Chuyên đề phương trình lượng giác đầy đủ

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
sin 2 a + cos 2 a = 1
tan a.cot a = 1, a ≠

1
π
, a ≠ + kπ ( k ∈ ¢ )
2
cos a
2
1
1 + cot 2 a =
, a ≠ kπ ( k ∈ ¢ )
sin 2 a
1 + tan 2 a =

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
2

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối: α và − α
cos ( −α ) = cosα

tan ( −α ) = − tan α

sin ( −α ) = − sin α
cot ( −α ) = − cot α
b. Cung bù: α và π − α

sin ( π − α ) = sin α
tan ( π − α ) = − tan α
cos ( π − α ) = −cosα

cot ( π − α ) = − cot α

π
−α
2

c. Cung phụ: α và
π

sin  − α ÷ = cosα
2

π

cos  − α ÷ = sin α
2


π

tan  − α ÷ = cot α
2

π

cot  − α ÷ = tan α

2

d. Cung hơn kém π : α và ( α + π )
sin ( α + π ) = − sin α
tan ( α + π ) = tan α
cos ( α + π ) = −cosα

cot ( α + π ) = cot α

3. Công thức cộng

sin ( a + b ) = sin a.cos b − cos a.sin b
sin ( a − b ) = sin a.cos b + cos a.sin b

cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b
cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b
tan a + tan b
1 − tan a.tan b
tan a − tan b
tan ( a − b ) =
1 + tan a.tan b
tan ( a + b ) =

4. Công thức nhân đôi
sin 2a = 2sin a.cos a

cos2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a

5. Công thức hạ bậc
1

tan 2 a =

2 tan a
1 − tan 2 a


1 + cos2a
1 − cos2a
tan 2 a =
2
1 + cos2a
α
6. Công thức tính theo t = tan
2
2
2t
1− t
2t
a π

sin a =
cos a =
tan a =
 ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷
2
2
2
1+ t
1+ t

1− t
2 2

sin 2 a =

1 − cos2a
2

cos 2 a =

7. Công thức nhân ba
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a

cos3a = 4 cos 3 a − 3cos a

8. Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2
sin ( a + b ) 
π


tan a + tan b =
 a, b ≠ + k π , k ∈ ¢ ÷
cos a.cos b 
2

cos a + cos b = 2 cos

tan 3a =

3 tan a − tan 3 a
1 − 3 tan 2 a

a +b
a −b
sin
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2cos
sin
2
2
sin ( a − b ) 
π

tan a − tan b =
 a, b ≠ + k π , k ∈ ¢ ÷
cos a.cos b 
2



cos a − cos b = −2sin

9. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
 cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 
2
1
sin a.sin b =  cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2
1
sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 
2
cos a.cos b =

10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
00 ( 0 )
0

π 
300  ÷
6
1
2
3
2
1
3

1
0

║

3

π 
450  ÷
4
2
2
2
2
1
1

π 
π 
 2π 
0  3π 
0  5π 
0
600  ÷ 900  ÷ 1200 
÷ 135  ÷ 150 
÷ 180 ( π )
3
2
 3 
 4 

 6 
1
3
3
2
0
1
2
2
2
2
1
1
2
3
−
0
−1
−
−
2
2
2
2
1
−
0
−1
3
− 3

║
3
1
1
−
0
−1
− 3
║
3
3

Chú ý:
•
•

n
với α = 00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4 .
2
a0
α
=
Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:
0
180
π

sin α =

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2


1. Phương trình sin x = a
⊕ a > 1 : Phương trình vô nghiệm
⊕ a ≤1
 x = α + k 2π
sin x = sin α ⇔ 
( k ∈¢ )
 x = π − α + k 2π
 x = β 0 + k 3600
sin x = sin β 0 ⇔ 
( k ∈¢
0
0
0
x
=
180
−
β
+
k
360

 x = arc sin a + k 2π
sin x = a ⇔ 
( k ∈¢ )
 x = π − arc sin a + k 2π

•
•
•

)

 f ( x ) = g ( x ) + k 2π

Tổng quát: sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔ 

 f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π

( k ∈¢ )

* Các trường hợp đặc biệt

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
2
π
⊕ sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ¢
2
⊕ sin x = 0 ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ )
⊕ sin x = 1 ⇔ x =

)

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a )sin x = sin

π
12

c) sin 3 x =

b) sin 2 x = − sin 360

1
2

d ) sin x =

2
3

Giải
π
π


x = + k 2π
x = + k 2π


π
12
12
a )sin x = sin ⇔ 
⇔
( k ∈¢ )

12
 x = π − π + k 2π
 x = 11π + k 2π

12
12

 2 x = −360 + k 3600
 2 x = −360 + k 3600
0
0
b) sin 2 x = − sin 36 ⇔ sin 2 x = sin −36 ⇔ 
⇔

0
0
0
0
0
 2 x = 180 − −36 + k 360
 2 x = 216 + k 360
 x = −180 + k1800
⇔
( k ∈¢
0
0
 x = 108 + k180
π
π
2π



3 x = + k 2π
x = +k


1
π
6
18
3
c) sin 3x = ⇔ sin 3 x = sin ⇔ 
⇔
( k ∈¢ )
2
6
3 x = 5π + k 2π
 x = 5π + k 2π
6
18
3


2

x = arcsin + k 2π

2
3
d ) sin x = ⇔ 

( k ∈¢ )
3
 x = π − arcsin 2 + k 2π

3

(

)

(

2. Phương trình cos x = a
⊕ a > 1 : Phương trình vô nghiệm
⊕ a ≤1
3

)

)


cosx = cosα ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈ ¢ )
•
cosx = cosβ 0 ⇔ x = ± β 0 + k 3600 ( k ∈ ¢ )
•
cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k 2π ( k ∈ ¢ )
•
Tổng quát: cosf ( x ) = cosg ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ( k ∈ ¢ )

* Các trường hợp đặc biệt

( k ∈¢ )
cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )

⊕ cosx = 1 ⇔ x = k 2π
⊕

⊕ cosx = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2

( k ∈¢ )

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a ) cos x = cos

π
4

(

2
2

)

b) cos x + 450 =

c)cos4 x = −

2
;
2

d ) cos x =

3
4

Giải

π
π
⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ )
4
4
 x + 450 = 450 + k 3600
 x = 450 + k 3600
2
b) cos ( x + 450 ) =
⇔ cos ( x + 450 ) = cos450 ⇔ 
⇔
( k ∈¢ )

