Chuyên đề số phức và các bài toán liên quan

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt

m

Mobile: 0976266202

co

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Số phức z được xác định bởi z  a  bi,  a, b   

2

Modul của số phức z là : z  a2  b2 ; z  z.z  a 2  b2

oc
uo

Phép toán chia đối với số phức :

c.

Số phức liên hợp của z được xác định z  a  bi

z1 z1.z2


2
z2
z2

Phương trình bậc hai đối với số phức : az 2  bz  c  0
Tính deltal   b 2  4ac
Nếu   0  z1,2 

b  
2a

2

gb

Nếu   x  yi ta biến đổi deltal thành số chính phương tức biểu diễn x  yi   u  vi  , trong đó

u 2  v 2  x
u, v là nghiệm của hệ 
2uv  y

on

Dạng lượng giác của số phức : z  a  bi


a
b
Viết z dưới dạng z  a 2  b 2 . 


2
2
a 2  b2
 a b
2

2


i


kh


 

a
b
Để ý là 

 1 , nên xác định một góc     ;   sao cho


2
2
2
2
 a b   a b 

1
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan

Góc  được gọi là một acrgumen của số phức z.

co

Ta đặt r  a 2  b 2 thì z được biểu diễn dưới dạng : z  r  cos  i sin  

m

a

cos 
2
a
a  b2

 tan  

b
b
sin  

2
2

a b

Công thức De-moiver : z n  r n  cos  n   i sin  n   , được áp dụng khi biểu thức chưa số phức
có bậc cao.

c.

Điểm biểu diễn số phức z  x  yi

Với mỗi số phức z  x  yi xác định một điểm M  x; y  trên mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn
cho số phức z  x  yi .

oc
uo

Các bài toán dạng này thường xoay quanh việc tìm tập hợp điểm biễn số phức z, ta phải tìm ra
mối quan hệ giữa x và y, thông thường thì tập hợp điểm biễn diễn nằm trên một đường thẳng ;
đường tròn hay elip.

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM SỐ PHỨC
DẠNG 1 : ĐẶT z  a  bi

Được áp dụng khi đề bài yêu cầu tìm số phức z, tuy nhiên điều kiện cho tìm z không phải

gb



 a, b   

là phương trình bậc hai hai bậc 3 đối với z.


A  0
Biến đổi điều kiện bài toán thành A  Bi  0  
giải hệ điều kiện này ta suy ra
B  0

kh

on

được a và b, từ đó suy ra số phức z cần tìm.

BÀI TẬP MẪU

2

Bài 1. Tìm tất cả số phức z thỏa mãn z 2  z  z

Lời giải:

2
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
Giả sử z  a  bi,

 a, b   

Điều kiện bài toán tương đương với:
2

 a 2  b 2  a  bi  2b 2  a   b  2ab  i  0

m

 a  bi 

co

b  0; a  0
2b 2  a  0



1
1
a   ; b  
b  2ab  0
2
2


1 1
1 1
Vậy có ba số phức thỏa mãn bài toán là z1  0; z2    i; z3    i .
2 2
2 2

2

c.

Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  2  3i  z   4  i  z   1  3i  . Tìm phần thực và phẩn

Lời giải:
Giả sử z  a  bi,

oc
uo

ảo của số phức z.

 a, b   

Điều kiện bài toán tương đương với:

 2  3i  a  bi    4  i  a  bi    1  3i 

2

 2a  3b  3ai  2bi  4a  b  ai  4bi  8  6i

gb

6a  4b  8  0
a  2
 6a  4b  8   6  2a  2b  i  0  

6  2a  2b  0 b  5
Vậy phần thực của số phức z bằng 2, phần ảo bằng 5.

on

Bài 3. Tìm nghiệm của phương trình sau z 2  z.

Lời giải:

Giả sử phương trình có nghiệm z  a  bi thay vào phương trình ta có
2

kh

 a  bi 

 a  bi

a 2  b 2  a

2ab  b

Giải hệ này ta tìm được 4 nghiệm là

3
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
 1
3
;
 . Đó phương trình đã cho có 4 nghiệm là
2
2



1
3
z  0, z  1, z   
i
2 2

2002

 a  bi.

co

Bài 4. Tìm số cặp thứ tự  a, b  với a, b   . Thỏa mãn  a  bi 

Lời giải:

2002



 z 2002  z  z  z z

2001



1  0

z

2001

oc
uo

 z  0   a, b    0, 0  .

c.

