[123doc] - cong-thuc-luong-giac-rat-can-cho-hoc-sinh-11

KIến thức lợng giác

A- KIến thức cần nhớ
Đờng tròn lợng gi¸c:

y

t
3

- 3

- 3 /3

-1

u'

B
1

2π/3

u
π/4
π/6

1/2

- 3 /2 - 2 /2 -1/2

2 /2

O

-π/6

- 2 /2

-1
-π/2

-1

-π/3

y'

tg α

0

cotg

kxđ

α

- 3 /3

-π/4

- 3 /2

1

x

1 A (Điểm goỏc)

3 /2

-1/2

cos

3 /3

1/2

-1

Bảng giá trị lợng giác:
Goực
00
0
Hslg
sin
0

3

1

2 /2

5/6



3 /3
π/3

3 /2

3π/4

x'

π/2

t'

300
π

450
π

600
π

900
π

6
1
2

4

3

2

3

4

2
2
2
2

3
2

1

3
2

1
2

2
2
2
−
2

− 3

-1

3
3

-1

3
2
3
3
3

1
2

0

1

3

kxđ

1

3
3

0

1200
2π

- 3

−

−

1350
3π

1500
5π
6
1
2

1. Cung đối nhau

: α và -α

2. Cung bù nhau

: α và π -α

3. Cung phụ nhau

: α và

π
−α
2

(tổng bằng 0)

0

3
2
3
−
3

-1

1

0

0

− 3

kxđ

kxđ

π
π
& − ,…)
6
6
π 5π
&
(Vd:
,…)
6
6

(Vd:

( tổng bằng π )
( tổng bằng

0

−

V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :

1800 3600
π
2π

π
)
2

(Vd:

π π
& ,…)
6
3


4. Cung hơn kém

π
π
: α và + α
2
2

π 2π

&
,…)
6
3
π 7π
&
(Vd:
,…)
6
6
2. Cung bù nhau :

(Vd:

5. Cung hơn kém π : α và π + α
1. Cung đối nhau:
cos(−α ) = cosα
sin(−α ) = − sin α
tg(−α ) = −tgα
cot g(−α ) = − cot gα

Bù sin

Đối cos

3. Cung phụ nhau :

cos(π − α ) = − cosα
sin(π − α ) = sin α
tg(π − α ) = −tgα

cot g(π − α ) = − cot gα

4. Cung hơn kém

π
cos( − α ) = sin α
2
π
sin( − α ) = cosα
2
π
tg( − α ) = cotgα
2
π
cot g( − α ) = t gα
2

π
2
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém

Phụ chéo

5. Cung hơn keùm π :
cos(π + α ) = − cosα
sin(π + α ) = − sin α
tg(π + α ) = tgα
cot g(π + α ) = cot gα

π
2

π
cos( + α ) = − sin α
2
π
sin( + α ) = cosα
2
π
tg( + α ) = −cotgα
2
π
cot g( + α ) = − t gα
2

Hơn kém π
tang , cotang

11π
21π
) , tg
4
4

Ví dụ 1: Tính cos(−

π
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos( + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x)

2

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
cos2α + sin 2 α = 1
sinα
tgα =
cosα
cosα
cotgα =
sinα
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1. cos 4 x + sin 4 x = 1 − sin 2 x cos 2 x
2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x
2. Công thức cộng :

1
cos2α
1
1 + cotg2α =
sin 2 α
tgα . cotgα = 1
1 + tg2α =


cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α
tgα +tgβ

tg(α +β ) =
1 − tgα .tg β
tgα − tgβ
tg(α − β ) =
1 + tgα .tg β
Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
1.cos α + sin α = 2 cos(α − )
4
π
2.cos α − sin α = 2 cos(α + )
4
3. Công thức nhân đôi:
cos 2α = cos2 α − sin 2 α
= 2 cos2 α − 1
= 1 − 2sin 2 α
= cos4 α − sin 4 α
sin 2α = 2sin α .cos α
2tgα
tg2α =
1 − tg2α

