Giải các dạng về số phức

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Tháng 2 năm 2011

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

Sáng kiến kinh nghiệm

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

0


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

PHẦN MỞ ĐẦU
I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI
Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung

co

m

“ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà. Đây là vấn đề khá
mới lạ đối với khơng ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và
tài liệu nghiên cứu khơng nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong
các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì thế, việc dạy và học
nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu. Qua q trình giảng
dạy tơi đã tích lũy một ít kinh nghiệm cho nội dung này. Trong năm học 2010 - 2011,
tơi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài
tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn tồn diện và tự tin hơn khi tiếp cận
các vấn đề liên quan đến số phức.

c.

II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý do chọn đề tài của tơi xuất phát từ những trải nghiệm sau:

on

gb

oc
uo

* Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên đa phần khi vận dụng còn
ảnh hưởng bởi tính chất của tập hợp số thực đã học từ các lớp dưới. Vì vậy thường tỏ ra
lúng túng khi đối mặt chúng trong các đề thi.
* Trong nhiều trường hợp, có thể vận dụng phương pháp“ Dùng cái phức để giải
quyết cái thực” một cách hữu hiệu.
* Nghiên cứu dạng tốn này còn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số và
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết một số dạng tốn nâng cao.
* Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu quả kiến thức tiếp thu qua các lớp tập huấn về cơng
nghệ thơng tin và bồi dưỡng thường xun, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng
máy tính cầm tay trong việc tính tốn số phức, bản thân còn ứng dụng phần mềm
Maple để chủ động biên soạn các đề bài tốn số phức phù hợp mục tiêu từng dạng bài.
Từ những suy nghĩ trên, tơi mạn phép trao đổi cùng các anh chị đồng nghiệp và các
em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học bộ mơn tốn ở trường THPT.

kh

III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy tốn ở các trường trung
học phổ thơng tham khảo và các em học sinh lớp 12 ơn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng Đại học.
• Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
* Một số dạng bài tập thường gặp về số phức.
* Ứng dụng số phức tìm để giải quyết một số bài tốn về số thực.
* Các bài tốn tham khảo qua các kì thi.
* Minh họa một số đề bài tốn được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple.
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu:

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

1


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

* Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp
giải một số dạng bài tập về số phức.
* Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
* Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thơng.
* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chun Bến Tre và của Cơng
Đồn ngành Giáo dục phát động.

gb

oc
uo

c.

co

m

V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
* SKKN này đã hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý
khi nghiên cứu chương số phức.
* Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng tốn về
số phức và các kỹ thuật tính tốn đại số.Cụ thể là:
+ Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài tốn định tính.
+ Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức.
+ Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.
+ Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai.
+ Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức.
+ Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức.
* SKKN này còn khai thác ý nghĩa hình học về các phép tốn cộng, trừ của số phức
và ứng dụng dạng lượng giác của số phức.
* SKKN này đưa ra nhiều bài tốn mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp
học sinh rèn luyện kỹ năng tính tốn và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài.
* Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể
sáng tạo giải quyết các bài tốn nâng cao và tổng hợp khác.
* Đặc biệt, điểm mới cần lưu ý trong SKKN này là bản thân đã khai thác ứng dụng
phần mềm Maple trong việc sáng tác các bài tốn và kiểm tra kết quả theo mục tiêu bài
học.

PHẦN NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

on

Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:

* Các kiến thức cơ bản về số phức.

* Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

kh

* Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay.

* Một số lệnh cơ bản của Maple.

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm tốn số
của học sinh là u cầu giải quyết trên tập số thực. Riêng năm học lớp 12 học sinh
được tiếp cận với tập số phức với thời lượng nhất định để nghiên cứu các dạng tốn
liên quan. Vì thế, nếu khơng có sự hướng dẫn đầy đủ và cụ thể của giáo viên thì học
sinh thường có sự nhầm lẫn trong tính tốn và khơng nắm vững phương pháp giải từng

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

dạng bài. Đồng thời, học sinh cũng khơng cảm nhận hết“ cái đẹp” của số phức cũng
như khơng thấy rõ mối liên quan giữa các kiến thức tốn học.
Do vậy, việc giải các bài tốn liên quan đến số phức đòi hỏi có sự kết hợp khéo léo
và vận dụng linh hoạt, sáng tạo giữa các kiến thức tốn. Sau đây, tơi xin giới thiệu một
số phương pháp thường dùng để giải các dạng tốn nói trên.

co

m

III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1) TĨM TẮT GIÁO KHOA
Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần
lưu ý khi nghiên cứu chương số phức.
Phần 1: SỐ PHỨC

i Đònh nghóa 1:
Mỗi số phưcù là một biểu thức dạng a + bi với

và i 2 = −1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.

c.

a, b ∈

i được gọi là đơn vò ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo

oc
uo

của số phức z = a + bi.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là .

