Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THẾ HẢI

MỘT SỐ MỞ RỘNG
CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
VÀ VÀNH LIÊN QUAN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số:

62460104

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. BÀNH ĐỨC DŨNG

HUẾ - NĂM 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng
hoặc viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả nghiên cứu nêu trong
luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
PHAN THẾ HẢI

2

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy
hướng dẫn là GS.TS. Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS. Bành Đức Dũng,
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh, những người Thầy rất
nghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướng
dẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của
mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng
Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học
tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình.
Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ
Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường
Đại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sang
thực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ
Nhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga).
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Trương Công Quỳnh, Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổi
chuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết
và chỉnh sửa luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứu
sinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi
đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên
cứu sinh và hoàn thành luận án. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính
họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn
thành luận án này.
PHAN THẾ HẢI
3

MỤC LỤC

1 Kiến thức chuẩn bị

16

1.1

Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản

. . . . . . . . . . . . .

16

1.2

Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ

19

1.3

Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác .

23

1.4

Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn . . . . . . . . . . .

26

2 Môđun giả nội xạ cốt yếu

30

2.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu . . . .

32

3 Môđun ADS tổng quát

48

3.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2

Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát . . . . . .

50

4 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)
4.1

Môđun thỏa mãn điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn
điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

64
64

82
94

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
KÝ HIỆU

NGHĨA CỦA KÝ HIỆU

[1]

Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"

N

Tập hợp các số tự nhiên

Z

Vành các số nguyên

Q, R

Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)

|X|

Bản số của tập hợp X

E(M )

Bao nội xạ của môđun M

EndR (M )

Vành các tự đồng cấu của R-môđun M

Im(f ), Ker(f )

Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)

Mn (R)

Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R

MR (R M )

M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)

M (I)

M (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )
i∈I

MI

M (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )
i∈I

N ≤M

N là môđun con của môđun M

N
N là môđun con thực sự của môđun M

N ≤e M

N là môđun con cốt yếu (hay lớn) của môđun M

N

N là môđun con đối cốt yếu (hay bé) của môđun M

M

N ≤⊕ M

N là hạng tử trực tiếp của môđun M

N

N đẳng cấu với môđun M

M

N ⊕M

Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M

rR (X), lR (X)

Linh hóa tử phải và trái của tập hợp X trong R

R[x]

Vành đa thức trên vành R

Rad(M ), J(R) Căn của môđun M , căn của vành R (tương ứng)
Soc(M )

Đế của môđun M

Sr , Sl

Soc(RR ), Soc(R R)

5


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ

THUẬT NGỮ

TIẾNG ANH

ADS

Absolute Direct Summand

bao nội xạ

injective hull

bất biến đầy đủ

fully invariant

bất biến đẳng cấu

automorphism-invariant

chính quy

regular

di truyền

hereditary

đều

uniform

đế

socle

đế mịn

socle fine

địa phương

local

điều kiện dây chuyền giảm

Descending Chain Condition

điều kiện dây chuyền tăng

Ascending Chain Condition

đối nửa đơn

co-semisimple

đơn

simple

giả nội xạ

pseudo-injective

giả nội xạ cốt yếu

essentially pseudo-injective

giả nội xạ cốt yếu mạnh

strongly essentially pseudo-injective

hạng tử trực tiếp

direct summand

iđêan

ideal

không phân tích được

indecomposable

liên tục

continuous

linh hóa tử

annihilator

lũy đẳng

idempotent

M được sinh con bởi N

M is subgenerated by N

M là một vật sinh con của N M is a subgenerator for N
6

THUẬT NGỮ

TIẾNG ANH

M sinh ra N

M generates N

M -sinh

M -generated

môđun cốt yếu (lớn)

