GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1 đh ĐÔNG á

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á

ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Đà Nẵng


Môn: Giải Tích 1

CHƯƠNG.1. HÀM SỐ
1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1.1. Định nghĩa
Cho hai tập khác rỗng X, Y ⊂ R, ánh xạ f : X → Y
x ֏ y = f(x)
được gọi là hàm số (một biến số) xác định trên X.
X: Miền xác định của hàm số
f(X) : Miền giá trị của hàm số
x: biến độc lập (đối số)
y = f(x) : hàm của biến độc lập.
Tập hợp Gf = {(x,y) ∈ R2| x ∈ X, y = f(x)} được gọi là đồ thị của hàm f.
1.1.2. Hàm số hợp
Cho X ⊂ R, Y ⊂ R, Z ⊂ R. Cho hàm số f : X →Y và g : Y → Z. Ánh xạ hợp
của f và g là h = gof cũng là một hàm số và gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g.
h:X →Z
x ֏ h(x) = g[f(x)]
Ví dụ 1.1:

X=Y=Z=R
Cho hai hàm số f(x) = x2 + 2 , g(x) = 3x + 1.
f[g(x)] = f(3x + 1) = (3x + 1)2 + 2
g[f(x)] = 3(x2 + 2) + 1
1.1.3. Hàm số ngược
Cho song ánh f : X → Y (X, Y⊂ R). Khi đó ánh xạ ngược f-1 : Y → X được gọi
là hàm ngược của hàm f.
x = f-1(y) ⇔ y = f(x), x ∈ X, y ∈ Y.
Người ta thường viết lại hàm ngựơc của hàm y = f(x) là y = f-1(x).
Đồ thị của hai hàm số ngược đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất.
Ví dụ 1.2:
Hàm y = 2x + 1 có hàm số ngược x = f-1(y) =

y −1
x −1
hay y =
.
2
2

1


Môn: Giải Tích 1

Ví dụ 1.3:
Xét ánh xạ f: R → R
x ֏ x2
* y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y vô nghiệm

⇒ f không là toàn ánh.
* y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y có hai nghiệm x = ±

y

⇒ f không đơn ánh.
Vậy f không có hàm ngược.
1.2. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1.2.1. Hàm số lũy thừa

y = xα (α∈ R*)

Miền xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc α
* Với α ∈ N :

Miền xác định R.

* Với α ∈ Z- : Miền xác định R\{0}.
* Với α là số hữu tỉ không nguyên hoặc là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét
y = x tại mọi x > 0, tức miền xác định của hàm luỹ thừa này là R*+.
α

1
x3

Chú ý: y =
là hàm luỹ thừa với tập xác định R*+, không được lẫn lộn nó với
hàm y = 3 x có tập xác định R.
Đồ thị luôn đi qua điểm A(1, 1).
Nếu α > 0 thì đồ thị đi qua O(0, 0)

Nếu α < 0 thì đồ thị không đi qua O.

Hình 1.1: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*)
1.2.2. Hàm số mũ y = ax (a > 0 , a ≠ 1)
Số a gọi là cơ số của hàm số mũ.
• y = ax tăng khi a > 1 (đồng biến).
2


Môn: Giải Tích 1

• y = ax giảm khi 0 < a < 1 (nghịch biến).
Đồ thị luôn đi qua điểm (0, 1).

Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = ax
1.2.3. Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠ 1)
Hàm y = logax là hàm ngược của hàm y = ax, nghĩa là y = logax ⇔ x = ay.
Miền xác định D = R*+.
• a > 1 hàm đồng biến.
Với 0 < x ≤ 1 thì loga x ≤ 0.

Khi đó:

Với x ≥ 1 thì loga x ≥ 0.
• 0 < a <1 hàm nghịch biến
Với 0 < x ≤ 1 thì logax ≥ 0

Khi đó:

Với x ≥ 1 thì loga x ≤ 0

Đồ thị luôn đi qua điểm (1,0)
Đặc biệt logaa = 1
Nếu a = 10, ta viết log10x = lgx và gọi là logarit thập phân.
Hai đồ thị y = ax và y = logax đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.

Hình 1.3: Đồ thị hàm số logarit y = logax
3


Môn: Giải Tích 1

1.2.4. Các hàm số lượng giác
x ֏ sinx
x ֏ cosx
x ֏ tgx
x ֏ cotgx

Hình 1.4: Đồ thị hàm số lượng giác
• Các hàm y = sinx, y = cosx có miền xác định là R, miền giá trị là [-1,1] tuần
hoàn chu kỳ 2π. (Hình 1.4)
π
2

• Hàm số y = tgx xác định tại mọi x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z
Có miền xác định là R, tuần hoàn chu kỳ π. (Hình 1.5)
• Hàm số y = cotgx xác định tại mọi x ≠ k π , k ∈ Z.
Có miền xác định R, tuần hoàn chu kỳ π. (Hình 1.6)

