CHUYÊN đề mũ LOGARIT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.08 MB, 259 trang )
ThS. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề
Mũ – Logarit
(Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)
Email:
www.MATHVN.com
MỤC LỤC
Trang
A – Công thức mũ & logarit cần nhớ .................................................................................... 1
B – Phương trình & Bất phương trình mũ ........................................................................... 3
Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa ..................................... 3
Các thí dụ ................................................................................................... 3
Bài tập tương tự ......................................................................................... 16
Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 25
Các thí dụ ................................................................................................... 25
Bài tập tương tự ......................................................................................... 67
Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................... 77
Các thí dụ ................................................................................................... 77
Bài tập tương tự ......................................................................................... 88
C – Phương trình & Bất phương trình logarit ..................................................................... 92
Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số ............................................................... 92
Các thí dụ ................................................................................................... 93
Bài tập tương tự ......................................................................................... 124
Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 138
Các thí dụ ................................................................................................... 138
Bài tập tương tự ......................................................................................... 154
Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 164
Các thí dụ ................................................................................................... 165
Bài tập tương tự ......................................................................................... 175
D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit ................................................. 180
Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương .................................................... 180
Các thí dụ ................................................................................................... 180
Bài tập tương tự ......................................................................................... 192
Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ ...................................................................... 197
Các thí dụ ................................................................................................... 197
Bài tập tương tự ......................................................................................... 206
Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 216
Các thí dụ ................................................................................................... 216
Bài tập tương tự ......................................................................................... 226
E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit ................................................................................ 230
Các thí dụ ................................................................................................... 231
Bài tập tương tự ......................................................................................... 250
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ
Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý.
a x
=
bx b
ax
a n = a.a.a...a
n số a
a x + y = a x .a y
a x−y =
ax
ay
y
⇒ a −n =
y
= ay
a =a
x
y
u (x) 0 = 1 ⇒ x 0 = 1, ∀u (x)
x ≠ 0
1
an
x
( ) ( )
a x.y = a x
x
x
a x .bx = (a.b)
n
a.n b = n ab
n
am =
m
m
( )
n
a
= an
Công thức logarit: Cho 0 < a ≠ 1 và b, c > 0 .
b
= loga b − loga c
c
loga b = x ⇔ b = a x
loga
lg b = log b = log10 b
α log b khi α lẻ
a
loga bα =
α loga b khi α chẳn
(logarit thập phân)
ln b = loge b , (e = 2, 718...)
log
(logarit tự nhiên hay log nepe)
aα
b=
1
loga b
α
loga 1 = 0, loga a = 1
b = loga a b
loga (b.c) = loga b + loga c
b=a
loga b
Công thức đổi cơ số
loga b =
loga b =
logc b
a
logc a
ln b
1
, loga b =
logb a
ln a
logb c
log a
=c b
logab c =
Hàm số mũ – logarit và đạo hàm
a/ Hàm số mũ y = a x , (a > 0, a ≠ 1) .
Tập xác định: D = » .
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 1 -
1
1
1
+
loga c logb c
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Tập giá trị: T = (0, +∞) .
● Khi
hàm số đồng biến.
Tính đơn điệu
● Khi
: hàm số nghịch biến.
Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Dạng đồ thị:
1
1
O
O
b/ Hàm số logarit y = loga x , (a > 0, a ≠ 1) .
Tập xác định: D = (0, +∞) .
Tập giá trị: T = » .
● Khi
: hàm số đồng biến.
Tính đơn điệu
● Khi
: hàm số nghịch biến.
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
Dạng đồ thị
1
O
O
1
c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit
Đạo hàm hàm số sơ cấp
'
(x ) = α.x
α
'
α−1
, (x > 0)
(a ) = a .ln a
x
'
(e ) = e
x
x
⇒ eu = eu .u '
'
( )
a
=
'
( )
⇒ a u = a u .u '. ln u
'
'
'
( )
⇒ uα = α.uα−1 .u '
x
(log x ) = x ln1 a
(ln x)
Đạo hàm hàm số hợp
1
, (x > 0)
x
(
⇒ loga u
'
) = u uln' a
'
⇒ (ln u) =
u'
u
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 2 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa
I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN
Đưa về cùng cơ số:
Phương trình mũ:
Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng
Với
thì
.
.
Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì:
.
Bất phương trình mũ:
Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng
Nếu
thì
.
.
Nếu
thì
.
Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì
.
Logarit hóa:
.
Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có
nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để
nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp.
II – CÁC THÍ DỤ
2x +3
Thí dụ 1.
4
Giải phương trình:
x +8
3.243 x+8 =
1 x+2
.9
9
(∗)
Bài giải tham khảo
x ≠ −8
● Điều kiện:
.
x ≠ −2
1
4
● Ta có:
1
4
3 = 3 4 ; 243 = 35 ; 9 = 32 ;
2x +3
5
x +8
(∗) ⇔ 3 .3
⇔3
⇔
1 2x +3
+5
4 x +8
−2
1
= 3−2 nên:
9
x +8
2
x +2
= 3 .3
x +8
−2+2
x +2
=3
2x + 3
x + 8
1
= −2 + 2
+ 5
x + 2
4
x + 8
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 3 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Ths. Lê Văn Đoàn
⇔ 41x 2 + 102x − 248 = 0
⇔ x = −4 ∨ x =
62
.
