Ứng dụng số phức tính tổng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (663.59 KB, 14 trang )
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
LỜI NÓI ĐẦU
m
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào
chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của
co
số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân
môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công
thức eiπ 1 0 ). Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi
c.
người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức
nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán
oc
uo
để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức
với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên
có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.
Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và
giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức
trong SGK còn nhiều hạn chế. Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong
gb
quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học
để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Một trong các vấn đề
tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các Ck
n ” trên cơ sở
on
khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton.
Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng
dạy chung của nhà trường, rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung của
kh
các đồng chí trong tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác.
Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 5 năm 2009
Người thực hiện
Lê Hồng Thái
-1-
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
m
I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:
1- Khai triển nhị thức Newton:
co
Với mọi x và với mọi nN* ta có:
n-1 n-1
n n
(1 + x)n = C0n xC1n x 2C 2
n ... x C n x C n
2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:
c.
* Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/
* z = r(cos + isin) zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)
oc
uo
* Giải phương trình: x3 – 1 = 0
1
3
1
3
Ta được các nghiệm là x1 = 1; x
i;x
i.
2
3
2 2
2 2
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1.
1
3
1
3
Đăt: ε
i ε2
i và ε có các tính chất sau:
2 2
2 2
2)
3)
ε + ε 2 = -1
gb
1)
ε3 1
ε 3k 1
ε 3k 1 ε
5)
ε 3k 2 ε 2
on
4)
kh
(k – nguyên).
3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các Cnk ?
Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh. Ta dùng số phức để tính tổng của
các C kn khi tổng này có hai đặc điểm:
* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau .
-2-
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư
(trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2).
m
4- Các tổng của Cnk được tính như thế nào ?
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta
co
chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách
tính.
,
6
, ). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai
4
3
cách tính.
oc
uo
c.
* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là
* Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số
phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của
cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị. Cộng vế theo
vế các đẳng thức thu được. Suy ra giá trị của tổng cần tìm.
gb
Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một
trong các cách trên. Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các Cnk trong tổng. Để nói chi tiết
on
được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho
phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho
kh
từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?
II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:
Dạng 1:Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai
triển trực tiếp các số phức
Ví dụ 1:
-3-
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
C2
C4
C6
... C2004 C2006 C2008
Tính tổng A = C0
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
m
C3
C5
C7
... C2005 C2007 C2009
B = C1
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
Giải:
co
Xét khai triển:
xC1
x 2C 2
... x 2008 C 2008 x 2009 C 2009
(1 + x)2009 = C0
2009
2009
2009
2009
2009
Cho x = - i ta có:
c.
iC1
i 2C 2
... i 2008 C 2008 i 2009 C 2009
(1 – i )2009 = C0
2009
2009
2009
2009
2009
oc
uo
C2
C4
C6
... C2004 C2006 C2008 ) +
= ( C0
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
C3
C5
C7
... C2005 C2007 C 2009 )i
+ ( C1
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
Mặt khác:
π
π
(1 i) 2009 ( 2 ) 2009 cos isin
4
4
2009
( 2 ) 2009 cos
2009π
2009π
isin
4
4
π
2009 2 i 2 21004 21004 i
( 2)
2
4
2
gb
π
= ( 2 )2009 cos isin
4
So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )2009 trong hai cách tính trên ta được:
on
C2
C4
C6
... C2004 C2006 C2008 = 21004
A = C0
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
C3
C5
C7
... C2005 C2007 C2009 = - 21004
B = C1
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
kh
Ví dụ 2:
Tính tổng: C =
1 0
2
2 4
23 46 24 48 25 50
C50 3C50 3 C50 ... 3 C50 3 C50 3 C50
50
2
Giải:
Xét khai triển:
-4-
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
1
3 i
2
2
50
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
1 0
1
2 2
49 49
50 50
C50 (i 3 )C50 (i 3 ) C50 ... (i 3 ) C50 (i 3 ) C50
50
2
1 0
2 2
4 4
46 46
48 48
50 50
C50 ( 3 ) C50 ( 3 ) C50 ... ( 3 ) C50 ( 3 ) C50 ( 3 ) C50
250
+
1
1
3 3
5 5
47 47
49 49
3C50 ( 3 ) C50 ( 3 ) C50 ... ( 3 ) C50 ( 3 ) C50 i
250
50
2π
2π
cos isin
3
3
C=
50
trong hai cách tính trên ta được:
oc
uo
1
3
So sánh phần thực của
i
2
2
1
3
100π
100π
isin
i
2
2
3
3
cos
c.
