Khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

QUÁCH THỊ THU HUYỀN

KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH TỔNG VÔ HẠN
HOẶC TÍCH VÔ HẠN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể
các thầy cô giáo trường THPT Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc đã
giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2015
Tác giả

Quách Thị Thu Huyền


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, luận văn:
Khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và
một số ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2015
Tác giả

Quách Thị Thu Huyền


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Tổng vô hạn và tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Tổng vô hạn và tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Tổng vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Đa thức và các số Bernoulli, Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1. Đa thức Bernoulli và các số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2. Đa thức Euler và các số Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3. Khai triển Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4. Khai triển hàm phân hình theo hàm phân thức . . . . . . . . . . .

27

Chương 2. Một số ứng dụng của tổng vô hạn và tích vô hạn
33
2.1. Phương trình vi phân thường cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.1. Các điểm kì dị của phương trình vi phân thường cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.2. Nghiệm trong một lân cận của điểm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2. Ứng dụng tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm của một số phương
trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.1. Nghiệm trong lân cận của một điểm kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.2. Nghiệm chính quy. Điểm kì dị chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.3. Phương pháp Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.3. Khai triển hàm qua tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

54


2.4. Khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.4.1. Mở đầu về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.4.2. Khai triển tiệm cận của tích phân Laplace, Bổ đề Watson . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích cổ điển, bên cạnh lý thuyết tổng vô hạn hay còn gọi là
chuỗi số, một đối tượng khác cũng được quan tâm nghiên cứu, đó là tích
vô hạn. Cũng tương tự như đối với chuỗi, người ta cũng quan tâm đến
việc biểu diễn hàm đã cho như là một tích vô hạn. Nhờ việc biểu diễn
hàm qua tổng vô hạn và tích vô hạn, một số kiểu phương trình vi phân
thường có thể tìm được biểu diễn nghiệm, đặc biệt là nghiệm kỳ dị của
chúng.
Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn trong
lĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị của một số lớp phương trình vi phân,
và được sự hướng dẫn của TS. Bùi kiên Cường, tôi đã chọn đề tài
nghiên cứu: Khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích
vô hạn và một số ứng dụng để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc
sĩ.

2. Mục đích nghiên cứu
Biểu diễn một số hàm qua tích vô hạn và ứng dụng trong tìm nghiệm
kỳ dị của một số phương trình vi phân thường.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và việc khai triển một hàm
thành tổng hoặc tích vô hạn;
• Nghiên cứu ứng dụng của việc khai triển hàm thành tổng vô hạn
trong việc tìm nghiệm kỳ kị của một số phương trình vi phân.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Một số đa thức: Bernoulli, Euler, ... tích vô hạn, khai triển tiệm cận
trong giải tích cổ điển;
• Nghiệm của một số phương trình vi phân thường cấp 2 có sử dụng
các hàm đặc biệt.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề
tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết.

6. Những đóng góp của đề tài
Luận văn là tài liệu tổng quan về biểu diễn hàm qua tổng vô hạn hoặc
tích vô hạn và một số ứng dụng của nó trong việc giải một số kiểu phương
trình vi phân thường cấp 2.

2


Chương 1
Tổng vô hạn và tích vô hạn
1.1. Tổng vô hạn và tích vô hạn
Mục này được trình bày dựa theo tài liệu [4].
1.1.1. Tổng vô hạn
∞
Cho dãy số {an }∞
n=1 , ta định nghĩa dãy {sn }n=1 , gồm các tổng riêng
∞

sn = a1 + a2 + · · · + an . Tổng vô hạn hình thức

an được gọi là chuỗi.
n=1

∞

an hội tụ tới giới hạn S nếu dãy các tổng riêng

Ta nói rằng, chuỗi
n=1

{sn }∞
n=1 hội tụ tới S.
Ta biết rằng, tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho một dãy số phát biểu rằng:
Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy cơ bản (dãy Cauchy).
Áp dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho dãy tổng riêng {sn }∞
n=1 ta có tiêu
chuẩn Cauchy cho một chuỗi như sau:
∞

an hội tụ nếu và chỉ nếu với mỗi

Định lý 1.1.1. Chuỗi

> 0 tồn

n=1

tại N ∈ N∗ sao cho khi m ≥ n > N ta có |an + an+1 + · · · + am | < .
∞

an hội tụ thì

Hơn nữa, từ định lí trên ta suy ra rằng nếu chuỗi
n=1

lim an = 0. Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng. Chẳng hạn, chuỗi
∞ 1
1
điều hòa
là phân kì trong khi đó lim an = lim = 0.
n→∞
n→∞ n
n=1 n
n→∞