Hình 1.5: Đồ thị hàm số lượng giác tgx

Hình 1.6: Đồ thị hàm số lượng giác cotgx
4


Môn: Giải Tích 1

1.2.5. Các hàm số lượng giác ngược

• Hàm số y = arcsinx:
+ Miền xác định:
+ Miền giá trị:

−1 ≤ x ≤ 1

π
π
≤ y ≤ (hình 1.7)
2
2

Hình 1.7: Đồ thị hàm số lượng giác ngược
y= arcsinx

• Hàm số y = arccosx:
+ Miền xác định:

−1 ≤ x ≤ 1

+ Miền giá trị: 0 ≤ y ≤ π (hình 1.8)

Hình 1.8: Đồ thị hàm số lượng giác ngược
y= arcosx

• Hàm số y = arctgx:
+ Miền xác định: R
+ Miền giá trị: -

π
π
< y < (hình 1.9)
2
2

Hình 1.9: Đồ thị hàm số lượng giác ngược
y= arctgx

• Hàm số y = arccotgx:
+ Miền xác định: R
+ Miền giá trị: 0 < y < π (hình 1.10)

Hình 1.10: Đồ thị hàm số lượng giác ngược
y= arcotgx
5


Môn: Giải Tích 1

1.2.6. Các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép
toán tổng, hiệu, tích, thương và các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ

bản và các hàm hằng.
Ví dụ 1.4:
π
y = sin 8x + cos(2 x + ) + 3
4

Người ta đặc biệt chú ý đến hai loại hàm số:
• Đa thức bậc n, n∈ N
Pn(x)= ao + a1x + ...+ anxn, ai ∈R , an ≠ 0.
• Phân thức hữu tỷ
a + a x + ... + a n x n
Pn (x )
= 0 1
Q m ( x) b 0 + b1x + ... + b m x m

với m, n ∈ N

1.2.7. Hệ tọa độ cực
Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định, gọi là cực và một véc tơ đơn vị
OP , tia mang vectơ OP gọi là trục cực; hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực gọi là
hệ tọa độ cực.

Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi vectơ OM , nghĩa là
xác định bởi góc, ϕ = (OP, OM ) và r = OM , ϕ = (OP, OM ) gọi là góc cực, r gọi là bán
kính cực. Nếu 0 ≤ ϕ < 2π và r ≥ 0 , cặp số có thứ tự ( r , ϕ ) các tọa độ cực của điểm M
trong mặt phẳng.
1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.3.1. Định nghĩa
Lân cận
Cho xo ∈ R và δ > 0. Khi đó ta nói:

+ Khoảng (xo - δ, xo + δ) là δ-lân cận của điểm xo.
6


Môn: Giải Tích 1

+ Khoảng (xo - δ, xo) là δ-lân cận trái của điểm xo.
+ Khoảng (xo, xo + δ) là δ-lân cận phải của điểm xo.
+ Tập hợp U chứa một δ-lân cận của điểm xo được gọi là một lân cận của điểm
xo, kí hiệu: U(xo).
Định nghĩa 1
Cho hàm f xác định trên một lân cận U(xo) (có thể trừ xo). Số L được gọi là giới
hạn của hàm f khi x dần tới xo nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0, sao cho khi x
∈ U(xo), 0 < |x - xo| < δ thì |f(x) - L| < ε.
Kí hiệu: lim f ( x ) = L.
x→ xo

Ví dụ 1.5:
Cho f(x) = C, C là hằng số.
Ta chứng minh:

lim f(x) = C.

x→ x0

Cho trước ε > 0, vì f(x) = C, ∀x nên với bất kỳ δ > 0, |x - xo| < δ luôn có:
|f(x) - C| = |C - C| = 0 < ε.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2 (Giới hạn một phía)
+ Số L được gọi là giới hạn bên trái nếu ∀ ε > 0 cho trước,

∃δ > 0 sao cho:

xo − δ < x < xo ⇒ f ( x) − L < ε
Kí hiệu: lim f ( x ) = L .
x → x −0

+ Số L được gọi là giới hạn bên phải nếu ∀ ε > 0 cho trước,

∃δ > 0 sao cho:

x o < x < x o + δ ⇒ f (x) − L < ε

Kí hiệu là:

lim f ( x ) = L.

x → x 0+

Định lý: Điều kiện cần và đủ để lim f ( x ) = L là lim f ( x ) = lim f ( x ) = L.
x → xo

x → x 0−

x → x0+

1.3.2. Các phép toán về giới hạn
Khi nói đến giới hạn của một hàm số, ta phải xét giới hạn đó khi x → xo hay
x → ∞, mà ta thường gọi tắt là “trong một quá trình nào đó”.
Định lí 1:

a)
b)

Cho

lim f1 ( x) = L1 ; lim f 2 ( x) = L 2
x→a

lim Cf1(x) = CL1

x →a

x→a

với C là hằng số.

lim (f1(x) + f2(x))= L1 + L2

x →a

7


Môn: Giải Tích 1

c)

lim f1(x)f2(x) = L1L2.

x →a

f1 ( x ) L1
với L 2 ≠ 0 .
=
x → a f (x)
L2
2

d)

lim

Nhận xét:
Khi L1 = + ∞ ; L2 = - ∞ . Về mặt hình thức ta có dạng ∞ - ∞ đó là
một dạng vô định, trong trường hợp đó lim (f1(x) + f2(x)) chưa khẳng định là có giới
x →a

hạn hay không.
Trường hợp (c): Khi L1= 0 (L1= ∞ ), L2 =
dạng 0. ∞ là một dạng vô định.

