Phương pháp lặp đơn và phương pháp newton kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến tính

 
 
 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
 

PHẠM ANH NGHĨA
 
 
 
 
 

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON – KANTOROVICH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
 
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
 

 

 

 
 
 

 
HÀ NỘI, 2015
 

 

 


 
 
 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
 

PHẠM ANH NGHĨA
 
 
 

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON – KANTOROVICH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
 
 
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
 

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH
 

 

 
HÀ NỘI, 2015
 

 

 


- 1 - 
 

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới 
sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng 
dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác 
giả rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. 
 

Tác giả xin bày  tỏ  lòng biết  ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. 

Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà 
Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo 
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi 
cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. 
 
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả

Phạm Anh Nghĩa

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 


- 2 - 
 
 
LỜI CAM ĐOAN
 

Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với 

đề  tài:  “  Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton – Kantorovich
giải hệ phương trình phi tuyến”  là công trình nghiên cứu của riêng tác giả 
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. 
Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế 

thừa thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.                               
 
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả
 
 
Phạm Anh Nghĩa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

- 3 - 
 

MỤC LỤC
Mở đầu…………………………………………..………………………… 5
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị…………………......……………... 7
1.1.  Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co……….………..….........      7 
1.1.1. Không gian metric………………………………………........      7 
1.1.2. Nguyên lý ánh xạ co…………………………….....………......  18 
1.2.

Không gian Banach……………………....……………………...    20 

1.3.

Phép tính vi phân trong không gian Banach……...……………...   23 

Chương 2. Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich
giải hệ phương trình phi tuyến……………….......…..………………….. 29
2.1.Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến……............…....   29 
    2.1.1. Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến……......….. ..29 
    2.1.2. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến…...….....  37 
     2.2.    Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi 
tuyến…………………………………………..…………………………..    45 
         2.2.1. Phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình toán tử phi 
tuyến ………………………………………........………………………...    45 
         2.2.2. Phương pháp Newton  - Kantorovich   giải hệ phương trình phi 
tuyến trong  n ………………………………....…………………………..   51 

     2.3.    Sự kết hợp của phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton – 
Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến …………………..…………..  56 
Chương 3. Ứng dụng…………………………………………..………... 61
3.1.    Giải hệ phương trình phi tuyến ……………………………….....  61 
         3.1.1. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến …….......  61 
         3.1.2.  Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi 
tuyến …………………………………………………………………….....  64 

 

 


- 4 - 
 
3.2.    Lập trình trên Maple giải số hệ phương trình phi tuyến.……........ 75 
Kết luận........................................................................................................ 88
Tài liệu tham khảo........................................................................................ 89
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 


- 5 - 
 
 

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như  chúng  ta  đã  biết  khi  giải  số  phương  trình  vi  phân,  phương  trình 
tích  phân  thường  dẫn  đến  giải  hệ  phương  trình  phi  tuyến;  có  nhiều  vấn  đề, 
nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn 
đến việc nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình. Hệ phương trình thường có 
dạng tổng quát  A.x  f   (1), trong  đó  A  là  các  toán tử  đi  từ  không  gian định 
chuẩn   n vào không gian định chuẩn   n . 

 

Trong thực tế  người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương 

trình . Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ phương trình (1) là một vấn đề được quan 
tâm nghiên cứu. Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề 
xuất và sử dụng như : Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng, 
phương pháp biến phân ….Người ta xét đến những đặc thù của toán tử Ađể 
chọn phương pháp  xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình. Phương pháp 
lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach là phương pháp thường được sử dụng 
để  chứng  minh  sự  tồn  tại  nghiệm  của  phương  trình  và  tìm  nghiệm  xấp  xỉ 
thông  qua  phép  lặp  đơn.  Để  sử  dụng  phương  pháp  này  người  ta  phải  đưa 
phương trình (1) về dạng x = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc trên toàn 
không gian   n  , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của 
ánh xạ B. Bước tiếp theo là tìm điểm bất động của ánh xạ đó. Nguyên lí điểm 
bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp Newton và 
các  mở  rộng  của  nó  như  Newton  –  Raphson,  Newton  –  Kantorovich  cho  ta 
cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông qua việc giải 
những phương trình tuyến tính. Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu 
điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ 
chứa nghiệm. 

