Nghiệm không bị chặn của phương trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN HOÀNG

NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN HOÀNG

NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2015

i

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Hữu Thọ. Sự giúp đỡ và hướng dẫn
tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này
đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề
mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với
thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán cũng như
trong trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 10 tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Hoàng


ii

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình của riêng tôi dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Hữu Thọ.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những

thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng
và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 10 tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Hoàng


iii

Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Lời mở đầu

1

1

3

2

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Nghiệm không bị chặn của phương trình truyền nhiệt

8

2.1

8

2.2

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1

Nhân nhiệt không địa phương . . . . . . . . . . .

10

2.1.2

Nghiệm yếu và mạnh . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.3

Nghiệm trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm không bị chặn . . .

16

2.2.1

Sự so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.2

Xây dựng công thức nghiệm . . . . . . . . . . . .

18


iv

2.3

2.4

2.5

Dáng điệu tối ưu của các dữ kiện ban đầu đối với nhân
phân rã chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.1

Nhân dạng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.2

Nhân dạng mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.3

Nhân dạng α-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Dáng điệu tối ưu của dữ kiện ban đầu đối với nhân phân rã
nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.1

Nhân có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.2

Nhân Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Nghiệm hiện. Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . .

45

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48


1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình nhiệt miêu tả sự tiêu tán nhiệt, cũng như nhiều quá trình
tiêu tán khác, như là tiêu tán hạt hoặc là sự lan truyền của thế năng phản
ứng trong tế bào thần kinh. Mặc dù không có bản chất tiêu tán, một số bài
toán trong cơ học lượng tử cũng được miêu tả bằng một phương trình tương
tự như là phương trình nhiệt. Như chúng ta đã biết kỹ thuật cơ bản để giải
phương trình truyền nhiệt đó là phương pháp tách biến, biến đổi Fourier. . .
và với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về nghiệm của phương trình
truyền nhiệt, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ, em chọn đề tài
cho luận văn là:
Nghiệm không bị chặn của phương trình truyền nhiệt.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về nghiệm không bị chặn của phương trình truyền nhiệt không
địa phương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu phương trình truyền nhiệt không địa phương.
Trình bày một cách hệ thống về nghiệm không bị chặn của phương trình
truyền nhiệt không địa phương và ứng dụng của nó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: nghiệm không bị chặn của phương trình truyền
nhiệt.
Phạm vi nghiên cứu: phương trình truyền nhiệt không địa phương.


2

5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo;
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài.
.
6. Giả thuyết khoa học
Trình bày một cách hệ thống về nghiệm không bị chặn của phương trình
truyền nhiệt không địa phương và ứng dụng của nó.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Những kiến thức trong phần này được tham khảo chính từ tài liệu [1].

1.1

Không gian Lp

Định nghĩa 1.1. Cho một không gian E và một độ đo µ trên một σ - đại
số F trên các tập con của E. Họ tất cả các hàm số f (x) có luỹ thừa bậc
p , (1 ≤ p < ∞), của mô đun khả tích trên E, tức là
|f |p dµ < ∞,

E

được gọi là không gian Lp (E, µ).
Khi E là tập đo được Lebesgue trong Rk , và µ là độ đo Lebesgue, thì ta
viết Lp (E).
Không gian Lp (E, µ), trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương
nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian véc tơ định


4

chuẩn, với chuẩn xác định bởi:
|f |p dµ

f =

1
p

.

E

Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω ⊂ Rn là một tập mở trong Rn , 1 ≤ p < ∞. Hàm
f : Ω → C được gọi là thuộc Lp (Ω) nếu nó đo được Lebesgue và có chuẩn
 p1


f

Lp (Ω)

|f (x)|p dx

=
Ω

hữu hạn.
Trường hợp p = ∞, hàm f thuộc L∞ (Ω) nếu nó đo được và bị chặn cốt
yếu, nghĩa là
f

L∞ (Ω)

= esssup |f (x)| < ∞,
x∈Ω

trong đó esssupx∈Ω |f (x)| được định nghĩa cận dưới đúng của tập các hằng
số M sao cho |f (x)| ≤ M hầu khắp x ∈ Ω.
Đặc biệt L1 (Ω) là không gian các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối với
f

L1 (Ω)

|f (x)|dx.

