Phương pháp vector phạm kim chung

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc

m

Lời nói đầu.

Thanh Long ngày 18/03/2007.
Phạm Kim Chung

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

Khi dạy hình học không gian tôi cảm thấy rất phiền khi lúc nào cũng phải mang cái thớc
bên mình để có thể vẽ đợc những cái hình không gian phức tạp , lúc còn là học sinh tôi cũng
cảm giác rằng những bài toán hình học không gian là những bài toán khó vì để giải quyết nó buộc
tôi phải có những tởng tợng không gian phong phú và tôi cũng cảm nhận đợc điều này trớc
sự nhăn nhó của học sinh .
Tôi vẫn mong muốn rằng có thể đọc đợc một tài liệu nào đó mà có thể cho tôi một phơng
pháp đỡ t duy trên hình vẽ hơn ; Tôi đã cố gắng tìm tòi và đọc đợc một số tài liệu hay nh: Tạp
chí TH&TT; Quy trình giải các bài toán hình học bằng pp véc tơ (Nguyễn Văn Lộc); Toán nâng
cao hình học (Phan Huy Khải) ; Hình học KG(Trần Văn Hạo) ; Giải toán hình học (Trần Thành

Minh) ; Hình học không gian (Sa-r-gin) và một số tài liệu khác trong đó có rất nhiều phơng
pháp tôi tâm đắc nh phơng pháp véc tơ, phơng pháp đại số hoá, phơng pháp trải tứ diện ,
phơng pháp chiếu vuông góc,song song, phơng pháp sử dụng các phép biến hình Tôi cũng đã
thử nghiệm một vài phơng pháp khi dạy trên lớp , và tôi nhận thấy pp véc tơ là khá phù hợp với
năng lực hs đồng thời có thể giúp học sinh có những chuẩn bị tốt khi học hình giải tích (lớp 12).
Vì vậy tôi cố gắng viết ra một tài liệu cho riêng tôi, phù hợp với phong cách giảng dạy của tôi
hơn ; Nhng tôi vẫn cảm thấy rằng nó cha thật vừa ý , nhân tiện tổ có đa ra yêu cầu viết một
chuyên đề nên tôi có dịp đa nó ra để mình có thể thu thêm nhiều ý kiến đóng góp ,phê bình quý
báu cho công tác giảng dạy sau này.
Trong bài viết tôi thiên về việc giải quyết những bài toán SGK , còn những bài toán khác
chỉ mang tính chất phụ hoạ cho phơng pháp véc tơ mà thôi.
Vì thời gian viết chuyên đề quá ngắn nên một số phần nh: góc, thể tích,mặt cầu, bất đẳng thức
hình họccha kịp làm, hy vọng rằng với sự góp ý của các thầy cô tôi sẽ viết đợc một tài liệu
có chất hơn.
Rất mong đợc sự đóng góp quý báu của các thầy cô!

1


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc

a, lý thuyết Phơng pháp véc tơ:
I). Quy trình giải toán

m

Bớc 1: Lựa chọn Hệ véc tơ gốc.-> Phiên dịch các giả thiết , kết luận của bài toán hình học đã cho
ra ngôn ngữ véc tơ.
Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véc
tơ theo hệ véc tơ gốc .

Bớc 3: Chuyển các kết luận véc tơ sang các tính chất hình học tơng ứng .

BG:

JJJK JJJK JJJK
Chọn hệ A, AB, AC , AD làm cơ sở.

{

c.

A

co

VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,CD và G là
trung điểm của đoạn thẳng MN.
a). Chứng minh rằng đờng thẳng AG đi qua trọng tâm A của tam giác BCD. Phát biểu kết luận
tơng tự đối với các đờng thẳng BG,CG và DG.
b). Chứng minh GA=3GA.

}

oc
uo

*Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc.
+Giả thiết:
(H.1)
JJJJK 1 JJK

J
M là trung điểm của AB AM = AB
2
M
JJJK 1 JJJK JJJK
N là trung điểm CD AN = ( AD + AC )
2
.
G
G là trung điểm đoạn MN
D
JJJK 1 JJJJK JJJK
1 JJJK JJJK JJJK
AG = AM + AN = AB + AC + AD .(1)
B
2
4
A
JJJJK 1 JJJK JJJK JJJK
N
A là trọng tâm tam giác BCD AA ' = AB + AC + AD .(2)
3
+ Dễ thấy yêu cầu của bài toán tơng đơng với yêu cầu chứng minh
C
JJJK 2 JJJJK
AG = AA '
3
Từ (1),(2) ta dễ dàng giải quyết bài toán trên.
II, Một số tính chất cần ghi nhớ
Để giải quyết một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp véc tơ học sinh cần nắm vững các khái

niệm và tính chất sau:
JJJK JJJK JJJK
1). Quy tắc 3 điểm: AB + BC = AC , với A,B,C là 3 điểm bất kì trong không gian.
JJJK
2). Quy tắc hiệu 2 véc tơ chung gốc: AB là một véc tơ cho trớc thì với mọi điểm O bất kì , ta có:
JJJK JJJK JJJK
AB = OB OA .
JJJK JJJK JJJK
3). Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình ta luôn có : OB = OA + OC .
4). Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm đoạn AB thì:
JJJK JJJK K
+ MB + MA = 0 .
JJJK JJJK
JJJJK
+ OA + OB = 2OM , với mọi điểm O.
5).Tính chất trọng tâm của tam giác : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:
JJJK JJJK JJJK K
+ GA + GB + GC = 0 .
JJJK JJJK JJJK JJJK
+ OA + OB + OC = 3OG với mọi điểm O.
2

kh

on

gb

(

)

(

(

)

)


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK
6). Tích vô hớng của 2 véc tơ: AB.CD = AB CD cos AB, CD .
G
G
G
G G G
7). Điều kiện để 2 véc tơ cùng phơng : Véc tơ a cùng phơng với véc tơ b(b 0) k R : a = kb .
JJJK
JJJK
8). Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng. ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là: k 0 : AB = k AC .
JJJK JJJK
JJJK JJJK G
9). Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc: AB CD AB.CD = 0 .
10). Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đờng thẳng chứa chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
11).Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hớng 2 véc tơ:
G G 1 G G 2 G 2 G2

+ a.b = a + b a b

2
GG
1 G G 2 G2 G2
+ a.b = a b a b

2
x1 = x2
G
G
G
G
G
G
G G G

12). Nếu a, b, c là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c thì: y1 = y2 .
z = z
1 2
JJJK JJJK
JJJJK OA kOB
13). Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì với điểm O bất kì ta có: OM =
.
1 k
JJJK JJJK JJJK
14). Trong không gian cho hệ O, OA, OB, OD . Điểm D mp ( ABC )
JJJK
JJJK
JJJK

JJJK
thì OD = OA + OB + OC ,( + + = 1; , , R )

(

)

)

}

oc
uo

{

c.

co

(

m

(

)

b, Các dạng bi tập

kh

on

gb

*Bi tập hình thnh phơng pháp .
Dạng 1 . Bi tập phân tích một véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng
(Xem khái niệm 3 véc tơ đồng phẳng mục A-II-10)
VD2: Cho tứ diện ABCD . Các trung tuyến AA1 và BB1 của tam giác ABC cắt nhau tại M . Có thể
JJJJK
biểu diễn véc tơ DM theo bộ ba véc tơ nào ,trong các bộ ba véc tơ đã cho sau đây?
JJJK JJJK JJJK
1). DA, DC , DB
JJJK JJJK JJJK
2). DA, AA1 , BB1 .
JJJK JJJK JJJJK
D
3). AB, DA, A1 B1 .
JJJJK 1 JJJK JJJK JJJK
1). DM = DA + DB + DC
3

A

B1

C

A1

)

JJJJK JJJK 2 JJJK
JJJK
2). DM = DA + AA1 + 0.BB1
3

(H.2)

B
M

(

3). Do A1B1//AB nên 3 véc tơ trên là
JJJJK
đồng phẳng , mặt khác véc tơ DM không đồng
JJJJK
phẳng với 2 véc tơ nào trong 3 véc tơ trên , do vậy DM
JJJK JJJK JJJJK
không biểu diễn đợc theo các véc tơ: AB, DA, A1 B1

VD3: Cho tứ diện ABCD . Điểm M là trọng tâm của tam giác ABC .
JJJJK
JJJK JJJK JJJK
Hãy biễu diễn DM theo các véc tơ: DA, AC , CB .
3

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
JJJJK 1 JJJK JJJK JJJK
HD: (Xem hình 2.). M là trọng tâm của tam giác ABC nên: DM = DA + DB + DC . Vậy để giải quyết bài
3
JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK
toán ta cần biểu diễn DB, DC theo 3 véc tơ DA, AC , CB .Ta có:
JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK
JJJJK 1 JJJK JJJK JJJK
+ DB = DA + AC + CB và DC = DA + AC Từ đó suy ra: DM = 3DA + 2 AC + CB .
3
Bi tập tự giải:
1).Cho tứ diện ABCD . M và N là trung điểm DB và DC . Hãy phân tích các véc tơ
JJJJK JJJK JJJJK
JJJK JJJK JJJK
AM , BN , MN theo DA, DB, DC .
2). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
JJJK
JJK JJK JJJK
a). Hãy phân tích SD theo SA, SB, SC .
JJK JJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK
b). Hãy phân tích các véc tơ SA, SB, SC , SD theo các véc tơ AB, AC , SO .
3).Cho hình lập phơng ABCD.ABCD . Gọi O là tâm của hình lập phơng và I là tâm của mặt CDDC . Hãy
JJJK JJK
JJJK JJJK JJJJK
phân tích các véc tơ AO, AI theo AB, AD, AA ' .
4). Cho hình lăng trụ
tam giác ABCA B C .

G G G
JJJK
JJJJK G JJJK G JJJK G1 1 1
a). Đặt AC1 = c; BA1 = a; CB1 = b . Hãy phân tích véc tơ AA1 theo a, b, c .
JJJJK
JJJK JJJK JJJK
b). M là trung điểm đoạn B1C . Hãy phân tích véc tơ AM theo AA1 , AB, AC .

(

)

)

c.

co

m

(

oc
uo

MD
NA
5). Cho tứ diện ABCD . M và N là các điểm chia các đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số
= m;
= n . Hãy phân

MB
NC
JJJJK
JJJK JJJK JJJK
tích véc tơ MN theo AB, DA, BC .
6). Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ điểm S vẽ 3 tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C là các tiếp điểm ).
JJJK
JJK JJK JJJK
Hãy phân tích véc tơ SO theo SA, SB, SC biết rằng ba véc tơ này từng cặp tạo với nhau góc 600.

---------------------------------------------------------------------------Dạng 2: Bi tập lựa chọn hệ véc tơ gốc .

gb

* Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phơng pháp véc tơ . Nói chung
việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn 2 yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là 3 véc tơ không đồng phẳng .
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc
tơ một cách đơn giản nhất.

kh

on

VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lợt là trung điểm của AB và CD . Gọi R
là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PRQ) . Chứng minh
rằng AS=2SD.
BG:
A

P

JJJK JJJK JJJK
Chọn hệ A, AB, AC , AD làm cơ sở. Ta có:
JJJK 1 JJJK
P là trung điểm AB AP = AB
S
2
JJJK 1 JJJK JJJK
D
Q là trung điểm CD AQ = AC + AD
2
JJJK 1 JJJK 2 JJJK
R nằm trên BC và BR=2RC AR = AB + AC
3
3
Q
JJJK
JJJK
JJJK 2 JJJK
Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng minh : AS = 2 SD hay AS = AD .
3
(H.3)

{

}

(

B

R
C

)

4


Truy cp www.khongbocuoc.com
download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
JJJK
JJJK
Giả sử AS = k AD . Điểm S thuộc mp(PQR) do đó tồn tại , , R sao cho:
JJJK
JJJK
JJJK
JJJK
AS = AP + AQ + AR ;( + + = 1) (Xem mục A-II-14)
JJJK 1
JJJK
1 JJJK
1 JJJK JJJK
1 JJJK 1
2 JJJK 1 JJJK
1 JJJK 2 JJJK
Hay k AD = AB +
AC + AD + AB + AC k AD = + AB + + AC + AD
2

2
3
3
3
2
3

2
2
+ + = 1
1
+ 1 = 0
3
2
2
1
k = (Xem mục A-II-12), suy ra đpcm.
2
3
2 + 3 = 0

k=1

2
Bình luận : Với chứng minh trên ta nhận thấy pp véc tơ có thể tránh cho chúng ta phải kẻ thêm nhũng hình phụ
phức tạp, đó cũng chính là điểm yếu của học sinh khi học hình học không gian.
Ta sẽ xét sang VD khác , để nhận thấy rõ hơn u điểm của phơng pháp véc tơ.
VD5:(Bài tập 5-Tr86-SGK11) Chứng minh rằng nếu đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ
diện ABCD là đờng vuông góc chung của AB và CD thì AC=BD, AD=BC.
BG:

)

c.

co

m

(

Giả sử M,N là trung điểm của AB, CD.
JJJK JJJK JJJK
Chọn hệ A, AB, AC , AD làm cơ sở.

A

oc
uo

{

JJJJK 1 JJK
J
M là trung điểm của AB AM = AB .
2
JJJK 1 JJJK JJJK
N là trung điểm CD AN = ( AD + AC ) .
2
JJJJK JJJK JJJJK 1 JJJK JJJK JJJK

MN = AN AM =
AC + AD AB .
2
JJJK JJJK JJJK
CD = AD AC .

(H.4)

M
B

D

on

C

gb

N

(

)

+ MN vuông góc với AB nên:
JJJJK JJJK
1 JJJK JJJK JJJK JJJK
MN . AB = 0
AC + AD AB . AB = 0 .

4
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK 2
0 = AB. AC + AB. AD AB (1)
+ MN vuông góc với CD nên:

(

)

JJJJK JJJK
1 JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
MN .CD = 0
AC + AD AB AD AC = 0
4

(

JJJK 2 JJJK JJJK JJJK JJJK
AD 2 = AC AB. AC + AB. AD

(2)
JJJ
K JJJK
Lấy (2)-(1) theo vế ta đợc: AD 2 = AB AC

kh

}

(

)

2

)(

)

= BC 2 AD = BC .

Cộng vế theo vế ta đợc AC=BD. Suy ra điều phải chứng minh.

Bình luận:
+Mặc dù là bài tập SGK ,tuy nhiên bài toán trên là bài tập khó kể cả với những HSG , vì việc vẽ hình phụ để giải
quyết bài toán bằng phơng pháp hình học KG thuần tuý là không đơn giản.
+ Bài toán còn có thể giải bằng phơng pháp đại số hoá bằng cách đặt AB=x; AC=y; AD=z sau đó áp dụng công
thức trung tuyến cũng là một phơng pháp hay.
5


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Bi tập tự giải:
1)(Bài tập 4-Tr41-SGK11).Chứng minh rằng tổng bình phơng tất cả các đờng chéo của hình hộp bằng tổng bình
phơng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
2)(Bài tập 1-Tr59-SGK11). Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau . Chứng minh rằng :
AC B ' D ', AB' CD ', AD' CB ' .
3)(Bài tập 2-Tr59-SGK11) .Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc
n
AB, DM .

(

)

oc
uo

c.

co

m

4)( Bài tập 3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c.
a). Chứng minh rằng các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó .
b). Tính cosin của góc hợp bởi các đờng thẳng AC và BD.
5)( Bài tập 3-Tr69-SGK11). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC, SB=SD.
Chứng minh rằng :
a). SO mp ( ABCD ) .
b). AC SD .
6) ( Bài tập 5-Tr69-SGK11). Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB CD và AC BD thì AD BC .
7) ( Bài tập 7-Tr69-SGK11). Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc . Kẻ
OH mp ( ABCD ) H nằm trên mp(ABC) . Chứng minh :
a) H là trực tâm tam giác ABC
1
1
1
1
b)

.
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2
8) ( Bài tập 8-Tr86-SGK11) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD = a 2 .
Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AD và BC .
a). Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC).
b).Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và SB.
-------------------------------------------------------------------*bi tập phân theo các dạng toán giải đợc bằng pp véc tơ.

on

gb

Một câu hỏi thờng gặp ở học sinh khi dạy phơng pháp véc tơ là : Những bài toán có dạng nh thế nào thì giải
đợc bằng phơng pháp véc tơ ?, dạng toán nào thì phơng pháp véc tơ là u điểm ? , đờng lối giải quyết nó nh
thế nào ? Thực ra để trả lời đợc câu hỏi đó là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học không gian nói
riêng là khó tìm một phơng pháp nào là có thể giải quyết hết các bài toán nếu nh không muốn nói là không thể.
Tuy nhiên đối với các bài tập SGK chúng ta có thể làm rõ đợc phần nào, ví dụ đối với những hs trung bình có thể
dừng lại ở các bài toán có giả thiết và kết luận đơn giản nh trung điểm, trọng tâm , vuông góc; đối với những hs
khá có thể nâng cao lên ở những bài toán khoảng cách , tính góc , thẳng hàng, đẳng thức hình học; đối với
những hs giỏi có thể thêm những dạng toán về sự đồng phẳng , đồng quy,bất đẳng thức hình học, quan hệ song
song ,vuông góc ở mức độ khó hơn.

kh

Dạng 1: Bi tập về trọng tâm tam giác , tứ diện.
JJJJK 1 JJJK JJJK
+ M là trung điểm AB OM = OA + OB
2
JJJK 1 JJJK JJJK JJJG
+G là trọng tâm tam giác ABC OG = OA + OB + OC
3
(Với mọi điểm O bất kì trong không gian )

(

)

(

)

VD6: Cho hình hộp ABCD.ABCD. Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của tam giác ABD.
6


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
B

C

JJJJK JJJK JJJK
HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở A, AA ', AB, AD

{

}

Phân tích bài toán:
A

*Giả thiết:
Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M.
Suy ra:
JJJJK
JJJJK
+ M AC ' k R : AM = k AC '
JJJJK
JJJJK JJJK JJJK
hay AM = k AA ' + AB + AB

D
M

B

)

m

(

(H.5)

M mp( A ' BD)
JJJJK
JJJJK
JJJK
JJJK
AM = AA ' + AB + AD

C

co

( , , R : + + = 1)
D

A

*Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng
JJJJK 1 JJJJK JJJK JJJK
minh: AM = AA ' + AB + AD
3
Với việc lập hệ phơng trình và giải quyết tơng tự VD4 , ta suy ra đpcm.

)

c.

(

gb

oc
uo

Bi tập tự giải:
1). Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD . Gọi P,Q,R là ảnh đối xứng của điểm D qua các điểm A, B, C . Chứng
tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD.
2). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh 2 tam giác ANP và
CMQ có chung trọng tâm.
3). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và ABCD có Gcùng trọng tâm khi và chỉ khi:
JJJJK JJJJK JJJJK JJJJK
AA ' + BB ' + CC ' + DD ' = 0 .
4). Cho tứ diện ABCD . Gọi A, B, C ,D lần lợt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho:
A ' A B ' B CC ' D ' D
=
=
=
=k.
A ' B B 'C C ' D D ' A
Chứng minh hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm.
5). Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Gọi P,R theo thứ tự là trung điểm của AB, A1D1 ; Gọi P1 ,Q ,Q1 ,R1 theo thứ tự
là giao điểm của các đờng chéo của các mGặt (ABCD), (CDD1C1), (A1B1C1D1),(ADD1A1).
JJJK JJJJK JJJK
a). Chứng minh rằng : PP1 + QQ1 + RR1 = 0 .
b). Chứng minh hai tam giác PRQ và P1R1Q1 có cùng trọng tâm.
B

on

----------------------------------------------------------------------------------

kh

Dạng 2: bi tập về các điểm thẳng hng.
JJJK
JJJJK
JJJK
Để chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh: AP = AM + AN ( , R: + = 1)
trong đó A là điểm bất kì (thông thờng A là gốc của hệ cơ sở).
VD7: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a . Gọi P,Q là các điểm xác định bởi :
AP = AD ' , C ' Q = C ' D ;
M là trung điểm BB . Chứng minh rằng P, M, Q thẳng hàng .

HD:

JJJJK G JJJJJK G JJJJJK G
Chọn hệ A ', A ' A = a, A ' B ' = b, A ' D ' = c làm cơ sở.

{

}

7


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Phân tích bài toán:
G JG
JJJK
JJJJK JJJJK

* Giải thiết : AP = AD ' AP = AD ' A ' P = 2a d
G JG G
JJJJK
JJJJJK JJJJK
C ' Q = C ' D C ' Q = C ' D A ' Q = 2b + d a
JJJJJK 1 JJJJK JJJJJK
1G G
M là trung điểm BB A ' M = A ' B + A ' B ' = a + b
2
2
JJJJJK
JJJJK
JJJJK
* Yêu cầu của bài toán tơng đơng với việc chứng minh: , : A ' M = A ' P + A ' Q

(

)

1
.
2

m

Thay các đẳng thức trên và giải hệ phơng trình ta đợc = =

( + = 1) .

oc

uo

c.

co

Bi tập tự giải :
1). Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Gọi P là trung điểm của cạnh B1C1 . Đờng thẳng d qua P cắt đờng thẳng AB
tại M và cắt đờng thẳng DD1 tại N . Chứng minh P là trung điểm của đoạn MN.
2).Cho tứ diện OABC . Gọi M,N ,P lần lợt là các điểm đối xứng với O đối với trung điểm các cạnh tam giác ABC
. Chứng minh rằng , điểm O và trọng tâm các tam giác ABC , MNP thẳng hàng.
3). Cho tứ diện OABC . Gọi P, Q,R lần lợt là trọng tâm các tam giác AOB, BOC, COA . Chứng minh rằng điểm
O và trọng tâm các tam giác ABC, PQR thẳng hàng.
4). Chứng minh rằng trong tứ diện trực tâm : trọng tâm , trực tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp cùng nằm trên một
đờng thẳng (đờng thẳng Ơ-le trong tứ diện)
3
5). Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . P là điểm trên đờng thẳng CC1 sao cho : CP = CC1 . M là điểm trên đờng
2
MD
thẳng AD, N là điểm trên đờng thẳng BD1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng . Tính :
.
MA
------------------------------------------------------------------------Dạng 3: quan hệ vuông góc giữa đờng thẳng v mặt phẳng.

gb

VD8. (Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC,
SB=SD. Chứng minh rằng:
a). SO mp ( ABCD ) .
b). AC SD .

Chọn hệ véc tơ cơ sở:
JJJK JJJK JJJK
O, OA, OB, OS
S

{

a).

on

kh

JJK JJJK JJJK
Ta có: SA = OA OS
JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK
SC = OC OS = OA + OS

)

Theo bài ra : SA=SC
JJJK JJJK 2 JJJK JJJK
SA2 = SC 2 OA OS = OA + OS

)

(H.6)

B

(

(

A
O

}

) (

2

JJJK JJJK
OA.OS = 0 OA OS .

C

Tơng tự ta chứng minh đợc : OB OS , suy ra: SO mp ( ABCD ) .
D
JJJG JJJG JJJG
JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK
b). Ta có : AC = 2OA ; SD = OD OS . Do đó: AD.SD = 2OA. OD OS = 0 AC SD .

(

)

VD9.(Bài tập 5-Tr69-SGK11) .Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB CD, AC BD thì: AD BC
8


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
JJJK JJJK JJJK
HD: Chọn hệ A, AB, AC , AD làm cơ sở.
JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK
AB CD AB. AD AC = 0 AB. AD AB. AC = 0 JJJK JJJK JJJK JJJK

AC. AD AB. AD = 0 (1)
Ta có:
JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK
0
.
.
0
AC

BD

AC
AD

AB
=

AC
AD

AC
AB
=

.

{

}

(
(

)
)

JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
Nên: AD.BC = AD AC AB = 0 AD BC <Theo (1)>đpcm.

(

)

co

m

JJJK JJJK
+ Để chứng minh AB CD , ta chứng minh: AB.CD = 0
+ Để chứng minh AB ( ) , ta chứng minh AB vuông góc với 2 đờng thẳng cắt nhau thuộc mp ( ) .
+ Để chứng minh ( ) ( ) , ta chứng minh 1 đờng thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với 2 đờng
thẳng thuộc mặt phẳng kia.

gb

oc
uo

c.

Bi tập tự giải :
1). Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, D là trung điểm BC , vẽ DE AB ( E AB ) , biết
SE mp ( ABC ) . Gọi M là trung điểm DE.
Chứng minh : AM mp ( SEC ) .
2).Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AD và BB1. Chứng minh:
MN A1C .
3). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC , đáy ABC là tam giác cân (AB=AC) . Vẽ SO mp ( ABC ) , D là trung
điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh : CD mp ( SOE ) .
4). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. M và N là các điểm lần lợt thuộc
các đờng chéo AB và BC. Biết rằng :
3
2
A ' M = A ' B ; B ' N = B 'C .
5
5
Chứng minh rằng : MN A ' B và MN B ' C .
5). Tổng hai góc phẳng của góc tam diện bằng 1800. Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của chúng vuông

góc với phân giác của góc phẳng thứ ba.

on

-------------------------------------------------------------------------------

kh

Dạng 4: Tính góc giữa hai đờng thẳng.

GG
aG 2 + bG 2 aG bG
G G
a.b 1
cos a, b = G G =
G G
a b 2
a b


( )

(

)

2

VD10(Bài tập2-Tr59-SGK11). Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC .
9


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
AB, DM .
Tính cosin của góc n

(

A

)

JJJK JJJK JJJG
Chọn hệ véc tơ cơ sở B, BA, BC , BD . Ta có:

{

(H.7)

}

JJJK JJJJG
JJJK JJJJG
AB.DM
Do đó: cos AB, DM = JJJJG JJJK

DM AB

(

D

)

co

B

m

JJJJG JJJJG JJJG 1 JJJG JJJG
DM = BM BD = BC BD .
2

Dễ thấy : AB=a ; DM=

M

a 3
2

(

oc
uo

c.

C
JJJK JJJJK
JJJK 1 JJJK JJJK JJJK JJJK 1 JJJK JJJK
1
1
AB.DM = BA BC BD = BD.BA BA.BC = a 2 .cos a 2 .cos = a 2 . Do đó
2
3 2
3 4
2

JJJK JJJJG
3
cos AB, DM =
>0
6
3
.
AB, DM =
cos n
6
G G
G G
G G
G G
, b ; cos a, b < 0 a, b = am
,b
Chú ý : cos a, b > 0 a, b = am

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

gb

Bi tập tự giải :
1)( Bài tập3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c.
a). Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.
b). Tính cosin của góc hợp bởi các đờng thẳng AC và BD.
2)(Ví dụ 1-Tr56-SGK). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết
AB, CD .
AB=CD=2a và MN= a 3 . Tính góc n

(

)

kh

on

3). Trong hình chóp tam giác ABCD tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau . Điểm M là trung điểm cạnh AD, điểm
O là trọng tâm tam giác ABC , điểm N là trung điểm cạnh AB và điểm K là trung điểm cạnh CD. Tìm góc giữa
các đờng thẳng MO và KN.
4). Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 : BC=a; AC=b ; AB=c; AA1=h. Tính cosin của góc:
a). Giữa các đờng chéo AB1 và BC1.
b). Giữa các cạnh AB và các đờng chéo B1C.
n = ; CSA
n = ; ASB
n = . Tính cosin của các góc :
5)*. Biết các góc phẳng của góc tam diện SABC: BSC
a). Giữa cạnh SC và phân giác góc n
ASB .
ASB và n
ASC .
b). Giữa các phân giác góc n
c). Giữa cạnh SC và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng chứa mặt đối diện.
JG JJG JG
JJJK JG JJJK JJG JJJK JG
<HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở S , SA1 = e1 , SB1 = e2 , SC1 = e3 trong đó e1 , e2 , e3 là các véc tơ đơn vị>

{

}

----------------------------------------------------------------------------------10

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Dạng 5: quan hệ song song giữa đờng thẳng v mặt phẳng.
1).Hai đờng thẳng song song.
JJJK
JJJK
Để chứng minh đờng thẳng AB//CD ta chứng minh : AB = kCD (k R)
VD11. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 . Giả sử M, N, E, F lần lợt là trọng tâm
của các tam giác AA1B ,A1B1C1 ,ABC , BCC1. Chứng minh MN//EF.
B

JJJK G JJJK G JJJK G
Chọn hệ véc tơ cơ sở: A, AA1 = a, AB = b, AC = c

N

M

JJJJK 1 JJJK JJJJK
M là trọng tâm tam giác AA1B1 AM = AA1 + AB1 .
3
JJJK 1 JJJK JJJJK JJJJK
N là trọng tâm tam giác A1B1C1 AN = AA1 + AB1 + AC1
3
JJJK 1 JJJK JJJK
E là trọng tâm tam giác ABC AE = AB + AC
3
JJJK 1 JJJK JJJK JJJJK
F là trọng tâm tam giác BCC1 AF = AB + AC + AC1

3

(

B

F

E

C

)

(

oc
uo

B

)

(

c.

(H.8)

A

Theo bài ra ta có:

C1

}

co

{

B1
A1

m

B

)

(

)

JJJJK
JJJK
Ta cần chứng minh : k : MN = k EF .
JJJJK JJJK
JJJK 1 G G
JJJJK JJJK JJJJK 1 G G

Thật vậy: MN = AN AM = a + c ; EF = a + c từ đó suy ra: MN = EF MN//EF
3
3
2).Đờng thẳng song song với mặt phẳng.

(

)

(

)

gb

G
G G
Để chứng minh đờng thẳng d//mp( ) ta lấy trên d một véc tơ a , và trên ( ) hai véc tơ b, c
G
G G
sau đó chứng minh 3 véc tơ trên đồng phẳng, nghĩa là chứng minh k , l R : a = kb + lc
VD12. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử M và N lần lợt là trung điểm các cạnh AA1 và B1C1. Chứng
minh rằng MN song song với mặt phẳng (DA1C1).

on

B

B1

kh

A1

C1

N

Chọn hệ véc tơ cơ sở:

JJJK

G JJJK

G JJJJK

G

{D, DA = a, DC = b, DD = c}

D1

1

(H.9)

Ta có:

M
B

C

JJJJK JJJJK JJJJK 1 JJG G G
MN = DN DN = 2b a + c (1)
2

(

)

Ta cần chứng minh :
A

D

G G
G G
JJJJK
JJJJK
JJJJK
x, y R : MN = xDC1 + yDA1 = x b + c + y a + c (2)

(

) (

)

11

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
1
Từ (1) và (2) suy ra : x=1;y= . Do đó MN//mp(DA1C1)
2

x1 = x2
G
G
G
G
G
G
G G G

Chú ý: Nếu a, b, c là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c thì: y1 = y2 .
z = z
1 2
3).Hai mặt phẳng song song.

) (

)

co

(

m

G G
Để chứng minh 2 mặt phẳng (P)//(Q), ta lấy trên (P) 2 véc tơ a, b , và trên (Q) 2 véc
G G JG
G G JG
G JG
tơ x, y . Sau đó chứng minh các bộ 3 véc tơ a, x, y ; b, x, y là đồng phẳng.

VD13. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N lần lợt là trung điểm AA1 và CC1; G là trọng tâm
của tam giác A1B1C1. Chứng minh rằng mp(MGC1)//mp(AB1N).
B

B

(H.10)
M

G1

C1

N

}

Ta cần chứng minh tồn tại x,y,x1,y1 sao cho:

C

G

G
1
G
y a + xb + yc x = y = . Tơng tự x1 = 0; y1 = 1 , suy ra đpcm.
3


gb

Tính toán ta có:
JJJJK 1 G 1 G 1 G
1
MG = a + b + c = x +
2
3
3
2


{

JJJJK
JJJJK
JJJK
MG = x AB1 + y AN
JJJJK
JJJK
JJJJK
MC1 = x1 AB1 + y1 AN

B

A

Chọn hệ véc tơ cơ sở:
JJJK G JJJK G JJJK G
A, AA1 = a, AB = b, AC = c

oc
uo

A1

c.

B1

kh

on

Bi tập tự giải :
1).Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử E là tâm của mặt ABB1A1; N, I lần lợt là trung điểm của CC1 và CD .
Chứng minh EN//AI.
2). Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 . Giả sử M,N lần lợt là trọng tâm của các tam giác ABA1 và ABC . Chứng
minh rằng MN//mp(AA1C1).
3). Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 . Giả sử M,N,E lần lợt là trung điểm các cạnh BB1, CC1 , AA1 ; G là trọng
tâm tam giác A1B1C1 . Chứng minh:
a). mp(MGC1)//mp(BA1N)
b). mp(A1GN)//mp(B1CE).

4). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lợt là trung điểm của SA ,SD.
a). Chứng minh: mp(OMN)//(SBC).
b). Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON . Chứng minh : PQ//mp(SBC).
------------------------------------------------------------------------------------

12


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Dạng 6: bốn điểm hay ba véc tơ đồng phẳng.

)

co

(

m

G
G
G G G
G G G
+ Cho ba véc tơ a, b, c trong đó a và b không cùng phơng. Khi đó ba véc tơ a, b, c
G
G G
đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số k và l sao cho: c = ka + lb .
+ Bốn điểm A,B,C,D
thuộc
JJJG cùng

JJJGmột mặt phẳng
JJJkhi
G và chỉ khi tồn tại các số thực
JJJK
, sao cho: OA = OB + OC + (1 ) OD , điểm O.
G JG G
VD14. Chứng minh rằng ba véc tơ x, y, z xác định bởi các biểu thức sau đồng phẳng :
G G G
G G G JG G G G
G G G
x = a b; y = c a; z = 2a + b + c . Với a, b, c là ba véc tơ cho trớc không đồng phẳng.
JG G G G G G
G G G G
G JG G
HD: Ta có : y x = c a a b = 2a + b + c = z . Suy ra các véc tơ x, y, z đồng phẳng.

}

gb

oc
uo

{

c.

VD15. Cho tứ diện ABCD và các điểm I, K, E, F là các điểm thoả mãn :
JJG JJK G
JJJG JJJG G JJJK JJJK G JJJK JJJK G

2 IB + IA = 0 ; 2 KC + KD = 0 ; 2 EB + 3EC = 0 ;2 FA + 3FD = 0 . Chứng minh rằng:
JJJG JJG JJJG
a). Các véc tơ BC , IK , AD đồng phẳng.
JJJG JJJK JJJG
b). Các véc tơ BA, EF , CD đồng phẳng.
c). Bốn điểm I, E, K, F cùng thuộc một mặt phẳng.
JJJK G JJJK JG JJJK G
HD: Chọn hệ A, AB = x, AC = y, AD = z làm cơ sở.
JJJG JJJG G JJJK 2 JJJK 1 JJJK 2 JG 1 G
JJK JJK G JJK 2 JJJK 2 G
Theo giả thiết ta có : 2 IB + IA = 0 AI = AB = x ; 2 KC + KD = 0 AK = AC + AD = y + z ;
3
3
3
3
3
3
JJJK JJJK G
JJJK 2 JJJK 3 JJJK 2 G 3 JG
JJJK JJJK G JJJK 3 JJJK 3 G
2 EB + 3EC = 0 AE = AB + AC = x + y ; 2 FA + 3FD = 0 AF = AD = z
5
5
5
5
5
5
JJK
JJJK
JJJK

JJJK
<Câu a). b). học sinh tự giải .> Ta cần chứng minh tồn tại , sao cho: AI = AE + AK + (1 ) AF (1)
Thay các biểu thức véctơ trên vào (1), ta có :
2G
3G
2 G 3 JG
2 JG 1 G
x = x + y + y + z + (1 ) z . áp dụng (A-II-12) ta tìm đợc , .
3
5
3
5
5
3
VD16. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N là trung điểm AB và CD ; P, Q là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh
PA QB
=
. Chứng minh rằng 4 điểm M, N ,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng.
AC, BD sao cho:
PC QD

on

A

kh

(H.11)

B

P

Đặt

PA QB
AP BQ
=

=
:= k . Do P, Q thuộc cạnh AC, BD nên:
PC QD
AC BD
JJJK
JJJK
AP = k AC (1)
JJJK
JJJK
BQ = k BD (2)

M

Bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng khi
và chỉ khi tồn tại các số thực , sao cho:

Q
D

JJJK
JJJJK

JJJK
JJJK
AQ = AM + AN + (1 ) AP .(3)
JJJK JJJK JJJJK JJJK
Biểu diễn các véc tơ AQ, AP, AM , AN theo cơ sở
rồi thay vào (3) suy ra : = 2 (1 k ) ; = 2k đpcm

N
C
13


co

m

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Bi tập tự giải :
1). Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 . Các điểm
M,N lần lợt thuộc các cạnh AD, BB1 sao cho AM=BN.
JJJJK JJJK JJJJG
Chứng minh rằng ba véc tơ MN , AB, B1D đồng phẳng.
2). Cho hai hình bình hành ABCD và A1B1C1D1 không cùng thuộc một mặt phẳng . Chứng minh rằng các véc tơ
JJJK JJJJK JJJJK
BB1 , CC1 , DD1 đồng phẳng.
3). Cho tứ diện ABCD . Gọi A,B,C,D lần lợt là các điểm chia đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo cùng tỉ số k,
tức là :
A ' A B ' B C 'C D ' D
=
=

=
=k.
A ' B B 'C C ' D D ' A
Với giá trị nào của k thì 4 điểm A , B, C, D đồng phẳng.
4).(Bài tập 7-Tr60-SGK12) Cho tứ diện ABCD ; P,Q lần lợt là trung điểm của AB và CD . Hai điểm M,N lần
lợt chia hai đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỉ số k. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, M, N nằm trên cùng một
mặt phẳng.
--------------------------------------------------------------------------------------

c.

Dạng 7: chứng minh đẳng thức độ di, tính độ di đoạn thẳng.

G G 1 G G 2 G 2 G2
+ a.b = a + b a b

2
GG
1 G G 2 G2 G2
+ a.b = a b a b

2
GG 1 G G 2 G G 2
+ a.b = a + b a b

4

(

)

)

oc
uo

(

(

) (

)

VD17. Các cạnh AB và CD của tứ tứ diện ABCD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng :
AC 2 AD 2 = BC 2 BD 2

JJJK JJJK JJJK
Chọn hệ véc tơ cơ sở: A, AB, AC , AD . Ta có:
JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK 2 JJJK 2 JJJK JJJK JJJK 2
BC = AC AB BC 2 = AC AB = AC 2 AC. AB + AB (1)
JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK 2 JJJK 2 JJJK JJJK JJJK 2
BD = AD AB BD 2 = AD AB = AD 2 AD. AB + AB (2)
JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK
Từ (1),(2) BC 2 BD 2 = AC 2 AD 2 + 2 AB AD AC = AC 2 AD 2 + 2 AB.CD = AC 2 AD 2 ,đpcm.

}

gb

{

)
)

on

(
(

(

)

kh

VD18.(Đề thi HSG Tỉnh11).Cho hình chóp SABCD . Đáy ABCD là hình bình hành . Một mặt phẳng (P)
SA SC SB SD
.
cắt SA, SB,SC,SD theo thứ tự tại K,L,M,N . Chứng minh rằng :
+
=
+
SK SM SL SN
S
Chọn hệ véc tơ cơ sở:
(H.12)

K

JJK

G JJK

G JJJK

G

{S , SA = a, SB = b, SC = c} .

N
M

L
D

A

C
B

14


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
SK
SL

SM
SN
Đặt :
= x,
= y,
= z,
= t.
SA
SB
SC
SD

G JJK
G JJJK
G G G JJJK G
JJJK
Từ đó ta có : SK = xa, SL = yb, SM = z b + c a , SN = tc .
JJJK
JJJK
JJK
JJJK
Vì K,L,M,N đồng phẳng nên: , , R : SM = SK + SL + SN

(

)

( + +

= 1) .

z
= x

x = z
G G G
G
G
G
z


mà: + + = 1 , nên ta có:
Từ đó suy ra: z b + c a = xa + yb + tc y = z =
y
t = z



z
=
t

z z z
1 1 1 1
SA SC SB SD
+ + =1 + = +
. đpcm.
+

=
+
x y t
z x y t
SK SM SL SN
JJJK 2
JJJK
Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta biểu diễn véc tơ AB theo cơ sở sau đó tính: AB

m

)

co

(

oc
uo

c.

VD19. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm cạnh CD, F là trung điểm đờng cao BL của mặt
ABD. Các điểm M,N lần lợt thuộc các đờng thẳng AD và BC. Biết rằng đờng thẳng MN cắt đờng
thẳng EF và MN vuông góc với EF . Tính độ dài đoạn thẳng MN.

JJJK G JJJK G JJJK JG
Chọn hệ véc tơ cơ sở: B, BA = a, BC = c, BD = d

A

{

}

Theo giả thiết:

(H.13)

JJJJK JJJK
MN EF MN.EF = 0
JJJK
JJJK
JJJK
JJJK

M, N, E, F đồng phẳng BE = BF + BN + (1 ) BM (1)

L

gb

M

F

C

N

E

on

D

B

Vì M,N thuộc BC,AD ta có thể giả sử

G JJJK JJJK
JJJK
JJJK
JJJK
+ BM = k BC = kc ;BN = lBA + (1 l ) BD
JJJK 1 JJJG JJJG
1 G G
+ BE = BC + BD = c + d
2
2
JJJG 1 JJJK 1 G G
JJJK 1 JJJK JJJG
+ BL = BA + BD BF = BL = a + d
2
2
4

(

(

) (

)

kh

G G
JJJJK JJJG JJJK G
+ MN = BN BM = la + (1 l ) d kc
JJJK JJJK JJJK 1 G 1 G 1 G
1
GG G G G G
+ EF = BF BE = a c d .
ac = ad = cd = a 2 cos = a 2

3 2
4
2
4

JJJJK JJJK
1 2
* MN.EF = 0 a ( 4 k 2l 3 ) = 0 2l = 3 4 k (2)
8
* Từ (1) suy ra :
G
G
G
1 G G

1 G G
c + d = a + d + la + (1 l ) d + (1 ) kc
2
4
1
1 1
1
+ l = 0 và = + (1 l ) và = (1 ) k
4
2 4
2

(

)

(

)

(

)

)

15


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc

JJJJK G G G
1
2
1 2l = k (3). Từ (2) và (3) suy ra: l = ; k = 6 MN = a + 5d 4c
6
3
G
G
G 2 65 2
130
36 MN 2 = a + 5d 4c =
a MN =
a.
2
12
Bi tập tự giải :
1).Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c , BC=DA=a, CA=BD=b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các trung
tuyến của tứ diện (đt kẻ từ đỉnh xuống trọng tâm mặt đối diện) AA1 và CC1 vuông góc với nhau là: a2+c2=3b2.
2).(Bài tập 5-Tr78-SGK11). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, BC=b, CC=c. Chứng minh rằng

)

m

(

c.

co

các đờng chéo của hình hộp đó bằng nhau và bằng a2 + b2 + c 2 .
JJJK JJJJG JJJJG JJJJK
3). Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Gọi P và Q là các điểm xác định bởi: AP = D ' A, C ' Q = DC ' .
Tính độ dài PQ .
4). Cho tứ diện ABCD. Các điểm M,N lần lợt là trung điểm các cạnh AB,CD. Các điểm P,Q thuộc các cạnh
QB
PA
.
AC,BD sao cho:
= k . Biết rằng MN cắt PQ . Tính tỉ số
QD
PC
5).(Đề thi HSG Tỉnh 12 năm 1999-2000) . Cho tứ diện SABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lợt lấy các điểm
D,E,F. Biết rằng các mặt phẳng (ABF),(BCD),(ACE) cắt nhau tại M và đờng thẳng SM cắt mặt phẳng (DEF) tại
NP
MP
.
N, cắt mặt phẳng (ABC) tại P. Chứng minh :
=3
NS
MS

oc
uo

-------------------------------------------------------------------------------------

Dạng 7: khoảng cách.
1). Khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng.

gb

Để tính khoảng cách giữa điểm M và đờng thẳng d, ta lấy trên d hai điểm A,B và thực hiện các bớc sau:
JJJJK JJJK
JJJJK JJJK
MN AB
MN. AB = 0
JJJK
JJJK .
+B1: Giả sử N là hình chiếu vuông góc của M trên d
JJJK
N, A, B thẳng hàng ON = OA + (1 ) OB
JJJJK
+B2: Thực hiện các phép biến đổi về hệ véc tơ cơ sở (gốc O là gốc của hệ cơ sở) MN = ?
JJJJK
JJJJK 2
+B3: Tính MN = MN

kh

on

VD20.(Bài tập 1-Tr85-SGK11). Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng khoảng
cách từ các điểm B, C, D, A, B, D tới đờng chéo AC bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

A

D

B
C
Chọn hệ véc tơ cơ sở:

(H.14)

JJJK

A

B

G JJJK

G JJJK

G

{B, BA = a, BB ' = b, BC = c}
Giả sử H là hình chiếu của B lên AC.