(large) essential module

môđun đối cốt yếu (bé) (small) superfluous module
môđun mở rộng

extending module

môđun trung thành

faithful module

môđun tự do

free module

môđun tự nội xạ

self-injective module

môđun tựa nội xạ

quasi-injective module

môđun tự sinh

self-generator module

mở rộng cốt yếu

essential extension

N -giả nội xạ

pseudo-N -injective

N -giả nội xạ cốt yếu

essentially pseudo N -injective

N -nội xạ

N -injective

N -nửa xạ ảnh

semi-N -projective

nội xạ tương hỗ

(relative) mutually injective

nửa Artin

semi Artinian

nửa đơn

semisimple

nửa xạ ảnh

semi projective

phần bù giao

complement

suy biến

singular

thể (vành chia)

skew field (division ring)

tựa liên tục

quasi-continuous

trực giao

orthogonal

vành Artin nửa đơn

semisimple Artinian ring

vành nửa di truyền

semihereditary ring

vành QF

quasi Frobenius ring

vành tự nội xạ

self-injective ring

xiclic

cyclic
7


MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất
hiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm
nghiên cứu. Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng
chính. Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều
kiện bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan một phía) và hướng thứ hai là
đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (tức là nghiên cứu các môđun
trên chúng). Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc vành theo
hướng thứ hai.
Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất
vào năm 1940. Theo đó, một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi
môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến
đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với
mọi môđun N . Không chỉ đưa ra khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa
ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi nào thì một R-môđun M là
nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" và được phát biểu như
sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu

f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR → MR .
Từ khi có tiêu chuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mở
rộng của môđun nội xạ đã được đề cập. Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun
nội xạ từ định nghĩa gốc và từ Tiêu chuẩn Baer. Vì mục đích của luận án
này, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mở rộng của môđun nội xạ từ định
nghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm 1961 trong [26], đó là
môđun tựa nội xạ. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M -nội xạ.
Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ.
Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát
của môđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ (xem [38]). Theo đó, môđun

M được gọi là N -giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn
8

cấu từ A vào M đều mở rộng được đến đồng cấu từ N vào M . Môđun M
được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ. Có thể nói môđun giả nội xạ
là một khái niệm đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm đặc biệt của các
nhà nghiên cứu. Các công trình tiêu biểu liên quan đến môđun giả nội xạ
có thể kể đến là Singh và Jain (1967, [38]), Hallett (1971, [21]), Teply (1975,
[41]), Jain và Singh (1975, [25]), Dung-Huynh-Smith và Wisbauer (1996,
[14]), Dinh (2005, [13]), Alahmadi, Er và Jain (2005, [6]). Tổng quan chung
về các nội dung được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ
bao gồm: Nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các
tính chất của môđun tựa nội xạ; xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ
sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụ để chứng tỏ tồn tại môđun giả nội
xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm các tính chất riêng của môđun
giả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọng như vành Artin nửa
đơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv. . .
Cũng cần nói thêm rằng, mặc dù môđun giả nội xạ là một mở rộng của
môđun tựa nội xạ nhưng nó có phải là một mở rộng thực sự hay không
thì chưa ai trả lời được từ năm 1967 cho đến khi xuất hiện công trình của
Hallett vào năm 1971 (xem [21]). Trong luận án tiến sĩ của mình, Hallett
đã đưa ra ví dụ về môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ. Sau đó, vì nhiều
mục đích khác nhau, Teply ([41]) cũng như Jain và Singh ([25]) đã bổ sung
nhiều ví dụ khác để chứng tỏ tồn tại một môđun giả nội xạ mà không tựa
nội xạ.
Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ
ra đời với nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành
đã tạo nên động lực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến
sự mở rộng của môđun này. Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội
xạ là lớp môđun giả nội xạ cốt yếu (xem [6]), môđun nội xạ cốt yếu (xem
[14]), môđun C2 (xem [14] và [32]), vv...

Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứu
một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành
9


quen thuộc. Vì vậy, chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án
là "Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan".
Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương.
Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đã
biết nhằm sử dụng cho các chương sau.
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội
xạ cốt yếu.
Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu một
trường hợp tổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốt
yếu (xem [6]). Theo đó, môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với
mỗi môđun con A cốt yếu của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng
được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là môđun giả nội xạ
cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu. Trong [6], các tác giả đã nghiên cứu
một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu và các ứng dụng của nó để
đặc trưng vành Artin nửa đơn, vành QF và vành SI. Mặt khác, các tác giả
cũng đã chứng minh được rằng: Một môđun có chiều Goldie hữu hạn là giả
nội xạ khi và chỉ khi nó là giả nội xạ cốt yếu. Những kết quả đầu tiên mà
chúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N -giả nội
xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7).
Trong [13], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ đều
thỏa mãn điều kiện C2. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứng
minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3
(Định lý 2.2.11).
Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,
H. Q. Dinh đã đặt ra câu hỏi trong [13] là: Một môđun không suy biến, giả

nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên
cứu tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh được
rằng, một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ
cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi thu được câu trả
10


lời cho câu hỏi nêu trên là: Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M
là môđun giả nội xạ và CS. Ngoài các tính chất của môđun giả nội xạ cốt
yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun giả
nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề cập
trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ
cốt yếu nếu vành EndR (M ) là giả nội xạ cốt yếu phải.
Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế
mịn nếu với bất kỳ M, N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M )
khi M

Soc(N ) khi và chỉ

N (xem [24]). Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh

nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký
hiệu SE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các

R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó chúng tôi chứng minh được rằng, R là vành
QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15). Trong trường
hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R là Artin
nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn
khi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16). Ngoài các tính chất liên
quan đến vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của

môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và
mở rộng vành cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý
2.2.18.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của
môđun ADS, đó là: Môđun ADS tổng quát.
Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđun
ADS. Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân
tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T của S thì M = S ⊕ T (xem
[7]). Trong công trình của mình, các tác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái
niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự của môđun tựa liên tục. Nhiều
kết quả thú vị liên quan đến môđun này đã được nghiên cứu trong [7] và
[35]. Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật thiết đến
định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N là
11


các môđun và X = N ⊕ M thì N là M -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu
với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì X = N ⊕ K
(xem [6]). Từ mối liên quan này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun
ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Một môđun M được gọi là ADS tổng
quát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M và mỗi phần bù giao T
của S mà T ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T . Lớp môđun ADS tổng quát là một
mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2). Trong [7], các tác
giả đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân
tích M = A ⊕ B , ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ. Đối với môđun
ADS tổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quát
thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B , ta luôn có A và B là giả nội xạ
cốt yếu tương hỗ (Định lý 3.2.1). Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối với
môđun ADS tổng quát là tương tự với các kết quả của môđun ADS trong
[35]. Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđun ADS không còn đúng

nữa đối với môđun ADS tổng quát. Chẳng hạn, để hạng tử trực tiếp của
môđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm một số
điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp
của môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6).
Trong [35], các tác giả đã chứng minh được rằng, M là nửa đơn nếu và
chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn
sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là
ADS. Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng, M
là nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và
chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ
nếu mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10). Do
đó, một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADS
tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát
khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát (Hệ quả 3.2.11).
Đối với trường hợp môđun 2-sinh trong σ[M ], chúng tôi đã chỉ ra rằng, một
môđun xiclic M là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là
12


ADS tổng quát (Mệnh đề 3.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi thu lại được kết
quả trong [35], đó là: R là vành Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun
phải 2-sinh là ADS. Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun
tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Trong phần cuối
của chương này, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên
quan đến mở rộng vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong
Định lý 3.2.15.
Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của
môđun C2, đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C). Việc nghiên cứu lớp
môđun thỏa mãn điều kiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để
từ đó đặc trưng một số lớp vành quen thuộc.

Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) được
Nakayama giới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạ
hai phía. Một trong những kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạ
ảnh và môđun nội xạ liên quan đến vành QF là định lý Faith-Walker. Định
lý được phát biểu rằng: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải
(trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là
nội xạ. Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QF đã được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu. Cuốn sách chuyên khảo [33] được xem là cuốn
sách chứa đầy đủ thông tin nhất về vành QF. Vào năm 1967, Faith-Walker
đã chứng minh được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải
(trái) nhúng được vào một môđun tự do. Như vậy, nếu mỗi R-môđun phải
nhúng được vào một môđun tự do thì R là vành QF. Một câu hỏi được
đưa ra ở đây là: Nếu mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một
môđun tự do thì R có phải là vành QF hay không? Vành R mà mỗi Rmôđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì được gọi
là vành FGF. Do đó, câu hỏi mà chúng ta vừa đề cập có thể viết ngắn gọn
lại là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Câu hỏi này chính là giả
thuyết FGF nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Trong [33], các
tác giả đã chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành
13


QF. Như vậy, việc nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy
vọng là sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết FGF nói trên.
Theo [33] thì các khái niệm về vành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và
C3 được đề xuất bởi Utumi vào năm 1961. Sau đó việc mở rộng tới các
môđun lần lượt thuộc về Jeremy đối với môđun C1 (năm 1971), Takeuchi
đối với môđun C2 (năm 1972), Mohammed và Bouhy đối với môđun C3
(năm 1976).
Cho M là một môđun và S = EndR (M ). Trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi
chứng minh được rằng, môđun M là môđun C2 nếu và chỉ nếu với bất kỳ

s ∈ S , mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp
của M . Từ kết quả này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun C2,
đó là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Một môđun M được gọi là thỏa mãn
điều kiện (C) nếu với mỗi s ∈ S và s = 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và
nếu Ker(sn ) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn ) là hạng tử trực tiếp của

M . Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là môđun
thỏa mãn điều kiện (C). Một số mệnh đề tương đương với một môđun thỏa
mãn điều kiện (C) đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.10 và điều
kiện đủ cho một môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng đã được chúng tôi đề
cập trong Mệnh đề 4.1.11. Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện

(C), chúng ta có mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C). Khi môđun M
có vành các tự đồng cấu S = EndR (M ) là vành địa phương thì chúng tôi
chứng minh được 2 lớp môđun này là trùng nhau (Mệnh đề 4.1.7). Đối với
môđun C2 thì hạng tử trực tiếp của môđun C2 cũng là môđun C2. Trong
Định lý 4.1.12, chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hạng tử trực tiếp của
môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Khi M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) mà có sự phân tích

M = A1 ⊕A2 thì trong Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu
f : A1 → A2 là một R-đồng cấu thỏa mãn Ker(f ) ≤⊕ A1 thì Im(f ) ≤⊕ A2 .
Từ mệnh đề này, chúng tôi thu được một hệ quả về mối liên hệ giữa môđun
thỏa mãn điều kiện (C) và môđun C2 là: Nếu M ⊕ M là một môđun thỏa
14


mãn điều kiện (C) thì M là môđun C2 (Hệ quả 4.1.15).
Về mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tự

đồng cấu S = EndR (M ) của nó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M
là môđun tự sinh thì M thỏa mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi S là vành
thỏa mãn điều kiện (C) phải (Định lý 4.1.17).
Trong [30] và [31], các tác giả Lee, Rizvi và Roman đã đưa ra các khái
niệm môđun Rickart và d-Rickart như sau: Một môđun M được gọi là
Rickart nếu ∀s ∈ S thì Ker(s) = e(M ) với e2 = e ∈ S và M được gọi là
d-Rickart nếu ∀s ∈ S thì Im(s) = e(M ) với e2 = e ∈ S . Mối liên hệ giữa
môđun M với tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR (M ) cũng
đã được các tác giả trên đưa ra trong [30] và [31]. Theo đó, S là vành chính
quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện C2 khi và
chỉ khi M là môđun d-Rickart và thỏa mãn điều kiện D2. Đối với môđun
thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng chứng minh được rằng, S là vành
chính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện (C) khi
và chỉ khi M là môđun d-Rickart và s(M ) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S
(Định lý 4.1.21).
Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành được
chúng tôi quan tâm trong phần cuối của luận án này. Khi R là vành chính
quy (theo nghĩa von Neumann), một số tính chất của R-môđun thỏa mãn
điều kiện (C) được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.2.2. Khi R là vành di
truyền, một kết quả quan trọng đã biết là, vành R là di truyền nếu và chỉ
nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ. Trong Định
lý 4.2.4, chúng tôi chứng minh được rằng R là vành di truyền phải nếu và
chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa
mãn điều kiện (C). Chúng tôi cũng thu được một số kết quả về việc đặc
trưng vành Noether đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Định lý
4.2.5. Cuối cùng, các đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin được chúng
tôi nghiên cứu trong Định lý 4.2.6.

