giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 hay

Ngày soạn 5/12/2014
BUỔI 1 : HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức
* Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại nội dung bài học:
1. Nhân đa thức với đa thức:
A( B + C + D) = AB + AC + AD
(A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE
2.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3)
II. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
1. Bài 1: Rút gọn biểu thức
HS ghi đề, thực hiện theo nhóm
2
a) (x + 1) (x + 2x + 4)
HS cùng GV thực hiện lời giải
Thực hiện phép nhân rồi rút gọn
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x
+ 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4
b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)
b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)
= …= x7 + x2 + 1
c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2

= [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2
= (- 4)2 = 16
Bài 2: Tìm x biết:
3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 HS ghi đề bài
giải theo nhóm ít phút
áp dụng các H.đẳng thức nào để giải
áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3)
Biến đổi, rút gọn vế trái
3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172
⇔ 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) =
172 ⇔ …. ⇔ 8x = 96 ⇔ x = 12
Bài 3:
Cho x + y = a; xy = b. tính giá trị các biểu
HS ghi đề bài, tiến hành bài giải
thức sau theo a và b:
Ta có x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
x2 + y2; x4 + y4
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2
= (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2
Bài 4: chứng minh rằng
a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4
HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV
a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3)


b) Nếu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) thì: a = b
Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra điều gì?
c) Nếu: x + y + z = 0 và
xy + yz + zx = 0 thì x = y = z
Từ : x + y + z = 0 ⇒ (x + y + z)2 =?

Từ đo ta có điều gì?
d) cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2
c/m: a4 + b4 + c4 = 2
HD cách giải tương tự

Bài 5:
So sánh:
a) A = 1997 . 1999 và B = 19982

= x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4
= x4 – y4 = VP (đpcm)
b) Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra
a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇒ a2 - 2ab + b2 = 0
⇒ (a – b)2 = 0 ⇒ a – b = 0 ⇒ a = b (đpcm)
c) Từ : x + y + z = 0 ⇒ (x + y + z)2 = 0
⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0
⇒ x2 + y2 + z2 = 0 ( vì xy + yz + zx = 0)
⇒ x=y=z
d) Từ a + b + c = 0 ⇒ (a + b + c )2 = 0
⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
⇒ ab + bc + ca = -1 (1)
Ta lại có:
(a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 +
c2a2) = 4 (2)
Từ (1) ⇒ (ab + bc + ca)2 = 1
⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3)
Từ (2) và (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2
a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1)
= 19982 – 1 < 19982 ⇒ A < B
b) Vì 4 =

b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1)
và B = 3128 - 1
Tính 4 theo 32 – 1?
Khi đó A = ?
áp dụng hằng đẳng thức nào liên tiếp để so
sánh A và B

Bài 6:
a) Cho a = 11…1( co n chữ số 1)
b = 100…05( có n – 1 chữ số 0)
Cmr: ab + 1 là số chính phương

32 − 1
nên
2

A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
32 − 1 2
=
(3 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1 4
= (3 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1
= (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1)
2
1
= (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1)

2
1
= (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1)
2
1 64
1
1
= (3 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B
2
2
2

Vậy: A < B
Ta có: b = 10n + 5 = 9….9 + 6
= 9(1…1) + 6 = 9a + 6
⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1
= (3a + 1)2 là một số chính phương
Un =

n sè 1

Ta viết:

n sè 5

+
n sè 1

n sè 0

n sè 5


b) Cho Un = 11…155…5 (có n chữ số 1 và
n chữ số 5)
Cmr: Un + 1 là số chính phương

=
= 11…1.10n + 5. 11…1
Đặt: a = 11…1 thì 9a + 1 = 10n
Do đó : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2

III. Bài tập về nhà:
Bài 1:
cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1
Bài 2:
Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2
Bài 3:
Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n và n2 củng là tổng của hai số chính
phương
Bài 5: So sánh:
x−y
x2 − y2
A=
với B = 2
(Với 0 < y < x )
x+y
x + y2

Ngày soạn 7/12/2014
BUỔI 2 : HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ


A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức
* Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại nội dung bài học:
Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2)
Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3)
Lập phương một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4)
Lập phương một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5)
Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6)
Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7)
Bình phương tổng ba hạng tử: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC)
II. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
HS ghi đề, tiến hành bài giải
Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải
1HS lên giải
Ta thực hiện phép tính như thế nào?
a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)

= ...= 5x - 8
HS thực hiện, 1HS lên giải
2
2
b) (x - 2)(x - 2x + 4)(x + 2)(x + 2x + 4)
b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)
Ta nên thực hiện phép tính như thế nào?
= (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4)
= (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64
Bài 2: Tìm x biết
(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
Để tìm x ta làm thế nào?

HS ghi đề, tiến hành bài giải
Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái
1HS lên bảng giải
(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
⇔ x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1
⇔ x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1
⇔ x3 - 27 - x3 + 4x = 1 ⇔ 4x = 28 ⇔ x = 7

Bài 3: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng
của ba bình phương:
A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải
Nếu HS chưa giải được thì gợi ý:
Hãy triển khai, tách tổng trên thành ba

HS ghi đề, tìm cách giải
Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải

được thì theo Hd của GV)
A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2
= (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2)


tổng có dạng: A2 + 2AB + B2
Bài 4: Tính giá trị Bt khi biết giá tri Bt
khác
a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị
của Bt A = x3 + y3
Cho HS giải
Viết A thành tích
Để tính giá trị của A ta cần tính xy.
Tính xy như thế nào?
Từ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. Hãy tìm cách
tính xy
b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1
Tính giá trị của Bt: B = a4 + b4 + c4 ?
Để có a4 + b4 + c4 ta làm thế nào?
Nhiệm vụ bây giờ là làm gì?
Để có (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải làm gì?
Khi đó ab + bc + ca = ?

a2b2 + b2c2 + c2a2 = ?
Từ đây, làm thế nào để tính giá trị của Bt
B
Bài 5:
{ ; b = 1....1
{ và c = 6....6
{

Cho a = 1....1
2n
n +1
n

Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là
một số chính phương
Để chứng minh một tổng là một số chính
phương, ta cần c/m gì?
A=a+b+c+8=?
9
9

Ta có: 11...1
{ = (11...1)
{ . Viết thành luỹ
n

thừa 10?

n

= (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2

HS giải
A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1)
HS suy nghĩ, tìm cách tính xy
Từ x + y = 2 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 4 ⇒ xy = - 3
(2)
Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26

HS ghi đề
Bình phương Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta có
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1
⇒ a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1)
Tính: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
ta phải bình phương Bt: (ab + bc + ca)
Ta bình phương Bt: a + b + c = 0, ta có:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
1
1
⇒ (ab + bc + ca)2 =
2
4
1
⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc =
4
1
⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 =
(2)
4
⇒ ab + bc + ca = −

Thay (2) vào (1) ta có:
B = 1 - 2.

1
1
1
=1- =
4

2
2

HS ghi đề, tìm cách giải

Để chứng minh một tổng là một số chính
phương, ta cần c/m nó bằng bình phương của
một số
{ + 1....1
{ + 6....6
{ +8
A = 1....1
2n
n +1
n

=

9 1....1
9 1....1
{ )+8
({
)
+
({
) + 6( 1....1
2n
n
+
1

n
9
9


102n − 1 10n +1 − 1
10n − 1
+
+ 6.
+8
9
9
9
102n + 10n +1 + 10 n + 64 102n + 16.10n + 64
=
=
9
9

=

2

2

2


 10n + 8   100...08  
=

÷ =
÷ =  33...36
3 ÷
3  12
 3  
n −1


Bài 6: Tồn tại hay không các số x, y, z
thoã mãn đẳng thức:
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
⇔ (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0
tổng các bình phương?
⇔ (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0
Có nhận xét gì về hai vế của đẳng thức?
Rõ ràng, vế trái của đẳng thức là một số dương
với mọi x, y, z; còn vế phải bằng 0
Ta có kết luận gì?
Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã mãn đẳng
thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
Ta có thể nói : Biểu thức
A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 có
giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = 2 ; y = −

1
và
2

z=4

Bài tập về nhà
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9)
b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6)
Bài 2:
a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy
b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . Tính x3 + y3 theo a và b
Bài 3: Chứng minh rằng
Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc


Ngày soạn 15/12/2014
BUỔI 3 : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG
A. MỤC TIÊU:
- Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường
trung bình của hình thang
- Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS
- tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại một số kiến thức bài học:
1. Đường trung bình của tam giác
A
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
E
gọi là đường trung bình của tam giác
F
- E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đường trung
bình của ∆ ABC
B
C

- Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung
điểm AC
- EF là đường trung bình của ∆ ABC thì EF // BC và EF =

1
BC
2

4. Đường trung bình của hình thang:
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình
thang gọi là đường trung bình của hình thang
+ Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm
AD, N là trung điểm BC thì MN là đường trung bình
của hình thang ABCD
+ Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC
+ MN là đường trung bình của hình thang ABCD
thì MN // AB // CD và MN =

1
(AB + CD)
2

II. Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho ∆ ABC đều cạnh a. Gọi M, N theo
thứ tự là trung điểm của AB và AC
a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao?
b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a
Cho HS tìm lời giải ít phút
Dự đoán dạng của tứ giác BCNM?

Để c/m tứ giác BCNM là hình thang cân
ta cần c/m gì?
Vì sao MN // BC
µ =C
µ?
Vì sao B
Từ đó ta có KL gì?

HS ghi đề bài
Viết GT, KL, vẽ
hình
HS suy nghĩ, tìm lời
giải
HS dự đoán
c/m: MN // BC và
µ =C
µ
B

A

M

N

B

C

Từ GT ⇒ MN là đường trung bình của ∆

ABC ⇒ MN // BC (1) và MN =
µ =C
µ = 600 (3)
∆ ABC đều nên B

1
BC (2)
2

Từ (1) và (3) suy ra tứ giác BCNM là hình
thang cân


III. Bài tập về nhà:
Bài 1:
1
µ = 900); AB = CD = AB
Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, A
2

kẻ CH ⊥ AB, Gọi giao điểm của AC và DH là E, giao điểm của BD và CH là F
a) Tứ giác ADCH là hình gì?
b) C/m : AC ⊥ BC
c) EF =

1
1
DC = AB
2
4

Bài 2:
Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của hình thang thì song
song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy

Ngày soạn 22/12/2014
BUỔI 4 . PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử
* HS sử dụng thành thạo các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử
* Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị
của biểu thức, của biến
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại kiến thức bài học:
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
* Phương pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích
* Phương pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để làm xuất hiện nhân
tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức
* Phương pháp tách hạng tử :
Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta làm như sau:
Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b.
Tách bx = (b1x + b2x) nếu b = b1 + b2
Khi đó a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) =
* Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần phân tích thành một biểu thức
dễ phân tích hơn
* Phương pháp Thêm bớt cùng một hạng tử : Thêm hoặc bớt cùng một hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung hoặc một hằng đẳng thức
* Phối hợp nhiều phương pháp: sử dụng đồng thời nhiều phương pháp để phân tích
II. Bài tập vận dụng:

Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của học sinh


Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
a) 25x4 – 10x2y + y2
áp dụng phương pháp nào để phân tích
đa thức này
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2

Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) x4 + 2x3 – 4x - 4
Ta áp dụng phương pháp nào để phân
tích
b) x3 +2x2y – x – 2y
c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x