50
1
3
Mặt khác:
i
2
2
co
m
1
1 0
2
2 4
23 46 24 48 25 50
C50 3C50 3 C50 ... 3 C50 3 C50 3 C50
2
250
Ví dụ 3:
Tính tổng: D = 310C0 39 C2 38 C4 37 C6 ... 32 C16 3C18 C20
20
20
20
20
20
20
20
Giải:
3 i
gb
Xét khai triển:
20 (
3 )20 C0 i( 3 )19 C1 ( 3 )18 C2 ... ( 3 )2 C18 i 3C19 C20 =
20
20
20
20
20
20
on
= ( 310 C0 39 C2 38 C4 37 C6 ... 32 C16 3C18 C20 ) +
20
20
20
20
20
20
20
+ ( 3 )19 C1 ( 3 )17 C3 ... ( 3 )3 C17 3C19 i
20
20
20
20
kh
Mặt khác:
3 i
20
220 cos
3
1
220
i
2
2
20
π
π
220 cos isin
6
6
20
1
4π
4π
3
isin 220
i 219 219 3 i
3
3
2
2
-5-
220 cos
20π
20π
isin
6
6
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
So sánh phần thực của
3 i
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
20 trong hai cách tính trên ta có:
co
m
D = 310 C0 39 C2 38 C4 37 C6 ... 32 C16 3C18 C20 = - 219
20
20
20
20
20
20
20
Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những
số phức thích hợp
c.
Ví dụ 1:
Tính tổng: D = C1 3C3 5C5 7C7 ... 25C25 27C27 29C29
30
30
30
30
30
30
30
oc
uo
E = 2C2 4C4 6C6 8C8 ... 26C26 28C28 30C30
30
30
30
30
30
30
30
Giải:
(1 + x)30 = C0 xC1 x 2C 2 x 3C3 ... x 28C 28 x 29 C 29 x 30 C30
30
30
30
30
30
30
30
Đạo hàm hai vế ta có:
gb
30(1 + x)29 = C1 2xC 2 3x 2C3 ... 28x 27 C 28 29x 28C 29 30x 29 C30
30
30
30
30
30
30
Cho x = i ta có:
30(1 + i)29 = ( C1 3C3 5C5 7C7 ... 25C 25 27C 27 29C 29 ) +
30
30
30
30
30
30
30
on
+ ( 2C2 4C4 6C6 8C8 ... 26C 26 28C 28 30C30 )i
30
30
30
30
30
30
30
Mặt khác:
29
kh
30(1 + i) = 30 2
π
π
cos isin
4
4
29
29
30 2
29
29π
29 cos 29π
isin
4
4
30 2
2
2
i 15.215 15.215 i
2
2
So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:
D = C1 3C3 5C5 7C7 ... 25C 25 27C 27 29C 29 = - 15.215
30
30
30
30
30
30
30
-6-
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
E = 2C2 4C4 6C6 8C8 ... 26C 26 28C 28 30C30 = - 15.215
30
30
30
30
30
30
30
Ví dụ 2:
co
m
Tính tổng S = 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 ... 18.39 C18 20.310C20
20
20
20
20
20
Giải:
Xét khai triển:
c.