 

 


- 6 - 
 
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu  hơn về các phương pháp 

giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp
đơn và phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi
tuyến” để thực hiện luận văn của mình. 
2. Mục đích nghiên cứu
   

Luận  văn  trình  bày  một  số  phương  pháp  giải  hệ  phương  trình  đó  là  

phương  pháp  lặp  đơn,  phương  pháp  Newton  –  Kantorovich,  sự  kết  hợp  của 
hai phương pháp đó trong giải phương trình trong tập số thực   và hệ phương 
trình phi tuyến trong không gian   n . Ứng dụng giải một số phương trình và 
hệ phương trình cụ thể. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich  
giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến. 
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
   -  Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến. 
   -  Phạm  vi  nghiên  cứu:  Phương  pháp  lặp  đơn,  phương  pháp  Newton  – 
Kantorovich, sự kết hợp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến 
trong không gian   n ; ứng dụng vào giải các phương trình và hệ phương trình 
cụ thể. 
5. Phương pháp nghiên cứu
    - Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và 
áp dụng phần mềm Maple trong tính toán và vẽ đồ thị . 
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ  thống  lại  phương  pháp  lặp  đơn  và  phương  pháp  Newton  – 
Kantorovich  giải  phương  trình  và  hệ  phương  trình  phi  tuyến.  Áp  dụng  giải 
một số hệ phương trình phi tuyến cụ thể. 

 

 


- 7 - 
 

CHƯƠNG I 
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co
1.1.1.Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập hợp  X    cùng với một ánh xạ  d : X  X     
thoả mãn các tiên đề sau đây: 
1) d  x, y   0,(x, y  X)  ,  d  x, y  0  x  y

               

( tiên đề đồng nhất); 

2) d  x, y   d  y, x  ,(x, y  X)                                        ( tiên đề đối xứng); 
3) d  x, y   d  x, z   d  z, y  ,  x, y, z  X                          ( tiên đề tam giác). 
Khi đó tập hợp  X cùng với ánh xạ  d gọi là một không gian metric. Ánh xạ  d
gọi là một metric trên  X , số  d  x, y   gọi là khoảng cách giữa hai phần tử  x, y . 
Các  phần  tử  của  X gọi  là  các  điểm;  các  tiên  đề  1),  2),  3)    gọi  là  hệ  tiên  đề 
metric. 
Không gian metric được kí hiệu là  X   X,d   . 
Định nghĩa 1.1.2.  Cho  không  gian  metric  X   X,d  .      Một  tập  con  bất  kỳ 
X0    của tập hợp  X  cùng với metric  d  trên  X  lập thành  một không gian 

metric.  Không  gian  metric  X 0   X 0 , d    gọi  là  không  gian  metric  con  của 

không gian metric đã cho. 
Ví dụ 1.1.1.  Với hai phần tử  bất kỳ x,y ∈ℝ ta đặt:  
                                             d  x, y   x  y

(1.1.1) 

Từ  tính  chất  của  giá  trị  tuyệt  đối  trong  tập  hợp  số  thực  ℝ,  suy  ra  hệ  thức 
(1.1.1)xác định một metric trên   , không gian tương ứng được ký hiệu là  1  
.Ta gọi metric (1.1.1) là metric tự nhiên trên   . 

 

 


- 8 - 
 
Ví dụ 1.1.2.    Với  hai  phần  tử  bất  kỳ  x   x1 , x 2 ,..., x k  , y   y1 , y2 ,..., yk      thuộc    
không gian véc tơ thực k chiều   k  ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt: 
k

d  x, y  

x

2

j

 y j                                          (1.1.2) 

j1
                                 
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric. Để kiểm 

tra  hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất 
đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski:   
Với 2k số thực  a j ,bj ,   j  1, 2,..., k    ta có  
k

k

          
Thật vậy 

k

 a 2j .

 a jb j 
j1

j1

b
j1

2
j

(1.1.3) 
                                                            

k  k
k
k
k
k
k
k
2
0     a i b j  a jbi     a i2 b2j  2 a i bi a jb j   a 2j bi2  
i 1  j1
i 1 j1
i 1 j1
 i1 j1
2

 k
 k

 k

 2   a 2j    b 2j   2   a j b j   

                                     j1   j1   j1

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.3). 
Với 3 véc tơ bất kỳ   x   x1 , x 2 ,..., x k  , y   y1 , y2 ,..., yk  , z   z1 , z2 ,..., zk  thuộc   k  
ta có : 

2

k

2

k

d  x, y     x j  y j     x j  z j    z j  y j    
j1

k

j1

2

k

k

j1

j1

2

   x j  z j   2  x j  z j  z j  y j     z j  y j   
j1

=  d2  x, z   2d  x, z  d  z, y   d2  z, y   
2

  d  x, z   d  z, y    

 d  x, y   d  x, z   d  z, y   

Do đó hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric. 

 

 


- 9 - 
 
Vì vậy hệ thức (1.1.2) xác định một metric trên không gian   k .  
Không gian metric tươg ứng vẫn ký hiệu là   k   và thường gọi là không gian 
Euclide, còn metric (1.1.2) gọi là metric Euclide. 