∞ (L2= 0) thì về mặt hình thức có

Trường hợp (d): Khi L1=0 (L1= ∞ ), L2 = 0 (L2 = ∞ ) là dạng vô định
∞
.
∞

0
hoặc

0

Khi gặp các dạng vô định tuỳ từng trường hợp để tìm cách khử dạng vô định.
Ví dụ 1.6:
Xét lim

x →0

Có dạng
lim

x →0

1+ x −1
x

0
, nhân liên hiệp cả tử và mẫu với 1 + x + 1
0

1
1+ x −1
x
= lim
=
x →0
2
x
x ( 1 + x + 1)

Định lí 2: Xét hàm hợp fou : x ֏ f[u(x)]. Nếu:
Trong quá trình nào đó u(x) → uo
f(u) xác định tại uo và lân cận của uo và lim f (u ) = f (u o ) thì trong quá trình ấy
u →u 0

ta có lim f[u(x)] = f(uo) = f[lim u(x)].
Ví dụ 1.7:
Xét lim (3x 2 − 2 x + 1) 20
x→2

Đặt u(x) = 3x2 – 2x +1
Ta có: lim u ( x ) = u ( 2 ) = 9
x→2

[

]

Suy ra lim(3 x 2 − 2 x + 1) 20 = lim [u ( x )]20 = lim u ( x) = 920
x→ 2

x →2

20

x→2

1.3.3. Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
Tiêu chuẩn 1: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn bất đẳng thức

8


Môn: Giải Tích 1

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , ∀ x ∈ (a, b). Khi đó, nếu lim f ( x ) = lim h( x) = L thì
x→ xo

x→ xo

lim g ( x) = L.

x→ xo

Ví dụ 1.8:
Chứng minh: lim
x→0

sin x
=1
x

Xét đường tròn đơn vị x > 0. Ta có:
S ∆ OAB < Squạt OAB < S ∆ OAM

OA.OB.sin x OA2 .x OA. AM
<
<
⇔
2

2
2
⇔ OA 2 sin x < OA 2 .x < OA.OA.

AM
OA

⇔ OA2 sin x < OA2 .x < OA2 tgx
sinx < x < tgx. Chia cho sinx
x
1
<
sin x cos x
sin x
⇔1 >
> cos x
x
sin x
⇔ cos x <
<1
x
⇔ 1<

Ta có:

lim cosx = 1;

x →0

lim 1 = 1

x →0

sin x
= 1 ⇒ đpcm
x →0
x

⇒ lim
Ví dụ 1.9:

2

x

sin 

1 − cos x 1
2  = 1 .1 = 1
lim
= . lim
2
x→0
x
→
0
x
2
2
2

x




 2 

Tiêu chuẩn 2: Xét hàm f xác định tại mọi x dương khá lớn trở đi. Giả sử:
f(x) không giảm (không tăng)
f(x) bị chặn trên (bị chặn dưới).
Khi đó tồn tại giới hạn của f(x) khi x → +∞ (x → -∞).
Ví dụ 1.10:

9


Môn: Giải Tích 1


1
Áp dụng tiêu chuẩn 2, ta chứng minh được sự tồn tại giới hạn của 1 +  khi

x
x

 1
x → + ∞ . Người ta đặt lim 1 +  = e .
 x
x → +∞ 
x

 1
 1
Tổng quát ta có: lim 1 +  = lim 1 +  = e
 x  x → −∞ x 
x → +∞ 
x

x

 1
lim 1 +  = e
 n
n→∞ 
n

1
α

lim(1 + α) = e
α →0


a 

lim 1 +
u ( x )→∞ 

u
(

x
)


u ( x)

lim [1 + av ( x )]

v ( x )→0

= ea (a ≠ 0)
1
v( x)

= ea (a ≠ 0)

1.3.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn
Vô cùng bé
Định nghĩa

lim f ( x) =0.
Hàm f(x) được gọi là một VCB khi x → xo nếu x→
x
o

Ví dụ 1.11:
Khi x → 0 thì sinx là VCB; x là VCB.
So sánh các VCB
Cho f1(x), f2(x) là các VCB khi x →xo. Khi đó:
• Nếu lim

x→ xo

f 1 ( x)
= 0 thì ta nói VCB f1(x) có bậc cao hơn VCB f2(x), kí hiệu:
f 2 ( x)

f1(x) = O(f2(x)).
• Nếu lim
x→ xo

f 1 ( x)
= c ≠ 0 thì ta nói hai VCB f1(x) và f2(x) ngang cấp, kí hiệu:
f 2 ( x)

f1(x) = O(f2(x)).
Nếu c = 1 thì ta nói hai VCB f1(x) và f2(x) là hai VCB tương đương khi x → xo,
kí hiệu: f1(x) ~ f2(x)
Ví dụ 1.12:
10