Đặt z  a  bi suy ra z  a  bi vậy theo giả thiết ta suy ra
z 2002  z  z

2

 1  0  z  1  z 2002  z  z 2003  z.z  z  1(*)

Phương trình (*) này có 2003 nghiệm phân biệt .

Vậy có 2004 cặp thứ tự  a, b  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

gb

Bài 5. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z  x  yi thỏa mãn z 3  18  26i.

Lời giải:

3

z 3  18  26i.   x  yi   18  26i

 x 3  3x 2 yi  3 xy 2i 2  y 3i 3  18  26i

on

  x 3  3 xy 2    3 x 2 y  y 3  i  18  26i
 x 3  3 xy 2  18
 2
 26  x 3  3 xy 2   18  3x 2 y  y 3 
3
3 x y  y  26

kh

Đặt x  ty  26  t 3  3t   18  3t 2  1  t 

1
 x  3, y  1
3

 z  3i

4
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

m

 0;0  , 1, 0 ,  


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
Bài 6. Cho 2 số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1, z1  z2  3 . Tính z1  z2

Lời giải:

m

Giả sử z1  a1  b1i, z2  a2  b2i , theo giả thiết ta có

2

co

a12  b12  a2 2  b2 2  1
 2  a1a2  b1b2   1

2
2
a
a
b
b
3








 1 2
1
2
2

Lời giải:
Giả sử z  a  bi , khi đó

 a  bi 

2

oc
uo

Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn z 2  1  i  z  11i

c.

  a1  a2    b1  b2   1  z1  z2  1.

 1  i  a  bi   11i  a 2  b 2  2abi  a  b   a  b  11 i

a 2  b 2  a  b
 a  3; b  2


2ab  a  b  11  a  2; b  3

gb

Vậy có hai số phức thỏa mãn là z1  3  2i; z2  2  3i

DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BÂC HAI, BẬC CAO VỚI ẨN PHỨC

Áp dụng các bước giải phương trình bậc hai đối với số phức z lưu ý đến biến đổi deltal

on



thành số chính phương.

Đối với các phương trình bậc ba hay bậc bốn: Az 3  Bz 2  Cz  D  0



Đề bài có cho biết thêm thông tin là phương trình có một nghiệm thuẩn ảo thì ta thay

kh

z  bi vào phương trình đã cho, tìm được b ta tìm được một nghiệm của phương trình, từ

đó phân tích phương trình thành phương trình tích: được trình bày như sau:

5
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
A  0
Giả sử z  bi là một nghiệm của phương trình, biến đổi về dạng A  Bi  0  
B  0
giải hệ điều kiện này ta suy ra được b, từ đó phân tích phương trình thành:



m

 z  bi   Mz 2  Nz  P   0

Đề bài cho biết phương trình có một nghiệm thực thì ta cho biểu thức có chứa i bằng 0 và

co

không chứa i bằng không, giải hệ điều kiện này ta suy ra được nghiệm thực: được trình
bày như sau

Giả sử z  a là một nghiệm thực của phương trình khi đó phương trình trở thành

c.

A  0
f (a)  0 , biến đổi về dạng A  Bi  0  
giải hệ điều kiện này ta tìm được a, và
B  0
khi đó phân tích phương trình thành:

oc
uo

 z  a   Mz 2  Nz  P   0

Một số bài toán nâng cao hơn là giải phương trình bậc cao đối với z, khi đó các em sử dụng các
kỹ thuật như đặt ẩn phụ, nhóm thành nhân thử chung đưa về phương trình tích,…

BÀI TẬP MẪU

Lời giải:

gb

Bài 1. Giải phương trình sau : z 2  8 1  i  z  63  16i  0

2

2

on

Ta có  '  16 1  i    63  16i   1  8i  . Do đó phương trình có 2 nghiệm là

z1  4 1  i   1  8i  5  12i

kh

z2  4 1  i   1  8i   4i  3

Bài 2. Giải phương trình sau 2 1  i  z 2  4  2  i  z  5  3i  0

Lời giải:

6
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
2

z2 

22  i  4
2 1  i 
22  i  4
2 1  i 



4  i  4  i 1  i  3 5

  i
1 i
2
2 2



i 1  i 
1 1
i

  i
1 i
2

2 2

co

z1 

m

Ta có  '  4  2  i   2 1  i  5  3i   16 Vậy phương trình có 2 nghiệm là

Bài 3. Giải phương trình sau z 3  9 z 2  14 z  5  0

Lời giải:

c.