=
Ω

Định nghĩa 1.3. Với mỗi tập con A của E, hàm đặc trưng χA của A là hàm

số xác định trên E và xác định bởi

χA (x) =



1 nếu x ∈ A

0 nếu x ∈
/ A.


5

1.2

Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.4. Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1 (Rn ) được xác định
bởi

fˆ(w) =

f (x)e−2πix.w dx, w ∈ Rn .
Rn

Ở đây x và w thuộc Rn , và x.w = x, w là tích vô hướng của hai phần
tử trong Rn . Ta cũng có dạng viết khác của phép biến đổi Fourier như sau:
fˆ(w) =

1
n
(2π) 2

f (x)e−ix.w dx, w ∈ Rn
Rn

Khi ta muốn nhấn mạnh rằng biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính tác
động trên một không gian hàm, ta viết F(f ) thay cho fˆ.
Định nghĩa 1.5. Cho fˆ(w) là biến đổi Fourier của hàm f , khi đó
fˆ(w)e2πix.w dw, x ∈ Rn

f (x) =
Rn

gọi là phép biến đổi ngược của phép biến đổi Fourier.
Định lý 1.1. Nếu f ∈ L1 (Rn ) thì fˆ thuộc L∞ (Rn ) và lim |fˆ(w)| = 0.
|w|→∞

1.3

Tích chập

Định nghĩa 1.6. Cho f và g là các hàm khả tổng địa phương trong Rn .
Nếu tích phân
f (y)g(x − y)dy


6

tồn tại với hầu hết mọi x ∈ Rn và xác định một hàm khả tổng địa phương
trong Rn , thì đó được gọi là tích chập của các hàm f và g và được ký hiệu
là f ∗ g, tức là
(f ∗ g)(x) =

f (y)g(x − y)dy
g(y)f (x − y)dy = (g ∗ f )(x).

=

(1.1)

Các tính chất của tích chập
(a) Tính giao hoán của tích chập. Nếu tích chập f ∗ g tồn tại, thì tích
chập g ∗ f cũng tồn tại, và chúng bằng nhau
f ∗ g = g ∗ f.
f ∗ g ∗ h = f ∗ h ∗ g = h ∗ f ∗ g = ....
(b) Tích chập với hàm delta. Tích chập của hàm suy rộng bất kỳ f trong
D với hàm δ tồn tại và bằng với f
f ∗ δ = δ ∗ f = f.

(1.2)

Nhận xét 1.1. Ý nghĩa của công thức f = f ∗ δ : một hàm suy rộng f bất
kỳ luôn có thể được khai triển theo hàm δ, một cách hình thức, ta có thể
viết
f (x) =

f (ξ)δ(x − ξ)dξ.

(c) Phép tịnh tiến của tích chập. Nếu tích chập f ∗ g tồn tại, thì tích


7

chập f (x + h) ∗ g(x) cũng tồn tại với mọi h ∈ Rn , và
f (x + h) ∗ g(x) = (f ∗ g)(x + h).

(1.3)

Tức là, toán tử tịnh tiến và tích chập giao hoán, nói cách khác, toán tử tích
chập
f →f ∗g
là một toán tử tịnh tiến bất biến.
(d) Tính phản xạ của tích chập. Nếu tích chập f ∗ g tồn tại, thì tích chập
f (−x) ∗ g(−x) cũng tồn tại và
f (−x) ∗ g(−x) = (f ∗ g)(−x).

(1.4)

(e) Tính khả vi của tích chập. Nếu tích chập f ∗ g tồn tại, thì tồn tại các
tích chập Dα f ∗ g và f ∗ Dα g và ta có
Dα f ∗ g = Dα (f ∗ g) = f ∗ Dα g.