⎧a = a′
i Đònh nghóa 2: a + bi = a′ + b′i ⇔ ⎨
, Suy ra a + bi = 0 ⇔ a = b = 0.
′
b
=
b
⎩
Chú ý: Đây là cơ sở của việc ứng dụng số phức để giải quyết các bài toán trong

gb

tập hợp số thực.
∗Ví dụ: Sau khi học xong công thức Moivre(Moa- vrơ), có thể tính được

cos nϕ, sin nϕ như sau:

iVới n = 3, xét z = cos3ϕ + i sin3ϕ

(1).

Ta có z = (cosϕ + i sin ϕ)3 ⇒ z = (cos3ϕ − 3cos ϕ.sin 2 ϕ) + i(3cos2ϕ.sin ϕ − sin3 ϕ); (2)

kh

on

3
⎪⎧icos3ϕ = 4cos ϕ − 3cos ϕ.
Từ (1) và (2) ta được: ⎨
3
⎪⎩isin3ϕ = 3sin ϕ − 4sin ϕ.
∗Chú ý: Trong không có quan hệ thứ tự, nghóa là không có khái niệm z > z′, z < z′,
z ≥ z′, z ≤ z′.
∗Biểu diễn hình học của số phức:

iỨng với mỗi số z = a + bi có duy nhất một điểm M (a; b)/ mp Oxy và ngược lại.
Kí hiệu: M (a + bi) hay M ( z).

iCác điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực; Các điểm trên trục tung Oy
biểu diễn các số ảo.

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

∗ Ý nghóa hình học của các phép toán cộng, trừ số phức:
Cho z = a + bi có vectơ biểu diễn là u(a; b)

m

z′ = a′ + b′i có vectơ biểu diễn là u′(a′; b′)
⎧⎪u + u′ biểu diễn cho z + z′.
Khi đó : ⎨
⎪⎩u − u′ biểu diễn cho z - z′.
∗Đònh nghóa phép nhân số phức:

co

Tích của hai số phức z = a + bi và z′ = a′ + b′i
là số phức zz′ = aa′ - bb′ + (ab′ + a′b)i.
* Chú ý :

"Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách hình thức

oc
uo

∗Khái niệm số phức liên hợp và môđun số phức.
∗Phép chia số phức:

c.

tương tự như các phép toán cộng, trư,ø nhân trên tập số thực "

iSố phức liên hợp của z = a + bi là z = a - bi.
iMun
â
của số phức z là z = a 2 + b2 .
iPhép chia cho số phức khác không:

Số nghòch đảo của số phức z khác 0 là số
Đònh nghóa:

1

z

2

z.

gb

z−1 =

z′
của phép chia số phức z′ cho số phức z ≠ 0 là tích của z′ với số phức
z
z′
nghòch đảo của z, tức là = z′.z−1.
z

on

Thương

kh

Vậy: Nếu z ≠ 0 thì

z′ z′z
= 2.
z
z

SƠ ĐỒ TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM PHÉP CHIA SỐ PHỨC

⎫
∗ z = a + bi ⇒ z = a - bi ⎪
⎪
z′
z′z
2
2⎪
∗ z = a + bi ⇒ z = a + b ⎬ ⇒ = z′.z−1 = 2 ;( z ≠ 0)
z
z
⎪
1
−1
∗Cho z ≠ 0 ⇒ z = 2 z ⎪
⎪⎭
z

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

4


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

z′
ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu số với z.
z
Phần 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
∗ Đònh nghóa: " Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z2 = w "
∗ Chú ý: Trong thực hành, để tính

Mỗi số phức z ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)
∗Chú ý: Không được dùng kí hiệu

m

∗ Có thể chứng minh được kết quả sau:
để chỉ căn bậc hai của một số phức

co

( không được viết a + bi )
∗ Chú ý phương pháp tìm căn bậc hai của số phức w = a + bi :
iGiả sử z = x + yi là căn bậc hai của w.

⎧ x2 − y2 = a
iGiải hệ phương trình: ⎨
(∗)
=
xy
b
2
⎩

c.

Vậy ta có: z2 = w ⇔ ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi = a + bi

oc
uo

Vậy việc tìm căn bậc hai của số phức w được quy về việc giải hpt (∗) bằng phương
pháp thế trong tập hợp số thực.

TĨM TẮT CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

∗ Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.

∗ Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0).
bậc hai là

gb

Đặc biệt, số thực a dương có hai căn bậc hai là a và - a ; số thực a âm có hai căn
−ai và - −ai.

kh

on

∗ Phương trình bậc hai:

Az2 + Bz + C = 0; A ≠ 0

(1)

Xét biệt thức Δ = B 2 − 4 AC.