Môn: Giải Tích 1

Khi x→ 0 thì 1 - cosx là VCB cấp cao hơn VCB x.
Khi x → 0 thì 1 – cosx và x2 là hai VCB ngang cấp.
Khi x → 0 thì sinx ~ x.
Ta có các VCB tương đương sau:
x2
; ex - 1 ~ x ; ln(1 + x) ~ x.
Khi x → 0: sinax ~ ax ; tgax ~ ax ; 1 - cosx ~

2
0
0
f ( x)
f ( x)
• Nếu f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) khi x → xo thì lim
= lim 1
.
x→ xo g ( x)
x→ xo g ( x )
2

Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao : giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → xo và
f(x)
bằng giới
f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB. Khi đó giới hạn của tỉ số
g(x)
hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử và ở mẫu số.
Ví dụ 1.13:
sin 3x
3x
= lim
= 3/2
x →0 ln(1 + 2 x)
x →0 2 x

lim

Ví dụ 1.14:
lim
x →0

x + sin 3 x + tg 5 x
x
= lim
= 1/3.
2
6
x →0 3 x
3x + x + 9 x

Vô cùng lớn
Định nghĩa:
Hàm f(x) được gọi là một VCL khi x → xo nếu lim f ( x ) = ±∞.
x→ xo

Ví dụ 1.15:
Khi x → 0 thì

1
là VCL.
x

So sánh các VCL:
Cho f1(x), f2(x) là các VCL khi x →xo. Khi đó:
• Nếu lim
x→ xo

f 1 ( x)
= ∞ thì ta nói VCL f1(x) có bậc cao hơn VCL f2(x) (f1(x) tiến tới
f 2 ( x)

∞ nhanh hơn f2(x)).
• Nếu lim
x→ xo

f 1 ( x)
= c ≠ 0 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) ngang cấp.
f 2 ( x)

Nếu c = 1 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) là hai VCL tương đương khi x → xo,
kí hiệu f1(x) ~ f2(x).
11


Môn: Giải Tích 1

∞
:
∞
f ( x)
f ( x)
• Nếu f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì lim
= lim 1
.
x→ xo g ( x)
x→ xo g ( x)
1

Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp: Nếu f(x), g(x) là hai VCL trong cùng một quá
f(x)
trình, f(x) và g(x) đều là tổng của nhiều CVL thì giới hạn của tỉ số
là giới
g(x)
hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất ở tử và mẫu số
Ví dụ 1.16:
5
5x
5 x 4 + 3x 2 − 2 x
= lim 4 = .
4
3
2
x →∞ 2 x + x − 6
x →∞ 2 x
4

lim

1.3.5. Các dạng vô định và cách khử
* Dạng

0
0

Cách 1:

• B1: Làm xuất hiện thừa số đồng dạng "x - a" khi x → a, hoặc "x" khi x → 0 hay
x → ∞.
• B2: Giản ước các thừa số đồng dạng đó và tiếp tục tìm giới hạn.
Ví dụ 1.17:
2 x 2 − 3x + 1
(x − 1)(2x − 1)
2x − 1
= lim
lim 2
= lim
= 1/5.
x →1 x + 3 x − 4
x →1 ( x − 1)(x + 4)
x →1 x + 4

Cách 2: Dùng VCB tương đương.
Ví dụ 1.18:
lim

x →2

tg5(x − 2)
2

x −4

5(x − 2)
5
=
x → 2 ( x − 2)(x + 2) 4

= lim

Cách 3: Đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1.19:
1 − sin
lim
x →π

π −x

x
2

Đặt t = π - x thì x = π -t ; x → π thì t → 0. Khi đó:
x
t
1 − cos
2 = lim
2 = − lim
lim
x →π π − x
t → 0 (− t )
t →0
1 − sin

t2
8 = 0.
t

12


Môn: Giải Tích 1

* Dạng

∞
∞

Cách 1:
• B1: Làm xuất hiện thừa số đồng dạng "x - a" khi x → a, hoặc "x" khi x → 0 hay
x → ∞.
• B2: Giản ước các thừa số đồng dạng đó và tiếp tục tìm giới hạn.
28 3
(2 x + 3) 2 (3x − 2)
x 3 (12 +
+
)
x x2
x →∞
12 x 3 + 5
=1
= lim
5
x →∞
3
x (12 +
)
x3

lim

Ví dụ 1.20:

Cách 2: Dùng VCL tương đương.
Ví dụ 1.21:
lim

x → −∞

x2 +1
x +1

Khi x → -∞ thì
lim

x → −∞

x 2 + 1 ~(-x) ; x + 1 ~ x. Do vậy:

x2 +1
(− x )
= lim
= −1 .
x +1
x → −∞ x

* Dạng ∞ - ∞, 0.∞
Đưa về dạng vô định cơ bản

0 ∞
, .
0 ∞

Ví dụ 1.22:
lim (

Tìm

x→0

Ta có:

1
1
−
)
sin x tg x

1 − cos x
1
1
−
=
sin x tg x
sin x

1 2
x

 1
1 
 = lim = 2
⇒ lim 
−
=0
x → 0 sin x
tgx  x → 0
x


Vì khi x → 0 thì 1 - cos x ~

1 2
x , sinx ~ x.
2

* Dạng 1∞
Ví dụ 1.23:
1

Tính lim(1 + 3x) sin 2 x
x →0

13


Môn: Giải Tích 1

lim(1 + 3x )

1
sin 2 x

x →0



= lim(1 + 3x ) 


1
3x

1

3x
sin x

3x
=3
x →0 sin x

Ta có lim(1 + 3x ) 3 x = e và lim
x →0

lim(1 + 3 x)

Vậy

1
sin 2 x

x →0

= e3/2

1.4. HÀM LIÊN TỤC – TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN TỤC
1.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho f xác định trên (a, b) và xo ∈ (a, b). Nếu lim f ( x ) = f(xo) thì ta nói hàm f
x→ xo

liên tục tại điểm xo.
xo : điểm liên tục của hàm f.
Những điểm mà tại đó hàm f không liên tục thì được gọi là điểm gián đoạn của
hàm số f.
Định nghĩa 2
Cho hàm f xác định trong một lân cận trái (xo- δ, xo) của điểm xo. Khi đó nếu
lim f ( x ) = f(xo) thì ta nói hàm f liên tục trái tại xo.

x → xo −

Định nghĩa 3
Cho hàm f xác định trong một lân cận phải (xo, xo + δ) của điểm xo. Khi đó nếu
lim f ( x ) = f(xo) thì ta nói hàm f liên tục phải tại xo.

x → xo +

Định nghĩa 4

• Hàm f liên tục trên (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc (a, b).
• Hàm f liên tục trên [a, b] nếu f liên tục trên (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục
trái tại b.
Nhận xét: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó.
Ví dụ 1.24:
Xét tính liên tục của hàm số sau:

 sin x

f ( x) =  x
a

Ta có:

x ≠0

tại x = 0.

x=0

lim f ( x ) = 1 và f(0) = a
x →0

+ Nếu a ≠ 1 thì f(x) không liên tục tại x = 0.
14


Môn: Giải Tích 1

+ Nếu a = 1 thì f(x) liên tục tại x = 0.

Ví dụ 1.25:
Xét tính liên tục của hàm

1

x cos
x≠0
f (x) = 
x
 0
x=0
1
Với x ≠ 0 thì f(x) = xcos luôn xác định nên nó liên tục tại mọi điểm x ≠ 0.
x
Với x = 0: Ta có: f(0) = 0
lim f ( x ) = lim x cos
x→0

x→0

1
= 0 . Vậy lim f ( x ) = f (0) , tức là hàm f liên tục tại x = 0.
x →0
x

Vậy hàm f đã cho liên tục trên R.
* Một số giới hạn:
+ Với m > 0: lim x m = +∞,
x → +∞

+ Với a > 1: lim a x = +∞,
x → +∞

+ Với 0 < a <1:

1
=0
x → +∞ x m
lim

lim a x = 0

x → −∞

lim a x = 0,

x →−∞

lim a x = +∞

x →−∞

+ Hàm số logax có giới hạn vô hạn khi x → 0 + và khi
a 0 + a 1 x + ... + a n x
x → ±∞ b + b x + ... + b x m
0
1
m
n

+

+

lim

0

a
= n
bn
∞

x →+∞

khi n < m,
khi n = m,
khi n > m

log a (1 + α )
= log a e
α →0
α

lim

ln(1 + α)
=1
α →0
α

+ lim

+

a α −1
= ln a
α →0
α

lim

1.4.2. Các tính chất của hàm liên tục
Định lí 1 (Định lí Wierstrass)
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
trên đoạn đó, nghĩa là tồn tại x1, x2 ∈ [a, b] sao cho:
m = f(x1) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b]
M = f(x2) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b]
15


Môn: Giải Tích 1

Định lí 2
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và µ là một giá tri trung gian giữa m và M thì tồn tại
c ∈ [a, b] sao cho f(c) = µ.
Định lí 3
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.
BÀI TẬP
1/ Tìm các giới hạn

x n −1
x →1 x m − 1

3

b) lim

a) lim

c) lim

x →+∞

x →0

x+ x
x +1

1+ x − 5 1+ x
x

d) lim ( x + x − x )
x → +∞

3
2
− 3 )
e) lim(
x →1 1 − x
1− x

x2 +1 + x

f) lim

x →+∞ 4

x3 + x − x

2/ Tìm các giới hạn:
a) lim
x→0

tgx
2

b) lim
x→ 0

cos x − cos 3x
x →0
x2

1 − cos x cos 2 x
x →0
1 − cos x

c) lim

e) lim

x→0

sin mx
(m, n∈ Z+)
sin nx

d) lim

arctgx
x

f) lim
x →0

tg 6 x
sin 2 x

ln(1 − 4x )
x →0
tg8x

9 − x2
g) lim
x → 3 sin 6( x − 3)