cos 2 α =

1 + cos 2α
2

sin 2 α =

1 − cos 2α
2

1
sin α cos α = sin 2α
2

4 Công thức nhaân ba:
cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α
4

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α
4

cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
5. Công thức hạ bậc:

cos 2 α =

1 + cos 2α
1 − cos 2α
; sin 2 α =
;
2
2

6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg

sin α =

α
2

2t
1− t2
2t
;
cos
α
=
; tgα =
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng :

tg 2α =

1 − cos 2α
1 + cos 2α

1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cos α .cos β =

Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức: A = cos 5 x. cos 3x
5π
7π
B = cos
sin
2. Tính giá trị của biểu thức:
12

12

8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

α+β
α −β
.cos
2
2
α+β

α −β
cos α − cos β = −2sin
.sin
2
2
α+β
α−β
sin α + sin β = 2 sin
.cos
2
2
α+β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
sin(α + β )
tgα + tgβ =
cosα cos β
sin(α − β )
tgα − tg β =
cosα cos β
cos α + cos β = 2 cos

Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A = sin x + sin 2x + sin 3x
9. Các công thức thường dùng khác:

π
π

cos α + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + )
4
4
π
π
cos α − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − )
4
4

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

3 + cos 4α
4
5
+
3
cos 4α
cos 6 α + sin 6 α =
8
cos 4 α + sin 4 α =


Các bước giải một phương trình lượng giác

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
 u = v+k2π

⇔ 
 u = π -v+k2π
 u = v+k2π
⇔ 
 u = -v+k2π

sinu=sinv
cosu=cosv
tgu=tgv

⇔

u = v+kπ

cotgu=cotgv

⇔

u = v+kπ

π
+ kπ )
2
(u;v ≠ kπ )

(u;v ≠

( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k ∈ Z )
Ví dụ : Giải phương trình:

π
1. sin 3 x = sin( − 2 x )
4
3. cos 3x = sin 2 x

π
3π
2. cos( x − ) = cos
4

1
4
4
4. sin x + cos x = (3 − cos 6 x )
4

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1:

sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m

( ∀m ∈ R )

* Gpt : sinx = m (1)
•
•

Nếu m > 1 thì pt(1) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 thì ta đặt m = sin α và ta có
 x = α +k2π

(1) ⇔ sinx=sinα ⇔ 
 x = (π -α )+k2π

* Gpt : cosx = m (2)
•
•

Nếu m > 1 thì pt(2) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 thì ta đặt m = cos β và ta có
 x = β +k2π
(2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ 
 x = − β +k2π

* Gpt: tgx = m (3)
•

( pt luôn có nghiệm ∀m ∈ R )

Đặt m = tg γ thì
(3) ⇔ tgx = tgγ ⇔ x = γ +kπ

* Gpt: cotgx = m (4)

4

( pt luôn có nghiệm ∀m ∈ R )


Đặt m = cotg δ thì
(4) ⇔ cotgx = cotgδ ⇔ x = δ +kπ

•

Các trường hợp đặc biệt:
sin x = −1 ⇔ x = −
sinx = 0

π
+ k 2π
2

⇔ x = kπ
π
sin x = 1
⇔ x = + k 2π
2
cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π
π
cosx = 0
⇔ x = + kπ
2
cos x = 1 ⇔ x = k 2π
Ví dụ:
1) Giải các phương trình :
a) sin 2 x =

1
2

π

2
b) cos( x − ) = −
4
2
π
d) 2 cos( x + ) − 3 = 0

π
c) 2 sin( 2 x − ) + 3 = 0
6
e) sin 2 x + cos 2 x = 1

3
f) cos x + sin 4 x = cos 2 x
4

2) Giải các phương trình:
a) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x
b) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x

4
4
c) 4(sin x + cos x) + sin 4 x − 2 = 0
1
3
3
d) sin x.cos x − cos x.sin x =
4

x

2

e) cot gx + sin x(1 + tgx.tg ) = 4
2. Daïng 2:

a sin 2 x + b sin x + c = 0
a cos2 x + b cos x + c = 0
atg2 x + btgx + c = 0

( a ≠ 0)

a cot g2 x + b cot gx + c = 0
Caùch giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : at 2 + bt + c = 0 (1)
Giaûi phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :


5
=0
2
d) 2 cos x cos 2 x = 1 + cos2 x + cos3 x
b) cos 2 x − 4 cos x +

a) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0
c) 2sin 2 x = 4 + 5 cos x
4
4

e) sin x + cos x = sin 2 x −
4
g) sin

k)
3. Daïng 3:

1
2

π
4
4
f) 2(sin x + cos x) − cos( − 2 x) = 0
2

x
x
+ cos4 = 1 − 2sin x
2
2

2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x. cos x
2 − 2 sin x

a cos x + b sin x = c (1)

h) sin 4 x + cos 4 x + sin x. cos x = 0
=0

l) 5(sin x +

cos 3 x + sin 3 x
) = cos 2 x + 3
1 + 2 sin 2 x

( a;b ≠ 0)

Cách giải:
Chia hai vế của phương trình cho a2 + b2 thì pt
a
b
c
(1) ⇔
cos x +
sin x =
a2 + b2
a2 + b 2
a2 + b2

•

•

Đặt

a
a2 + b2

= cosα và

b
a2 + b 2

= sin α với α ∈ [ 0;2π ) thì :

(2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα =
⇔ cos(x-α ) =

c

a2 + b 2
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
Chú ý :

c
a2 + b 2
(3)

Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2

Ví dụ : Giải các phương trình :
a) cos x + 3 sin x = −1

b)

c) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2
e)
d. Daïng 4:

(2)

cos x + 3 sin x = 2

d) tgx − 3 =

cos x − sin 2 x
= 3
2 cos 2 x − sin x − 1

a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0

(a;c ≠ 0)

1
cos x

(1)

Cách giải 1:
2
p dụng công thức hạ bậc : sin x =

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
vaø cos2 x =
2
2

1
và công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin 2 x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
2
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x ta được pt:
atg2 x + btgx + c = 0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x =
Ví dụ : Giải phương trình:

π
+ kπ có phải là nghiệm của (1) không?
2

3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0

d. Dạng 5:

Cách giải :

a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0

(1)

π
Đặt t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) với - 2 ≤ t ≤ 2
4
t2 − 1
2
Do (cos x + sin x ) = 1 + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx=

2
• Thay vào (1) ta được phương trình :
t2 − 1
at + b
+ c = 0 (2)
2
•

•

Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:

π
2 cos( x − ) = t tìm x.
4

Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0
Chú ý :

Ta giải tương tự cho pt có dạng :

Ví dụ : Giải phương trình :

a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0

sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4

4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt

lượng giác cơ bản đã biết
a. Phương pháp 1:

Ví dụ: Giải phương trình:

b. Phương pháp 2:

sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x −

3
=0
2

Biến đổi pt đã cho về dạng tích số

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:


 A=0
A.B = 0 ⇔ 
 B=0

hoặc

Ví dụ : Giải các phương trình :
a. sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x = 2
c. 2sin3 x + cos 2 x − cos x = 0

c. Phương pháp 3:

A.B.C = 0

 A=0
⇔  B=0
 C=0

b. sin 2 3 x − cos2 4 x = sin 2 5 x − cos2 6 x
π
d. sin 2 x + 2 2 cos x + 2 sin( x + ) + 3 = 0
4

Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ

Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
a. cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0
1
c. 2 cos 2 x − 8cos x + 7 =
cos x
d. sin 4 x + cos 2 2 x = 2
* Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) và sinx.cosx
3
3
3
Ví dụ : Giải phương trình : a. 1 + sin x + cos x = sin 2x
2
3
3

b. sin x + cos x = 2(sin x + cos x) − 1