skkn phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức và một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức

Sáng kiến kinh nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM
*********
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ
PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI
GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
”
Môn: Toán
Tên tác giả: Bùi Thị Hải
Giáo viên môn: Toán
Năm học 2011 - 2012
PHẦN MỞ ĐẦU
1
Sáng kiến kinh nghiệm

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung
“số phức” vào chương trình phổ thông. Đây là một nội dung mới đối với học
sinh bậc phổ thông, mặc dù nội dung còn ở mức độ đơn giản song nó là mới lạ
đối với học sinh lớp 12, đặc biệt nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượng
không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nội
dung này đã được đưa và hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học trong
những năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệ nhất định. Vì vậy việc dạy và học “Số
phức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu. Trải qua hai năm tham
gia dạy chương trình toán lớp 12, tôi đã có những trải nghiệm nhất định về việc
dạy và việc học của học sinh tôi thấy:
+ Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận

dụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ
ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em còn nhầm tưởng
tính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức.
+ Nghiên cứu dạng toán này còn giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số và
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số dạng toán nâng cao trong
hình học, trong lượng giác.
Từ lí do trên mà tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh sáng
kiến kinh nghiệm với đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI
TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI
TẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số
phức của lớp 12.
II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
* Đề tài có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở trường THPT
tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Cao đẳng – Đại học.
* Phạm vi nghiên cứu của đề tài:
+ Một số dạng bài tập thường gặp về số phức.
+ Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức.
+ Ứng dụng số phức để giải quyết một số bài toán về số thực.
+ Các bài toán tham khảo qua các kì thi.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
+ Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh về kinh nghiệm và phương
pháp giải một số bài tập về số phức. Qua SKKN này học sinh nắm được những
nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. Đặc
biệt học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán về số phức và tránh
được một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình giải toán về số
phức.
+ Tự bản thân trau rồi và rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư
phạm.
+ Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT CAO BÁ QUÁT GIA
LÂM.

IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
2
Sáng kiến kinh nghiệm

+ Các kiến thức cơ bản về số phức.
+ Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
+ Những sai lầm thực tế khi làm bài của học sinh về số phức.
PHẦN NỘI DUNG
3
Sáng kiến kinh nghiệm

A) TÓM TẮT NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC
Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý
khi nghiên cứu chương số phức.
1) SỐ PHỨC
* Định nghĩa 1:
Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b
∈
R và i
2
= -1.
Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo của số phức z = a + bi.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
* Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau







=
=
⇔+=+
'
'
''
bb
aa
ibabia
Từ đó, a + bi = 0
⇔
a = b = 0.
Chú ý:
1) Đây là cơ sở của việc ứng dụng số phức để giải quyết các bài toán trong tập
hợp số thực.
2) Trong C không có quan hệ thứ tự, nghĩa là không có khái niệm z > z
’
,z < z’, z
≥
z
’
, z
≤
z
’
.
* Biểu diễn hình học của số phức:
+ Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt

phẳng Oxy và ngược lại. Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b).
Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ
);( bau
.
+ Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực. Các điểm trên trục tung
Oy biểu diễn các số ảo.
* Phép cộng, phép trừ hai số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và số phức z
’
= a
'
+ b
’
i.
Tổng của hai số phức trên là số phức z+z
’
= (a+a
’
) + (b+b’)i .
Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z
’
= (a-a
’
) + (b-b’)i .
Khi đó, nếu
);( bau
biểu diễn số phức z,
);('
''
bau

biểu diễn số phức z’ thì vectơ
''
, uuuu −+
lần lượt biểu diễn số phức z+z
’
, z- z
’
* Phép nhân số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và số phức z
’
= a
'
+ b’i.
Tích của hai số phức trên là số phức zz
’
= (aa
’
–bb
’
)+ (ab
’
+a’b)i .
Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách
hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R.
* Phép chia số phức:
+ Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức
biaz −=
.
+ Môđun của số phức z = a +bi là
22

baz +=
.
+ Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức
z
z
z
2
1
1
=
−
.
4
Sáng kiến kinh nghiệm

+ Thương
z
z
'
của hai số phức z
’
= a
’
+ b
’
i và số phức z = a + bi khác 0 là tích
của z
’
với số phức nghịch đảo của z, tức là
2

z
zz
zz
z
z
'
1
.
'
'
==
−
Vậy:
).b,(a
ba
bi)i)(ab(a
bia
iba
''
''
22
22
+
+
−+
=
+
+
Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M
’

biểu diễn số phức z
’
thì độ dài
đoạn thẳng MM

bằng môđun
'
zz +
.
2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
* Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z
2

= w.
*Nhận xét:
+) Mỗi số phức z
≠
0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)
+) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
+) Đặc biệt: số thực a dương có hai căn bậc hai là
a
và
a−
; số thực a âm
có hai căn bậc hai là
ia
và
ia−
;
* Chú ý 1:Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức.

* Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức
:biaw +=
+ Giả sử
yixz +=
là căn bậc hai của w.
Vậy ta có:
( )
biaxyiyxwz +=+−⇔= 2
222
+ Giải hệ phương trình:
)1(
2
22





=
=−
bxy
ayx
.
Việc tìm căn bậc hai của số phức w được quy về việc giải hệ phương trình (1)
bằng phương pháp thế trong tập hợp số thực.
*Phương trình bậc hai:
0;0
2
≠=++ ACBzAz
(2) được giải như sau:

+) Tính
ACB 4
2
−=∆
+) Nếu
0≠∆
thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

A
z
A
z
2
,
2
21
δδ
−−+−
=
BB
, trong đó
δ
là một căn bậc hai của
∆
.
+) Nếu
∆
= 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép:
A
zz

2
21
B−
==
.
3) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
* Định nghĩa: Dạng lượng giác của số phức z là :
( )
ϕϕ
sincos irz +=
, với r > 0.
* Phương pháp tìm dạng lượng giác: của số phức z = a + bi (a, b
∈
R) khác 0
cho trước:
+) Tìm môđun của số phức z là
22
bar +=
.
+) Tìm acgumen của số phức z là
ϕ
,
R∈
ϕ
sao cho








=
=
r
b
r
a
ϕ
ϕ
sin
cos

* Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác:
5
Sáng kiến kinh nghiệm

+) Nếu
( )
ϕϕ
sincos irz +=
,






+=
,

sin
,
cos
,,
ϕϕ
irz
, (
0
,
,0 >> rr
) thì




















+++=
,
sin
,
cos
,,
ϕϕϕϕ
irrzz



















−+−=
,
sin

,
cos
,,
ϕϕϕϕ
i
r
r
z
z
.
+) Lưu ý:
Nhân hai số phức: tích các môđun và tổng các acgumen.
Chia hai số phức: thương các môđun và hiệu các acgumen.
* Công thức Moa – vrơ:
+)
( )
[ ]
( )
*
;sincossincos Nnninrir
n
n
∈++ =
ϕϕϕϕ
+) Đặc biệt khi r = 1:
( )
ϕϕϕϕ
nini
n
sincossincos ++ =

* Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức
( )
ϕϕ
sincos irz +=
, r > 0, có hai căn bậc hai là:







+
2
sin
2
cos
ϕϕ
ir
và













+++=+− )
2
sin()
2
cos(
2
sin
2
cos
π
ϕ
π
ϕϕϕ
irir
6
Sáng kiến kinh nghiệm

B) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
Dựa vào những nội dung trọng tâm và những kiến thức cần lưu ý, trên cơ sở đó
ta có thể phân loại một số dạng bài tập vận dụng sau đây:
Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính
* Yêu cầu:
- Nắm chắc các khái niệm và các phép toán.
- Rèn luyện kĩ năng tính toán thành thạo, chính xác.
- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
* Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết :

(1+ i)
2
.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z
( Đề thi TS Cao đẳng khối A, B, D năm 2009)
Giải:
Ta có (1+ i)
2
.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z

( )
[ ]
iziii +=+−−+⇔ 8)21()2(1
2

( )
[ ]
iziii +=−−−⇔ 82122

( )( )
i
ii
i
i
z 32
5
218
21
8
−=
−+

=
+
+
=⇔

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.
Ví dụ 2: Tìm phần ảo của số phức z biết :

( ) ( )
iiz 212
2
−+=

(Đề thi Đại học Khối A- năm 2010)
Giải

( ) ( )
iiz 212
2
−+=

( )( )
iiz 21221 −+=⇔

iz 25+=⇔

iz 25−=⇔
. Vậy z có phần ảo bằng -
2
.

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn:
( )
i
i
z
−
−
=
1
31
3
.
Tìm môđun của số phức
izz +

(Đề thi Đại học Khối B- năm 2010)
Giả i
Ta có
( )
831
3
−=− i
, nên
i
i
z 44
1
8
−−=
−

−
=

iz 44 +−=⇒

iiiiizz 88)44(44 −−=+−+−−=+⇒

Vậy
28=+izz
.
Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn:
2=z
và z
2
là số thuần ảo
(Đề thi Đại học Khối D- năm 2010)
7
Sáng kiến kinh nghiệm

Giả i
Gọi
biaz +=
, khi đó
iabbazvàbaz 2
22222
+−=+=
Theo yêu cầu của bài toán ta có






=−
=+
0
2
22
22
ba
ba







⇔
=
=
1
1
2
2
b
a





∨



∨



∨



⇔
=
−=
−=
=
−=
−=
=
=
1
1
1
1
1
1
1
1
b

a
b
a
b
a
b
a
Vậy các số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i.
Chú ý : Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện
các phép tính trên tập hợp các số phức mà áp dụng tương tự trên tập hợp số
thực.
Ví dụ 5: Tính tổng :
( ) ( ) ( ) ( )
201132
1 1111 iiiiS −++−+−+−+=

Giải
Áp dụng công thức tính tổng của 2012 số hạng của một cấp số nhân với số hạng
đầu
1
1
=u
, công bội
( )
iq −= 1
ta được

( )
( )
( ) ( )

( )
i
ii
i
i
i
i
i
S
3
321
3
21
3
2111
11
11
10061006
100620122012
+
−=
+
=
−
=
−−
=
−−
−−
=

Ví dụ 6: Tìm số phức x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:




−=−+
=++−
iyix
yixi
53)21(3
2)103()21(
2
(1)
Giải
* Sai lầm của học sinh:
Hệ (1)



⇔
−=−−
=+−++
iyiyx
iyxy
534)33(
2)102()31(









⇔
−=−
=−
=+−
=+
54
333
0102
231
y
yx
yx
y
⇔
Hệ vô nghiệm
*Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai x, y
R∈
nên đã coi hệ số của i ở vế phải
của mỗi phương trình trong hệ trên là phần ảo, phần còn lại là phần thực.
* Lời giải đúng:
Cách 1: Hệ (1)



⇔
−−=−+−

=++−
)21)(53()21()21(3
6)103(3)21(3
3
iiyixi
yixi




⇔
−−=+−+−
=++−
iyixi
yixi
117)211()21(3
6)103(3)21(3
8
Sáng kiến kinh nghiệm





⇔
−−=+
=++−
iyi
yixi
117)2820(

6)309()63(






⇔
−−
=
+
−−
=
=++−
296
356
2820
117
6)103(3)21(3
i
i
i
y
yixi









⇔
−−
=
+
=
296
356
3552
17772843
i
y
i
x
Cách 2: Gọi số phức x = a + bi, y = a
’
+ b
’
i, a, b, a
’
, b
’

∈
R.
Thay vào hệ (1) ta được





−=+−++
=++++−
iibaibia
ibaibiai
53)''()21()(3
2)'')(103())(21(
2




⇔
−=−−++−
=++−+−++
iiabbbaa
ibabbaba
53 )'4'33()'4'33(
2)'10'32()'10'32(








⇔
−=−−
=+−

=++−
=−++
5 '4'33
3 '4'33
0 '10'32
2'10'32
abb
baa
bab
baba

Giải hệ trên trong tập số thực ta được













−
=
−=
=
=

296
3
'
296
56
'
3552
1777
3552
2843
b
a
b
a
Vậy nghiệm của hệ là







−−
=
+
=
296
356
3552
17772843

i
y
i
x
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn:
2
)31()4()32( izizi +−=++−
.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z .
(Đề thi CĐ khối A, B, D – năm 2010)
Bài 2: Tìm số phức z biết :
a)
5)31()2( =−−− izi

9
Sáng kiến kinh nghiệm

b)
( )
4
1
23
34
51
i
i
z
i
i

−
+
=
−
+

c)
ziizz )32(23 −=−+
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)







=
−
+
=
+
−
3
4
2
3
2
3
1

z
z
iz
iz

b)





−=−+
=++−
iyix
yixi
53
2
)21(3
2)103()21(
(
), Cyx ∈

c)



+−=+
+=+
)1(9
)1(3

33
iwz
iwz
Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức
* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:
+) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức)
+) Tìm điểm hoặc tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một hoặc một
vài điều kiện cho trước.
*) Kiến thức:
- Nắm chắc định nghĩa về cách biểu diễn một số phức bởi một điểm, một
vectơ, biểu diễn môđun của số phức bởi độ dài vectơ, …
- Vận dụng thành thạo quỹ tích là các đường quen thuộc như đường thẳng,
đường tròn, đường Elip, đường Hypebol, …
*Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các
số phức
i
i
ii
i
i
−
+
+−
− 3
62
);21).(1(;
1
4
a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân.

b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vuông.
Giả i
a) Ta có
i
i
i
22
1
4
−=
−

⇒
điểm A(2; -2)

( )( )
⇒+=+− iii 3211
điểm B(3; 1)

⇒=
−
+
i
i
i
2
3
62
điểm C(0;2)
Từ đó: BC =

10
; BA =
10
và
0. =BABC




⊥
=
⇒
BABC
BABC
. Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
b) Do tam giác ABC vuông cân tại B, ABCD là hình vuông

BACD =⇔
10
Sáng kiến kinh nghiệm






−=−
−=
⇔
32

1
D
D
y
x




−=
−=
⇔
1
1
D
D
y
x
Vậy số phức cần tìm là z = -1- i.
Ví dụ 2:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a)
ziz −=+2
b)
1044 =++− zz

Giải
a)* Sai lầm của học sinh:

ziz −=+2




+−=+
−=+
⇔
ziz
ziz
2
2






−=
+−=
−
=
⇔
i
i
i
z
2
2
1
1

2
2

iz
2
1
1+−=⇔

⇒
điểm M(-1;
)
2
1
biểu diễn số phức z.
Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm tưởng kí hiệu môđun của số phức với kí hiệu
gái trị tuyệt đối trong tập hợp số thực.
Lời giải đúng:
Cách 1:
a) Gọi M(x;y) biểu diễn số phức
Ryxyixz ∈+= , ;

Ta có:
ziz −=+2

iyxyix )1()2( −+=++⇔

2222
)1()2( −+=++⇔ yxyx

0324 =++⇔ yx
(d)
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d).
Cách 2:
Ta có:
ziz −=+2
izz −=−−⇔ )2(
(1)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, điểm A(-2; 0) là điểm biểu diễn số phức -2,
điểm B(0;1) là điểm biểu diễn số phức i.
Khi đó (1)
⇔
MA = MB.
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực (d) của đoạn AB, với
0324:)( =++ yxd
.
b)
Cách 1: Gọi số phức
Ryxyixz ∈+= ,,
. Khi đó

1044 =++− zz


1044 =+++−⇔ yixyix

10)4()4( =++++−⇔ yixyix

11
Sáng kiến kinh nghiệm

10)4()4(
2222
=++=+−⇔ yxyx
(*)
Gọi F
1
(-4;0), F
2
(4;0). Khi đó (*)
10
21
=+⇔ MFMF

Từ đó suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường Elip nhận F
1
, F
2
là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8.
Phương trình chính tắc của (E):
1
925
22
=+
yx
Cách 2:
Gọi điểm M biểu diễn số phức z, điểm F
1
(-4; 0) biểu diễn số phức -4+0i; điểm

F
2
(4;0) biểu diễn số phức 4 + 0i.
Khi đó,
4−z
là khoảng cách MF
1
;
4+z
là khoảng cách MF
2
.
Ta có :
1044 =++− zz

10
21
=+⇔ MFMF
Theo định nghĩa đường Elip, suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là
đường Elip nhận F
1
, F
2
là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8.
Lưu ý:Với câu b)
- Học sinh thường gặp rắc rối trong cách 1 là từ (*) khó biến đổi về một
phương trình đường Elip dạng chính tắc quen thuộc nếu không phát hiện ra
công thức tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của chúng, và định
nghĩa đường Elip thì khó có thể chỉ ra quỹ tích điểm M một cách cụ thể.
- Để vận dụng được theo cách 2 thì học sinh phải nắm được môđun

,
zz −
biểu
diễn

khoảng cách giữa hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z và z
’
.
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức
z thỏa mãn :
ziiz )1( +=−

(Đề thi Đại Học Khối B – năm 2010)
Giải
Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức
Ryxyixz ∈+= ,,
, trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, ta có:

ziiz )1( +=−

iyxyxiyx )()()1( ++−=−+⇔

2222
)()()1( yxyxyx ++−=−+⇔


012
22
=−+⇔

+
yyx

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình :

012
22
=−+
+
yyx
Ví dụ 4: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức
z thỏa mãn : 2
izziz 2+−=−

Giải
Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức
Ryxyixz ∈+= ,,
, trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, ta có:
2
izziz 2+−=−

iyiyx )22()1(2 +=−+⇔

222
)1()1( +=−+⇔ yyx

12
Sáng kiến kinh nghiệm

4
2
x
y =⇔
(P)
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường Parabol có phương trình :
4
2
x
y =
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
a)
Raaiaz ∈+= ,

(Đáp án: là đường thẳng y = x)
b)
iz 2
1
+
là số ảo
( Đáp án: Trục Oy trừ điểm (0;-2))
c)
iz
iz
2
2
−
+

là số thực âm
( Đáp án: Trục Oy ứng với điểm có tung độ thuộc khoảng (-2;2))
d)
25
2
2
=− zz

(Đáp án: đường hypebol
x
y
4
25
±=
)
Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2
* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:
- Tìm căn bậc hai của số phức z.
- Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức.
* Kiến thức:
- Nắm chắc định nghĩa căn bậc hai của một số thực âm, căn bậc hai của
một số phức và cách tìm căn bậc hai của số phức.
- Nắm được công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong tập hợp số
phức.
* Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
0532
2
=++ zz

b)
04)21(2)1(
2
=−+−− zizi
c)
055)23(
2
=−+−+ iziz
Giải
a)
31−=∆
có hai căn bậc hai là
ivài 31 31 −
.
Phương trình có hai nghiệm :

4
313

4
313
21
i
zvà
i
z
+−
=
−−

=
b)
( )
1)1(421
'
2
=−++=∆ ii
có hai căn bậc hai là 1 và -1.
Phương trình có hai nghiệm :
2
1
121
-1
1
121
21
i
i
i
zvài
i
i
z =
−
++
=+=
−
−+
=
13

Sáng kiến kinh nghiệm

c)*
( )
iii 815)55(423
2
+−=−−−=∆

*Tìm căn bậc hai của
∆
Cách 1: Gọi
Ryxyix ∈+= ,;
δ
là một căn bậc hai của
∆
, khi đó ta có




∨



⇔



−=
−=

=
=
=
−=−
4
1
4
1
82
15
22
y
x
y
x
xy
yx

i41+=⇒
δ
Cách 2: Viết
( )
2
2
41164.21815 iiii +=++=+−=∆
i41+=⇒
δ
* Phương trình có hai nghiệm :

3-1

2
)41(23

-2
2
)41(23

2
1
i
ii
zvà
i
ii
z
+=
+++−
=
−=
+−+−
=
Chú ý: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét
phương trình bậc hai trong tập hợp số phức.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

01)34()32(
2
=−+−+− izizi
Giải
Ta có

01)34()32( =−+−+− iii
Vậy phương trình có hai nghiệm

13
1
13
5

32
1
1
21
i
i
i
zvàz +=
−
−
==
Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai
* Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:
- Phương trình có ẩn ở mẫu.
- Phương trình bậc cao
* Phương pháp giải:
- Đối với phương trình có chứa ẩn ở mẫu, thực hiện phép toán quy đồng
hoặc chia hai số phức để dưa về phương trình bậc hai. Phải chú ý đến điều
kiện cho mẫu thức khác 0.
- Đối với phương trình bậc cao, thông thườngsử dụng phương pháp đổi
biến hoặc phải nhẩm được một nghiệm để tách thành nhân tử là những biểu
thức bậc thấp hơn tương tự như cách giải phương trình bậc cao trong tập

hợp số thực
* Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

iz
iz
iz
2
734
−=
−
−−

Giải
* Điều kiện:
iz ≠
Phương trình
iz
iz
iz
2
734
−=
−
−−

)2)((73 iziziz −−=⇔ −−
14
Sáng kiến kinh nghiệm

071)43(
2
=+++−⇔ iziz

( )
1)1(421
2
=−++=∆ ii
có hai căn bậc hai là 1 và -1.
Phương trình có hai nghiệm :
2
1
121
-1
1
121
21
i
i
i
zivà
i
i
z =
−
++
=+=
−
−+

=
Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

( ) ( )
0124
2
2
2
=−+++ zzzz

Giải
* Đặt t =
zz +
2
Phương trình trở thành:



=
−=
⇔=−+
2
6
0124
2
t
t
tt
Phương trình đã cho





=−+
=++
⇔
02
06
2
2
zz
zz












−=
=
+−
=
−−
=

⇔
2
1
2
231
2
231
z
z
i
z
i
z
là bốn nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

01
2
2
34
=+++− z
z
zz
(1)
Giải
Vì z = 0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình (1)

0
11
2

1
2
2
=+++−⇔
zz
zz

0
2
511
2
=+−−−⇔
















z
z

z
z
Đặt
z
zt
1
−=
, (1) trở thành:






−
=
+
=
⇔=+−
2
31
2
31
0
2
5
2
i
t
i

t
tt

*Với
2
31 i
t
+
=
, ta có
2
311 i
z
z
+
=−

02)31(2
2
=−+−⇔ ziz
(2)

( )






+−=

−−+
=
+=
+++
=
⇔+=+=∆
i
ii
z
i
ii
z
ii
2
1
2
1
4
331
1
4
331
)2(,368
2
1
2

15
Sáng kiến kinh nghiệm

*Với
2
31 i
t
−
=
, ta có
2
311 i
z
z
−
=−

02)31(2
2
=−−−⇔ ziz
(3)

( )






−=
+−−
=
−−=

−+−
=
⇔−=−=∆
i
ii
z
i
ii
z
ii
1
4
331
2
1
2
1
4
331
)3(,368
4
3
2
Vậy phương trình có bốn nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau :

1
4
=
−

+








iz
iz
(1)
Giải
Điều kiện:
iz ≠
* Sai lầm của học sinh::
1
4
=
−
+








iz

iz







−=
−
+
=
−
+
⇔
1
1
iz
iz
iz
iz
* Phân tích sai lầm:Học sinh đã áp dụng phương pháp giải phương trình x
4
= 1
trong tập hợp số thực. Nhưng trong tập hợp số phức, ngoài số 1 và -1 ra còn có
số i và –i thỏa mãn i
4
= 1, (-i)
4
= 1.

* Lời giải đúng:
Cách 1:
1
4
=
−
+








iz
iz














−=
−
+
=
−
+
−=
−
+
=
−
+
⇔
i
iz
iz
i
iz
iz
iz
iz
iz
iz
1
1









−−=+
−=+
+−=+
−=+
⇔
)(
)(
iziiz
iziiz
iziz
iziz






−−=+
−=−
=
⇔
izi
izi
z
1)1(
1)1(
0

16
Sáng kiến kinh nghiệm







−=
=
=
⇔
1
1
0
z
z
z
Cách 2:
1
4
=
−
+









iz
iz

( )
4
4
)( iziz −=+⇔


14641464
234234
+−+−=++++⇔ zzzzzzzz

088
3
=+⇔ zz






−=
=
=
⇔
1

1
0
z
z
z
là ba nghiệm của phương trình đã cho.
Bài tập tương tự
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) z
5
+ 1= 0
b) z
2
+ z + 1 =0
c) z
2
-2(2+i)z + 7 + 4i = 0
d) z
3
– 27 = 0
e) z
4
– z
3
+ 6z
2
– 8z – 16 = 0
Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức
* Bài toán thường cho dưới dạng:
- Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc ngược lại.

- Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác.
- Bài toán ứng dụng công thức Moa – vrơ.
* Kiến thức:
- Nắm chắc dạng lượng giác của một số phức và cách xác định môđun và
acgumen của số phức, đặc biệt là phải biết vận dụng công thức giá trị lượng
giác giữa các góc (cung) có liên quan đặc biệt.
- Nắm chắc các phép toán nhân, chia, hai số phức dạng lượng giác và căn
bậc hai của số phức dạng lượng giác.
* Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a)
( )( )
iiz +−+= 331

b)
ϕϕ
cossin iw +=
c)
2
sin2sin
2
ϕ
ϕ
iz +=
Giải
a) Cách 1:








+=+
3
sin
3
cos231
ππ
ii
17
Sáng kiến kinh nghiệm








+=+−
6
5
sin
6
5
cos23
ππ
ii
Vậy

( )( )






















+++=+−+
6
5
3
sin
6
5

3
cos4331
ππππ
iii







+=
6
7
sin
6
7
cos4
ππ
i

Cách 2:
( )( )
iii 232331 −−=+−+










−−= i
2
1
2
3
4







+=
6
7
sin
6
7
cos4
ππ
i
b)
ϕϕ
cossin iw +=













−+−=
ϕ
π
ϕ
π
2
sin
2
cos i
c)
* Sai lầm của học sinh:

2
sin2sin
2
ϕ
ϕ
iz +=







+=
2
sin
2
cos
2
sin2
ϕ
ϕ
ϕ
i
(1) là dạng lượng giác của
số phức z.
*Phân tích sai lầm: Do học sinh không hiểu đúng định nghĩa dạng lượng lượng
giác của số phức là
)sin(cos
ϕϕ
irz +=
, với môđun r > 0.
* Lời giải đúng:








+=
2
sin
2
cos
2
sin2
ϕ
ϕ
ϕ
iz
(1)
- Khi
0
2
sin =
ϕ
thì dạng lượng giác của số phức z không xác định.
- Khi
0
2
sin >
ϕ
thì (1) là dạng lượng giác của số phức z .
- Khi
0

2
sin <
ϕ
thì




















+++−=
π
ϕ
π
ϕ
ϕ

2
sin
2
cos
2
sin2 iz
là dạng lượng
giác của số phức z .
Ví dụ 2: Tìm một acgumen của số phức sau:







<<+−=
2
0,cossin1
π
ϕϕϕ
iz
Giải
Ta có:







<<+−=
2
0 ,cossin1
π
ϕϕϕ
iz













−+−−=
ϕ
π
ϕ
π
2
sin
2
cos1 i




















−−+−=
24
cos
24
sin2
24
sin2
2
ϕπϕπϕπ
i
18
Sáng kiến kinh nghiệm



















−+






−−=
24
cos
24

sin
24
sin2
ϕπϕπϕπ
i



















++







+−=
24
sin
24
cos
24
sin2
ϕπϕπϕπ
i
(1)
Do
2
0
π
ϕ
<<
nên
4
2
0
π
ϕ
<<

0
24
sin2 >−⇒







ϕπ
Vậy (1) chính là dạng lượng giác của số phức trên. Vì vậy
24
ϕ
π
+
là một
acgumen của số phức z.
Ví dụ 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

,
1
2012
2012
z
zw +=
nếu
,1
1
=+
z
z
Giải
*Điều kiện: z
≠
0.

*Từ phương trình
011
1
2
=+−⇔=+ zz
z
z







−=
+=
⇔
iz
iz
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1























−+−=
+=
⇒
3
sin
3
cos
3

sin
3
cos
2
1
ππ
ππ
iz
iz
Áp dụng công thức Moa – vrơ
* Với
3
sin
3
cos
ππ
iz +=


2012
2012
3
sin
3
cos
1
3
sin
3
cos







+
++=⇒








ππ
ππ
i
iw








+
++=









3
2012
sin
3
2012
cos
1
3
2012
sin
3
2012
cos
ππ
ππ
i
i








+
++=








3
2
sin
3
2
cos
1
3
2
sin
3
2
cos
ππ
ππ
i
i

i
i
2
3
2
1
1
2
3
2
1
+−
++−=








= -1
Vậy phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.
19
Sáng kiến kinh nghiệm

* Với

















−+−=
3
sin
3
cos
ππ
iz
, tương tự ta có phần thực của w bằng -1, phần
ảo của w bằng 0.
Chú ý: Trong bài tập trên có thể thay số mũ bởi số khác sẽ được bài tập tương
tự. Khi đó có thể vận dụng công thức lược giác liên hệ giữa các cung có liên
qua đặc biệt để tính toán.
Ví dụ 4: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức z biết:
a)
ϕϕ
cossin iz −=
b)

3
1
=z
và một acgumen của
i
z
+1
là
4
3
π
−
.
Giải
a)
* Sai lầm của học sinh:












−+−=
2

sin
2
cos
π
ϕ
π
ϕ
iz
có hai căn bậc hai và có dạng lượng giác là












−+−±
42
sin
42
cos
πϕπϕ
i
.
*Phân tích sai lầm: Học sinh chưa nắm chắc định nghĩa dạng lượng giác của số

phức.
*Lời giải đúng:













−+−=
2
sin
2
cos
π
ϕ
π
ϕ
iz
có hai căn bậc hai là













−+−±
42
sin
42
cos
πϕπϕ
i

và dạng lượng giác của hai căn bậc hai đó là












−+−

42
sin
42
cos
πϕπϕ
i
và
















+++
4
3
2
sin
4
3

2
cos
πϕπϕ
i
.
b) Gọi
ϕ
là một acgumen của số phức z
⇒
-
ϕ
là acgumen của
z
.
Vì một acgumen của 1+ i là
4
π
nên một acgumen của
i
z
+1
là (-
ϕ
-
4
π
)

π
ππ

ϕ
2
4
3
4
k+−=−−⇒

Zkk ∈+=⇒ ,2
2
π
π
ϕ







+=⇒
2
sin
2
cos
3
1
ππ
iz
Vậy dạng lượng giác của các căn bậc hai của số phức z là







+
4
sin
4
cos
3
3
ππ
i
và








+
4
5
sin
4
5
cos

3
3
ππ
i
20
Sáng kiến kinh nghiệm

Bài tập tương tự
Bài 1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng lượng giác
a)
( )
iiz −−+=








1
2
3
2
1
b)
( )
( )
19
20

3
1
i
i
z
−
+
=
c)
10
10
1
z
z +
, biết
1
1
=+
z
z
d)
8
cos
8
sin
π
π
iz −−=
Bài 2: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức sau:
a)

322 iz +−=
b)
ϕϕ
cossin iz −=
Dạng 6: Nhị thức Niu – Tơn và số phức
* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:
- Tính tổng
- Chứng minh đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Với mọi số nguyên dương n, chứng minh hệ thức sau

( ) ( )
n
nnnnnnn
CCCCCCC 2 1
2
7531
2
642
=+−+++− +−−
Giải
Xét số phức z = 1+ i. Theo công thức khai triển nhị thức Niu- tơn ta có:

( ) ( )
iCCCCCCCiCiz
nnnnnnn
n
k
kk
n

nn
1)1(
7531642
0
+−−
∑
+−+++−==+=
=

( ) ( )
2
7531
2
642
1 +−+−++−+−=⇒
nnnnnnn
n
CCCCCCCz
Mặt khác,
n
n
zz =
. Suy ra:

( ) ( )
n
nnnnnnn
CCCCCCC 2 1
2
7531

2
642
=+−+++−
+−−
(đpcm)
Ví dụ 2: Tính tổng:

2012
2012
2010
2012
4
2102
2
2012
0
2012
CCCCCS ++ −−−=
Giải
Khai triển nhị thức Niu – tơn của (1 + i)
2012
ta được:
( ) ( )
iCCCCCCCCCiCi
nnnnnnn
k
kk
2011
2012
75312012

2012
642
2012
0
2012
2012
1)1( −+−++++−==+ +
∑
−−
=
Mặt khác,
[ ]
( )
1006
1006
1006
2
2012
22)1()1( −==+=+ iii
Nên ta được
10062012
2012
2010
2012
4
2102
2
2012
0
2012

2 −=++ −−−= CCCCCS
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:







+=++++
3
cos22
3
1

963
1
π
n
n
nnn
CCC
21
Sáng kiến kinh nghiệm

Giải
Xét số phức
3
2
sin

3
2
cos
ππ
iz +=
, có z
3
= 1;

3
sin
3
cos
2
3
2
1
1
ππ
iiz +=+=+
1+z
2
=
3
sin
3
cos
2
3
2

1
ππ
ii −=−
và
01
2
=++ zz

Ta sử dụng công thức Nhị thức Niu – Tơn:


210
2 +++=
nnn
n
CCC
(1)

44332210
)1( +++++=+
nnnnn
n
CzCzCzzCCz


432210
+++++=
nnnnn
zCCCzzCC
(2)

4836241202
)1( +++++=+
nnnnn
n
CzCzCzCzCz


54232120

++++=
++
nnnnnn
zCCzCzCCzC
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế thì được:

)
6302
(3)1()1(2 +++=++++
nnn
nnn
CCCzz

)(3
3
cos22
630
+++=+
nnn

n
CCC
n
π
Vậy






+=++++
3
cos22
3
1
1
963
π
n
CCC
n
nnn
Bài tập tương tự
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có các hệ thức sau:

3
cos2333
634220
π

n
CCCC
n
nnnn
=−+−

và
3
sin
3
2
333
735231
π
n
n
CCCC
nnnn
=−+−
Dạng 7: Hệ thức lượng giác
* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:
- Biểu diễn biểu thức lượng giác theo các biểu thức lượng giác khác .
- Chứng minh đẳng thức lượng giác, …
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh công thức lượng giác:

ϕϕϕ
cos3cos43cos
3
−=

và
ϕϕϕ
3
sin4sin33sin −=

Giải
Đặt
ϕϕ
sincos iz +=
. Ta tính z
3
theo 2 cách rồi đồng nhất.
Từ công thức Moa- vrơ ta có:
ϕϕϕϕ
3sin3cos)sin(cos
3
ii +=+
(1)
Mặt khác theo khai triển Niu – Tơn ta có:
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
32233
sinsincos3sincos3cos)sin(cos iii −−+=+

)sinsincos3()sincos3(cos
3223
ϕϕϕϕϕϕ
−+−= i
(2)
22
Sáng kiến kinh nghiệm

Từ (1) và (2) suy ra:





−=
−=
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
32
23
sinsincos33sin
sincos3cos3cos
Thay sin
2
ϕ
= 1- cos
2
ϕ
, cos
2
ϕ
= 1- sin
2
ϕ
ta được:

ϕϕϕ

scos3cos43cos
3
−=

và
ϕϕϕ
3
sin4sin33sin −=
.
Ví dụ 2: Cho các số thực a, ,b sao cho
0
2
sin ≠
a
. Với mỗi số nguyên n
≥
1, xét
các tổng:

)cos( )2cos()cos(cos bnabababS +++++++=

)sin( )2sin()sin(sin bnabababT +++++++=

Tính S + iT, từ đó suy ra S và T.
Giải
Đặt
bibwaiaz sincos,sincos +=+=
thì
S + iT =
[ ] [ ] [ ]

)2sin()2cos()sin()cos(sincos ++++++++++ baibabaibabib

[ ]
)sin()cos( bnaibna ++++
=
) 1(
22 nn
zzzwwzwzwzw ++++=++++
=
z
z
w
n
−
−
+
1
1
1
( để ý rằng
1
≠
z
do
0
2
sin ≠
a
)
=

aia
anian
w
sincos1
)1sin()1cos(1
−−
+−+−















−
+
−
++
=
2
cos
2

sin
2
sin
2
1
cos
2
1
sin
2
1
sin
a
i
aa
a
n
ia
n
a
n
w














+
+
−
+
+
=
2
cos
2
sin
2
1
cos
2
1
sin
2
sin
2
1
sin
a
i
a
a

n
ia
n
a
a
n
w







+
+
=
2
sin
2
cos
2
sin
2
1
sin
na
i
na
a

a
n
w

( )
bib
na
i
na
a
a
n
sincos
2
sin
2
cos
2
sin
2
1
sin
++
+
=


























+++
+
= b
na
ib
na
a
a
n
2

sin
2
cos
2
sin
2
1
sin
23
Sáng kiến kinh nghiệm

Từ đó suy ra:






+
+
= b
na
a
a
n
S
2
cos
2
sin

2
1
sin







+
+
= b
na
a
a
n
T
2
sin
2
sin
2
1
sin

Bài tập tương tự:
Bài 1: Tính sin4
ϕ
, cos4

ϕ
theo các lũy thừa của cos
ϕ
và sin
ϕ
.
Bài 2: Cho z = cos
ϕ
+ isin
ϕ
.
a)Chứng minh rằng:
ϕ
nzz
n
n
cos2=+
và
ϕ
nizz
n
n
sin2=−
.
b)Dùng các khai triển của :
5
)( zz +
và của
5







− zz
để tính cos5
ϕ
, sin5
ϕ
theo
cos3
ϕ
, sin3
ϕ
và cos
ϕ
, sin
ϕ
.
Bài 3: Cho
π
2kx ≠
. Tính

nxxxxS sin 3sin2sinsin ++++=

nxxxxT cos 3cos2coscos
2
1

+++++=
PHẦN KẾT LUẬN
* Hiệu quả của sáng kiến:
Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm, phương pháp giải một số dạng bài tập
về số phức và một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập về số
phức như trên, tôi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết
24
Sáng kiến kinh nghiệm

để giải quyết thành công dạng toán này. Qua thực tế các bài kiểm tra và bài thi
của học sinh lớp 12 thì nhận thấy các em đã nắm chắc hơn kiến thức đặc biệt là
khắc phục được những sai lầm mà học sinh các khóa trước mắc phải và kết quả
cao hơn rõ rệt. Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ
năng vận dụng phương pháp giải các bài toán nói trên. Từ đó học sinh chủ động
sáng tạo hơn trong việc học toán và yêu thích môn toán.
* Bài học kinh nghiệm
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm
trong công tác chuyên môn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các
dạng bài tập về bất kì mảng kiến thức nào, giáo viên cần có sự gia công đầu tư
hệ thống các kiến thức trọng tâm và phương pháp giải một số dạng bài tập, đặc
biệt là nêu được những sai lầm dễ mắc phải trong khi giải các dạng bài tập đó.
Ngoài ra, giáo viên cũng cần hướng dẫn học sinh cách hệ thống kiến thức và các
dạng bài tập cùng phương pháp giải sau mỗi phần, mỗi chương để học sinh có
thể nắm chắc hơn kiến thức theo cách hệ thống của bản thân.
* Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến kinh nghiệm trên giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học
sinh một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập về số phức. Giúp
học sinh có cái nhìn toàn diện hơn khi tiếp cận dạng toán này.
Qua việc trình bày nội dung chuyên đề trên, tôi thật sự muốn chia sẻ với các
anh chị đồng nghiệp và các em học sinh một và kinh nghiệm của bản thân đã

góp nhặt được trong quá trình giảng dạy. Tôi rất mong nhận được sự trao đổi,
góp ý cho chuyên đề từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh để góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học chương số phức nói riêng và bộ môn toán nói
chung. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà nội, ngày 21 tháng 4 năm 2012.
Người viết


Bùi Thị Hải
MỤC LỤC
Phần mở đầu Trang 1
Phần nội dung Trang 3
A. Tóm tắt nội dung cơ bản về số phức Trang 3
25