Ví dụ 1.1.3.Ta ký hiệu   2   là tập tất cả các số thực hoặc phức  x  x n n 1 sao 
2



cho chuỗi số dương   x n  hội tụ . 
n 1





Với hai dãy số bất kỳ  x  x n n 1 , y  yn n 1   ta đặt 


d  x, y  

x

                                 

2

n

 yn                                              (1.1.4) 

n 1

Hệ thức (1.1.4) xác định một ánh xạ   d :  2   2   .  
Thật vậy, với mọi  n  1, 2,... ta có  
2

2

2



2

x n  yn  x n2  2x n .yn  y2n  x n  2 x n . yn  yn  2 x n  yn

2

 

Do đó mọi số  p  dương đều có 
2

p



               n 1
Suy ra 

p

2

p

2

2





x n  y n  2 x n  2 y n  2 x n  2 y n
n 1

2





n 1

2



n 1

2

 

n 1

2

x n  2 y n  
 x n  y n  2
n 1

n 1
                n 1
Nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1.4) hội tụ. 

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.4) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric. 






Với  ba  dãy  số  bất  kỳ  x  x n n 1 , y  yn n 1 , z  zn n 1     thuộc   2     và  với  số  p  
nguyên dương tuỳ ý ta có: 
p

1
2

p



2
 x n  yn     x n  z n  z n  yn
 n 1

 n 1

 

 



2

1
2


  



- 10 - 
 
1

1

2
2
 p
 p
2
2
  x n  z n     z n  y n  . 
  n 1

                          n 1

Cho  p    ta được 


1
2

1
2





1
2




2
2
2
d(x, y)    x n  y n     x n  z n     z n  y n   d  x, z   d  z, y 
 n 1

 n 1
  n 1

 

Do đó hệ thức (1.1.4)thoả mãn tiên đề 3) về metric. 
Vì vậy hệ thức (1.1.4) xác định một metric trên  2 . Không gian metric 
tương ứng vẫn ký hiệu là   2  . Không gian metric   2  đôi khi còn gọi là không 
gian Euclide vô hạn chiều. 
Ví dụ 1.1.4.  Ta ký hiệu  C a ,b   là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và 
liên  tục  trên  đoạn  a,b   ,     a  b     .  Với  hai  hàm  số  bất  kỳ 
x  t  , y  t   Ca,b   ta đặt 

                                    

d  x, y   max x  t   y  t  .                                        (1.1.5) 
atb

Vì các hàm  x  t  , y  t   liên tục trên đoạn a,b , nên hàm số  x  t   y  t   cũng liên 
tục trên đoạn  a,b .Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn  a,b . Suy 
ra hệ thức (1.1.5) xác định một ánh xạ từ  Ca ,b   Ca ,b   .  
Dễ dàng thấy ánh xạ (1.1.5) thoả mãn các tiên đề về metric. 
Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là  C a ,b  .  
Ví dụ 1.1.5.   Ta ký hiệu  L a ,b   là tập tất cả các hàm số giá trị thực và khả tích 
Lebesgue trên đoạn  a,b  .Với hai hàm số bất kỳ  x  t  , y  t   La ,b  ta đặt    
b

d  x, y    x  t   y  t  dt
a

Hệ thức (1.1.6) xác định một ánh xạ từ  L a ,b   L a ,b     . 

 

 

(1.1.6) 


- 11 - 
 
Với hai hàm số bất kỳ  x  t  , y  t   La ,b  ta có  
b

x  t   y  t   0, t   a, b  d  x, y    x  t   y  t   0  
a
b

d  x, y  0   x  t   y  t   0  
a

 x  t   y  t   0  h.k.n trên   a,b  

 x  t   y  t      h.k.n trên   a, b.  

Vì tích phân Lebesgue của một hàm số không thay đổi khi ta thay đổi giá tri 
của hàm số đó trên tập có độ đo Lebesgue bằng 0, nên trong không gian La, b
ta  đồng  nhất  hai  hàm  số  khi  chúng  chỉ  khác  nhau  trên  một  tập  có  độ  đo 
Lebesgue bằng 0. Nhờ đó ánh xạ (1.1.6) thoả mãn tiên đề 1) về metric. 
Dựa vào các tính chất của tích phân Lebesgue dễ dàng suy ra ánh xạ (1.1.6) 
thoả  mãn  các  tiên  đề  2),  3)  về  metric.  Vì  vậy  ánh  xạ  (1.1.6)  xác  định  một 
metric trên tập  L a ,b   . Không gian tương ứng vẫn ký hiệu là  L a ,b   . 
Định nghĩa 1.1.3.Cho  không  gian  metric X   X,d  ,dãy  điểm  xn   X ,  điểm  
x 0  X .  Dãy  điểm  x n    gọi  là  hội  tụ  tới  điểm  x 0   trong  không  gian  X   khi 

n  ,  nếu    0, n0  N* , n  n0  , d(xn ,x0 )    .  
x n  x 0   hay  xn  xo (n )  
Kí hiệu:   xlim


Điểm  x o   còn gọi là giới hạn của dãy  x n   trong không gian  X.  
Ví dụ 1.1.6.    Sự hội tụ của một dãy điểm  x n   trong không gian  1   là sự 
hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. 
Ví dụ 1.1.7.      Sự  hội tụ  của  một  dãy  điểm  trong  không gian  Eukleides   k
tương đương với sự hội tụ theo toạ độ. 

