Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
BUI 1 : HNG NG THC

A. MC TIấU:
* Cng c v nõng cao kin thc v phộp nhõn a thc hng ng thc
* Tip tc rốn luyn k nng gii cỏc bi toỏn v phộp nhõn a thc hng ng thc
* To hng thỳ cho HS trong quỏ trỡnh hc nõng cao mụn toỏn
B. HOT NG DY HC:
I. Nhắc lại nội dung bài học:
1. Nhân đa thức với đa thức:
A( B + C + D) = AB + AC + AD
(A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE
2.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
Bình phơng một tổng: ( A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(1)
Bình phơng một hiệu: ( A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
(2)
Hiệu hai bình phơng: A
2
B
2

= (A + B)(A B) (3)
II. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
1. Bài 1: Rút gọn biểu thức
a) (x + 1) (x
2
+ 2x + 4)
Thực hiện phép nhân rồi rút gọn
b) (x
2
+ x + 1)(x
5
x
4
+ x
2
x + 1)
c) (3x + 1)
2
2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)
2
Bài 2: Tìm x biết:
3(x + 2)
2
+ (2x 1)
2
7(x + 3)(x - 3) =
172
áp dụng các H.đẳng thức nào để giải
Biến đổi, rút gọn vế trái

Bài 3:
Cho x + y = a; xy = b. tính giá trị các biểu
thức sau theo a và b:
x
2
+ y
2
; x
4
+ y
4
Bài 4: chứng minh rằng
a) (x + y)(x
3
x
2
y + xy
2
y
3
) = x
4
y
4
HS ghi đề, thực hiện theo nhóm
HS cùng GV thực hiện lời giải
a) (x + 1) (x
2
+ 2x + 4) =x
3

+ 2x
2
+ 4x + x
2
+
2x + 4 = x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
b) (x
2
+ x + 1)(x
5
x
4
+ x
2
x + 1)
= = x
7
+ x
2
+ 1
c) (3x + 1)
2
2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)
2
= [(3x + 1) (3x + 5)]
2

= (3x + 1 3x
5)
2
= (- 4)
2
= 16
HS ghi đề bài
giải theo nhóm ít phút
áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3)
3(x + 2)
2
+ (2x 1)
2
7(x + 3)(x - 3) =
172

3(x
2
+ 4x + 4) + 4x
2
4x + 1 7(x
2

9) = 172

.

8x = 96

x = 12

HS ghi đề bài, tiến hành bài giải
Ta có x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = a
2
2b
x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
2(xy)
2

= (a
2
2b)
2
2b
2
= a

4
- 4a
2
b + 2b
2

HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV
a)VT = (x + y)(x
3
x
2
y + xy
2
y
3
)
= x
4
x
3
y + x
2
y
2
xy
3
+x
3
y - x
2

y
2
+ xy
3
-
1
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
b) Nếu: (a + b)
2
= 2(a
2
+ b
2
) thì: a = b
Từ (a + b)
2
= 2(a
2
+ b
2
) suy ra điều gì?
c) Nếu: x + y + z = 0 và
xy + yz + zx = 0 thì x = y = z
Từ : x + y + z = 0

(x + y + z)
2
=?
Từ đo ta có điều gì?
d) cho a + b + c = 0 và a

2
+ b
2
+ c
2
= 2
c/m: a
4
+ b
4
+ c
4
= 2
HD cách giải tơng tự
Bài 5:
So sánh:
a) A = 1997 . 1999 và B = 1998
2
b)A = 4(3
2
+ 1)(3
4
+ 1) (3
64
+ 1)
và B = 3
128
- 1
Tính 4 theo 3
2

1?
Khi đó A = ?
áp dụng hằng đẳng thức nào liên tiếp để so
sánh A và B
Bài 6:
a) Cho a = 11 1( co n chữ số 1)
b = 100 05( có n 1 chữ số 0)
Cmr: ab + 1 là số chính phơng
b) Cho U
n
= 11 155 5 (có n chữ số 1 và n
chữ số 5)
Cmr: U
n
+ 1 là số chính phơng
y
4
= x
4
y
4
= VP (đpcm)
b) Từ (a + b)
2
= 2(a
2
+ b
2
) suy ra
a

2
+ 2ab + b
2
= 2a
2
+ 2b
2


a
2
- 2ab + b
2
= 0

(a b)
2
= 0

a b = 0

a = b
(đpcm)
c) Từ : x + y + z = 0

(x + y + z)
2
= 0

x

2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = 0

x
2
+ y
2
+ z
2
= 0 ( vì xy + yz + zx = 0)

x = y = z
d) Từ a + b + c = 0

(a + b + c )
2
= 0

a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 0

ab + bc + ca = -1 (1)
Ta lại có:
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
= a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+
c
2
a
2
) = 4 (2)

Từ (1)

(ab + bc + ca)
2
= 1

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
= 1 (3)
Từ (2) và (3) suy ra a
4
+ b
4
+ c
4
= 2
a) A = 1997 . 1999 = (1998 1)(1998 + 1)
= 1998
2
1 < 1998

2


A < B
b) Vì 4 =
2
3 1
2

nên
A = 4(3
2
+ 1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1) (3
64
+ 1)
=
2
3 1
2

(3
2
+ 1)(3
4
+ 1)(3
8

+ 1) (3
64
+ 1)
=
1
2
(3
4
- 1) (3
4
+ 1)(3
8
+ 1) (3
64
+ 1)
=
1
2
(3
8
- 1)(3
8
+ 1) (3
64
+ 1)
=
1
2
(3
16

- 1)(3
16
+ 1)(3
32
+ 1)(3
64
+ 1)
=
1
2
(3
32
- 1)(3
32
+ 1)(3
64
+ 1)
=
1
2
(3
64
- 1)(3
64
+ 1) =
1
2
(3
128
- 1) =

1
2
B
Vậy: A < B
Ta có: b = 10
n
+ 5 = 9 .9 + 6
= 9(1 1) + 6 = 9a + 6

ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a
2
+ 6a +1
= (3a + 1)
2
là một số chính phơng
Ta viết:
2
U
n
=
n số 1
n số 5
+
n số 0
n số 1
n số 5
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
=
= 11 1.10…
n

+ 5. 11 1…
§Æt: a = 11 1 th× 9a + 1 = 10…
n
Do ®ã : U
n
+ 1 = 9a
2
+ 6a +1 =(3a + 1)
2

III. Bài tập về nhà:
Bài 1:
cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x
2
+ y
2
+ 2xy – 4x – 4y + 1
Bài 2:
Chứng minh rằng: x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x
2
+ xy + y
2
)
2

Bài 3:
Cho (a + b + c)
2
= 3(a
2
+ b
2
+ c
2
). Cmr: a = b = c
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n và n
2
củng là tổng của hai số chính
phương
Bài 5: So sánh:
A =
x y
x y
−
+
với B =
2 2
2 2
x y
x y
−
+
(Víi 0 < y < x )
3

Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
BUI 2 : HNG NG THC ( Tip)
A. MC TIấU:
* Cng c v nõng cao kin thc v hng ng thc
* Tip tc rốn luyn k nng gii cỏc bi toỏn v hng ng thc
* To hng thỳ cho HS trong quỏ trỡnh hc nõng cao mụn toỏn
B. HOT NG DY HC:
I. Nhc li ni dung bi hc:
Nhng hng ng thc ỏng nh:
Bỡnh phng mt tng: ( A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(1)
Bỡnh phng mt hiu: ( A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
(2)
Hiu hai bỡnh phng: A
2
B
2
= (A + B)(A B) (3)
Lp phng mt tng: (A + B)
3

= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(4)
Lp phng mt hiu: (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
(5)
Tng hai lp phng: A
3
+ B
3
= ( A + B )( A
2
AB + B
2
) (6)
Hiu hai lp phng: A

3
B
3
= ( A B )( A
2
+ AB + B
2
) (7)
Bình phơng tổng ba hạng tử: (A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB + AC + BC)
II. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) (x - 2)
3
- x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải
Ta thực hiện phép tính nh thế nào?
b) (x - 2)(x
2
- 2x + 4)(x + 2)(x
2
+ 2x + 4)

Ta nên thực hiện phép tính nh thế nào?
Bài 2: Tìm x biết
(x - 3)(x
2
+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
Để tìm x ta làm thế nào?
Bài 3: Viết biểu thức sau dới dạng tổng
của ba bình phơng:
A = (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải
HS ghi đề, tiến hành bài giải
1HS lên giải
a) (x - 2)
3
- x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3)
= = 5x - 8
HS thực hiện, 1HS lên giải
b) (x - 2)(x
2
- 2x + 4)(x + 2)(x
2
+ 2x + 4)
= (x - 2)(x

2
+ 2x + 4)(x + 2)(x
2
- 2x + 4)
= (x
3
- 8)(x
3
+ 8) = x
6
- 64
HS ghi đề, tiến hành bài giải
Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái
1HS lên bảng giải
(x - 3)(x
2
+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1

x
3
- 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1

x
3
- 27 - x(x
2
- 4) = 1

x
3

- 27 - x
3
+ 4x = 1

4x = 28

x = 7
HS ghi đề, tìm cách giải
Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải đợc
thì theo Hd của GV)
4
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
Nếu HS cha giải đợc thì gợi ý:
Hãy triển khai, tách tổng trên thành ba
tổng có dạng: A
2
+ 2AB + B
2

Bài 4: Tính giá trị Bt khi biết giá tri Bt
khác
a) Cho x + y = 2; x
2
+ y
2
= 10. Tính giá trị
của Bt A = x
3
+ y
3

Cho HS giải
Viết A thành tích
Để tính giá trị của A ta cần tính xy.
Tính xy nh thế nào?
Từ : x + y = 2; x
2
+ y
2
= 10. Hãy tìm cách
tính xy
b) Cho a + b + c = 0 ; a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Tính giá trị của Bt: B = a
4
+ b
4
+ c
4
?
Để có a
4
+ b
4
+ c
4

ta làm thế nào?
Nhiệm vụ bây giờ là làm gì?
Để có (a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) ta phải làm gì?
Khi đó ab + bc + ca = ?
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
= ?
Từ đây, làm thế nào để tính giá trị của Bt

B
Bài 5:
Cho a =
{
2n
1 1
; b =
{
n 1
1 1
+
và c =
{
n
6 6
Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là
một số chính phơng
Để chứng minh một tổng là một số chính
phơng, ta cần c/m gì?
A = a + b + c + 8 = ?
Ta có:
{ {
n n
9
11 1 (11 1)
9
=
. Viết thành luỹ
thừa 10?
A = a

2
+ b
2
+ c
2
+2ab+2bc+ 2 ca+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a
2
+ 2ab+ b
2
) + (a
2
+2ac+ c
2
) + (b
2
+ 2bc+ c
2
)
= (a + b)
2
+ (a + c)
2
+ (b + c)
2

HS giải
A = (x + y)(x
2
+ y
2
- xy) = 2( 10 - xy) (1)
HS suy nghĩ, tìm cách tính xy
Từ x + y = 2

x
2
+ y
2
+ 2xy = 4

xy = - 3 (2)
Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26
HS ghi đề
Bình phơng Bt: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1, ta có
a
4
+ b
4

+ c
4
+ 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) = 1

a
4
+ b
4
+ c
4
= 1 - 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2

+ c
2
a
2
) (1)
Tính: 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
ta phải bình phơng Bt: (ab + bc + ca)
Ta bình phơng Bt: a + b + c = 0, ta có:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 0

ab + bc + ca =
1
2


(ab + bc + ca)
2
=
1
4

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
+ 2(a + b + c) abc =
1
4

a
2
b

2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
=
1
4
(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
B = 1 - 2.
1
4
= 1 -
1
2
=
1
2
HS ghi đề, tìm cách giải
Để chứng minh một tổng là một số chính ph-
ơng, ta cần c/m nó bằng bình phơng của một số
A =
{
2n
1 1

+
{
n 1
1 1
+
+
{
n
6 6
+ 8
=
9
9
(
{
2n
1 1
) +
9
9
(
{
n 1
1 1
+
) + 6(
{
n
1 1
) + 8

=
2n
10 1
9

+
n 1
10 1
9
+

+ 6.
n
10 1
9

+ 8
5
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
Bài 6: Tồn tại hay không các số x, y, z
thoã mãn đẳng thức:
x
2
+ 4y
2
+ z
2
- 4x + 4y - 8z + 23 = 0
Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng
tổng các bình phơng?

Có nhận xét gì về hai vế của đẳng thức?
Ta có kết luận gì?
Ta có thể nói : Biểu thức
A = x
2
+ 4y
2
+ z
2
- 4x + 4y - 8z + 23 có
giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = 2 ; y =
1
2

và
z = 4
=
2n n 1 n
10 10 10 64
9
+
+ + +
=
2n n
10 16.10 64
9
+ +
=
2
2

2
n
n 1
10 8 100 08
33 36
3 3



+

= =
ữ
ữ
ữ



1 2 3
x
2
+ 4y
2
+ z
2
- 4x + 4y - 8z + 23 = 0

(x
2
- 4x+ 4)+(4y

2
+4y+1)+(z
2
- 8z +16)+ 2 = 0

(x - 2)
2
+ (2y + 1)
2
+ (z - 4)
2
+ 2 = 0
Rõ ràng, vế trái của đẳng thức là một số dơng
với mọi x, y, z; còn vế phải bằng 0
Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã mãn đẳng
thức: x
2
+ 4y
2
+ z
2
- 4x + 4y - 8z + 23 = 0
Bi tp v nh
Bi 1: Rỳt gn biu thc:
a) (y - 2)(y + 2)(y
2
+ 4) - (y + 3)(y - 3)(y
2
+ 9)
b) 2(x

2
- xy + y
2
)(x - y)(x
2
+ xy + y
2
)(x + y) - 2(x
6
- y
6
)
Bi 2:
a) Cho x - y = 1. Tớnh giỏ tr Bt: A = x
3
- y
3
- 3xy
b) Cho x + y = a + b; x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Tớnh x
3
+ y
3

theo a v b
Bi 3: Chng minh rng
Nu a + b + c = 0 thỡ a
3
+ b
3
+ c
3
= 3 abc
6
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
7
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
BUI 3 : NG TRUNG BèNH CA TAM GIC, HèNH THANG
A. MC TIấU:
- Cng c v nõng cao kin thc v hỡnh thang, ng trung bỡnh ca tam giỏc, ng
trung bỡnh ca hỡnh thang
- Tip tc rốn luyn k nng chng minh hỡnh hc cho HS
- to nim tin v hng thỳ cho HS trong khi hc nõng cao
B. HOT NG DY HC:
I. Nhc li mt s kin thc bi hc:
1. ng trung bỡnh ca tam giỏc
* on thng ni trung im hai cnh ca tam giỏc
gi l ng trung bỡnh ca tam giỏc
- E l trung im AB, F l trung im AC thi EF l ng trung
bỡnh ca

ABC
- Nu E l trung im AB v EF // BC thỡ F l trung
im AC

- EF l ng trung bỡnh ca

ABC thỡ EF // BC v EF =
1
2
BC
4. ng trung bỡnh ca hỡnh thang:
* on thng ni trung im hai cnh bờn ca hỡnh
thang gi l ng trung bỡnh ca hỡnh thang
+ Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú M l trung im
AD, N l trung im BC thỡ MN l ng trung bỡnh
ca hỡnh thang ABCD
+ Nu MA = MD, MN // CD // AB thỡ NB = NC
+ MN l ng trung bỡnh ca hỡnh thang ABCD
thỡ MN // AB // CD v MN =
1
2
(AB + CD)
II. Bài tập áp dụng:
Bi 1:
Cho

ABC u cnh a. Gi M, N theo
th t l trung im ca AB v AC
a) T giỏc BCMN l hỡnh gỡ? vỡ sao?
b) Tớnh chu vi ca t giỏc BCNM theo a
Cho HS tỡm li gii ớt phỳt
D oỏn dng ca t giỏc BCNM?
c/m t giỏc BCNM l hỡnh thang cõn
ta cn c/m gỡ?