15

CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R đã cho luôn được giả
thiết là vành kết hợp, có đơn vị 1 = 0 và mọi R-môđun được xét là môđun
unita phải hoặc trái.

1.1

Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản

Trước hết, chúng tôi giới thiệu những ký hiệu, khái niệm và các tính
chất cơ bản sẽ được sử dụng trong luận án. Những khái niệm và kết quả
cơ bản liên quan đến luận án mà không được giới thiệu ở đây chúng ta có
thể tham khảo trong các tài liệu của Anderson-Fuller ([10]), Dung-HuynhSmith-Wisbauer ([14]), Kasch ([28]), Lam ([29]), Nicholson-Yousif ([33]) và
Wisbauer ([42]).
Với vành R đã cho, ta viết MR (R M ) để chỉ M là một R-môđun phải
(t.ư., trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận án, khi không sợ nhầm lẫn
về phía của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR . Chúng tôi
dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự)
của môđun M . Nếu A là một hạng tử trực tiếp của môđun M thì ta viết

A ≤⊕ M . Ký hiệu Mn (R) là để chỉ vành các ma trận vuông cấp n lấy các hệ
tử trên vành R. Nếu I là một tập với card(I) = α và M là một môđun, ta
sẽ kí hiệu tổng trực tiếp α bản sao của M bởi M (I) hoặc M (α) , tích trực tiếp

α bản sao của M bởi M I hoặc M α . Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm
16

trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải, đồng
cấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun
phải N .
Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ = X ⊂ M . Linh hóa tử phải của

X trong R được ký hiệu là rR (X) và được xác định như sau:
rR (X) = {r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X} .
Khi không sợ nhầm lẫn về vành cơ sở R chúng ta có thể viết gọn là r(X)
thay vì rR (X). Khi X = {x1 , x2 , . . . , xn } thì chúng ta viết r(x1 , x2 , . . . , xn )
thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }). Ta có rR (X) là một iđêan phải của vành R. Hơn
nữa, nếu X là môđun con của M thì rR (X) là một iđêan (phải và trái) của

R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu là lR (X) và được định
nghĩa tương tự.
Môđun MR được gọi là trung thành nếu rR (M ) = 0. Điều này tương
đương với việc tồn tại một đơn cấu ι : RR → M (X) với X là một tập chỉ số
nào đó.
Cho N là một môđun con của M , khi đó môđun con K của M được
gọi là phần bù giao của N trong M nếu K là môđun con cực đại thỏa mãn
điều kiện K ∩ N = 0. Theo [10, Proposition 5.21] thì mọi môđun con trong

M luôn tồn tại phần bù giao trong M .
Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu
với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B = 0. Khi đó,
chúng ta cũng gọi M là một mở rộng cốt yếu của A và được ký hiệu là

A ≤e M . Một đơn cấu f : M → N được gọi là đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúng
cốt yếu) nếu Im(f ) ≤e N . Đối ngẫu với khái niệm cốt yếu, môđun con A
của môđun M được gọi là đối cốt yếu hoặc bé trong M , ký hiệu là A

M,

nếu với mỗi môđun con B = M của M chúng ta đều có A + B = M . Một
toàn cấu g : M → N được gọi là toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé )
nếu Ker(g)

M.

Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x. Các
17


cặp phần tử lũy đẳng e1 , e2 của vành R được gọi là trực giao nếu e1 .e2 =

e2 .e1 = 0.
Một kết quả về phần tử lũy đẳng liên quan đến luận án là bổ đề sau
đây:
Bổ đề 1.1.1 ([5, Lemma 5]). Cho R là một vành thỏa mãn R = ReR với

e2 = e ∈ R và M là một R-môđun phải. Đặt S = eRe và giả sử L là một
môđun con của M . Khi đó:

(1) L là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu Le là cốt yếu trong (M e)S .
(2) L là phần bù giao của K trong M nếu và chỉ nếu Le là phần bù giao
của Ke trong (M e)S .

(3) MR = L ⊕ K nếu và chỉ nếu (M e)S = Le ⊕ Ke.
Cho M và N là các R-môđun, theo [42, Definitions, trang 118] thì môđun

N được gọi là được sinh bởi M (M -sinh) hay M sinh ra N nếu tồn tại toàn

cấu f : M (Λ) → N , với tập chỉ số Λ nào đó. Môđun M được gọi là tự sinh
nếu nó sinh ra mọi môđun con của nó, có nghĩa là với mọi môđun con N
của M thì luôn tồn tại toàn cấu f : M (Λ) → N với tập chỉ số Λ nào đó. Ta
nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M hoặc M là một vật sinh
con của N nếu N đẳng cấu với một môđun con của một môđun M -sinh.
Ta ký hiệu σ[M ] là phạm trù con của phạm trù Mod-R mà các vật là các

R-môđun phải được sinh con bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun.
Rõ ràng, σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của phạm trù Mod-R.
Đế phải của môđun MR được kí hiệu là Soc(MR ), nó là tổng các môđun
con đơn của MR , là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của MR . Nếu

MR không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR ) = 0. Căn của môđun
MR được kí hiệu là Rad(MR ), nó là giao của tất cả các môđun con tối đại
của MR , là tổng tất cả các môđun con bé của MR . Nếu MR không chứa
môđun con tối đại nào thì ta định nghĩa Rad(MR ) = MR . Đặc biệt, chúng
18


ta đã biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R). Do đó không sợ nhầm lẫn, ta luôn
kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là căn của RR .
Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M . Ta nói
L thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng, viết là ACC, nếu mọi dãy tăng

A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . . các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại
n ∈ N sao cho An = An+i với mọi i ∈ N. Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây
chuyền giảm, viết là DCC, nếu mọi dãy giảm D1 ≥ D2 ≥ . . . ≥ Dn ≥ . . .
các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho Dn = Dn+i với
mọi i ∈ N. Một R-môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cả các
môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập

tất cả các môđun con của M thỏa mãn DCC.

1.2

Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của
môđun nội xạ

Cho M , N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu
f : A → N , f¯ : M → N . Khi đó người ta gọi f¯ là một mở rộng của đồng
cấu f hoặc f mở rộng được đến đồng cấu f¯ (hoặc f mở rộng được đến M )
nếu f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ A.
Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứng
dụng trong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.
Một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N
thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .
Nếu môđun M là M -nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ.
Nếu M là N -nội xạ với mọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ. Các
môđun M1 , . . . , Mn được gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là Mj -nội xạ với
mọi i = j, 1 ≤ i, j ≤ n. Một kết quả về môđun nội xạ liên quan đến luận
án là bổ đề sau đây:
n

Bổ đề 1.2.1 ([32, Corollary 1.8, Corollary 1.19]). Cho môđun M =

Mi .
i=1

19

Khi đó:

(1) M là A-nội xạ khi và chỉ khi Mi là A-nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n.
(2) M là tựa nội xạ khi và chỉ khi Mi là Mj -nội xạ với mọi i, j = 1, 2, . . . , n.
M n là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ với mọi 1 ≤ n ∈ N.
Bao nội xạ của môđun M là một môđun nội xạ N cùng với một đơn
cấu cốt yếu ι : M → N . Lúc này, người ta vẫn thường gọi N là bao nội xạ
của M và ký hiệu là N = E(M ). Hơn nữa, mọi môđun được nhúng cốt yếu
vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội xạ.
Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là N -xạ ảnh nếu
với mọi toàn cấu g : N → M và mỗi đồng cấu f : P → M đều tồn tại một
đồng cấu h : P → N sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P
là N -xạ ảnh với mọi môđun N thuộc Mod-R.
Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với một
toàn cấu đối cốt yếu p : P → M . Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnh
của M . Mặc dù mọi môđun là ảnh toàn cấu của một môđun xạ ảnh nhưng
một môđun không nhất thiết có phủ xạ ảnh. Vành R mà mọi R-môđun có
phủ xạ ảnh chính là vành hoàn chỉnh.
Sau đây là một kết quả về bao nội xạ liên quan đến sự phân tích thành
tổng trực tiếp của các môđun:
n