 

 


- 12 - 
 
Thật  vậy,  giả  sử  dãy  điểm  x  n    x1 n  , x 2n  ,..., x kn   , n  1, 2,...   hội  tụ  tới  điểm 
x   x1 , x 2 ,..., x k   trong   k  . Theo định nghĩa ,    0, n0  * , n  n0  , ta có:      



k

   x   x 

d xn , x 

n

j

2

j

 

j1

Suy ra   x jn   x j  , n  n 0 , j  1, 2,3,..., k                                                    (1.1.7) 
Các bất đẳng thức (1.1.7) chứng tỏ , với mỗi  j  1, 2,..., k  dãy số thực  x jn    hội 
tụ tới số thực  x j   khi  n   . Sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ . 
Ngược  lại,  giả  sử  dãy  điểm  x  n    x1 n  , x 2n  ,..., x kn   , n  1, 2,...   hội tụ theo  toạ  độ 
  0 ,  với  mỗi  j  1, 2,..., k   ,
tới  điểm  x   x1, x 2 ,..., x k    .  Theo  định  nghĩa  ,  

n j  * , n  n j , x jn   x j 


. 
n

n
Đặt    n0  max n1, n 2 ,..., n k   , thì  n  n0 , x j  x j 



 x jn   x j



2



k
2
,  j  1, 2,..., k    x jn   x j
n
j1





2


, j  1, 2,..., k  
n
k

 2 

  x   x 
n

j

j

2

  , n  n0 . 

j1

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric Euclide của không gian   k  . 
Ví dụ 1.1.8.  Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian  C a ,b   tương đương 
với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn  a,b  . 
Thật vậy, giả sử dãy hàm   x n  t    Ca,b  hội tụ tới hàm  x  t   trong không gian 
C a ,b  .   Theo định nghĩa 

 

    0, n 0  N* , n  n 0 , d  x n , x   max x n  t   x  t     
atb

Suy ra :        xn  t   x  t    , n  n0 , t  a,b                                        (1.1.8) 

 

 


- 13 - 
 

Các bất đẳng thức (1.1.8) chứng tỏ dãy hàm số liên tục   x n  t    hội tụ đều 
tới hàm số  x  t   trên đoạn   a, b.  
Ngược lại, giả sử hàm số   x n  t    Ca,b  hội tụ đều tới hàm số  x  t   trên đoạn 

a, b , nghĩa là  x  t   Ca,b  . Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm 
    0,  n 0  N * , n  n 0 ,  t   a, b  , x n  t   x  t     
x n  t   x  t   , n  n 0  
Suy ra: max
a t b

Hay :    d  x n , x    , n  n 0  
Do  đó  dãy  số   x n  t     hội  tụ  tới  hàm  số  x  t    theo  metric  của  không  gian     
C a ,b  .  

Ví dụ 1.1.9.    Sự  hội  tụ  của  dãy  điểm  trong  không  gian  metric  rời  rạc 
X  (X, d)  tương đương với sự hội tụ của dãy dừng. 

Thật vậy, giả sử dãy điểm  xn   X  hội tụ đến điểm  x  trong không gian X. 
*

Theo định nghĩa,       0,   1, n0  N , n  n0 ,d  x n , x   .  
Suy ra  d  x n , x   0, n  n0  x n  x, n  n 0  .  
Dãy điểm như thế gọi là dãy dừng. 
*

Ngược lại, dãy điểm  xn   X  là dãy dừng, nghĩa là  n0  N , n  n0 , xn  xn  
0

, thì hiển nhiên dãy đó hội tụ theo metric của không gian  X . 
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric  X   X,d  ,  a  X  ,  r  0 ,  

Tập  hợp  S(a, r)  x  X : d  x, a   r   được  gọi  là  hình  cầu  mở  tâm  a, bán
kính r.
Tập  hợp  S'(a, r)  x  X : d  x, a   r được  gọi  là  hình  cầu  đóng  tâm  a,  bán 
kính r. 
Mỗi hình cầu mở  S(a, r)  được gọi là một lân cận của phần tử a trong  X  . 

 

 


- 14 - 
 

Định nghĩa 1.1.5.Cho hai không gian metric  X  (X,d1 )  , Y  (Y,d2 ).  
Ánh xạ  f : X  Y được gọi là liên tục tại điểm  x0  X  nếu như    0,   0 , 
sao cho x  X  thoả mãn  d1(x, x0 )   thì  d2 (f (x),f (x0 ))   .  
Hay nói cách khác Ánh xạ  f : X  Y   gọi là liên tục tại điểm  xo  X  ,  nếu 
với lân cận cho trước tuỳ ý  Uf (x )  S y0 ,    Y  của điểm  y0  f  x 0   trong  Y  
0

tìm được lân cận  Vx  S x0 ,  của điểm  x 0  trong  X  sao cho f(Vx )  Uy .  
0

0

0

Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ  f : X  Y   gọi là liên tục tại điểm  x0  X nếu với 
mọi dãy điểm  xn   X  hội tụ tới điểm  x 0  trong  X kéo theo dãy điểm   f (x n )   

hội tụ tới điểm  f  x0   trong  Y.  
x n  x 0   và  f  x    là  hàm  liên  tụctại  điểm  x0  X thì    
Như  vậy  nếu: nlim

lim f  x n   f  x 0  .  

n 

Định nghĩa 1.1.7.Ánh xạ  f  gọi là liên tục trên tập  A  X   nếu ánh xạ  f liên 
tục tại mọi điểm  x  A.  
Khi  A  X    thì ánh xạ  f  gọi là liên tục. 
Định nghĩa 1.1.8. Ánh xạ  f  gọi là liên tục đều trên tập  A  X   nếu    0,
  0 sao cho   x, x '  A  thoả mãn  d1 (x, x ')    thì  d2 (f (x),f (x '))  .  

Định nghĩa 1.1.9.Một dãy điểm  x n  trong không gian metric  X   X,d  gọi 

lim d(x n , xm )  0 Nghĩa là    0 , 
là một dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu: m,n

n0 *   sao cho  d(x n , x m )  , n, m  n0  

( Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy). 
Định nghĩa 1.1.10.Không gian metric X= (X,d) là một không gian đầy (hay 
đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ. 

 

 

- 15 - 
 
Ví dụ 1.1.10.Không  gian  metric  1   là  không  gian  đầy,  điều  đó  suy  ra  từ 
tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán 
học. 
Ví dụ 1.1.11.  Không gian   k  là  không gian đầy. 
Thật  vậy,  giả  sử  x  n    x1 n  , x 2n  ,..., x kn   , n  1, 2,...   là  dãy  cơ  bản  tuỳ  ý  trong 
không gian  Euclide  k  . Theo định nghĩa dãy cơ bản,  



    0, n 0  N* , m, n  n 0 , d x   , x 
 x j   x j
n

m

n

m

k

     hay     x    x  
n

j

m

j

2



j1

(1.1.9) 

 , m, n  n 0 , j  1, 2, ..., k

Các bất đẳng thức (1.1.9) chứng tỏ, với mỗi  j  1, 2,..., k  , dãy   x jn    là dãy số 
thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn: 
                                          

lim x jn   x j  ,  ( j  1, 2,..., k).      

n 

Đặt  x   x1, x 2 ,..., x k   , ta nhận được dãy  x  n     k  đã cho hội tụ theo toạ độ 
tới  x  . Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclide   k tương đương với sự 
hội tụ theo toạ độ, nên dãy cơ bản  x  n    đã cho hội tụ tới  x  trong không 
gian   k  . Vậy không gian Euclide   k  là không gian đầy. 
Ví dụ 1.1.12.   Không gian  C a ,b   là không gian đầy. 
Thật vậy, giả sử   x n  t    là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian  C a ,b   , theo 
định nghĩa dãy cơ bản: 





    0 ,  n 0  N * ,  m, n  n 0 , d x  n  , x  m   max x n  t   x m  t     
a tb

 x n  t   x m  t   , m, n  n0 , t  a, b .

(1.1.10) 
                                         
Các bất đẳng thức  (1.1.10) chứng tỏ ,  với mỗi t  cố định tuỳ ý thuộc đoạn 

a,b  , dãy   x n  t    là dãy số thực cơ bản , nên phải tồn tại giới hạn 

 

 


- 16 - 
 
lim x n  t   x  t  , t  a, b  

                            n

Ta  nhận  được  hàm  số  x  t    xác  định  trên  đoạn  a,b   .  Vì  các  đẳng  thức 
(1.1.10) không phụ thuộc t, nên qua giới hạn trong  các  đẳng thức này  khi 
n   ta được: 

                     

x n  t   x  t   , n  n 0 , t  a, b                                       (1.1.11) 

Các bất đẳng thức (1.1.11) chứng tỏ dãy hàm số   x n  t    Ca,b  hội tụ đều tới 
hàm số  x  t   trên đoạn   a,b  nên  x  t   Ca,b  . Nhưng sự hội tụ trong không 
gian  C a ,b    tương  đương  với  sự  hội  tụ  đều  của  dãy  hàm  liên  tục  trên  đoạn 

a,b  , nên dãy cơ bản   x n  t    đã cho hội tụ tới  x  t   trong không gian  C 

a ,b 

. 