0
0
0

0
0
2
 x + 45 = −45 + k 360
 x = −90 + k 360
2
3π
3π
3π
π
c)cos4 x = −
⇔ cos4 x = cos
⇔ 4x = ±
+ k 2π ⇔ x = ±
+ k ,( k ∈¢ )
2
4
4
16
2
3
3
d ) cos x = ⇔ x = ± arccos + k 2π , k ∈ ¢
4
4
a ) cos x = cos

3. Phương trình tan x = a

( k ∈¢ )

⊕ tan x = t anβ 0 ⇔ x =β 0 + k1800 ( k ∈ ¢ )
⊕ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ( k ∈ ¢ )
⊕ tan x = t anα ⇔ x = α + kπ

cos f ( x ) ≠ 0, cos g ( x) ≠ 0
( k ∈¢
f
x
=
g
x
+
k
π
(
)
(
)


Tổng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ 

)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a ) tan x = tan

π
3

b) tan 4 x = −

1
3

(

)

c) tan 4 x − 200 = 3

Giải

π
π
⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ )
3
3
1
1
π
 1
 1
b) tan 4 x = − ⇔ 4 x = arctan  − ÷+ kπ ⇔ x = arctan  − ÷+ k , ( k ∈ ¢
3
4
4
 3
 3
a ) tan x = tan

(

)

(

)

)

c) tan 4 x − 200 = 3 ⇔ tan 4 x − 200 = tan 600 ⇔ 4 x − 200 = 600 + k1800 ⇔ 4 x = 800 + k180 0
⇔ x = 200 + k 450

4. Phương trình cot x = a
4

( k ∈¢ )


( k ∈¢ )
⊕ cot x = cot β 0 ⇔ x = β 0 + k1800 ( k ∈ ¢ )
⊕ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ( k ∈ ¢ )
⊕ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ

sin f ( x) ≠ 0,sin g ( x) ≠ 0
( k ∈¢
f ( x ) = g ( x ) + kπ


Tổng quát: cotf ( x ) = cotg ( x ) ⇔ 

)

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a ) cot 3 x = cot

3π
7

b) cot 4 x = −3

Giải

3π
3π
π
π
⇔ 3x =
+ kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ )
7
7
7
3
1
π
b) cot 4 x = −3 ⇔ 4 x = arc co t ( −3 ) + kπ ⇔ x = arc cot ( −3) + k , ( k ∈ ¢
4
4
a ) cot 3 x = cot

Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin ( 2 x − 1) = sin ( 3x + 1)
3) tan ( 2 x + 3) = tan
5) sin 2 x =

π
3

3
2



π




3
4) cot 450 − x =
3
− 2
6) cos 2 x + 250 =
2

(

)

8) cot ( 4 x + 2 ) = − 3
3
3

x
2

11) cos = − cos ( 2 x − 300 )
π
4


2π 
15) sin  x − ÷ = cos 2 x
3 

17) sin 5 x = − sin 2 x
19) tan ( 3x + 2 ) + cot 2 x = 0


13) tan x = cot  − 2 x ÷

0
10) sin ( 8 x + 60 ) + sin 2 x = 0

12) sin x − cos 2 x = 0
14) sin 2 x = cos3x
16) sin 4 x = − cos x

21) 2sin x + 2 sin 2 x = 0

18) sin 2 2 x = sin 2 3x
20) sin 4 x + cos5 x = 0
22) sin 2 2 x + cos2 3 x = 1

23) sin 5 x.cos3 x = sin 6 x.cos2 x

24) cos x − 2sin2





)

(

7) sin 3 x = sin x
9) tan ( x + 150 ) =

π





2) cos  x − ÷ = cos  2 x + ÷
4
2

π

25) tan  3x + ÷cot ( 5 x − π ) = 1
2


π

2
27) sin  cos x ÷ =
4
 2

x
=0
2

26) tan 5 x.tan 3 x = 1
π



28) tan  ( sin x + 1)  = 1
4

5

)

−π π



Bài 2: Tìm x ∈  ; ÷ sao cho: tan ( 3x + 2 ) = 3 .
 2 2

π
π


Bài 3: Tìm x ∈ ( 0;3π ) sao cho: sin  x − ÷+ 2 cos  x + ÷ = 0 .


3

6



C. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương
trình có dạng at + b = 0 trong đó a, b là các hằng số ( a ≠ 0 ) và t là một trong các
hàm số lượng giác.
1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 5: Giải các phương trình
Giải
a)

b)
c)
d)

π

x = + k 2π

1
π
6
2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ 
( k ∈¢ )
2
6
 x = 5π + k 2π

6
1
−1
2π
2π
π
cos2 x + = 0 ⇔ cos2 x =
⇔ cos2 x = cos
⇔ 2x = ±
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ¢
2
2

3
3
3
1
1
3 tan x − 1 = 0 ⇔ tan x = ⇔ x = arctan + kπ ( k ∈ Z )
3
3
−1
2π
2π
3 cot x + 1 = 0 ⇔ cot x =
⇔ cot x = cot
⇔x=
+ kπ ( k ∈ ¢ )
3
3
3

1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng
giác:
Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2 cos x − sin 2 x = 0
Giải
cos x − sin 2 x = 0 ⇔ cos x − 2sin x cos x = 0 ⇔ cos x ( 1 − 2sin x ) = 0

π

 x = 2 + kπ

cos x = 0

cos x = 0
π

⇔
⇔
⇔  x = + l 2π ( k , l ∈ ¢
1

sin x =
6
1 − 2sin x = 0

2

5
 x = π + l 2π

6

)

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
29) 2 cos x − 3 = 0
30) 3 tan 3 x − 3 = 0
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương
trình có dạng at 2 + bt + c = 0 , trong đó a, b, c là các hằng số ( a ≠ 0 ) và t là một trong
các hàm số lượng giác.

6

)


2.2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về
phương trình bậc hai theo t, giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản
(chú ý điều kiện −1 ≤ t ≤ 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos).
Ví dụ 7:
a) 2sin 2 x + sin x − 3 = 0

b) cos 2 x + 3cosx − 1 = 0
Giải

a ) 2sin 2 x + sin x − 3 = 0(1)
Đặt t = sin x , điều kiện t ≤ 1 . Phương trình (1) trở thành:
t = 1 ( nhân )
2t + t − 3 = 0 ⇔  3
t = ( loai )
 2
2

Với t=1, ta được sin x = 1 ⇔ x =
b) cos 2 x + 3cosx − 1 = 0 ( 2 )

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
2

Đặt t = cosx , điều kiện t ≤ 1 . Phương trình (2) trở thành:
 −3 + 13

( nhân )
t =
2
2

t + 3t − 1 = 0 ⇔
 −3 − 13
( loai )
t =

2
−3 + 13
−3 + 13
−3 + 13
⇔ x = ± arccos
+ k 2π ( k ∈ ¢
Với t =
ta được cosx =
2
2
2

)

2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác:
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
b)7 tan x − 4 cot x = 12

a )3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0

Giải

(

)

a )3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 ⇔ 3 1 − cos 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0
cos 2 x = 0
⇔ 3cos 2 2 x − 7 cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x ( 3cos 2 x − 7 ) = 0 ⇔ 
3cos 2 x − 7 = 0
π
π
π
*) Giải phương trình: cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ¢ )
2
4
2
7
*) Giải phương trình: 3cos 2 x − 7 = 0 ⇔ cos 2 x =
3
7
Vì > 1 nên phương trình 3cos 2 x − 7 = 0 vô nghiệm.
3
π
π
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = + k ( k ∈ ¢
4
2
b)7 tan x − 4 cot x = 12 ( 1)

)

Điều kiện: sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0
1
− 12 = 0 ⇔ 7 tan 2 x − 12 tan x − 4 = 0
tan x
t
=
tan
x
Đặt
ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t 2 − 4t − 12 = 0 …..

Khi đó: ( 1) ⇔ 7 tan x − 4.

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
7


31)
33)
35)
37)

32) cos2 x + sin x + 1 = 0
34) 2sin 2 x + 5sinx – 3 = 0
36) 6 cos 2 x + 5 sin x − 2 = 0
38) 24 sin 2 x + 14cosx −21 = 0

2 cos2 x − 3cos x + 1 = 0
2 cos 2 x − 4 cos x = 1
2cos2x + 2cosx - 2 = 0
3 tan 2 x − (1 + 3) tan x =0

π
π

2
39) sin  x − ÷+ 2cos  x − ÷ = 1
3
3


41) cos 2 3x.cos2x - cos 2 x = 0 ;

43)

(

)

cosx 2sinx +3 2 − 2cosx -1

40) 4cos 2 x −2( 3 − 1)cosx + 3 = 0
2
42) 5sinx - 2 = ( 1-sinx ) .t an x

=1

44) 4cos3 x +3 2 sin 2x = 8cosx

1 + sin 2x
17
4sin 2x + 6sin 2 x - 9 - 3cos2x
cox 2 2x
=0 ; 46) sin 8 x + cos8 x =
45)
16
cosx
Bài 47. Chứng minh rằng phương trình: cosx + mcos 2 x = 0 luôn có nghiệm với
2

mọi m.
Bài 48. Cho phương trình: cos 2 x − (2m + 1)cosx + m + 1 = 0
3
2

a)Giải pt khi m = .
π 3π
b)Tìm m để phương trình có nghiệm trên ( ; ) .
2 2

Bài 49 : Cho phương trình sin 3 x − m cos 2 x − ( m + 1)sin x + m = 0
a)Giải phương trình khi m = 2.
b)Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π )
3. Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx
3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương
2
2

trình có dạng a.sin x + b.sin x cos x + c.cos x = d ( a, b, c ≠ 0 )
3.2. Phương pháp:
Cách 1:
⊕ Kiểm tra x =
⊕

π
+ kπ có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
2

cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cos 2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x :

( a − d ) tan 2 x + b tan x + c − d = 0

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình
bậc nhất đối với cos 2x và sin 2x
*Một số trường hợp đặc biệt là khi a = 0 hoặc c = 0 đưa phương trình về dạng tích
Ví dụ 9: Giải phương trình sau
a) 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2
b) 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4
c) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0
d) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0
Ví dụ 10: Giải phương trình sau
a) sinx- 4sin3x+cosx=0
b) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0
8


c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)
Ví dụ 11: Giải phương trình sau

a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0
b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0
c) 2 cos3x= sin3x
d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx
e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x
f) sin3(x- π /4)= 2 sinx
Bài tập đề nghị:
50) 3sin 2 x − 4sin x cos x+5cos 2 x = 2
51) 2 cos 2 x − 3 3 sin 2 x − 4sin 2 x = −4
52) 25sin 2 x + 15sin 2 x + 9 cos 2 x = 25
53) 4sin 2 x − 5sin x cos x − 6 cos 2 x = 0
54) 4sin 2 x − 5sin x cos x = 0
55) 4sin 2 x − 6 cos 2 x = 0 .
56) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 57) 2cos3 x + 3cos x − 8sin 3 x = 0
π
2
58) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0
59) sin  x + ÷ = 2 sin x
4

8
3
3
cos x = 0
60) 3 cos x − 5sin x + 7sin x −
3
5sin 4 x cos x
3
61) 6sin x − 2cos x =
2cos 2 x

62) 3 2 cos x − sin x = cos3 x + 3 2 sin x sin 2 x
63) 3sin 2 x − 2sin 2 x + cos 2 x = 0
π
3
64) 12 sin  x − ÷ = 2 sin x
4

4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có
dạng a sin x + b cos x = c trong đó a, b, c ∈ ¡ và a 2 + b 2 ≠ 0
Ví dụ 12: Giải các phương trình sau: sin x + cos x = 1; 3cos 2 x − 4sin 2 x = 1
4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a 2 + b 2 ta được:
a
a +b
2

•

Nếu

•

Nếu

2

sin x +
c
a 2 + b2
c

a 2 + b2

( hoặc sin α =

b
a +b
2

2

cos x =

c
a + b2
2

> 1 : Phương trình vô nghiệm.
≤ 1 thì đặt cosα =
a
a 2 + b2

⇒ cosα =

a
a 2 + b2
b

b
a 2 + b2

)

a 2 + b2

Đưa phương trình về dạng: sin ( x + α ) =

⇒ sin α =

c
a +b
2

2

(hoặc cos ( x − α ) =

c
a + b2
2

) sau

đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: Phương trình a sin x + b cos x = c trong đó a, b, c ∈ R và a 2 + b 2 ≠ 0 có nghiệm
khi c 2 ≤ a 2 + b 2 .
Ví dụ 13: Giải các phương trình sau:
a) sin x + cos x = 1;
b) 3cos 2 x − 4sin 2 x = 1;
9

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
65) 2sin x − 2 cos x = 2
66) 3sin x + 4 cos x = 5
67) 3sin ( x + 1) + 4 cos ( x + 1) = 5
68) 3cos x + 4sin x = −5
69) 2sin 2 x − 2 cos 2 x = 2
70) 5sin 2 x − 6 cos 2 x = 13
π



1

4
4
71) sin x + cos  x + ÷ =
4 4

73) 3sin x − 6cos x = 58

72) sin x = 3 cos x

74) 2sin 2 x − 2 cos 2 x = − 2
1
75) 3 cos x − sin x = 2
76) sin 2 x + sin 2 x =
2
78) sin 6 x + 3 cos 6 x = 2 79) 3sin x + 3 cos x = 1
2

2
80) 5cos 2 x − 12sin 2 x = 13
81) 3 cos x − 5 sin x = 1
82) Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm.
83) Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
5. Phương trình đối xứng
5.1 Phương trình đối xứng loại 1
Cách giải:

a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c
⇒ at + b

Đặt t = sin x+cosx

t ≤ 2

t 2 −1
=c ⇔ bt2+2at-2c-b=0
2

Ví dụ 14 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1. 2 ( sin x + cos x ) + sin 2 x + 1 = 0
2. sin x cos x = 6 ( sin x − cos x − 1)
π

3. sin 2 x + 2 sin  x − ÷ = 1
4. tan x − 2 2 sin x = 1
4

5. sin 3 x + cos3 x = 1

6. ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) = 2
p

3
7. 2sin  x + ÷ = tan x + cot x
8. ( sin x + cos x ) + sin x cos x − 1 = 0


4

9. 1+tanx=2sinx +

1
cos x

11. (1+sin x)(1+cosx)=2

10. sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx
3
2

12. 1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x .

13. sinxcosx+ sin x + cos x =1
Bài tập đề nghị
4
84. ( sin x + cos x ) − 3sin 2 x − 1 = 0
85. cos3 x − sin 3 x = cos 2 x
3
3

86. sin x + cos x + 2 ( sin x + cos x ) − 3sin 2 x = 0
87. ( sin x − cos x ) = 1 + sin x cos x
3

1
1
+
=0
sin x cos x
89. ( 1 − sin 2 x ) ( sin x + cos x ) = cos 2 x
88. sin x + cos x + 2 + tan x + cot x +

10


Bài 90 : Cho phương trình cos3 x − sin 3 x = m . Xác định m để phương trình có
nghiệm.
5.2 Phương trình đối xứng loại 2
Cách giải:
a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c
⇒ at + b

Đặt t= sin x- cosx

t ≤ 2

1− t2
=c ⇔ bt2 -2at+2c-b=0.
2

Ví dụ 15 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1. 1- sin3x+cos3x= sin2x
2. 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2
2
2
3. 3 ( tan x + cot x ) − 2 ( tan x + cot x ) − 2 = 0
4. tan 7 x + cot 7 x = tan x + cot x
5. tan x + tan 2 x + tan 3 x + cot x + cot 2 x + cot 3 x = 6
5.3 Phương trình đối xứng với tanx và cotx
Cách giải: đặt t = tanx +cotx điều kiện t ≥ 2 ⇒ tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2 .
Đưa về phương trình chỉ có ẩn t.
Bài tập đề nghị
4
2
2
91. 9 ( tan x + cot x ) = 48 ( tan x + cot x ) + 96
2
2
92. 3 ( tan x − cot x ) + tan x + cot x = 6

2
2
93. 3 ( tan x + cot x ) − 8 ( tan x + cot x ) = 21
4

94. sin x − cos x + 4sin 2 x = 1
2
2
2
95. Cho phương trình tan x + cot x + 2 ( m + 2 ) ( tan x + cot x ) = m − m .

Xác định m để phương trình có nghiệm.

D. PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THEO CÁC DẠNG.
1. Sử dụng công thức hạ bậc

1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
; sin2x=
2
2
3cos x + cos 3 x
3sin x − sin 3 x
cos3x=
; sin3x=
4
4

cos2x=

Bài tập
1. cos4x-5sin4x=1
2. 4sin3x-1=3- 3 cos3x
3.sin22x+ sin24x= sin26x
4. sin2x= cos22x+ cos23x
sin 2 2 x + cos 4 2 x − 1
=0
5.
sin x cos x

6. 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3
7. 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x
11


π
4

x
2

7
2

8. cos4xsinx- sin22x=4sin2( − )-

với

x − 1 <3

9. 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0
10. sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x
π
3

11. 8cos3(x+ )=cos3x
12.cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x
13.

sin 5 x

=1
5sin x

14. cos7x+ sin22x= cos22x- cosx
15. sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2
16. 3cos4x-2 cos23x=1
2 . Sử dụng các hằng đẳng thức
Bài tập. Giải các phương trình sau
x
2

x
2

1) sin4 +cos4 =1-2sinx
3

2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x
sin 4 x + cos 4 x 1
= (tan x + cot x)
4)
sin 2 x
2
7
π
π
6) sin4x+cos4x= cot( x + ) cot( − x)
8
3
6

3

3) cos x+ sin x= cos2x
5) cos6x-sin6x=

13
cos22x
8

7) cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x)

8) cos3x+sin3x=cosx-sinx

9) cos6x+sin6x=cos4x

11) cos8x+sin8x=

10) sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x
x
2

x
2

12) (sinx+3)sin4 -(sinx+3) sin2 +1=0
3.Giải phương trình lượng giác đưa về dạng tích
Bài tập. Giải các phương trình sau:
1) cos2x- cos8x+ cos4x=1
2)sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3)sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2
4) sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0
5) 3sinx+2cosx=2+3tanx
6)

3
sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0
2

7) 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4
sin 3 x sin 5 x
=
8)
3
5
1
9) 2cos2x-8cosx+7=
cos x
5
4

10) cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cosx

12

1
8


11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3
1
1
14) 2sin3x=2cos3x+
15) cos3x+cos2x+2sinx-2=0
sin x
cos x
16)cos2x-2cos3x+sinx=0

17) tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-

18)sin2x=1+ 2 cosx+cos2x

19) 1+cot2x=

20) 2tanx+cot2x=2sin2x+

1
sin 2x

1 − cos 2 x
sin 2 2 x

1
)=0
cos x

21) cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

22) 1+tanx=sinx+cosx
1
1
π
+
24) 2 2 sin( x + ) =
4 sin x cos x
26) cotx-tanx=cosx+sinx

23) (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
2
25) 2tanx+cotx= 3 +
sin 2x
27) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

4. Sử dụng công thức nhân đôi.
* cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x
sin2x=2sinxcosx
2 tan x
1 − tan 2 x
2t
1− t2
* sinx =
; cosx=
1+ t2
1+ t2

tan2x=

tanx=

Bài tập. Giải các phương trình sau:

x
2t
=t)
2 (tan
1− t
2
1
16
2
4) sin2x(cotx+tan2x)=4cos x
6) sin2x+2tanx=3
8) cotx=tanx+2cot2x

1
4

1) sin3xcosx= + cos3xsinx

2) cosxcos2xcos4xcos8x=

3) tanx+2cot2x=sin2x
5) sin4x=tanx
7) sin2x+cos2x+tanx=2
3
2

10) (1+sinx)2= cosx

9) tan2x+sin2x= cotx

5. Giải phương trình LG bằng cách thực hiện phép biến đổi tổng thành tích
và tích thành tổng
Bài tập. Giải các phương trình sau:
1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x
2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
3)

sin 3 x − sin x
= sin 2 x + cos 2 x thỏa mãn x ∈ ( 0; 2π )
1 − cos 2 x

5) sin5x+ sinx+2sin2x=1

4) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0
3 ( cos 2 x + cot 2 x )
π

π

6) cot 2 x − cos 2 x = 4sin  4 + x ÷cos  4 − x ÷






7) tanx+ tan2x= tan3x



8) 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

6. Giải PT LG bằng phương pháp đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B
Bài tập. Giải phương trình
13


π
π
)=sin2x sin( x + )
4
4
3π x
4/ cosx-2sin( − )=3
2 2

1
3π x
π 3x
− )= sin( +
)
10 2
10 2
2
1 + sin 2 x
1 + tan x
3/

+2
=3
1 − tan x
1 − sin 2 x
7π
5/ cos( 2 x − )=sin(4x+3 π )
2

2/ sin( 3 x −

1/ sin(

6/ 3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx

2
+5tanx+5cotx+4=0
cos 2 x
1
1
9/sinx- cos2x+
+2 2 =5
sin x
sin x

7/2cot2x+

8/ cos2x+

1
1

=cosx+
2
cos x
cos x

7. Giải phương trình LG bằng cách thực hiện các phép biến đổi phức tạp
Bài tập. Giải các phương trình

(

)

π

2
1/ 3 + 4 6 − (16 3 − 8 2) cos x = 4cos x − 3 2/ cos  4 3x − 9 x − 16 x − 80  =1 3/


4/ 3cotx- tanx(3-8cos2x)=0

5cos x − cos 2 x +2sinx=0
2 ( sin x + tan x )
− 2 cos x = 2
5/
tan x − sin x

6/ sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x
7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x
8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x)

10/ sin x + sin x = 1 − sin 2 x − cos x
π
π


2
2 
11/cos2  sin x + 2 cos x  -1=tan2  x + tan x ÷
4

(

π

)

π



4



2π 
 3x π 
+ ÷
÷− 2 sin 

 5 6






12/ 2 cos  5 − 12 ÷− 6 sin  5 − 12 ÷= 2 sin  5 − 3





x

x

x

8. Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực
8.1.Phương pháp tổng bình phương.
Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là
tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại
bằng không và áp dụng tính chất:
 A = 0 Ví dụ 1. Giải phương
A2 + B 2 = 0 ⇔ 
B = 0 trình:

3 tan 2 x + 4 sin 2 x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0
GIẢI

14


3 tan 2 x + 4sin 2 x − 2 3 tan x − 4sin x + 2 = 0
⇔ 3 tan 2 x − 2 3 tan x + 1 + 4sin 2 x − 4sin x + 1 = 0
⇔ ( 3 tan x − 1) 2 + (2sin x − 1) 2 = 0
 3 tan x − 1 = 0
⇔
2sin x − 1 = 0

3
 tan x =
3
⇔
sin x = 1

2
π

x
=
+ mπ

6

π

⇔   x = + 2nπ ( m, n ∈ Z )
6



5π
  x = 6 + 2nπ


ĐS x =

π
+ 2kπ (k ∈ Z )
6

Ví dụ 2: Giải phương trình:
x 2 − 2 x cos x − 2 sin x + 2 = 0 (1)

GIẢI
Ta có (1) ⇔ x − 2 x cos x + cos x + sin x − 2 sin x + 1 = 0
2

2

2

⇔ ( x − cos x) 2 + (sin x − 1) 2 = 0
 x − cos x = 0
⇔
sin x − 1 = 0
cos x = x
⇔
sin x = 1

Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: sin 4 x + cos15 x = 1
GIẢI
4
15
Ta có: sin x + cos x = 1
⇔ sin 4 x + cos15 x = sin 2 x + cos 2 x

⇔ sin 2 x(sin 2 x − 1) = cos 2 x(1 − cos13 x) (1)

Vì sin 2 x(sin 2 x − 1) ≤ 0, ∀x
Và cos 2 x(1 − cos13 x) ≥ 0, ∀x
sin 2 x(sin 2 x − 1) = 0
⇔
Do đó (1)
 2
cos x(1 − cos13 x) = 0

15


sin x = 0

sin x = ±1
⇔
cos x = 0
cos x = 1

  x = mπ


 x = π + mπ

2
⇔
( m, n ∈ Z )
π

 x = + nπ

2
 x = 2nπ


ĐS x =

π
+ kπ hay x = 2kπ (k ∈ Z )
2

8.2. Phương pháp đối lập
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình f ( x) = g ( x) ,
ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A ∈ R: f ( x) ≥ A, ∀x ∈ (a, b) và
g ( x) ≤ A, ∀x ∈ ( a, b) thì khi đó:
 f ( x) = A
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 g ( x) = A
Nếu ta chỉ có f ( x) > A và g ( x) < A , ∀x ∈ (a, b) thì kết luận phương trình vô

nghiệm.
Ví dụ1 . Giải phương trình: cos 5 x + x 2 = 0

GIẢI
cos 5 x + x 2 = 0 ⇔ x 2 = − cos 5 x
Vì − 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
 −π π 
,  ⇒ cos x > 0, ∀x ∈ [ − 1,1] ⇒ − cos 5 x < 0, ∀x ∈ [ − 1,1]
mà [ − 1,1] ⊂ 
2
2

2
Do x > 0 và − cos 5 x < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
sin1996 x + cos1996 x = 1 (1)
GIẢI

(1) ⇔ sin 1996 x + cos1996 x = sin 2 x + cos 2 x
⇔ sin 2 x(sin 1994 x − 1) = cos 2 x(1 − cos1994 x) (2)
sin 2 x ≥ 0
⇒ sin 2 x (sin 1994 x − 1) ≤ 0, ∀x
Ta thấy  1994
sin
x ≤1
2

cos x ≥ 0
⇒ cos 2 x(1 − cos1994 x) ≥ 0, ∀x
Mà 
1994


x≥0
1 − cos

16


 x = mπ

sin x = 0
 x = π + mπ

2
1994
sin x(sin
x − 1) = 0

2
sin x = ±1
⇔
⇔
(m, n ∈ Z )
Do đó (2) ⇔  2


cos x(1 − cos1994 x) = 0
cos
x
=
0

π



 x = + nπ
cos x = ±1

2

  x = nπ

π
2

Vậy nghiệm của phương trình là: x = k (k ∈ Z )
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những
phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
•

sin ax = 1

sin bx = 1
sin ax. sin bx = 1 ⇔ 
sin ax = −1

sin bx = −1

•

sin ax = 1


sin bx = −1
sin ax. sin bx = −1 ⇔ 
sin ax = −1

sin bx = 1

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
cos ax. cos bx = 1

cos ax. cos bx = −1
sin ax. cos bx = 1
sin ax. cos bx = −1

8.3. Phương pháp đoán nhận nghiệm và chứng minh tính duy nhất của
nghiệm
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của
phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách
thông sụng sau:
•
Dùng tính chất đại số
•
Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương trình f ( x) = 0 có 1 nghiệm x = α ∈ (a, b) và hàm f đơn điệu trong (a, b)
thì f ( x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = α .
Phương trình f ( x) = g ( x) có 1 nghiệm x = α ∈ (a, b) , f (x) tăng (giảm) trong
(a, b) , g (x) giảm (tăng) trong (a, b) thì phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x = α
là duy nhất.
Ví dụ 1 : Giải phương trình:
cos x = 1 −

x2
với x > 0
2

GIẢI
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x = 0 .

17


x2
Đặt f ( x) = cos x + − 1 là biểu thức của hàm số có đạo hàm
2
f ' ( x) = − sin x + x > 0, ∀x > 0 (vì x > sin x , ∀x )
⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong ( 0,+∞ )
⇒ f ( x ) = 0 có 1 nghiệm duy nhất trong ( 0,+∞ )

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 0 .
Ví dụ 2 . Giải phương trình:

sin x + tan x − 2 x = 0 với 0 ≤ x ≤

π
2

Giải
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x = 0
 π
Đặt f ( x) = sin x + tan x − 2 x liên tục trên 0; 



Có đạo hàm: f ' ( x) =
do

2

(cos x − 1)(cos 2 x − cos x − 1)
 π
≥ 0 , ∀x ∈ 0; 
2
cos x
 2

1− 5
1+ 5
< 0 ≤ cos x ≤ 1 <
⇒ cos 2 x − cos x − 1 < 0
2
2

 π
⇒ f đơn điệu tăng trên 0; 
 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
8.4 Sử dụng các bất đẳng thức
Ví dụ 1 : Giải phương trình:
1
(tan x + cot x) n = cos n x + sin n x (n = 2,3, 4,...)

4

Ví dụ 2: Giải phương trình:
cos x

1
1
− 1 + cos 3 x
− 1 = 1 (1)
cos x
cos 3x

GIẢI
cos x > 0
cos 3x > 0

Điều kiện: 

Khi đó (1) ⇔ cos x − cos 2 x + cos 3x − cos 2 3x = 1
1
4

1
2

Vì a 2 − a + = (a − ) 2 ≥ 0 ⇒ a − a 2 ≤

1
4

1
1
và cos 3x − cos 2 3x ≤
4
4
1
1
⇒ cos x − cos 2 x ≤ và cos 3 x − cos 2 3 x ≤
2
2
1
1


2
cos x − cos x = 4
cos x = 2
⇔
⇔ x∈∅
Dấu bằng xảy ra ⇔ 
cos 3 x − cos 2 3 x = 1
cos 3 x = 1


4
2

Do đó cos x − cos 2 x ≤

18

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x
3) ( cos 4 x − cos 2 x ) 2 = 5 + sin 3x

2) sin x + tan x − 2 x = 0 với 0 ≤ x ≤
4
4
4) cos x − sin x = cos x + sin x

Bài 2: Giải phương trình:
1) x 2 − 2 sin xy + 1 = 0
3) 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x
4) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2
6)

π

sin x

π
2

2) cos3x+ 2 − cos 2 3x =2(1+sin22x)
5) 8cos4xcos22x+ 1 − cos 3x +1=0

= cos x

7) 1 -

8) ( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x

9)

(

x2
2

=cosx

E- CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
(1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x
2)
tan2x - tanxtan3x = 2
3)
5 - 3sin 2 x - 4cosx = 1 - 2cosx
4)
cos3xtan5x = sin7x
5)
tanx + cotx = 4
sin 2 x
6)
+ 2cosx = 0
1 + sinx

2
7)
2tanx + cotx = 3 +
sin2x
8)
tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9)
2sin3x(1 - 4sin2x) = 1
cot 2 x - tan 2 x
= 16(1 + cos4x)
10)
cos2x
1
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
16
2
12) cos10x + cos 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
1
13) sin2xcosx = + cos3xsinx
4
6
6
14) sin x + cos x = cos4x
7
π
π
15) sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x)
8
3
6

sinxcot5x
=1
16)
cos9x
17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
19

)

1
1 − cos x + 1 + cos x cos 2 x = sin 4 x
2


1
1
= 2cos3x +
sinx
cosx
2
19) cos3xcos3x + sin3xsin3x =
4
4
4
sin x + cos x
1
= (tanx + cotx)
20)
sin 2 x
2