Bổ đề 1.2.2 ([33, Proposition 1.10]). Nếu M =
n

tiếp hữu hạn của các môđun. Khi đó, E(
i=1

Mi là một tổng trực
i=1

n

Mi ) =

E(Mi ).
i=1

Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ của một R-môđun M , ta phải
kiểm tra xem M có là N -nội xạ với mọi R-môđun N hay không. Tuy nhiên,
trên thực tế, ta chỉ cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không là đủ nhờ tiêu
chuẩn Baer sau đây.
Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mọi iđêan phải
20


I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu
f¯ : RR → MR .
Có hai hướng mở rộng chính về môđun nội xạ, đó là: Mở rộng từ định
nghĩa gốc và mở rộng từ tiêu chuẩn Baer. Các mở rộng của môđun nội xạ
theo hướng từ định nghĩa gốc là môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội
xạ, FP-nội xạ, vv... Các mở rộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer là
môđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv ...
Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộng
của môđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ.
Cho R là một vành và M , N là các R-môđun phải. Khi đó, theo [25],
một môđun M được gọi là N -giả nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N
thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .
Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ. Hai môđun M và

N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ và N là M -giả

nội xạ. Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là một môđun giả
nội xạ.
Mặt khác, theo [6], một môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu
với mỗi môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở
rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt
yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu. Hai môđun M và N được gọi là giả
nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội
xạ cốt yếu. Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một
môđun giả nội xạ cốt yếu.
Nhiều kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu đã được các tác
giả Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6]. Tuy nhiên, vì mục đích riêng của
luận án, chúng tôi chỉ đưa ra một số kết quả sau đây:

Bổ đề 1.2.3 ([6, Proposition 2.2]). Cho M và N là các môđun và X =

N ⊕ M. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:
21


(1) N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(2) Với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì X =
N ⊕ K.
Bổ đề 1.2.4 ([6, Proposition 2.3]). Nếu N là M -giả nội xạ cốt yếu thì mỗi
hạng tử trực tiếp của N là M -giả nội xạ cốt yếu.
Bổ đề 1.2.5 ([6, Proposition 2.4]). Cho M và N là các môđun. Khi đó, các
điều kiện sau đây là tương đương:

(1) N là M -giả nội xạ cốt yếu.
M
-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con L của M .

L
Bổ đề 1.2.6 ([6, Theorem 2.7]). Nếu M ⊕ N là M -giả nội xạ cốt yếu thì

(2) N là

N là M -nội xạ.
Vào năm 1961, trong công trình của mình, Utumi đã định nghĩa về các
vành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và C3. Sau đó, việc mở rộng từ các vành
C1, C2 và C3 sang môđun lần lượt thuộc về Jeremy, Takeuchi, Mohammed
và Bouhy. Để giới thiệu các khái niệm về môđun C1, C2, C3 và các mở
rộng của nó, trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện sau đây đối với
môđun:
Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M , tồn
tại một hạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B .
Điều kiện C2 : Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực
tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Điều kiện C3 : Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn

A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.2.7. Cho M là một môđun. Khi đó:

(1) Môđun M được gọi là C1 nếu M thỏa mãn điều kiện C1. Môđun C1
còn được gọi là môđun CS hoặc môđun mở rộng.
22


(2) Môđun M được gọi là C2 nếu M thỏa mãn điều kiện C2. Môđun C2
còn được gọi là môđun nội xạ trực tiếp.

(3) Môđun M được gọi là C3 nếu M thỏa mãn điều kiện C3.

