Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Chuyên đề mũ logarit

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (183.77 KB, 6 trang )

Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=a
x
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
−∞ 0 +∞
x
−∞ 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14
-13
-12


-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3
x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6

-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
x
y






=
3
1
II. Hàm số lgarit
• y=log
a
x, ĐK:



≠<
>

10
0
a
x
; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
0 0 +∞
x
0 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x) /ln(3 )
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10

-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x
f(x)=ln(x )/ln(1 /3)
f(x)=(1/3 )^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11

-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x
y






=
3
1
xy
3
1

log
=
y=x
III. Các công thức
1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a

=
;(
n
a
1
=a

m
; a
0

=1; a

1
=
a
1
);
(a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a
=







;
n m
n
m
aa
=
.
2. Công thức logarit : log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R ta có:
Thái Thanh Tùng
1
Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
; log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
−log
a
x
2
;
xa

x
a
=
log
; log
a
x
α
=
α
log
a
x;
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a

x
b
b
log
log
;(log
a
b=
a
b
log
1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ−logarit

a. Phương trình mũ :
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a
f(x)
=a
g(x)
(1) ⇔ f(x)=g(x).
+ 0<a≠1: a
f(x)
=b ⇔
( )



=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2

), (7
4 3±

),… Nếu trong một phương trình có chứa {a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
} ta
có thể chia hai vế cho b
2x
(hoặc a
2x
) rồi đặt t=(a/b)
x
(hoặc t=(b/a)
x
.
Phương pháp logarit hóa: a
f(x)
=b
g(x)
⇔ f(x).log
c
a=g(x).log
c
b,với a,b>0; 0<c≠1.
b. P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
+log

a
f(x)=g(x)⇔
( )
( )



=
≠<
xg
axf
a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=
>>
≠<
xgxf
xgxf

a
00
10
.
Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ :
 a
f(x)
>a
g(x)

( ) ( ) ( )
[ ]



>−−
>
01
0
xgxfa
a
;  a
f(x)
≥a
g(x)

( ) ( ) ( )
[ ]




≥−−
>
01
0
xgxfa
a
.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)<g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)

⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit :
log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





>−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
; log
a
f(x)≥log
a
g(x)⇔
( ) ( )

( ) ( ) ( )
[ ]





≥−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
Thái Thanh Tùng
2
Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit
+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔

( ) ( )
( )



>
>
0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
<
0xf
xgxf
.
*
* *
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích

Ví dụ 1: Giải phương trình:
( )
( )
2 2 2
2 2
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
x x x x x x x x+ − −
− − + = ⇔ − − =
.
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:
( )
( )
2
2
2 1 . 2 4 0
x x x−
− − =
. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( )
( )
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x= + −
.
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
( )
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x
 

− + − =
 
.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
. Đặt t = 3
x
(*), khi đó ta có:
( )
2
2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x+ − + − = ⇒ = − = −
. Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2
3 3
log 1 5 log 1 2 6 0x x x x+ + − + − + =
. Đặt t = log
3
(x+1), ta có:
( )
2
5 2 6 0 2, 3t x t x t t x+ − − + = ⇒ = = −

⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có
( )
( )f u f v u v= ⇔ =
.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều
nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
( )
bac ;
∈∃
:
( )
( ) ( )
ab
aFbF
cF


=
'
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
( ) ( ) ( )
; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ =
có nghiệm thuộc (a;b).
Thái Thanh Tùng

3
Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm
thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x
+ =
.
Hướng dẫn:
2 2
log log
2.3 3 2.3 3
x x
x x
+ = ⇔ = −
, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
6 2 5 3
x x x x
+ = +
. Phương trình tương đương

6 5 3 2
x x x x
− = −
, giả sử phương
trình có nghiêm
α
. Khi đó:
αααα
2356
−=−
.
Xét hàm số
( ) ( )
α
α
tttf
−+=
1
, với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại
( )
2;5c∈
sao
cho:
( ) ( )
1
' 1
0 1 0 0, 1f c c c
α
α
α α α



 
= ⇔ + − = ⇔ = =
 
 
, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương
trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− + = −
. Viết lại phương trình dưới dạng
2
1 2
2 1 2
x x x
x x x
− −
+ − = + −
, xét hàm số
( )
ttf
t
+=
2

là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:
( )
( )
2 2
1 1 1f x f x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 2 3 2
x x
x+ = +
. Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh
không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số
( ) ( )
2 2
3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0
x x x x
f x x f x= + − − ⇒ = + > ⇒
Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra
phương trình không có quá hai nghiệm.
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y

e
y
x
e
x

= −





= −



có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số
( )
2
2007
1
x
x
f x e
x
= + −

.
Nếu x < −1 thì

( )
02007
1
<−<

exf
suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x
0
= 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: Cho
0
>≥
ba
. Chứng minh rằng
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷
   
(ĐH Khối D−2007)
HD: BĐT
1 1
ln 2 ln 2
1 1

2 2
ln 2 ln 2
2 2
a b
a b
a b
a b
b a
a b
   
+ +
 ÷  ÷
   
   
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
 ÷  ÷
   
. Xét hàm số
( )
1
ln 2
2
x
x
f x
x
 
+
 ÷
 

=
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với
0
>≥
ba
ta có
( )
bfaf

)(
(Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất
phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình
7 3
log log ( 2)x x= +
. Đặt t =
7
log 7
t
x x⇒ =
Khi đó phương trình trở thành:
3
7 1
log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
3 3
t
t

t t t
t
 
 
= + ⇔ = + ⇔ = +
 ÷
 ÷
 
 
.
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
4
2 2
5
6
log ( 2 2) 2 log 2 3x x x x− − = − −
.
Đặt t = x
2
– 2x – 3 ta có
( )
6 5
log 1 logt t+ =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
6
log

2 6
log 3 log
x
x x+ =
. Đặt
6
logt x=
, phương trình tương đương
3
6 3 2 3 1
2
t
t t t t
 
+ = ⇔ + =
 ÷
 
.
3. Dạng 3:
( )
log
b
x c
a x
+
=
( Điều kiện: b = a + c )
Thái Thanh Tùng
4
Chuyên đề: Phương trình


Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
7
log 3
4
x
x
+
=
. Đặt
( )
7
log 3 7 3
t
t x x= + ⇒ = +
, phương trình tương
đương
4 1
4 7 3 3. 1
7 7
t t
t t
   
= − ⇔ + =
 ÷  ÷
   

.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
42
5log
3
+=
+
x
x
. Đặt t = x+4 phương trình tương đương
( )
t
t
=
+
1log
3
2
Ví dụ 3: Giải phương trình
( )
( )
( )
3 3
log 1 log 1
4 1 2 0
x x
x x
+ +
− − − =

.
4. Dạng 4:
( )
log
ax b
s
s c dx e x
α β
+
= + + +
, với
,d ac e bc
α β
= + = +
Ph ương pháp: Đặt
log ( )
s
ay b dx e+ = +
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được:
ax b ay b
s acx s acy
+ +
+ = +
. Xét
( )
at b
f t s act
+
= +

.
Ví dụ: Giải phương trình
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x

= − +
. Đặt
( )
7
1 log 6 5y x− = −
. Khi đó chuyển thành hệ
( )
( )
1
1
1 1
1
7
7 6 1 1
7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5
7 6 5
x
x
x y
y

y
y
x y
y x
x


− −



= − +
= −
 
⇔ ⇒ + = +
 
− = −
= −




. Xét hàm số
( )
1
7 6
t
f t t

= +

suy ra x=y, Khi
đó:
1
7 6 5 0
x
x

− + =
. Xét hàm số
( )
567
1
+−=

xxg
x
Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm
của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =
+ + + +
HD: Viết phương trình dưới dạng
1 1 1 1
8 1 18

2 1 2 2 2 2 2
x x x x− − − −
+ =
+ + + +
, đặt
1 1
2 1, 2 1. , 0
x x
u v u v
− −
= + = + >
.
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =

+


= +

Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
( ) ( )
2 3 2 3 4 0

x x
+ + − − =
b.
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
− + + =
c.
( ) ( )
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =
d.
( ) ( )
3
3 5 16 3 5 2
x x
x+
+ + − =
e.
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
(ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1.
f. 3.8
x
+4.12
x
−18

x
−2.27
x
=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
(ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
k.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
(ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=−1, x=2.
i.
3.16 2.8 5.32
x x x
+ =
j.
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a.
3 2 3

4 128
5 1
x y
x y
+
− −

=


=


b.
2
( ) 1
5 125
4 1
x y
x y
+
− −

=



=



c.
2 2 12
5
x y
x y

+ =


+ =


d.
( )
( )
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
− +

+ = +


=

(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2)

Thái Thanh Tùng
5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×