Tính kết cấu đặc biệt theo phương pháp phần tử hữu hạn võ như cầu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (24.77 MB, 262 trang )
-Ill’
fRANG
THU VI $N OH NHATRANC
G S . T S . VÕ NHƯ C Ẩ U
TÍNH KẾT CẤU ĐẶC BIỆT
THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Tài liệu tham khảo dùng cho : - Sinh viên đại học
- Sinh viên cao học
- Nghiên cứu sinh
- Kỹ sư
Các ngành : - Xây dựng
- Chế tạo cơ khí
i H Ư V ự iU
''
1
V
0
0
,*
2
0
NHÀ XUẤT BẢN XÂY DựNG
HÀ N Ô I-2007
1
0
3
LỞI MỚ ĐẤU
Trong tài liệu ¡] J, tác già đã trình bày các nguyên lí cơ bản về phương pháp phần tử
hữu hạn và chủ yếu đề cập đến hệ thanh. Trong cuốn sách này, một sô'phần tử hữu hạn
cùng tham s ố có bậc cao đã dược mở rộng dể áp dụng cho bài toán 2 chiều, bed toán 3
chiều, bài toán tính bán chịu uốn và vỏ. Nội dung trình bày liên quan đến kiến thức
nhiều mặt về toán học, C‘ơ học. Do dó, để dọc hiểu sách, bạn dọc cần có những kiến thức
cơ ban về lí thuyết đàn hồi, đạo hàm, tích phàn, hình giải tích, đại s ố vectơ và ma trận.
Vì các phần tử hữu hạn trình bày trong sách chủ yếu là loại cùng tham số nên ngay từ
chương dầu, tác giả đã nêu lên khái niệm về phấn tứ hữu hạn cùng tham số và phương
pháp tích phán bằng sô' theo phép toàn phương Gauss. Cần nhấn mạnh rằng các ví dụ
nêu trong sách có khối lượng tính lớn, không thể tính bằng tay mà phải nhờ vào sự hỗ
trợ của những chương trình tính do tác giá biên soạn. Vì vậy, bạn đọc cũng cần có
những kiến thức cơ bán về tin học. Cũng cần nhẩn mạnh them rằng các ví dụ có tính
chất lí thuyết d ể giúp cho bạn dọc kìm quen với nội dung tính và việc sử dụng chương
trình. Tất nhiên, các chương trình do tác già biên soạn chưa dược hoàn hảo, mong bạn
đọc cải tiến d ể dược hoàn hảo hơn.
Sách gồm tất cả 7 chương:
Chương 1: Phán tử hữu hạn cùng tham số. Phương pháp tích phân bằng số. Cách
giảm cấp của ma trận.
Chương 2: Các phần tử hữu hạn hình tam giác dùng cho bài toán 2 chiều.
Chương 3: Cúc phấn tử hữu hạn hình tứ giác
dùng chu bài toán 2 chiểu.
Chương 4: Tính vật rắn tròn xoay chịu tái trọng dối xứng.
Chương 5: Cúc phần tử hữu hạn dùng cho bài toán 3 chiều.
Chương ố: Tính tấm chịu uốn
Chương 7: Tính vỏ
Cuốn sách có một số chương trình tính theo ngôn ngữ Pascal 7.0.
Do những nguyên nhân chủ c/itan và khách quan, không thể tránh dược sai sót, mong
bạn dọc phê bình và góp ỷ.
Tác giả chem thành cảm ơn Ban Biên tập Sách Khoa học kĩ thuật Nhà xuất bàn
Xcĩv dựng dã tham gia biên tập vù cho xuất ban sách.
Cuối cùng, tác giả tó lỏng cam ơn Trưởng Ban Biên tập Trần Cường đã hết lòng giúp
dỡ và cổ vũ đ ể hoàn thành tốt việc biên soạn sách.
Tác giả
3
C hương 1
PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH) CÙNG THAM s ố .
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN BẰNG SỐ.
CÁCH GIẢM CẤP CỦA MA TRẬN
1.1. KHÁI NIỆM VÊ PTHH CÙNG THAM s ố
Các PTHH đơn giản như hình tam giác, hình chữ nhật không thể đáp ứng được yêu
cầu của các bài toán phức tạp. Điều này đưa đến sự phát triển của các phần tử có hình
dạng bất kì mà ta gọi là phần tử hữu hạn cùng tham số. Những phần tử này được dùng
rộng rãi trong các bài toán 2 chiều, 3 chiều, bài toán tính bản, tính vỏ.
Khái niệm về PTHH cùng tham số dựa trên cơ sở đưaphần tử gốc ở hộ tọa độ tự
nhiên về phần tứ có hình bất kì trong hệ tọa độ Đề các. Đồng thời, hàm hình dạng của
PTHH cùng tham số phải có 2 chức năng (chẳng hạn lấy ví dụ hình tứ giác 4 nút):
1. Dùng để tính chuyển vị trong PTHH:
u
= £N,.u,
v
i=l
= £N,.v,
(1-1)
¡=1
2. Dùng để tính tọa độ trong PTHH:
x = Ế Ni-xi
i=l
y = Ế N í-yi
i=l
(1' 2)
Trong đó: Uj - chuyển vị trên phương X tại nút i;
Vị
- chuyển vị trên phương y tại nút i;
X|, yị - tọa độ X, y tại nút i;
Nị - hàm hình dạng tại nút i.
Hàm hình dạng N| được biểu thị qua các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên. Nó giúp ta
xác định kích thước hình học của phần tử trong hệ tọa độ Đề các.
Một số ví dụ về PTHH cùng tham số biểu thị trên hình 1.1.
Đối với PTHH cùng tham số, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa đạo hàm của một
đại lượng nào dó đối với các biến trong hệ tọa độ Đề các và đạo hàm của đại lượng đó
đối với các biến trong hệ tọa độ tự nhiên.
5
Hình 1.1: Mộ: sô' PTHH cùng tham số
Sau đây là một ví dụ về PTHH tứ giác 4 nút trong hệ tọa độ 2 chiều.
Xét hình tức giác 2 chiều trêri hình 1.2, PTHH gốc hình chữ nhật (hình 1.2a) được
đưa về hình vuông trong hệ tọa độ tự nhiên (hình 1,2b), sau đó lại đưa về hình tứ giác
bất kì với các cạnh thẳng (hình 1.2c).
f(x3.y2)
2b
a)
b)
c)
Hình 1.2 : a) PTHH gốc (hình chữ nhật); b) Hình vuông trong hệ tọa độ tự nhiên;
c) PTHH tứ giác cùng tham số
Như sau này ta sẽ thấy, các hàm hình dạng có dạng như sau:
N _ (1 —r ) ( l- s )
1
4
N = (1 + r)(l + s)
3
4
(1-3)
XT _ ( l + r ) ( l- s )
( l - r ) ( l + s)
Trong đó: r và s - các biến trong hệ tọa độ tự nhiên.
6
Như trên đã định nghĩa, các hàm hình dạng có thể dùng để xác định tọa độ nghĩa là
có thê xác dịnh kích thước hình học của một tứ giác bất kì trong hệ tọa độ Đề các:
'X |'
Y|
x2
|y |
0
N,
0
N,
0
n
3 0 n4
0 n3 0
n
2
0 -
---- 1
"N,
0
y3
x4
.y4 .
Hệ thức trên cũng giúp ta xác định tọa độ của một điểm bất kì trong PTHH khi đã
biết giá trị của các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên. Bây giờ, ta hãy thiết lập mối quan
hệ giữa đạo hàm của một đại lượng nào đó đối với các biến (r, s) trong hệ tọa độ tự
nhiên và đạo hàm của đại lượng đó đối với các biến (x, y) trong hệ tọa độ Đề các. Theo
nguyên tắc tính đạo hàm riêng, ta có:
õ _
õ õx
ô
õy
õr
õx ổr
ỡy ỡr
õ _
õ õx
õ
õs
ôx ổs
ôy õs
dy
Dưới dạng ma trận ta có:
'ổ'
ổx
ỡr , = dĩ
õ
õx
. ỡ s. _ ổs
ổ
ổy" ' õ '
ổx
ổr < õx
■= [J].
õ
ổ
õy
õs _ ,ỡy.
,ổy.
(
1- 6 )
Trong đó: [J] gọi là ma trận Jacobian.
Từ (1-6), đạo hàm đối với các biến (x, y) trong hệ tọa độ Đề các có thể viết:
>
(1-7)
Trong đó: [J] 1 là nghịch đảo của ma trận Jacobian.
4
4
Từ (1-4), ta có X = ^ N |X j và y =
i=i
¡=1
nên ma trận Jacobian [J] có thể viết:
. Cần chú ý rằng Nị là một hàm của (r, s)
7
ỔN,
ỔN2
ỠN3
ỠN4
-
[J] =
' X1
y .”
x2
y2
( 1- 8 )
x3
y3
ổs . _x4
y4.
-
Cãn cứ vào (1-3), ta có:
(l-s )
4
m=
(1 -r)
4
(1 + s)" ' xi
x2
4
(1 + s)
4
(1 -s)
4
(1 + r)
4
(1 + r)
4
(1 -r)
4 .
x3
_X4
yi"
y2
(1-9)
y3
y4.
Giả sử ma trận nghịch đảo Jacobian [J] 1có các thành phần:
J .
[J]“j = J ,
L 21
J
1 10)
12
( -
22
Căn cứ vào (1-7), ta có:
ỡu
ỡu
ỡr
ổx
J 12.
0
0
J2I* J 22»
0
0
0
0
J .
11
J .
21
J ,
12
J ,
22
ổu
ỡy
ổv
ổx
0
0
ổv
ổu
ỡs
Ov
( 1- 1 1 )
ãr
ỡv
ids
[ỡyj
Theo lí thuyết đàn hồi, vectơ biến dạng như sau:
ỡu
ổx
Y xy.
0
0
ổu
'o
y
o
H
\
o
Gx
õy
>— 0
1 4
Ôv
0
1 1 0
ôx
Ôv
[ ỡyj
Thay vào hệ thức (1-11), ta được:
8
( 1- 12 )
du
~ôï
e}=
J 11.
J ,
12
0
0
0
0
J .
21
^22
J .
11
J
J .
L 21
J 22.
Ou
ỠS
12
(1-13)
ỠV
¥
ỠV
. ỔS ,
Từ hệ thức trên, ta thấy rằng để tính ma trận biến dạng - chuyển vị [B], ta phải tính
đạo hàm của các chuyển vị U và Vđối với các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên.
Như trên đẫ trình bày, chuyển vị có thể viết:
“ = Ế Ni"i
i=l
'■ = ! > , ' )
i=l
(1-14)
Uị là tọa độ trên phương X tại nút i; V| là tọa độ trên phương y. Nị là hàm hình dạng tại
nút i. đã được trình bày trong (1-3).
Căn cứ vào (1-14), ta có hệ thức ma trận:
du
dN|
ỡr
du
dr
dN|
ỡs
dv
ỡs
0
dr
Ỡv
0
ds J
dN2
0
0
dr
ỔN2
ds
0
dN,
dr
dNj
ổs
dN3
dN3
0
0
ỡr
ỔN2
ỡs
0
0
ỡs
dN2
0
0
ỡr
0
ỔN4
0
dĩ
u2
ỡn 4
0
ổs
dN3
0
dr
dN3
0
õs
u,1
V
V,1
v2
ỠN4
u3
ÕT
v3
u4
ỔN4
(1-15)
ổs _
Căn cứ vào (1-3), ma trận [f] có thể viết:
1- s
4
1- r
0
0
0
0
1- s
4
1 -r
4
1—s
4
1+ r
4
0
0
0
0
l-s
4
1+ r
4
1+ s
4
0
1+ s
4
1+ r
4
0
1 -r
4
0
1+ s
4
0
0
1+ r
4
0
0
0
1+ s
(1-16)
4
1 -r
4
9
Thay (1-15) và (1-13) vào (1-16), ta được ma trận biến dạng - chuyển vị [B]:
J ,
J ,
0
0
0
J2|.
J22.
J * J * J *
21
22
11
J *
12
11
[B]= 0
12
[f]
(1-17)
Theo tài liệu [1], ma trận độ cứng cục bộ có dạng:
[k] = hJJ[B ]T [C][B]dxdy
(1-18)
Trong đó: h - chiểu dày của phần tử.
Có thể chứng minh được rằng giữa diện tích phân tố của phần tử trong hệ tọa độ Đề
các và diện tích phân tố trong hệ tọa độ tự nhiên, có hệ thức như sau:
xy = |j|drds
(1-19)
Trong đó: |j| - định thức của ma trận Jacobian.
Thay (1-19) vào (1-18), ta được:
[k] = h |J[B f[C ][B ]|j|d rd s
(
1- 20)
Ta thấy rằng tích phân 2 lớp (1-20) khá phức tạp vì ma trận [B] và định thức |J | là
những hàm của các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên. Việc tính tích phân trên bằng
phương pháp giải tích sẽ gặp rất nhiều khó khăn, do đó phải cần đến phương pháp tính
bằng số, sẽ được trình bày trong phần sau.
1.2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN BẰNG s ố THEO PHÉP TOÀN PHƯƠNG GAUSS
Như trên đã trình bày, việc dùng các PTHH cùng tham số đưa đến sự biến thiên của
các biến trong hệ tọa độ tự nhiên trong phạm vi từ -1 đến 1. Vì vậy, khi tính các vectơ
lực và ma trận độ cứng cục bộ, xuất hiện các tích phân có cận biến thiên từ -1 đến 1. Có
nhiều phương pháp tính bằng số nhưng phương pháp Gauss chứng tỏ có hiệu quả nhất.
Thực chất của phương pháp này là tính giá trị của hàm tại một số điểm gọi là điểm
Gauss, nhân giá trị của hàm tại một điểm nào đó với một đại lượng gọi là trọng lượng,
rồi cộng lại các kết quả đã tính được.
Trước hết, ta xét trường hợp tích phân một lớp có dạng như sau:
( 1- 2 1 )
10
Cách đơn giản nhất và sơ sài nhất là tính giá trị của hàm f(x) tại điểm giữa rồi nhân
với khoảng cách tích phân (hình 1.3a). Nghĩa là ta có I = 2y, kết quả này chính xác khi
đường cong f(x) là một đường thẳng.
a) Dùng ỉ điểm Gauss; b) Dùng 2 điểm Gauss; c) Dùng 3 điểm Gauss.
Một cách khái quát và gần đúng, ta có:
1
I = j y d x » £ w iyi
-1
i
(1-22)
Trong đó: yj - giá trị của hàm y tại điểm Gauss i;
Wị - trọng lượng tương ứng.
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, khi tính vectơ lực và ma trận độ cứng cục bộ,
xuất hiện các tích phân 1 lớp, 2 lớp và 3 lớp, như sau:
1
11
111
Jf(r)dr ;
J Jf(r,s)drds
-1
-1-1
;j J jf(r, s, t)drdsdt
-1-1-1
Đối với tích phân 1 lớp, ta có:
l
n
Jf(r)dr = ^ W jf(rj)
-1
(1-23)
¡=1
Trong đó: f(rị) - giá trị của hàm f(r) tại điểm Gauss q;
W j -
trọng lượng tương ứng.
Từ (1-23), ta thấy rằng cần xác định các bộ đôi ẩn, đó là các điểm Gauss ĩj và trọng
lượng w .
Kết quả trong (1-2) là chính xác nếu bậc m của đa thức xấp XX với hàm f(r) không
vượt quá 2n - 1, n là số điểm Gauss. Nếu m = 2n - 1, các hằng số ĩ j và W j có thể xác
định với jộ chính xác mong muốn. Đây là cơ sở của phép toàn phương Gauss.
Ta dùng đa thức Legendre để xác định giá trị của các điểm Gauss r; và giá trị các
trọng lưẹng Wj tương ứng. Giá trị tích phân sẽ chính xác nếu hàm đa thức có bậc 2n - 1.
11
Muốn tìm hiểu tìm thêm vấn đề này, bạn đọc có thể tham khảo thêm các tài liệu [2, 3].
Giá trị các điểm Gauss và trọng lượng tương ứng thống kê trong bảng 1.1.
Bảng 1.1. Các giá trị điểm G auss và trọng lượng tương ứng
SỐ điểm Gauss
Wi
ri
1
rj = 0,00000000
2
r2 = -r, = 0,57735027
3
r2 = 0,00000000
r3 = -r, = 0,77459667
w, = 2,00000000
w 2 = Wj = 1,00000000
w 2 = 0,88888889
w 3 = Wj = 0,55555556
Từ bảng 1.1, ta thấy rằng trọng lượng Wj có giá trị dương và trọng lượng có giá trị
như nhau ở 2 điểm đối xứng. Cần nhấn mạnh rằng số điểm Gauss n phụ thuộc vào bậc
của hàm f(r), chúng phải được chọn sao cho kết quả tích phân được chính xác. Ta có thể
tiến hành tương tự đối với tích phân 2 lớp và tích phân 3 lớp. Trong trường hợp này, ta
tính tích phân ứng với hướng tọa độ này trước, rồi lần lượt tính với các hướng tọa độ kia
sau. Đối với tích phân 2 lóp, ta tính như sau:
1-1+1
+1
jf(r,s )d rd s = | X Wif (ri’s)ds
-1-1
-1 i
Ị
(]-24a)
= I w j Z w ;« V S j>
j
Li
+1+1
|f(r,s)d rd s = ^ ] 2 ] w iw jf(ri,sj )
Ị
-1-1
i
(l-24b)
j
Trong đó: W| và Wj - các trọng lượng đối với tích phân 1 lớp.
Chẳng hạn, khi chọn 2 điểm Gauss (n = 2), căn cứ vào bảng
1.1 ta co Wj = Wj = 1, r, = Sj = 0,57735, r2 = s2 = -0,57735.
Nếu khai triển vế phải của (1.24b), ta được:
1I
I jf (r , s)drds = (l)(l)f(r,, s ,) + (l)(l)f(r,, s2)
-
1-1
+(l)(l)f(r2, s 1) + (l)(l)f(r2,s 2)
Ta tích phân tại 4 điểm như trên hình 1.4.
Vậy là theo (1-35) và hình 1.4, ta tính tích phân 2 lớp tại 4
điểm như sau:
(0 = 0,57735
Điểm 1:
12
r = -co
s = -co
Hình 1.4: 4 điểm lính
tích phân 2 lớp theo
phương pháp Gauss
Điểm 2:
r = co
Điểm 3:
r = co
s = co
Điểm 4:
r = -co
s = co
s = -CO
Tích phán 3 lớp cũng được xác định tương tự như trên:
+ 1 +1
+1
Ị J Jf(r,s,t)d rd sd t = Ẹ Ẹ X W iWjWkf(ri,s j, t k)
-1-1-1
i
j
(1-26)
k
Nếu chọn số điểm Gauss n = 2, sau khi khai triển vế phải của (1-26), ta có 8 điểm
tính tích phân như sau:
CO—0,57735
Điểm 1:
r = co
s ——co
t = -co
Điểm 2:
r = co
s = co
t = -co
Điểm 3:
r = -co
s = co
t = -co
Điểm 4:
r = -co
s = -co
t = -co
Điểm 5:
r = co
s = co
t = co
Điểm 6:
r = -co
s = co
t = co
Điểm 7:
r = “ CO
s = “ CO
t = co
Điểm 8:
r = co
s —“ CO
t = co
Nếu dùng 3 điểm Gauss (n = 3), ta có 3 X 3 X 3 = 27 điểm tính.
Thông thường, ta dùng 8 điểm tính như trên đã trình bày.
Việc giải bài toán 2 chiều hoặc 3 chiều dùng PTHH cùng tham số, đòi hỏi phải tính
tích phân bàng sô đối với ma trận độ cứng cục bộ cũng như đối với vecto' lực thể tích và
vectơlực biên.
'Trinh tự tính ma trận độ cứng cục bộ trong bài toán 2 chiều như sau:
Càn cứ vào (1-20):
- Lần lượt tính định thức của ma trận Jacobian [J] tại 4 điểm như trên hình 1.4.
- Lần lượt tính ma trận biến dạng - chuyển vị [B] tại 4 điểm như trên hỉnh 1.4.
- Ưng với mỗi điểm, thực hiện các phép nhân ma trận [B]1 .[C ].[B ].|j|.
Cuối cùng, cộng lại các kết quả tính ở 4 điểm nói trên.
Từ việc phàn tích trên đây, ta thấy quá trình tính toán rất phức tạp, không thể tính
bằng tay mà phải nhờ vào sự hỗ trợ của chương trình tính. Việc tính lập bằng số nhiều
lần vì việc nhân nhiều lần các ma trận đòi hỏi phải có những chương trình con để khi
cần thì gọi chúng. Vì ma trận độ cứng cục bộ có nhiều phần tử nhưng lại có tính chất đối
xứng ta nên tính với nửa phần trên của ma trận để tiết kiệm bộ nhớ.
13
y
X
(-
1. 1)
1 1
(- , - )
(
b)
Hình 1.5:
a) PTHH hình chữ nhật;
b) Phần tử trong hệ tọa độ
tự nhiên và các điểm Gauss.
1. - 1)
Ví dụ: Cho một PTHH hình chữ nhật với kích thước và tọa độ tại các nút như trên
hình 1.5a. Phần tử trong hệ tọa độ tự nhiên và các điểm Gauss như trên hình 1.5b. Yêu
cầu tính ma trận độ cứng cục bộ.
Giải:
Theo sơ đồ các điểm Gauss trên hình 1.5b và bảng 1.1, ta có giá trị các biến tại các
điểm Gauss như sau:
co = 0,57735
Điểm 1:
r = CO
s = co
Điểm 2:
r = -co
s = co
Điểm 3:
r = -co
s = -co
Điểm 4:
r = co
s = -co
w = 1,0
Đầu tiên, căn cứ vào (1-9), ta tính ma trận Jacobian tại điểm 1:
1-0,57735
[J] =
1-0,57735
1 + 0,57735
4
1-0,57735
4
1 + 0,57735
4
1 + 0,57735
4
1-0,57735
4
4
4
4
0
0
-0,1057
0,1057
0,3943
-0,3943'
40
0
-0,1057
-0,3943
0,3943
0,1057
40
30
0
30
20
0
0
15
"0
1 + 0,57735'
V
0'
40
0
40
30
_0
30_
(a)
(b)
Từ đó, tính nghịch đảo của ma trận Jacobian [J] 1và định thức của định thức I J
,J,/20
1 J
L °
|j| = 300
14
0
(c)
1/15
(d)
in
ró
rr-
ìn
ó
+
in
cn
ịS
ìn
in
ó'
+
cT
I
in
cn
cr
o
s
Dí)
in
ró
o
o'
+
o
o
Theo (c) và (1-17), ta tính ma trận: ,
in
rõ
s
S . sK
ìn ^ ìn
ó*
I
ró
C
<íSÌ-H
cs
S
'O
Ồ
in
cn
s
S
ìn
o
o '
rin
o
ộ'
I
in
o
o
rìn
o o
ọ
I
rõ
s
S
ìn
<4-1
o
o
C
<ạ3-
o*“ 4
o*
oi
'b>
C
o
ĩ-4
rá
E
c
-0,0197
0,0070
0,0197
0
0,0263
0
0,0263
0,0053
I
*0
-0,0263
0
-0,0197
0
E
cd
r~~ rìn ìn
in
in
cd
-0,0053 -0,0263
ìn
Ị> cọ
ìn ƠN
o CO o
o ' cT
I
"6
v«gD
C
r-* co
ìn ƠN
o co
ó" o"
1
o
G
cỊ*
-0,0070
s
K
ìn
o'
I
in
ró
s
o
op
0
in
có
co co
rt
ƠN ƠN o
cor» co
o o"
o
ƠN
co co
o' o"
-0,0070
0
0
[ej=
ỉ
ƠN
o
0
m
rõ
K
s
ìn ot- ìn
o"
o'
+
o
C
‘'«ù
b
-C
o
0,0197
^
in
o
o
co co
co
|S
o
co Ị>
ìn
ƠN o
CO
o
o'
0
y— ị
s—
o
0,0053
1/15
0
+
Tt
o
0
ìn
ín
ró
s
s
ìn
o
+
1—H
O'
in
rõ
s
S
ìn
o"
+
w
-0,0053
0
1/20
0
0
0
w
ín
có
s
o '
1/ 20
o
^--V
0
1/15
o
m
ró
s
K
ìn T^ỷõ*
+
Ị>
On oin
CO
o"
0,0070
cọ
c
2
V£>
p
p
15
o
_
o
(N
^
— o
o
ro
X
(N
11
'Cũ'
u 1
o
ƠN
o #N o
o
o
ro
vo
(N
o
1
ro
to
o o
o
Ó“
o
o
ro
o
Ó
1
o rv
o
r
o
Ô
CN
rò
o
Ó*
1
r04
o
o
Ô
1
ro
to
to
ró
o
o
o o o
Ó
Ô'
I
1
1___
__l
ro
X
CN
c
<3-
ro
to
o
o rv
o
1
o
ro
to
o
o
cT
o
ro
o
Ó*
1
o
ro
NO
(N
o
©
1
o
ro
to
o
o
<3
Ọí
6
'3
4— »
-3
c
*3’
>>
3
JC
o
pC
E
r«
•*D
—
■
*
*0
*3«
^4 3- J
c
'<3
2
cx
tứ
2
o
3
CJ
oọ
-
/03 o
2
3
'<<L>
12o
>o
ạ3
+—*
r»
ữXJ
c
/3
o
'
0
o*0
c
<033
&
5
*o
03
p
(N
ro
toi
o
o
0
1
1
ị
ro
NÕ
CN
o
(D
1
ro
NÓ
cT
o
rƠN
o
©
ro
ló
CN
©
©
o
o
ro
o
©
o
ƠN
o
<5
1
o
rƠN
o
o
Ó*
ro
o
ƠN
o
©
©
o
Ó “ o1
___ 1
X
O
p
ro
X
X
X
p
-0,0098
0,0035
0,0070
0
I
0,0098
X
1--o
t>
o
o
cT
1
0,0132
r-
c
3
13
O
o05
0,0027
o
0,0263
/3
0
0
-0,0197
3
-0,0027 -0,0132
X
oo
ƠN
o
o
Ó
2
-0,0035
ro
o
to
ro
o
o o o
d
ó'
1
1
1
__1
ro
NÓ
CN
o
Ó
/3
1
-0,0263
ro
to
o
o
Ó
1
o
o
>
0
o
o
r-*
o
o
Ó'
1
ro
NÓ
Ô
1
o
to
ro
o
o
cT
ƠN
r
/03
-0,0070
o
oo
ƠN
o
o
cf
1
0
o
ro
ìn
o
o
Ó
o
o
ỉ>
o
o
cT
0,0197
ro
NÓ
(N
o
Ó'
2
1
0
Bây giờ nhân m a trận cấu trúc vật liệu với ma trận [B ], ta được:
rƠ
N1
1—
o
Ó
rƠN
o o
Ó
ro
to
o o
o
Ó*
16
o
ro
o
o"
4— *
0
o
ro
NÓ
(N
o
Õ
1
0,0053
rƠN
o o
cT
1
rƠN
o
cT
1
0
o
o
o
o
Ó*
-0,0053
1
p
/3
>
xT
/3
J
X
o?
os
en
co
O
o'
1
en
Os
<
N
o"
1
05 en
en
oo
<3 o"
rC
N
C
N
o
o"
r1
o
(N
d
(N
ỉn
oo
O
o*
1
(N
s
M
oo
o'
(N
rro
ó
Os
en
00
O
ó
en
O
un
rC
N
(N
o
ó
o
50
ro
o
cd
H
o
1
en F
0
5
F- 05 50 i
<
N
o
o o O O
o"
o
1 1 o" Õ o' o" 1
en
un
O
o
en
50
<
N
o o
o"
en
un
O o
Õ
Ộ
1
___
01)
ÇZ
v
5
X
v
O
o
Foo
o"
o
en
un
O
o
o
l>
oo o
o"
1
o
r-
o
o
d
r05
O o
en
un
o o
o
ó
o"
o
en
50
(N
O
o"
F05
O o
d
1
1
r^,
O
X
rỉ
-0,0098
0,0263
o
0,0132
0,0098
X
0,0035
(N
50
en
C
N
Ó
*
1
1
en
50
(N
O
O
1
0,0027
s
-0,0027 -0,0035
cd
0,0070
a
o
O*0
en F05
O 50
en O
o"
-0,0070
o
O
DO
0
rs
50
Fo"
1
l>
C
N un
oo 05
o
o" o"
-0,0263
en
Os
O
en
ó*
1
oJO
0
(N
en
oo
X
o
o
en
en
50
O
ó
1
_
X
X
*—
H
___1
X
p
o
II
II
-X
-X
I__________
-0,0132
en
(N
00
o
o'
1
r
-0,0197
N
en C
n
<
N u
un
en
o
o' Ó
1
1
un
o
os
C
N
o"
o
Fun
en
(N
Ó
*
1
en
C
N
oo
o
o"
1
0,0197
On en
un
O o
ó O
1
ro
o
o'
1
o
en
os
O
en
o"
1
0,0053
(N
en
oo
C
M
o"
1
0
en en
un
en O
O en
d
d
-0,0053
1
en
ri
00
O
o
J
X
cd
/O
*5b
17
*—<
un
(N
CM o s
•O C
N r»
O
O
ùn
00
ren
O
(N
r(N
(N
O
so
o"
«—H
rso
rO
en
ó
or o
H
H
O
o
en
so
O
esl Cvỉ
un
r00 nf
O
oo
o"
o"
en
0
un
1_
I
O
II
18
-0,0263
Ö
0
Ỏ
o
r-
0
o
Q
en
-0,0027
0,0132
os
un
os
O
O
0,0027
en
ÇN
ÇN
O
o"
I
0,0035
r~"
un
rộ
I
o
o
0,0098
ó
en (Ñ
un
CN
o"
‘-0,0098 -0,0035
o'
en
CÑ
ÇO
-0,0132
en
oo
0,0263
en
CN
op
en
O'
o
o
en
un
en
o rs o
o
Ộ
o"
I
(N
oo
oo
Õ
+0,0070
cT
1
en
CD
o
en
1
-0,0070
un
O
(N
(N
o “
1
oo
O
0 “
en
D
0
oo
en
o
On
en
On
O
-0,0053
(N
SO
oo
O
o '
1
(N
en
H
oo
O
o '
1
0,0053
en
oo
CN
o"
1
N
oc
O
<3
1
r
o
On
en
0,0197
On
fS
Ó
en
00
O
*—1
O
r.
O
1
0
o
en
en
(N
-0,0197
en
qs
o
c*n
rK
so
ro '
1
J
X
cn
CN
00
in
o
ON
ro
CO
o
o
I
(N
in
in
CO
Ộ
CO
ON
o
cn
Ó
r(N
00
o
o
1
o
o'
CÇ
C
/5
p
jq
c
cn
VO
o
o'
JD
o'
o
ro
o
ó
1
rON
o
o'
1
o
o
ro
o
o'
1
0Ö
cj
\5
X
'
—H
in
ON
or Ö
r—1
VO
o
,—i
•6
c
<Ũq--
ON
o
ó
1
o
cn
VO
CN
o
Ỏ
1
rON
o
o'
+
o
cn
Vo .
CN
o
o
Ó'
1
rOn
•—H
o
cn
VO
(N
o
o'
o
?
cn
in
o
o
o'
1
o
o
ro
o
o'
cn
in
o
o
o'
1
o
tñ
II
o
£
o
Ọ
I
(N
X
II
oo
3
X
II
II
o|sL)
~<(
¿4
■•o
-0,0027
0,0035
0,0070
0
X
C/5
*"r
o
o
ro
o
o'
I
__ — ___________ ___— ____________ I
cn
04
o
cn
VO
(N
o
o'
\7 i
M/
o *v o
o
o'
o
o
CO
X
00
cn
in
o
o
Ö
0,0027
rCN
oo
o
o'
VO
r-
0,0132
r- ON
(N
oo in
,
•
— ; ON
r o
o
1 o'
ÇN
/-—'
o
Ò4
o
o'
+0,0098
On
in
cñ
en
r(N
-0,0098 -0,0132
o
o1'
o
in
o
o
o'
I
o'
X
o
-0,0035
o
o'
oo
(N
Ô
1
(N
Ọ
Ö
+0,0263
rm
(N
1
0
r-
o'
-0,0263
(N
in
oo
1
in
0
o'
o
o
-0,0070
1
cn
0
1
ƠV
en
oo
Ptoo
-0,0053
o'" o
s
o
o'
cn
o'
o
o'
0
Ò4
1
1
o(N
o'
0,0053
on
is
o
o'
1
oCN
(N
«n
00
0
CN
VO
cn
(N
o
C'
en
+0,0197
o
On
(N
r(N
CN
0
cn
o
o'
rnfoo
CN
-0,0197
o
o'
r
0
r
vD
ro
1
m
in
00
_____ I
X
(N
II
CÖ*
-C
c
o
p-
a,
«Ü
H
19
1
r
o
ó
O s
un
O s
O
o'
(N
CN
o
ó1
CN
NO
en
CN
O
un
O
o
o'
t>
(N
00
o
o1
e n
CN
ÒO
o
ó
t>
NO
r-
o1
e n
e n
00
o—-<
ó1
r
O
r—«
en
N
oo
e n
run
e n
CN
(N
un
oc
ó
oc
nF
un
o
ó1
rni00
(N
Ó1
ó1
o
ó1
o"
rnf
oo
CN
Ó1
(N
un
00
O
o
Ỏ1
o
o
o1
(N
CN
CN
NO
NO
r-
(N
un
oo
iS
o
00
o
Õ
o"
o
e n
en
O s
O
r\
vT)
O
e n
O
un
nt*
o'
o"
r(N
(N
O
Ó1
o
NO
r-
o
o"
e n
en
(N
00
oo
o"
ó
NO
O
ó"
CN
M
7
00
Os
o
o
un
o"
1
00
e n
ntOs
Õ*
1
Os
O
o
un
o"
NO
un
un
00
un
en
un
Os
O
nt-
ni"
un
CN
un
un
o'
7
o“
On
O
O
un
ó*
00
o
Os
00
o
1
un
O s
O s
nf
<5
1
00
0
o*o
■*—
*
ed
E
1
'•O
cd
4—»
r-
X
'«o
Q
*“
•6
nt*c3
—
*«cuD
.
un
o
o
(N
Ó
-C
c
___ 1
¿
3
o
«D
o
,w
II
o
'Ç
od
0Û
Ç
öp
Ç
/3
o
'<5p
u
20
o"
O s
O s
Ö
00
_,
un
O s
nf
Ó
1
nf
njntCN
un
O s
e n
1
(N
»—
H
en
M
M
t
e n
o
o"
On
(N
Ó1
Ó
ren
o
(N
Ó"
o
o1
o
o'
(N
e n
(N
un
oo
1
un
1
7
1
Os
O
O
une'
O
1
un
Os
Os
ni"
O*
Ỉ
Os
un
00
en
Ó*
NO
un
un
o"
1
Os
O
O
un
Ó*
un
Os
Os
nf
ó
n|un
s
CN
CN
O
nf
nF
O s
Ö
un
Os
O s
nỷc*
oo
1
oo
O
O s
e n
<3
Ỉ
un
O s
O s
nf
o"
1
un
en
f—"i
7
-----1
nf
un
r-*
(N
o ' CN
1
un
Os
O
ni"
Ỏ
1
Os
un
oo
en
O
un
Os
Os
nF
O
o
o
un
00
o'
1
O s
O s
nf
o
y
o
O s
00
* -*
i
r“-*
C\)
Csf
nt*
un
t<
CN
CN
bú
c
VS
X
00
oo
00
Û
oc
O
o
00
1
TÎ-
o
_J
Quá trình tính toán trên đây chứng tỏ khối lượng tính rất lớn. Cần nhấn mạnh rằng
việc chọn sô điểm Gauss (còn gọi là bậc tích phân bằng số) hợp lí có một ý nghĩa rất
quan trọng về 2 phương diện. Một là khối lượng tính toán tâng lên đáng kể khi tăng
bậc tích phân; hai là việc chọn các bậc tích phân khác nhau có ảnh hưởng đến kết quả
tính toán.
Khi xác định bậc tích phân, cần nghiên cứu bậc của hàm dưới dấu tích phân. Trong
trường hợp ma trận độ cứng, hàm đó có dạng:
f(r, s, t) = [B]T ,[C][B]|j|
(1-27)
Vì ma trận [B] và định thức ma trận Jacobian I J 1 là những hàm của r, s, t, ta xác
định được bậc của hàm và khi nó bằng hoặc nhỏ hơn 2n - 1, ta có thể chọn số điểm
Gauss một cách hợp lí.
Lấy ví dụ PTHH hình chữ nhật, có thể chứng minh được rằng I J I = a.b, trong đó 2a
và 2b là 2 cạnh của nó. Từ (1-9) và (1-16), ta thấy rằng hàm f để xác định ma trận độ
cứng có dạng f(r2, fs, s2) nghĩa là hàm có bậc 2. Vậy chọn bậc tích phân 2 X 2 (4 điểm)
là hợp lí. Trong trường hợp định thức ma trận Jacobian không phải là hằng số, chẳng hạn
như trong ví dụ trên, hàm f có bậc 3, chọn bậc tích phàn 2 x 2 cũng là hợp lí. Khi ma
trận Jacobian có bậc cao hơn, có thể phải tăng bậc tích phân. Khi tính bản và vỏ, vấn đề
này cũng sẽ được đề cập đến.
Trong công trình nghiên cứu của mình, Bathe và Wilson (4) có kiến nghị dùng bậc
tích phàn tối thiểu khi tính ma trận độ cứng trong bài toán 2 chiều: Các số liệu ghi trong
bảng 1.2.
Báng 1.2. Bậc tích phân theo phương pháp G auss dùng cho PTH H 2 chiều
Bậc tích phân
Phần tử
f---------------<'
2x2
Hình chữ nhật 4 nút
1------------- —
í>
2x2
Hình 4 cạnh 4 nút
i --------•-------- !
<1
<--------•-------- t
Hình chữ nhật 8 nút
ị
Hình cạnh cong 8 nút
—
D
2x2
3X3
21
1.3. CÁCH GIẢM CẤP MA TRẬN
Trong thực tế, ngoài các bậc tự do chính, PTHH còn có những bậc tự do phụ do
nhũng yêu cầu nào đó. Nghĩa là ngoài các nút chính trên biên của PTHH, còn có những
nút phụ được đưa vào trong PTHH để tạo thành hàm hình dạng. Chẳng hạn trên hình
1,6a, hình tứ giác được ghép bởi 4 hình tam giác, do đó tạo nên nút phụ 5 ở giữa. Trên
hình 1.6b, hình tam giác được bổ sung thêm một nút phụ 10 ở giữa. Trên hình 1.6c,
PTHH cong có một nút phụ 9 ở giữa.
c)
Hình 1.6:
a) 4 hình tam giác ghép thành hình tứ giác; b) Hình tam giác 10 nút; c) Phần tử cong 9 nút.
Cần chú ý rằng các nút phụ trên không có sự liên kết với các PTHH ghép vào nhau. Do
đó, chuyển vị của chúng không cần có mặt trong hệ phưong trình cân bằng của toàn hệ. Ta
có thể loại trừ các bậc tự do ứng với các nút đó và cãn cứ vào chuyển vị của các nút biên
để tính ma trận độ cứng cũng như vectơ lực tại các nút. Cách loại trừ đó như sau:
Theo [1], phương trình cân bằng của toàn hệ có dạng:
[k][d] = [Q]
Trong đó:
(1-28)
[k] - ma trận độ cứng;
[d] - vectơ chuyển vị;
[Q] - vectơ lực tại các nút (bao gồm nút chính về nút phụ).
Sắp xếp lại hệ thức ma trận trên để tách rời các bậc tự do ứng với các nút chính và các
nút phụ:
[k n ] ! [k !2]
[^21 ] j [^22]_
Trong đó:
•>
s
—s
rs --
■{Q.ì
.{^2 }.
| d | } - vectơ chuyển vị ứng với các nút chính;
{d2} - vectơ chuyển vị ứng với các nút phụ;
22
(1-29)
{Q ,} - vectơ lực ứng với các nút chính;
{Qo} - vectơ lực ứng với các nút phu.
Phương trình (1-29) có thể đưa về dạng:
[k„]{
U-30a>
[k 2l]{d,) + [k ,2] jd ,Ị = {Q2Ị
(l-30b)
Giải phương trình (l-30b), ta được:
{^2 } ~ —[^ 2 2 ]
[^21
] M }+ [^ 22 ] {Q2 }
(1-31)
Thay (1-31) vào (1 -30a), ta được:
[*^11] {cll }—[^12 ][lc22] [ 1^21] {^1 ì = {Q} fl^l2 ][l^22 ] {Q2 }
(1-32)
Phương trình (1-32) có thể viết:
[k ]{ d ,} = { Q }
(1-33)
[ k ] = [ k | | ] - [ k l2][k 22] [k2lj
(1-34)
{Q} = { Q ,Ị - [ k l2][k22r '{ Q 2}
(1-35)
[ k] là ma trận đã xuống cấp, dùng để tính ma trận độ cứng;
Ịq Ị - vectơ lực ứng với các nút biên của phần tử.
Phương pháp trên gọi là phép "cỏ đọng tĩnh học" (Static Condenstation). Để thấy ưu
điếm của phương pháp này, ta hãy lấy ví dụ trên hình 1.6. PTHH cong có 9 nút dùng để
tính vò. mỗi nút có 5 bậc tự do, vậy có tât ca 5 X 9 = 45 bậc tự do cho mỗi PTHH. Nếu ta
loại trừ nút 9 thì số bậc tự do còn lại chỉ là 5 X 8 = 40. Do đó, việc giải hệ phương trình
tuyến tính được đơn giản hơn.
23
C hương 2
CÁC PHẨN TỬHỦU HẠN HÌNH TAM GIÁC
DÙNG CHO BÀI TOÁN 2 CHIỂU
Chương này trình bày 2 loại PTHH sau đây:
1. ITHH hình tam giác biến dạng không dối.
2. PTHH hình tam giác 6 nút.
Trước hốt. ta cán lìm hicu dặc dicm bài toán 2 chiểu.
2.1. ĐẠC ĐIẾM BÀI TOÁN HAI CHIỀU
Trong bài toán hai chiền, chuyển vị, biến dạng, ứng suất, lực thể tích, lực biên là
nhũng hàm của hai biến X và y.
Vcctơ chuyển vị u có dang:
( 2-
1)
( 2- 2)
(2-3)
p
X
Hình 2.1: Kết cấu 2 chiều
24
11mil 2.1 biếu ill ị kết cáu hai chiều một cách khái quát, trong đó vectơ lực thể tích
vectơ áp lực biên và phân tố thế tích dV như sau:
I
(2-4)
dV = hdA
Trong đó: h - bể dày của kết càu hai chiêu;
fx, fv - các lực thể tích trên đơn vị thể tích trên các phương X, y;
pv pv - các áp lực biên trẽn dơn \'Ị diện lích trên các phương X và y;
dA - phàn tố diện tích theo lí thuyết đàn hổi ớ hệ thức biến dạng chuyến vị.
r
rv ( ũu õv
\ ìT
(2-5)
¡£i
I
dy
ôx
L « Oy
Theo 11]. la có hệ thức giữa ứng suất và biến dạng:
M = [C ]M
( 2- 6 )
[c] - ma trận cấu trúc vật liệu.
Đê giái bài toán hai chiều, trước hết ta dùng mô hình phần tử hữu hạn tam giác.
Nguyên lí công áo sẽ được áp dụng dế suy ra các biếu thức cứa ma trận độ cứng và vectơ
lai trọng.
Mỉén 2 chiểu được chia thành các hình tam giác như trên hình 2.2. Các đinh tam
giác gọi là nút. mỗi tam giác do 3 nút và 3 cạnh tạo thành gọi là một PTHH. Các
PTHH tam giác lấp đầy miền hai chiều. Nếu có miền rỗng ở biên thì thay nó bằng
các PTHH bé hơn hoặc các PTHH có biên cong, do dó bài toán sẽ được giải một cách
gan đúng. Sô thứ tự các PTHH - khoanh tròn: Số thứ tự các nút - không khoanh tròn.
Áp lực bien
Hình 2.2: Mỏ hình phan tử hữu hạn trong hủi toán 2 chiểu
25
Trong bài toán 2 chiều, mỗi nút được phép chuyển vị trên 2 phương X và y. Vậy mỗi
nút có 2 bậc tự do (viết tắt là BTD). Để tiện cho việc lập trình trên máy tính điện tử, ta
đặt số thứ tự cho mỗi nút như sau:
Tại nút j:
BTD trên phương x: d, = 2j - 1
BTD trên phương y: d2 = 2j
(2-7)
Chẳng hạn, đối với PTHH số 6 trên hình 2.2, ta có các số thứ tự BTD: 11, 12, 15, 16,
13, 14 (lần lượt ứng với các nút 6, 8, 7).
Vectơ chuyển vị tổng thể có dạng:
{q}r = [qi
q2 -
q„]T
(2-8)
Trong đó: n - số BTD của toàn hệ.
Trong tính toán, cần biểu thị tọa độ của các nút và sơ đồ liên kết giữa chúng. Tọa độ
nút biểu thị trên hình 2.3. Sơ đồ liên kết giữa các PTHH và giữa các nút biểu thị trên
hình 2.2. Nếu tách riêng một PTHH, nó có 3 nút 1, 2, 3 (có tính chất cục bộ) và các BTD
cục bộ biểu thị như trên hình 2.3.
y
u2(3)
X
Hỉnh 2.3: Sô tliứ tự cục bộ của các nút và sô thứ tự cục bộ của các ETD
Sự tương ứng giữa số thứ tự cục bộ (1, 2, 3) của các nút và sô' thứ tự tổng thể của
chúng biểu thị trên hình 2.2 và bảng 2.1.
Chẳng hạn đối với PTHH có số thứ tự 4 (hình 2.2), có sự tương quan như sau: nút 1
(cục bộ) —> nút 5; nút 2 (cục bộ) —» nút 4; nút 3 (cục bộ) —> nút 6. Các nút của PTHH
tam giác đếm theo chiểu ngược kim đồng hồ để tránh diện tích âm (vấn đề này sẽ được
đề cập trong phần sau).
Các thành phần chuyển vị tại các nút của PTHH men theo các BTD cục bộ (1, 2, 3)
biểu thị như trên hình 2.3.
26