D

C

16


Truy cp www.khongbocuoc.com
khỏc

G G G thờm cỏc ti liu hc tp
JJJJK JJJJK
JJJK download
JJJK JJJJ
K
AC ' = BC ' BA = b + c a
Suy ra:
.Do BH AC ' BH .AC ' = 0

GG GG GG
G
G G G G G
2
(Chú ý: a.b = a.c = b.c = 0 ). Do đó ta có: a + (1 ) b + c b + c a = 0 a 2 ( 2 3 ) = 0 =


3
G G G
JJJK
JJJK 2
a 6
Hay 3 BH = 2 a b c 9 BH = 6 a 2 BH =
.
3
Bình luận: Mặc dù bài tập là không khó , tuy nhiên chúng ta thấy đợc rõ lợi thế của phơng pháp véc tơ là ta
không cần xác định rõ ràng vị trí của điểm H trên hình vẽ.
2). Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

)(

)

m

(

A

B
C

oc
uo

D

c.

co

Để tính khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng (ABC) nào đó, ta gọi H là hình chiếu của M trên (ABC).
+B1: Suy ra đẳng thức véc tơ dựa vào sự đồng phẳng của: A,B,C,H.(Nếu chọn gốc trùng với A,B,C việc
tính toán sẽ dễ dàng hơn).
JJJJG
+B2: Dựa vào sự vuông góc của MH với mp(ABC) để tìm các yếu tố biểu diễn HM qua cơ sở.
JJJJG 2
+B3: Tính HM HM .
VD21. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a; BC=b; CC=c. Tính khoảng cách từ B tới
mp(DAC).

(H.15)

A

B

D

C

JJJK G JJJK G JJJK G
Chọn hệ véc tơ: B, BA = a, BB ' = b, BC = c . Gọi H là hình chiếu của B trên mp(DCA).
JJJG
JJJG
JJJJG
JJJG
G G
G G
G
Do H, D, C, A đồng phẳng nên: BH = BD + BC ' + (1 ) BA ' = a + c + c + b + (1 ) a . Lại

}

gb

{

(

) (

)

có:
JJJJG JJJJG JJJG G G
G G G G
+ DC ' = BC ' BD = b + c c + a = b a .
JJJJG JJJG JJJG G G
G G G G
+ DA ' = BA ' BD = a + b a + c = b c .
GG GG GG
JJJG JJJJG
JJJG JJJJG
(Chú ý: a.b = a.c = b.c = 0 ). Do BH .DC ' = 0, BH.DA ' = 0 nên ta có hệ:

) (
) (

on

(
(

kh

G
G
G
(1 ) a + b + ( + ) c

G
G
G

(1 ) a + b + ( + ) c

JJJG 2
BH =

(a

a 2b 4
2

+ b2 )

2

(
(

+

)
)


a2
G G

=


ba =0
a 2 + b2
JJJG
G
b2 G
a2 G
a 2b 2

BH
a
b
c

=
+
+

2
2
2
G G

2
2
2
2
a b c )

a +b
a +b
c2 ( a 2 + b2 )
bc = 0
= (

c 2 ( a 2 + b2 )


)
)

(a

a 4b 2
2

+ b2 )

2

+

a 4b 4

c2 ( a 2 + b2 )

2

BH =

ab

(

c 2b 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2
c ( a 2 + b2 )

).

17


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
3). Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.

m

JJJJG
JJJG
JJJG
* Chú ý: Điểm M AB R : OM = OA + (1 ) OB .
Để tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau
JJJJta
G thực hiện các bớc sau:
+B1: Gọi HK là đờng vuông góc chung , biến đổi HK theo cơ sở.(có chứa tham biến)
+B2: Dựa vào tính chất vuông góc của HK với 2 đờng thẳng thiết lập hệ pt.
JJJJG
JJJJG
JJJJG 2

+B3: Giải hệ pt, tìm biểu thức véc tơ theo cơ sở của HK , áp dụng: HK = HK

{

co

VD22(Ví dụ 2-Tr84-SGK11). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông
góc với đáy và SA=a. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng :
a). SC và BD.
b). AC và SD.
JJJG G JJJG JG JJJG G
Chọn hệ véc tơ cơ sở: A, AS = s, AD = d , AB = b
S
Giả sử HK là đờng vuông góc chung của SC và BD ( H SC , K BD )

}

c.

JJJJG
JJJG
JJJG
G JG
G
Do H SC AH = AC + (1 ) AS = b + d + (1 ) s
JJJG
JJJG
JJJG
G
JG

K BD AK = AB + (1 ) AD = b + (1 ) d
JJJJG JJJG JJJJG
G
G
JG
HK = AK AH = ( + ) b (1 ) s ( + 1) d
. Lại có:
B
JJJG G JG G JJJG JG G
SC = b + d s ; BD = d b
G G G JG G JG
Chú ý: c.s = c.d = s.d = 0 .

oc
uo

(H.16)
H
A
K

(

)

C

D

(

)

on

gb

2

JJJJG JJJG
JJJJG
G G JG
= 3
HK .SC = 0
Do HK là đờng vuông góc chung nên: JJJJG JJJG
6 HK = b + 2s + d

HK .BD = 0
= 1

2
JJJJG 2
a 6
.
36 HK = 6a 2 HK =
6
Tơng tự hs giải câu b).

kh

Bi tập tự giải :
1). Giải các bài tập (2->8)-Tr86-SGK11.
2).Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông ở C, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , AC=a; BC=b,
SA=h. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AC và SB.
a). Tính độ dài MN.
b). Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,h để MN là đờng vuông góc chung của AC và SB.
3). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AD=2a và có
cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA= a 6 .
a). Tính các khoảng cách từ A và B đến mp(SCD).
b). Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
---------------------------------------------------------------------------18


Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc tp khỏc
Dạng 7: Góc giữa đờng thẳng ,mặt phẳng v mặt phẳng.
1).Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng.

M

G
a

(

)

N

m

A

G
b
M

co

P)

aM
trên G(P)
+B1: Gọi N là hình chiếu củJJJ
JG JJJG
G
+B2: Biểu diễn các véc tơ : AM , AN, a, b theo cơ sở
JJJJG G JJJJG G
+B3: MN a; MN b , suy ra các đẳng thức véc tơ
JJJJG JJJG
+B4: Tìm góc AM , AN . Kết luận

c.

VD23.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 : BC=a, AC=b, AB=c, AA1=h . Tính cosin góc giữa

B

C

gb

A1

B1

kh

on

C1

oc
uo

A

19