Vậy  C a ,b   là không gian đầy. 
Ví dụ 1.1.13. Không gian   2  là không gian đầy. 
Thật vậy, giả sử  x  n    x1 n  , x 2n  ,..., x kn   , n  1, 2,...  là dãy cơ bản tuỳ ý trong   2  
, theo định nghĩa dãy cơ bản : 





   x   x  

    0, n 0  N* , m, n  n 0 , d x  n  , x  m  

n
k

m
k

2

 .  

k 1

Suy ra 
p

  x   x

m
k

n
k

                  

k 1

x k   x k
n

                  

m



2

 , m, n  n 0 , p  1, 2,...                         (1.1.12) 

  , m, n  n 0 , k  1, 2,...

 (1.1.13) 
                                 

Các bất đẳng thức (1.1.13) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy   x kn    là 
dãy số cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:     nlim
 xkn    x k , k  1, 2,...  


 

 


- 17 - 
 
Đặt  x   x1 , x 2 ,..., x k ,...   x k    .    Vì  các  bất  đẳng  thức  (1.1.12)  không  phụ 
thuộc vào p ,  nên có thể cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi 
m    ta được: 
p

 x   x
n
k

                          

2

 , n  n 0 , p  1, 2,...

k

k 1

(1.1.14) 
                           

Tiếp  tục  cho  qua  giới  hạn  trong  các  bất  đẳng  thức  (1.1.14)  khi  p       ta 
được 


2

 xkn   x k  , n  n0

                        
Mặt khác 

k 1



2

x k  x k  x kn   x kn 

2

 x

n
k

(1.1.15) 
                                              

 x k  x kn 

2

 

2

2

 2 x kn   2 x kn   x k ,  k, n  1, 2,...                      (1.1.16) 

                                   
Từ các bất đẳng thức (1.1.15), (1.1.16) suy ra: 
p



p

2

k 1

k 1


            


 

p

2

2

x k  2 x kn1   2 x kn1   x k  
k 1

 n1 

 2 x k
k 1

2

2



 n1 



2

k 1



2

 2 x k  x k   2 x kn1   2 2 , với  n1  n 0
k 1

2

  x k  2 x k 1   2 2  , với  n1  n 0  
k 1

n

k 1

Do  đó  dãy  x   x k   2 .Các  bất  đẳng  thức  (1.1.15)  chứng  tỏ,  dãy  cơ  bản 

 x    đã cho hội tụ tới  x   trong không gian  
n

2

Vì vậy không gian   2  là không gian đầy. 
 
 
 

 

 

2

 . 


- 18 - 
 

1.1.2. Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.1.11.  Cho  không  gian  metric  X  (X, d)   .Ánh  xạ  A : X  X  
được  gọi  là  ánh  xạ  co  nếu  tồn  tại  số  α,  0    1   sao  cho:
d(Ax1,Ax2 )  d(x1, x2 ), x1 , x 2  X.  

Định lý 1.1.1.( Nguyên lý Banach về ánh xạ co)    
Mọi  ánh  xạ  co  A từ  không  gian  metric  đầy  X  (X, d) vào  chính  nó  đều  có 

một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm  x*  X   sao 
cho  Ax*  x* ;  điểm  x*   là  giới  hạn  của  dãy  x n    được  xây  dựng  bởi  công 
thức: 
         x n  Ax n 1 ,  x 0  tuỳ ý, x 0  X  
và công thức đánh giá sai số 
        

d(x n , x * ) 
d(x n , x * ) 

n
d(x1 , x 0 ), n  1, 2,...  
1 


d(x n , x n 1 )   , n  1, 2,...  
1 

        
Trong đó    là hệ số co của ánh xạ co  A.  
Chứng minh.
Lấy một điểm bất kỳ  x0  X  . Xây dựng dãy  x n   xác định bởi công thức: 
                   x n  Ax n 1    ,  n  1, 2,...  
Ta được  
      d(x2 , x1 )  d(Ax1,Ax0 )  d(x1, x0 )  d(Ax0 , x0 )  
2
      d(x 3 , x 2 )  d(Ax 2 , Ax1 )  d(x 2 , x1 )   d(Ax 0 , x 0 )  
        … 
n
         d(x n 1 , x n )  d(Ax n , Ax n 1 )  d(x n , x n 1 )  ...   d(Ax 0 , x 0 ) ,với n  1, 2, ...  