(1 + 3 x)20 =
Đạo hàm hai vế ta có:
20 3(1 3x)19 =
=
oc
uo
= C0 ( 3x)C1 ( 3x) 2 C 2 ( 3x) 3 C3 ... ( 3x)19 C19 ( 3x) 20 C 20
20
20
20
20
20
20
3C1 2.3xC 2 3.( 3)3 x 2C3 ... 19.( 3)19 x18C19 20.310 x19 C 20
20
20
20
20
20
Cho x = i ta có: 20 3(1 3i)19 =
gb
3
5
17
19
= 3C1 3. 3 C3 5. 3 C5 ... 17. 3 C17 19. 3 C19
20
20
20
20
20
2.3C 2 4.32 C4 6.33 C6 ... 18.39 C18 20.310 C20 i .
20
20
20
20
20
19
on
1
3
i
Mặt khác: 20 3(1 3i)19 = 20 3.219
2
2
π
20. 3.219 cos isin
3
kh
1
19π
19π
3
20. 3.219 cos
isin
i 10. 3.219 30.219 i
20. 3.219
3
3
2
2
So sánh phần ảo của 20 3(1 3i)19 trong hai cách tính trên ta có:
S = 2.3C2 4.32 C4 6.33C6 ... 18.39 C18 20.310 C20 = 30.219
20
20
20
20
20
Ví dụ 3:
-7-
19
π
3
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
Tính các tổng sau: M = C0 3C2 5C4 7C6 ... 13C12 15C14
15
15
15
15
15
15
N = 2C1 4C3 6C5 8C7 ... 14C13 16C15
15
15
15
15
15
15
m
Giải:
co
Xét khai triển:
(1 + x)15 = C0 xC1 x 2C 2 x 3C3 ... x13C13 x14 C14 x15C15
15
15
15
15
15
15
15
c.
Nhân hai vế với x ta có:
Đạo hàm hai vế ta có:
oc
uo
x(1 + x)15 = xC 0 x 2C1 x 3C 2 x 4C3 ... x14 C13 x15C14 x16 C15
15
15
15
15
15
15
15
(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =
C0 2xC1 3x 2C 2 4x 3C3 ... 14x13C13 15x14 C14 16x15C15
15
15
15
15
15
15
15
Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =
gb
= C0 3C 2 5C 4 7C6 ... 13C12 15C14 +
15
15
15
15
15
15
+ 2C1 4C3 6C5 8C 7 ... 14C13 16C15 i
15
15
15
15
15
15
on
Mặt khác:
(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =
14
14 cos π4 isin π4
15i. 2
15
15π
14π
14π
2 15 cos15π
isin
isin
15.27 i cos
2
4
4
4
4
kh
15
2 15 cos π4 isin π4
2
2
i 15.27
2
2
27 27 i 15.27 14.27 27 i 7.28 27 i
So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:
M = C0 3C2 5C4 7C6 ... 13C12 15C14 = 7.28
15
15
15
15
15
15
-8-
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
N = 2C1 4C3 6C5 8C7 ... 14C13 16C15 = -27
15
15
15
15
15
15
Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị
m
Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc
ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):
co
Giải phương trình: x3 – 1 = 0
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1.
c.
1
1
3
3
Ta được các nghiệm là x1 = 1; x
i.
i;x
3
2
2 2
2 2
ε + ε 2 = -1
2)
ε3 1
3)
ε 3k 1
4)
ε 3k 1 ε
5)
ε 3k 2 ε 2
gb
1)
oc
uo
1
3
1
3
Đăt: ε
i ε2
i và ε có các tính chất sau:
2 2
2 2
(k – nguyên).