(1.5)


8

Chương 2

Nghiệm không bị chặn của phương
trình truyền nhiệt
2.1

Giới thiệu

Luận văn nhằm nghiên cứu về bài toán Cauchy cho các phương trình
nhiệt không địa phương có dạng:
ut = J ∗ u − u,

(x, t) ∈ RN × R+ ,

(2.1)

ở đây, J : RN → R là mật độ xác suất liên tục đối xứng và f ∗ g là tích
chập của các hàm f và g, dữ kiện ban đầu
u(x, 0) = u0 (x),

x ∈ RN ,

(2.2)

bị chặn địa phương (không nhất thiết là không âm).
Các kiến thức được trình bày trong chương này được trích dẫn trực tiếp
từ tài liệu [4].
Phương trình này và một số biến thể của nó đã được nghiên cứu bởi một


9

số tác giả trong thời gian gần đây và theo những hướng khác nhau. Những
kết quả này chủ yếu là giải quyết với các lớp của một trong hai dữ kiện
ban đầu bị chặn hoặc thuộc lớp L1 . Trong luận văn này, chúng tôi sẽ xét
bài toán Cauchy trong các lớp của dữ kiện không nhất thiết bị chặn, cũng
không khả tích, vì vậy mà các công cụ "bình thường" như Biến đổi Fourier,
Định lý điểm bất động ... sẽ không thực hiện được.
Trường hợp dữ kiện ban đầu u0 liên tục và có giá compact, nghiệm của
bài toán (2.1) - (2.2) có thể được viết như sau
u(x, t) = e−t u0 (x) + (w(t) ∗ u0 ) (x),
với ω là phần chính quy của nhân nhiệt không địa phương.
Như ta đã biết, trong trường hợp phương trình truyền nhiệt "cổ điển"
ut = ∆u trong RN × R+
với dữ kiện ban đầu u0 "tối ưu" thỏa mãn ước lượng:
2

|u0 (x)| ≤ c0 eα|x| ,

với α, c0 > 0,

(2.3)

và khi đó ta nhận được tính duy nhất nghiệm.
Trước hết ta liệt kê một số ký hiệu sẽ được sử dụng trong luận văn:
(i) Ta ký hiệu Br là hình cầu tâm tại 0 bán kính r và χr là hàm đặc trưng
của nó.
(ii) J :
RN

RN → R là một hàm liên tục đối xứng, không âm sao cho
J(y)dy = 1. Các ký hiệu J ∗n biểu thị tích chập của J với chính

10

nó (n − 1) lần, n đếm số lần J, từ đó quy ước J ∗0 = δ0 , J ∗1 = J.
(iii) Nếu τ : RN → R là một hàm trơn, không âm và có giá compact trong
B1 , sao cho

τ = 1 thì τn được xác định bởi τn (x) = nN τ (nx).

(vi) Với f, g : RN → R ta viết f

g nếu f (x) = g(x) (x) với (x) → 0

khi |x| → ∞. Ta cũng có thể mở rộng cho các hàm phụ thuộc thời
gian như sau
Định nghĩa 2.1. Nếu u, v : RN × [0, ∞) → R, ta nói rằng u

v đều địa

phương trong [0, ∞) nếu
|u(x, t)| ≤ C(t) (x)|v(x, t)|,
với C ∈ L∞
loc ([0, ∞)) và (x) → 0 khi |x| → ∞.
Định nghĩa này sẽ được sử dụng trong việc xây dựng nghiệm trên ψ có
xu hướng tiến đến +∞ khi t → ∞.
2.1.1

Nhân nhiệt không địa phương

Trong [3] các tác giả đã chỉ ra rằng, nếu dữ liệu ban đầu và biến đổi Fourier
của nó là khả tích, thì nghiệm của bài toán (2.1)-(2.2) là duy nhất và được
cho bởi:
u(x, t) = e−t u0 (x) + (ω(t) ∗ u0 ) (x),

