Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THẾ HẢI

MỘT SỐ MỞ RỘNG
CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
VÀ VÀNH LIÊN QUAN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số:
62460104

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HUẾ - NĂM 2016


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế.
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TS. Lê Văn Thuyết
2. TS. Bành Đức Dũng
Phản biện 1: ...
Phản biện 2: ...
Phản biện 3: ...
Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế họp tại:
.............................................................................................................................
Vào hồi ..... giờ ..... ngày .... tháng .... năm 2016.
Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Trung tâm học liệu-Đại học Huế.
2. Thư viện trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế.

1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất hiện
khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu.
Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng chính. Hướng thứ
nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện bên trong (tức là
nghiên cứu các iđêan một phía) và hướng thứ hai là đặc trưng vành bằng các điều
kiện bên ngoài (tức là nghiên cứu các môđun trên chúng). Trong luận án này, chúng
tôi nghiên cứu cấu trúc vành theo hướng thứ hai.
Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất vào năm
1940. Theo đó, một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của
N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun
M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N . Không chỉ đưa ra khái
niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi
nào thì một R-môđun M là nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" và
được phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi
đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR → MR . Từ khi có tiêu
chuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mở rộng của môđun nội xạ đã
được đề cập. Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc và từ
Tiêu chuẩn Baer. Vì mục đích của luận án này, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mở
rộng của môđun nội xạ từ định nghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm
1961, đó là môđun tựa nội xạ. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M -nội xạ.
Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ.
Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát của
môđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ. Theo đó, môđun M được gọi là N -giả
nội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn cấu từ A vào M đều mở rộng
được đến đồng cấu từ N vào M . Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả

nội xạ. Có thể nói môđun giả nội xạ là một khái niệm đã và đang nhận được nhiều
sự quan tâm đặc biệt của các nhà nghiên cứu. Tổng quan chung về các nội dung
được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ bao gồm: Nghiên cứu các
tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các tính chất của môđun tựa nội xạ;
xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụ
để chứng tỏ tồn tại môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm các
tính chất riêng của môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọng
như vành Artin nửa đơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv. . .
Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ ra đời
với nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành đã tạo nên động
lực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến sự mở rộng của môđun
này. Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội xạ là lớp môđun giả nội xạ cốt
yếu, môđun nội xạ cốt yếu, môđun C2, vv...
Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứu một số
mở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành quen thuộc. Vì vậy,
chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án là "Một số mở rộng của
lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan".


2

Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương.
Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đã biết
nhằm sử dụng cho các chương sau.
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ cốt
yếu.
Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu một trường hợp
tổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốt yếu. Theo đó, môđun
M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con A cốt yếu của N thì
mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được

gọi là môđun giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu. Những kết quả đầu
tiên mà chúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N -giả nội
xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7). Chúng ta đã biết, mọi
môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu,
chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều
kiện C3 (Định lý 2.2.11). Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và
tựa nội xạ, H. Q. Dinh đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạ
và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên cứu tính chất của
môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh được rằng: Một môđun M là
tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ và CS. Ngoài các tính chất của
môđun giả nội xạ cốt yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa
môđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề
cập trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ cốt yếu
nếu vành EndR (M ) là giả nội xạ cốt yếu phải.
Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế mịn nếu
với bất kỳ M, N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M )
Soc(N ) khi và chỉ khi M
N . Một
môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu với
mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốt
yếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó chúng tôi chứng minh
được rằng, R là vành QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15).
Trong trường hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R là
Artin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn
khi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16). Ngoài các tính chất liên quan đến
vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ
cốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và mở rộng vành cũng được
chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý 2.2.18.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của môđun
ADS, đó là: Môđun ADS tổng quát.

Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđun ADS.
Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕T
và với mỗi phần bù giao T của S thì M = S ⊕ T . Trong công trình của mình, các
tác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự của
môđun tựa liên tục. Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật
thiết đến định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N
là các môđun và X = N ⊕ M thì N là M -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ


3

phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì X = N ⊕ K . Từ mối liên quan này,
chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Một
môđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M
và mỗi phần bù giao T của S mà T ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T . Lớp môđun ADS tổng
quát là một mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2). Đối với môđun
ADS, người ta đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự
phân tích M = A ⊕ B , ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ. Đối với môđun ADS
tổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quát thì với bất kỳ
sự phân tích M = A ⊕ B , ta luôn có A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ (Định lý
3.2.1). Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối với môđun ADS tổng quát là tương tự
với các kết quả của môđun ADS. Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđun
ADS không còn đúng nữa đối với môđun ADS tổng quát. Chẳng hạn, để hạng tử
trực tiếp của môđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm một
số điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của
môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6).
Một số tính chất của môđun ADS trong phạm trù σ[M ] đã được chỉ ra là: M là
nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun
hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là
ADS. Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng, M là nửa đơn

nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđun
hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđun 3-sinh trong
σ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10). Do đó, một vành R là Artin nửa đơn khi
và chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải
hữu hạn sinh là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS
tổng quát (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa
nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Trong phần cuối của chương
này, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng
vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.
Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của môđun C2,
đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C). Việc nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều
kiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để từ đó đặc trưng một số lớp vành
quen thuộc.
Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) được Nakayama
giới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía. Một trong
những kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun nội xạ liên
quan đến vành QF là định lý Faith-Walker. Định lý được phát biểu rằng: Vành R
là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi
R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ. Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QF
đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Vào năm 1967, Faith-Walker đã
chứng minh được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) nhúng
được vào một môđun tự do. Như vậy, nếu mỗi R-môđun phải nhúng được vào một
môđun tự do thì R là vành QF. Một câu hỏi được đưa ra ở đây là: Nếu mỗi R-môđun
phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì R có phải là vành QF hay
không? Vành R mà mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun
tự do thì được gọi là vành FGF. Do đó, câu hỏi mà chúng ta vừa đề cập có thể viết