41
● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −4 ∨ x =
Thí dụ 2.
3
Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3
6x +7
3x−1
3 4
= 3 9 27
62
.
41
(∗)
Bài giải tham khảo
● Ta có:
1
3 3 3 3 3 3 3
(∗) ⇔ 3
⇔
16
(3x−1)
9
3x−1
=3
1 2
1
1 3
1 2
6x
+
7
16
3 3
23
1 2
= 3 3 3 3.3 3 = 3 9 và 3 3 9 4 27
= 3 32.3 4 = 3 24 .
23
(6x +7)
24
16
23
3x − 1) =
(
(6x + 7)
9
24
⇔ x=−
611
.
30
● Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −
Thí dụ 3.
Giải phương trình: 42x+1.54x +3 = 5.102x
2
+3x−78
611
.
30
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 2
4x +2
.5.54x +2 = 5.102x
2
+3x−78
2
⇔ 5.104x +2 = 5.102x +3x−78
⇔ 4x + 2 = 2x2 + 3x − 78
⇔x=
1 ± 641
.
4
● Vậy phương trình có hai nghiệm x =
Thí dụ 4.
1 ± 641
.
4
Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 4 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Ths. Lê Văn Đoàn
(∗) ⇔ 5.3x + 4.3x = 7.2x − 3.2x
⇔ 3x.9 = 2x.4
3 x 3 −2
⇔ = .
2
2
⇔ x = −2 .
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 .
Thí dụ 5.
Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 5x +
5x
5x
3x
3x
+ 2 = 3.3x +
+ 2
5
3
5
3
1
1
1 1
⇔ 5x 1 + + = 3x 3 + +
5 25
3 9
⇔
31 x
31
.5 = .3x
25
9
x
2
5
25 5
⇔ =
=
9
3
2
⇔ x = 2.
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .
Thí dụ 6.
Giải phương trình:
(
17 + 4
2x−1
3x
)
=
(
17 − 4
)
x−1
x +1
(∗)
Bài giải tham khảo
● Ta có:
(∗) ⇔
⇔
(
(
17 + 4
17 + 4
)(
2x−1
3x
)
=
)
17 − 4 = 1 ⇒
(
−
17 + 4
)
(
)
17 − 4 =
1
(
17 + 4
)
=
(
−1
17 + 4
)
.
x−1
x +1
2x − 1
x −1
=−
3x
x +1
⇔ 5x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x =
1± 5
.
6
● Vậy phương trình có hai nghiệm: x =
1− 5
1+ 5
∨ x=
.
6
6
Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán là a
Ta có: a.b = 1 ⇒ b =
f ( x)
=b
g( x)
với a.b = 1 .
1
f ( x)
−g(x )
= a −1 ⇒ (∗) ⇔ a = a
⇔ f (x ) = −g (x ) .
a
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 5 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Thí dụ 7.
(∗)
Giải phương trình: 2x+2 − 2x+1 − 1 = 2 x+1 + 1
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 4.2
x
− 2.2x − 1 = 2.2x + 1
⇔ 2.2 x − 1 = 2.2 x − 1
2.2x − 1 ≥ 0
⇔ 2.2x − 1 = 2.2 x − 1
x
2.2 − 1 = −2.2 x + 1
x 1
2 ≥ = 2−1
⇔
2
x
4.2
=
2
x ≥ −1
⇔ x
2 = 1 = 2−1
2
⇔ x = −1 .
● Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 .
Thí dụ 8.
Giải phương trình:
x−1
( x + 2)
x−3
= ( x + 2)
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 .
(∗) ⇔ (x + 2) − 1
x − 1 − (x − 3) = 0
x + 1 = 0
⇔
x − 1 = x − 3
x = −1
⇔ x − 3 ≥ 0
2
x − 1 = x − 6x + 9
x = −1
⇔ x ≥ 3
x = 5 ∨ x = 2
x = −1
⇔
.
x = 5
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 5 .
Thí dụ 9.
Giải phương trình:
(x
2
)
+3
x2 −5x +4
(
x +4
)
= x2 + 3
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 6 -
(∗)
Ths. Lê Văn Đoàn
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ (x
2
+ 3 − 1 x 2 − 5x + 4 − (x + 4) = 0
)
x 2 + 3 − 1 = 0 (VN)
⇔ 2
x − 5x + 4 = x + 4
x + 4 ≥ 0
2
⇔ x − 5x + 4 = x + 4
2
x − 5x + 4 = −x − 4
(VN)
x ≥ −4
⇔
x = 0 ∨ x = 6
⇔ x = 0 ∨ x = 6.
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 6 .
Thí dụ 10.
2
(∗)
Giải phương trình: 2x−3 = 3x −5x+6
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log
2
2
2x−3 = log 3 3 x −5x +6
(
)
⇔ (x − 3) log2 2 = x 2 − 5x + 6 log2 3
⇔ (x − 3) − (x − 2)(x − 3) log2 3 = 0
⇔ (x − 3) . 1 − (x − 2) log2 3 = 0
x − 3 = 0
⇔
1 − (x − 2) log2 3
x = 3
.
⇔
x = log3 2 + 2 = log3 18
● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 ∨ x = log3 18 .
Thí dụ 11.
Giải phương trình: 52x
4
−5x2 +3
−7
x2 −
3
2
=0
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log
5
5
2x 4 −5x2 + 3
− log5 7
x2 −
3
2
=0
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 7 -
Ths. Lê Văn Đoàn
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Ths. Lê Văn Đoàn
3
⇔ 2x 4 − 5x 2 + 3 log5 5 − x 2 − log 5 7 = 0
2
(
)
)x
(
⇔ 2 x2 − 1
2
3
3
− − x 2 − log5 7 = 0
2
2
3
⇔ x2 − . 2 x 2 − 1 − log5 7 = 0
2
(
)
x2 = 3
2
⇔
log5 7
2
+1
x =
2
2 3
x − = 0
⇔
⇔
2
2
2 x − 1 − log5 7 = 0
(
)
● Vậy phương trình có các nghiệm là x = ±
Thí dụ 12.
2
x = ± 6
2
.
1
2 log5 175
x = ±
2
6
1
∨ x=±
2 log5 175 .
2
2
(∗)
Giải phương trình: 2x −4.52−x = 1
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log
2
(2
x2 −4
)
.52−x = log2 1
2
⇔ log2 2x −4 + log2 52−x = 0
⇔ x2 − 4 + (2 − x ) log2 5 = 0
⇔ (x − 2)(x + 2) − (x − 2) log2 5 = 0
⇔ (x − 2)(x + 2 − log2 5) = 0
x = 2
⇔
.
x = −2 + log2 5
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 ∨ x = −2 + log2 5 .
Thí dụ 13.
2
Giải phương trình: 2x −2x =
3
2
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log
2
2
2x −2x = log2
3
2
⇔ x 2 − 2x.log2 2 = log2 3 − log2 2
⇔ x2 − 2x + 1 − log2 3 = 0
(1)
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 8 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
x = 1 − log 3
2
∆ ' = 1 − (1 − log2 3) = log2 3 > 0 ⇒
.
x = 1 + log2 3
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 − log2 3 ∨ x = 1 + log2 3 .
Thí dụ 14.
Giải phương trình: 5 x.8
x−1
x
= 500
(∗)
Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x ≠ 0 .
(∗) ⇔ 5x.2
3
x−1
x
= 53.22
3x−3
5x 2 x
⇔ 3. 2
5
2
⇔ 5x−3.2
⇔ 5x−3.2
=1
3x−3
−2
x
x−3
x
=1
(1)
=1
● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được:
(1) ⇔ log
x−3
5x−3.2 x = log 1
5
5
⇔ log5 5x−3 + log5 2
⇔ (x − 3) +
x−3
x
=0
x−3
log5 2 = 0
x
1
⇔ (x − 3) 1 + log 5 2 = 0
x
x = 3
⇔
1 + 1 log 2 = 0
5
x
x = 3
⇔ 1
1
x = − log 2
5
x = 3
.
⇔
x = − log5 2
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 3 ∨ x = − log5 2 .
Thí dụ 15.
2
Giải phương trình: 3x −2.4
2x−3
x
= 18
(∗)
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 9 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x ≠ 0 .
● Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được:
2x−3
3x2 −2.4 x = log 18
∗
⇔
log
()
3
3
2
⇔ log 3 3x −2 + log 3 4
(
)
⇔ x 2 − 2 + log 3 2
2x−3
x
4x−6
x
= log 3 18
= log 3 9.2
4x − 6
⇔ x 2 − 2 +
log 3 2 = log 3 9 + log 3 2
x
(
)
4x − 6
log 3 2 − 2 − log 3 2 = 0
⇔ x 2 − 2 +
x
(
)
4x − 6
⇔ x 2 − 4 +
− 1 log 3 2 = 0
x
(
)
(
)
⇔ x2 − 4 +
3x − 6
log3 2 = 0
x
⇔ (x − 2)(x + 2) +
3 ( x − 2)
x
log 3 2 = 0
3
⇔ (x − 2)x + 2 + log 3 2 = 0
x
x = 2
⇔ 2
x + 2x + 3 log3 2 = 0 : VN
⇔ x = 2.
● So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 .
x
Thí dụ 16.
Giải phương trình: 8 x+2 = 4.34−x
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x ≠ −2 .
3x
x +2
(∗) ⇔ 222 = 34−x
⇔2
3x
−2
x +2
= 34−x
x −4
⇔ 2 x +2 = 3 4 −x
(1)
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 10 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
x−4
(1) ⇔ log2 2 x+2 = log2 34−x
⇔
x−4
= (4 − x ) log2 3
x +2
⇔
x−4
+ (x − 4) log2 3 = 0
x +2
1
⇔ (x − 4)
+ log2 3 = 0
x + 2
x − 4 = 0
⇔ 1
x + 2 = − log2 3
x = 4
.
⇔
x = −2 − log2 3
● So với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 4 ∨ x = −2 − log2 3 .
2
Thí dụ 17.
1 9x −17 x+11 1 7−5x
Giải bất phương trình:
≥
2
2
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 9x
2
− 17x + 11 = 7 − 5x
2
⇔ 9x2 − 12x + 4 ≤ 0 ⇔ (3x − 2) ≤ 0
⇔x=
2
.
3
● V ậy x =
2
là nghiệm của bất phương trình.
3
x
Thí dụ 18.
2x
1
x +1
Giải bất phương trình: > 3
9
(∗)
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x ≠ −1 .
(∗) ⇔ 3
−2x
>3
⇔ −2x >
⇔
2x
x +1
2x
x +1
2x2 + 4x
<0
x +1
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 11 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Ths. Lê Văn Đoàn
x < −2
.
⇔
−1 < x < 0
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 0) .
Thí dụ 19.
(
Giải bất phương trình:
10 + 3
)
x−3
x−1
<
(
10 − 3
)
x +1
x +3
(∗)
Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002
Bài giải tham khảo
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
● Điều kiện:
⇔
.
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
● Ta có:
(∗) ⇔ (
⇔
⇔
(
10 + 3
10 + 3
)
x−3
x−1
)(
)
10 − 3 = 1 ⇔
<
(
−
10 + 3
)
(
)
10 − 3 =
1
(
10 + 3
)
=
(
−1
10 + 3
)
.
x +1
x +3
x−3
x +1
<−
x −1
x+3
2x 2 − 10
(x − 1)(x + 3)
<0
−3 < x < − 5
⇔
.
1 < x < 5
(
) (
)
● So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ −3; − 5 ∪ 1; 5 .
Thí dụ 20.
Giải bất phương trình: 3x+1 + 5x+2 ≥ 3x +2 + 5x +1
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 25.5
x
− 5.5x > 9.3x − 3.3x
⇔ 20.5 x > 6.3x
x
5
3
⇔ >
10
3
⇔ x > log 5
3
3
.
10
3
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 5 ; +∞ .
3 10
Thí dụ 21.
Giải bất phương trình: 4 x + 4 x+1 + 4 x+2 > 9 x + 9x +1 + 9x+2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 12 -
(∗)
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ 4
x
+ 4.4 x + 42.4 x > 9 x + 9.9x + 92.9 x
⇔ 4 x.21 > 9 x.91
x
4
91
91
⇔ <
⇔ x > log 4
.
21
21
9
9
91
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 4 ; +∞ .
9 21
Thí dụ 22.
1
Giải bất phương trình:
2
x2 −2x
(∗)
≤ 2x−1
Bài giải tham khảo
(∗) ⇔
1
x2 −2x
2
⇔ 2−
x2 −2x
≤ 2x−1
≤ 2x−1
⇔ − x2 − 2x ≤ x − 1
x 2 − 2x ≥ 1 − x
⇔
1 − x ≤ 0
1 − x > 0
⇔ 2
∨ 2
2 ⇔ x ≥ 2.
x − 2x ≥ 0
x − 2x ≥ (1 − x )
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 2; +∞) .
Thí dụ 23.
Giải bất phương trình:
2.3x − 2 x+2
≤1
3 x − 2x
(∗)
Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001
Bài giải tham khảo
x
3
● Điều kiện: 3 − 2 ≠ 0 ⇔ 3 ≠ 2 ⇔ ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 .
2
x
x
x
x
● V ới x < 0 ⇔ 3 x − 2 x < 0 .
2.3x − 4.2 x ≥ 3x − 2 x
(∗) ⇔ x < 0
3x ≥ 3.2x
⇔
x < 0
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 13 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Ths. Lê Văn Đoàn
x
3 ≥ 3
⇔ 2
x < 0
3
x ≥ log 3
2 ⇒ x ∈ ∅ .
⇔
x < 0
● V ới x > 0 ⇔ 3 x − 2 x > 0 .
2.3x − 4.2 x ≤ 3x − 2 x
(∗) ⇔ x > 0
3x ≤ 3.2x
⇔
x > 0
x
3
≤3
⇔ 2
x > 0
x ≤ log 3
2
⇔
2
x > 0
⇔ 0 < x ≤ log2
3
.
2
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log2
2x2 + x +1
Thí dụ 24.
1
Giải bất phương trình: x2 +
2
3
.
2
1−x
1
≤ x 2 +
2
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
(∗) ⇔ x
2
1
+ − 1 . 2x 2 + x + 1 − (1 − x ) ≤ 0
2
(
)
1
⇔ x 2 − 2x2 + 2x ≤ 0
2
(
)
1 1
⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ −
; 0 ∪ ; +∞ .
2 2
1 1
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −1) ∪ −
; 0 ∪ ; +∞ .
2 2
Thí dụ 25.
Giải bất phương trình: 52x−1 < 7 3−x
(∗)
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 14 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log
5
52x−1 < log5 7 3−x
⇔ 2x − 1 < (3 − x ) log5 7
⇔ 2x + x log5 7 < 3 log5 7 + 1
⇔ x (2 + log5 7 ) < 3 log5 7 + 1
⇔x<
1 + 3 log5 7
2 + log5 7
.
1 + 3 log5 7
.
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞;
2 + log5 7
Thí dụ 26.
2
(∗)
Giải bất phương trình: 5x −5x+6 ≥ 2x−3
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được:
(∗) ⇔ log
2
5
5x −5x +6 ≥ log5 2 x−3
⇔ x2 − 5x + 6 ≥ (x − 3) log5 2
⇔ (x − 2)(x − 3) − (x − 3) log5 2 ≥ 0
⇔ (x − 3) (x − 2) − log5 2 ≥ 0
⇔ x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞)
(do : log
5
2 < 1 ⇒ x = 2 − log5 2 < 3) .
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) .
Thí dụ 27.
2
Giải bất phương trình: 49.2x > 16.7 x
(∗)
Bài giải tham khảo
● Tập xác định: D = » .
2
x
x
(∗) ⇔ 224 > 772
2
⇔ 2x −4 > 7 x−2
(1)
● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:
(1) ⇔ log
2
2
2x −4 > log2 7 x−2
⇔ x2 − 4 > (x − 2) log2 7
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 15 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
⇔ x 2 − (log2 7 ).x + 2 log2 7 − 4 > 0
Ths. Lê Văn Đoàn
(2)
2
2
Ta có: ∆ = log22 7 − 8 log2 7 + 16 = (log2 7 − 4) = (4 − log2 7) > 0 .
x = log2 7 + (4 − log2 7 ) = 2
1
2
, ( x1 > x 2 ) .
⇒
log
7
4
log
7
−
−
(
)
7
2
2
x =
= log2 7 − 2 = log2
2
2
4
(2) ⇔ x < log
2
7
∨ x >2.
4
7
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞; log2 ∪ (2; +∞) .
4
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 1.
Giải các phương trình sau
1/
32x+1 = 0,25.128x−1 .
2/
x
3 3 3 = 1
81
ĐS: x = 14 .
2x−3
ĐS: x = −
.
−2 ± 19
.
5
3/
2 x 3 4 x x 0,125 = 3 0,25 .
4/
2.3 x +1 − 6.3 x −1 − 3 x = 9 .
ĐS: x = 1 .
5/
1
2x.5x−1 = .102−x .
5
ĐS: x = 1 .
6/
8 x+1 = 0,25.
2x−1
ĐS: x =
16
.
13
7x
( )
2
ĐS: x = 1 ∨ x =
.
2
.
7
−x
2
= .
8
7/
0,125.42x−3
8/
2x.5 x = 0,1. 10x−1 .
9/
( )( ) ( )
10/
2
5
11/
22x +x+5 = 82x+1 .
12/
2x+1.4 x−1.
5
(
x
2
x
3
x−1
2
ĐS: x = 6 .
)
4
ĐS: x =
x2 −1
4
=2
2x−1
2x
.
3
.
2
ĐS: x = 1 ∨ x = −3 ∨ x =
x
25
125
. =
.
64
8
ĐS: x = 3 .
2
1
1−x
8
ĐS: x = 2 ∨ x =
= 16 x .
ĐS: x = 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 16 -
1
.
2
1
.
3
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
www.MATHVN.com
2x . 3x = 216 .
13/
Ths. Lê Văn Đoàn
ĐS: x = 6 .
25
.
2
14/
5 x.8 x +1 = 100 .
ĐS: x = log 40
15/
2x+1.32x +3 = 63x +1 .
ĐS: x = log12 9 .
16/
9
17/
5
18/
5
19/
5
3
20/
1
2
21/
4 x +1.3x −3.5x +1 =
22/
3 x −1 = 6 x.2−x.3 x +1 .
23/
2x.3x +1 =
= 38x−2 .
ĐS: x =
2
.
7
= 125x .
ĐS: x =
3
.
5
= 253x−4 .
ĐS: x =
7
.
5
3x −1
2x−3
4x −6
x2 +2x−11
x +1
9
.
25
x +7
1
.
2
9
5
= .
3
7
ĐS: x = 2 ∨ x = − .
2
1−2x
= 2.
ĐS: x = 9 .
20 60
.
27
ĐS: x =
1
.
2
ĐS: x = −2 .
x +2
( )
3
ĐS: x = 0 .
.
1
3
24/
25/
3
17
x −
16
2
x +1
5x.
=
1
9
3
x +1
ĐS: x = −
.
8 x = 100 .
5
3
∨ x =1 ∨ x =− .
4
4
ĐS: x = 2 ∨ x = − log5 10 .
x
26/
27/
x
(0, 6)
2x2 −24
.5
3
2
= .9x −12 .
5
2x+1 . 3 42x−1 .8 3−x = 2 2.0,125 .
28/
2 2 6 .2
29/
3
4
30/
5
3
x−1
x +1
x +1
=4
x +1
.
ĐS: x = ±2 3 .
ĐS: x =
53
.
7
ĐS: x =
3
.
2
8
4 x
9
. =
.
16
3
ĐS: x = −1 ∨ x = 4 .
x2 +x−1
9
.
25
ĐS: x = −
= 1.
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 17 -
3
∨ x = 1.
2
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
4x−2
31/
x +1
1
27 x−1 = .81 x +2 .
9
32/
16 x+2
1
Bài tập 2.
−
ĐS: x = 3 ∨ x =
2
.
11
3x−19
1
x−2
2
ĐS: x = −1 ∨ x =
= 0,25.2 x −4 .
5
.
2
Giải các phương trình sau
1/
5 x + 5 x +1 + 5 x +2 = 3 x + 3 x +3 + 3 x +1 .
ĐS: x = 0 .
2/
3x +1 + 3x−2 − 3x−3 + 3 x−4 = 750 .
ĐS: x = 5 .
3/
2x + 2x−1 + 2x−2 = 3x + 3x−2 − 3 x−1 .
ĐS: x = 2 .
4/
4 x + 4 x−2 + 4 x +1 = 3x +2 − 3x−2 .
ĐS: x = log 4
3
2
2
2
2
1280
.
729
5/
2x −1 + 2x +2 = 3x + 3x −1 .
ĐS: x = ± 3 .
6/
3x−1 + 3x + 3x +1 = 9477 .
ĐS: x = 7 .
7/
22x +5 − 3
8/
1
1
3.4 x + .9x+2 = 6.4 x+2 − .9x+1 .
3
2
9/
9x − 2
x+
x+
3
2
9
2
=3
=2
x+
1
2
x+
7
2
3
ĐS: x = − .
2
− 4x +4 .
− 32x−1 .
ĐS: x = log 9
4
ĐS: x = log 9
2
10/
3 x + 3 x +1 + 3 x +2 = 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 .
ĐS: x = log 3
5
Bài tập 3.
Ths. Lê Văn Đoàn
x+
1
2
x
11/
5
12/
4−x − 3
2x−2
−9 = 3
−x −
1
2
1
= 32
−5
−x
x−
1
2
ĐS: x =
.
− 2−2x−1 .
62
.
21
9 2
.
4
31
.
16
3
.
2
3
ĐS: x = − .
2
Giải các phương trình sau
1
ĐS: x = − .
3
3x
1/
(
2/
(5 + 2 6 )
3/
(3 + 2 2 )
3−2 2
)
= 3+2 2.
3x +1
5x +8
(
)
(
)
= 5−2 6
x +1
= 3−2 2
.
7
ĐS: x = − .
8
2x +8
.
ĐS: x = −3 .
3x 3 −4x
4/
(3 − 2 2 )
= 3+2 2 .
ĐS: x = 1 ∨ x =
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 18 -
−3 ± 21
.
6
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
5/
6/
7/
x −1
(
)
5 +2
(
82 − 9
(
(
=
)
x−3
x−1
145 + 12
=
)
5 −2
(
2x +1
4 x−3
)
82 + 9
(
=
3x +1
x
)
ĐS: x = 1 ∨ x = −2 .
.
x +1
x +3
145 − 12
(
ĐS: x = ± 5 .
.
4x +3
2x−1
)
(
9/
2x +1
2x−5
6 + 35
6 − 35
=
.
=
226 + 25
2x +5
10/
Bài tập 4.
(7 +
48
ĐS: x = ±
2
.
2
.
ĐS: x = ±
10
.
10
ĐS: x = ±
13
.
2
2x−7
(
= 7 − 48
)
.
ĐS: x = 2 .
Giải các phương trình sau
3x−7
1
1
−
x +2 x−2
2
ĐS: x =
1/
16
= 0,25.2 x −4 .
2/
1
3
3/
2
4/
2 2
5/
6/
4x −4 + 4 x +x−12 = 42x +x−16 + 1 .
2−x
Bài tập 5.
.
2x−1
x2 −2x +9
)
)
x
3x−1
8/
226 − 25
)
x −1
x +1
Ths. Lê Văn Đoàn
(
(
4−x
+3
1
= 99 +
9
x−3
x +1
)
)
1
x +3 2
x
x
=
ĐS: x = 6 .
1
.4
2
x
ĐS: x = 1 .
.
2
x −1
x
x
+
3
x
x 4
−
4
3
2
.
1
1
x +5 5
( 27 )
5
5
∨ x = −1 .
2
= 4.
ĐS: x = 9 .
= 4 37 .
ĐS: x = 10 .
2
2
ĐS: x = −4 ∨ x = 3 ∨ x = ±2 .
Giải các phương trình sau
x2 −x−5
1/
(x + 2)
2/
(
2x − x 2
3/
(
x − x2
x +10
= ( x + 2)
.
ĐS: x = −1 ∨ x = 5 .
x−1
)
= 1.
ĐS: x = 1 .
x−2
)
= 1.
ĐS: x = 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 19 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
Bài tập 6.
x2 −1
4/
(x
5/
(x + 1)
6/
(2 + x − x )
7/
( x − 3)
8/
(x
9/
(
10/
(x
2
− x +1
11/
(x
2
− 2x + 2
12/
3
13/
x−3
2
)
−x +1
x−3
sin x
3x2 −5x +2
x2 − 5x + 4
)
x−1
(
− 2 + x − x2
(
2− 3 cos x
)
x2 −4
4− x 2
9−x2
x2 + x−4
)
= x2 − 6x + 9
)
)
(x − 1)
ĐS: x = 0 ∨ x = 3 .
4−x2
)
− 2x + 2
x2 −x
ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 .
= 1.
2
2
= 1.
Ths. Lê Văn Đoàn
.
.
ĐS: x =
1± 5
π
∨ x= .
2
6
ĐS: x = 4 ∨ x = 5 .
ĐS: x = 1 ∨ x = ±2 .
= 1.
5 ± 13
∨ x = −2 .
2
= 1.
ĐS: x =
= x2 − x + 1 .
ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 ∨ x = ±
− 3 x2 − 2x + 2 = 0 .
ĐS: x = 1 ∨ x = ±
3
= (x − 1)
x−1
4 5
.
3
ĐS: x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 1 + 3 3 .
.
2
= (x − 3) .
ĐS: x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4 .
Giải các phương trình sau
2
1/
2x −4 = 5x−2 .
2/
5x −5x+6 = 2x−3 .
3/
3x −4x = 2x−4 .
4/
8 x.5x −1 =
5/
3x.4
6/
3x −2.4
7/
3x.2x = 1 .
8/
2x.5x = 10 .
9/
3x.2 x +2 = 6 .
10/
8 3x+6 = 36.32+x .
ĐS: x = 2 ∨ x = log2
2
x−1
x
2
ĐS: x = 4 ∨ x = log 3 2 .
1
.
8
ĐS: x = −1 ∨ x = 1 − log5 8 .
ĐS: x = 2 ∨ x = − log 3 2 .
= 18 .
2x−3
x
5
.
4
ĐS: x = 3 ∨ x = log5 50 .
2
2
15
.
2
ĐS: x = 2 .
= 18 .
2
ĐS: x = 0 ∨ x = − log2 3 .
2
ĐS: x = 1 ∨ x = −1 − log5 2 .
3x
ĐS: x = 1 .
x
ĐS: x = −4 ∨ x = log2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 20 -
3
.
4
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
11/
4.9x−1 = 3.2
x
x +2
2x +1
2
www.MATHVN.com
ĐS: x =
.
= 36.32−x .
Ths. Lê Văn Đoàn
3
.
2
ĐS: x = 4 ∨ x = −2 − log3 2 .
12/
8
13/
2x −2x.3x =
3
.
2
ĐS: x = 1 ∨ x = log2
2
.
3
14/
3x.8 x+1 = 36 .
ĐS: x = 2 ∨ x = log2
3
.
2
15/
5x−2.2 x+1 = 4 .
ĐS: x = 2 ∨ x = log5
2
.
5
16/
52x−1 = 7 3−x .
ĐS: x = 4 log175 5 .
17/
5
18/
x
19/
x 4 .5 3 = 5
20/
4
21/
x log x = 1000x 2 .
22/
x
23/
7
24/
57 = 7 5 .
2
x
3x
3−log5 x
4 lg
x
4
x log
ĐS: x = 5 .
= 25x .
= 16002 .
x
log x 5
ĐS: x = 40 ∨ x =
ĐS: x =
.
ĐS: x =
x
=x
1
∨ x = 1000 .
10
ĐS: x = 2 ∨ x =
= 32 .
log225 (5x)−1
1
∨ x= 45.
5
ĐS: x = 10±4 .
= 100 .
log2 x −4
1
.
10
log5 7
1
.
32
ĐS: x = 125 ∨ x =
.
x
1
.
5
ĐS: x = log 7 (log5 7 ) .
5
2x−1
5
.
2
25/
5x.2 x +1 = 50 .
26/
9.x
27/
5x−1.22x −x+1 = 10.8x .
1
ĐS: x = 2 ∨ x = − log2 5 .
2
28/
4.9x−1 = 3 22x +1 .
ĐS: x =
3
.
2
29/
4x − 3
ĐS: x =
3
.
2
log9 x
ĐS: x = 2 ∨ x = log2
= x2 .
ĐS: x = 9 .
2
x−
1
2
=3
x+
1
2
− 22x−1 .
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 21 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
4x +1
30/
31/
Bài tập 7.
2
5
Ths. Lê Văn Đoàn
2
5.
ĐS: x =
2
4 log7 + 3
5
−2 − log7
3x +2
1
=
7
www.MATHVN.com
.
8
3log3 5 ± 9log23 5 +16 + log3 5
3
ĐS:
.
2
2
3x −4 = 3 125.125x .
Giải các bất phương trình sau
x−1
x
ĐS: (−∞; −13 ∪ (−1; 0 ∪ 2; +∞) .
1/
4 x+2 ≤ 0,25.32 x−2 .
2/
(0, 3)
3/
1
3
4/
8
5/
2x −3x−4 < 3x −3x−4 .
6/
1 4x −15x+13 1 4−3x
.
<
2
2
7/
2 2+5x
25
.
<
5
4
8/
1
2
9/
5x − 3x +1 ≥ 2 5x−1 − 3x−2 .
ĐS: x ∈ 3; +∞) .
10/
7 x − 5 x +2 < 2.7 x−1 − 118.5 x−1 .
ĐS: x ∈ (−∞;2) .
11/
2 x +2 − 2 x +3 − 2 x +4 > 5 x +1 − 5 x +2 .
ĐS: x ∈ (0; +∞) .
12/
3
13/
62x+3 ≤ 2x+7.33x−1 .
ĐS: x ∈ 4; +∞) .
14/
7.3x+1 + 5x+3 ≤ 3x+4 + 5x+2 .
ĐS: x ∈ (−∞; −1 .
15/
2x+2 + 5x+1 ≤ 2x + 5x+2 .
3
ĐS: x ∈ log 5 ; +∞ .
2 20
16/
2 x−1.3 x +2 > 36 .
ĐS: x ∈ (log6 8; +∞) .
2x2 −3x +6
8x
1
ĐS: x ∈ −∞; ∪ (1; +∞) .
2
< 0, 00243 .
x +2
ĐS: x ∈ −2;7 ) .
> 3−x .
ĐS: x ∈ (2; +∞) .
> 4096 .
2
2
ĐS: x ∈ (−∞; −1) ∪ (4; +∞) .
2
3
ĐS: x ∈ » \ .
2
6x−5
x6 −2x3 +1
5 1
ĐS: x ∈ −∞; − ∪ ; +∞ .
2 16
1−x
1
<
2
(
x
+3
x −1
−3
ĐS: x ∈ (−∞;1) \ {0} .
.
)
x −2
ĐS: x ∈ 0; 4 .
≤ 11 .
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 22 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit
17/
(
x +1
)
2 +1
≥
(
)
2 −1
x2 −2x +1
18/
(2 + 3 )
1
19/
2
x2 −2x
1
20/
2
2x−1
x
x−1
−1 − 5 −1 + 5
ĐS:
;
∪ (1; +∞) .
2
2
.
x2 −2x−1
(
+ 2− 3
Ths. Lê Văn Đoàn
)
≤
4
. ĐS: x ∈ 1 − 2; 1 + 2 .
2− 3
≤ 2x−1 .
ĐS: x ∈ 2; +∞) .
1
1
ĐS: x ∈ −∞; .
3
≥ 2 3x+1 .
x2 +2
21/
Bài tập 8.
ĐS: x ∈ (−1;1) .
2
0,2 x −1 > 25 .
Giải bất phương trình:
(
5 −2
)
x−1
x +1
≤
(
x−1
5 +2
)
.
Cao đẳng sư phạm kỹ thuật Vinh năm 2001
ĐS: x ∈ −2; −1) ∪ 1; +∞) .
Bài tập 9.
Giải bất phương trình:
2x−1 + 4x − 6
> 4.
x −2
ĐS: x ∈ (−∞;2) ∪ (4; +∞) .
Bài tập 10.
Giải bất phương trình:
4 x + 2x − 4
≤ 2.
x −1
Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1997
1
ĐS: x ∈ ;1 .
2
Bài tập 11.
x
(
)
Giải bất phương trình: x2 + x + 1 < 1 .
ĐS: x ∈ (−∞; −1) .
x− x−1
Bài tập 12.
Giải bất phương trình: 3
x2 −2x
1
≥
3
.
Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1997
ĐS: x ∈ (2; +∞) .
Bài tập 13.
Giải bất phương trình: 6x2 + 3 x .x + 31+
x
< 2.3 x .x 2 + 3x + 9 .
3
ĐS: x ∈ 0;1) ∪ ; +∞ .
2
Bài tập 14.
2
2
2
Giải bất phương trình: 4x2 + x.2x +1 + 3.2x > x2 .2x + 8x + 12 .
Đại học Dược Hà Nội năm 1997
(
) (
ĐS: x ∈ − 2; −1 ∪
www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 23 -
)
2; 3 .