Từ đó ta suy ra   n, p  1, 2,... ta có 

 

 


- 19 - 
 

d(xnp , xn )  d(xn1, xn )  d(xn2 , xn1 )  ...  d(xnp ,xnp1 )  

               

 ( n   n 1  ...   n  p 1 )d(Ax 0 , x 0 )  

1    d(Ax , x ) 
                =   .
p

n

0

1 

0

n
d(Ax 0 , x 0 ).  

1 

d(x np , x n )  0 , p  N*;  
Vì  0    1 ,  nên  lim  n  0 , do đó  nlim

n 

Nghĩa là dãy  x n   là dãy cơ bản trong không gian metric đầy  X  (X, d)  
Từ đó tồn tại        l i m

x  

x

n

 x

*

 X

 

Ta có 
d(Ax* , x* )  d(Ax* , x n )  d(x n , x* )  d(Ax * , A x n 1 )  d(x n , x* )  
*
*
                     d(x , x n 1 )  d(x n , x ) , ∀ n  1, 2,...  

Cho  n  ,  ta được   d(Ax* , x* )  0   hay  Ax*  x*  , nghĩa là  x*  là điểm bất 
động của ánh xạ  A.  
Giả  sử  tồn  tại  điểm  y*  X   cũng  là  điểm  bất  động  của  ánh  xạ 

A,     thì

d(x* , y* )  d(Ax* ,Ay* )  d(x* , y* )  1    d  x* , y*   0  
*
*
*
*
Do 0   α <1   d  x , y   0  x  y .  

Vậy  x*   là điểm  bất động duy nhất của ánh xạ  A.  
Ta có 
lim d(x n  p , x n ) 

    p
   

d(x n , x * ) 

n
d(x* , x n ),
1 

 

n
d(x1 , x 0 ) ;

1 
 

d(xn ,x* )  d(Axn1,Ax* )  d(Axn1,Axn )  d(Axn ,Ax* )  d(xn1, xn )  d(xn , x* );
 d(x n , x* ) 


d(x n , x n 1 ).  
1 

Định lý được chứng minh. 

 

 


- 20 - 
 

1.2 .Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. Cho  X  và  Y  là hai không gian tuyến tính trên trường  P  
( P là trường số thực     hoặc trường số phức    ). Khi đó ánh xạ  A : X  Y  
được gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ  A  thoả mãn các điều kiện 
 

1) A(x1  x 2 )  Ax1  Ax 2 ,  x1, x2  X  

 

2) A   x    A ( x ) ,   P  ,   x  X  . 

Ta  thường  gọi ánh xạ  tuyến  tính  là toán  tử  tuyến  tính.  Khi toán  tử  A   chỉ 
thoả mãn điều kiện 1) thì  A  gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử  A  chỉ 
thỏa mãn điều kiện 2) thì  A gọi là toán tử thuần nhất. 
Khi  Y  P  thì toán tử tuyến tính  A  thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. 
Định nghĩa 1.2.2.( Không gian định chuẩn) 
Giả sử  X  là một không gian tuyến tính trên trường  P ( P   hoặc  P    ), 
Ánh  xạ  . : X     xác  định  trên X (đọc  là  chuẩn),  lấy  giá  trị  trên 
 : x  , x  X  , thoả mãn các điều kiện( tiên đề) sau đây 

1)   x  0  ,  x  X ; x  0  x    ( kí hiệu phần tử không là    ) 
2) .x   . x ∀ x  X  ,    P,  
3) x  y  x  y

x, y  X.  

được gọi là một chuẩn trên  X , số  x  gọi là chuẩn của véc tơ  x , các tiên đề 
1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. 
Không  gian  tuyến  tính  X cùng  với  chuẩn  .     được  gọi  là  một  không gian 
định chuẩn( hay không gian tuyến tính định chuẩn). 
Định lý 1.2.1.Cho  X   là không gian định chuẩn, đối với hai véc tơ bất kỳ 
x, y  X , ta đặt   d(x, y)  x  y

  . Khi đó d là một metric trên  X.  

Định nghĩa 1.2.3.(Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) 

 

 


- 21 - 
 
Dãy điểm  x n   của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm  x  X  , 
x n  x  0 . Kí hiệu  lim x n  x    hay  x n  x    (  n   ). 
nếu   lim
n 
n 

Định nghĩa1.2.4.Dãy điểm  x n   trong không gian định chuẩn X được gọi là 
dãy cơ bản, nếu   lim x n  x m  0  
n ,m 
Định nghĩa 1.2.5.( Không gian Banach) 
Không gian định chuẩn  X  được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ 
bản trong  X  đều hội tụ. 
( Trong định lý 1.2.1. nếu với metric  d(x, y)  x  y  ,  X là không gian đủ thì 
X  được gọi là không gian Banach). 