3


∞
n=1
∞

N

nếu |A −

∞

an . Do đó,
n=1

n=N +1

an | < thì |
n=1

N

an = A −

an = A thì

Ta thấy rằng, nếu chuỗi

an | < .
n=N +1

Sử dụng chuỗi Taylor ta có các công thức khai triển thành tổng vô
hạn của một số hàm sơ cấp cơ bản như dưới đây:
∞
z

e =
a
=
1−z

n=0
∞

zn
,
n!
az n ,

n=0
∞

sin z =
n=0
∞

cos z =
n=0
∞

log(1 + z) =
n=1
∞

− log(1 − z) =
n=1

(1.1.1)
|z| < 1,

(−1)n z 2n+1
,
(2n + 1)!
(−1)n z 2n

,
(2n)!
(−1)n z n
,
n
zn
,
n

(1.1.2)
∀z ∈ C,

(1.1.3)

∀z ∈ C,

(1.1.4)

|z| < 1,

(1.1.5)

|z| < 1.

(1.1.6)

Ta có một số kết quả về tính hội tụ của tổng vô hạn sau đây.
∞
Định lý 1.1.2. Cho hai dãy số phức {an }∞
n=0 và {bn }n=0 . Nếu

∞

|an |
n=0

∞

hội tụ và {bn } bị chặn thì chuỗi

an bn hội tụ.
n=0

∞

∞

|an | hội

an hội tụ tuyệt đối nếu như chuỗi

Ta nói rằng chuỗi
n=0

n=0

tụ.
∞
n=0

n=0

an hội tụ.

hội tụ thì chuỗi

|an |

an là một chuỗi các số phức và chuỗi

Định lý 1.1.3. Nếu
∞

∞

n=0

4


Điều ngược lại của định lí này là không đúng, chẳng hạn xét chuỗi
(−1)n
, chuỗi này là chuỗi đan dấu và hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz,
n
n=1
∞ 1
∞ (−1)n
=
tuy nhiên chuỗi
phân kì.

n
n
n=1
n=1
∞

Định lý 1.1.4. Giả sử rằng am,n ∈ [0, ∞) với mỗi (m, n) ∈ N × N và
φ : N → N × N là một song ánh. Với ngầm hiểu rằng một chuỗi số thực
không âm hội tụ đến ∞ nếu như nó không hội tụ đến một số thực, ta có
∞

∞

∞

∞

am,n =
n=1

m=1

∞

aφ(k) .

am,n =
m=1

n=1

k=1

Định lý 1.1.5. Giả sử cm,n ∈ C với mỗi (m, n) ∈ N×N và φ : N → N×N
là một song ánh. Nếu một trong ba tổng sau
∞

∞

∞

∞

|am,n | ,
n=1

m=1

∞

|am,n | ,
m=1

n=1

|aφ(k) |
k=1

hội tụ thì các tổng sau hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng nhau
∞

∞

∞

∞

am,n ,
n=1

m=1

∞

am,n ,
m=1

n=1

aφ(k) .
k=1

1.1.2. Tích vô hạn
Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các bài toán hội
tụ của tích vô hạn, đặc biệt trình bày các điều kiện về hội tụ tuyệt đối.
Tích vô hạn

∞

un = u1 u2 u3 · · ·

(1.1.7)

n=1

gọi là hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại m sao cho ∀n > m, un = 0, và tích
riêng
pn = um+1 um+2 · · · un ,
5

n>m

(1.1.8)


tiến tới một giới hạn Um không bằng 0 khi n → ∞. Khi đó,
∞

un = u1 u2 · · · um Um

U=

(1.1.9)

n=1

được gọi là giá trị của tích vô hạn.
Định lý 1.1.6. Nếu tích vô hạn (1.1.7) hội tụ thì lim un = 1.
n→∞

Chứng minh. Khi n → ∞ ta có un = pn /pn−1 → 1 vì pn , pn−1 có cùng
một giới hạn Um khi n → ∞.
Nếu ta đặt un = 1 + an , và thì (1.1.7) trở thành
∞

(1 + an ).