Vỡ sao MN // BC
Vỡ sao
à à
B = C
?
T ú ta cú KL gỡ?
Chu vi hỡnh thang cõn BCNM tớnh nh
HS ghi đề bài
Viết GT, KL, vẽ
hình
HS suy nghĩ, tìm lời
giải
HS dự đoán
c/m: MN // BC và
à à
B = C
Từ GT

MN là đờng trung bình của

ABC

MN // BC (1) và MN =
1
2
BC (2)

ABC đều nên
à à
0

B = C 60=
(3)
Từ (1) và (3) suy ra tứ giác BCNM là hình
thang cân
Chu vi hình thang cân BCNM là
P
BCNM
= BC +BM + MN + NC (4)
BM = NC =
1
2
AB =
1
2
BC =
1
2
a
8
A
B C
E
F
C
N
M
B
A
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
III. Bài tập về nhà:

Bài 1:
Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD,
à
A
= 90
0
); AB = CD =
1
2
AB
kẻ CH

AB, Gọi giao điểm của AC và DH là E, giao điểm của BD và CH là F
a) Tứ giác ADCH là hình gì?
b) C/m : AC

BC
c) EF =
1
2
DC =
1
4
AB
Bài 2:
Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo của hình thang thì song
song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy
BUI 4 PHN TCH A THC THNH NHN T
A. MC TIấU:
* Cng c, khc sõu v nõng cao kin thc v phõn tớch a thc thnh nhõn t

* HS s dng thnh tho cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t
* Vn dng vic phõn tớch a thc thnh nhõn t vo cỏc bi toỏn chng minh, tỡm giỏ tr
ca biu thc, ca bin
B. HOT NG DY HC:
I. Nhắc lại kiến thức bài học:
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
* Phơng pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích
* Phơng pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để làm xuất hiện nhân
tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức
9
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
* Phơng pháp tách hạng tử :
Với đa thức dạng: a x
2
+ bx + c ta làm nh sau:
Viết tích ac = b
1
b
2
= b
3
b
4
= sau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b.
Tách bx = (b
1
x + b
2
x) nếu b = b

1
+ b
2

Khi đó a x
2
+ bx + c = (b
1
x
2
+ b
1
x) + ( b
2
x + b
2
) =
* Phơng pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đa biểu thức cần phân tích thành một biểu thức dễ
phân tích hơn
* Phơng pháp Thêm bớt cùng một hạng tử : Thêm hoặc bớt cùng một hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung hoặc một hằng đẳng thức
* Phối hợp nhiều phơng pháp: sử dụng đồng thời nhiều phơng pháp để phân tích
II. Bài tập vận dụng:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
a) 25x
4
10x
2
y + y

2
áp dụng phơng pháp nào để phân tích đa
thức này
b) 8m
3
+ 36m
2
n + 54mn
2
+ 27n
3
c) (4x
2
3x -18)
2
(4x
2
+ 3x)
2
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) x
4
+ 2x
3
4x - 4
Ta áp dụng phơng pháp nào để phân tích
b) x
3
+2x
2

y x 2y
c) ac
2
x adx bc
2
x + cdx +bdx c
3
x
3. Bài 3: Phân tích thành nhân tử
a) x
2
6x + 8
áp dụng phơng pháp nào để phân tích?
Phân tích bằng cách tách hạng tử nào?
tách nh thế nào?
Có thể tách nh thế nào khác nữa để xuất
hiện hằng đẳng thức rồi tiếp tục phân
tích
HS: áp dụng PP dùng Hđt
25x
4
10x
2
y + y
2
= (5x
2
)
2
2. 5x

2
.y + y
2
= (5x
2
y)
2
b) 8m
3
+ 36m
2
n + 54mn
2
+ 27n
3
= (2m)
3
+ 3.(2m)
2
.3n + 3.2m.(3n)
2
+ (3n)
3
= (2m + 3n)
3
c) (4x
2
3x -18)
2
(4x

2
+ 3x)
2
= [(4x
2
3x -18) (4x
2
+ 3x)][(4x
2
3x -18)
+ (4x
2
+ 3x)] = (8x
2
18) (- 6x 18)
= 2(4x
2
9)[- 6(x + 3)]
= -12(2x + 3)(2x 3)(x + 3)
áp dụng phơng pháp nhóm hạng tử
a) x
4
+ 2x
3
4x 4 = (x
4
4 ) + (2x
3
4x)
= (x

2
+ 2)(x
2
2) + 2x(x
2
2)
= (x
2
2)(x
2
+ 2x + 2)
b) x
3
+2x
2
y x 2y = x
2
(x + 2y) (x + 2y)
= (x + 2y)(x
2
1) = (x + 2y)(x 1)(x + 1)
c) ac
2
x adx bc
2
x + cdx + bdx c
3
x
= ( adx + bdx + cdx) + (ac
2

x bc
2
x c
3
x)
= dx( -a + b + c) + c
2
x(a b c)
= x[(b + c a)d c
2
(b + c a)]
= x(b + c a) (d - c
2
)
HS ghi đề
Cách 1:
Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4)
nên ta có: x
2
6x + 8 = (x
2
- 2x) (4x 8)
= x(x 2) 4(x 2) = (x 2)(x - 4)
Cách 2: x
2
6x + 8 = (x
2
6x + 9) 1 = ?
Cách 3: x
2

6x + 8 = (x
2
4) 6x + 12 = ?
10
Giỏo ỏn bồi dỡng học sinh giỏi Toỏn 8
Tơng tự, GV cùng HS tìm ra các cách
phân tích khác trong phơng pháp tách
hạng tử
b) a
4
+ a
2
+ 1
Hãy tách a
2
thành 2 hạng tử để phân tích
c) x
3
19x 30
Hãy tách hạng tử -19x để phân tích
Bài 4: Phân tích thành nhân tử
a) a
4
+ 64
Dạng a
2
+ b
2
nên ta thêm và bớt hạng tử
nào để xuất hiện một hằng đẳng thức

b) x
5
x
4
- 1
c) a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
Ta đã có a
3
+ b
3
, vậy nên thêm bớt các
hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức
Hãy phân tích đa thức trên thành nhân tử
Bài 5: Phân tích thành nhân tử
a) (x
2
+ x )
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
Ta sử dụng phơng pháp nào để phân tích
b) (x
2

+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
Yc HS làm tơng tự nh câu a
Bài 6:
Cách 4: x
2
6x + 8 = (x
2
16) 6x + 24 = ?
HS về nhà tìm thêm cách khác
b) a
4
+ a
2
+ 1 = (a
4
+ 2a
2
+ 1 ) a
2
= (a
2
+ 1)
2
a
2
= (a
2
a + 1)(a