4

ngắn gọn lại là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Câu hỏi này chính là
giả thuyết FGF nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Đến nay, người ta đã
chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành QF. Như vậy, việc
nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làm sáng
tỏ giả thuyết FGF nói trên.
Cho M là một môđun và S = EndR (M ). Trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi chứng
minh được rằng, môđun M là môđun C2 nếu và chỉ nếu với bất kỳ s ∈ S , mà Ker(s)
là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp của M . Từ kết quả này,
chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun C2, đó là môđun thỏa mãn điều kiện
(C). Một môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) nếu với mỗi s ∈ S và s = 0,
tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và nếu Ker(sn ) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn )
là hạng tử trực tiếp của M . Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) phải
nếu RR là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Một số mệnh đề tương đương với một
môđun thỏa mãn điều kiện (C) đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.10. Từ
định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng ta có mọi môđun C2 đều thỏa
mãn điều kiện (C). Khi môđun M có vành các tự đồng cấu S = EndR (M ) là vành địa
phương thì chúng tôi chứng minh được 2 lớp môđun này là trùng nhau (Mệnh đề
4.1.7). Đối với môđun C2 thì hạng tử trực tiếp của môđun C2 cũng là môđun C2.
Trong Định lý 4.1.12, chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hạng tử trực tiếp của
môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Về mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tự đồng cấu
S = EndR (M ) của nó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđun tự sinh
thì M thỏa mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải
(Định lý 4.1.17).
Đối với môđun Rickart và d-Rickart, các tác giả Lee, Rizvi và Roman đã chứng
minh được rằng: S là vành chính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa
mãn điều kiện C2 khi và chỉ khi M là môđun d-Rickart và thỏa mãn điều kiện D2.
Đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng chứng minh được rằng, S là
vành chính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện (C) khi
và chỉ khi M là môđun d-Rickart và s(M ) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S (Định lý

4.1.21).
Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành được chúng
tôi quan tâm trong phần cuối của luận án này. Khi R là vành chính quy (theo nghĩa
von Neumann), một số tính chất của R-môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng
tôi đưa ra trong Định lý 4.2.2. Khi R là vành di truyền, một kết quả quan trọng đã
biết là, vành R là di truyền nếu và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun
phải nội xạ là nội xạ. Trong Định lý 4.2.4, chúng tôi chứng minh được rằng R là
vành di truyền phải nếu và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội
xạ là môđun thỏa mãn điều kiện (C). Chúng tôi cũng thu được một số kết quả về
việc đặc trưng vành Noether đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Định lý
4.2.5. Cuối cùng, các đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin được chúng tôi nghiên
cứu trong Định lý 4.2.6.


5

CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R đã cho luôn được giả thiết là
vành kết hợp, có đơn vị 1 = 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita phải hoặc
trái.

1.1

Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản

Với vành R đã cho, ta viết MR (R M ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư., trái).
Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận án, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun,
để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR . Chúng tôi dùng các ký hiệu A ≤ M
(A < M ) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của môđun M . Nếu A là một hạng

tử trực tiếp của môđun M thì ta viết A ≤⊕ M . Ký hiệu Mn (R) là để chỉ vành các
ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập với card(I) = α
và M là một môđun, ta sẽ kí hiệu tổng trực tiếp α bản sao của M bởi M (I) hoặc
M (α) , tích trực tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc M α . Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod)
là phạm trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải, đồng
cấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N .
Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ = X ⊂ M . Linh hóa tử phải của X trong
R được ký hiệu là rR (X) và được xác định như sau: rR (X) = {r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X} .
Khi không sợ nhầm lẫn về vành cơ sở R chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR (X).
Khi X = {x1 , x2 , . . . , xn } thì chúng ta viết r(x1 , x2 , . . . , xn ) thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }).
Ta có rR (X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M
thì rR (X) là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được
ký hiệu là lR (X) và được định nghĩa tương tự.
Môđun MR được gọi là trung thành nếu rR (M ) = 0. Điều này tương đương với
việc tồn tại một đơn cấu ι : RR → M (X) với X là một tập chỉ số nào đó.
Cho N là một môđun con của M , khi đó môđun con K của M được gọi là phần
bù giao của N trong M nếu K là môđun con cực đại thỏa mãn điều kiện K ∩ N = 0.
Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu với mỗi
môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B = 0. Khi đó, chúng ta cũng gọi M
là một mở rộng cốt yếu của A và được ký hiệu A ≤e M . Một đơn cấu f : M → N
được gọi là đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúng cốt yếu) nếu Im(f ) ≤e N . Đối ngẫu với khái


6

niệm cốt yếu, môđun con A của môđun M được gọi là đối cốt yếu hoặc bé trong M ,
ký hiệu A M , nếu với mỗi môđun con B = M của M chúng ta đều có A + B = M .
Một toàn cấu g : M → N được gọi là toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé ) nếu
Ker(g)
M.

Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x. Các cặp phần
tử lũy đẳng e1 , e2 của vành R được gọi là trực giao nếu e1 .e2 = e2 .e1 = 0.
Cho M và N là các R-môđun. Khi đó, môđun N được gọi là được sinh bởi M
(M -sinh) hay M sinh ra N nếu tồn tại toàn cấu f : M (Λ) → N , với tập chỉ số Λ nào
đó. Môđun M được gọi là tự sinh nếu nó sinh ra mọi môđun con của nó, có nghĩa là
với mọi môđun con N của M thì luôn tồn tại toàn cấu f : M (Λ) → N với tập chỉ số
Λ nào đó. Ta nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M hoặc M là một vật
sinh con của N nếu N đẳng cấu với một môđun con của một môđun M -sinh. Ta ký
hiệu σ[M ] là phạm trù con của phạm trù Mod-R mà các vật là các R-môđun phải
được sinh con bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun. Rõ ràng, σ[M ] là phạm
trù con đầy đủ của phạm trù Mod-R.
Đế phải của môđun MR được kí hiệu là Soc(MR ), nó là tổng các môđun con
đơn của MR , là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của MR . Nếu MR không
chứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR ) = 0. Căn của môđun MR được kí hiệu
là Rad(MR ), nó là giao của tất cả các môđun con tối đại của MR , là tổng tất cả
các môđun con bé của MR . Nếu MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta định
nghĩa Rad(MR ) = MR . Đặc biệt, chúng ta đã biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R). Do đó
không sợ nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là
căn của RR .
Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M . Ta nói L thỏa mãn
điều kiện dây chuyền tăng, viết là ACC, nếu mọi dãy tăng A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . .
các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho An = An+i với mọi i ∈ N.
Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm, viết là DCC, nếu mọi dãy giảm
D1 ≥ D2 ≥ . . . ≥ Dn ≥ . . . các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho
Dn = Dn+i với mọi i ∈ N. Một R-môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cả
các môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập tất
cả các môđun con của M thỏa mãn DCC.

1.2

Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của
môđun nội xạ

Cho M , N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu f : A → N ,
¯
f : M → N . Khi đó người ta gọi f¯ là một mở rộng của đồng cấu f hoặc f mở rộng
được đến đồng cấu f¯ (hoặc f mở rộng được đến M ) nếu f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ A.
Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.
Một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi
đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Nếu môđun M


7

là M -nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ. Nếu M là N -nội xạ với
mọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ. Các môđun M1 , . . . , Mn được gọi là nội xạ
tương hỗ nếu Mi là Mj -nội xạ với mọi i = j, 1 ≤ i, j ≤ n. Bao nội xạ của môđun M
là một môđun nội xạ N cùng với một đơn cấu cốt yếu ι : M → N . Lúc này, người
ta vẫn thường gọi N là bao nội xạ của M và ký hiệu là N = E(M ). Hơn nữa, mọi
môđun được nhúng cốt yếu vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội
xạ.
Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là N -xạ ảnh nếu với mọi
toàn cấu g : N → M và mỗi đồng cấu f : P → M đều tồn tại một đồng cấu h : P → N
sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là N -xạ ảnh với mọi môđun N
thuộc Mod-R. Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với một
toàn cấu đối cốt yếu p : P → M . Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnh của M .
Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ của một R-môđun M , ta phải kiểm
tra xem M có là N -nội xạ với mọi R-môđun N hay không. Tuy nhiên, trên thực tế,
ta chỉ cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không là đủ nhờ tiêu chuẩn Baer sau đây.

Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R,
mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu f¯ : RR → MR .
Có hai hướng mở rộng chính về môđun nội xạ, đó là: Mở rộng từ định nghĩa gốc
và mở rộng từ tiêu chuẩn Baer. Các mở rộng của môđun nội xạ theo hướng từ định
nghĩa gốc là môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội xạ, FP-nội xạ, vv... Các mở
rộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer là môđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội
xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv ...
Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộng của
môđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ.
Cho R là một vành và M , N là các R-môđun phải. Khi đó, môđun M được gọi
là N -giả nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều
mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là
M -giả nội xạ. Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N -giả
nội xạ và N là M -giả nội xạ. Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là một
môđun giả nội xạ.
Môđun M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A
của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .
Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu. Hai môđun
M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và
N là M -giả nội xạ cốt yếu. Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR
là một môđun giả nội xạ cốt yếu.
Vào năm 1961, trong công trình của mình, Utumi đã định nghĩa về các vành
thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và C3. Sau đó, việc mở rộng từ các vành C1, C2 và
C3 sang môđun lần lượt thuộc về Jeremy, Takeuchi, Mohammed và Bouhy. Để giới
thiệu các khái niệm về môđun C1, C2, C3 và các mở rộng của nó, trước tiên, chúng
tôi nhắc lại một số điều kiện sau đây đối với môđun:
Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M , tồn tại một
hạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B .

8

Điều kiện C2 : Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Điều kiện C3 : Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0
thì A ⊕ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.2.7. Cho M là một môđun. Khi đó:
(1) Môđun M được gọi là C1 nếu M thỏa mãn điều kiện C1. Môđun C1 còn được

gọi là môđun CS hoặc môđun mở rộng.
(2) Môđun M được gọi là C2 nếu M thỏa mãn điều kiện C2. Môđun C2 còn được

gọi là môđun nội xạ trực tiếp.
(3) Môđun M được gọi là C3 nếu M thỏa mãn điều kiện C3.
(4) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và C2.
(5) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và C3.
Môđun tựa liên tục còn được gọi là môđun π -nội xạ.

Cuối cùng, một khái niệm liên quan đến luận án mà đã được Alahmadi, Jain
và Leroy đề xuất vào năm 2012, đó là môđun ADS. Theo đó, một R-môđun phải M
được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T
của S , chúng ta có M = S ⊕ T .

1.3

Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan
trọng khác

Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là Artin phải, Noether phải nếu RR là môđun
Artin, Noether (tương ứng).