(1.1.10)

n=1

Khi đó, từ định lí 1.1.6 suy ra nếu chuỗi (1.1.10) hội tụ thì lim an = 0.
n→∞

Định lý 1.1.7. Tích vô hạn (1.1.10) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại m
sao cho chuỗi

∞

ln(1 + an )

(1.1.11)

n=m+1

hội tụ, ở đây logarit được lấy theo các giá trị chính, tức là |arg(1+an )| <
π. Kí hiệu tổng trong (1.1.11) là L, khi đó
∞

(1 + an ) = (a + a1 )(1 + a2 ) · · · (a + am )eL .

(1.1.12)

n=1

Chứng minh.
Giả sử chuỗi (1.1.11) hội tụ, khi đó dãy
n

Pn = (1 + am+1 )(1 + am+2 ) · · · (1 + an ) = exp

ln(1 + ar )
r=m+1

6


sẽ hội tụ và lim pn = eL . Ngược lại, nếu tích hội tụ thì tồn tại m sao
n→∞

cho (1 + an ) = 0, ∀n > m và pn → p = 0 khi n → ∞. Khi đó
∞

ln(1 + ar ) = lim ln pn = ln p.
n→∞

r=m+1

Do đó, chuỗi (1.1.11) là hội tụ. Tuy nhiên, các giá trị của nó phụ thuộc
vào argument của các thừa số trong p. Các argument đó không thể xác

định một cách bất kì, vì lim ln(1 + an ) = 0 là điều kiện cần để chuỗi
n→∞

(1.1.11) hội tụ và
ln(1 + an ) = ln |1 + an | + iarg(1 + an ).
Vì vậy, ta phải có an → 0 và arg(1 + an ) → 0. Do đó, ngoại trừ với một
số số hạng hữu hạn ta phải có |arg(1 + an )| < π, tức là logarit là lấy các
giá trị chính của chúng.
Tiếp theo, ta trình bày điều kiện cần và đủ để một tích vô hạn là hội
tụ tuyệt đối.
∞

Định nghĩa 1.1.1. (Hội tụ tuyệt đối) Tích vô hạn
∞

tuyệt đối nếu tích vô hạn

(1 + an ) hội tụ
n=1

(1 + |an |) hội tụ.
n=1
∞

(1 + an ) hội tụ tuyệt đối thì nó cũng

Định lý 1.1.8. Nếu tích vô hạn
n=1

hội tụ.

∞

Chứng minh. Vì tích vô hạn

(1 + |an |) hội tụ nên theo định nghĩa,
n=1

tồn tại r sao cho
qs = (1 + |ar+1 |)(1 + |ar+1 |) · · · (1 + |as |) → q = 0

7

khi s → 0. (1.1.13)


Với k > 0 bất kì, thì khi s đủ lớn, ta có
|(1 + ar+1 )(1 + ar+1 ) · · · (1 + as ) − 1|
≤ (1 + |ar+1 |)(1 + |ar+1 |) · · · (1 + |as |) − 1
qs+k
=
−1< .
qs

(1.1.14)

Do đó, tồn tại m sao cho với bất kì s > m, ta có
1
|(1 + ar+1 )(1 + ar+1 ) · · · (1 + as ) − 1| = |ps − 1| < ,
2
tức là

1
3
< |ps | <
2
2
điều này chứng tỏ rằng, khi s > m, 1 + as = 0 và nếu ps tiến tới một giới
hạn thì giới hạn đó phải khác không. Hơn nữa, từ (1.1.14) ta có
qs+k
ps+k
−1 ≤
−1< ,
ps
qs

s > m, k > 0,

hay
|ps+k − ps | < |ps | <

3
.
2
∞

Khi đó, theo tiêu chuẩn Cauchy, ps có giới hạn, tức là

(1 + an ) hội tụ.
n=1

∞

Định lý 1.1.9. Điều kiện cần và đủ để tích vô hạn

(1 + an ) hội tụ
n=1

∞

an hội tụ tuyệt đối.