h) lim

3/ Tìm các giới hạn
1− x

1− x

 1 + x  1+ x
a) lim

x →0 2 + x



 1 + x  1− x
b) lim 

x → +∞ 2 + x



1− x

 x + 1  1−
c) lim 

x → +∞ 2 x + 1



e) lim (1 + sin x )

 x 2 −1 
d) lim  2 
x →+∞ x + 1




x

x2

1

1
x

 cos x  x 2
f) lim

x →0 cos 2 x



x →0

4/ Xét sự liên tục của các hàm số
x2 − 4
a) f(x) =  x − 2
 4


khi x ≠ 2
khi x = 2

1

 x sin
b) f(x) = 
x
0

khi x ≠ 0
khi x = 0

16


Môn: Giải Tích 1

x 2
c) f(x) = 
2 − x 2

khi x ≤ 1
khi x > 1

 πx
khi x ≤ 1
cos
2
d) f(x) = 
 x − 1 khi x > 1


2 x khi 0 ≤ x ≤ 1
e) f(x) = 
 2 − x khi 1 < x ≤ 2
5/ Tìm k để hàm số f(x) liên tục trên R

 sin 3x

a) f(x) =  x
 k

khi x ≠ 0
khi x = 0

e x
khi x < 0
b) f(x) = 
x + k khi x ≥ 0

17


Môn: Giải Tích 1

CHƯƠNG.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2.1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM – CÁC PHÉP TÍNH CỦA ĐẠO HÀM – ĐẠO
HÀM CẤP CAO
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm
Định nghĩa: Giả sử f là một hàm số xác định trên khoảng (a,b), xo ∈(a,b). Nếu
tồn tại:
f (x) − f (x 0 )

∈ R
x→x0
x − x0
lim

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, và được kí hiệu là f ’(xo).
Hàm số f có đạo hàm tại điểm xo được gọi là khả vi tại điểm xo.

Cách tính đạo hàm theo định nghĩa:
− Cho đối số một số gia ∆x , tính số gia ∆ y của hàm số:

∆x = x - xo
∆x = f(x + ∆x ) - f(x)
− Tính tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số

∆y
∆x

∆y
∆x → 0 ∆ x

− Tìm giới hạn của tỉ số nói trên khi số gia của đối số dần tới 0: lim

Ví dụ 2.1:
Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2
∆ y = f(x + ∆x ) - f(x) = (x + ∆x )2 - x2 = 2x ∆x + ( ∆x )2

∆y 2 x ∆x + ( ∆x ) 2
=
= 2x + ∆x

∆x
∆x
∆y
= lim ( 2 x + ∆x ) = 2 x
∆x →0 ∆x
∆ x →0
lim

Ta có thể viết (x2)' = 2x

Đạo hàm một phía
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng [x0,b]. Nếu tồn tại
lim+

x→x0

f (x ) − f (x 0 )
∈R
x − x0

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 được kí hiệu là
hay f ' ( x 0 + 0).

f +' ( x 0 )

18


Môn: Giải Tích 1

Đạo hàm trái của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự. Đạo hàm trái
của f tại điểm x0 được kí hiệu là f −' ( x 0 ) hay f ' ( x 0 − 0). Hiển nhiên hàm số f: (a,b) →
R có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a,b) khi và chỉ khi nó có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại
điểm x0 và f +' ( x 0 ) = f −' ( x 0 ).
Ý nghĩa hình học
Giả sử Mo(x0,f(x0)) và M(x,f(x)) là hai điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số f. Nếu
f (x) − f (x 0 )
là hệ số góc của đường thẳng MoM. Hàm số f có đạo
x ≠ xo thì tỉ số
x − x0
hàm f’(xo) tại điểm xo khi và chỉ khi (C) có tiếp tuyến tại điểm Mo với hệ số góc f’(xo).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f tại điểm Mo là: y – y0 = f’(x0)(x –
x0).

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
= f ' (x 0 )
∆x → 0
∆x

Biểu thức định nghĩa có thể viết dưới dạng: lim

Dùng liên hệ giữa giới hạn và vô cùng bé có thể biểu diễn hệ thức định nghĩa
khả vi dưới dạng: f (x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) = f ' (x 0 )∆x + o(∆x)

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Từ định nghĩa đạo hàm có thể nói hàm f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi ở lân cận
của x0 hàm f(x) có thể thay bằng hàm bậc nhất:
f ( x) = f ( xo + ∆x) ≈ f ( x0 ) + A∆x = f ( x0 ) + A( x − x0 )

Nếu ta coi y = f(x) là phương trình chuyển động thẳng theo thời gian x, thì ∆y là

đoạn đường đi được trong khoảng thời gian ∆x từ thời điểm x0 đến thời điểm x0 + ∆x
∆y
chính là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian đó.
và tỉ số
∆x
∆y
Gọi lim
là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm a (nếu giới hạn tồn tại
∆x → 0 ∆ x
hữu hạn).

