Đề chọn HSG khối 7 năm 2013

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm học 2012 – 2013
Môn: Toán 7
Câu 1 (2 điểm)
a) Tính nhanh:
3 3
+
7 13
11 11
2, 75 − 2, 2 + +
7 13
b) Tìm số hữu tỉ x; biết x − 1,5 + 2,5 − x = 0
0, 75 − 0, 6 +

Câu 2 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: 87 − 218 chia hết cho 14
b) So sánh 291 và 535
Câu 3. (2 điểm)
Tìm hai số hữu tỉ x và y biết x + y = x.y = x: y
Câu 4 (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A;

AB 3
=
; BC = 15cm. Tính các
AC 4

cạnh AB và AC ?
Câu 5 (2 điểm)
Cho tam giác ABC có Bµ =750; đường cao AH bằng một nửa cạnh BC. Chứng minh
rằng tam giác ABC là tam giác cân.
________________________________________________________

Hướng dẫn chấm thi môn: Toán 7
Bài
Nội dung cần đạt
Câu 1: 2đ a) Biến đổi biểu thức thành:
1 1 1 1 
3 3 3 3
3.  − + + ÷
− + +
4 5 7 13 =  4 5 7 13  = 3
11 11 11 11
 1 1 1 1  11
− + +
11.  − + + ÷
4 5 7 13
 4 5 7 13 
b) vì x − 1,5 ≥ 0; 2,5 − x ≥ 0 với mọi x
nên x − 1,5 + 2,5 − x = 0 ⇔ x − 1,5 = 0; 2,5 − x = 0 đồng thời xảy ra,

hay x=1,5 và x=2,5. Điều này không xảy ra.
Vậy không tìm được số hữu tỉ nào thỏa mãn.

Điểm

1,0
0,25
0,5
0,25

Câu 2: 2đ a) M=87-218 = (23)7-218 = 221-218=217(24-2) = 217.14
Suy ra M chia hết cho 14
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 = 2518

1,0
0,5

vì 3218 > 2518 nên 291 > 535

0,5

Câu 3: 2đ Từ x+y = x.y ⇒ x = xy-y ⇒ x = y(x-1) ⇒ x:y = x-1
⇒ x+y = x:y = x-1 ⇒ y = -1

1,0

1
thay vào x+y = x.y ta cã x-1 = -x ⇒ x =
2
1
Vậy tìm được 2 số hữu tỉ thỏa mãn: x = ; y = -1
2

Câu 4: 2đ

Biển đổi để có:

2

AB AC
AB
AC
=
⇒
=
3
4
9
16

1,0

2

0,5

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau và định lí Pitago có:
AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 BC 2 152
=
=
=
=
=9
9
16
9 + 16
25
25
Suy ra AB2 = 9.9 ⇒ AB = 9(cm)

AC2 = 16.9 ⇒ AC = 12(cm)

1,0

Câu 5: 2đ + Dựng điểm D sao cho tam giác ABD đều (D và C nằm trên
C
cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa AB)
M

0,5
0,5

D

H

+ Chứng minh:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC
·
·
Dễ dàng tính được BAH
= DBM
= 150

B

A

0,5

·
⇒ ∆AHB = ∆BMD ( c.g .c ) ⇒ BMD
= ·AHB = 900

Suy ra tam giác DBC là tam giác cân và có trung tuyến DM
đồng thời là đường cao
·
Từ đó tính được BDC
= 1500 ; ·ADC = 1500

0,5

⇒ ∆ADC = ∆BDC ( c.g .c )
⇒ CA = CB

Suy ra tam giác ABC cân tại C (Điều phải chứng minh)
*Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,5