Ví dụ 1.2.1. 
Xét không gian véc tơ k chiều   k  , với mỗi  xk  ,  x  (x1 , x 2 ,..., x k )  
k

Đặt    x 

x

2
i

.   Khi đó   k  là không gian Banach. 

i 1

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được   k là không gian định chuẩn 
(n)
Lâý  x n   là dãy cơ bản trong   k ,  xn  (x1(n) , x(n)
2 ,..., x k )  

Ta có    lim x n  x m  0;  
n,m 

Nghĩa là    0 ,      *  ,  m, n  M x n  x m     
k

  x (nj )  x (m)
 2  
j
j1

Suy  ra  với  mỗi    1  j  k   cố  định  ,  ∀ε  >    0,  M j  M * ,  m,n  Mj
x jn   x jm    .  

Vậy với mỗi j cố định thì dãy  x jn    là dãy cơ bản trong    nên nó hội tụ. 

 

 

- 22 - 
 

Kí hiệu    x j  lim x jn    ,  j  1,k  , nghĩa là∀ε> 0, ∀ j  1,k ,  M j  *  ,   n  M j :
n 

x jn   x j 


 
k

Đặt  x   x j  , j  1, k  . Ta sẽ chứng minh x n    hội tụ đến  x  . 

k

Đặt  M0  max M1 , M2 ,...Mk  thì    x jn   x j   ,  j  1, 2,..., k  
2
2
n
 x j   x j     
k
k





2

2

k

n
x j   x j   2 



x jn   x j   .  

j1

j1

Vậy  x n   hội tụ đến  x . 
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tuyến tính  X  và  . 1  , . 2    là hai chuẩn cùng  
xác  định trên  X . Hai chuẩn  . 1  và  . 2   gọi là tương đương nếu tồn tại hai số 
dương  và    sao cho 
                             

. x 1  x 2  . x 1  ,  x  X.  

Ví dụ 1.2.2.      Trên  không  gian  véc  tơ   k   ,  ngoài  chuẩn  x 

k

x

2
i

  cho 

i 1

chuẩn    x   max x j , x   x1 , x 2 ,..., x k   k  . 
1 j k

k

Các chuẩn x 

x

2
i

 và  x   max x j  là tương đương vì 

i 1

                         

x0  x 

1 j k

k x 0 , x   k .  

1.3. Phép tính vi phân trong không gian Banach
Định nghĩa 1.3.1.( Không gian các toán tử) 
Cho  X, Y  là các không gian định chuẩn, ta kí hiệu  L  X, Y   là tập hợp các toán 
tử tuyến tính liên tục từ  X  vào  Y . 

 

 


- 23 - 
 
Với  A  L  X, Y  , đặt A  sup Ax

 

x 1

Thì  L(X,Y) là không gian định chuẩn. 
Định lý 1.3.1.  Nếu  không  gian  Y   là  không  gian  Banach  thì  không  gian 
L  X, Y   cũng là không gian Banach. 

Chứng minh.
Giả sử dãy  A n   là dãy cơ bản trong không gian  L  X, Y  . 
Ta có 
A n x  A m x   A n  A m  x  A n  A m . x , x  X.    (1.3.1) 

Cho nên với x  X   cho trước, 

An x  Am x  0 (n, m   )  

Vậy  dãy  An x   là  dãy  cơ  bản  trong  Y ,  mà  theo  giả  thiết  Y   là  không  gian 
Banach, nên dãy đó phải dần đến một giới hạn. 
A n x   và chứng minh  A  L  X,Y  .  
Ta đặt   Ax  nlim


Thật vậy, A  là toán tử tuyến tính; 
Mặt khác với ε> 0 cho trước, ta có thể chọn  N   đủ lớn để 
An  Am  , n, m  N  

Khi đó theo (1.3.1) ta có    An x  Am x   x  
Cho m    ta được An x  Ax   x , n  N  
 An  A  L  X, Y  và  An  A  , n  N,  

Nhưng  A  An   An  A   L  X, Y   và  n    0  
Vậy dãy  A n  có giới hạn  A  L  X,Y  .  Định lý được chứng minh. 
Định nghĩa 1.3.2. ( Đạo hàm Fréchet) 
Cho  X, Y  là hai không gian định chuẩn bầt kỳ, ánh xạ  f : X  Y  được gọi là 
khả vi tại điểm  x  Y  nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục  A : X  Y  
( tức  A  L  X, Y  ) sao cho: