Điều khiển h ͚ các hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH.

Vũ Ngọc Phát

2. PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát và PGS. TSKH. Vũ Hoàng
Linh. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác
giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trong luận án là những kết quả mới và
chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Trường Thanh

i


LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát và PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh, hai người thầy đã
tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận án.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã hướng
dẫn tôi từ những bước đầu tiên, như cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm thế nào
để viết một bài báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, v.v. Nhờ sự chỉ
bảo của Thầy, tôi ngày càng tiến bộ hơn trong nghiên cứu khoa học. Bên cạnh
đó, Thầy luôn tạo điều kiện cho tôi được giao lưu, học hỏi với nhiều nhà toán

học trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trường
nghiên cứu. Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu
và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệp
giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh. Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy
mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS.TSKH.
Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫn
tôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án. Đồng thời, tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ
môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao
đổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp,
các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại
Viện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận án.
ii


Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơ
hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn
Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS. Nguyễn Văn Ngọc, Ths. Tô Văn Đinh, Ths
Nguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong
thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà

Nội.
Đặc biệt, tôi thực sự cảm ơn sâu sắc tới những người thân của tôi: bố, mẹ,
vợ và các con của tôi. Họ luôn sát cánh bên tôi, chia sẻ và động viên, là động
lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án.

iii


Trong trường hợp này, ta có thể chỉ ra




−0.0633 0.0503
0.0595 −0.0458
 , L21 = 
,
L11 = 
0.0503 −0.0102
−0.0458 −0.0031


và

L12 = 


L11 + L21 = 

−0.1369 0.0610

0.0610







0.0726 −0.0406
 , L22 = 
,
0.0522
−0.0406 −0.1744

−0.0038

0.0046

0.0046

−0.0132

Các tập Ωli xác định như sau


Ω11 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 



Ω21 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 





 < 0, L12 + L22 = 

−0.9477

0.5608

0.5608

−0.0307

0.8924

−0.5164

−0.0643
0.0204

0.0204



 < 0.
−0.1222



 (x1 , x2 )T < 0},


 (x1 , x2 )T < 0},

−0.5164 −0.0865

−0.6918 0.2240
 (x1 , x2 )T < 0},
Ω12 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 
0.2240 0.1739


0.3627 −0.1725
 (x1 , x2 )T < 0}.
Ω22 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 
−0.1725 −0.5369


Hợp của Ω1i và Ω2i là R2 \ {0} với i = 1, 2.

Các tập Ωli xác định


−0.9477

0.5608



 (x1 , x2 )T < 0}, Ω21 = R2 \ Ω11 ,
0.5608 −0.0307


−0.6918 0.2240
 (x1 , x2 )T < 0}, Ω22 = R2 \ Ω12 .
Ω12 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 
0.2240 0.1739
Ω11 {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 

Theo Định lí 3.2.2, hệ trên là ổn định với quy tắc bật

σ(x(t)) = (l1 , l2 ) nếu x(t) ∈ Ωl11 × Ωl22 ,
101


và các điều khiển
u11 (t) = Y11 P1−1 x1 (t) = −0.0039 −0.0009 x1 (t),
u21 (t) = Y12 P1−1 x1 (t) = −0.0023 −0.0002 x1 (t),
u12 (t) = Y21 P2−1 x2 (t) = −0.0010 −0.0030 x2 (t),
u22 (t) = Y22 P2−1 x2 (t) = −0.0015 −0.0033 x2 (t).

Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn

||x(t)|| ≤ 16.1997 e−0.01t ||ϕ||C 1 .

3.3

Kết luận Chương 3

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞
cho một lớp hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.
Kết quả đạt được như sau:
• Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển
mạch thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và thiết kế quy tắc
chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4).
• Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điều khiển H∞ cho
hệ quy mô lớn chuyển mạch trên cơ sở phát triển Định lí 3.1.4. Đây là kết
quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.

102


KẾT LUẬN

Luận án nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ cho một số hệ
phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không
đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ.
Những kết quả đã được chứng minh trong luận án:
• Đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và tính ổn định
hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến và hệ quy mô lớn có trễ biến thiên liên
tục dạng khoảng xuất hiện trong cả hàm trạng thái và quan sát (Định lí
2.1.3 và Định lí 2.2.3). Tiếp đó, áp dụng các định lí này nghiên cứu các hệ
không chắc chắn tương ứng và thu được các kết quả tương tự.
• Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển
mạch thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và thiết kế quy tắc
chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4).
• Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điều khiển H∞ cho

hệ quy mô lớn chuyển mạch trên cơ sở phát triển Định lí 3.1.4. Đây là kết
quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.
Điểm mới của luận án so với các kết quả đã có:
• Hàm trễ không đòi hỏi tính khả vi và cận dưới của trễ có thể khác 0.
• Hầu hết các hệ được nghiên cứu trong luận án là quy mô lớn, tức là các
hệ có cấu trúc phức tạp được hình thành từ rất nhiều hệ con.
• Các quy tắc chuyển mạch được biểu diễn bằng hình học một cách đơn
giản.
• Trên cơ sở áp dụng các kĩ thuật mới nhất, cho phép đánh giá tính ổn định
với độ biến thiên của trễ lớn hơn so với các kết quả đã có.
103


Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ cho các hệ phương
trình vi phân và điều khiển khác như: hệ nơron và hệ điều khiển kĩ thuật
bền vững có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.
• Nghiên cứu tính ổn định và thiết kế các điều khiển khác như điều khiển
phụ thuộc hàm quan sát cho các hệ phương trình vi phân và điều khiển
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.

104


DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC
GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2012), "Decentralized H∞ control for largescale interconnected nonlinear time-varying delay systems via LMI approach",
Journal of Process Control, 22(7), pp. 1325-1339.(SCI)

[2]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2013), "H∞ control for nonlinear systems
with interval non-differentiable time-varying delay", European Journal of Control, 19(3), pp. 190-198.(SCI-E)
[3]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2014), "Decentralized stability for switched
nonlinear large-scale systems with interval time-varying delays in interconnections", Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 11, pp. 22-36.(SCI-E)

105


TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân
và điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Mai Viết Thuận (2014), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi
phân hàm và ứng dụng trong lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học,
Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công nghệ Việt Nam, Viện Toán Học.

Tiếng Anh
[4] Adamjan V.M., Arov D.Z., Krein M.G. (1978), "Infinite block hankel matrices and related extension problems", Trans. AMS., 111(2), pp. 133 - 156.
[5] Almi A.M., Derbel N. (1995), "New hierarchical control algorithm for largescale time-delay systems", Control and Computer, 23, pp. 48 - 52.
[6] Babuke L. (2008), "Decentralized control: an overview", Annual Review in
Control, 32(1), pp. 87 - 98.
[7] Balassubramaniam P., Krishnasamy R., Rakkiyappan R. (2011), "Delayinterval-dependent robuts stability results for uncertain stochastic systems
with markovian jumping parameters", Nonlinear Anal. Hybrid Systems,
5(4), pp. 681 - 691.

106

[8] Boyd S., Ghaoui El, Feron E., Balakrishnan V. (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, 15 SIAM, Philadelphia.
[9] Chen N., Ikeda M., Gui W. (2005), "Design of robuts H∞ control for interconnected systems", International Journal of Control, 3(2), pp. 143 - 151.
[10] Chang-Chun Hua, Qing-Guo Wanga, Xin-Ping Guan (2008), "Exponential
stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp. 2600 - 2606.
[11] Chen C.Y., Lee C.H. (2009), "Robuts stability of homogeneous large-scale
bilinear systems with time delays and uncertainties", Journal of Process
Control, 19(7), pp. 1082 - 1090.
[12] Changki Jeong, PooGyeon Park, Sung Hyun Kim (2012), "Improved approach to robust stability and H∞ performance analysis for systems with
an interval time-varying delay", Applied Mathematics and Computation,
218(21), pp. 10533 - 10541.
[13] Doyle J.C. (1984), Lecture Notes in Advances in Multivariable Control,
ONR/Honeywell Workshop, Minneapolis.
[14] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. (1989), "State-space
solutions to standard H2 and H∞ control problems", IEEE Trans. Auto.
Control, AC- 34(8), pp. 831 - 847.
[15] Du D., Jiang B., Shi P., Karimi H.R. (2013), "Fault detection
for continuous-time switched systems under asynchronuos switching", International Journal of Robuts Nonlinear Control, (in press).
published online in 18 January, 2013.
[16] Francis B.A. (1987), A Course in H∞ Control Theory, Springer, Berlin.
[17] Fridman E., Shaked U. (2003), "Delay-dependent stability and H∞ control:
constant and time-varying delays", International Journal of Control, 76(1),
pp. 48 - 60.
[18] Fu Q. (2009), "Decentralized H∞ control for a class of large-scale interconnected nonlinear systems with uncertainties via output feedback", Mathematica Applicata, 22(4), pp. 771 - 777.
107


[19] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., Chilali M. (1995), LMI Control
Toolbox for Use with Matlab, The Math Works, Inc.
[20] Glover K. (1984), "All optimal hankel-norm approximation of linear multivariable systems and L∞ error bounds", Int. J. Control, 39(6), pp. 1115 1193.

[21] Hardy G.H. (1915), "On the mean value of the modulus of an analytic
function", Proceeding of the London Mathematical Society, JFM 45.1331.03,
14(1), pp. 269 - 277.
[22] Hale Jack K., Sioerd M. Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional
Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Inc.
[23] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stability and stabilization of
a class of uncertain linear time delay systems", Journal of the Franklin
Institute, 346(6), pp. 611 - 625.
[24] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stabilization for a class of hybrid
systems with mixed delays in state and control", Nonlinear Anal. Hybrid
Systems, 3(3), pp. 259 - 265.
[25] Hua C.C., Wang Q.G., Gua X.P. (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10),
pp. 2600 - 2606.
[26] Ichikawa A. (2000), "Product of non-negative operators and infinite dimentional H∞ ricatti equations", Systems and Control Letters, 41(3), pp.
183 - 188.
[27] Ikeda M., Sijak D.D. (1980), "Decentralized stabilization of large-scale systems with time delays", Large Scale Systems, 1, pp. 273 - 279.
[28] Jiang X., Han Q.L. (2005), "On H∞ control for linear systems with interval
time-varying delay", Automatica, 41(12), pp. 2099 - 2106.
[29] Keulen B.V. (1993), H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A
State-Space Approach, Bikhauser, Bolton.
[30] Kharitonov V. L., Hinrichsen D. (2004), "Exponential estimate for time
delays systems", Systems and Control Letters, 53(5), pp. 395 - 405.
108