on
Sử dụng các tính chất trên của ε ta có thể tính được các tổng sau:
Ví dụ 1:
Tính tổng: S = C0 C3 C6 ... C3k ... C15 C18
20
20
20
20
20
20
kh
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = C0 xC1 x 2C 2 x 3C3 ... x18C18 x19 C19 x 20 C 20
20
20
20
20
20
20
20
Cho x = 1 ta có:
-9-
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
220 = C0 C1 C 2 C3 ... C18 C19 C 20
20
20
20
20
20
20
20
(1)
Cho x = ε ta có:
Cho x = ε 2 ta có:
(3)
co
(1 + ε 2 )20 = C0 ε 2C1 εC2 C3 ... C18 ε 2C19 εC20
20
20
20
20
20
20
20
(2)
m
(1 + ε )20 = C0 εC1 ε 2C 2 C3 ... C18 εC19 ε 2C 20
20
20
20
20
20
20
20
c.
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
oc
uo
220 + (1 + ε )20 +(1 + ε 2 )20 = 3S.
Mặt khác: (1 ε) 20 (ε 2 ) 20 ε 40 ε ; (1 ε 2 ) 20 (ε) 20 ε 20 ε 2
Do vậy: 3S = 220 – 1. Hay S =
Ví dụ 2:
2 20 1
3
Giải:
gb
Tính tổng T = C1 C4 C7 ... C3k1 ... C16 C19
20
20
20
20
20
20
Xét khai triển:
on
(1 + x)20 = C0 xC1 x 2C 2 x 3C3 ... x18C18 x19 C19 x 20 C 20
20
20
20
20
20
20
20
Nhân hai vế với x2 ta có:
x2(1 + x)20 = x 2C0 x 3C1 x 4C 2 x 5C3 ... x 20 C18 x 21C19 x 22 C 20
20
20
20
20
20
20
20
kh
Cho x = 1 ta có:
220 = C0 C1 C 2 C3 ... C18 C19 C 20
20
20
20
20
20
20
20
(1)
Cho x = ε ta có:
ε 2C3 C 4 ... ε 2C18 C19 εC20
ε 2 (1 + ε )20 = ε 2 C020 C120 εC2
20
20
20
20
20
20
Cho x = ε 2 ta có:
- 10 -
(2)
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
ε (1 + ε 2 )20 = ε C0 C1 ε 2C 2 εC3 ... εC18 C19 ε 2C 20
20
20
20
20
20
20
20
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:
m
220 + ε 2 (1 + ε )20 + ε (1 + ε 2 )20 = 3T
Mặt khác: ε 2 (1 + ε )20 = ε 42 1; ε (1 + ε 2 )20 = ε 21 1
2 20 2
Do vậy: 3T = 2 + 2. Hay: T =
3
c.
co
20
oc
uo
Ví dụ 3:
Tính tổng: P = C0 3C3 6C6 ... 3kC3k ... 15C15 18C18
20
20
20
20
20
20
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)20 = C0 xC1 x 2C 2 x 3C3 ... x18C18 x19 C19 x 20 C 20
20
20
20
20
20
20
20
Đạo hàm hai vế ta có:
gb
20(1 + x)19 = C1 2xC 2 3x 2C3 ... 18x17 C18 19x18C19 20x19 C 20 (*)
20
20
20
20
20
20
Nhân hai vế (*) với x ta có:
on
20x(1 + x)19 = xC1 2x 2C 2 3x 3C3 ... 18x18C18 19x19 C19 20x 20 C 20
20
20
20
20
20
20
Cho x = 1 ta được:
kh
20.219 = C1 2C 2 3C3 4C 4 ... 18C18 19C19 20C 20
20
20
20
20
20
20
20
(1)
Cho x = ε ta có:
20 ε (1 + ε )19 = εC1 2ε2C2 3C3 4εC4 ... 18C18 19εC19 20ε2C20
20
20
20
20
20
20
20
(2)
Cho x = ε 2 ta có:
20 ε 2(1 + ε 2)19 = ε 2C1 2εC 2 3C3 4ε 2C 4 ... 18C18 19ε 2C19 20εC 20 (3)
20
20
20
20
20
20
20
- 11 -
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:
20[219 + ε (1 + ε )19 + ε 2(1 + ε 2)19 ] = 3P - C0
20
ε 2(1 + ε 2)19 = ε 2 (ε)19 ε 21 1
oc
uo
III- MỘT SỐ BÀI TẬP:
1- Tính các tổng sau:
co
10.2 20
13
3
c.
Vậy 3P = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 . Suy ra P =
m
Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε(ε 2 )19 ε39 1
3
5
27
29
A 3C1 3 3 C3 5 3 C5 ... 27 3 C27 29 3 C29
1
30
30
30
30
30
A 2.3C2 4.32 C4 6.33C6 ... 28.314 C28 30.315 C30
2
30
30
30
30
30
Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3x
gb
phần ảo của hai số phức.
30 . Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực,
ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229
2- Tính các tổng sau:
on
B C0 2C2 3.4C4 5.6C6 7.8C8 ... 21.22C 22 23.24C 24
1
25
25
25
25
25
25
25
B C1 2.3C3 4.5C5 6.7C 7 8.9C9 ... 22.23C 23 24.25C 25
2
25
25
25
25
25
25
25
kh
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh
phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau.
ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)
3- Tính các tổng sau:
C C0 3C2 5C4 7C6 ... 17C16 19C18 21C 20
1
20
20
20
20
20
20
20
- 12 -
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
C 2C1 4C3 6C5 8C 7 ... 16C15 18C17 20C19
2
20
20
20
20
20
20
20
Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i.
m
ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210
4- Tính các tổng sau:
co
D 12 C1 32 C3 52 C5 72 C7 ... 952 C95 97 2 C97 992 C99
1
100
100
100
100
100
100
100
D 2 2 C 2 4 2 C 4 6 2 C6 82 C8 ... 96 2 C96 98 2 C98 100 2 C100
2
100
100
100
100
100
100
100
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm
c.
5- Tính tổng sau:
ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250.
oc
uo
hai vế. Cho x = i.
E = 2C2 5C5 8C8 ... 20C 20 23C 23
25
25
25
25
25
Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)25. Đạo hàm hai vế. Sau đó nhân hai vế với x2. Cho
x lần lượt bằng 1, ε, ε 2 (ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta
tìm được E.
gb
25(2 24 1)
ĐS: E =
3
6 – Tính các tổng sau:
on
F C1 42 C4 72 C7 102 C10 ... 37 2 C37 402 C40
1
40
40
40
40
40
40
F 2 2 C 2 52 C5 82 C8 112 C11 ... 35 2 C35 38 2 C38
2
40
40
40
40
40
40
kh
F C0 32 C3 6 2 C6 9 2 C9 ... 36 2 C36 39 2 C39
3
40
40
40
40
40
40
Hướng dẫn: Xét khai triển của ( 1+ x)40. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo
hàm hai vế.
Để có F1 ta cho x lần lượt là 1, ε, ε 2 (ba căn bậc ba của 1). Cộng vế theo vế ba đẳng thức
nhận được.
- 13 -
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
C kn
øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
40.41(2 38 1)
3
F
2
40(239 1) 39.40(2 38 1)
3
F
3
40(2 39 1) 39.40(2 38 2) 1
3
co
F
1
7- Tính các tổng sau:
oc
uo
c.
ĐS:
m
Làm thế nào để có F2, F3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
G C0 4C3 7C6 10C9 ... 34C33 37C36 40C39
1
40
40
40
40
40
40
40
G 2C1 5C 4 8C 7 11C10 ... 35C 34 38C 37 41C 40
2
40
40
40
40
40
40
40
gb
G 3C 2 6C5 9C8 12C11 ... 36C 35 39C 38
3
40
40
40
40
40
40
Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế.
Để có G1 ta cho x lần lượt là 1, ε, ε 2 (ba căn bậc ba của 1). Cộng vế theo vế ba đẳng
on
thức nhận được.
Làm thế nào để có G2, G3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
kh
ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28.
- 14 -
