Nghiên cứu động lực học của hệ 3 dầm liên kết thông qua môi trường đàn hồi dưới tác động của tải trọng di động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐẶNG NGỌC ANH

NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ 3 DẦM LIÊN KẾT
THÔNG QUA MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA
TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐẶNG NGỌC ANH

NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ 3 DẦM LIÊN KẾT
THÔNG QUA MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA
TẢI TRỌNG DI ĐỘNG
Ngành: Cơ kỹ thuật
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 60.52.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Nguyễn Việt Khoa

Hà nội – 2015

1

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Luận văn: “Nghiên cứu động lực học của hệ 3 dầm liên kết
thông qua môi trường đàn hồi dưới tác động của tải trọng di động” là kết
quả nghiên cứu của riêng tôi với sự hƣớng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Việt Khoa.
Các số liệu nêu ra và trích dẫn trong luận văn là trung thực không phải là sao
ch p toàn văn của t k tài liệu hay công tr nh nghiên cứu nào khác mà không
ch r trong tài liệu tham khảo.
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Đăng Ngọc Anh


2

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết tôi xin ày tỏ lòng iết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Việt Khoa.
Cán ộ hƣớng dẫn - ngƣời thầy đã tận t nh hƣớng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập cũng nhƣ thực hiện luận văn thạc sĩ. Nhờ đó tôi đã có đƣợc r t
nhiều kiến thức ổ ích sự say mê cũng nhƣ phƣơng pháp nghiên cứu khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn các cán ộ của Khoa Cơ học kỹ thuật – Đại học
Công Nghệ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong suốt quá tr nh
học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đ nh ạn è và ngƣời thân về sự động viên khích
lệ tinh thần trong suốt quá tr nh học tập cũng nhƣ thực hiện đề tài này.
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2015

Tác giả luận văn

Đặng Ngọc Anh


3

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 7
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC HỌC HỆ 3 DẦM DƢỚI TÁC
ĐỘNG CỦA TẢI DI ĐỘNG ................................................................................ 9
1.1 Động lực học hệ 3 dầm dƣới tác động của lực di động .................................. 9
1.2 Động lực học hệ 3 dầm trên nền đàn hồi có suy yếu cục ộ dƣới tác động của
xe di động ....................................................................................................... 12
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƢƠNG PHÁP
NEWMARK CHO BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC HỆ 3 DẦM ....................... 16
2.1 Các ƣớc thực hiện giải ài toán động lực học hệ 3 dầm ằng PTHH ......... 16
2.2 Xác định ma trận cản Rayleigh ..................................................................... 17
2.3 Phƣơng pháp Newmark đ giải ài toán động lực học dầm ......................... 17
2.4 Sơ đồ qui tr nh phân tích ki m tra độ tin cậy ............................................... 18
2.4.1 Sơ đồ qui trình tính toán, phân tích .................................................... 18
2.4.2 Kiểm tra, đánh giá độ tin cậy chương trình tính toán, phân tích ....... 19
CHƢƠNG 3. MÔ PHỎNG SỐ VÀ BIỆN LUẬN KẾT QUẢ ........................... 22
3.1 Phân tích động lực học của hệ 3 dầm dƣới tác động của lực di động ........... 22
3.2.1 Ảnh hưởng của vận tốc ngang tải di động đến chuyển vị của các dầm
...................................................................................................................... 22
3.1.2 Ảnh hưởng của độ cứng lớp liên kết đàn hồi đối với chuyển vị của các
dầm ............................................................................................................... 25
3.1.3 Ảnh hưởng của cản lớp liên kết đàn hồi đối với chuyển vị của các dầm
...................................................................................................................... 28

3.2 Phân tích động lực học của hệ 3 dầm trên nền đàn hồi có suy yếu cục ộ chịu
tác động của xe di động.................................................................................. 31
3.2.1 Trường hợp độ cứng nền kf=1.e8N/m2 ................................................ 32
3.2.2 Trường hợp độ cứng nền kf=1.e7N/m2 ................................................ 36
3.2.3 Trường hợp độ cứng nền kf=1.e6N/m2 ................................................ 41
3.2.4 Trường hợp độ cứng nền kf=1.e5N/m2 ................................................ 45
3.2.5 Trường hợp độ cứng nền kf=1.e4N/m2 ................................................ 49
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 52
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ .......................................... 53
PHỤ LỤC: CHƢƠNG TRÌNH MÁY TÍNH ...................................................... 63


4

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mô hình hệ 3 dầm ................................................................................. 9
Hình 1.2. Mô hình 3 dầm trên nền đàn hồi có suy yếu cục ộ ........................... 13
Hình 2.1 Phần tử hệ 3 dầm .................................................................................. 16
Hình 2.2. Sơ đồ qui trình phân tích ..................................................................... 19
Hình 2.3. Mô h nh hệ 3 dầm của Qi o Mao ....................................................... 20
H nh 3.1. Chuy n vị lớn nh t của 3 dầm, α=0,0213(v=2m/s) ............................ 23
H nh 3.2. Chuy n vị lớn nh t của 3 dầm, α=0,0533 (v=5m/s) ........................... 23
H nh 3.3. Chuy n vị lớn nh t của 3 dầm, α=0,1066 (v=10m/s) ......................... 23
H nh 3.4. Chuy n vị lớn nh t của 3 dầm, α=0,2133 (v=20m/s) ......................... 24
H nh 3.5. Chuy n vị lớn nh t của 3 dầm, α=0,4265 (v=40m/s) ......................... 24
H nh 3.6. Chuy n vị lớn nh t của 3 dầm giống nhau, βm1,2 = 10, ζm1,2= 0,1;
α=0,1÷1,0 ............................................................................................................ 25
H nh 3.7. Chuy n vị lớn nh t của 3 khác nhau: I2/I1=0,343, I3/I1= 0,125;
 =10,  =0,1; α=0,1÷1,0 ............................................................................ 25

m1,2

m1,2

Hình 3.8. Chuy n vị lớn nh t của dầm trên, m1,2=10-3 ÷10+3, m1,2=0,1,
α=0,1÷1,0 ............................................................................................................ 26
Hình 3.9. Chuy n vị lớn nh t của dầm giữa, m1,2=10-3 ÷10+3, m1,2=0,1,
α=0,1÷1,0 ............................................................................................................ 27
Hình 3.10. Chuy n vị lớn nh t của dầm dƣới m1,2=10-3 ÷10+3, m1,2=0,1,
α=0,1÷1,0 ............................................................................................................ 28
Hình 3.11. Chuy n vị lớn nh t của dầm trên, m1,2=10, m1,2=0,1÷1,0, α=0,1÷1,0
............................................................................................................................. 29
Hình 3.12. Chuy n vị lớn nh t của dầm dầm giữa, m1,2=10, m1,2=0,1÷1,0,
α=0,1÷1,0 ............................................................................................................ 30
Hình 3.13. Chuy n vị lớn nh t của dầm dầm dƣới, m1,2=10, m1,2=0,1÷1,0,
α=0,1÷1,0 ............................................................................................................ 31
Hình 3.14. Chuy n vị thân xe theo thời gian, kf= 1.e8 N/m2 , v=1m/s ............... 33
Hình 3.15, Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e8 N/m2 ,v=5m/s ................ 34
f

Hình 3.16. Chuy n vị thân xe theo thời gian, kf= 1.e8 N/m2,v=10m/s ............... 35


5

Hình 3.17. Bi u đồ độ cao đ nh kf=1.e8 N/m2 ................................................... 36
Hình 3.18. Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e7 N/m2 , v=1m/s ............... 37
f

Hình 3.19. Chuy n vị thân xe theo thời gian, kf= 1.e7 N/m2 ,v=5m/s ................ 38

Hình 3.20. Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e7 N/m2,v=10m/s ............... 39
f

2

H nh 3.21. Bi u đồ độ cao đ nh kf=1.e7 N/m ................................................... 40
Hình 3.22. Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e6 N/m2, v=1m/s ................ 41
f

Hình 3.23. Chuy n vị thân xe theo thời gian, kf= 1.e6 N/m2, v=5m/s ................ 42
Hình 3.24. Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e6 N/m2, v=10m/s .............. 43
f

Hình 3.25. Bi u đồ độ cao đ nh, kf=1.e6 N/m2 ................................................... 44
Hình 3.26. Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e5 N/m2, v=1m/s ................ 45
f

Hình 3.27. Chuy n vị thân xe theo thời gian, kf= 1.e5 N/m2, v=5m/s ................ 46
Hình 3.28. Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e5 N/m2, v=10m/s .............. 47
f

Hình 3.29. Bi u đồ độ cao đ nh kf=1.e5 N/m2 ................................................... 48
Hình 3.30. Chuy n vị thân xe theo thời gian, k = 1.e4 N/m2, v=1m/s ................ 49
f


6

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Các tham số mô h nh và điều kiện iên ài toán so sánh .................. 20

Bảng 2.2. Bảng so sánh tần số riêng ωn (s-1) tính với công ố của Qi o Mao ... 21
Bảng 3.1. Ảnh hƣởng của độ cứng lớp liên kết đàn hồi đối với chuy n vị của
dầm trên ............................................................................................................... 26
Bảng 3.2. Ảnh hƣởng của độ cứng lớp liên kết đàn hồi đối với chuy n vị của
dầm giữa .............................................................................................................. 27
Bảng 3.3. Ảnh hƣởng của độ cứng lớp liên kết đàn hồi đối với chuy n vị của
dầm dƣới .............................................................................................................. 28
Bảng 3.4. Ảnh hƣởng của cản lớp liên kết đàn hồi đối với chuy n vị dầm trên 29
Bảng 3.5. Ảnh hƣởng của cản lớp liên kết đàn hồi đối với chuy n vị dầm giữa 30
Bảng 3.6. Ảnh hƣởng của cản lớp liên kết đàn hồi đối với chuy n vị dầm dƣới31
Bảng 3.7. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=1m/s, kf=1.e8 N/m2. ......................................................................................... 33
Bảng 3.8. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=5m/s, kf=1.e8 N/m2. ........................................................................................ 34
Bảng 3.9. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=10m/s, kf=1.e8 N/m2. ...................................................................................... 35
Bảng 3.10. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=1m/s, kf=1.e7 N/m2. ......................................................................................... 37
Bảng 3.11. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=5m/s, kf=1.e7 N/m2. ........................................................................................ 38
Bảng 3.12. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=10m/s, kf=1.e7 N/m2. ...................................................................................... 39
Bảng 3.13. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=1m/s, kf=1.e6 N/m2. ........................................................................................ 41
Bảng 3.14. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=5m/s, kf=1.e6 N/m2. ........................................................................................ 43
Bảng 3.15. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=10m/s, kf=1.e6 N/m2. ...................................................................................... 44
Bảng 3.16. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=1m/s, kf=1.e5 N/m2. ........................................................................................ 46

Bảng 3.17. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=5m/s, kf=1.e5 N/m2. ........................................................................................ 47
Bảng 3.18. Chuy n vị thân xe khi di chuy n qua khu vực nền đàn hồi suy yếu
v=10m/s, kf=1.e5 N/m2. ...................................................................................... 48


7

MỞ ĐẦU
Trong thực tế có nhiều công tr nh kết c u c u kiện đƣợc chế tạo xây dựng có
c u trúc đặc thù mà với các mô h nh tính toán phân tích sử dụng các phần tử cơ
ản nhƣ dầm thanh t m … không th hiện hết ứng xử của chúng. Ví dụ hệ
dầm liên hợp (th p- ê tông) trong các công tr nh cầu hệ ray-dầm ê tông kết
c u đƣờng nhiều lớp … Hơn nữa có r t nhiều nhà nghiên cứu hƣớng vào đối
tƣợng dầm đơn th ch có một số ít tác giả nghiên cứu các dạng khác của dầm
nhƣ dầm k p (dou le- eam) tổ hợp 3 dầm (triple- eam). Đặc iệt việc nghiên
cứu động lực học của tổ hợp 3 dầm chịu tác động của tải trọng di động hay hệ
nhiều dầm – xe (vehicle-multi-beam) hiện vẫn là bài toán đƣợc nhiều nhà nghiên
cứu quan tâm.
Một số các nghiên cứu đã công ố liên quan đến ài toán hệ nhiều dầm liên kết
với nhau qua môi trƣờng đàn hồi nhƣ: Rao [1], trình bày phƣơng tr nh dao động
uốn của các dầm song song liên kết với nhau qua môi trƣờng đàn hồi, trong đó
iến dạng cắt và quán tính quay đƣợc đƣa vào tính toán. Kessel [2], nghiên cứu
dầm k p chịu tác động của tải trọng di dộng mà nó dao động dọc quanh một
đi m. Seelig và Hoppmann [3], đề xu t một phƣơng pháp giải hệ phƣơng tr nh
chuy n động của tổ hợp các dầm song song liên kết đàn hồi. Chonnan[4], nghiên
cứu đáp ứng động lực học của hệ 2 dầm liên kết với nhau qua các lò xo độc lập
chịu tác dụng của tải xung. Trong bài áo này tổ hợp 2 dầm đƣợc đƣa vào phân
tích là 2 dầm giống nhau. Hamada và đồng nghiệp [5], sử dụng iến đổi tích
phân hữu hạn và iến đổi Laplace trong nghiên cứu dao động tự do và dao động