19


Môn: Giải Tích 1

Đạo của chuyển độngtheo thời gian tại một thời điểm là vận tốc tức thời của
chuyển động tại thời điểm đó.
Đạo hàm trên một khoảng
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng f có đạo hàm trên (a,b)
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a,b). Khi đó hàm số:
f ’: (a,b) → R
x ֏ f ’(x)
Gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a,b).
Nếu f ’ liên tục trên (a,b) thì ta cũng nói rằng f khả vi liên tục trên (a,b).
Nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên tục tại xo.
Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0
nhưng không có đạo hàm tại điểm này.
2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
Định lí

Giả sử các hàm số u và v có đạo hàm (hữu hạn) tại điểm xo. Khi đó các hàm số:
u + v, uv, cu (c ∈ R là một hằng số) có đạo hàm tại điểm xo và
(u + v)'(x o) = u'(xo) + v'(xo)
(uv)'(xo) = u'(xo) v(xo) + u(xo) v'(xo)
(cu)' (xo) = cu'(xo)
u
Ngoài ra, nếu v(xo) ≠ 0 thì hàm số
có đạo hàm tại điểm xo và
v
,
v( x 0 ) u , ( x 0 ) − u ( x 0 ) v , ( x 0 )
u
  (x 0 ) =
v
[v(x 0 )]2
Đạo hàm của hàm số hợp
Định lí: Nếu hàm số f : (a,b) → (c,d) có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a,b) và hàm số
g : (c,d) → R có đạo hàm tại điểm uo = f(x0) thì hàm số hợp h = gof : (a,b) → R có
đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = g’(u0)f’(x0) = g’[f(x)]f’(x0)
Ví dụ 2.2:
f(x) = ax
ax = exlna = eu ⇒ u = x lna
(ax)'=( eu)'u.u'x = eulna = ex lna.lna = axlna.
Đạo hàm của hàm số ngược
Giả sử f(x) khả vi tại x0 ∈ (a,b) và f '(x0) ≠ 0. Giả sử f(x) có hàm số ngược x =
1
g(y). Khi đó g(y) cũng khả vi tại y0 và g'(y0) = ,
.
f (x 0 )
Ví dụ 2.3:

20


Môn: Giải Tích 1

y = arcsinx ⇒ x = siny; x∈(-1,1) và y∈(- π /2, π /2)
x'y = cosy = ± 1 − sin 2 y , cosy > 0
⇒ cosy = 1 − sin 2 y =

1− x2

x'y = 1 − x 2
y'x =

1
1− x2

Bảng đạo hàm một số hàm sơ cấp cơ bản
y=c
y' = 0
y = x µ ( µ ∈ R)

y' = µ x µ -1

y = sinx

y' = cosx

y = cosx

y' = -sinx

y = tgx

y' =

y = cotgx

y' = -

y = ax

y' = axlna

y = ex

y' = ex

y = logax

y' =

1
x ln a

y = lnx

y' =

1

x

y = arcsinx

y' =

y = arcosx

y' = -

y = arctgx

y' =

y = arccotgx

y' = -

1
cos2 x
1
sin 2 x

1
1− x 2
1
1− x 2

1
1 + x2

1
1 + x2

2.1.3. Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số f(x) xác định liên tục trong khoảng (a,b). Giả sử f(x) khả vi tại mọi
điểm x ∈ (a,b), khi đó hàm đạo hàm f ’(x) cũng có thể khả vi và đạo hàm của f ’(x) được
21


Môn: Giải Tích 1
"

gọi là đạo hàm cấp hai của f(x). Kí hiệu: f (x) hoặc

d 2f
dx 2

. Cứ tiếp tục suy diễn như thế

ta có đạo hàm cấp n.

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), f(x) được gọi là khả
vi n lần trong (a,b) nếu f là khả vi (n-1) lần trong (a,b) và đạo hàm cấp (n-1) của f cũng
khả vi. Khi đó đạo hàm cấp n của f được định nghĩa bởi hệ thức:
f(n)(x) = [ f(n-1)(x)]'

Ví dụ 2.4:
f(2k)(x) = (-1)k cos x

a) f(x) = cosx thì:

f(2k+1)(x) = (-1)k+1sin x
b) f(x) = sinx

f(2k)(x) = (-1)k sinx

thì:

f(2k +1)(x) = (-1)kcosx

• Các quy tắc tính đạo hàm cấp cao:

(λ f ± µ g )( n ) = λ f ( n ) ± µ g ( n )
• Quy tắc Leibnitz: Hàm số f, g khả vi n lần:
(fg) (n) = f (n) g + nf (n -1) g'+
+

n ( n − 1) ( n − 2 ) ''
f
g + ...
2

n ( n − 1)( n − 2)...( n − k + 1) ( n − k ) k
f
g +
k!
n

… + nf ’g

n-1

+ fg

n-1

=

∑ Ckn f (n −k )g k

k =0

Chú ý: f(o)(x) = f(x).
Ví dụ 2.5:
Cho f(x) = ex;

g(x) = ex.

(fg)' = (e2x)' = 2 e2x = (1+1) e2x
(fg)"= (2e2x)' = 2.2.e2x= 22 e2x =(1+1)2e2x
(fg)''' = (4.e2x)' =2.4 e2x= 23 e2x =(1+1)3e2x
n

(n)

n 2x

(fg) = (1+1) e

=

∑ C kn e x e x

k =0

22


Môn: Giải Tích 1

2.2. VI PHÂN – VI PHÂN CẤP CAO
2.2.1. Vi phân hàm một biến
Định nghĩa: Hàm số f(x) khả vi tại x và f(x + ∆ x ) - f(x) = f' (x) ∆ x + o ∆ x ;
o( ∆x ) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x khi ∆x → 0 được gọi là vi phân của f(x), lấy tại
điểm x và kí hiệu là df, nói khác đi:
df = f ’(x) ∆x
Vi phân của hàm số f(df) bằng tích số của đạo hàm (f’(x)) nhân với số gia của
đối số (∆ x ) . Đặc biệt, nếu xét hàm số f(x) = x thì dx = ∆x. Do vậy công thức trên có
dạng
df = f ’(x)dx
Nghĩa là đạo hàm của hàm số bằng thương số giữa vi phân của hàm số đối với
đối số và vi phân của đối số .
Hàm số hợp f(u) khả vi đối với u và u = g(x) là một hàm số khả vi đối với x, khi
đó f(g(x)) cũng khả vi đối với x. Ta cũng có:
df = f ’(x)dx
⇒ Vi phân có tính bất biến.
2.2.2. Vi phân cấp cao
Cho hàm số f (hay y = f(x)) khả vi trên (a, b). Khi đó vi phân của nó là df =
f’(x)dx hay dy = f’(x)dx.
Định nghĩa:

Vi phân của df tại x ∈ (a, b) được gọi là vi phân cấp 2 của f tại x (tương ứng với
dx) và được kí hiệu là d2f(x) (hay d2y). Vậy:
d2f(x) = d(df)(x) = (df)’(x)dx = f’’(x)dxdx = f’’(x)(dx)2 = f’’(x)dx2.
Một cách tổng quát, ta định nghĩa vi phân cấp n (n ∈ N) của f tại x, kí hiệu là
dnf(x) hay dny, là vi phân của vi phân cấp (n – 1) của f tại x.
dnf(x) = d(d(n-1)f)(x).
Do đó, đạo hàm cấp n của f tại x có thể biểu diễn qua vi phân cấp n của nó:
n

f (x) =

d n f ( x)
dx n

n

hay f (x) =

dny
dxn

.

2.2.3. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng
Áp dụng công thức: f(x 0 + ∆x) ≈ f(x 0 ) + f' (x 0 )∆x

∆x

Muốn áp dụng được công thức này ta phải chọn được hàm số f(x), chọn xo, chọn

23


Môn: Giải Tích 1

Ví dụ 2.6:
Tính gần đúng sin29o.
Chọn f(x) = sinx; xo = 30o; ∆x = −1o = −
sin 29 0 ≈ sin 30 0 + cos(30 0 )( −

3,1416
;
180

1
3 3,1416
3,1416
) = +( ) −
= 0,4849
2
2
180
180

Vậy sin 290 ≈ 0,4849
2.3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI
2.3.1. Định lý Fermat:
Nếu f(x) đạt cực trị tại x0 mà tồn tại f’(x0) thì f’(x0) = 0.
2.3.2. Định lý Rolle:
Nếu f(x) liên tục ở [a, b] có đạo hàm f’(x) trên (a, b) mà f(a) = f(b) thì tồn tại ξ ϵ

(a, b) để f(ξ) = 0.
2.3.3. Định lý Cauchy:
Nếu f(x) và g(x) đều liên tục trên [a, b] có các đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại c
ϵ (a, b) để [f(b) – f(a)]g’(c) = [g(b) – g(a)]f’(c).
2.3.4. Định lý Lagrange:
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và tồn tại f’(x) có đạo hàm với x ϵ (a, b) thì
tồn tại ξ ϵ (a, b) để: f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a).
2.3.5. Định lý (về tính đơn điệu):
Nếu f(x) có f’(x) > 0 với mọi x ϵ (a, b) thì f(x) tăng trên (a, b). Ngược lại, f’(x) <
0 với mọi x ϵ (a, b) thì f(x) giảm trên (a, b).
2.3.6. Định lý (cần và đủ để là hàm hằng):
Nếu f(x) = c với mọi x ϵ (a, b) thì f’(x) = 0 với mọi x ϵ (a, b).
2.3.7. Định lý (cực trị):
Cho hàm f(x) xác định ở lân cận nào đó ở điểm x0 . Vδ(x0) liên tục tại x0 có đạo
hàm f’(x0) với mọi x ϵ Vδ(x0) mà f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 được gọi là điểm cực
trị. Cụ thể:
+/ f’(x) đi từ (-) sang (+): x0 là điểm cực tiểu.
+/ f’(x) đi từ (+) sang (-): x0 là điểm cực đại.
2.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Quy tắc Lôpitan (De L’Hospital).
24