tuyệt đối là chuỗi
n=1

Chứng minh. Đặt Pn = (1 + |am+1 |)(1 + |am+2 |) · · · (1 + |an |), n > m.
Rõ ràng, Pn = 0. Đặt Sn = |am+1 | + |am+2 | · · · + |an |. Vì 1 + |aν | ≤ e|aν| ,
do đó Sn < Pn < eSn và điều này suy ra sự hội tụ của Sn và Pn là tương
đương. Định lí được chứng minh.
8


∞

(1 + an ) hội tụ tuyệt đối thì tổng

Định lý 1.1.10. Nếu tích vô hạn

n=1

∞

ln(1 + an ) cũng hội tụ tuyệt đối và ngược lại.

vô hạn
n=1

Chứng minh.
Vì tích hoặc tổng vô hạn hội tụ thì ta phải có an → 0 khi n → ∞.
1
Do đó, với n đủ lớn mà |an | < , ta có
2
an a2n a3n
ln(1 + an )
−1 = − +
−
+ ···
an
2
3
4
1
1
1
1
< 2 + 3 + 4 + ··· = ,
2
2
2
2
tức là
1

ln(1 + an )
3
< .
<
2
an
2
∞

∞

| ln(1 + an )| và

Do đó, sự hội tụ của chuỗi
n=1

|an | là tương đương, và
n=1

tới đây ta áp dụng Định lí 1.1.9 ta thu được kết luận của Định lí 1.1.10.

Ví dụ 1.1.1. Với mỗi z cố định z ∈ C \ {0}, tích vô hạn
∞

sin(z/n)
z/n
n=1
hội tụ tuyệt đối.
Thật vậy, ta biết rằng khai triển
∞

(−1)k

sin(w) =
k=0

9

w2k+1
.
(2k + 1)!


Do đó,
sin(z/n)
=
z/n

∞

(−1)k
k=0

1
=1+ 2
n
=1+

(z/n)2k+1
(z/n)(2k + 1)!

∞

z 2k
(−1) 2(k−1)
n
(2k + 1)!
k=1
k

bn
n2

z 2k
trong đó bn =
(−1) 2(k−1)
. Với z = 0 cố định và với bất kì
n
(2k + 1)!
k=1
n, ta có
∞
2k+1
1
sin(z) − z
k z
·
(−1)
.
≤

|bn | ≤
(2k + 1)! |z|
z
∞

k

k=1

Do đó, {|bn |} là dãy bị chặn và
dụng Định lí 1.1.9 tích vô hạn
là

1
bn
hội
tụ,
do
đó
hội tụ. Áp
n2
n2
bn
(1+ 2 ) hội tụ, điều này cũng có nghĩa
n

∞

∞

bn
sin(z/n)
(1 + 2 ) =
n
z/n
n=1
n=1
hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ 1.1.2. Các hàm sin x và cos x có thể được khai triển dưới dạng
tích vô hạn tương ứng là:
∞

sin x = x
k=1

và

∞

cos x =
k=1

x2
1− 2 2
k π

,

4x2
1−

(2k − 1)2 π 2

(1.1.15)

.

Thật vậy, để chứng tỏ (1.1.15) ta áp dụng công thức Euler
sin x =

eix − e−ix
,
2i
10

(1.1.16)


và thay các hàm mũ eix , e−ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm
này là
ix

e = lim

n→∞

n

ix
1+
n

và e

−ix

ix
1−
n

= lim

n→∞

n

.

Do đó, ta thu được
n

ix
1
lim
1+
sin x =
2i n→∞
n
i
ix
1+

= − lim
2 n→∞
n

ix
− 1−
n
n
ix
− 1−
n

n

n

.