(4) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và
C2.

(5) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1
và C3. Môđun tựa liên tục còn được gọi là môđun π -nội xạ.
Cuối cùng, một khái niệm liên quan đến luận án mà đã được Alahmadi,
Jain và Leroy đề xuất vào năm 2012, đó là môđun ADS. Theo đó, một Rmôđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và
với mỗi phần bù giao T của S , chúng ta có M = S ⊕ T (xem [7]). Nhiều
kết quả về môđun ADS đã được các tác giả nghiên cứu trong [7] và [35].

1.3

Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan
trọng khác

Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là Artin phải, Noether phải nếu RR
là môđun Artin, Noether (tương ứng).
Định lý 1.3.2 ([28, Theorem 6.5.1]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với vành R:

(1) R là vành Noether phải.
(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ.
(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun phải đơn
là nội xạ.
Định nghĩa 1.3.3. Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất
một iđêan phải (hoặc trái) cực đại.
23


Một kết quả của vành địa phương liên quan đến sự phân tích của một

môđun thành tổng trực tiếp của các môđun con mà được sử dụng trong
luận án là bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.3.4 ([10, Lemma 26.4]). Cho M là một môđun có sự phân tích

M = K ⊕ L. Giả sử N là một hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn N =
N1 ⊕ · · · ⊕ Nn trong đó mỗi End(Ni ) là một vành địa phương. Khi đó, tồn
tại các hạng tử trực tiếp K của K và L của L sao cho M = N ⊕ K ⊕ L .
Định nghĩa 1.3.5. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa von
Neumann) nếu với mỗi a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.
Thể, vành nửa đơn và vành ma trận Mn (K) với K là một trường là
những vành chính quy. Sau đây, chúng tôi nhắc lại một tính chất quan
trọng liên quan đến vành chính quy.
Bổ đề 1.3.6 (McCoy’s Lemma, [37, Lemma 2.1]). Cho R là vành và a, b ∈ R
mà c = a − aba là một phần tử chính quy thì a là phần tử chính quy.
Các vành chính quy có các đặc trưng quan trọng sau đây:
Định lý 1.3.7 ([18, Theorem 1.1]). Các điều kiện sau đây là tương đương
đối với vành R:

(1) R là một vành chính quy.
(2) Mọi iđêan phải (trái) xiclic là hạng tử trực tiếp của RR (R R).
(3) Mọi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR (R R).
Bổ đề 1.3.8 ([27, Lemma 4]). Cho R là một vành chính quy. Nếu R-môđun

M là xạ ảnh thì mọi môđun con hữu hạn sinh của M là hạng tử trực tiếp
của M .
Định nghĩa 1.3.9. Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải)
nếu mỗi iđêan phải (hữu hạn sinh) là xạ ảnh.
24

Các khái niệm về vành di truyền (nửa di truyền) trái hoặc hai phía được
định nghĩa hoàn toàn tương tự.
Rõ ràng, các vành chính quy là nửa di truyền (phải và trái). Các vành
Artin nửa đơn, vành ma trận tam giác trên trên một thể là di truyền phải
và trái (xem [29, 2.36]).
Các vành di truyền (một phía) có đặc trưng tiêu biểu sau đây:
Định lý 1.3.10 ([29, Corollary 2.26 và Theorem 3.22]). Các điều kiện sau
đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành di truyền phải.
(2) Mọi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ.
(3) Mọi môđun con của một R-môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh.
Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ
lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm
1939. Cho đến nay, đã có rất nhiều đặc trưng của lớp vành này được chỉ
ra. Lớp vành tựa Frobenius có vai trò quan trọng trong lý thuyết vành kết
hợp không giao hoán, đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Vành QF được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.3.11. Vành R được gọi là tựa Frobenius (hay gọi là vành
QF) nếu nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái).
Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số đặc trưng của lớp vành này bằng
cách giảm nhẹ tính tự nội xạ (xem [33]).
Định lý 1.3.12. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius.
(2) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.
(3) R là vành Noether phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.
25