Định nghĩa 1.3.3. Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất một
iđêan phải (hoặc trái) cực đại.
Định nghĩa 1.3.5. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa von Neumann)
nếu với mỗi a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.
Thể, vành nửa đơn và vành ma trận Mn (K) với K là một trường là những vành
chính quy.
Định nghĩa 1.3.9. Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải) nếu
mỗi iđêan phải (hữu hạn sinh) là xạ ảnh.
Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ lý thuyết
biểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm 1939. Cho đến nay,
đã có rất nhiều đặc trưng của lớp vành này được chỉ ra. Lớp vành tựa Frobenius có
vai trò quan trọng trong lý thuyết vành kết hợp không giao hoán, đã và đang được
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Vành QF được định nghĩa như sau:


9

Định nghĩa 1.3.11. Vành R được gọi là tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) nếu
nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái).
Một đặc trưng đẹp đẽ của vành QF thông qua các lớp môđun nội xạ, xạ ảnh là
định lý Faith-Walker sau đây:
Định lý 1.3.13. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành tựa Frobenius.
(2) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh.
(3) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ.

Trong phần cuối của mục này, chúng tôi giới thiệu về vành nửa Artin.
Định nghĩa 1.3.14. Một môđun M được gọi là nửa Artin nếu mọi môđun thương
khác không có đế khác không. Một vành R được gọi là vành nửa Artin phải nếu RR
là môđun nửa Artin.

1.4

Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1. Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ có đúng hai môđun
con là 0 và M .
Định nghĩa 1.4.2. Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M phân tích được
thành tổng trực tiếp của các môđun con đơn. Một vành R được gọi là nửa đơn phải
(trái) nếu RR (R R) là môđun nửa đơn.
Sau đây là một số đặc trưng quan trọng của vành nửa đơn liên quan đến phạm
trù Mod-R, sự phân tích thành tổng trực tiếp vành, vành chính quy và vành Artin.
Định lý 1.4.5. (Osofsky). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải
(trái) xiclic là nội xạ.
Định lý 1.4.6. (Wedderburn-Artin). Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng
trực tiếp vành của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể.
Định lý 1.4.7. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy và không
chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao.
Định lý 1.4.8. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là Artin phải hay trái và
J(R) = 0.
Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề liên quan đến căn của vành, đã có lúc
Jacobson định nghĩa một vành R là nửa đơn khi J(R) = 0 và cho đến nay vẫn còn
một số nhà toán học sử dụng định nghĩa này. Chính vì thế, để khỏi nhầm lẫn, từ
Định lý 1.4.8, một số nhà toán học đã gọi vành nửa đơn trong Định nghĩa 1.4.2 là
vành Artin nửa đơn. Trong luận án này, kể từ đây về sau, chúng tôi gọi vành nửa
đơn như trong Định nghĩa 1.4.2 là vành Artin nửa đơn.


10

CHƯƠNG 2
Môđun giả nội xạ cốt yếu
Trong chương này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun giả
nội xạ cốt yếu ngoài những tính chất mà đã được Alahmadi, Er và Jain nghiên cứu.
Một số áp dụng để nghiên cứu các vành Artin nửa đơn, vành QF, vành Noether và
vành đối nửa đơn cũng được đưa ra.

2.1

Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về môđun giả nội xạ cốt yếu như sau:
Định nghĩa 2.1.1. Cho M và N là các R-môđun. Khi đó:
(1) M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A của N thì
mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M .
(2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu.
(3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N -giả nội
xạ cốt yếu và N là M -giả nội xạ cốt yếu.
(4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun giả nội

xạ cốt yếu.
Từ Định nghĩa 2.1.1 ta có, nếu M là N -giả nội xạ thì M là N -giả nội xạ cốt yếu.
Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu.
Ví dụ 2.1.2. Xét các Z-môđun Zp2 , Zp3 và Zn trong đó p là một số nguyên tố và
2 ≤ n ∈ N. Khi đó:
(1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu.
(2) Zp3 là Zp2 -giả nội xạ cốt yếu.
(3) Zp2 không là Zp3 -giả nội xạ cốt yếu.

11

2.2

Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt
yếu

Một môđun con N của M được gọi là bất biến đầy đủ trong M nếu f (N ) ≤ N
với mọi f ∈ EndR (M ).
Các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã chứng minh được rằng, một môđun M là
giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu nó bất biến qua các đơn cấu trong EndR (E(M )).
Trong định lý dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một môđun M là N -giả nội xạ cốt
yếu nếu và chỉ nếu α(N ) ≤ M với mọi đơn cấu α : E(N ) → E(M ).
Định lý 2.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun M và N :
(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu.
(2) α(N ) ≤ M với mọi đơn cấu α : E(N ) → E(M ).

Tiếp theo là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự như các kết
quả của môđun giả nội xạ.
Mệnh đề 2.2.6. Cho M và N là các môđun. Khi đó:
(1) M là N -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K -giả nội xạ cốt yếu với mọi K
là môđun con cốt yếu của N .
(2) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K

N , thì M là K -giả nội xạ cốt yếu.

(3) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K

M thì K là N -giả nội xạ cốt yếu.

(4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu tồn tại một đẳng
cấu giữa các môđun con A và B trong đó A ≤e N và B ≤e M thì M N .
(5) Giả sử A và B là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ. Nếu E(A) E(B) thì
mỗi đẳng cấu từ E(A) → E(B) thu hẹp được thành đẳng cấu từ A → B . Hơn nữa,
A và B là giả nội xạ cốt yếu.

Chúng ta đã có N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -nội xạ với mọi
môđun M . Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu được một kết quả mở
rộng sau đây:
Định lý 2.2.7. Cho M và N là các môđun. Khi đó:
(1) N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun
M.
(2) Giả sử N = A ⊕ B và M = C ⊕ D sao cho B được nhúng trong D. Nếu M là N -giả
nội xạ cốt yếu thì C là A-giả nội xạ cốt yếu.

Tiếp theo là các tính chất khác của môđun giả nội xạ cốt yếu.
Định lý 2.2.9. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :


12
(1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu.
(2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biến đầy đủ
dưới các đơn cấu của EndR (M ).
(3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu.

Chúng ta đã biết, mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu là
giả nội xạ cốt yếu. Tuy nhiên, để tổng trực tiếp của hai môđun giả nội xạ cốt yếu
là môđun giả nội xạ cốt yếu thì chúng tôi cần thêm một số điều kiện.
Định lý 2.2.10. Cho M = M1 ⊕ M2 và E(M1 ), E(M2 ) là các môđun con bất biến đầy
đủ dưới các tự đơn cấu của E(M ). Khi đó M là giả nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi

M1 , M2 là giả nội xạ cốt yếu.
Chúng ta đã có, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Đối với
môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứng minh được:
Định lý 2.2.11. Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3.
Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ, H. Q. Dinh
đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđun
tựa nội xạ hay không? Trong định lý dưới đây, chúng tôi chứng minh được rằng,
một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS.
Từ đó chúng tôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của H. Q. Dinh.
Định lý 2.2.12. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và
CS.
Hệ quả 2.2.13. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và CS.
Kết quả sau đây nói về mối quan hệ giữa một môđun giả nội xạ cốt yếu và vành
các tự đồng cấu của nó.
Định lý 2.2.14. Cho M là một môđun tự sinh. Nếu EndR (M ) là giả nội xạ cốt yếu
phải thì M là giả nội xạ cốt yếu.
Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế mịn nếu
với bất kỳ M, N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M ) Soc(N ) khi và chỉ khi M N .
Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N -giả nội xạ cốt
yếu với mọi R-môđun phải N . Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các R-môđun phải giả
nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ ảnh.
Một kết quả đã biết là: R là vành QF khi và chỉ khi hoặc lớp các R-môđun xạ
ảnh hoặc lớp các R-môđun nội xạ là đế mịn. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu mạnh,
chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:
Định lý 2.2.15. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành QF.


13
(2) Lớp PR ∪ SE là đế mịn.

Một mối quan hệ giữa vành Artin nửa đơn R với các R-môđun nội xạ đã được
chỉ ra là: R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun nội xạ là đế
mịn. Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu và giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng tôi thu
được định lý sau đây:
Định lý 2.2.16. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là Artin nửa đơn.
(2) Lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn.
(3) Lớp SE là đế mịn.

Một môđun M được gọi là đối nửa đơn nếu mỗi môđun con thực sự của M là
giao của các môđun con cực đại. R được gọi là vành đối nửa đơn nếu môđun phải
RR là một môđun đối nửa đơn.
Định lý 2.2.17. Cho R là một vành. Khi đó:
(1) Mỗi tổng trực tiếp của 2 môđun giả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ cốt yếu

khi và chỉ khi mỗi môđun giả nội xạ cốt yếu là nội xạ.
(2) Mở rộng cốt yếu của một R-môđun phải nửa đơn là giả nội xạ cốt yếu khi và chỉ
khi R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải.

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên quan đến
mở rộng vành.
Định lý 2.2.18. Cho M là S -R-song môđun. Giả sử T =

S M
0 R

là giả nội xạ cốt

yếu phải. Khi đó:

(1) R là giả nội xạ cốt yếu phải.
(2) Nếu S M là trung thành thì MR là giả nội xạ cốt yếu.

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 2
Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
Trong phần đầu của chương, chúng tôi thu được các đặc trưng của môđun N -giả
nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7). Ngoài ra, chúng tôi
cũng đã thu được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9
và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội
xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11) và môđun M là tựa nội xạ
khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12). Hơn nữa, chúng tôi
cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn, vành QF, vành Noether
và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý
2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối cùng, một kết quả liên quan đến mở rộng vành giả
nội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 2.2.18.


14

CHƯƠNG 3
Môđun ADS tổng quát
Trong chương này, chúng tôi khảo sát một trường hợp tổng quát của môđun
ADS, đó là môđun ADS tổng quát. Như chúng tôi đã đề cập trong phần đầu của
Chương 2, khái niệm môđun giả nội xạ cốt yếu là do các tác giả Alahmadi, Er và
Jain đưa ra. Kết quả mà chúng tôi quan tâm trong công trình của họ là họ đã chứng
minh được rằng nếu M và N là các môđun và X = N ⊕ M thì N là M -giả nội xạ
cốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì
X = N ⊕ K . Mặt khác, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân
tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T của S , chúng ta có M = S ⊕ T . Tổ hợp
các khái niệm vừa nêu ở trên, chúng tôi xét một mở rộng của môđun ADS, đó là

môđun ADS tổng quát. Một số tính chất của môđun ADS tổng quát đã được đưa
ra và việc vận dụng chúng để đặc trưng vành Artin nửa đơn cũng được chúng tôi
nghiên cứu. Các kết quả chính của chương này là Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.10 và
Định lý 3.2.14.

3.1

Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi nêu định nghĩa về môđun ADS tổng quát.
Định nghĩa 3.1.1. Một môđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi sự phân
tích M = S ⊕ T của M và với mỗi phần bù giao T của S mà T ∩ T = 0 thì M = S ⊕ T .
Một vành R được gọi là ADS tổng quát phải nếu RR là môđun ADS tổng quát.
Từ các định nghĩa về môđun ADS và môđun ADS tổng quát, chúng ta dễ dàng
suy ra được mỗi môđun ADS là ADS tổng quát. Tuy nhiên, điều ngược lại không
phải bao giờ cũng đúng. Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng, một môđun ADS tổng quát thì
có thể không là môđun ADS.


F F F
Ví dụ 3.1.2. Cho R =  0 F 0  trong đó F là một trường có 2 phần tử. Khi đó
0 0 F
N = e11 R là một R-môđun phải bất biến đẳng cấu, không phân tích được, không
tựa nội xạ và EndR (N ) là vành địa phương. Bây giờ, ta xét R-môđun M = N1 ⊕ N2
trong đó N1 = N2 = N . Khi đó, M là môđun ADS tổng quát nhưng không là ADS.


15

3.2

Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát

Nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B , ta luôn có A và
B là nội xạ tương hỗ. Trong trường hợp môđun ADS tổng quát, chúng tôi thu được
kết quả sau đây:
Định lý 3.2.1. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :
(1) M là ADS tổng quát.
(2) Nếu M = A ⊕ B thì A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ.
(3) Với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B , thì phép chiếu chính tắc πB : M → B là
một đẳng cấu khi nó được hạn chế đến bất kỳ phần bù giao C của A trong M mà
C ∩ B = 0.

Sau đây là một điều kiện tương đương khác để một môđun M là môđun ADS
tổng quát.
Định lý 3.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :
(1) M là ADS tổng quát.
(2) Với mỗi sự phân tích M = A ⊕ B và với mỗi đơn cấu
f ∈ HomR (E(B), E(A)) thì M = A ⊕ X trong đó X = {b + f (b) | b ∈ B, f (b) ∈ A}.

Chúng ta biết rằng, hạng tử trực tiếp của một môđun ADS cũng là môđun
ADS. Tuy nhiên, để một hạng tử trực tiếp của môđun ADS tổng quát là môđun
ADS tổng quát thì chúng tôi cần bổ sung thêm một số điều kiện.
Một môđun M được gọi là phân phối nếu A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) với
mọi môđun con A, B và C của M .
Mệnh đề 3.2.6. Cho M là môđun ADS tổng quát. Khi đó:
(1) Mỗi hạng tử trực tiếp thỏa mãn điều kiện CS của M là ADS tổng quát.
(2) Nếu M là môđun phân phối thì mỗi hạng tử trực tiếp của M là ADS tổng quát.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu các tính chất liên quan đến khái

niệm ADS tổng quát đối với môđun M khi M là môđun nửa đơn trong phạm trù
σ[M ]. Từ đó chúng tôi thu được một số kết quả về vành Artin nửa đơn.
Định lý 3.2.10. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M :
(1) M là nửa đơn.
(2) Mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát.
(3) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.


16
(4) Mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.

Hệ quả 3.2.11. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là Artin nửa đơn.
(2) Mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát.
(3) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát.
(4) Mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát.

Tiếp theo là mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ.
n

Định lý 3.2.14. Cho M =

Mi là một tổng trực tiếp các môđun. Khi đó, các điều
i=1

kiện sau đây là tương đương:
(1) M là tựa nội xạ.
(2) Mi là tựa nội xạ với mọi i = 1, 2, . . . , n và M 2 là ADS tổng quát.
(3) M k là ADS tổng quát với mọi số nguyên dương k ≥ 3.

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên quan đến
mở rộng vành.
Định lý 3.2.15. Cho M là một S -R-song môđun. Nếu T =

S M
0 R

là một vành

ADS tổng quát phải thì R là vành ADS tổng quát phải.
KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 3
Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
Chúng tôi đã đưa ra được một số điều kiện tương đương để một môđun là ADS
tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa biết được một
hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là ADS tổng quát hay không
nhưng nếu thêm một số điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc
hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS thì khi đó, chúng tôi
chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếp
của môđun M cũng là ADS tổng quát (Mệnh đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứu
được một số tính chất của môđun ADS tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun
M là nửa đơn (Định lý 3.2.10) và từ đó đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin
nửa đơn (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa
nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng giống như
môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng vành ADS tổng quát
được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15.


17

CHƯƠNG 4

Môđun thỏa mãn điều kiện (C)
Khi nghiên cứu về môđun giả nội xạ, tác giả H. Q. Dinh đã chứng minh được
rằng, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2. Ngoài ra, tác giả cũng đã
đưa ra được ví dụ để chỉ ra rằng, môđun C2 là một mở rộng thực sự của môđun giả
nội xạ. Liên quan đến việc nghiên cứu môđun C2, chúng tôi xin nhắc lại ở đây một
giả thuyết nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời, đó là giả thuyết FGF, nội
dung của giả thuyết là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Đến nay, người
ta đã chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành QF. Như vậy,
việc nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làm
sáng tỏ giả thuyết FGF nói trên. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một mở
rộng của môđun C2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và từ mở rộng này, chúng
tôi nghiên cứu để áp dụng vào việc đặc trưng vành bao gồm vành chính quy, vành
Artin nửa đơn, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin.

4.1

Môđun thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun thỏa
mãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) với môđun C2
cũng được chúng tôi đề cập. Việc áp dụng một số tính chất của môđun thỏa mãn
điều kiện (C) để đặc trưng vành Artin nửa đơn và vành chính quy cũng được nghiên
cứu. Các kết quả chính trong phần này là Mệnh đề 4.1.7, Định lý 4.1.10 và Định lý
4.1.21.
Chúng tôi bắt đầu phần này bằng một tính chất đơn giản của môđun C2 như
sau:
Bổ đề 4.1.1. Cho M là một R-môđun phải và S = EndR (M ). Khi đó, các mệnh đề
sau là tương đương:
(1) Môđun M là môđun C2.
(2) Với s ∈ S mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp

của M .

Xuất phát từ đặc trưng của môđun C2 trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi đề xuất một
tính chất mở rộng của môđun C2 như sau:


18

Định nghĩa 4.1.2. Một môđun MR được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) nếu với mỗi
s ∈ S và s = 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và nếu Ker(sn ) là hạng tử trực tiếp của
M thì Im(sn ) là hạng tử trực tiếp của M .
Một vành R được gọi là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là môđun
thỏa mãn điều kiện (C).
Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C) ở trên, chúng ta dễ dàng có
được mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 4.1.3. Mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C).
Khi S = EndR (M ) là vành địa phương thì chúng tôi nhận thấy các môđun C2
và môđun thỏa mãn điều kiện (C) là trùng nhau thể hiện trong mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 4.1.7. Cho M là một R-môđun phải có vành các tự đồng cấu S = EndR (M )
là vành địa phương. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) M là C2.
(2) M thỏa mãn điều kiện (C).

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các điều kiện tương đương với một môđun thỏa
mãn điều kiện (C).
Định lý 4.1.10. Cho M là R-môđun phải và S = EndR (M ). Khi đó, các mệnh đề
sau đây là tương đương:
(1) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C).
(2) Với mỗi 0 = s ∈ S , tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và nếu Ker(sn ) = Ker(e) với
e2 = e ∈ S thì e ∈ Ssn .

(3) Với mỗi 0 = s ∈ S , tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và nếu Ker(sn ) = Ker(e) với
e2 = e ∈ S thì Ssn = Se.
(4) Với mỗi 0 = s ∈ S , tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và nếu Ker(sn ) = Ker(e) với
e2 = e ∈ S thì Im(sn e) ≤⊕ M .
(5) Với mỗi 0 = s ∈ S , tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và nếu Ssn ⊆ Se ⊆ lS (Ker(sn ))
với e2 = e ∈ S thì Ssn = Se.
(6) Với mỗi 0 = s ∈ S , tồn tại n ∈ N sao cho sn = 0 và nếu Ker(sn ) = Ker(e) với
e2 = e ∈ S thì Ssn = lS (Ker(sn )).

Sau đây là tính chất của hạng tử trực tiếp của một môđun thỏa mãn điều kiện
(C).

Định lý 4.1.12. Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện (C) thì mỗi hạng tử trực tiếp
của M cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).


19

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện
(C) và vành các tự đồng cấu S = EndR (M ) của nó.
Định lý 4.1.17. Cho M là R-môđun phải và S = EndR (M ). Khi đó:
(1) Nếu S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải thì M là môđun thỏa mãn điều kiện
(C).
(2) Nếu M là môđun tự sinh và thỏa mãn điều kiện (C) thì S là vành thỏa mãn điều
kiện (C) phải.

Theo Lee, Rizvi và Roman, một R-môđun M được gọi là Rickart nếu ∀s ∈ S =
EndR (M ) thì Ker(s) = e(M ) với e2 = e ∈ S . Các tác giả đã chứng minh được rằng, S
là vành chính quy nếu và chỉ nếu Ker(f ) và Im(f ) là các hạng tử trực tiếp của M với
mọi f ∈ S .

Dựa theo khái niệm môđun nửa xạ ảnh đã được Wisbauer đưa ra, chúng tôi gọi
một R-môđun phải N là M -nửa xạ ảnh nếu, với mỗi toàn cấu π : M → B trong đó
B là môđun con bất kỳ của M và với mỗi R-đồng cấu α : N → B đều tồn tại một
R-đồng cấu β : N → M sao cho πα = β . Hiển nhiên, M là nửa xạ ảnh nếu M là
M -nửa xạ ảnh.
Trong mệnh đề dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra mối quan hệ giữa môđun Rickart
M và khái niệm M -nửa xạ ảnh.
Mệnh đề 4.1.20. Cho M là R-môđun phải và S = EndR (M ). Khi đó, các điều kiện
sau đây là tương đương:
(1) M là môđun Rickart.
(2) s(M ) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S .

Đối ngẫu với môđun Rickart là môđun d-Rickart đã được các tác giả Lee, Rizvi
và Roman giới thiệu như sau: Một R-môđun M được gọi là d-Rickart nếu ∀s ∈ S =
EndR (M ) thì Im(s) = e(M ) với e2 = e ∈ S .
Sau đây là đặc trưng của vành chính quy thông qua các môđun Rickart, dRickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C).
Định lý 4.1.21. Cho M là R-môđun phải và S = EndR (M ). Khi đó, các điều kiện
sau đây là tương đương:
(1) S là vành chính quy.
(2) M là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C).
(3) M là môđun d-Rickart và s(M ) là M -nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S .


20

4.2

Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun
thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành thông qua môđun thỏa mãn
điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi thu được bao gồm vành chính quy,
vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin. Các kết quả chính của phần này
là Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6.
4.2.1. Đối với vành chính quy
Mối liên hệ giữa vành chính quy và môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng
tôi thu được là:
Định lý 4.2.2. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành chính quy.
(2) Mỗi iđêan phải chính của vành M2 (R) thỏa mãn điều kiện (C).
(3) Mỗi iđêan phải chính của vành M2 (R) được sinh bởi ma trận đường chéo thỏa
mãn điều kiện (C).
(4) Mỗi môđun con hữu hạn sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa mãn
điều kiện (C).
(5) Mỗi môđun con 2-sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa mãn điều
kiện (C).

4.2.2. Đối với vành di truyền
Một kết quả đã biết về vành di truyền là: Vành R là di truyền phải nếu và chỉ
nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ. Đối với môđun
thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:
Định lý 4.2.4. Cho R là một vành. Khi đó, R là vành di truyền phải nếu và chỉ
nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện
(C).
4.2.3. Đối với vành Noether
Một môđun M được gọi là Σ-(tựa) nội xạ (đếm được) nếu mỗi tổng trực tiếp
(đếm được) của các bản sao của M là (tựa) nội xạ. Nếu mỗi tổng trực tiếp (đếm
được) của các bản sao của M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì M được gọi là
thỏa mãn điều kiện Σ-(C) (đếm được).
Một kết quả của Faith và Walker đã được đưa ra là: Một vành R là Noether

phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ. Hơn nữa, tác giả Fuller
cũng đã chỉ ra được rằng: Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ là Σ-tựa nội xạ khi và chỉ
khi mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ.
Định lý 4.2.5. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:


21
(1) R là vành Noether phải.
(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện
(C).
(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được của các R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn
điều kiện (C).
(4) Mỗi R-môđun phải nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.
(5) Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.

