Đề chọn HSG khối 8 năm 2013

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
Cấp độ

Nhận biết

Thông hiểu

Chủ đề
TL

TL

1.Phân tích đa
thức thành
nhân tử
Số câu
Số điểm
2. Phương
trình
Số câu
Số điểm
3. Bất đẳng
thức. Bất
phương trình

Số câu
Số điểm
4. Tam giác
đồng dạng.
Định lí ta-let.
Ứng dụng

trong tam giác

Số câu
Số điểm
Cộng

Vẽ đúng hình
của câu 4 và 5
mỗi hình đúng
được 0,25đ

0,5đ
0,5đ = 5%

Vận dụng cấp
thấp
TL
Phân tích đúng da
thức thành nhân
tử
1a
1đ

Vận dụng cấp
cao
TL

Giải đúng các
phương trình
2

2đ
Giải đúng bất
phương trình.
Chứng minh
đúng BĐT và
vận dụng tìm
được GTNN
1b; 3
3đ
Chứng minh được Chứng
minh
2 tam giác đồng
được 2 cạnh
dạng
bằng nhau. Tính
được giá trị của
đẳng thức. Vận
dụng được tính
chất ba đường
phân giác.
4a
4b; 5
1đ
2,5đ
2
5
2đ = 20%
7,5đ = 75%

Cộng

1
1đ = 10%
1
2đ= 20%

2
3đ = 30%

3
4đ = 40%
7
10đ = 100%


ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CUỐI NĂM
MÔN TOÁN – LỚP 8
Bài 1: (2điểm )
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x 2 + 4 xy − 5 y 2
2. Giải bất phương trình : x 2 + 2 x − 35 ≤ 0
Bài 2 : (2điểm )
Giải phương trình :
1. 2 2 x − 5 − 3 = 7
2. 3 x − 3 − 2 x − 2 + x − 1 = 4 .
Bài 3 : (2điểm )
Cho x và y là hai số cùng dấu.
1. Chứng minh rằng:

x y
+ ≥2

y x

;
1

1

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + y)  + ÷
x y




Bài 4 : (2điểm )
·
·
Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho CDx
(tia
= BAC
Dx và A cùng phía đối với BC ), tia Dx cắt AC ở E. Chứng minh rằng :
1) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEC.
2) DE = DB.
Bài 5 : (2điểm )
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
1. Tính gi trị biểu thức S =

HD HE HF
+
+
AD BE CF

2. Chứng minh điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
----------------------HẾT--------------------


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CUỐI NĂM
MÔN TOÁN – LỚP 8
Bài
Nội dung
Điểm
2
2
x + 4 xy − 5 y
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
= x 2 + 4 xy + 4 y 2 − 9 y 2

1

1

= ( x + 2 y) − ( 3y)
2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

2

= ( x + 2 y + 3y) ( x + 2 y − 3y)
= ( x + 5y) ( x − y)

2

Giải bất phương trình : x 2 + 2 x − 35 ≤ 0
  x − 5 ≤ 0  x ≤ 5
→ −7 ≤ x ≤ 5


x
+
7
≥
0
x
≥
−
7


↔ ( x − 5) ( x + 7 ) ≤ 0 → 
→
  x − 5 ≥ 0  x ≥ 5


(vô lí)
  x + 7 ≤ 0  x ≤ −7
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= { x / −7 ≤ x ≤ 5}

0,5đ
0,25đ
0,25đ

2 2x − 5 − 3 = 7

2

1

 2 2x − 5 − 3 = 7
 2 2x − 5 = 10
 2x − 5 = 5 ( *)
→
→
→
 2 2x − 5 − 3 = −7  2 2x − 5 = −4  2x − 5 = −2 ( **)
Giải (*) có:
2x − 5 = 5
x = 5
2x − 5 = 5 → 
→
2x − 5 = −5  x = 0
Giải (**) có:
2x − 5 = −2 (vô lí)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { 0;5}

0,5đ

0,25đ

0,25đ

3 x − 3 − 2 x − 2 + x −1 = 4

x
3x−3
2 x−2
x −1

2

3

1

1

2

3

9 - 3x

9 - 3x

9-3x

3x - 9

4 - 2x

1-x

4 - 2x
x-1

2x - 4
x-1

2x - 4
x-1

4
12 - 4x
3 x − 3 − 2 x − 2 + x − 1 6 - 2x
Nếu x < 1 có: 6 - 2x = 4 → x = 1 (loại)
Nếu 1 ≤ x <2 có: 4 = 4 thỏa mãn
Nếu 2 ≤ x < 3 có: 12 - 4x = 4 → x = 2 (thỏa mãn)
Nếu x > 3 có: 2x - 6 = 4 → x = 5 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { x / 1 ≤ x ≤ 2} ∪ { 5}

Chứng minh rằng:

x y
+ ≥2
y x

2x - 6
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ


( x − y ) ≥ 0 luôn đúng
x 2 + y2
x 2 + y 2 − 2xy
↔
≥2↔
≥0↔
xy
xy
xy

0,75đ

Vì ( x − y ) ≥ 0 mọi x,y và x,y cùng dấu nên xy >0.

0,25đ

2

2

1

1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + y)  + ÷
x y


2

P = 1 +1 +
Mà

x y
+
y x

0,5đ

x y
+ ≥ 2 →P ≥ 4
y x

mọi x,y

0,25đ
0,25đ

GTNN của P là P = 4
A

x

0,25đ

E

B

4

1

D

C

Xét ∆ABC và ∆DEC có:
µ chung

C
 → ∆ABC ∽ ∆DEC(g.g)
·
·
BAC
= EDC(gt)


·
AD là phân giác của BAC
BD DC
→
=
(1)
AB AC
2



1đ

0,25đ

∆ ABC ∽ ∆ DEC(g.g)

DE DC
=
(2)
AB AC
BD DE
=
→ BD = DE (đpcm)
Từ (1) và (2) →
AB AB
→

0,25đ
0,25đ


A

0,25đ

E

5

F
H

B

D

C

1
1
Có SABC = AD.BC và SBHC = HD.BC
2
2

HD SBHC
→
=
(1)
AD SABC

0,25đ

Tương tự ta có:
1

HE SAHC
HF SAHB
=

=
(2)
(3)
BE SABC
CF SABC
Mà SABC = SAHB + SBHC + SAHC (4)
HD HE HF
+
+
Từ (1)(2)(3) và (4) có: S =
=1
AD BE CF

2

·
·
= ACH
Có ∆AEB ∽ ∆AFC(g.g) → ABE
(5)
·
·
= BAC
Có ∆BDF ∽ ∆BAC(c.g.c) → BDF
·
·
·
·
Mà BDF
+ ADF

= BAC
+ ACH
= 90o
·
·
(6)
→ ADF
= ACH
·
·
Chứng minh tương tự có ADE
(7)
= ABE
·
·
Từ (5)(6) và (7) có: → ADF
= ADE
→ DH là phân giác của EDF
·
Chứng minh tương tự có:
→ EH là phân giác của DEF
·
→ FH là phân giác của EFD
·
Vậy H là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác DEF
nên H cách đều các cạnh của tam giác DEF

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