(1.1.17)

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có
ix
1+
n

n

ix
1−
n

n

ix n(n − 1)
= 1+n +
n
2!

ix
2

n

2

Cnk

+· · · =
k=0

ix
n

k

, (1.1.18)

và
ix n(n − 1)
=1−n +

n
2!

ix
2

n

2

k

k

− ··· =

(−1)

Cnk

k=0

ix
.
n
(1.1.19)

Thay (1.1.18), (1.1.19) vào (1.1.17), và loại bỏ các số hạng bậc chẵn đối
với x, khi đó vế phải của (1.1.17) trở thành
(n−1)/2

k

sin x = x lim

(−1)

n→∞

k=0

Cn2k+1

x2k
.
n2k+1

Biểu diễn vế phải của (1.1.20) dưới dạng chuỗi lượng giác ta có
(n−1)/2

sin x = x lim

n→∞

k=1

(1 + cos 2kπ/n)x2
1−
,
(1 − cos 2kπ/n)n2

sử dụng công thức hạ bậc ta có,
(n−1)/2

sin x = x lim

n→∞

k=1
(n−1)/2

= x lim

n→∞

k=1

11

x2 cos2 kπ/n
1− 2
n cos2 kπ/n
x2
.
1− 2
n tan2 kπ/n

(1.1.20)


Mặt khác, ta có

(n−1)/2

x2 k 2 π 2
1− 2 2 2
n k π tan2 kπ/n

sin x = x lim

n→∞

k=1
(n−1)/2

x2
1− 2 2
k π

= x lim

n→∞

k=1

kπ/n
tan kπ/n

2

.

Vì
ϑ
= 1.
ϑ→0 tan ϑ
lim

Do đó, cho qua giới hạn ta thu được biểu diễn Euler cho hàm sin x như
sau

∞

x2
1− 2 2
k π

sin x = x lim

n→∞

k=1

.

Tương tự, đối với hàm cos x, trước tiên ta sử dụng công thức Euler
cos x =

eix + e−ix
2

và biểu diễn các hàm mũ dưới dạng giới hạn

1
cos x = lim
2 n→∞

n

ix
1+
n

ix
+ 1−
n

n

.

Áp dụng các đa thức ở (1.1.18) và (1.1.19) vào vế phải của đẳng thức
trên, ta có thể thấy rằng, ngược lại với hàm sin x, tất cả các số hạng có
mũ lẻ sẽ không còn xuất hiện và ta thu được biểu diễn đối với hàm cos x
như sau:
(n−1)/2
k

cos x = lim

n→∞

(−1)

k=0

2k
2k x
Cn 2k .

n

Lý luận tương tự như trong (1.1.20) ta thu được
(n−1)/2

cos x = lim

n→∞

k=0

[1 + cos(2k − 1)π/n]x2
1−
[1 + cos(2k − 1)π/n]n2
12

.


Áp dụng các công thức biến đổi lượng giác hạ bậc ta có
(n−1)/2

x2 cos2 (2k − 1)π/2n
1− 2

n cos2 (2k − 1)π/2n

cos x = lim

n→∞

k=0
(n−1)/2

x2
.
n2 tan2 (2k − 1)π/2n

= lim

n→∞

k=0

Hay
(n−1)/2

cos x = lim

n→∞

k=0
(n−1)/2

= lim

n→∞
∞

=
k=1

k=0

4x2 (2k − 1)2 π 2
4n2 (2k − 1)2 π 2 tan2 (2k − 1)π/2n
4x2
1−
(2k − 1)2 π 2

4x2
1−
(2k − 1)2 π 2

(2k − 1)π/2n
tan2 (2k − 1)π/2n

2

.

Vậy ta thu được biểu diễn Euler cho hàm cos x
∞

4x2

1−
(2k − 1)2 π 2

cos x =
k=1

.

Ví dụ 1.1.3. Hàm sin hyperbolic sinh x có thể được khai triển dưới dạng
tích vô hạn

∞

1+

sinh x = x
k=1

x2
k2π2

.

(1.1.21)

Thật vậy, để chứng tỏ (1.1.21) ta áp dụng công thức Euler
eix − e−ix
sinh x =
,
2

và thay các hàm mũ eix , e−ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm
này là
ix

e = lim

n→∞

ix
1+
n

n

và e
13

−ix

= lim

n→∞

ix
1−
n

n

.