4.2.4. Đối với vành nửa Artin
Môđun M được gọi là N -đế nội xạ nếu bất kỳ R-đồng cấu f : Soc(N ) → M đều
mở rộng được đến đồng cấu từ N → M . Môđun M được gọi là đế nội xạ mạnh, nếu
M là N -đế nội xạ với mọi R-môđun phải N .
Một kết quả liên quan giữa vành Artin phải và R-môđun phải đế nội xạ mạnh
là: R là nửa Artin phải khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là nội
xạ. Kết quả tương tự đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi đưa ra
trong định lý sau đây:
Định lý 4.2.6. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:
(1) R là nửa Artin phải.
(2) Mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là môđun thỏa mãn điều kiện (C).

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 4
Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:
∗ Trong phần đầu của chương, chúng tôi đưa ra các mối quan hệ giữa môđun

C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7. Các
tính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi nghiên cứu trong Định
lý 4.1.10 và Định lý 4.1.12. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và
vành các tự đồng cấu S = EndR (M ) của nó được chúng tôi trình bày trong Định lý
4.1.17. Ngoài ra, tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR (M ) của môđun
M liên quan đến môđun Rickart, d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng

được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.21.
∗ Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành đối với
môđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà chúng tôi đã nghiên cứu

bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin (Định lý
4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).


22

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Trong luận án này, chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau đây:
1.1. Từ việc nghiên cứu về môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã đưa ra được
một số đặc trưng của môđun N -giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và
Định lý 2.2.7). Ngoài ra, chúng tôi cũng đã thu được một số tính chất của môđun
giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9 và Định lý 2.2.10). Đặc biệt, chúng tôi chứng minh
được rằng mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11)
và môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý
2.2.12). Kết quả này đã trả lời khẳng định câu hỏi của H. Q. Dinh nêu ra là: Một
môđun không suy biến, giả nội xạ và môđun CS có phải là môđun tựa nội xạ hay
không?
Ngoài ra, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn,

vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu
(Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17). Cuối cùng, một kết quả liên quan
đến mở rộng vành giả nội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý
2.2.18.
1.2. Từ việc kết nối môđun ADS với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đề
xuất khái niệm môđun ADS tổng quát. Sau đó, chúng tôi đã đưa ra được một số
điều kiện tương đương để một môđun là ADS tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý
3.2.5). Mặc dù, chúng tôi chưa biết được một hạng tử trực tiếp của một môđun ADS
tổng quát có là ADS tổng quát hay không nhưng nếu thêm một số điều kiện như
môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa
mãn điều kiện CS thì khi đó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđun
ADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếp của môđun M cũng là ADS tổng quát
(Mệnh đề 3.2.6). Chúng tôi cũng nghiên cứu được một số tính chất của môđun ADS
tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun M là nửa đơn (Định lý 3.2.10) và từ đó
đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin nửa đơn (Hệ quả 3.2.11). Mối quan hệ
giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trong
Định lý 3.2.14. Cuối cùng, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả
liên quan đến mở rộng vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định
lý 3.2.15.
1.3. Từ một đặc trưng của môđun C2 mà chúng tôi thu được là: Môđun M là
môđun C2 khi và chỉ khi với s ∈ S = EndR (M ) mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của
M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp của M , chúng tôi đưa ra khái niệm môđun thỏa
mãn điều kiện (C). Mối quan hệ giữa môđun C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C)


23

cũng được chúng tôi đề cập trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7. Các tính chất
của môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 4.1.10
và Định lý 4.1.12. Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tự

đồng cấu S = EndR (M ) của nó được chúng tôi trình bày trong Định lý 4.1.17. Ngoài
ra, tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR (M ) của môđun M liên quan
đến môđun Rickart, d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúng
tôi đưa ra trong Định lý 4.1.21. Trong phần cuối của luận án này, chúng tôi chủ
yếu đặc trưng vành đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C). Các đặc trưng vành mà
chúng tôi thu được bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành
nửa Artin (Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6).
1.4. Từ các kết quả mà chúng tôi đã nghiên cứu được về môđun giả nội xạ cốt
yếu, môđun ADS tổng quát và môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi thu được
một sơ đồ về mối quan hệ giữa các môđun đã được đề cập trong luận án như sau:
ADS tổng quát
Giả nội xạ cốt yếu ⇒
⇑

Giả nội xạ
Nửa đơn ⇒

C3

⇐

⇐

⇑
⇒

C2

⇑
⇑

⇒ (C)

⇑

⇑

Tựa nội xạ

⇒ Liên tục ⇒

ADS
⇑

⇒

Tựa liên tục

⇑

⇑

⇓

Đơn

Nội xạ

C1

2. KIẾN NGHỊ
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ quan tâm đến các vấn đề chính sau đây:
2.1. Chúng tôi sẽ nghiên cứu để trả lời 2 câu hỏi về môđun ADS, đó là:
+) Hạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là môđun ADS tổng
quát hay không?
n

+) Cho M =

Mi là tổng trực tiếp của các môđun ADS tổng quát Mi và Mi
i=1

là Mj -giả nội xạ cốt yếu với mọi j = i. Khi đó M có là môđun ADS tổng quát hay
không?
2.2. Chúng tôi sẽ xem xét một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có phải là mở
rộng thực sự của môđun C2 hay không.
2.3. Vì môđun D2 là môđun đối ngẫu với môđun C2 nên chúng tôi sẽ xem xét
một mở rộng của môđun D2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C ∗ ). Từ đó chúng tôi hy
vọng sẽ đưa ra được các kết quả liên quan đến môđun D2 cũng như các mở rộng
của nó để từ đó nhận được các đặc trưng vành.