∗Nếu Δ ≠ 0 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt:
−B + δ
−B − δ
z1 =
, z2 =
2A
2A
trong đó δ là một căn bậc hai của Δ.
∗Δ = 0 thì pt (1) có nghiệm kép:
B
z1 = z2 = −
.
2A

*Chú ý : HS sử dụng MTCT để kiểm tra nghiệm pt bậc bậc hai trong tập số phức.
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

∗Đònh nghóa dạng lượng giác của số phức:
Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ) với r > 0.
iBước 1:Tìm r = a2 + b2 (mun của số phức).
sao cho cosϕ =

oc
uo

Nếu z = r (cos ϕ + i sin ϕ),
z′ = r′(cos ϕ′ + i sin ϕ′) (r ≥ 0, r′ ≥ 0),
thì zz′ = rr′[cos(ϕ + ϕ′) + i sin(ϕ + ϕ′)],
z′ r′
= [cos(ϕ′ − ϕ) + i sin(ϕ′ − ϕ)](khi r > 0)

z r

c.

∗Đònh lý nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

a
b
; sinϕ = .
r
r

co

iBước 2:Tìm ϕ (là một acgumen của z); ϕ∈

m

∗PP tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi (a; b ∈ ) khác 0 cho trước:

Ghi nhớ:

Nhân: tích môđun và tổng acgumen.

Chia: thương môđun và hiệu acgumen.
∗Công thức Moa-vrơ:

∗

gb

i [r (cos ϕ + i sin ϕ)]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ); n ∈
i Đặc biệt khi r = 1:

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ

on

∗Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ), r > 0 có hai căn bậc hai là:
ϕ
ϕ
+ isin ) và
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⎛
⎞
− r (cos + isin ) = r ⎜ cos( +π) + isin( + π) ⎟ .
2
2
2
2
⎝
⎠
*Chú ý : Có thể kết hợp công thức khai triển nhò thức Niu- tơn và công thức Moa-vrơ

kh

r (cos

để tính tổng.

2) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

6


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết:
2

(CĐ A,B,D - 2009)

iTa có:(1 + i ) .( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i)z

c.

2

co

(1 + i ) .( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i)z

m

Trên đây là những điểm trọng tâm và những điều cần lưu ý của nội dung kiến
thức làm cơ sở nghiên cứu SKKN. Qua đó, ta có thể phân loại các dạng bài tập vận
dụng như sau:
Dạng 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH
u cầu cần đạt:
- Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính tốn.
- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
Một số bài tốn minh họa

oc
uo

2
⇔ ⎡(1 + i ) .( 2 − i ) − (1 + 2i)⎤ z = 8 + i
⎣
⎦
⇔ ⎡⎣2i.( 2 − i ) − 1 − 2i ⎤⎦ z = 8 + i

8 + i ( 8 + i ) .(1 − 2i )
=
= 2 − 3i.
2i + 1

5
iVậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.
⇔z=

gb

1/ Cho số phức z thỏa điều kiện:( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = −(1 + 3i)2
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. (CĐ-A,B,D-2010)

on

2/ Tìm phần ảo của số phức z biết:

kh

z=

(

2 +i

) (1 − 2i ).
2

(ĐH-A-2010)

3/ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết:
5 + 5i
20
z=

+
.
3 − 4i 4 + 3i
(KT giữa HKI 2010-2011-chuyên BT)

(1- 3i ) .Tìm môđun của số phức z + iz
Cho số phức z thỏa: z =
3

1− i
(ĐH -A- 2010)

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

7


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Tháng 2 năm 2011

co

m

Sáng kiến kinh nghiệm

Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số thuần ảo.

gb

oc
uo

c.

(ĐH -D- 2010)

on

Trong một số trường hợp, thực chất u cầu của bài tốn là thực hiện các phép
tính trên tập số phức. Chẳng hạn

∗ Giải các phương trình sau:
1)

2+i
−1 + 3i
z=
.
1− i
2−i
(KT giữa HKI 2010-2011-ch BT)

( 2-i ) z − 4 = 0.

2)

kh

3) z − 2 z = 3 − 4i.

⎧ z − 12 5
⎪ z − 8i = 3
⎪
∗ Tìm số phức z thỏa: ⎨
(Giữa HKI 2010-2011-ch BT)
z
4
−
⎪
=1
⎪⎩ z + 8
∗ Tính tổng:

(

) (

) (
2

)

3

(

S = 1 + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i +...+ 1 − 3i

)

2009

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

8


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Dạng 2: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
u cầu bài tốn thường cho dưới dạng:
1) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức)
2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa một hoặc vài điều kiện cho trước.

m

Một số bài tốn minh họa

Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các
4i

2 + 6i
; (1 − i ) . (1 + 2i ) ;
.
i −1
3−i
1) Chứng minh tam giác ABC vuông cân.

co

số phức

oc
uo

4i
= 2 − 2i ⇒ A(2; −2)
i −1
(1 − i ) .(1 + 2i ) = 3 + i ⇒ B(3;1)

1) Ta có:

c.

2) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vuông.

2 + 6i
= 2i ⇒ C (0;2)
3−i
Từ đó: BC = 10; BA = 10 và BC.BA = 0.

gb

⎧ BC = BA
⇒⎨
⎩ BC ⊥ BA
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
2) Từ kq câu 1) ta có:

on

ABCD là hình vuông khi ABCD là hình bình hành
⇔ CD = BA

kh

⎧ x = −1
⎧ x = −1
⇔⎨ D
⇔⎨ D
⎩ yD − 2 = −3 ⎩ yD = −1
Vậy số phức cần tìm là z = −1 − i.

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa
một trong các điều kiện sau:

1) z + 2 = i − z .
2) z − 4 + z + 4 = 10.
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

9


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

1) iGọi M biểu diễn số phức z = x + yi; x , y ∈ .

⇔

( x + 2)

2

+ y 2 = x 2 + ( y − 1) ⇔ 4 x + 2 y + 3 = 0
2

m

iTa có z + 2 = i − z ⇔ ( x + 2 ) + yi = x + ( y − 1) i
(d )

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z,

oc
uo

điểm A biểu diễn số − 2,

(1)

c.

1) iTa có z + 2 = i − z ⇔ z − (−2) = z − i

co

iVậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d )

điểm B biểu diễn số phức i
( nghóa là M ( x; y ), A(−2;0), B(0;1)
Khi đó (1) ⇔ MA = MB

gb

iVậy tập hợp điểm M cần tìm là
đường trung trực (d ) của đoạn AB,
với (d ) : 4 x + 2 y + 3 = 0.

2) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa:

kh

on

z − 4 + z + 4 = 10. (Thi thử ĐH -D- ch BT-2010)

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

10


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức
biểu diễn số phức z thỏa: z − i = (1 + i ) z .

oc
uo

c.

co

m

(ĐH-B-2010)

Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa:
2. z − i = z − z + 2i

Kết quả:

on

gb

x2
Tập hợp các điểm M cần tìm là parabol (P ) : y = .
4

Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

kh

u cầu bài tốn thường cho dưới dạng:
1) Tìm căn bậc hai của số thực âm, căn bậc hai của số phức.
2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức.
Một số bài tốn minh họa

Giải phương trình sau trên tập số phức:

(1 − i ) z2 − 2 (1 + 2i ) z − 4 = 0.
KQ: Pt có hai nghiệm z = 2i và z = −1 + i.
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

11

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Giải phương trình sau trên tập số phức:
1) z2 + ( 3 − 2i ) z + 5 − 5i = 0
KQ: z = −1 + 3i và z = −2 − i

m

2) z2 − 8 (1 − i ) z + 63 − 16i = 0
3) z2 − ( 3 + i ) z + 1 = 0;
KQ: z =

c.

3 − 2 + 13 1 − −2 + 13
+
i
2
2

oc
uo

và z =

3 + 2 + 13 1 + −2 + 13

i
+
2
2

co

KQ: z = 5 − 2i và z = 3 + 4i

Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét pt bậc hai
trên tập số phức. Chẳng hạn:

Giải phương trình sau trên tập số phức:

gb

( 2 − 3i ) z2 + ( 4i − 3) z + 1 − i = 0.

Ta có: ( 2 − 3i ) + ( 4i − 3) + 1 − i = 0.

on

Vậy pt có hai nghiệm z = 1 và z =

1− i
5 1
= + i.
2 − 3i 13 13

Dạng 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

kh

Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:
- Phương trình có ẩn ở mẫu
- Phương trình bậc cao.
Một số bài tốn minh họa

Giải phương trình trên tập số phức:
4 z − 3 − 7i
= z − 2i. (CĐ-A,B-2009)
z−i
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

12


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

i Điều kiện: z ≠ i
4 z − 3 − 7i
= z − 2i ⇔ 4 z − 3 − 7i = ( z − i ) .( z − 2i )
z−i
⇔ z2 − ( 3i + 4 ) z + 1 + 7i = 0

(1)

i

iΔ = ( 3i + 4 ) − 4 (1 + 7i ) = 3 − 4i

c.

⎡⎧ x = 2
⎢⎨
⎧ x 2 − y 2 = 3 ⎢ ⎩ y = −1
⇔
⎨
⎢ ⎧ x = −2
=
−
xy
2
4
⎩
⎢⎨
⎢⎣ ⎩ y = 1

co

Gọi δ = x + yi (x , y ∈ ) là một căn bậc hai của Δ.
Ta có hệ phương trình:

m

2

oc
uo

⎡z = 3 + i
(1) ⇔ ⎢
( thỏa điều kiện )
=
+
z
1
2
i
⎣
iVậy pt (1) có hai nghiệm: z = 3 + i và z = 1 + 2i.

Phương trình trên thuộc dạng có ẩn dưới mẫu, khi giải phải chú ý đặt điều kiện
cho mẫu thức rồi sau đó biến đổi phương trình quy về bậc hai.

(z

2

gb

Giải phương trình trên tập số phức:
+ z ) + 4 ( z2 + z ) − 12 = 0.
2

on

i Đặt t = z2 + z, phương trình trở thành:

kh

⎡t = −6
t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ ⎢
⎣t = 2
iPhương trình đã cho tương đương với
⎡
−1 − 23i
⎢z =
2
⎢
2
⎡z + z + 6 = 0
⎢
−1 + 23i
⇔ ⎢z =
⎢ 2
2
⎣z + z − 2 = 0
⎢
⎢z = 1
⎢ z = −2
⎣

iVậy phương trình đã cho có bốn nghiệm trên.
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

z2
+ z + 1 = 0 (1)
2

c.

SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC GIẢI

co

Cho pt: z4 − z3 +

m

Để giải phương trình bậc bốn trên, ta có thể đặt ẩn phụ quy về phương trình
bậc hai. Trong nhiều trường hợp, có thể dùng phương pháp giải phương trình đối
xứng hoặc tựa đối xứng như trong tập số thực. Bài tập sau đây minh họa cho trường
hợp nói trên.

1)Vì z = 0 không là nghiệm phương trình,
nên pt đã cho tương đương:
1 1 1
z2 − z + + + 2 = 0
2 z z

oc
uo

1
2)Đặt t = z − ,(1) trở thành:
z
⎡ 1 + 3i
⎢t = 2
5
2
⇔t −t+ =0⇔ ⎢
2
⎢t = 1 − 3i
⎢⎣
2

2

gb

1⎞ ⎛ 1⎞ 5
⎛
⇔ ⎜z− ⎟ −⎜z− ⎟+ = 0

z⎠ ⎝
z⎠ 2
⎝

1 − 3i
1 1 − 3i
4)Với t =
, ta có z − =
2
2
z
2
⇔ 2 z − (1 − 3i ) z − 2 = 0

1 + 3i
1 1 + 3i
, ta có z − =
2
2
z
(2)
⇔ 2 z2 − (1 + 3i ) z − 2 = 0

3)Với t =

⎡ 1 + 3i + 3 + i
=1+ i
⎢z =
4
Δ = 8 + 6i,(2) ⇔ ⎢

⎢ z = 1 + 3i − 3 − i = − 1 + 1 i
⎢⎣
4
2 2

kh

on

⎡z = 1 − i
⇔⎢
1 1
⎢z = − − i
2 2
⎣
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm trên.

(1)

Dạng 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

u cầu bài tốn thường cho dưới dạng:
1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và ngược lại.
2) Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác.
3) Bài tốn ứng dụng cơng thức Moa-vrơ.
Một số bài tốn minh họa
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

14


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

(

)

⎡ ⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎤
a) iTa có 1 − i 3 = 2 ⎢ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ ;
⎝ 3 ⎠⎦
⎣ ⎝ 3⎠
π
π⎞
⎛
1 + i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟
4
4⎠
⎝

m

a) z = 1 − i 3 (1 + i ) ; b) w = sin ϕ + i cos ϕ.

⎡ ⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎤
iVậy 1 − i 3 .(1 + i ) = 2 2 ⎢ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ .
⎝ 12 ⎠ ⎦
⎣ ⎝ 12 ⎠
b) z = sin ϕ + i cos ϕ
⎛π
⎞
⎛π
⎞
= cos ⎜ − ϕ ⎟ + i sin ⎜ − ϕ ⎟ .
⎝2
⎠
⎝2
⎠

co

)

c.

(

oc
uo

Để giải được dạng bài tập trên, ngồi việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác

của số phức, học sinh còn phải biết vận dụng cơng thức giá trị lượng giác của các góc
(cung) có mối liên quan đặc biệt.

Tìm một acgumen của số phức sau:

π⎞
⎛
z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ ⎜ 0 < ϕ < ⎟
2⎠
⎝

kh

on

gb

π⎞
⎛
Ta có: z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ; ⎜ 0 < ϕ < ⎟
2⎠
⎝
⎛π
⎞
⎛π
⎞
= 1 − cos ⎜ − ϕ ⎟ + i sin ⎜ − ϕ ⎟
⎝2
⎠
⎝2

⎠

⎛ π ϕ⎞
⎛π ϕ⎞
⎛π ϕ⎞
= 2sin 2 ⎜ − ⎟ + i.2sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟
⎝4 2⎠
⎝4 2⎠
⎝4 2⎠
⎛ π ϕ ⎞⎡ ⎛ π ϕ ⎞
⎛ π ϕ ⎞⎤
= 2sin ⎜ − ⎟ ⎢sin ⎜ − ⎟ + i cos ⎜ − ⎟ ⎥
⎝ 4 2 ⎠⎣ ⎝ 4 2 ⎠
⎝ 4 2 ⎠⎦

⎛ π ϕ ⎞⎡ ⎛ π ϕ ⎞
⎛ π ϕ ⎞⎤
= 2sin ⎜ − ⎟ ⎢ cos ⎜ + ⎟ + i sin ⎜ + ⎟ ⎥ . (1)
⎝ 4 2 ⎠⎣ ⎝ 4 2 ⎠
⎝ 4 2 ⎠⎦
π
ϕ π
π ϕ π
⎛ π ϕ⎞
Do 0 < ϕ < nên 0 < < ⇒ 0 < − < ⇒ 2sin ⎜ − ⎟ > 0.
2
2 4
4 2 2
⎝4 2⎠
Vậy (1) chính là dạng lượng giác của số phức trên.

Vì thế

π ϕ
− chính là một acgumen của số phức z.
4 2

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

15


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Tìm phần thực và phần ảo của số phức
1
1
w = z2008 + 2008 , nếu z + = 1.
z
z

c.

co

Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z
Bước 2: Áp dụng cơng thức Moa-vrơ để tìm w
Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w.
( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.)

m

Thực chất bài tập trên là u cầu viết dạng lượng giác của số phức. Bài tập sau
đây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn.

oc
uo

Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự. Khi đó
có thể vận dụng cơng thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính tốn.
Dạng 6: NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC
u cầu bài tốn thường cho dưới dạng:
1) Tính tổng.
2) Chứng minh đẳng thức phụ thuộc số tự nhiên.
Bài tốn minh họa

gb

Với mọi số nguyên dương n, hãy chứng minh hệ thức sau:

(1 − C

2
n

+ Cn4 ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 ...) = 2 n.
2

2

on

Xét số phức z = 1 + i. Theo công thức khai triển nhò thức Niu- tơn ta có:
n

z = (1 + i ) = ∑ Cnk i k = (1 − Cn2 + Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) i.
n

n

kh

⇒ zn =

(1 − C

2
n

k =0

+ Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) .
2

2

n

Mặt khác: z n = z . Suy ra:

(1 − C

2
n

+ Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) = 2 n (đpcm).
2

2

0
2
4
2004
2006
2008
Tính tổng: S = C2010
− C2010
+ C2010
− ... + C2010
− C2010
+ C2010

Khai triển nhò thức Niu-tơn (1 + i)2010
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

16


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn
số phức z thỏa: z − (3 − 4i) = 2. (ĐH-D-2009)
KQ: Đường tròn ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4.
2

co

2

m

Tìm số phức z biết: z2 + z = 0; KQ: z = 0, z = i và z = −i.

a) Cho số phức z thỏa: z − (2 + i) = 10 và z.z = 25. Hãy tìm z.
KQ: z = 3 + 4i và z = 5.
b) Gpt: z3 + 8 = 0.

oc

uo

KQ: z = −2; z = 1 − 3 và z = 1 + 3.

c.

( ĐH-B-2009)

Giải các hpt sau trên tập số phức:

⎧ z1 + z2 = 4 + i
1) ⎨ 2 2
⎩ z1 + z2 = 5 − 2i
KQ: ( z1; z2 ) = ( 3 − i;1 + 2i ) và ( z1; z2 ) = (1 + 2i;3)

gb

⎧ z + w = 3(1 + i)
2) ⎨ 3
3
⎩ z + w = 9(−1 + i)
KQ: ( z; w ) = ( 2 + i;1 + 2i ) và ( z; w ) = (1 + 2i; 2 + i )

on

Cho ba điểm M1 , M2 , M3 tương ứng với các số phức z1 , z2 , z3 .

kh

Chứng minh rằng nếu M1, M2 , M3 thẳng hàng thì tỉ số

z2 − z1
z3 − z2

là một số thực.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có các hệ thức:
nπ
⎧ 0
2
2 4
3 6
n
−
+
−
=
C
C
C
C
3
3
3
...
2
cos
n
n
n

n
⎪⎪
3
⎨
n
⎪C1 − 3C 3 + 32 C 5 − ... = 2 sin nπ .
n
n
⎪⎩ n
3
3

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

17


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

m

3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TỐN VỀ
SỐ PHỨC
Khi ra đề kiểm tra về số phức cho học sinh, để tránh phải tính tốn nặng nề, giáo

viên thường trích từ những tài liệu tham khảo có sẵn đáp số hoặc lời giải. Vì thế các
dạng bài tập dễ bị trùng lắp và số lượng bài cũng hữu hạn. Còn nếu tự sáng tác đề bài
một cách ngẫu nhiên thì sau đó phải gia cơng tính tốn nặng nề và tốn rất nhiều thời
gian. Phần mềm Maple chính là cơng cụ hữu hiệu giúp giáo viên giải quyết vấn đề một
cách sáng tạo và khoa học. Nhờ đó, GV ra đề bài tập theo chủ ý và nhanh chóng kiểm
tra kết quả. Do khn khổ bài viết có hạn nên tơi xin minh họa qua ba dạng bài tập sau:

(1 + i ) .( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i)z
2

c.

co

a) Dạng : Các phép tính về số phức
Dùng các lệnh: expand (khai triển), solve (giải pt), conjugate (số phức liên
hợp), abs ( mơđun số phức), Re ( phần thực), Im (phần ảo),...
Ví dụ 1:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết:

(CĐ A,B,D - 2009)

oc
uo

• Ta có thể thực hiện lệnh khai triển như sau:

• Sau đó dùng lệnh giải phương trình:

gb

• Hoặc thay cả hai lệnh trên bởi lệnh:

• Từ đó dễ dàng kiểm tra phần thực và phần ảo của z.

kh

on

Chú ý:
Học sinh có thể dùng MTCT để tính ở bước cuối rồi kết luận ( tr 7). Với cú pháp
trên, GV nhanh chóng tìm được đáp số. Ngồi ra có thể thay bởi số khác thì có ngay
một đề mới và đáp số tương ứng.
Ví dụ 2:
3/ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết:

z=

5 + 5i
20
+
.
3 − 4i 4 + 3i

(KT giữa HKI 2010-2011-chuyên BT)

• Tương tự VD1 hoặc dùng lệnh gán:

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

18


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Ví dụ 3:

Cho số phức z thỏa: z =

(

1- 3i

) .Tìm môđun của số phức z + iz
3

1− i
(ĐH -A- 2010)

c.

co

m

• Ta có thể thực hiện lần lượt các lệnh sau:

oc
uo

• Hoặc để kiểm tra kết quả, ta dùng lệnh gộp sau:

on

Ví dụ 4:

gb

Chú ý: Có thể tìm phần thực, phần ảo bằng lệnh:

∗ Tính tổng:

(

) (

) (
2

) (
3

) (
4

) (
5

S = 1 + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i

)

6

kh

• Học sinh dùng cơng thức tính tổng CSN, GV kiểm tra KQ bằng lệnh:

Chú ý: Có thể dùng phím tính tổng trong Maple.
b) Dạng : Phương trình và hệ phương trình
• Dùng Maple, GV dễ dàng kiểm tra nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức hoặc hệ
phương trình bằng lệnh solve như sau:
Ví dụ 5:

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

19


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Giải phương trình sau trên tập số phức:

(1 − i ) z2 − 2 (1 + 2i ) z − 4 = 0.
Ví dụ 6:

Giải phương trình trên tập số phức:

(z

2

+ z ) + 4 ( z2 + z ) − 12 = 0.
2

4 z − 3 − 7i
= z − 2i. (CĐ-A,B-2009)
z−i
z2
Cho pt: z − z + + z + 1 = 0 (1)
2
4

3

Ví dụ 7:

gb

oc
uo

c.

• Tương tự VD5:

co

( 2 − 3i ) z2 + ( 4i − 3) z + 1 − i = 0.

m

Giải phương trình sau trên tập số phức: Giải phương trình trên tập số phức:

Giải hpt sau trên tập số phức:

kh

on

⎧ z + w = 3(1 + i)
⎨ 3
3
⎩ z + w = 9(−1 + i)
• Dùng lệnh solve như sau:

Chú ý: Trong các bài tốn trên, nếu thay đổi số liệu ta dễ dàng có đề bài và
đáp số tương ứng. Ngồi ra, có thể dùng lệnh expand để lập phương trình bậc

hai nếu biết hai nghiệm (có thể phức) của nó. Chẳng hạn thực hiện các bước:
- Lập pt bậc hai biết hai nghiệm là 1+2i và 3-4i:

- Thu gọn pt bằng lệnh sort(collect(...,z));
GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

20


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

oc
uo

c.

co

m

c) Dạng : Khai triển hàm lượng giác
Ví dụ 8: Biểu diễn sin6x và cos6x lần lượt theo sinx và cosx.

gb

Nhận xét:
Ví dụ trên minh họa cho việc ứng dụng Maple để chứng minh cơng thức
dạng biểu diễn lần lượt sinnx, cosnx theo sinx, cosx. Đồng thời thể hiện quan
điểm “Dùng cái phức để giải quyết cái thực” trong tốn học.

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

kh

on

Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp một số dạng bài tập về số
phức như trên, tơi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết để giải
quyết thành cơng dạng tốn này. SKKN đã mang lại kết quả đáng khích lệ: Qua thực tế
bài kiểm tra và bài thi của học sinh khối 12 và lớp 11 chun tốn, có khoảng 85% học
sinh cho lời giải khá tốt. Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ
năng vận dụng phương pháp giải các dạng tốn nói trên. Từ đó, học sinh chủ động sáng
tạo hơn trong việc học tốn và thêm u thích bộ mơn.

Việc ứng dụng phần mềm Maple để sáng tác đề và kiểm tra kết quả các bài tập về số
phức thật sự đã mang lại hiệu quả đáng kể. Nhờ đấy, GV có trong tay một lượng bài tập
phong phú với mức độ khac nhau hay tương đồng giúp cho HS có nhiều cơ hội rèn
luyện kỹ năng tính tốn và phát triển tư duy. Đồng thời, GV có thể tổ chức cho HS
kiểm tra nhiều mã đề khác nhau cùng một lúc với chất lượng đề tương đương. Như thế
đảm bảo việc đánh giá khả năng tiếp thu của HS một cách khách quan và cơng bằng.

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

21


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

PHẦN KẾT LUẬN
I. BÀI HỌC KINH NGHIỆM

co

m

Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm trong
cơng tác chun mơn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về
số phức, giáo viên cần phải có sự gia cơng hệ thống các kiến thức trọng tâm và phương
pháp giải một số dạng bài về số phức. Đồng thời, giáo viên phải chuẩn bị hệ thống bài
tập đa dạng minh họa cho từng dạng bài nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple. Đặc biệt,
giáo viên phải là người tạo động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đặt
ra. Sau cùng, giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em về
việc vận dụng các phương pháp này.
II. Ý NGHĨA CỦA SKKN

c.

Sáng kiến kinh nghiệm trên đã giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học sinh

một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập về số phức. Đồng thời, SKKN
này còn giúp cho học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kĩ năng giải tốn. Từ đó học
sinh có cái nhìn tồn diện và tự tin hơn khi tiếp cận dạng tốn này.

oc
uo

III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI
SKKN này đã được trình bày theo chun đề và thiết kế dưới dạng giáo án điện tử
dùng giảng dạy cho các em học sinh lớp 11 chun tốn và khối 12 ơn thi Tốt nghiệp,
Cao đẳng – Đại học. Được học chun đề này, học sinh sẽ dễ dàng có sự lựa chọn
phương pháp thích hợp và vận dụng sáng tạo cho mỗi bài tốn. Chun đề “Kinh
nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức” có thể dùng
làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy tốn THPT bổ sung kinh nghiệm ra đề và
giảng dạy dạng tốn này.

gb

IV. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT

Thành phố Bến Tre, ngày 25 tháng 2 năm 2011.
Người viết

kh

on

Qua việc trình bày nội dung chun đề trên, chúng tơi thật sự muốn chia sẻ với q
anh chị đồng nghiệp cùng các em học sinh một vài kinh nghiệm mà bản thân đã góp
nhặt trong q trình giảng dạy. Rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý cho chun đề

từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh. Hy vọng SKKN này sẽ góp phần nâng
cao chất lượng dạy và học tốn ở trường THPT.

Dương Thị Xn An

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

22


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Sáng kiến kinh nghiệm

Tháng 2 năm 2011

Phần mở đầu

Trang 1

Phần nội dung

m

MỤC LỤC

co

2

2) Một số dạng bài tập về số phức

6
17

oc
uo

Bài tập củng cố

3

c.

1) Tóm tắt giáo khoa

3) Minh họa ứng dụng Maple biên soạn các đề tốn về số phức 18
22

gb

Phần kết luận

kh

on

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách giáo khoa lớp 12 chương trình nâng cao
2) Các tài liệu tập huấn ứng dụng CNTT trong dạy học và tài liệu
BDTX
3) Các phương pháp cơ bản tính ngun hàm, tích phân và số
phức ( Tác giả: Phan Huy Khải)

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trang

23