Phương pháp giải nhanh các bài toán vuông pha trong chương trình vật lý 12

Phương pháp giải nhanh và tổng hợp các bài toán
vuông pha trong chương trình Vật lý 12
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
Phương pháp chung giải hai đại lượng vuông pha với nhau của cùng
một dao động điều hòa:
Xét hai đại lượng của cùng một dao động điều vuông pha với nhau:
x1 = A1cos( t + ) (1)
và x2 = A2cos( t +  +


) = A2sin( t + ) (2)
2
2

x 
x 
Từ (1)  cos (t   )   1  ; từ (2)  sin 2 (t   )   2 
 A1 
 A2 

2

2

Mà cos2( t + ) + sin2( t + ) = 1 nên ta có:
2

2

 x1   x2 
      1 (*)

 A1   A2 
Công thức (*) là công thức xuyên suốt các bài toán về hai đại lượng vuông
pha với nhau của cùng một dao động điều hòa. Trong đó :
A1 là giá trị cực đại của đại lượng x1; A2 là giá trị cực đại của đại lượng x2
Vậy thì khi giải các bài tập, học sinh chỉ cần xác định hai đại lượng đó có
vuông pha với nhau hay không để áp dụng công thức (*). Sau đây là các cặp đại
lượng của cùng một dao động điều hòa dao động vuông pha với nhau:
I.1. Quan hệ giữa li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa
Nếu một vật dao động điều hòa theo phương trình : x  Acos(t   ) (1.1)
Thì vận tốc v  x '   A sin (t + ) (1.2)
Gia tốc: a  x ''   2 Acos(t   ) (1.3)
Do hàm cos( t + ) và hàm sin( t + ) là hai hàm vuông pha với nhau
nên từ (1.1) và (1.2) suy ra hai đại lượng x và v vuông pha với nhau. Khi đó:
2

x  v 
 1
  
 A   vmax 
2

2

(1.4)

2

x
v
hoặc :       1 (1.5)

 A   A 

1


và từ (1.2) và (1.3) suy ra hai đại lượng v và a vuông pha với nhau. Khi đó :
2

2

 v   a 

 
 1
 vmax   amax 

2

(1.4)

2

v
a
hoặc :     2   1 (1.5)
 A    A 

I.2. Quan hệ giữa hai li độ ở hai thời điểm hơn kém nhau một số lẻ lần
một phần tư chu kỳ trong dao động điều hòa và tại một điểm mà sóng truyền qua
Xét một dao động điều hòa tại thời điểm t có li độ x1 = Acos( t + ),

tại thời điểm t + (2k + 1)

T
( k  Z ; T là chu kỳ dao động) thì li độ của nó là :
4
T
4

x2 = Acos((t + (2k + 1) ) + ) = Acos(t +  + k

T
T

+ ) = Acos(t +  + )
2
4
2

Ta thấy x1 và x2 vuông pha với nhau. Vậy hai li độ ở hai thời điểm hơn kém
nhau một số lẻ lần một phần tư chu kỳ thì vuông pha với nhau. Khi đó:
2

2

 x1   x2 
      1 ( 2.1)
 A  A

I.3. Quan hệ giữa hai li độ ở hai vị trí cách nhau một số lẻ lần một phần
tư bước sóng trên cùng một phương truyền sóng tại cùng một thời điểm t

Giả sử phương trình sóng tại điểm A, ở thời điểm t là x 1 = Acos(t + ) thì
phương trình sóng tại điểm B trên cùng một phương truyền sóng cách A đoạn là d
= (2k + 1)

2 d


là: x2 = Acos(t +  
) = Acos(t +   )

2
4

Ta thấy x1 và x2 vuông pha với nhau. Vậy hai li độ ở hai vị trí cách nhau một số
lẻ lần một phần tư bước sóng trên cùng một phương truyền sóng tại cùng một
thời điểm t thì vuông pha với nhau. Khi đó:
2

2

 x1   x2 
      1 (3.1)
 A  A

I.4. Quan hệ giữa từ thông và suất điện động trên một cuộn dây của máy
phát điện
Khi máy phát điện hoạt động, giả sử từ thông qua mỗi vòng dây có phương
trình:  = 0cos(t + ) (4.1) thì suất điện động qua cuộn dây gồm N vòng dây có
phương trình: e = - N’t = N0sin(t + ) = E0sin(t + ) (4.2)
Từ (4.1) và (4.2) thấy  và e trên một cuộn dây vuông pha với nhau.

2


2

2

   e 
    1
 0   E0 

Vậy:

(4.3) ; với E0 = N0.

I.5. Mối quan hệ giữa cường độ dòng điện và điện áp hai đầu cuộn dây
thuần cảm và hai đầu tụ điện
Điện áp hai đầu cuộn dây thuần cảm dao động điều hòa nhanh pha hơn dòng
điện góc 900. Điện áp hai đầu tụ điện dao động điều hòa trễ pha hơn dòng điện góc
900. Vì thế theo công thức (*) ta có:
i2 u2

 1 (5.1)
I 02 U 02

Trong đó: U 0 L  I 0 Z L ;U 0C  I 0 .ZC
I.6. Quan hệ giữa cường độ dòng điện trong cuộn dây với điện tích và
điện áp trên tụ điện trong mạch dao động điện từ
Mạch dao động LC lý tưởng đang hoạt động, giả sử tại thời điểm t điện tích
trên tụ có biểu thức: q  Q0cost (5.1) thì dòng điện qua cuộn dây:

i  q '  Q 0 sin  t = - I0sint (5.2) ( với I0 = Q0) và điện áp giữa hai đầu tụ điện:

u=

Q
q
= U0cost (5.3) ( với U0 = 0 )
C
C

từ (5.1) và (5.2) thấy q và i vuông pha với nhau nên:
2

2

2

 i   q 
    1
 I 0   Q0 

2

 i   q 
(5.4) hay: 
     1 (5.5)
 Q0   Q0 

từ (5.1) và (5.3) thấy u và i vuông pha với nhau nên:
2

2

 i   u 
      1 (5.6)
 I0   U 0 

I.7. Một số trường hợp khác
Trong khi giải bài tập nếu ta phát hiện được có hai đại lượng của cùng một
dao động điều hòa mà vuông pha với nhau thì chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng
công thức (*) ở trên để giải, ví dụ như:
- Mạch điện gồm tụ điện nối tiếp với cuộn dây thuần cảm thì i vuông pha với
u. Khi đó:

i2 u2

1
I 02 U 02

(7.1)

3


- Đoạn mạch điện gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp với nhau và điện
2

2

 u

  u 
áp hai đoạn mạch này vuông pha với nhau thì:  AM    MB   1 (7.2)
 U 0 AM   U 0 MB 

Trong đó: U0AM = I0. ZAM ; U0MB = I0.ZMB.
- Li độ và vận tốc trong dao động điều hòa của con lắc đơn cũng vuông pha
với nhau nên:
2

2

 s   v 
  
  1 (7.3).
 S0   vm ax 

Trong đó: s = l.: li độ dài ; S0 = l.0: biên độ dài ; vmax = S0.
…
II. HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG
Sau đây là hệ thống các bài tập mà hai đại lượng của cùng một dao động
điều hòa vuông pha với nhau, nên ta chỉ cần áp dụng công thức tổng quát (*) đã
nêu ở phần cơ sở lý thuyết để giải nhanh các bài tập.
Bài 1: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1cm, và có vận
tốc v1= 30cm/s. Đến thời điểm t2 vật có li độ x2 = 3cm và có vận tốc v2 = 10cm/s.
Hãy xác định biên độ, vận tốc cực đại và tần số góc của vật?
Giải:
2

 v 
x

1
1
Do x và v vuông pha với nhau nên:    
  1 . Đặt X = 2 ; Y = 2 và
vmax
A
 A   vmax 
2

 X  302 Y  1
thay số từ giả thiết ta được hệ phương trình:  2
2


3 X  10 Y  1

1

 X  10
 A  10cm


Y  1
vmax  10 10cm / s

1000

Tần số góc:  

vm ax

= 10 rad/s
A

Bài 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa, vào thời điểm ban đầu t 0 vật nặng có li
độ  = 0,02rad và có vận tốc v = 40 2 cm/s đang dao động theo chiều dương của

4


quỹ đạo. Đến thời điểm t1 vật có li độ 1 = 0, 02 2 rad và có vận tốc v1 = 40cm/s.
Cho chiều dài của con lắc là l = 1m. Viết phương trình dao động và tính vận tốc
cực đại của vật?
Giải:
2

2

   v 
1
1
Do  và v vuông pha với nhau nên:    
  1 . Đặt X = 2 ; Y = 2
0
vmax
  0   vmax 
2500

 X  3

Y  1


4800

0, 022 X  (40 2 ) 2 Y  1
và thay số từ giả thiết ta được hệ: 
2
2
(0, 02 2)  40 Y  1


3
rad
 0 
50

v  40 3cm / s
 max

Tần số góc :  

vm ax vm ax

= 20rad/s
S0
l. 0

Theo giả thiết : khi t = 0 ta có  = 0,02rad và v > 0
1

cos 


3    0,3 (rad)
sin   0


Vậy phương trình dao động có dạng:   0, 02 3cos(20t  0,3 ) rad (cm).
Bài 3: Một lò xo có độ cứng k = 50N/m, mang vật nặng m thực hiện dao động điều
hòa. Khi vận tốc của vật bằng v1 = 20 cm/s thì có gia tốc a1= 5 m/s2. Còn khi vận
tốc của vật bằng v2 = 10 cm/s thì gia tốc của vật bằng a2 = 2 2 m/s2. Tính biên độ
dao động và năng lượng toàn phần của vật.
Giải:
2

2

 v   a 
Do v và a vuông pha với nhau nên ta có: 
 
 1.
 vmax   amax 

Đặt X =

1
2
vmax

;Y=

1

2
amax

 
 

0, 22 X  5 2 Y  1

và thay số từ giả thiết ta được hệ: 
2
0,12 X  2 2 Y  1


5


100

 X  9
vm ax  0,3m / s


am ax  3m / s
Y  1

9

v   A
mà:  m ax
2

am ax   A

vm2 ax
= 0,03m = 3cm
 A
am ax

1
2

Năng lượng : E  KA2 = 0,0225 (J)
Bài 4: Một vật nhỏ đang dao động điều hòa với chu kì T = 1s. Tại thời điểm t 1 nào
đó, li độ của vật là -2cm. Tại thời điểm t2 = t1 + 0,25 (s) thì li độ của vật là 5 cm.
Xác định giá trị vận tốc của vật tại thời điểm t2.
Giải:
Dễ thấy t2 = t1 +
2

T
theo mục I.2 thì x1 và x2 vuông pha với nhau, nên:
4

2

 x1   x2 
    1
 A  A

 A  x12  x22 = 3cm.
2

 v 
x
Mặt khác, x và v cũng vuông pha với nhau nên:  2    2   1
 A   vmax 
2

2

2

2

x 
 v2   A 1   2  = 4 cm/s.
 A

x
v
hay:  2    2   1
 A   A 

Bài 5: Trên một sợi dây đàn hồi có hai điểm A, B cách nhau một phần tư bước
sóng. Tại thời điểm t, phần tử sợi dây ở A và B có li độ tương ứng là 0,5 mm và
0,866 mm(0,86 

3
),
2

phần tử sợi dây ở A đang đi xuống còn ở B đang đi lên. Coi

biên độ sóng không đổi. Xác định biên độ sóng?
Giải
Do A và B cách nhau một phần tư bước sóng, theo mục I.3 thì xA và xB vuông pha
2

2

x
x
với nhau. Ta có:  A    B   1  A  xA2  xB2 = 1mm.
 A  A

Bài 6: Một khung dây dẫn quay đều quanh trục xx’ với tốc độ 150 vòng/phút trong


một từ trường đều có cảm ứng từ B vuông góc với trục quay xx’ của khung. Ở một
thời điểm nào đó từ thông gửi qua khung dây là 4 Wb thì suất điện động cảm ứng
trong khung dây bằng 15 V. Xác định từ thông cực đại gửi qua khung dây?
Giải
6


Theo mục I.4 thì suất điện động e và từ thông  vuông pha với nhau nên ta có:
2

2

   e 

      1 ; với E0 = 0: suất điện động cực đại qua khung.
 0   E0 

0: từ thông cực đại qua khung.
Tần số góc:  = 150 vòng/phút = 5 rad/s.
2

2

 4   15 
 15 
2
Thay số từ giải thiết được:    
  1  0  4  
 = 5 Wb
 5 
 0   0 
2

Bài 7: Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L. Đặt vào hai đầu cuộn dây điện áp xoay
chiều u  U 0cos100 t (v). Tại thời điểm t = t1 điện áp tức thời và cường độ dòng
điện tức thời có giá trị lần lượt u1  60 V; i1  2 A. Đến thời điểm t2 thì u2  60 2
V; i2  1 A. Tìm L và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây?
Giải:
Vì dòng điện qua cuộn dây thuần cảm dao động điều hòa trễ pha 900 so với hiệu
2

2

 i   u 

điện thế, nên ta có:       1 .
 I0   U 0 

Đặt: X =

1
1
và Y = 2 và thay số từ giả thiết bài toán, ta được hệ phương trình:
2
I0
U0

1

 2 2 X  602 Y  1
X 
 I 0  3 A

U
Z
0, 6


3


 Z L  0  60  L  L 
H




2
I0


U 0  60 3V
Y  1
 X  60 2 Y  1


10800

 




Bài 8: Đặt vào hai đầu tụ điện điện áp xoay chiều có tần số f = 50Hz. Ở thời điểm
t1 điện áp tức thời hai đầu tụ và cường độ dòng điện tức thời qua tụ có giá trị lần
lượt u1 = 100(V); i1 = 1,41A  2 A. Ở thời điểm t2 có u2 =141(V)  100 2 V; i2 =
1A. Tính điện dung của tụ, điện áp và cường độ hiệu dụng của dòng điện qua
mạch.
Giải
Vì dòng điện qua tụ điện dao động điều hòa nhanh pha 90 0 so với hiệu điện thế,
2

2

 i   u 
nên ta có:       1 .

 I0   U 0 

7


Đặt: X =

1
1
; Y = 2 và thay số từ giả thiết bài toán, ta được hệ phương trình:
2
I0
U0

 


 2 2 X  100 2 Y  1


2
 X  100 2 Y  1




1

 I 0  3 A
 X  3

U0
1
104


 ZC 
 100  C 

F
I0
 ZC

Y  1
U 0  100 3V

30000

Bài 9: Mạch dao động LC lí tưởng, C = 2pF, đang hoạt động. Tại thời điểm t 1 thấy
điện áp hai đầu tụ và cường độ dòng điện qua cuộn dây có giá trị lần lượt: u 1 =
1mV và i1 = 1,41  A; Đến thời điểm t2 thì các giá trị trên lần lượt: u2 = 1,41 mV và
i2 = 1  A. Tính tần số dao động riêng, năng lượng toàn phần của mạch?
Giải
Do điện áp hai đầu tụ và cường độ dòng điện qua cuộn dây vuông pha với nhau,
2

2

 u   i 
1
1

nên ta có:       1 . Đặt X = 2 ; Y = 2 và thay số từ giả thiết bài toán, ta
U0
I0
 U 0   I0 


 2  Y  1   X  3  U 


1
I 



X

Y

1
Y
 

3

X 

được hệ phương trình: 
 2


2

1

3mV  3.103V

0

2

0

3 A  3.106 A

1
2

Năng lượng mạch dao động: W  CU 02  3.1018 J .
1
2

1
2

Mà: W  LI 02  CU 02  L 

CU 02
= 2.10-6H
2
I0

Vậy tần số dao động riêng của mạch là: f 

1
2 LC



25.107



Hz.

Bài 10: Đoạn mạch xoay chiều AB chứa 3 linh kiện R, L, C. Đoạn AM chứa L,
MN chứa R và NB chứa C. R = 50Ω, ZL = 50 3 Ω, ZC = 50

3
Ω. Khi uAN =
3

80 3 V thì uMB = 60V. Xác định giá trị cực đại của uAB?
Giải

8


UL ZL

0

 tan 1  U  R  3
1  60
R

Ta có: 
0
 2  30
 tan   U C  Z C  1
2

UR
R
3

UAN
1

2
2

 u AN   uMB 
u AN

 
  1  
2
2
 U 0 AN   U 0 MB 
 I0 R  Z L

 I0 

2

 
uMB
 
  I R2  Z 2
C
  0

2

0

chứng tỏ uAN vuông pha với uMB nên ta có:

UMB

UL

UR
i
UC

2


 1




2
2
u AN
uMB

 3A
R 2  Z L2 R 2  ZC2

Giá trị cực đại của uAB là: U0AB = I0. R2  (Z L  ZC )2 = 50 7 V.

9


ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT
Câu 1: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t 1 vật có li độ x1 = 1cm, và có vận
tốc v1= 20cm/s. Đến thời điểm t2 vật có li độ x2 = 2cm và có vận tốc v2 = 10cm/s.
Tần số số góc của vật có giá trị là
A. 10 rad/s.

B. 10 rad/s.

C. 2 rad/s.

D. 2 rad/s.

Câu 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa, vào thời điểm ban đầu t 0 vật nặng có li
độ s = 2cm và có vận tốc 40 2 cm/s đang dao động theo chiều dương của quỹ đạo.
Đến thời điểm t1 vật có li độ s1 = 2 2 cm và có vận tốc v1 = 40cm/s. Phương trình

dao động của vật nặng là
A. x  2 2 cos(20t  0,3 )cm .

B. x  2 3 cos(20t  0,3 )cm .

C. x  2 2 cos(20 t  0,3 )cm .

D. x  2 3 cos(20 t  0,3 )cm .

Câu 3: Trên một sợi dây đàn hồi có hai điểm A, B cách nhau một phần tư bước
sóng. Tại thời điểm t, phần tử sợi dây ở A và B có li độ tương ứng là 0,5 mm và
0,866 mm(0,86 

3
),
2

phần tử sợi dây ở A đang đi xuống còn ở B đang đi lên. Coi

biên độ sóng không đổi. Sóng này có biên độ là
A. 1,73 mm.

B. 0,86 mm.

C. 1,2 mm.

D. 1 mm.

Câu 4: Một vật nhỏ đang dao động điều hòa với chu kì T = 1s. Tại thời điểm t 1 nào
đó, tốc độ của vật là 2 cm/s. Tại thời điểm t2 = t1 + 1,25 (s) thì tốc độ của vật là

4 2 cm/s. Khoảng cách của vật tới vị trí cân bằng tại thời điểm t2 là

A. 2 2 cm.

B. 2 cm.

C. 1 cm.

D. 2 cm.

Câu 5: Biểu thức của điện tích, trong mạch dao động LC lý tưởng, là
q  2.10 7 cos(2.10 4.t)(C) . Khi q  10 7 (C) thì dòng điện trong mạch là:

A. 3. 3 (mA ).

B. 3 (mA ).

C. 2(mA)

D. 2. 3 (mA ).

Câu 6: Đoạn mạch xoay chiều AB chứa 3 linh kiện R, L, C. Đoạn AM chứa L,
MN chứa R và NB chứa C.

R = 50Ω, ZL = 50 3 Ω, ZC = (50 3 /3)Ω. Khi uAN =

80 3 V thì uMB = 60V. uAB có giá trị cực đại là:
A. 100V.

B. 150V.

C. 50 7 V.

D. 100 3 V.

10


Câu 7: Một khung dây dẫn quay đều quanh trục xx’ với tốc độ 150 vòng/phút


trong một từ trường đều có cảm ứng từ B vuông góc với trục quay xx’ của khung.
Ở một thời điểm nào đó từ thông gửi qua khung dây là 4 Wb thì suất điện động
cảm ứng trong khung dây bằng 15 V. Từ thông cực đại gửi qua khung dây bằng
A. 6 Wb.

B. 5 Wb.

C. 4,5 Wb.

D. 5 Wb.

Câu 8: Đặt một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U0cos(120t + /3) V vào hai
đầu đoạn mạch gồm một cuộn cảm thuần có độ tự cảm L =
điện có điện dung C 

1
H nối tiếp với một tụ
3π

104
 F . Tại thời điểm điện áp giữa hai đầu mạch là 40 2
24

thì cường độ dòng điện qua cuộn cảm là 1A. Biểu thức của cường độ dòng điện
qua cuộn cảm là
A. i = 2cos(120t + /6) A.

B. i = 3cos(120t - /6) A.

C. i = 2 2 cos(120t - /6)A.

D. i = 2 2 cos(120t +/6)A.

Câu 9: Mạch xoay chiều chỉ có tụ C. Hiệu điện thế hai đầu mạch có dạng u =
Uosin2  ft(V).Tại thời điểm t1, giá trị tức thời của cường độ dòng điện qua tụ và
hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch lần lượt là 2 2 A và 60 6 V.Tại thời điểm t2, giá
trị tức thời của cường độ dòng điện qua tụ và hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch lần
lượt là 2 6 A và 60 2 V. Dung kháng của tụ điện bằng:
A. 30  .

B. 20 3  .

C. 20 2  .

D. 40

Câu 10: Một lò xo có độ cứng K = 40N/m, mang vật nặng m thực hiện dao động
điều hòa. Khi vận tốc của vật bằng v1 = 6,28 cm/s thì có gia tốc a1= 0,693 m/s2.
Còn khi vận tốc của vật bằng v2 = 8,88 cm/s thì gia tốc của vật bằng a2 = 0,566

m/s2. Năng lượng toàn phần của vật là
A. 8 mJ.

B. 6 mJ.

C. 8.10-2J.

D. 6.10-2J

Đáp án:
1-A; 2-B; 3-D; 4-C; 5-D; 6-C; 7-D; 8-B; 9-A; 10-A

11