3. Bài 3: Phân tích thành nhân tử
a) x2 – 6x + 8
áp dụng phương pháp nào để phân tích?
Phân tích bằng cách tách hạng tử nào?
tách như thế nào?
Có thể tách như thế nào khác nữa để
xuất hiện hằng đẳng thức rồi tiếp tục
phân tích
Tương tự, GV cùng HS tìm ra các cách
phân tích khác trong phương pháp tách
hạng tử
b) a4 + a2 + 1

Hãy tách a2 thành 2 hạng tử để phân tích
c) x3 – 19x – 30
Hãy tách hạng tử -19x để phân tích

HS: áp dụng PP dùng Hđt
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2
= (5x2 – y)2
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
= (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3
= (2m + 3n)3
c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2
= [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) +
(4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18)
= 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)]
= -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3)
áp dụng phương pháp nhóm hạng tử
a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x)
= (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2)
= (x2 – 2)(x2 + 2x + 2)
b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y)
= (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1)
c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x
= (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x)
= dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c)
= x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)]
= x(b + c – a) (d - c2)
HS ghi đề
Cách 1:
Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4)
nên ta có: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8)

= x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4)
Cách 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …?
Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…?
Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..?
HS về nhà tìm thêm cách khác
b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2
= (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1)
c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30)
= x(x2 – 9) – 10 (x + 3)


= (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10)
= (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)]
= (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)]
= (x + 3)(x – 5)(x + 2)
Bài 4: Phân tích thành nhân tử
a) a4 + 64
Dạng a2 + b2 nên ta thêm và bớt hạng tử
nào để xuất hiện một hằng đẳng thức
b) x5 – x4 - 1

c) a3 + b3 + c3 - 3abc
Ta đã có a3 + b3, vậy nên thêm bớt các
hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức
Hãy phân tích đa thức trên thành nhân tử
Bài 5: Phân tích thành nhân tử
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
Ta sử dụng phương pháp nào để phân
tích

b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Yc HS làm tương tự như câu a

Bài 6:
a) Cho a + b + c = 0 c/m rằng:
a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
Từ a + b + c = 0 ⇒ ?

thêm và bớt 2ab ta có;
a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2
= (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8)
b) x5 – x4 – 1
= (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1)
= x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x3 - x - 1)
HS suy nghĩ, trả lời
c) a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc)
= (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c)
= (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c)
= (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc)
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
= (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*)
Đặt (x2 + x ) = y ta có
(*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16
= (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2)
= (x2 + x +6 )(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)]
= (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)]
= (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2)

b) Đặt y = x2 + 8x + 7 thì x2 + 8x + 15 = y + 8
ta có: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
= y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
= y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1
= (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
a) Từ a + b + c = 0 ⇒ (a + b + c )2 = 0
⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
⇒ (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2
⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
= 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)
⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
= 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). Vì a + b + c = 0


⇒ a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)

b) cho xy ≠ 0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2
a

b

C/m: x = y

b) Từ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
⇒ (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0
⇒ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2
= 0 ⇒ a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0
⇒ (ay – bx)2 = 0 ⇒ ay – bx = 0
⇒ ay = bx ⇒

a b
= (đpcm)
x y

III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) 25x2 – 20xy + 4y2
b) x3 – 4x2 – 9x + 36
c) x2 – 7xy + 10y2
d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
Bài 2: Chứng minh rằng
a) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với ∀n ∈ N

Ngày soạn 22/12/2014
bi 5: h×nh b×nh hµnh – h×nh ch÷ nhËt
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình bình hành và hình chữ nhật
* Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập về Hbh và hcn
* HS có hứng thú và nghiêm túc trong học tập
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại kiến thức bài học:
Kiến
Hình bình hành
Hình chữ nhật
thức
µ =B
µ =C
µ =D
µ = 900

AB // CD
1. Đònh
ABCD là Hcn ⇔ A
ABCD là Hbh ⇔ AD // BC

nghóa
2. Tính
ABCD là Hbh , AC ∩ BD = O
ABCD là Hcn , AC ∩ BD = O
AB = CD, AD = BC
AB = CD, AD = BC
chất
µ µ µ µ
A = C , B = D
⇒
OA = OC, OD = OB
AC = BD


µ µ µ µ
⇒ A
=C,B=D
OA = OC, OD = OB


3. Dấu
hiệu
nhận
biết

AB // CD, AD // BC 
AB = CD, AD = BC 

µ =B
µ ,C
µ =D
µ
A
⇒
OA = OC, OB = OD 

( O = AC ∩ BD) 


ABCD
là Hbh

+
+ ABCD có AB // CD
Và
+ ABCD là Hbh có:
- AC = BD

⇒

ABCD
Là hcn


II. Bài tập vận dụng:

Hoạt động của GV
1. Bài 1:
µ = 1200 . Đường
Cho Hbh ABCD có A
phân giác của góc D đi qua trung điểm
của AB
a) C/m: AB = 2AD
b) Gọi F là trung điểm của CD.
C/m ∆ADF đều, ∆AFC cân
c) C/m AC ⊥ AD
Giải
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có ∆ADE là tam giác gì? Vì sao?
Hãy C/m điều đó

Hãy C/m ∆ADF cân tại A có một góc
600

Hãy C/m ∆AFC cân tại F

Hoạt động của HS
HS ghi đề, vẽ hình
E

A

C

F

D

B

a) ∆ADE là tam giác cân
µ = 1200 , mà ABCD là Hbh nên
Ta có A
µ = 600 ⇒ ADE
·
·
D
= AED
= 300 ⇒ ∆ ADE cân tại A
⇒ AD = AE mà AB = 2 AE
Nên AB = 2AD
b) AB = CD (do ABCD là Hbh)
1

1

mà DF = 2 CD, AD = 2 AB. Suy ra
µ = 600
AD = DF ⇒ ∆ADF cân trại D có D
vậy: ∆ADF là tam giác đều
Ta có AF = DF (do ∆ADF đều)
Mà DF = FC (F là trung điểm của BC)
Suy ra AF = FC ⇒ ∆ AFC cân tại F
·
·
c) ∆ AFC cân tại F ⇒ DFA

(Góc ngoài
= 2FAC
tại đỉnh của tam giác cân)
·
Mà FDA
= 600 (do ∆ADF đều). Suy ra
·
·
FAC
= 300 ⇒ DAC
= 900 hay AC ⊥ AD

Từ ∆ AFC cân tại F ta suy ra điều gì?
Góc DFA bằng hai lần góc nào của ∆
AFC
·
=?
DAC
2. Bài 2:
HS ghi đề, vẽ hình
Cho ∆ ABC và O là điểm thuộc miền
trong của tam giác đó. Gọi D, E, F lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CA và L,
M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB,


OC
Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL,
FM, DN đồng quy
Giải

Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN
đồng quy ta C/m gì?
Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường
chéo của hai hbh có chung một đường
chéo
Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m như
thế nào?
Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì?

A
L
D

F

O

M
B

N
C

E

HS suy nghó , phát biểu
HS ghi nhớ phương pháp c/m
E, F là trung điểm của BC, CA ⇒ EF là đường
trung bình của ∆ ABC suy ra
1

Hai Hbh này có chung đường chéo nào?
Từ đó ta có kết luận gì?
Những Hbh nào có tâm trùng nhau?

3. Bài 3:
Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH ⊥ AC.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH,
CD. Chứng minh BE ⊥ EF
Giải
Gọi K là trung điểm của AB ta có điều
gì? Vì sao?

EF // AB, EF = 2 AB (1)
Tương tự LM là đường trung bình của ∆ OAB
1

suy ra LM // AB, LM = 2 AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFLM là Hbh
C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh
(Vì có NE //= LD)
Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường
chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng
quy tại trung điểm của LE
Hay ba Hbh EFLM , NFDM và NLDE có tâm
trùng nhau
HS ghi đề, vẽ
hình

F

D

H
E

Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao?

EI có tính chất gì? Vì sao?

C

I

Gọi K là trung
A
K
B
điểm của AB ta
có EK // HB (Vì EK là đường trung bình của
∆ AHB) mà BH ⊥ AC ⇒ EK ⊥ AC suy ra
·
CEK
= 900
⇒ ∆ CEK vuông tại E

Tứ giác BCFK có BK //= CF và có
µ = 900 nên là hình chữ nhật nên hai đường
B

∆ BFE là tam giác gì? Vìa sao?

4. Bài 4:
Cho ∆ ABC cân tại A. Từ điểm D trên
BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB,
AC lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ
nhật BDEH và CDFK
a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng hàng
b) C/m: A là trung điểm của HK
c) Goi I, J theo thứ tự là tâm của các
hình chữ nhật BDEH và CDFK. Tìm tập
hợp trung điểm M của đoạn thẳng IJ khi
D di động trên BC
Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì?
Hãy C/m AH, AK cùng song song với
một đường thẳng nào ?
Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như thế
nào?
Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật
BDEH và CDFK và M là trung điểm của
IJ ta suy ra điều gì?
Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra điều
gì
Có cách C/m nào khác?
Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m
A là trung điểm của HK ta C/m gì?
Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là
trung điểm của DH để ⇒ AH = AK
Kẻ MN ⊥ BC và đường cao AG thì MN

có tính chất gì?
M cách BC một khoảng không đổi thì m
nằm trên đường nào?

chéo BF và CK cắt nhau tại I và BF = CK
⇒ I là trung điểm của BF , CK ⇒ EI là trung
tuyến thuộc cạnh huyền CK của ∆ CEK
⇒ EI =

1
1
CK = BF
2
2

∆ BFE có trung tuyến EI =

1
BF nên là tam
2

giác vuông tại E ⇒ BE ⊥ EF
HS ghi đề , vẽ
hình

H

F

A

I
P

E
M

K
Q
J

B

G N D

C

HS phát biểu
C/m AH, AK cùng song song với IJ
HS nêu cách c/m
Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH
và CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra
MI và MJ lần lượt là đường trung bình của
các tam giác AHD và AKD
Nên MI // AH và MJ // AK hay AH và AK
cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng
hàng (theo tiên đề Ơclít)
HS nêu cách C/m khác
·
·
∆ ABC cân tại A nên ABC

(1)
= ACB
I là tâm của hcn BDEH nên suy ra ∆ BID cân
·
·
·
·
tại I ⇒ BDI
hay ABD
(2)
= DBI
= BDI
Từ (1) và (2) suy ra AB // DK mà IH = ID
nên AH = AK mà A, H, K thẳng hàng nên A
là trung điểm của HK
c) Kẻ MN ⊥ BC (N ∈ BC); đường cao AG ta
có MN =

1
AH (vì MN là đường trung bình
2


của ∆ ADG )không đổi, nên M nằm trên
đường thẳng song song với BC và cách BC
1
AH không đổi chính là
2
đường trung bình PQ của ∆ ABC (PQ // BC)

một khoảng bằng

Ngày soạn 15/1/2015

BUỔI 6 – PHÉP CHIA ĐA THỨC

A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức
* Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán
khác
* Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học tập và vận dụng vào thực tiễ
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại một số kiến thức:
1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong A chia hết cho luỹ thừa
cùng biến đó trong B
2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q
3. Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B khi R = 0 ; A không chia hết cho b khi R ≠ 0
II. Xác đònh hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B:
1. Phương pháp:
1.1- Cách 1: + Chia A cho B được thương là Q, dư là R
+ Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng bằng đồng nhất thức
2.1- Cách 2: Dùng hệ số bất đònh
Đa thức bò chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo thương có bậc là m – n
Nếu gọi thương là xm – n + C (C là một đa thức chưa xác đònh) Thì A = (xm – n + C ). B
A chia hết cho B khi hệ số của cùng một luỹ thừa ở hai vế phải bằng nhau
3.1 - Cách 3: dùng giá trò riêng (chỉ áp dụng khi đa thức bò chia có nghiệm)
Gọi thương của phép chia A cho B là C thì A = B.C
Tìm một giá trò của biến để C = 0 rồi dùng hệ số bất đònh để xác đònh hệ số
III. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
III.1 - Dạng 1:
HS ghi đề , tìm cách giải
Bài 1: xác đònh a, b để A(x) = x3 + ax + b


chia hết cho B(x) = x2 + x – 2
Hãy thực hiện phép chia A(x) cho B(x)
Để A(x) chia hết cho B(x) thì phải có Đk gì
Hãy dùng hệ số bất dònh để tìm a và b
Thử lại xem có đúng không
Bài 2: Tìm a, b ∈ Q để A = x4 + ax + b chia
hết cho B = x2 – 4
Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức nào?

Đẳng thức xẩy ra với ∀x ∈ Q nên ta có điều
gì?
Hãy tìm a, b, c tương ứng
III.2 – Dạng 2: Các bài toán chứng minh
1. Bài 1: Chứng minh đònh lí Bơ-du
“ Số dư trong phép chia f(x) cho nhò thức
x – a bằng giá trò đa thức ấy tại x = a”
Nếu gọi thương là q(x) dư là r thì f(x) = ?
Khi x = a thì f(x) = ?
2. Bài 2: chứng minh rằng:
(x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 M x – 1
p dụng đònh lí Bơ- du ta có điều gì?

HS thực hiện phép chia:
x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b

-2
Để A(x) M B(x) ⇔ (a + 3)x + b - 2 = 0
a + 3 = 0
a = - 3
⇔
⇔
b - 2 = 0
b = 2

HS thử lại:

HS ghi đề và tìm cách giải
Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức
x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c )
⇔ x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c
Đẳng thức xẩy ra với ∀x ∈ Q nên
a = 0
a = 0


c − 4 = 0 ⇔ c = 4
b = −4c
b = −16



HS tiếp cận yêu cầu
Ta có f(x) = (x – a). q(x) + r
Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r
⇒ f(x) = r (số dư của f(x) : (x – a))

HS tiếp cận đề bài
Ta có: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2
= (x – 1). Q(x) + r (đònh lí Bơ-du)
f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 – 2 = 0
⇒ (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 M x – 1

3. Bài 3: Chứng minh rằng
Với m, n ∈ Z thì: A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia
HS tiếp cận đề bài
hết cho B = x2 + x + 1
Để C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia hết
HS phát biểu:
cho B = x2 + x + 1 ta C/m A M(x3 – 1)
Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) M (x2 + x +
Vì sao? Để C/m điều này ta làm thế nào?
1)
3m
3
3m – 1
3m – 2
A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x +
x – 1 = (x – 1)(x
+x
+ … + 1) có


chia hết cho x3 – 1?
Tương tự ta có kết luận gì?

III. 3- Dạng 3: Các bài toán khác

1. Bài 1: Tìm số dư của phép chia
A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho
B(x) = x2 – 1
Gọi thương là Q(x) , dư là R(x) = ?
Khi đó A(x) =?
Đẳng thức đúng với mọi x nên ta có điều gì?

1)
= x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1)
x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1)
chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho
x2 + x + 1 ⇒ x(x3m – 1) M x2 + x + 1 (1)
Tương tự: x2 (x3n – 1) M x2 + x + 1 (2)
Và x2 + x + 1 M x2 + x + 1 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm

Gọi thương là Q(x), dư là R(x) = ax + b ta
có: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b
Đẳng thức đúng với mọi x nên x2 – 1 = 0
⇒ x = 1 hoặc x = -1
 A(1) = a + b
51 = a + b
 a = 25
⇔
⇔

 A(-1) = - a + b
1=-a+b
 b = 26

Vậy R(x) = 25x + 26
2. Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia
x – 3 thì dư 2; chia x + 4 thì dư 9 và chia cho
x2 + x – 12 được thương là x2 + 3 còn dư
* So sánh x2 + x – 12 với (x + 3)(x + 4) ?
Gọi dư của f(x) : (x2 + x – 12 ) là ax + b
Thương của f(x) chia cho x + 3; x + 4 lần
lượt là p(x), q(x) ta có điều gì?
Từ (1) và (3) suy ra điều gì?
Từ (2) và (3) suy ra điều gì?
Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ?
Vậy đa thức cần tìm là đa thức nào?

HS ghi đề bài
x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4)
HS phát biểu
f(x) = (x - 3).p(x) + 2
(1)

(2)
f(x) = (x + 4).q(x) + 9
f(x) = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3)


Từ (1) ⇒ f(3) = 2 ; từ (3) ⇒ f(3) = 3a + b
⇒ 3a + b = 2 (4)
Từ (2) và (3) sy ra : -4a + b = 9 (5)
Từ (4) và (5) suy ra: a = -1; b = 5
Vậy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5

= x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31

III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Xác đònh a; b để
a) A = x4 + a x2 + b chia hết cho B = x2 + x + 1
b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 có dư là R = 2x – 3
c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dư - 6 và chia R = x – 2 dư 21


Bài 2: Chưng minh rằng
a) mn(m2 – n2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n
b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
Bài 3:
a)Tìm số dư trong phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11
b) Tìm số nguyên x để giá trò biểu thức A = x3 – 3x2 – 3x – 1 chia hết cho giá trò biểu
thức B = x2 + x + 1

Ngày soạn 16/1/2015

BUỔI 7 – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận
biết
* Vận dụng tính chất của hình thoi và hình vuông vào các bài toán chứng minh các
đoạn thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng vuông góc, song song,…
* Nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho HS
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Hệ thống kiến thức:
Hình thoi
Hình vuông

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc
Đònh Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
bằng nhau
nghóa
- Các cạnh đối song somg, bằng nhau - Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
Tính - Hai đường chéo vuông góc với nhau - Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc
chất tại trung điểm mỗi đường, là trục đói với nhau tại trung điểm mỗi đường, là
xứng của hình thoi
trục đói xứng của hình vuông
- mỗi đường chéo là phân giác của
- mỗi đường chéo là phân giác của hai
hai góc đối nhau
góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai
- Tâm đối xứng là giao điểm hai đường
đường chéo
chéo
- Đường trung bình là trục đối xứng
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Tứ giác có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau
- Hbh có 2 cạnh kề bằng nhau
- hình thoi có 1 góc vuông


Dấu
hiệu
nhận
biết

- Hbh có 2 đường chéo vuông góc với
nhau
- hbh có đường chéo là tia phân giác
của 1 góc

II. Hệ thống Bài tập
Bài 1:
Cho hình thang cân ABCD AB // CD,
AB < CD. Gọi M, N, P , Q lần lượt là
trung điểm của CD, AB, DB, CA
·
a) C/m: NM là tia phân giác của PNQ
b) Tính số đo các góc của tứ giác
MPNQ biết các góc nhọn của hình
µ = 500
thang ABCD là Cµ = D
c) Hình thang ABCD thoã mãn điều
kiện gì thì tứ giác MPNQ là hình
vuông?
* Để C/m MN là tia phân giác của
·
PNQ

Ta cần C/m gì?
Để C/m MPNQ là hình thoi ta C/m như
thế nào?
Hãy C/m MPNQ là Hình bình hành
Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa
song song vừa bằng nhau, đó là hai

cạnh nào?
Hãy C/m NP //= MQ ?

C/m MP = MQ để suy ra H.b.h MPNQ
là hình thoi
MPNQ là hình thoi ta suy ra điều gì ?

·
CMQ
bằng góc nào? Vì sao?
·
bằng góc nào? Vì sao?
PMD

- hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông
góc với nhau
- Hình chữ nhật có đường chéo là tia
phân giác của 1 góc

HS ghi đề và vẽ hình

A

/

N

Q

P
D

//

B

/

M

//

C

Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi
C/m MPNQ là hình bình hành có hai cạnh kề
bằng nhau
Từ GT ⇒ NP là đường trung bình của ∆ ADE
1
AD (1)
2
MQ là đường trung bình của ∆ ADC nên
1
MQ // AD và MQ = AD (2)
2
Từ (1) và (2) ⇒ NP // MQ và NP = MQ suy ra

nên NP // AD và NP =

tứ giác MPNQ là H.b.h
Mặt khác MP =

1
1
CB = AD (Vì AD = CB).
2
2

Suy ra MP = MQ ⇒ MPNQ là hình thoi (H.b.h
có 2 cạnh kề bằng nhau) ⇒ NM là tia phân
·
giác của PNQ
·
·
= CMQ
= 500 (3)
b) MQ // AD ⇒ ADC
·
·
MP // CE ⇒ ECD
= PMD
= 500 (4)


·
·
·
=?

CMQ
+ PMD
= ? ⇒ PNQ
·
·
MPN
= MQN
=?

Hình thoi MPNQ là hình vuông khi
nào?

·
·
+ PMD
= 1000
Từ (3) và (4) ⇒ CMQ
·
·
·
·
⇒ PMQ
= 800 ⇒ PNQ
= 800 ⇒ MPN
= MQN
= 1000

c) Hình thoi MPNQ là hình vuông

·

·
·
⇔ PMQ
= 900 ⇔ CMQ
+ PMD
= 900
µ +D
µ = 900 ⇔ C
µ =D
µ = 45 0
⇔ C
µ = 45 0 thì
Vậy: Hình thang cân ABCD có Cµ = D

tứ giác MPNQ là
hình vuông

Bài 2:
Cho ∆ ABC vuông cân tại B. từ điểm
HS ghi đề bài và vẽ
D thuộc cạnh AB vẽ DE ⊥ AC tại E,
tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q hình
lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC,
CA
Chứng minh MNPQ là hình vuông
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông
ta cần C/m điều gì?
Để C/m tứ giác MNPQ là hình chữ
nhật ta cần C/m gì?
Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình bình

hành?

Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ nhật
thì ta C/m gì?
·
Hãy C/m MNP
= 900

E

M

Q

D
N
F

B

P

C

Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta cần
C/m MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình
thoi
MNPQ là hình bình hành có một góc vuông
Từ Gt ⇒ MN là đường trung bình của ∆ FCA
⇒ MN // FA và MN =

1
FA (1)
2

Tương tự ta có: PQ // FA và PQ =

1
FA (2)
2

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là H.b.h
Mặt khác D là giao điểm của 2 đường cao AB
và FE của ∆ FAC nên CD là đường cao còn lại
của ∆ FAC ⇒ CD ⊥ FA ⇒ PN ⊥ FA
·
⇒ PN ⊥ MN (Vì MN // FA) ⇒ MNP
= 900
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (*)
µ = 450 ( ∆ ABC vuông
∆ FCE vuông tại E và có C
cân tại A) ⇒ ∆ FCE vuông cân tại E
⇒ ∆ DBF vuông cân tại B ⇒ BD = BF nên suy
ra ∆ ABF = ∆ CBD ⇒ FA = CD
Mặt khác NP là đường trung bình của ∆ FCD,
nên NP =

Hãy C/m H.b.h MNPQ là hình thoi

A

1
1
CD = FA = MN ⇒ hình bình
2
2

hành MNPQ là hình thoi (**)


bằng cách C/m NP = MN

Bài 3:
Cho hình vuông ABCD, gọi I, K lần
lượt là trung điểm của AD, DC; E là
giao điểm của BI và AK
a) chứng minh: BI ⊥ AK
b) Chứng minh CE = AB
c) So sánh AK, BI, BK
·
d) C/m: BD là phân giác của IBK
* Để C/m BI ⊥ AK ta C/m gì?

Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là hình vuông
HS ghi đề và vẽ
hình

A

/

1
_
1

I

F

/
M 1

B

/

C

E

_
D

/

K

a) HS suy nghó, trả lời:
µ 1 + $I1 = 900
C/m A
µ 1 + $I1 = 900 do ∆ ABI vuông tại A

B
Ta cần C/m ∆ AIB = ∆ DKA
µ 1 + $I1 = 900 ta C/m A
µ 1 bằng
Vì có AB = DA (ABCD là hình vuông)
Để C/m A
AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD)
góc nào? Vì sao?
µ =D
µ = 900 ⇒ ∆ AIB = ∆ DKA(c.g.c)
A
µ1 = A
µ 1 mà B
µ 1 + $I1 = 900 ⇒ A
µ 1 + $I1 = 900
⇒B
µ 1 + $I1 = 900 ⇒ AEI
·
ta có A
= 900 ⇒ BI ⊥ AK
Hãy C/m ∆ AIB = ∆ DKA?
b) Gọi F là trung điểm AB
⇒ AKCF là H.b.h vì có FA //= CK
⇒ AK // CF ⇒ CM ⊥ BE hay CM là đường
Để C/m CE = AB ta C/m gì?
cao của của ∆ BCE (1)
AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m
F là trung điểm AB mà MF // AK nên M là
CE = CB bằng cách C/m hai tam giác
nào bằng nhau? Hay tam giác nào cân? trung điển BE hay CM là đường trung tuyến

của ∆ BCE (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆ BCE cân tại B suy ra
CE = CB mà CB = AB nên CE = AB
c) BI = AK (do ∆ AIB = ∆ DKA(c.g.c)- C/m ở
câu a) . ∆ IDB = ∆ KDB (c.g.c) vì có: ID = KD
·
·
(nửa cạnh hình vuông ABCD); IDB
= KDB
= 450
AK = BI? Vì sao?
(đường chéo DB là phân giác của góc D); DB
Ta cần C/m gì? (AK = BK hoặc BI =
chung ⇒ BI = BK
BK)
Vậy: AK = BI = BK
·
·
d) ∆ IDB = ∆ KDB (c.g.c) nên IBD
hay
= KBD
·
BD là tia phân giác của IBK
·
·
hay không? Vì sao?
IBD
= KBD

III. Bài tập về nhà:
·
= 900 , tia Ax cắt CD
Bài 1:Cho hình vuông ABCD . Từ điểm E trên cạnh BC dựng EAx
tại F. Gọi I là trung điểm FE, AI cắt CD tại M. Vẽ Ey // CD, Ey cắt AI tại K
a) Tam giác AFE là tam giác gì? Vì sao?
b) Tứ giác KFME là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh chu vi CEM không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 2: Cho ABCD là hình vuông. Gọi M, N, I, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA; DN lần lượt cắt AI, CM tại K và P; BL cắt AI, CM tại H và Q
a) Chứng minh PA = DA
b) Tứ giác KPQH là hình gì? Vì sao?

Ngày soạn 1/2/2015

BUỔI 8 – RÚT GỌN PHÂN THỨC

A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về rút gọn phân thức, qua đó tiếp tục rèn luyện
thêm về kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
* Tiếp tục rèn luyyện cho HS kỹ năng tìm nhân tử chung để rút going phân thức
* Khắc sâu và vận dụng thành thạo kỹ năng rút gọn phân thức ở mức độ cao hơn
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC:
* Các bước rút gọn phân thức:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
+ Tìm nhân tử chung
+ chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
* Quy tắc đổi dấu

A -A
A -A
 A A
=
;− =
; −  − B ÷= B
B -B
B
B



II. BÀI TẬP:
Hoạt động của GV
Bài 1: Rút gọn phân các thức
4a 2 + 12a + 9
a)
2a 2 − a − 6
Ta làm thế nào để rút gon phân
thức đã cho?
Phân tích tử và mẫu như thế nào?

Hoạt động của HS
HS ghi đề và tìm cách giải
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, tìm nhân
tử chung rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử
chung đó


Tìm nhân tử chung rồi rút gọnh

phân thức đã cho
b)

x 2 - xy + 2x - 2y
x 2 - y2 + x - y

Goi HS lên bảng trình bày
3x 3 - 7x 2 + 5x - 1
c)
2x 3 - x 2 - 4x + 3

Cho HS cả lớp giải ít phút
Gọi 1 HS lên bảng trình bày
Nếu HS chưa thực hiện được thì gợi
ý:
Tử và mẫu là 2 đa thức bậc 3 có
dạng đặc biệt nào? Có nhân tử nào?
Tách tử và mẫu để làm xuất hiện
nhân tử là x – 1

a 4 - 3a 2 + 1
d) 4 2
a - a - 2a - 1

Áp dụng phương pháp tách hạng tử
để phân tích tử và mẫu thành nhân
tử
Tìm nhân tử chung rồi rút gọn phân
thức

x 4 + x3 + x + 1
e) 4
x − x3 + 2 x 2 − x + 1

HS phân tích tử và mẫu thành nhân
tử
Bằng phương pháp tách hạng tử và
các phương pháp bổ sung đã học
Tìm nhân tử chung rồi rút gọn phân
thức

( 2a + 3) = 2a + 3
4a 2 + 12a + 9
=
( 2a + 3)( a − 2) a − 2
2a 2 − a − 6
2

a)

x(x - y) + 2(x - y)
x 2 - xy + 2x - 2y
b) x 2 - y2 + x - y = (x - y)(x + y) + (x - y)
(x - y)(x + 2)
x+2
=
=
(x - y)(x + y + 1) x + y + 1

HS ghi đề, tiến hành giải

1HS lên bảng trình bày
HS ghi đề bài và tiến hành giải tại lớp
Tử và mẫu là 2 đa thức bậc 3 có dạng 2 đa
thức có tổng các hệ số bằng 0 nên có nhân tử
là x – 1
HS thực hiện:
3x 3 - 7x 2 + 5x - 1
2x 3 - x 2 - 4x + 3
(3x 3 - 3x 2 ) − (4x 2 − 4x) + (x - 1)
=
2x 3 - 2x 2 + (x 2 - x) - (3x - 3)
3x 2 (x - 1) − 4x(x −1) + (x - 1) (x - 1)(3x 2 − 4x + 1)
=
= 2
2x (x - 1) + x(x - 1) - 3 (x - 1)
(x - 1)(2x 2 + x - 3)
3x 2 − 4x + 1 (3x 2 − 3x) - (x - 1)
3x - 1
= 2x 2 + x - 3 = (2x 2 - 2x) + (3x - 3) = ... = 2x + 3

HS ghi đề bài

a 2 − 1) − a 2
(
a 4 - 3a 2 + 1
(a 4 - 2a 2 + 1) - a 2
= 4
= 4
2
a 4 - a 2 - 2a - 1

a - (a 2 + 2a + 1)
a − ( a + 1)
2

=

(a

2

− 1) − a 2 ( a 2 + a − 1) ( a 2 - a - 1)
2

a 4 − ( a + 1)

2

(a

2

+ a + 1) ( a 2 - a - 1)

=

a2 + a −1
a 2 + a +1

HS ghi đề bài, phân tích tử và mẫu thành nhân
x 4 + x3 + x + 1

x 4 + x3 + x + 1
=
tử: 4 3
x − x + 2 x 2 − x + 1 x 4 − x3 + x 2 + x 2 − x + 1


=
ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)

f) a(b 2 - c 2 ) + b(c2 - a 2 ) + c(a 2 - b 2 )
Hãy phân tích tử và mẫu thành
nhân tử ( phân tích tử xong rồi đến
mẫu)

=

x 3 ( x + 1) + ( x + 1)

x 2 ( x 2 − x + 1) + ( x 2 − x + 1)

(x

( x + 1) ( x 3 +1)
2

− x + 1) ( x 2 + 1)

( x + 1)
=

(x

2

=

( x + 1)

(x

2

2

(x

2

− x + 1)

− x + 1) ( x 2 + 1)

2

+ 1)

HS ghi đề
Phân tích tử: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
= ab(a – b) – bc[(a – b) + (c – a)] + ca(c – a)
= [ab(a – b) – bc(a – b)]+[bc(c – a) + ca(c –

a)] = …= (a – b)(b – c) (a – c)
Phân tích mẫu:
a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2)
= … = (a – b)(b – c) (a – c)
Bài 2: Chứng minh rằng với ∀n ∈ Z
15n 2 + 8n + 6
thì phân số: a)
tối
30n 2 + 21n + 13

giản
Để C/m 1 phân số tối giản ta làm
thế nào?
Để C/m ƯCLN của tử và mẫu bằng
1 ta làm thế nào?
Gọi ƯCLN(15n2 + 8n + 6; 30n2 +
21n + 13) = d (d ≥ 1) ta có điều gì?
15n2 + 8n + 6 có thể phân tích thành
tổng có chứa nhân tử (5n + 1) như
thế nào?
Từ đó ta suy ra điều gì?
1 + n 2 + n7
b)
không tối giản
1 + n + n8

Để C/m phân số không tối giản ta
làm thế nào
Hãy phân tích tử và mẫu thành
nhân tử để tìm nhân tử chung

ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
a(b 2 - c 2 ) + b(c 2 - a 2 ) + c(a 2 - b 2 )
(a - b)(b - c) (a - c)
= (a - b)(b - c) (a - c) = 1

Nên:

HS tiếp cận đề bài
Để C/m 1 phân số tối giản ta C/m ƯCLN của
tử và mẫu bằng 1
Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d ≥ 1)
ta C/m d = 1
(15n2 + 8n + 6) M d và (30n2 + 21n + 13) M d
hay [2 (15n2 + 8n + 6 ) + 5n + 1] M d
⇒ 5n + 1 M d
Mà 15n2 + 8n + 6 = [(3n + 1)(5n + 1) + 5] M d
⇒ 5 M d ⇒ 5n M d mà 5n + 1 M d ⇒ 1 M d ⇒ d = 1
Hay 15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13 nguyên tố
cùng nhau nên phân số

15n 2 + 8n + 6
tối giản
30n 2 + 21n + 13

Để C/m phân số không tối giản ta C/m tử và
mẫu có ƯC khác 1


Ta có: 1 + n + n = (1 + n + n ) + n(n − 1)

2
3
3
= (1 + n + n ) + n(n + 1)(n − 1)
2
4
5
=…….= (1 + n + n 2 )(1 − n + n − n + n )
7

1 + n + n2 lớn hơn 1 không? Vì sao?
Vậy ta có kết luận gì?

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: rút gọn các phân thức sau:
2a 3 − 12a 2 + 17a − 2
a)
a−2

2

6

1 + n + n8 = (1 + n + n 2 ) + n 2 ( n 6 − 1)

= (1 + n + n ) + n (n + 1)(n − 1)
2
3
5
6

=…….= (1 + n + n 2 )(1 − n + n − n + n )
Với n nguyên dương thì 1 + n + n 2 > 1
Suy ra tử và mẫu của phân số có ƯC lớn hơn
2

2

3

3

1 + n 2 + n7
1 nên phân số
không tối giản
1 + n + n8

x5 − 2 x 4 + 2 x3 − 4 x 2 + 3x + 6
b)
x2 + 2 x − 8

x3 − 7 x − 6
c) 2
x ( x − 3) 2 + 4 x (3 − x) 2 + 4( x − 3) 2

Bài 2: Chứng minh rằng :
6 + 8 x + 15 x 2
phân số
tối giản với mọi x nguyên dương
13 + 21x + 30 x 2