2
+ a + 1)
c) x
3
19x 30 = (x
3
9x) (10x + 30)
= x(x
2
9) 10 (x + 3)
= (x + 3)[x(x 3) 10] = (x + 3)(x
2
3x
10)
= (x + 3) [(x
2
5x) + (2x 10)]
= (x + 3)[x(x 5) + 2(x 5)]
= (x + 3)(x 5)(x + 2)
thêm và bớt 2ab ta có;
a
4
+ 64 = (a
2
)
2
+ 2.8a
2
+ 64 2.8a
2

= (a
2
+ 8)
2
(4a)
2
= (a
2
+ 4a + 8)(a
2
- 4a + 8)
b) x
5
x
4
1
= (x
5
- x
4
+ x
3
) - (x
3
- x
2
+ x) - (x
2
- x + 1)
= x

3
(x
2
- x + 1) - x (x
2
- x + 1) - (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x
3
- x - 1)
HS suy nghĩ, trả lời
c) a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
= (a
3
+ b
3
+ 3a
2
b+ 3ab
2
)+ c

3
- (3a
2
b+ 3ab
2
+3abc)
= (a + b)
3
+ c
3
- 3ab(a+ b+ c)
= (a+ b+ c)[(a+ b)
2
- (a+ b)c + c
2
] - 3ab(a+b+c)
= (a+ b+ c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc)
a) (x
2
+ x )
2
+ 4x
2
+ 4x - 12

= (x
2
+ x )
2
+ 4(x
2
+ x ) 12 (*)
Đặt (x
2
+ x ) = y ta có
(*) = y
2
+ 4y 12 = (y
2
+ 4y + 4) 16
= (y + 2)
2
4
2
= (y + 6)(y 2)
= (x
2
+ x +6 )(x
2
+ x - 2)
= (x
2
+ x +6 )[(x
2
x) + (2x 2)]

= (x
2
+ x +6 )[x(x 1) + 2(x 1)]
= (x
2
+ x +6 )(x 1)(x + 2)
b) Đặt y = x
2
+ 8x + 7 thì x
2
+ 8x + 15 = y + 8
ta có: (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15
= y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 8y +16 1 = (y + 4)
2
1
= (y + 3)(y + 5) =(x
2
+ 8x + 10)(x
2
+ 8x + 12)
11

Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng:
a
4
+ b
4
+ c
4
= 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
Tõ a + b + c = 0
⇒
?
b) cho xy
≠
0; (a
2
+b
2

)(x
2
+y
2
) = (ax + by)
2

C/m:
a b
x y
=
a) Tõ a + b + c = 0
⇒
(a + b + c )
2
= 0
⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 0
⇒
(a
2
+ b
2
+ c

2
)
2
= [ - 2(ab + bc + ca)]
2
⇒
a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
= 4[a
2
b
2
+ b

2
c
2
+ c
2
a
2
+ 2abc(a + b + c)
⇒
a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
= 4(a
2

b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
). V× a + b + c = 0
⇒
a
4
+ b
4
+ c
4
= 2( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2

)
b) Tõ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2

⇒
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) - (ax + by)
2
= 0
⇒
a
2
x
2
+ a

2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
- a
2
x
2
- 2abxy - b
2
y
2

= 0
⇒
a
2
y
2
- 2abxy + b
2
x
2

= 0
⇒
(ay – bx)
2
= 0
⇒
ay – bx = 0
⇒
ay = bx
⇒
a b
x y
=
(®pcm)
III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) 25x
2
– 20xy + 4y
2
b) x
3
– 4x
2
– 9x + 36
c) x
2
– 7xy + 10y
2
d) (x

2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12
Bài 2: Chứng minh rằng
a) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
b) A = (n + 1)
4
+ n
4
+ 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với
n N
∀ ∈
BÀI 5: HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình bình hành và hình chữ nhật
* Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập về Hbh và hcn
* HS có hứng thú và nghiêm túc trong học tập
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại kiến thức bài học:
Kiến
thức
Hình bình hành Hình chữ nhật
1. Định
nghĩa
ABCD là Hbh
AB // CD

AD // BC


⇔


ABCD là Hcn
µ
µ µ
µ
0
A = B = C = D 90⇔ =
2. Tính
chất
ABCD là Hbh , AC
∩
BD = O
µ
µ µ
µ
AB = CD, AD = BC
A = C , B = D
OA = OC, OD = OB


⇒



ABCD là Hcn , AC
∩
BD = O
µ

µ µ
µ
AB = CD, AD = BC
A = C , B = D
OA = OC, OD = OB
AC = BD



⇒




12
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
3. Dấu
hiệu
nhận
biết
ABCD
là Hbh
⇒

II. Bài tập vận dụng:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
1. Bài 1:
Cho Hbh ABCD có
µ
0

A = 120
. Đường phân
giác của góc D đi qua trung điểm của AB
a) C/m: AB = 2AD
b) Gọi F là trung điểm của CD.
C/m
∆
ADF đều,
∆
AFC cân
c) C/m AC
⊥
AD
Giải
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có
∆
ADE là tam giác gì? Vì sao?
Hãy C/m điều đó
Hãy C/m
∆
ADF cân tại A có một góc
60
0
Hãy C/m
∆
AFC cân tại F
Từ
∆
AFC cân tại F ta suy ra điều gì?

Góc DFA bằng hai lần góc nào của
∆
AFC
·
DAC
=?
2. Bài 2:
Cho
∆
ABC và O là điểm thuộc miền
trong của tam giác đó. Gọi D, E, F lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CA và L,
M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB,
OC
Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM,
DN đồng quy
HS ghi đề, vẽ hình
F
E
D
C
B
A
a)
∆
ADE là tam giác cân
Ta có
µ
0
A = 120

, mà ABCD là Hbh nên
µ
0
D = 60

·
·
0
ADE = AED = 30⇒ ⇒ ∆
ADE cân tại A
⇒
AD = AE mà AB = 2 AE
Nên AB = 2AD
b) AB = CD (do ABCD là Hbh)
mà DF =
1
2
CD, AD =
1
2
AB. Suy ra
AD = DF
⇒
∆
ADF cân trại D có
µ
0
D = 60

vậy:

∆
ADF là tam giác đều
Ta có AF = DF (do
∆
ADF đều)
Mà DF = FC (F là trung điểm của BC)
Suy ra AF = FC
⇒ ∆
AFC cân tại F
c)
∆
AFC cân tại F
⇒

·
·
DFA = 2FAC
(Góc ngoài
tại đỉnh của tam giác cân)
Mà
·
0
FDA = 60
(do
∆
ADF đều). Suy ra
·
0
FAC = 30
⇒

·
0
DAC = 90
hay AC
⊥
AD
HS ghi đề, vẽ hình
13
+
+ ABCD có AB // CD
Và
+ ABCD là Hbh có:
-
- AC = BD
ABCD
Là hcn
µ
µ µ
µ
AB // CD, AD // BC
AB = CD, AD = BC
A = B , C = D
OA = OC, OB = OD
( O = AC BD)




⇒




∩


Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Giải
Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng
quy ta C/m gì?
Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường chéo
của hai hbh có chung một đường chéo
Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m như
thế nào?
Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì?
Hai Hbh này có chung đường chéo nào?
Từ đó ta có kết luận gì?
Những Hbh nào có tâm trùng nhau?
3. Bài 3:
Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH
⊥
AC.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH,
CD. Chứng minh BE
⊥
EF
Giải
Gọi K là trung điểm của AB ta có điều gì?
Vì sao?
Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao?
EI có tính chất gì? Vì sao?

∆
BFE là tam giác gì? Vìa sao?
4. Bài 4:
Cho
∆
ABC cân tại A. Từ điểm D trên BC
kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC
lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ nhật
BDEH và CDFK
a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng hàng
b) C/m: A là trung điểm của HK
L
M
N
O
F
E
D
C
B
A
HS suy nghĩ , phát biểu
HS ghi nhớ phương pháp c/m
E, F là trung điểm của BC, CA
⇒
EF là đường
trung bình của
∆
ABC suy ra
EF // AB, EF =

1
2
AB (1)
Tương tự LM là đường trung bình của
∆
OAB
suy ra LM // AB, LM =
1
2
AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFLM là Hbh
C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh
(Vì có NE //= LD)
Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường
chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng
quy tại trung điểm của LE
Hay ba Hbh EFLM , NFDM và NLDE có tâm
trùng nhau
HS ghi đề, vẽ hình
Gọi K là trung
điểm của AB ta có
EK // HB (Vì EK
là đường trung
bình của
∆
AHB) mà BH
⊥
AC
⇒
EK

⊥
AC
suy ra
·
0
CEK = 90

⇒

∆
CEK vuông tại E
Tứ giác BCFK có BK //= CF và có
µ
0
B = 90
nên là hình chữ nhật nên hai đường
chéo BF và CK cắt nhau tại I và BF = CK
⇒
I là trung điểm của BF , CK
⇒
EI là trung
tuyến thuộc cạnh huyền CK của
∆
CEK
14
K
I
F
E
H

D
C
B
A
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
c) Goi I, J theo thứ tự là tâm của các hình
chữ nhật BDEH và CDFK. Tìm tập hợp
trung điểm M của đoạn thẳng IJ khi D di
động trên BC
Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì?
Hãy C/m AH, AK cùng song song với một
đường thẳng nào ?
Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như thế
nào?
Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật
BDEH và CDFK và M là trung điểm của
IJ ta suy ra điều gì?
Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra điều
gì
Có cách C/m nào khác?
Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A
là trung điểm của HK ta C/m gì?
Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là
trung điểm của DH để
⇒
AH = AK
Kẻ MN
⊥
BC và đường cao AG thì MN
có tính chất gì?

M cách BC một khoảng không đổi thì m
nằm trên đường nào?
⇒
EI =
1
2
CK =
1
2
BF
∆
BFE có trung tuyến EI =
1
2
BF nên là tam
giác vuông tại E
⇒
BE
⊥
EF
HS ghi đề , vẽ
hình
HS phát biểu
C/m AH, AK cùng song song với IJ
HS nêu cách c/m
Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và
CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra MI
và MJ lần lượt là đường trung bình của các tam
giác AHD và AKD
Nên MI // AH và MJ // AK hay AH và AK

cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng
(theo tiên đề Ơclít)
HS nêu cách C/m khác
∆
ABC cân tại A nên
· ·
ABC = ACB
(1)
I là tâm của hcn BDEH nên suy ra
∆
BID cân
tại I
⇒

· ·
BDI = DBI
hay
·
·
ABD = BDI
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AB // DK mà IH = ID nên
AH = AK mà A, H, K thẳng hàng nên A là
trung điểm của HK
c) Kẻ MN
⊥
BC (N
∈
BC); đường cao AG ta
có MN =

1
2
AH (vì MN là đường trung bình
của
∆
ADG )không đổi, nên M nằm trên đường
thẳng song song với BC và cách BC một
khoảng bằng
1
2
AH không đổi chính là đường
trung bình PQ của
∆
ABC (PQ // BC)
III. Bài tập về nhà:
1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M, K theo thứ tự là trung
điểm của AH và CD. Chứng minh BM vuông góc với MK
15
H
K
F
E
M
I
P
Q
J
N
G
D

C
B
A
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
2. cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngồi hình bình hành các tam giác đều ABM,
AND. Gọi E, F, Q theo thứ tự là trung điểm của BD, AN, AM
a) tam giác MNC là tam giác gì? Vì sao?
b) Tính
·
FEQ
BUỔI 6 – PHÉP CHIA ĐA THỨC
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức
* Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia đa thức vào các bài tốn khác
* Tạo hứng thú cho HS trong q trình học tập và vận dụng vào thực tiễ
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Nhắc lại một số kiến thức:
1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong A chia hết cho luỹ thừa
cùng biến đó trong B
2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q
3. Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B khi R = 0 ; A khơng chia hết cho b khi R
≠
0
II. Xác đònh hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B:
1. Phương pháp:
1.1- Cách 1: + Chia A cho B được thương là Q, dư là R
+ Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng bằng đồng nhất thức
2.1- Cách 2: Dùng hệ số bất đònh
Đa thức bò chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo thương có bậc là m – n
Nếu gọi thương là x

m – n
+ C (C là một đa thức chưa xác đònh) Thì A = (x
m – n
+ C ). B
A chia hết cho B khi hệ số của cùng một luỹ thừa ở hai vế phải bằng nhau
3.1 - Cách 3: dùng giá trò riêng (chỉ áp dụng khi đa thức bò chia có nghiệm)
Gọi thương của phép chia A cho B là C thì A = B.C
Tìm một giá trò của biến để C = 0 rồi dùng hệ số bất đònh để xác đònh hệ số
III. Bài tập áp dụng:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
III.1 - Dạng 1:
16
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
Bài 1: xác đònh a, b để A(x) = x
3
+ ax + b
chia hết cho B(x) = x
2
+ x – 2
Hãy thực hiện phép chia A(x) cho B(x)
Để A(x) chia hết cho B(x) thì phải có Đk gì
Hãy dùng hệ số bất dònh để tìm a và b
Thử lại xem có đúng không
Bài 2: Tìm a, b
∈
Q để A = x
4
+ ax + b chia
hết cho B = x
2

– 4
Gọi thương là x
2
+ c ta có đẳng thức nào?
Đẳng thức xẩy ra với
x
∀ ∈
Q nên ta có điều
gì?
Hãy tìm a, b, c tương ứng
III.2 – Dạng 2: Các bài toán chứng minh
1. Bài 1: Chứng minh đònh lí Bơ-du
“ Số dư trong phép chia f(x) cho nhò thức
x – a bằng giá trò đa thức ấy tại x = a”
Nếu gọi thương là q(x) dư là r thì f(x) = ?
Khi x = a thì f(x) = ?
2. Bài 2: chứng minh rằng:
(x
2
+ x – 1)
10
+ (x
2
- x + 1)
10
- 2
M
x – 1
p dụng đònh lí Bơ- du ta có điều gì?
3. Bài 3: Chứng minh rằng

Với m, n
∈
Z thì: A = (x
3m + 1
+ x
3n + 2
+ 1) chia
hết cho B = x
2
+ x + 1
Để C/m : A = (x
3m + 1
+ x
3n + 2
+ 1) chia hết
cho B = x
2
+ x + 1 ta C/m A
M
(x
3
– 1)
Vì sao? Để C/m điều này ta làm thế nào?
x
3m
– 1 = (x
3
– 1)(x
3m – 1
+ x

3m – 2
+ … + 1) có
HS ghi đề , tìm cách giải
HS thực hiện phép chia:
x
3
+ ax +b = (x
2
+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b
- 2
Để A(x)
M
B(x)
⇔
(a + 3)x + b - 2 = 0
a + 3 = 0 a = - 3
b - 2 = 0 b = 2
 
⇔ ⇔
 
 
HS thử lại:
HS ghi đề và tìm cách giải
Gọi thương là x
2
+ c ta có đẳng thức
x
4
+ ax + b = (x
2

– 4)(x
2
+ c )
⇔
x
4
+ ax + b = x
4
+ (c – 4)x
2
– 4c
Đẳng thức xẩy ra với
x
∀ ∈
Q nên

0 0
4 0 4
4 16
a a
c c
b c b
= =
 
 
− = ⇔ =
 
 
= − = −
 

HS tiếp cận yêu cầu
Ta có f(x) = (x – a). q(x) + r
Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r
⇒
f(x) = r (số dư của f(x) : (x – a))
HS tiếp cận đề bài
Ta có: (x
2
+ x – 1)
10
+ (x
2
- x + 1)
10
- 2
= (x – 1). Q(x) + r (đònh lí Bơ-du)
f(1) = (1 + 1 – 1)
10
+ (1 – 1 + 1)
10
– 2 = 0
⇒
(x
2
+ x – 1)
10
+ (x
2
- x + 1)
10

- 2
M
x – 1
HS tiếp cận đề bài
HS phát biểu:
Vì x
3
– 1 = (x – 1)(x
2
+ x + 1)
M
(x
2
+ x +
1)
A = (x
3m + 1
– x) + (x
3n + 2
– x
2
) + (x
2
+ x +
17
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
chia hết cho x
3
– 1?
Tương tự ta có kết luận gì?

III. 3- Dạng 3: Các bài toán khác
1. Bài 1: Tìm số dư của phép chia
A(x) = x
50
+ x
49
+ + x + 1 cho
B(x) = x
2
– 1
Gọi thương là Q(x) , dư là R(x) = ?
Khi đó A(x) =?
Đẳng thức đúng với mọi x nên ta có điều gì?
2. Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia
x – 3 thì dư 2; chia x + 4 thì dư 9 và chia cho
x
2
+ x – 12 được thương là x
2
+ 3 còn dư
* So sánh x
2
+ x – 12 với (x + 3)(x + 4) ?
Gọi dư của f(x) : (x
2
+ x – 12 ) là ax + b
Thương của f(x) chia cho x + 3; x + 4 lần
lượt là p(x), q(x) ta có điều gì?
Từ (1) và (3) suy ra điều gì?
Từ (2) và (3) suy ra điều gì?

Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ?
Vậy đa thức cần tìm là đa thức nào?
1)
= x(x
3m
– 1) + x
2
(x
3n
– 1) + (x
2
+ x + 1)
x
3m
– 1 = (x
3
– 1)(x
3m – 1
+ x
3m – 2
+ … + 1)
chia hết cho x
3
– 1 nên chia hết cho
x
2
+ x + 1
⇒
x(x
3m

– 1)
M
x
2
+ x + 1 (1)
Tương tự: x
2
(x
3n
– 1)
M
x
2
+ x + 1 (2)
Và x
2
+ x + 1
M
x
2
+ x + 1 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm
Gọi thương là Q(x), dư là R(x) = ax + b ta
có: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b
Đẳng thức đúng với mọi x nên x
2
– 1 = 0
⇒
x = 1 hoặc x = -1
A(1) = a + b

A(-1) = - a + b



51 a + b a = 25
1 = - a + b b = 26
=
 
⇔ ⇔
 
 
Vậy R(x) = 25x + 26
HS ghi đề bài
x
2
+ x – 12 = (x + 3)(x + 4)
HS phát biểu
2
f(x) = (x - 3).p(x) + 2 (1)
f(x) = (x + 4).q(x) + 9 (2)
f(x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) + ax + b (3)





Từ (1)
⇒
f(3) = 2 ; từ (3)
⇒

f(3) = 3a + b
⇒
3a + b = 2 (4)
Từ (2) và (3) sy ra : -4a + b = 9 (5)
Từ (4) và (5) suy ra: a = -1; b = 5
Vậy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x
2
+ 3) – x + 5
= x
4
+x
3
– 9x
2
+ 2x – 31
III. Bài tập về nhà:
Bài 1: Xác định a; b để
a) A = x
4
+ a x
2
+ b chia hết cho B = x
2
+ x + 1
b) C = x
4
– x
3
– 3x
2

+ ax + b chia cho D = x
2
– x – 2 có dư là R = 2x – 3
c) P = 2x
3
+ a x + b chia Q = x + 1 dư - 6 và chia R = x – 2 dư 21
Bài 2: Chưng minh rằng
18
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
a) mn(m
2
– n
2
) chia hết cho 6 với mọi số ngun m, n
b) n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24 với mọi số ngun n
Bài 3:
a)Tìm số dư trong phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x
2
+ 8x + 11
b) Tìm số ngun x để giá trị biểu thức A = x
3
– 3x
2
– 3x – 1 chia hết cho giá trị biểu thức

B = x
2
+ x + 1
BUỔI 7 – CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VNG
Ngày soạn: 28 – 11 - 2010
Ngày dạy: - 11 - 2010
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận
biết
* Vận dụng tính chất của hình thoi và hình vuông vào các bài toán chứng minh các
đoạn thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng vuông góc, song song,…
* Nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho HS
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Hệ thống kiến thức:
Hình thoi Hình vuông
Đònh
nghóa
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc
bằng nhau
Tính
chất
- Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo vuông góc với nhau
tại trung điểm mỗi đường, là trục đói
xứng của hình thoi
- mỗi đường chéo là phân giác của
hai góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai
đường chéo

- Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc
với nhau tại trung điểm mỗi đường, là
trục đói xứng của hình vuông
- mỗi đường chéo là phân giác của hai
góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai đường
chéo
- Đường trung bình là trục đối xứng
Dấu
hiệu
nhận
biết
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hbh có 2 cạnh kề bằng nhau
- Hbh có 2 đường chéo vuông góc với
nhau
- hbh có đường chéo là tia phân giác
của 1 góc
- Tứ giác có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau
- hình thoi có 1 góc vuông
- hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông
góc với nhau
- Hình chữ nhật có đường chéo là tia
19
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
phân giác của 1 góc

II. Hệ thống Bài tập
Bài 1:
Cho hình thang cân ABCD AB // CD,
AB < CD. Gọi M, N, P , Q lần lượt là
trung điểm của CD, AB, DB, CA
a) C/m: NM là tia phân giác của
·
PNQ
b) Tính số đo các góc của tứ giác
MPNQ biết các góc nhọn của hình
thang ABCD là
µ
µ
0
C = D = 50
c) Hình thang ABCD thoã mãn điều
kiện gì thì tứ giác MPNQ là hình
vuông?
* Để C/m MN là tia phân giác của
·
PNQ
Ta cần C/m gì?
Để C/m MPNQ là hình thoi ta C/m như
thế nào?
Hãy C/m MPNQ là Hình bình hành
Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa
song song vừa bằng nhau, đó là hai
cạnh nào?
Hãy C/m NP //= MQ ?
C/m MP = MQ để suy ra H.b.h MPNQ

là hình thoi
MPNQ là hình thoi ta suy ra điều gì ?
·
CMQ
bằng góc nào? Vì sao?
·
PMD
bằng góc nào? Vì sao?
·
·
CMQ + PMD = ?
·
PNQ⇒
=?
·
·
MPN = MQN
= ?
Hình thoi MPNQ là hình vuông khi
nào?
HS ghi đề và vẽ hình
//
//
/
/
Q
P
N
M
D