Ta có phương trình tương đương với

1
z1  , z 2  2  i, z3  2  i.
2

oc
uo

 2 z  1  z 2  4 z  5   0 . Từ đó suy ra phương có 3 nghiệm là

Bài 4. Giải phương trình 2 z 3  5 z 2  3 z  3   2 z  1 i  0 , biết phương trình có nghiệm thực.

Lời giải:

gb

Vì phương trình có nghiệm thực nên
3
2
1
2 z  5 z  3z  3  0
 z .

2
 2 z  1  0

Do đó phương trình tương đương với

on

 2 z  1  z 2  3 z  3  i   0 . Giải phương trình này ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là

kh

1
z1   , z 2  2  i, z3  1  i.
2

Bài 5. Giải phương trình z 3  1  2i  z 2  1  i  z  2i  0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo.

Lời giải:

7

Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z  bi thay vào phương trình ta có
3

2

 bi   1  2i  bi   1  i  bi  2i  0
  b  b 2    b3  2b 2  b  2  i  0

m

2
b  b  0
 3
 b  1  x  i là nghiệm của phương trình.
2
 b  2b  b  2

co

Vậy phương trình tương đương với

z  i

 z  i   z 2  1  i  z  2   0  

2
 z  1  i  z  2  0 (1)

17  4 





17  4 i



17  4  1  1 

oc
uo


i 1 

 z1 
Từ đây suy ra: 

i 1 
z 
 2

c.

 x  17  4
 xy  1
2
2


Giải (1): Ta có   1  i   8  2i  8   x  yi    2

2
 x  y  8  y   17  4

2

17  4 







17  4 i

2

2

1 





17  4 i



17  4  1 



17  4 i

2

Bài 6. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực

Lời giải:

gb

z 3   3  i  z 2  3z   m  i   0

Phương trình đã cho tương đương với

on

z 3  3 z 2  3z  m   z 2  1 i  0 . Do đó phương trình có ít nhất một nghiệm thực khi và chỉ khi.

3
2
 z  3 z  3z  m  0  z  1  z  1


.
 2
 z  1  0
m  1 m  5

kh

Vậy m  1,5 là giá trị cần tìm.

8
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
Bài 7. Tìm các giá trị thực của m để phương trình z 3  5 z 2   m  6  z  m  0 có ba nghiệm phức
2

2

2

m

phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  21

Lời giải:
Phương trình tương đương với

 z  1

co

 z  1  z 2  6 z  m   0  

2
 z  6 z  m  0 (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt z2 , z3 khác 1 và
2

2

c.

thỏa mãn z2  z3  20

Vậy m  8 là giá trị cần tìm.

oc
uo

 '  9  m  0
m  7
m  7



 1  6  m  0  m  9
 m  9
m8
 2

36  2m  20
2
2

 z2  z3  20
 z2  z3   2 z2 z3  20

Bài 8. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị của biểu thức
2

2

Lời giải:

gb

A  z1  z2 .

Giải phương trình: z 2  2 z  10  0

on

Ta có  '  9  9i 2   '  3i
2

2





Vậy z1,2  1  3i và A  z1  z2  2 12  32  20 .

kh

Bài 9. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2 z  3  0 . Tính modul của số phức
f ( z )  z17  z15  6 z14  3z 2  5 z  9 .

Lời giải:

9
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
2

z 2  2 z  3  0   z  1 

 2i 

2

 z1  1  2i

 z2  1  2i

Khi đó:

co

Do z là nghiệm của phương trình z 2  2 z  3  0 nên f ( z )  z  f ( z )  3 .

m

f ( z )  z17  z15  6 z14  3z 2  5 z  9  z15  z 2  2 z  3  2 z14  z 2  2 z  3  3  z 2  2 z  3  z

Bài 10. Tìm hai số thực b và c biết z  1  i là nghiệm của phương trình z 2  bz  c  0 . Khi đó







c.

tính modul của số phức: w  z1  2i  1 z 2  2i  1 .

Lời giải:

1  i 

2

oc
uo

z  1  i là một nghiệm của phương trình nên:

b  2  0
b  2
 b 1  i   c  0  b  c   2  b  i  0  

b  c  0
c  2

z  1 i
2
Khi đó phương trình trở thành: z 2  2 z  2  0   z  1  i 2   1
 z2  1  i







Vậy w  z1  2i  1 z 2  2i  1  1  i  2i  11  i  2i  1   2  3i  2  i 

gb

 w   2  3i  2  i   2  3i . 2  i  39 .

on

Bài 11. Tìm m để phương trình z 2  mz  3i  0 có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  8 .

Lời giải:

2

Ta có: z12  z2 2  8   z1  z2   2 z1 z2  8 , nhưng theo vi-ét ta có

kh

 z1  z 2   m
2
từ đó suy ra : m2  8  6i   3  i   m    3  i  là giá trị cần tìm.

 z1 z2  3i

Bài 12. Giải phương trình z 4  4 z 3  7 z 2  16 z  12  0 .

10
Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
Lời giải :
Nhận thấy tổng hệ số của phương trình bằng 0 nên có nghiệm z  1 , ta phân tích phương trình
thành :

co

z  1
  z  1 z  3  z 2  4   0   z  3

 z  2i

Vậy phương trình có bốn nghiệm là z  1;3; 2i; 2i .

oc
uo

Lời giải :

c.

2

Bài 13. Giải phương trình  z 2  z   4  z 2  z   12  0 .

m

z 4  4 z 3  7 z 2  16 z  12  0   z  1  z 3  3 z 2  4 z  12   0

Đặt w  z 2  z , khi đó phương trình trở thành :
 w  6
2
w 2  4 w  12  0   w  2   16  
w  2

gb

2
2

1   23 


 z    
i


z  1
2  2 


 z 2  z  6

 2
 z 1

  z  2

z  z  2
 z  2
 z   1  23 i


2
2



on


1
23 
Vậy phương trình có bốn nghiệm là z  1; 2;  
i .
2
2 

2

Bài 14. Giải phương trình  z 2  3 z  6   2 z  z 2  3 z  6   3 z 2  0 .

kh

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương với :

z

2

2

 3 z  6   2 z  z 2  3z  6   3 z 2  0   z 2  3 z  6  z  z 2  3 z  6  3z   0

11
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
 z2  2z  6  0
  z 2  2 z  6  z 2  6 z  6   0   2
 z  6z  6  0
 z  1 2  5i 2
 z  1  5i
 



 z  3  3
 z  3  3



m

 



Vậy phương trình có bốn nghiệm là z  1  5i; 3  3 .

co

Bài 15. Giải phương trình z 4  2 z 3  z 2  2 z  1  0 .
Lời giải :

được :
2

oc
uo

2 1
1
1


z 2  2z 1   2  0   z    2  z    3  0
z z
z
z




c.

Nhận thấy z  0 không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế của phương trình cho z 2 ta


1  3i
 1
 z  z  1  z 
2



3 5
z  1  3
z


z

2

 1  3i 3  5 
Vậy phương trình có bốn nghiệm là z  
;
.
2 
 2

z2
 z 1  0 .
2

gb

Bài 16. Giải phương trình z 4  z 3 

on

Lời giải :
Nhận thấy z  0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho z ta được :
2

1 1 1
1 
1 5

z  z    2  0   z    z     0
2 z z
z 
z 2

 1 1 3
2
2
z  z  2  2 i
1
1

3

  
 z      i  
z 2 2 

z  1  1  3 i

z 2 2

kh

2

1  i 

Giải các phương trình trên ta được bốn nghiệm là : z  1  i;
.
2 


12
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
3



c.

co

Lời giải :
Điều kiện : z  i .
Phương trình tương đương với :
3
2
 z i 
 z  i  z  i  z  i 
 1  
 1  0

 1 
 
iz 
 i  z    i  z  i  z 
z i
z  0
z  0
i  z  1

2

  z  i 1  2  3    z  i 1  3i
2


 z  i  z  i

 i  z  2    2 i 
1
0




2
i
z


 i  z  i  z








m

 z i 
Bài 17. Giải phương trình 
 1.
iz



oc
uo

Giải các phương trình trên ta được ba nghiệm là z  0;  3 .
3

2
 z  i  z  2iz  1

2  0.
Bài 18. Giải phương trình 

2i
 i 1 

Lời giải :
Phương trình tương đương với :

3
2
2
 z i   z i 
 z  i  z  i 
 z i  
 1  
 2


 
 20

  2  0
 i 1   i 1 
 i  1    i  1 
 i  1  

on

gb

zi
 z  1  2i
 i 1 1  0


  z  i  2 2
2
 z  i 
1  i
 z i 
 i  1 
 i  1   2  i  1   2  0




 z  1  2i
 z  1  2i

 z i
 z  i


 1 i
 z  2  i
 i 1

Vậy phương trình có ba nghiệm là z  1  2i; i; 2  i .

kh

Bài 19. Giải phương trình z 6  z 3 1  i   i  0 .

Lời giải :
Phương trình tương đương với :

13
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
 z  1  z 2  z  1  0
 z3  1  0
 z  1 z  i   0   z 3  i3  0  
2


 z  i   z  iz  1  0
3

m

z  1
 z  i


  z  1  3i
2


i 3
z 
2


c.


1  3i i  3 
Vậy phương trình có 6 nghiệm là z  1; i;
;
.
2
2 


co

3

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Tìm các số phức z  0 sao cho z 

1
là số thực
z

oc
uo

1.1.

2

1.2.

2
Tìm tất cả các số phức z sao cho z  1, z  z  1.

1.3.

Tìm các số phức z sao cho 4 z 2  8 z  8.

1.4.

Tìm tất cả các số phưc z sao cho z 3  z.

1.5.

Tìm tất cả các số phức z sao cho  z  2  z  i  là số thực.

1.6.

Tìm tất cả các số phức z sao cho z 

1.7.

 1  i 3   1  i 3 
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho 
  
  2.
2
2

 


1
.
z
n

n

on

gb

2

Cho số nguyên n  2 . Tìm số nghiệm của phương trình z n1  iz.

1.9.

Tìm các số thực a và b biết phương trình z 2  az  b  0 có một nghiệm z  1  i .

1.10.

Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thực.

kh

1.8.

z 3   3  i  z 2  3 z   3m  i   m 2  0.

1.11.

Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị của biểu
2

2

thức A  z1  z 2 .

14
Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
1.12.

Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z 2 là số thuần ảo.

1.13.

Tìm số phức z thỏa mãn z   2  i   10 và zz  25.

1.14.

Tìm số phức z , biết z 

1.15.

Cho phương trình z 2   2  i  z  3  5i  0 , không giải phương trình hãy tính modul của

m

5i 3
 1  0.
z

co

số phức w  z12  z2 2 z14  z24 .
1.16.

Tìm m để bình phương hai nghiệm của phương trình z 2  mz  6i  0 bằng 5.

1.17.

Tìm m để phương trình z 2  mz  m  1  0 có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn điều kiện:

c.

z12  z22  1  z1 z2 .

z1 z2 3  i
.
 
z2 z1
2

oc
uo

Tìm m để phương trình z 2   m  4i  z  7i  1  0 có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

1.18.

Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  1  2i  z  3  5i  0 . Tính P  z13  z2 3

1.19.

và Q 

1
1
 4.
4
z1
z2

25i
, biết z  3  4i
z
Tìm số phức z thỏa mãn z   2  3i  z  1  9i

1.17. Tìm số phức 2z  z và

gb

1.18.

1 3  z 
1.19. Giả sử z là số phức thỏa mãn z  2 z  4  0 . Tìm số phức   

 2 z 

7

2



on

1.20. Tìm số phức z thỏa mãn 2 z  i  z  z  2i và z 2  z
3



1.21. Tìm số phức z thỏa z 2  z

2

4

.





1.22. Tìm số phức z thỏa mãn z  1  5 và 17 z  z  5 z. z

kh

1.23. Cho z1 , z2 là các nghiệm của phương trình 2 z 2  3 z  5  0 . Tính giá trị biểu thức
2

A  z1  1  z2  1

2

1.24. Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2  1  3i  z  4  0 . Tính modul của số phức
2

w  z1  z2   z2  z1 

2

15
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
2

1.25. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z 2  z  z





1.26. Tính modul của số phức z, biết  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i

5i 3
1  0
z
1.29. Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z 2 là số thuần ảo

1.28. Tìm số phức z biết z 

2

1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
1.36.

co

c.

1.31.

2

oc
uo

1.30.

z 8
Tìm số phức z thỏa mãn z  z 
z
4 z  3  7i
 z  2i .
Tìm số phức z thỏa mãn

z i
2
1  i   z  2i 

2
  3i  1 .
Tìm số phức z thỏa mãn
i.z  2i
4
 i . Tính modul của số phức 1  1  i  z
Cho số phức z thỏa mãn z 
z 1
z 1
Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  z  2  2i và
là số thuần ảo
z 1
1
1
Cho z thỏa mãn z   1 . Tính z 2012  2012
z
z
2
Tìm số phức z thỏa mãn z  2 z  1  2i  1  i 

1.37. Tìm số phức z  z.z  5  i 3

1.38. Tìm số phức z thỏa mãn z  3i  1  i z và z 

9
là số thuần ảo

z

gb

z 1
2
 z
1 i
2
1.40. Tìm số z thỏa mãn z  1  z  3 và z 2  z  2
1.41.
Giải phương trình sau trên tập số phức

1.39. Tìm z thỏa mãn  z  11  i  

2

2

 9z2  0

 z  1  z  1

1.2.

9z

1.3.

z 2  2  2  i  z  7  4i  0

kh

on
1.1.

1.42.


2

2

m

1.27. Tìm số phức z thỏa mãn z   2  i   10 và z.z  25

2

 11  16  3 z  2   0

Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn bất phương trình:

1  4i  21 x  5 .

16
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác



1 i 7
 log 2 x  1
4



 x  1  2i  2 
1  log 2 
0
2 1 


1.43.

m

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan

Giải phương trình z 3   2  3i  z 2  3 1  2i  z  9i  0 biết rằng phương trình có một

1.44.

co

nghiệm thuần ảo.

Giải phương trình z 3   3  i  z 2   2  i  z  16  2i  0 biết rằng phương trình có một
nghiệm thực.
Giải phương trình z 3  2 1  i  z 2  4 1  i  z  8i  0 .

1.46.

Giải phương trình  z 2  z   z  2  z  3  10 .

1.47.

Giải phương trình z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0 .

1.48.

Giải phương trình z10   2  i  z 5  2i  0 .

1.49.

Giải phương trình z 4  5  z  1  z 2  z  1 .

1.50.

z 1 

Giải phương trình z   2 
 , biết z  3  4i là một nghiệm của phương trình.
z 7 


oc

uo

c.

1.45.

2

Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4  2 z 3  6 z 2  8 z  8  0 . Tính tổng
1
1
1
1
S 4 4 4 4.
z1 z2
z3 z4

gb

1.51.

2

1.52.

 4z  i 
 4z  i 
Giải phương trình 
  5
6  0.

 z i 
 z i 
3

1.54.

Giải phương trình z  2 z

kh

on
1.53.

 z i 
Giải phương trình 
  8i .
iz




3

3

 8i .
2

1.55.

 z i   z i  z i
Giải phương trình 
1  0 .
 
 
 zi   zi  zi

1.56.

2
 z  i  z  2iz  1

1 i  0 .
Giải phương trình 

2i
 i 1 

3

17
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan



2



zz
3 0 .
1 i

Dạng 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC

m

1.57.



3
zz 3 zz
Tìm số phức z thỏa mãn 
 

1
i
2i



Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình thông thường( Xem chuyên đề hệ phương trình)

co

vào giải hệ nghiệm phức, bài toán dạng này dễ hơn giải hệ hữu tỷ hay vô tỷ chỉ có khác là nó có
nghiệm phức.
BÀI TẬP MẪU

oc
uo

c.

 z1  z2  4  i
Bài 1. Giải hệ phương trình  2
2
 z1  z 2  5  2i

Lời giải:

 z1  z2  4  i
 z1  z2  4  i
 z1  z2  4  i


 2


2
2
 z1 z 2  5  5i
 z1  z 2  5  2i

 z1  z2   2 z1 z2  5  2i

 z  2  3i
Suy ra z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình: z 2   4  i  z  5  5i  0  
 z  2  3i

gb

Từ đó suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là  z1 ; z 2    2  3i; 2  3i  ;  2  3i; 2  3i  .

on

 z  w  zw  8
Bài 2. Giải hệ phương trình  2
2
 z  w  1

Lời giải:

Hệ phương trình tương đương với:

kh

 z  w  zw  8
 z  w =8  zw
 z  w  zw  8


 2



2
2
2
 z  w  1
 z  w   2 zw  1 8  zw   2 zw  1

18
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan

m

  z  w  5

5  3 3i
5  3 3i

;w 
z 
z
w

3


2
2


z  w  3

3  14
3  14

;w 
z 

2
2
  zw  5

co

 5  3 3i 5  3 3i   3  14 3  14 
;
;
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là  z; w   
 ; 
 .
2
2
2
2

 



Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với:

oc
uo

 z  w  3 1  i 
 z  w  3 1  i 



3
 zw  5i
 z  w   3 zw  z  w   9  1  i 

c.

 z  w  3 1  i 
Bài 3. Giải hệ phương trình  3
3
 z  w  9  1  i 

x  2  i
Suy ra z , w là nghiệm của phương trình: x 2  3 1  i  x  5i  0  
 x  1  2i
Từ đó suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là  z; w    2  i;1  2i  ; 1  2i; 2  i  .
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

 x  y  3  2i

 1 1 17 1
 x  y  26  26 i


on

1.1.

gb

Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:

x  y  1
 3
3
 x  y  2  3i

1.3.

 z1  z2  4  i
 2
2
 z1  z 2  5  2i

kh

1.2.

1.4.

 z1  z2  2i
 2
2
 z1  z 2  4 z1 z 2  0

19
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan

 

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MODUL CỦA SỐ PHỨC

m

1.5.

 z13  z25  0

4
 2
 z1 . z2  1

co

Phương pháp: Đặt z  a  bi , ta tìm được hệ điều kiện giữa a, b giải ra tìm được a và b từ đó
suy ra số phức cần tìm.

c.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

oc
uo

z  1  2i  z  2  i và z  i  5.

Lời giải:

Giả sử số phức z  a  bi , từ giả thiết ta có

2
2
2
2
 x  1   y  2  i  x  2  1  y  i
 x  1   y  2    x  2   1  y 


2
2

 x   y  1 i  5
 x   y  1  5

gb

2

x
 y  3 x
 x  1 
5
 2


2
 x   3 x  1  5  y  3  y   6

5

on

Vậy có 2 số phức thỏa mãn

Bài 2. Cho số phức: z 

kh

Tìm m để z. z 

im

,m .
1  m  m  2i 

1
2

Tìm m để z  i 

1
4

Tìm m để số phức z có modun lớn nhất.

20
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan

 i  m  1  m2  2mi 
im

1. Ta có z 
2
1  m 2  2mi
1  m2   4m2



m
1
i

2
1  m 1  m2

m
1

i
2
1  m 1  m2

z i 

1
1
1
m2  1
2
z

 
  m  1.
2
2
2

2
1  m  2

c.

Vậy z. z 

2.

1  m 



1
m
1
m
m2
1
 1




1




i



2
2
2
2
4
1 m 1 m
4
1 m 1 m
4


m2
2 2



m4
2 2

1  m  1  m 



2 2

1  m 

1

1
1
1
m2
.

 
m
2
16
15
15
1  m  16



1
 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m  0.
1  m2

gb

3. Ta có z 

m2  1

oc
uo

z

2 2

co



m(1  m 2 )   m 2  1 i

m

Lời giải:

Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn z  2  4i  5. Tìm số phức có modun lớn nhất, modun nhỏ

on

nhất.

Lời giải:

Giả sử số phức z  x  yi , khi đó theo giả thiết ta có
2

2

kh

z  2  4i  5  x  2   y  4 i  5   x  2    y  4   5

Đặt x  2  5 sin  , y  4  5cos



Vậy z  2  5 sin 

2

  4 

5cos



2

 25  4 5  sin   2 cos  

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schawars ta có

21
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan

 sin   2 cos  

2

 1  4   sin 2   cos 2   5   5  sin   2 cos   5

 5  z  3 5.

1
2
, cos 
 x  3; y  6  z  3  6i.
5
5

co

 z m ax  3 5  sin   2 cos   5  sin  

1
2
, cos  
 x  1; y  2  z  1  2i.
5
5

m

 z min  5  sin   2cos    5  sin   

c.

Bài 4. Trong các số phức thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Tìm số phức có mođun nhỏ nhất.

Lời giải:

oc
uo

Giả sử số phức z  x  yi , khi đó theo giả thiết ta có

z  2  4i  z  2i  x  2   y  4  i  x   y  2  i
2

2

2

  x  2    y  4   x 2   y  2   x  y  4  0  y  4  x.
2

Ta có: z  x 2  y 2  x 2   4  x   2 x 2  8 x  16 

 x  2

2

 8  2 2.

 z min  2 2  x  2, y  2  z  2  2i.

Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời

z 1
z  3i
 1 và
1
z i
2i

on

1.1.

gb

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.2.





Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời  z  2  z  i là số thực và A  z  2i  z  1 đạt

giá trị nhỏ nhất.

kh

1.3.

Tìm số phức z có modul bằng 1 và modul của  z  2i  3 nhỏ nhất.

1.4.

Tìm số phức z thỏa mãn z  3i  4  1 và modul của  z 2  7  24i  đạt giá trị nhỏ nhất.

1.5.

Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  1 và A  z  1  2i  z  5  4i đạt giá trị nhỏ nhất.

2

22
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
1.6.

Cho số phức z thỏa mãn z  100

1.7.

Cho

số

phức

z1 , z2

thỏa

mãn

 z1  z2  z2
 z1 , z2  0  .

 z1  z2  3 z1

4

1 1
A   z  z2     .
 z1 z2 
4

co

4
1

1


z

 1  2i
1

z2

Tìm hai số phức z1 , z2  0 thỏa mãn 
 z  1  1  3i
 2 z1 2 2

c.

1.8.

Tính

m

hai

z  2  4i
 15 . Tìm số phức z có phần thực lớn nhất.
z  3  4i

oc
uo

TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Phương pháp:

Giả sử z  x  yi , thay vào giả thiết ta tìm được một mối liên hệ giữa x và y . Từ đó suy ra hệ
tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

BÀI TẬP MẪU

z
 3.
z i

gb

Bài 1. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn

z  z  3  4i .

on

z  i  z  i  4.

Lời giải:

kh

Giả sử số phức z  x  yi
1. Ta có:

z
2
 3  z  z  i  x 2  y 2  9 x 2   y  1

zi



2

9
9

 x2   y    .
8  64


23
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam




Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan
3
 9
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn âm I  0;  , bán kính R  .
8
 8

2.

2

2

z  z  3  4i  x 2  y 2   x  3   4  y   6 x  8 y  25  0.

2

m

Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng 6 x  8 y  25  0.
2

co

3. Ta có z  i  z  i  4  x 2   y  1  x 2   y  1  4

oc
uo


 y  4
 x 2   y  1 2  16

2



  x 2   y  1  16(1)

2
2
2 x   y  1  y  4  2
2
 x  y  1(2)
 3
4

c.

 x 2   y  1 2  4


 x 2   y  1 2  16  x 2   y  1 2  8 x 2   y  12


Các điểm nằm trong đường tròn (1) và nằm trên elip (2) đều có tung độ thỏa mãn y  4 .
Vậy tập hợp những điểm M là elip ( E ) :

x2 y 2

 1.
3 4





gb

Bài 2. Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp những điểm biểu diên số phức   1  i 3 z  2 , biết
rằng số phức z thỏa mãn z  1  2.

2

on

Lời giải:

Giả sử z  a  bi  z  1  2   a  1  b 2  4 .









Khi đó   x  yi  1  i 3 z  2  1  i 3  a  bi   2

kh

 x  a  2  b 3
 x  3   a  1  b 3


 y  a 3  b
 y  3  3  a  1  b
2



Suy ra  x  3  y  3

2

 

2

 

  a  1  b 3 



2



2



3  a  1  b  4  a  1  b2  16.

24
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan





Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I 3; 3 , bán kinh R  4.


.
3

co

acgumen bằng

z2
có
z2

m

Bài 3. Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết số phức

Lời giải:

c.

Giả sử z  x  yi . Khi đó

oc
uo

z  2  x  2   yi   x  2   yi    x  2   yi 
x2  y 2  4
4y




i
2
2
2
2
2
z  2  x  2   yi
 x  2  y
 x  2  y  x  2   y 2
Số phức này có acgumen bằng
x2  y2  4

 x  2

2

y

2




, suy ra
3




i  r  cos  i sin  , r  0
3
3

 x  2  y
4y
2

2

gb

 x2  y2  4

 rcos

2

y  0
2
2
2
3
2   4 

 x  2  y

2
x
y





4y



 

 3
4y

3  3

2
2



 r sin
x  y 4
  x  2 2  y 2
3


on

4
 2 
Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm I  0;
và nằm trên trục
 ,bán kính R 
3
3

thực.

3

kh

Bài 4. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w  iz  1 , biết số phức z thỏa mãn  z  2i  1  8 .
Lời giải:

25
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam