyên tố. Vì S ≠ ∅ và R là vành Noether nên S có phần tử
tối đại là A. Do A ∈ S nên A không là ideal nguyên tố. Vì thế, tồn tại các ideal
B, C  R sao cho BC ⊂ A nhưng B ⊄ A và C ⊄ A (bổ đề 1.3.5). Vì B ⊄ A nên

A ⊆ A + B . Tương tự, ta có A ⊆ A + C .
Mặt khác, do tính tối đại của A trong S nên A + B ∉ S và A + C ∉ S . Vì vậy,
A + B ⊃ P1...Pk và A + C ⊃ Q1...Qt với Pi , Q j là các ideal nguyên tố của R. Khi đó,
A ⊃ ( A + B )( A + C ) ⊃ P1...Pk .Q1...Qt , suy ra A ∉ S (điều này mâu thuẫn với cách

chọn A). Vậy giả sử là sai. Ta có điều phải chứng minh.
1.3.7 Mệnh đề. Cho R là vành Noether, S là tập con nhân của R. Khi đó, vành các
a

thương S −1R=  / a ∈ R, s ∈ S  cũng là vành Noether.
s


Chứng minh. Lấy J là ideal của S −1R . Đặt I = f −1 ( J ) , với f : R → S −1R là đồng
cấu R-module xác định bởi f (a ) =

a
, ∀a ∈ R . Dễ thấy I là ideal của vành Noether
1

R, do đó I hữu hạn sinh. Giả sử a1 ,..., an ∈ R là các phần tử sinh của I.
Lấy

a
a s a
a
∈ J . Vì= . ∈ J nên a ∈ f −1   ⊂ I . Do đó, tồn tại các phần tử
s
1 1 s
1
n

ti ∈ R (i =
1, n) sao cho a = ∑ ti ai . Vì thế
i =1

n
n
t a
1
a 1 a 1
.
.f=
(a)
. f (∑ ti=
= =
ai ) ∑ i . i
s s 1 s
s
i 1 =i 1 s 1
=

Suy ra J được sinh bởi hữu hạn phần tử

a
a1
,..., n .
1
1

Vậy S −1R là vành Noether.
1.4 Miền Dedekind
1.4.1 Định nghĩa. Cho D là miền nguyên. D được gọi là miền Dedekind nếu các
điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn


12

i)D là vành Noether
ii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại
iii) D là vành đóng nguyên.
1.4.2 Ví dụ.
Ví dụ 1. Miền các ideal chính là miền Dedekind, thật vậy:
Trong miền các ideal chính, mọi ideal đều sinh bởi một phần tử nên hữu hạn
sinh, do đó miền các ideal chính là vành Noether.
Giả sử p là ideal nguyên tố khác 0 trong miền các ideal chính X, và có ideal

q sao cho p ⊂ q ⊂ X . Suy ra tồn tại a ∈ X sao cho p = aq , vì vậy aq ∈ p
kết hợp với p là ideal nguyên tố suy ra a ∈ p hoặc q ∈ p điều này tương
đương a = bp (với b ∈ X ) hoặc q = cp (với c ∈ X ). Vậy p = q hoặc q = X ,
tức là p tối đại.
Giả sử X là miền các ideal chính, Q(X) là trường các thương của X. Ta đã có

X ⊂ X Q ( X ) , ngược lại lấy α ∈ X Q ( X ) , ta có α ∈ Q( X ) nên α =

( a, b ) = 1 . Vì α

a
, với a, b ∈ X và
b

nguyên trên X nên tồn tại a0 , a1 ,..., an −1 ∈ X sao cho
n

a
a
  + an −1  
b
b

n −1

a
+ ... + a1   + a0 =
0
b

0
Suy ra a n + an −1a n −1b + ... + a1ab n −1 + a0b n =
hay

an =
− an−1a n−1b − ... − a1ab n−1 − a0b n

Vậy a n b mà ( a, b ) = 1 nên b = 1 .


13

Do đó, α= a ∈ X . Do đó, ta có X Q ( X ) ⊂ X
Ví dụ 2. Cho K là trường sao cho Q ⊂ K ⊂ C , trong đó Q và C lần lượt là
trường các số hữu tỷ và trường các số phức, [ K : Q ] = n . Ta gọi OK là vành các số
của K nguyên trên Z, tức là

O=
K

{α ∈ K / α nguyên trên Z }

Khi đó, OK là miền Dedekind
1.4.3 Định nghĩa. Cho D là miền nguyên và Q( D) là trường các thương của D. Tập
con A khác rỗng của Q( D) được gọi là ideal phân của D nếu
i) a + b ∈ A , với mọi a, b ∈ A
ii) ax ∈ A , với mọi a ∈ A, x ∈ D
iii) Tồn tại α ∈ D, α ≠ 0 sao cho α A ⊂ D
1.4.4 Chú ý. Để tránh nhầm lẫn giữa ideal và ideal phân của D, ta còn gọi ideal của
D là ideal nguyên.
1.4.5 Mệnh đề. (tính chất của ideal phân)
i)Nếu A là ideal nguyên của D thì A là ideal phân của D. Ngược lại, nếu A là
ideal phân của D và A ⊂ D thì A là ideal nguyên của D.
ii) Mỗi ideal phân A của D đều viết được dưới dạng A =

I

α

, với α ∈ D, I  D

iii) Nếu D là miền Noether thì mọi ideal phân của D đều là D-hữu hạn sinh,
tức là tồn tại α1 ,..., α n ∈ A và a1 ,..., an ∈ D sao cho x= a1α1 + ... + anα n , với mọi

x∈ A
iv) Nếu A, B là ideal phân của D thì A+B, AB cũng là ideal phân của D.
1.4.6 Định nghĩa. Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D và Q(D) là
=
trường các thương của D. Ta định nghĩa P
{α ∈ Q( D) / α P ⊂ D}

 là ideal phân của D.
Khi đó, P


14

1.4.7 Bổ đề. Cho D là miền Dedekind và P là ideal nguyên tố của D. Khi đó,
 ⊃ D và P
≠D
P
 . Suy ra P
 ⊃ D.
Chứng minh. Lấy a ∈ D . Vì aP ⊂ D nên a ∈ P

Lấy β ∈ P \ {0} , ta có 0 ≠ β ⊂ P . Theo mệnh đề 1.3.6, tồn tại P1 ,..., Pk là các
ideal nguyên tố của D sao cho P1...Pk ⊂ β ⊂ P . Gọi k là số tự nhiên bé nhất để tồn

tại các ideal nguyên tố P1 ,..., Pk của D thỏa P1...Pk ⊂ β ⊂ P . Xảy ra một trong hai
trường hợp sau:
Trường hợp 1:k=1
Do P1 là ideal nguyên tố của miền Dedekind D nên P1 là ideal tối đại của D.

P1
Vì P1 ⊂ β ⊂ P nên =

=
β P . Đặt δ =

 . Hơn nữa, δ ∉ D (nếu δ ∈ D thì
1
=
δ ∈P

Vậy δ=

1

β

1

β
1

β

1

1
P =
β D , tức là
. Khi đó,=

β

β

.β ∈ P , vô lý).

\D
∈P

Trường hợp 2: k ≥ 2 .
Vì P1...Pk ⊂ β ⊂ P và P là ideal nguyên tố nên tồn tại i để Pi ⊂ P . Không
mất tính tổng quát, giả sử P1 ⊂ P . Suy ra P1 = P ( P1 là ideal nguyên tố nên cũng là
ideal tối đại). Do cách chọn k nên P2 ...Pk ⊄ β . Chọn α ∈ P2 ...Pk \ β . Khi đó,

δ=

α 
∈ P \ D . Thật vậy, ta có
β
α
1
1
1
β = D
( Pα ) ⊂ P1 ( P2 ...Pk ) ⊂

P1 =
β
β
β
β
Suy ra δ=

α 
α
α
α β . ∈ β , điều này mâu thuẫn với
∈ P . Nếu ∈ D thì=
β
β
β

cách chọn α . Vậy δ=

α 
∈P\ D.
β


15

 \ D . Vì vậy P
 ≠ D.
Trong cả hai trường hợp, ta đều chỉ ra có phần tử δ ∈ P

 ⊃ D và P

 ≠ D.
Tóm lại, ta có P

1.4.8 Bổ đề. Cho D là miền Dedekind và P là ideal nguyên tố khác 0 của D. Khi đó,
 .P = D
P

 là ideal phân của D nên P
 .P là ideal phân của D. Mặt khác,
Chứng minh. Vì P, P
 nên P
 .P ⊂ D . Vậy P
 .P  D
do α P ⊂ D, ∀α ∈ P
 .P . Do tính tối đại của P, ta có P
 .P = P hoặc
 nên P ⊂ P
Vì 1 ∈ D ⊂ P
 .P = D .
P

 , ta có
 .P = P . Khi đó, P
 đóng với phép nhân. Thật vậy, lấy α , β ∈ P
Giả sử P

(αβ=
) P α ( β P ) ⊂ α P ⊂ P ⊂ D . Do đó, αβ ∈ P . Điều này cho ta

 là một miền

P

 là ideal phân của D nên là D-hữu hạn
nguyên con của Q(D) chứa D. Mặt khác, vì P
 là D-module hữu hạn sinh. Vì thế, P
 nguyên trên D. Tuy nhiên, ta
sinh. Do đó, P
 = D , mâu thuẫn với bổ đề 1.4.7
lại có D đóng nguyên, cho nên P
=D
Vậy P.P

1.4.9 Mệnh đề. Nếu D là miền Dedekind thì mọi ideal nguyên khác 0 và khác D
của D đều phân tích được một cách duy nhất thành tích của một hoặc hữu hạn các
ideal nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử tồn tại ideal khác 0 và khác D của D không phân tích được
thành tích các ideal nguyên tố. Gọi S là tập các ideal như vậy.
Vì S ≠ ∅ và D là vành Noether nên S có phần tử tối đại là A.
Gọi k là số tự nhiên bé nhất để tồn tại k ideal gồm P1 ,..., Pk sao cho A ⊃ P1...Pk
và A ≠ P1...Pk . Khi đó, tồn tại ideal tối đại P của D sao cho P ⊃ A ⊃ P1...Pk . Do P là
ideal nguyên tố nên tồn tại i để Pi ⊂ P , suy ra P=
P ⊃ A . Không mất tính tổng
i

 A  D . Mặt khác, ta có
 A ⊂ PP
 =
D . Vì vậy, P
quát, giả sử P1 ⊃ A . Khi đó, P
1

1 1
1

 A ⊃ A và P
 A ≠ A (nếu P
 A = A thì=
 A ⊃ P ...P , mâu thuẫn với cách chọn
P
A P
1
1
2
1
1
k


16

 A ∉ S , tức là tồn tại các ideal Q ,..., Q sao cho P
 A = Q ...Q . Từ đây,
k). Do đó, P
1
1
l
1
1
l
suy ra

=
=
A DA
= P1 P
PQ
1A
1 1...Ql ,
mâu thuẫn với A ∈ S . Vậy giả sử trên là sai.
Ta chỉ ra sự phân tích trên là duy nhất. Giả =
sử A P=
Q1...Ql , với k ≤ l .
1...Pk
Vì A ⊂ Q1 nên tồn tại i sao cho Pi ⊂ Q1 . Không mất tính tổng quát, giả sử P1 ⊂ Q1 .

 với cả hai vế của đẳng thức
Do tính tối đại của P1 nên P1 = Q1 . Nhân P
1
P1...Pk = Q1...Ql , ta được P
=
Q2 ...Ql ⊂ Q2 . Lặp lại tương tự như trên, ta có
2 ...Pk

=
D Qk +1...Ql ⊂ Ql , vô lý. Do đó k = l
=
P2 Q=
Q3 ,... . Nếu k < l thì sau k bước
2 , P3

và Pi= Qi (∀i= 1, k ) . Vậy sự phân tích của A là duy nhất.

Như vậy, mọi ideal nguyên A của miền Dedekind D ( A ≠ 0, A ≠ D ) được phân
tích một cách duy nhất A = P1k1 ...Pmkm , với Pi là các ideal nguyên tố của D và ki ≥ 1 .
Đây được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của A.
Xét A là ideal phân của D. Khi đó A =

I

α

, với α ∈ D, I  D . Ta có sự phân

=
P1l1 ...Pmlm (li ≥ 0) . Vì α A = I nên
=
và α
tích I P1k1 ...Pmkm (ki ≥ 0)

P1l1 ...Pmlm A = P1k1 ...Pmkm
Khi đó,=
quy ước A P1k1 −l1 ...Pmkm −lm , ki − li ∈ Z . Định nghĩa này hợp lý.

=
Thật vậy, nếu A

'
'
I J
=
( J= P1k1 ...Pmkm ) và β = P1l ...Pml ) thì

α

'
1

β

P1k1 −l1 ...Pmkm −lm= A= P1k1 −l1 ...Pmkm −lm
'

'

'

'

Vì I α=
=
A, J β A nên β I = α J . Suy ra
P1l1 + k1 ...Pmlm + km= A= P1l1 + k1 ...Pmlm + km
'

'

'

'

Do đó , li' + ki =li + ki' , tức là ki − li = ki' − li' , ∀i = 1, m

'
m


17

Vậy mọi ideal ( ideal nguyên hoặc ideal phân ) A khác 0 và khác D của D đều
được phân tích một cách duy nhất dưới dạng A = P1k1 ...Pmkm , với ki là các số nguyên
khác 0 và Pi là các ideal nguyên tố khác nhau của D.
1.4.10 Định nghĩa. Cho A là ideal ( nguyên hoặc phân ) khác 0 của miền Dedekind
D và A = P1k1 ...Pmkm với ki ∈ Z \ {0} . Cấp của ideal A ứng với ideal nguyên tố P, viết
ord P ( A) , được định nghĩa bởi ord P ( A) = ki nếu P = Pi và ord P ( A) = 0 nếu

P ≠ Pi , ∀i =1, m
Quy ước P 0 = D , với mọi P là ideal nguyên tố của D.
1.4.11 Mệnh đề (Tính chất của ord P ). Cho D là miền Dedekind , P là ideal nguyên
tố, A, B là các ideal phân của D và α , β ∈ Q( D) . Khi đó
i )ord=
ord P ( A) + ord P ( B )
P ( AB )

A B khi và chỉ khi ord P ( A) ≥ ord P ( B ) , với mọi P là ideal nguyên tố của D.

ii )ord P ( A + B ) =
min {ord P ( A), ord P ( B )}
iii )ord=
ord P (α ) + ord P ( β ) , trong đó ord P (α ) = ord P ( α )
P (αβ )

iv)ord P (α + β ) ≥ min {ord P (α ), ord P ( β )}

min {ord P (α ), ord P ( β )}
v) Nếu ord P (α ) ≠ ord P ( β ) thì ord P (α + β ) =
Chứng minh
i)Hiển nhiên

( A B )C −1 =
AC −1 + BC −1
ii) Đặc C = A + B. Ta có D =+
Do A ⊂ C nên AC −1 ⊂ C . Vậy AC −1  D . Tương tự, ta cũng có BC −1  D .
Mặt khác , nếu P là một ideal nguyên tố sao cho P AC −1 và P BC −1 thì

P AC −1 + BC −1 , vô lý. Do đó, P không đồng thời có mặt trong sự phân tích của
AC −1 và BC −1 . Suy ra


18

min {ord P ( AC −1 ), ord P ( BC −1 )}= 0= ord P ( D)= ord P (( A + B )C −1 )
Do đó

ord P (C ) + min {ord P ( AC −1 ), ord P ( BC −1 )} = ord P (C ) + ord P (( A + B )C −1 )

min {ord P ( A), ord P ( B )}
Vì vậy ord P ( A + B ) =
iii) Ta có

ord=
ord P ( α=
. β ) ord P (α ) + ord P ( β )
P (αβ )

β ) ord P ( α + β ) và α + β ⊂ α + β nên
iv) Vì ord P (α +=
ord P (α + β ) ≥ ord P ( α + β ) =
min {ord P (α ), ord P ( β )}
v) Không mất tính tổng quá, giả sử ord P (α ) > ord P ( β ) . Khi đó

ord P ( β )
ord P (α + β ) ≥ min {ord P (α ), ord P ( β )} =

)} ord P (α + β )
ord P ( β ) ≥ min {ord P (α + β ), ord P (−α=

β ) ord P=
( β ) min {ord P (α ), ord P ( β )}
Vậy ord P (α +=
1.4.12 Mệnh đề. Cho A là ideal phân của miền Dedekind D, giả sử có sự phân tích

=
A P1k1 ...Pmkm , ki ∈ Z . Khi đó
i ) A−1 = P1− k1 ...Pm− km
ii) A là ideal nguyên của D khi và chỉ khi ord P ( A) ≥ 0 với mọi P là ideal
nguyên tố.
iii) A = D khi và chỉ khi ord P ( A) = 0 với mọi P là ideal nguyên tố.
iv) Nếu AB = AC thì B = C ( A, B, C là ideal ( nguyên hoặc phân) của D ).