C
B
A
Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi
C/m MPNQ là hình bình hành có hai cạnh kề
bằng nhau
Từ GT
⇒
NP là đường trung bình của
∆
ADE
nên NP // AD và NP =
1
2
AD (1)
MQ là đường trung bình của
∆
ADC nên
MQ // AD và MQ =
1
2
AD (2)
Từ (1) và (2)
⇒
NP // MQ và NP = MQ suy ra
tứ giác MPNQ là H.b.h
Mặt khác MP =
1
2
CB =

1
2
AD (Vì AD = CB).
Suy ra MP = MQ
⇒
MPNQ là hình thoi (H.b.h
có 2 cạnh kề bằng nhau)
⇒
NM là tia phân
giác của
·
PNQ
b) MQ // AD
⇒
·
·
0
ADC = CMQ = 50
(3)
MP // CE
⇒
·
·
0
ECD = PMD = 50
(4)
Từ (3) và (4)
⇒

·

·
0
CMQ + PMD = 100

·
0
PMQ = 80⇒

·
0
PNQ = 80⇒

⇒

·
·
0
MPN = MQN = 100
c) Hình thoi MPNQ là hình vuông
⇔

·
0
PMQ = 90

⇔

·
·
0

CMQ + PMD = 90

⇔

µ
µ
0
C + D = 90

⇔

µ
µ
C = D = 45
0
20
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
Bài 2:
Cho
∆
ABC vuông cân tại B. từ điểm
D thuộc cạnh AB vẽ DE
⊥
AC tại E,
tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC,
CA
Chứng minh MNPQ là hình vuông
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông
ta cần C/m điều gì?

Để C/m tứ giác MNPQ là hình chữ
nhật ta cần C/m gì?
Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình bình
hành?
Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ nhật
thì ta C/m gì?
Hãy C/m
·
0
MNP = 90
Hãy C/m H.b.h MNPQ là hình thoi
bằng cách C/m NP = MN
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD, gọi I, K lần
Vậy: Hình thang cân ABCD có
µ
µ
C = D = 45
0
thì
tứ giác MPNQ là
hình vuông
HS ghi đề bài và vẽ
hình
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta cần
C/m MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình
thoi
MNPQ là hình bình hành có một góc vuông
Từ Gt
⇒

MN là đường trung bình của
∆
FCA
⇒
MN // FA và MN =
1
2
FA (1)
Tương tự ta có: PQ // FA và PQ =
1
2
FA (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là H.b.h
Mặt khác D là giao điểm của 2 đường cao AB
và FE của
∆
FAC nên CD là đường cao còn lại
của
∆
FAC
⇒
CD
⊥
FA
⇒
PN
⊥
FA
⇒
PN

⊥
MN (Vì MN // FA)
·
0
MNP = 90⇒
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (*)
∆
FCE vuông tại E và có
µ
0
C = 45
(
∆
ABC vuông
cân tại A)
⇒ ∆
FCE vuông cân tại E
⇒ ∆
DBF vuông cân tại B
⇒
BD = BF nên suy
ra
∆
ABF =
∆
CBD
⇒
FA = CD
Mặt khác NP là đường trung bình của
∆

FCD,
nên NP =
1
2
CD =
1
2
FA = MN
⇒
hình bình
hành MNPQ là hình thoi (**)
Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là hình vuông
21
F
E
Q
P
N
M
D
C
B
A
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
lượt là trung điểm của AD, DC; E là
giao điểm của BI và AK
a) chứng minh: BI
⊥
AK
b) Chứng minh CE = AB

c) So sánh AK, BI, BK
d) C/m: BD là phân giác của
·
IBK
* Để C/m BI
⊥
AK ta C/m gì?
Để C/m
µ
0
1 1
A + I = 90
$
ta C/m
µ
1
A
bằng
góc nào? Vì sao?
Hãy C/m
∆
AIB =
∆
DKA?
Để C/m CE = AB ta C/m gì?
AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m
CE = CB bằng cách C/m hai tam giác
nào bằng nhau? Hay tam giác nào cân?
AK = BI? Vì sao?
Ta cần C/m gì? (AK = BK hoặc BI =

BK)
·
·
IBD = KBD
hay không? Vì sao?
HS ghi đề và vẽ
hình
a) HS suy nghó, trả lời:
C/m
µ
0
1 1
A + I = 90
$
µ
0
1 1
B + I = 90
$
do
∆
ABI vuông tại A
Ta cần C/m
∆
AIB =
∆
DKA
Vì có AB = DA (ABCD là hình vuông)
AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD)
µ

µ
0
A = D = 90

⇒

∆
AIB =
∆
DKA(c.g.c)
µ
µ
1 1
B = A ⇒
mà
µ
0
1 1
B + I = 90
$

⇒
µ
0
1 1
A + I = 90
$
ta có
µ
0

1 1
A + I = 90
$

·
0
AEI = 90⇒
⇒
BI
⊥
AK
b) Gọi F là trung điểm AB
⇒
AKCF là H.b.h vì có FA //= CK

⇒
AK // CF
⇒
CM
⊥
BE hay CM là đường
cao của của
∆
BCE (1)
F là trung điểm AB mà MF // AK nên M là
trung điển BE hay CM là đường trung tuyến
của
∆
BCE (2)
Từ (1) và (2) suy ra

∆
BCE cân tại B suy ra
CE = CB mà CB = AB nên CE = AB
c) BI = AK (do
∆
AIB =
∆
DKA(c.g.c)- C/m ở
câu a) .
∆
IDB =
∆
KDB (c.g.c) vì có: ID = KD
(nửa cạnh hình vuông ABCD);
·
·
0
IDB = KDB = 45
(đường chéo DB là phân giác của góc D); DB
chung
⇒
BI = BK
Vậy: AK = BI = BK
d)
∆
IDB =
∆
KDB (c.g.c) nên
·
·

IBD = KBD
hay
BD là tia phân giác của
·
IBK
III. Bài tập về nhà:
Bài 1:Cho hình vng ABCD . Từ điểm E trên cạnh BC dựng
·
0
EAx 90=
, tia Ax cắt CD tại
F. Gọi I là trung điểm FE, AI cắt CD tại M. Vẽ Ey // CD, Ey cắt AI tại K
a) Tam giác AFE là tam giác gì? Vì sao?
22
_
_
/
/
/
/
1
1
1
M
K
I
F
E
D
C

B
A
Giáo án båi dìng häc sinh giái Tốn 8
b) Tứ giác KFME là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh chu vi CEM không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 2: Cho ABCD là hình vuông. Gọi M, N, I, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA; DN lần lượt cắt AI, CM tại K và P; BL cắt AI, CM tại H và Q
a) Chứng minh PA = DA
b) Tứ giác KPQH là hình gì? Vì sao?
BUỔI 8 – RÚT GỌN PHÂN THỨC
Ngày soạn: 06 - 12 - 2010
Ngày dạy: - 12 - 2010
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về rút gọn phân thức, qua đó tiếp tục rèn luyện thêm về
kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
* Tiếp tục rèn luyyện cho HS kỹ năng tìm nhân tử chung để rút going phân thức
* Khắc sâu và vận dụng thành thạo kỹ năng rút gọn phân thức ở mức độ cao hơn
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC:
* Các bước rút gọn phân thức:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
+ Tìm nhân tử chung
+ chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
* Quy tắc đổi dấu
A - A
B - B
=
;
A - A
B B

− =
;
A A
B B
 
− − =
 ÷
 
II. BÀI TẬP:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Bài 1: Rút gọn phân các thức
a)
2
2
4 12 9
2 6
a a
a a
+ +
− −
Ta làm thế nào để rút gon phân thức đã
cho?
Phân tích tử và mẫu như thế nào?
Tìm nhân tử chung rồi rút gọnh phân
thức đã cho
b)
2
2 2
x - xy + 2x - 2y
x - y + x - y

Goi HS lên bảng trình bày
c)
3 2
3 2
3x - 7x + 5x - 1
2x - x - 4x + 3
Cho HS cả lớp giải ít phút
HS ghi đề và tìm cách giải
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, tìm nhân tử
chung rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
đó
a)
2
2
4 12 9
2 6
a a
a a
+ +
− −
( )
( )( )
2
32
232
32
2
−
+
=

−+
+
=
a
a
aa
a
b)
2
2 2
x - xy + 2x - 2y
x - y + x - y
=
x(x - y) + 2(x - y)
(x - y)(x + y) + (x - y)
(x - y)(x + 2) x + 2
(x - y)(x + y + 1) x + y + 1
= =
HS ghi đề, tiến hành giải
1HS lên bảng trình bày
23
Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
Gọi 1 HS lên bảng trình bày
Nếu HS chưa thực hiện được thì gợi ý:
Tử và mẫu là 2 đa thức bậc 3 có dạng
đặc biệt nào? Có nhân tử nào?
Tách tử và mẫu để làm xuất hiện nhân tử
là x – 1
d)
4 2

4 2
a - 3a + 1
a - a - 2a - 1
Áp dụng phương pháp tách hạng tử để
phân tích tử và mẫu thành nhân tử
Tìm nhân tử chung rồi rút gọn phân thức
e)
4 3
4 3 2
1
2 1
x x x
x x x x
+ + +
− + − +
HS phân tích tử và mẫu thành nhân tử
Bằng phương pháp tách hạng tử và các
phương pháp bổ sung đã học
Tìm nhân tử chung rồi rút gọn phân thức
f)
2 2 2 2 2 2
ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
a(b - c ) b(c - a ) c(a - b )+ +
Hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử (
phân tích tử xong rồi đến mẫu)
Bài 2: Chứng minh rằng với
n Z∀ ∈
thì
HS ghi đề bài và tiến hành giải tại lớp
Tử và mẫu là 2 đa thức bậc 3 có dạng 2 đa thức

có tổng các hệ số bằng 0 nên có nhân tử là x – 1
HS thực hiện:
3 2
3 2
3x - 7x + 5x - 1
2x - x - 4x + 3

3 2 2
3 2 2
(3x - 3x ) (4x 4x) + (x - 1)
2x - 2x + (x - x) - (3x - 3)
− −
=
=
2 2
2 2
3x (x - 1) 4x(x 1) + (x - 1) (x - 1)(3x 4x + 1)
2x (x - 1) + x(x - 1) - 3 (x - 1) (x - 1)(2x x - 3)
− − −
=
+
=
2 2
2 2
3x 4x + 1 (3x 3x) - (x - 1)
2x x - 3 (2x - 2x) + (3x - 3)
− −
=
+
= =

3x - 1
2x + 3
HS ghi đề bài
4 2
4 2
a - 3a + 1
a - a - 2a - 1
=
( )
( )
2
2 2
4 2 2
2
4 2
4
a 1 a
(a - 2a + 1) - a
a - (a + 2a + 1)
a a + 1
− −
=
−
=
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2

2
2
2
2 2
4
a 1 a a a 1 a - a - 1
a a 1
a a +1
a a + 1 a - a - 1
a a + 1
− − + −
+ −
=
+
+
−
HS ghi đề bài, phân tích tử và mẫu thành nhân
tử:
4 3 4 3
4 3 2 4 3 2 2
1 1
2 1 1
x x x x x x
x x x x x x x x x
+ + + + + +
=
− + − + − + + − +
( ) ( )
( ) ( )
( )

( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
2 2 2
2
3 2
2 2 2 2
2
2
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x
x
+ + +
=
− + + − +
+ + + − +

= =
− + + − + +
+
=
+
HS ghi đề
Phân tích tử: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
= ab(a – b) – bc[(a – b) + (c – a)] + ca(c – a)
= [ab(a – b) – bc(a – b)]+[bc(c – a) + ca(c – a)]
= …= (a – b)(b – c) (a – c)
Phân tích mẫu:
a(b
2
– c
2
) + b(c
2
– a
2
) + c(a
2
– b
2
)
= … = (a – b)(b – c) (a – c)
Nên:
2 2 2 2 2 2
ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
a(b - c ) b(c - a ) c(a - b )+ +
24

Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8
phân số: a)
2
2
15 8 6
30 21 13
n n
n n
+ +
+ +
tối giản
Để C/m 1 phân số tối giản ta làm thế
nào?
Để C/m ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 ta
làm thế nào?
Gọi ƯCLN(15n
2
+ 8n + 6; 30n
2
+ 21n +
13) = d (d
≥
1) ta có điều gì?
15n
2
+ 8n + 6 có thể phân tích thành
tổng có chứa nhân tử (5n + 1) như thế
nào?
Từ đó ta suy ra điều gì?
b)

2 7
8
1
1
n n
n n
+ +
+ +
không tối giản
Để C/m phân số không tối giản ta làm
thế nào
Hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử
để tìm nhân tử chung
1 + n + n
2
lớn hơn 1 không? Vì sao?
Vậy ta có kết luận gì?
=
(a - b)(b - c) (a - c)
1
(a - b)(b - c) (a - c)
=
HS tiếp cận đề bài
Để C/m 1 phân số tối giản ta C/m ƯCLN của tử
và mẫu bằng 1
Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d
≥
1)
ta C/m d = 1
(15n

2
+ 8n + 6)
M
d và (30n
2
+ 21n + 13)
M
d hay
[2 (15n
2
+ 8n + 6 ) + 5n + 1]
M
d
⇒
5n + 1
M
d
Mà 15n
2
+ 8n + 6 = [(3n + 1)(5n + 1) + 5]
M
d
⇒
5
M
d
⇒
5n
M
d mà 5n + 1

M
d
⇒
1
M
d
⇒
d = 1
Hay 15n
2
+ 8n + 6; 30n
2
+ 21n + 13 nguyên tố
cùng nhau nên phân số
2
2
15 8 6
30 21 13
n n
n n
+ +
+ +
tối giản
Để C/m phân số không tối giản ta C/m tử và
mẫu có ƯC khác 1
Ta có:
7 2 6
1 (1 ) ( 1)n n n n n n+ + = + + + −
=
2 3 3

(1 ) ( 1)( 1)n n n n n+ + + + −
=…….= (
2
1 n n+ +
)(
2 4 5
1 )n n n n− + − +
8 2 2 6
1 (1 ) ( 1)n n n n n n+ + = + + + −
=
2 2 3 3
(1 ) ( 1)( 1)n n n n n+ + + + −
=…….= (
2
1 n n+ +
)(
2 3 5 6
1 )n n n n− + − +
Với n nguyên dương thì
2
1 n n+ +
> 1
Suy ra tử và mẫu của phân số có ƯC lớn hơn 1
nên phân số
2 7
8
1
1
n n
n n

+ +
+ +
không tối giản
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: rút gọn các phân thức sau:
a)
3 2
2a 12a 17a 2
a 2
− + −
−
b)
5 4 3 2
2
2 2 4 3 6
2 8
− + − + +
+ −
x x x x x
x x
c)
3
2 2 2 2
7 6
( 3) 4 (3 ) 4( 3)
− −
− + − + −
x x
x x x x x
Bài 2: Chứng minh rằng :

phân số
2
2
6 8 15
13 21 30
+ +
+ +
x x
x x
tối giản với mọi x nguyên dương
25