Do đó, ta thu được
n

ix
1+
n

1
sinh x = lim
2 n→∞

n

ix
− 1−
n

(1.1.22)

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có
ix
1+
n

n

ix
1−

n

n

ix n(n − 1)
= 1+n +
n
2!

n

2

ix
2

+· · · =

k

ix
n

Cnk
k=0

, (1.1.23)

và
ix n(n − 1)

=1−n +
n
2!

ix
2

n

2

k

k

− ··· =

(−1)

Cnk

k=0

ix
.
n
(1.1.24)

Thay (1.1.23), (1.1.24) vào (1.1.22), và loại bỏ các số hạng bậc chẵn đối
với x, khi đó vế phải của (1.1.22) trở thành

(n−1)/2

Cn2k+1

sinh x = x lim

n→∞

k=0

x2k
.
n2k+1

(1.1.25)

Biểu diễn vế phải của (1.1.25) dưới dạng chuỗi lượng giác ta có
(n−1)/2

(1 + cos 2kπ/n)x2
1+
,
(1 − cos 2kπ/n)n2

sinh x = x lim

n→∞

k=1

sử dụng công thức hạ bậc ta có,
(n−1)/2

sinh x = x lim

n→∞

k=1
(n−1)/2

= x lim

n→∞

k=1

x2 cos2 kπ/n
1+ 2 2
n sin kπ/n
x2
1+ 2
.
n tan2 kπ/n

Mặt khác, ta có
(n−1)/2

sinh x = x lim

n→∞

k=1
(n−1)/2

= x lim

n→∞

k=1

x2 k 2 π 2
1+ 2 2 2
n k π tan2 kπ/n
x2
1+ 2 2
k π
14

kπ/n
tan kπ/n

2

.


Vì
ϑ
= 1.
ϑ→0 tan ϑ

lim

Do đó, cho qua giới hạn ta thu được biểu diễn Euler cho hàm sinh x như
sau

∞

sinh x = x lim

n→∞

k=1

x2
1+ 2 2
k π

.

1.2. Đa thức và các số Bernoulli, Euler
Mục này được trình bày dựa theo các tài liệu [4, 6].
1.2.1. Đa thức Bernoulli và các số Bernoulli
Các đa thức Bernoulli ϕn (x), n = 0, 1, 2, . . . được cho dưới dạng khai
triển sau:
text
=
et − 1

∞

n=0

tn
ϕn (x).
n!

(1.2.1)

Hàm ở vế trái của (1.2.1) gọi là hàm sinh (generating function) của
ϕn (x). Chuỗi trong (1.2.1) hội tụ với |t| < 2π, vì tính kì dị của hàm sinh
gần nhất với 0 là ±2πi. Ở đây ta kí hiệu Bn (x) thay cho ϕn (x).
Khi x = 0, công thức (1.2.1) trở thành
t
=
et − 1

∞

n=0

tn
ϕn (0).
n!

(1.2.2)

Công thức này thường được biểu diễn dưới dạng sau:
t
1
t t

+
e −1 2

∞

2n
t et/2 + e−t/2
n−1 t
= t/2
=
1
+
(−1)
Bn .
2 e − e−t/2
(2n)!
n=1

(1.2.3)

Trong (1.2.3) chỉ có các bậc chẵn của t xuất hiện vì vế trái là một hàm
chẵn theo biến t. Từ (1.2.2) và (1.2.3) và viết ϕn thay cho ϕn (0), ta thu
15


được
1
ϕ1 = − ,
2

ϕ0 = 1,

ϕ2k = (−1)k−1 Bk ,

ϕ2k+1 = 0,

k = 1, 2, . . . .

(1.2.4)

Bk được gọi là các số Bernoulli. Đôi khi, ϕn cũng được gọi là các số
Bernoulli.
Dưới đây, trình bày các tính chất cơ bản và các công thức của các đa
thức Bernoulli:
1. Biểu thức tường minh của các đa thức Bernoulli và công thức truy
hồi cho các số Bernoulli.
Từ (1.2.2) ta có
text
=
et − 1

∞

k=0

tk
ϕk ·
k!