cƣỡng ức của tổ hợp 2 dầm. Chen và Lin [6], nghiên cứu thiết kế tối ƣu và
phân tích kết c u động lực học của dầm phụ tác động lên dầm chính qua lớp liên
kết đàn nhớt hay các đặc tính cơ học. Vu và đồng nghiệp [7], trình bày phƣơng
pháp chính xác đ giải ài toán dao động tổ hợp 2 dầm chịu tải kích động điều
hòa. Bài báo này sử dụng mô h nh dầm Bernualli-Euler đ giải ài toán dao
động ngang của các dầm. Oniszczuk [8-9] nghiên cứu dao động tự do dao động
cƣỡng ức của tổ hợp 2 dầm song song gối tựa đơn liên kết với nhau qua môi
trƣờng đàn hồi (Winkler elastic layer). Chuy n động của hệ đƣợc mô tả ằng hai
phƣơng tr nh đạo hàm riêng và đƣợc giải ằng phƣơng pháp Bernualli-Fourier.
Ở đây phƣơng pháp khai tri n mode kinh đi n đƣợc sử dụng đ xác định đáp
ứng động lực học của hệ chịu tác động của tải trọng phân ố tùy ý. Một số tác
giả khác nghiên cứu đáp ứng động lực học của các dầm nằm trên nền đàn hồi
chịu tác động của tải di động với nền đàn hồi đƣợc mô phỏng ởi các lò xo nhƣ
Thambiratnam and Zhuge [11] và Lee [12]. Li Jun và đồng nghiệp [13] phát
tri n phƣơng pháp độ cứng động đ nghiên cứu dao động tự do của hệ 3 dầm


8

liên kết với nhau qua môi trƣờng đàn hồi. Trong áo cáo này các tác giả đƣa ra
lời giải giải tích đ xác định tần số riêng của hệ 3 dầm (không tính đến cản của
kết c u) trong một số trƣờng hợp điều kiện iên cụ th . Qi o Mao [14] sử dụng
phƣơng pháp AMDM (Adomian modified decomposition method) đ phân tích
dao động riêng của hệ nhiều dầm (multiple- eam) liên kết đàn hồi. Ở đây tác giả
ch mô tả liên kết đàn hồi giữa các dầm ởi các lò xo mà không có cản. Trong
áo cáo tác giả đƣa ra các ví dụ tính cho hệ 2 dầm 3 dầm và 5 dầm với một số
điều kiện iên “mềm” - đƣợc mô tả ởi các lò xo với độ cứng cho trƣớc.
Mặc dù có một số áo cáo nghiên cứu về ài toán động lực học của tổ hợp nhiều
dầm liên kết với nhau qua môi trƣờng đàn hồi nhƣng đa số các nghiên cứu này
sử dụng lời giải giải tích và giới hạn ở một số trƣờng hợp đặc iệt nhƣ các tham

số cơ học của các dầm là giống nhau chƣa x t đến sự ảnh hƣởng của liên kết
đàn hồi đối với đáp ứng động của hệ. Bài toán phân tích động lực học tổng th
của tổ hợp nhiều dầm liên kết với nhau qua môi trƣờng đàn hồi hay bài toán
phân tích dao động hệ nhiều dầm nằm trên nền đàn hồi có suy yếu cục ộ chịu
tải trọng xe di dộng hầu nhƣ chƣa đƣợc quan tâm do tính phức tạp của nó.
V vậy trên cơ sở phƣơng pháp phần tử hữu hạn phƣơng pháp Newmark và
Matlab, trong luận văn này tác giả đề xu t nghiên cứu hai bài toán:
- Phân tích động lực học tổ hợp 3 dầm (triple- eam) chịu tác động của lực di
động trong ài toán này có x t đến sự ảnh hƣởng của vận tốc tải di động
sự thay đổi v độ cứng cản của môi trƣờng liên kết.
- Phân tích động lực học của tổ hợp 3 dầm nằm trên nền đàn hồi có suy yếu
cục ộ chịu tác động của xe di động. Bài toán xem x t ảnh hƣởng của sự
suy yếu đến đáp ứng động của xe với các tham số độ cứng nền vận tốc xe
khác nhau. Đánh giá mức độ nhạy cảm của đáp ứng động của xe khi di
chuy n qua khu vực có nền đàn hồi suy yếu.
Với ài toán thứ nh t ta quan tâm đến ảnh hƣởng của vận tốc tải di động các
tham số của liên kết đàn hồi đến đáp ứng của hệ v vậy đ đơn giản cho ài toán
ta áp dụng mô h nh tải di động là 1 lực di động và luôn tiếp xúc với dầm trên.
Còn trong ài toán thứ hai ta sử dụng mô h nh ¼ xe di chuy n và luôn tiếp xúc
với dầm trên của hệ 3 dầm [15].


61
-4

10
5
0
-5

0

5

10
time [s]

15

20

Displacement of vehicle[m]

Displacement of vehicle[m]

-5

x 10

15

x 10

4

2

0

-2

0

5

c) =0.5

10
time [s]

15

20

d) =0
Fig 6. Displacement of the vehicle, v=5m/s
-4

2

0

-2

0

2

4
6

time [s]

8

10

Displacement of vehicle[m]

Displacement of vehicle[m]

-4

x 10

4

x 10

4

2

0

-2

0

2

a) =1

4
6
time [s]

8

10

8

10

b) =0.7

4

-4

2

0

-2

0

2

4
6
time [s]

8

10

Displacement of vehicle[m]

Displacement of vehicle[m]

-4

x 10

4

x 10

2

0

-2

0

2

4
6
time [s]

c) =0.5
d) =0
Fig 7. Displacement of the vehicle, v=10m/s

4. Summary and conclusion remarks
In this paper, the governing equation of motion of a vehicle-triple-beam system lying on an irregular
foundation is presented by using finite element method. The influence of the irregularity of the foundation on the
dynamic response of the vehicle is investigated. The dynamic response of the vehicle depends on both the
stiffness of the foundation and the irregularity of the foundation.
When the stiffness of the foundation is high, there is a peak at the irregular foundation area. This means
that, the dynamic response of the vehicle can be used for inspecting the location of the irregularity of the
foundation under the beam.
However, the dynamic response of the moving vehicle cannot be used for detecting the irregularity of the
foundation when the stiffness of the foundation is small.
Low speeds of moving vehicle can be applied for inspecting the irregularity of the foundation, while the
high speeds are not suitable for this purpose.

Acknowledgement
This research is funded by Vietnam National Foundation for Science and Technology Development
(NAFOSTED) under grant number 107.02-2014.01.

References
Chen YH, Lin CY (1998). Structural analysis and optimal design of a dynamic absorbing beam. J Sound Vibr,
212, pp 759-769.

62
Chonan S (1976). Dynamical behaviours of elastically connected doublebeam systems subjected to an impulsive
load. Bull JSME, 19, pp 595–603.
Hamada TR, Nakayama H, Hayashi K (1983). Free and forced vibrations of elastically connected double-beam
systems. Bull JSME , 26, pp 1936–1942.
Kessel PG (1966). Resonances excited in an elastically connected doublebeam system by a cyclic moving load. J
Acoust Soc Am, 40, pp 684–687.
Lee HP (1998), Dynamic Response of a Timoshenko Beam on a Winkler Foundation Subjected to a Moving
Mass, Applied Acoustics, Vol. 55, No. 3, pp. 203–215.
Oniszczuk Z (2000). Free transverse vibrations of elastically connected simply supported double-beam complex
system. J Sound Vibr, 232, pp 387-403.
Oniszczuk Z (2003). Forced transverse vibrations of an elastically connected complex simply supported doublebeam system. J Sound Vibr, 264, pp 273-286.
Rao SS (1974). Natural vibrations of systems of elastically connected Timoshenko beams. J Acoust Soc Am, 55,
pp 1232–1237.
Seelig JM, Hoppmann II WH (1964). Normal mode vibrations of systems of elastically connected parallel bars. J
Acoust Soc Am, 36, pp 93–99.
Thambiratnam D. and Zhuge Y. (1996). Dynamic analysis of beams on an elastic foundation subjected to
moving loads, Journal of Sound and Vibration 198(2), pp. 149-139.
Vu HV, Ordonez AM, Karnopp BH (2000). Vibration of a double-beam system. J Sound Vibr, 229, pp. 807-822.