21) 1 + tanx = 2 2 sinx
22) cosx - sinx = 2 cos3x
23)
3 sin 2 x - 2cos 2 x = 2 2 + 2cos2x
24) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
π
25) 2sin(3x + ) = 1 + 8sin2xcos 2 2x
4
Bài 2. Giải các phương trình sau:
x
x 5
1) sin4  ÷ + cos4  ÷ =
3
3 8
3
3
2) 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin2xcosx = 0
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0
(1 - cosx) 2 + (1 + cosx)2
1 + sinx
- tan 2 xsinx =
+ tan 2 x
4)
4(1 - sinx)
2
18)

2sin3x -

5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

7
6) cos6x + sin6x =
16
Bài 3. Giải các phương trình sau:
cos 2 x + 3cot2x + sin4x
=2
1)
cot 2 x - cos2x
cosx(2sinx + 3 2) - 2cos 2 x - 1
3)
=1
1 + sin2x
5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

4sin 2 2x + 6sin 2 x - 9 - 3cos2x
=0
2)
cosx
4) sin4x = tanx
6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0
3
2

8) 2 + cos2x + 5sinx = 0
10) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx

9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)
Bài 4. Giải phương trình lượng giác
3

1) cosx + 3 sinx = 3 cosx + 3sinx + 1
2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x
3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x
4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1)
5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2
20


6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x
7) 3 sin2x + cos2x = 2
8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
Bài 5. Giải các phương trình
2
1) sin3x sin2x = 2sinxcos2x
3
1
2) sin22x + cos28x = cos10x
2
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x
x
3x
x
3x
1
4) cosxcos cos
- sinxsin sin
=
2
2

2
2
2
5) tanx + tan2x - tan3x = 0
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x
9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0
10) sin3x - sinx = sin2x
cos x
= 1 + sin x
11)
1 − sin x
12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
x
x
13) cos4 - sin4 = sin2x
2
2
2
14) 3 - 4cos x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin3x + cos2x = sinx
3
16) sin2x + sin22x + sin23x =
2
17) cos3x + sin3x = sinx - cosx
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0

22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx)
26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6. Giải các phương trình sau:
sin3x - sinx
1)
= cos2x + sin2x
1 - cos2x

với 0 < x < 2π
21


2) sin(2x +

5π
7π
) - 3cos(x ) = 1 + 2sinx
2
2

3) cos7x -

3 sin7x = -

π
< x < 3π

2
2π
6π
với
5
7
với

2

Bài 7. Giải các phương trình sau:
1) cos x + 3 sin x = 2cos3 x

2)

tanx + tan 2x = tan 3x

3)

4)
6)

(1 − cos 2x)sin 2x = sin 2 x
cot x − tan x = sin x + cos x

8)

2sin 17x + 3cos 5x + sin 5x = 0

5)

(

2sinx − cosx ) ( 1 + cosx ) = sin 2 x

cosx ( 1 − tanx ) ( sinx + cosx ) = sinx

3
2
2
7) sin 2x − 2 cos x + = 0
4

9)

cos 7x − sin 5x = 3 ( cos 5x − sin 7x )

10)

x

tan ( 2x + 450 ) . tan 1800 − ÷ = 1
2

1 + cos 2 x
sin 2 x
=
11)
cos x

1 − cos 2 x
12) cos 5 x sin 4 x = cos3 x sin 2 x

1
2
14) sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos2 x + cos3 x
13) cos2 x + cos 2 2 x =

15) sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x = 0
16) cos2 x + cos2 2 x + cos2 3 x = 1
π 3 
x
3  3π
17) sin  + x ÷ = 2 sin  + ÷
4 2 
 4 2



π
3π 
18) sin  3 x + ÷ = 2sin  x +
÷
4
4 


 π
Bài 8: Tìm nghiệm trên khoảng  0; ÷ của phương trình:
 2


π


x
3π 
4sin2  π − ÷ − 3 sin  − 2 x ÷ = 1 + 2 cos2  x −
÷


2

2



Bài 9: Giải phương trình:
1
1
−
= 2 cot 2 x
1) sin 2 x + sin x −
2sin x sin 2 x
3sin 2 x − 2sin x
=2
2)
sin 2 x.cos x
3) sin(2x +



4 

17π
x π
) + 16 = 2 3.s inx cos x + 20sin 2 ( + )
2
2 12
22


4) cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
Bài 10: Giải các phương trình sau:
1) cos3x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =

2+3 2
8

2) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
3)

(sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2
=0
2sin x + 3

Bài 11: Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos 2 x + sin 3 x = 2 thoả mãn :
x −1 < 3

3sin 2 x − 2sin x
=2

sin 2 x.cos x
7
1
3x
Bài 13: Giải phương trình: 4cos4x – cos2x − cos 4 x + cos
=
2
4
2

Bài 12: Giải phương trình.:

Bài 14: Giải phương trình:

cos 2 x. ( cos x − 1)
sin x + cos x

x
2

= 2 ( 1 + sin x )

π x 
− ÷
 4 2

x
2

2

2
Bài 15: Giải phương trình: 1 + sin sin x − cos sin x = 2cos 

sin 3 x.sin 3 x + cos 3 x cos3 x
1
=−
8
Bài 16: Giải phương trình: tan  x − π  tan  x + π 

÷ 
÷
6 
3

π
π


Bài 17: Giải phương trình: sin  3x − ÷ = sin 2 x sin  x + ÷ .
4
4



Bài 18: Giải phương trình:
Bài 19: Giải phương trình:

cos2x + cosx + sin3x = 0
cos 3 x − cos 2 x + cos x =

1
2

Bài 20: Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [ 2; 40] của phương trình:
sinx – cos2x = 0.
Bài 21: Giải phương trình:

π 
π

tan  x − ÷tan  x + ÷.sin 3 x = sin x + sin 2 x
6 
3


Bài 22: Giải phương trình :

1
8
21π

2 cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x +
3
3

2

Bài 23: Giải phương trình:
Bài 24: Giải phương trình:
Bài 25: Giải phương trình:

Bài 26: Giải phương trình:
Bài 27: Giải phương trình :
Bài 28: Giải phương trình:

sin 2 x + sin x −

 1
2
÷+ s in x .
 3

1
1
−
= 2cot 2 x
2sin x sin 2 x

π

2 sin  − x ÷
4
 (1 + sin 2 x) = 1 + tan x
cos x
tan 2 x − tan 2 x.sin 3 x + cos 3 x − 1 = 0
sin 6 x + cos6 x 1
= tan 2 x
cos 2 x − sin 2 x 4
cos3 x cos3x + sin 3 x sin 3x = 2
4
cot x + 3 + tan x + 2cot 2 x = 3 .

23


Bài 29: Giải phương trình:

π

2 cos2  − 3 x ÷− 4 cos 4 x − 15sin 2 x = 21
4


Bài 30: Giải phương trình:

(1 − 4sin2 x )sin 3 x =

Bài 31: Giải phương trình:
Bài 32: Giải phương trình:
Bài 33: Giải phương trình:
Bài 34: Giải phương trình:
Bài 35: Giải phương trình:

1
2

1
sin x + sin 2 x = 1 + cos x + cos2 x
2
3sin x + 3tan x
− 2 cos x = 2

tan x − sin x
1
2(cos x − sin x )
=
tan x + cot 2 x
cot x − 1
2 cos3 x + 3 sin x + cos x = 0
1
3x 7
4 cos4 x − cos 2 x − cos 4 x + cos
=
2
4 2

Bài 36: Giải phương trình:
x π
π

 3x π 

π
cos  − ÷+ cos  − x ÷+ cos  − ÷+ sin  2 x − ÷ = 0
2 6
3

 2 2

6

Bài 37: Giải phương trình:

Bài 38: Giải phương trình:
Bài 39: Giải phương trình:
Bài 40: Giải phương trình:
Bài 41: Giải phương trình:
Bài 42: Giải phương trình:
Bài 43: Giải phương trình:
Bài 44: Giải phương trình:
Bài 45: Giải phương trình:
Bài 46: Giải phương trình:
Bài 47: Giải phương trình:
Bài 48: Giải phương trình:

2 − 3 cos2 x + sin 2 x = 4 cos2 3 x

(1 − 2sin x ) cos x
= 3
(1 + 2sin x )(1 − sin x )
π

2 sin  2 x + ÷ = 3sin x + cos x + 2 .
4


π
2sin  2 x + ÷+ 4sin x = 1
6

cos 3x + sin 2 x = 3 ( sin 3 x + cos 2 x )




π
π
4 cos2 2 x
tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ =
4
4  tan x − cot x


2
2sin x + 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x + cos x
cos 2 x + cos 3 x − 1
cos 2 x − tan 2 x =
cos 2 x

 5π

π
5cos  2 x + ÷ = 4sin 
− x ÷– 9
3

 6


sin x + cos x
+ 2 tan 2 x + cos 2 x = 0
sin x − cos x

π

2sin 2  x − ÷ = 2sin 2 x − tan x

4
 5π

2 2 cos 
− x ÷sin x = 1
 12


Bài 49: Giải phương trình : ( 1 − tan x ) ( cos 2 x + 4sin 2 x − 1) = cos2 x + 7sin 2 x − 7
Bài 50: Giải phương trình:
Bài 51: Giải phương trình:

cos2 x
π
− tan x + 2 sin(2 x − ) = 0
1 + cot x
4
sin 2 x cos2 x
+
= tan x − cot x.
cos x
sin x

2
Bài 52: Giải phương trình: cos x.(cos x − 1) = 2(1 + sin x )

sin x + cos x

24


Bài 53: Giải phương trình:
Bài 54: Giải phương trình:
Bài 55: Giải phương trình:
Bài 56: Giải phương trình:


3π  
π
cos2 2 x − 2 cos  x +
÷sin  3 x − ÷− 2
4  
4

=0
2 cos x − 2

 5π

2.cos 5 x − sin(π + 2 x ) = sin 
+ 2 x ÷.cot 3 x.
 2


1
sin 2 x
π
cot x +

= 2sin  x + ÷.
sin x + cos x

2
2
2 cos5 x.cos3 x + sin x = cos8 x

1
2(cos x − sin x )
=
tan x + cot 2 x
cot x − 1
2 cos x
3
(2sin x − 1) tan x =
+
Bài 58: Giải phương trình:
sin x − 1 cos x

Bài 57: Giải phương trình:

Bài 59: Giải phương trình:

cos2 x + 3 sin 2 x + 6sin x − 5
x
2 cos2 − 1
2

=

2 3.

Bài 60: Giải phương trình:


π
2 cos3 x cos x + 3(1 + sin 2 x ) = 2 3 cos2  2 x + ÷

4

Bài 61: Giải phương trình:

8sin3 x cos x + sin 4 x
= sin 3 x − 2 cos2 x + 1 .
2 cos x

Bài 62: Giải phương trình: sin x + sin2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x
Bài 63: Tìm nghiệm của phương trình: 2 cos 4 x − ( 3 − 2) cos2 x = sin 2 x + 3 ,
biết x ∈ [ 0; π ] .
Bài 64: Giải phương trình:
Bài 65: Giải phương trình:
Bài 66: Giải phương trình:
Bài 67: Giải phương trình:
Bài 68: Giải phương trình
Bài 69: Giải phương trình:
Bài 70: Giải phương trình:

x
4 cos3 x cos x − 2 cos 4 x − 4 cos x + tan tan x + 2
2

=0
2sin x − 3
cos2 x.(cos x − 1)
= 2(1 + sin x )
sin x + cos x

cos2 x + 5 = 2(2 − cos x )(sin x − cos x )
 3π

cos x ( 1 + 2 3 sin 2 x ) = cos3 x − 4 cos 
− 2 x ÷.
 2


(sin x + cos x )2 − 2sin 2 x
1 + cot 2 x

=


π

2  π
 sin  − x ÷− sin  − 3 x ÷÷ .
2  4

4




π
2 sin  2 x + ÷ = 3sin x + cos x + 2 .
4


cos 2 x 
tan x +  1 +
÷cot 3 x = 3
 1 + cos 2 x 

Bài 71: Tìm nghiệm x ∈ ( 0; π ) của phương trình
π





5cosx + sinx - 3 = 2 sin  2 x +  .
4
Bài 72: Giải phương trình:
Bài 73: Giải phương trình:


π
cos x + cos3 x = 1 + 2 sin  2 x + ÷
4

π x 
x
x

1 + sin sin x − cos sin2 x = 2 cos2  − ÷
2
2
 4 2

F. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
25