∞

l=0

tl l
x =
l!

∞

n=0

tn
·
n!

n

Cnk ϕk xn−k ,
k=0

trong đó Cnk = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)/k!. So sánh với (1.2.1) ta
thu được biễu diễn dạng ẩn cho ϕn (x) :
n

Cnk ϕk xn−k ,

ϕn (x) =

n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.2.5)

k=0

ở đây ta phải tính các ϕk . Để tính được các ϕk , từ (1.2.2) ta có
et − 1
1=
t

∞

k=0

tk
ϕk =
k!

∞

l=1

tl−1
l!

∞

k=0

tk
ϕk =

k!

∞

n−1

t
n=1

n−1
k=0

ϕk
.
k!(n − k)!

Cân bằng hệ số của đẳng thức trên ta suy ra
n−1

ϕ0 = 1,
k=0

1
ϕk = 0,
k!(n − k)!

n ≥ 2.

(1.2.6)

Đây là công thức truy hồi cho ϕk . Đặt n = 2, 3, . . . ta có thể tính được
ϕn . Lưu ý rằng, nhờ (1.2.4) tất cả các ϕn với n lẻ là bằng không, ngoại
trừ ϕ1 .
16


Từ (1.2.5) và (1.2.6) có thể được biểu diễn ở dạng:
ϕn (x) = (ϕ + x)n ,
(ϕ + 1)n − ϕn = 0,

n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.2.7)

n = 2, 3, . . . .

(1.2.8)

Ở đây ta ngầm hiểu, trong khai triển nhị thức, lũy thừa ϕk chính là ϕk .
Mười số Bernoulli đầu tiên và với bảy đa thức Bernoulli đầu tiên được
cho như sau:
1
B1 = ,
6
5
B5 = ,
66
43867
B9 =
,

798

1
,
30
691
B6 =
,
2730
174611
B10 =
.
330
B2 =

1
,
42
7
B7 = ,
6
B3 =

1
,
30
3617
B8 =
,
510

B4 =

1
1
ϕ1 (x) = x − , ϕ2 (x) = x2 − x + ,
2
6
3
1
1
ϕ3 (x) = x(x − 1)(x − ) = x3 − x2 + x,
2
2
2
1
ϕ4 (x) = x4 − 2x3 + x2 − ,
30
1 2
1
5
5
ϕ5 (x) = x(x − 1)(x − )(x − x − ) = x5 − x4 + x3 −
2
3
2
3
5
1
1
ϕ6 (x) = x6 − 3x5 + x4 − x2 + x.

2
2
42

(1.2.9)

ϕ0 (x) = 1,

(1.2.10)
1
x,
6

2. Đạo hàm và tích phân
Đạo hàm (1.2.5), ta thu được
d
ϕn (x) =
dx

n−1

Cnk (n − k)ϕk xn−k−1 = nϕn−1 (x)

(1.2.11)

k=0

và
dp
n!

ϕ
(x)
=
ϕn−p (x).
n
dxp
(n − p)!
17

(1.2.12)


thay n bằng n + 1 trong (1.2.11) và lấy tích phân ta có
x

ϕn (y)dy =

1
[ϕn+1 (x) − ϕn+1 (a)].
n+1

(1.2.13)

a

3. Dạng sai phân
ϕ0 (x + 1) = ϕ0 (x),

ϕ1 (x + 1) = ϕ1 (x) + 1,

ϕn (x + 1) = ϕn (x) + nxn−1 ,

n ≥ 2.

(1.2.14)

Công thức (1.2.14) có thể được chứng minh như sau. Từ (1.2.1) ta có
te(x+1)t
=
et − 1

∞

n=0

tn
text
xt
ϕn (x + 1) = te + t
=
n!
e −1

∞

∞

tn+1 n
tn
x +

ϕn (x).
n!
n!
n=0

n=0

So sánh các hệ số của tn trong chuỗi trên ta thu được (1.2.14).
4. Công thức lấy phần bù
ϕn (1 − x) = (−1)n ϕn (x).

(1.2.15)

Thật vậy, từ (1.2.1) ta có
te(1−x)t
=
et − 1

∞

n=0

tn
−te−xt
ϕn (1 − x) = −t
=
n!
e −1

∞

n=0

(−t)n
ϕn (x).
n!

So sánh các hệ số của tn trong chuỗi trên ta thu được (1.2.15).
5. Công thức cộng Thay x trong (1.2.1) bởi x + y ta có
te(x+y)t
=
et − 1

∞

n=0

tn
ϕn (x + y).
n!

Nhưng vế trái bằng với
teyt xt
e =
et − 1

∞

k=0

tk
ϕn (y)
k!

∞

l=0

tl l
x =
l!
18

∞

n=0

tn
n!

n

Cnk ϕk (y)xn−k ,
k=0


do đó ta có công thức cộng:
n

Cnk ϕk (y)xn−k .

ϕn (x + y) =

(1.2.16)

k=0

6. Công thức tổng
Ta có
m

1
[ϕn+1 (m + 1) − ϕn+1 ],
n+1

sn =
s=1

n ≥ 1.

(1.2.17)

Thật vậy, từ (1.2.14) ta có
sn =

1
[ϕn+1 (s + 1) − ϕn+1 (s)].
n+1

Hơn nữa, chúng ta còn có công thức tổng cho một số hàm:

Từ (1.2.3) ta cũng thu được công thức khai triển đối với hàm cot :
∞

t
t
it eit/2 + e−it/2
Bn 2n
cot =
=
1
−
t ,
2
2
2 eit/2 − e−it/2
(2n)!
n=1

|t| < 2π,

(1.2.18)

và công thức khai triển đối với hàm tan :
t
t
t
t
tan = cot − t cot t =
2
2 2

2

∞

n=1

(22n − 1)Bn 2n
t ,
(2n)!

|t| < π.

(1.2.19)

Kết hợp (1.2.18) và (1.2.19) ta thu được công thức khai triển cho hàm
1
2i
, z ∈ C)
csc : (ở đây csc z =
= iz
sin z
e − z −iz
t
t
t
t
cot + tan
2
2 2
2

∞
2n
2(2 − 1)Bn 2n
=1+
t ,
(2n)!
n=1

t csc t =

19

|t| < π.

(1.2.20)


1.2.2. Đa thức Euler và các số Euler
Các đa thức Euler En (x), n = 0, 1, 2, . . . được cho dưới dạng khai triển
như sau:
2ext
=
et + 1

∞

n=0

tn
En (x).

n!

(1.2.21)

Hàm ở vế trái được gọi là hàm sinh của các đa thức Euler. Chuỗi hội tụ
nếu |t| < π vì điểm kì dị gần nhất của hàm tính từ t = 0 là t = ±πi.
1
Đặt x = , vế trái của (1.2.21) là một hàm chẵn theo t và do đó
2
không có các lũy thừa các bậc lẻ theo t được trình bày theo chuỗi ở vế
phải. Vì vậy, ta có
2ext
t
=
sec
=
et + 1
2

∞

n=0

(−1)n En t 2n
( ) ,
(2n)! 2

(1.2.22)

trong đó En = (−1)n 22n E2n ( 12 ) được gọi là các số Euler. Đôi khi ta kí

hiệu các số Euler là En = 2n En ( 12 ); khi đó E2n+1 = 0 và E2n ở đây bằng
(−1)n En .
Tiếp theo ta trình bày các tính chất cơ bản của đa thức Euler và các
số Euler. Chứng minh các tính chất đó tương tự với các tính chất ở mục
1.1.1 của đa thức và các số Bernoulli.
1. Biểu diễn tường minh của đa thức Euler và công thức truy hồi cho
các số Euler
Vế trái của (1.2.21) có thể được khai triển thành
1

2et/2 e(x− 2 )t
=
et + 1

∞

k=0
∞

=
k=0

(−1)k Ek t 2k
( ) ·
(2k)! 2
tn
n!

[n/2]

k=0

∞

l=0

(x − 21 )l l
t
l!

(−1)k Ek 2k
1 n−2k
C
(x
−
)
,
n
22k
2
20

(1.2.23)

(1.2.24)