(2.4)

với ω là hàm trơn. Tất nhiên, điều này đúng với trường hợp dữ kiện ban đầu
là thuộc lớp L2 (RN ) hoặc bị chặn và có giá compact (chúng ta sẽ sử dụng
kết quả này trong các phần tiếp theo của luận văn). Bổ đề sau đây cho ta


11

một số tính chất cơ bản của phần chính quy của nhân nhân nhiệt không địa
phương:
Bổ đề 2.1. Hàm ω được cho bởi
∞

ω(x, t) = e

−t
n=1

tn J ∗n (x)
.
n!

(2.5)

Hơn nữa, ω là nghiệm của bài toán


ωt = J ∗ ω − ω + e−t J,

(2.6)


ω(x, 0) = 0.
Chứng minh. Nếu u0 và biến đổi Fourier của nó là khả tích, ta có thể viết
nghiệm với các biến tần số như sau:
∞

u(ξ, t) = e

−t

1+
n=1

tn n
J (ξ) u0 (ξ).
n!

Do đó, trở lại với các biến ban đầu ta được
∞
−t

u(x, t) = e

δ0 (x) +
n=1

tn ∗n
J (x) ∗u0 (x) = e−t u0 (x)+(ω(t)∗u0 )(x),
n!

trong đó ω được cho bởi (2.5). Chú ý rằng vì J ∗n

1

= J

1

= 1, nên

chuỗi hội tụ trong L1 . Hơn nữa, bằng tính toán trực tiếp ta thấy rằng


12

ω(x, 0) = 0 (theo nghĩa liên tục) và
∞
−t

ωt = −ω + e

J+
n=2

ntn−1 J ∗n
n!
∞

−t

= −ω + e

J +J ∗
n=1

tn J ∗n
n!

∞
−t

= −ω + e

J+
n=1

tn J ∗(n+1)
n!

= J ∗ ω − ω + e−t J.

Bổ đề được chứng minh.
2.1.2

Nghiệm yếu và mạnh

Sau đây là các khái niệm về nghiệm mà chúng ta sẽ sử dụng trong luận văn.
Định nghĩa 2.2. Một nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.2) là một hàm
u ∈ L1loc (RN × R+ ) thỏa mãn phương trình theo nghĩa phân bố.
Và dưới đây là định nghĩa về nghiệm mạnh và nghiệm cổ điển.
Định nghĩa 2.3. Cho u0 ∈ L1loc (RN ). Ta có
(i) Một nghiệm mạnh của bài toán (2.1) - (2.2) là một hàm
u ∈ C 0 [0, ∞); L1loc (RN )

sao cho ut , J ∗ u ∈ L1loc (RN × R+ )

thỏa mãn phương trình theo nghĩa trong L1loc và u(x, 0) = u0 (x) hầu
khắp nơi trong RN .
(ii) Một nghiệm cổ điển của bài toán (2.1)- (2.2) là một hàm u sao cho
u, ut , J ∗ u ∈ C 0 (RN × [0, ∞))
và thỏa mãn bài toán theo nghĩa cổ điển trong RN × [0, ∞).


13

(iii) Một nghiệm dưới (hoặc nghiệm trên) thường được định nghĩa bằng
các bất đẳng thức

(hoặc

) thay vì đẳng thức trong các phương

trình và các dữ kiện ban đầu.

Kết quả sau đây chỉ ra rằng trong thực tế, nghiệm yếu không âm là
nghiệm mạnh. Điều này cho phép chúng ta chỉ xét các nghiệm mạnh trong
luận văn , đối với các nghiệm thay đổi dấu thì chúng sẽ được xây dựng như
là hiệu giữa hai nghiệm không âm.
Mệnh đề 2.1. Giả sử u là một nghiệm yếu không âm của (2.1). Khi đó, u
có một vết ban đầu u(x, 0+ ) là một hàm không âm trong L1loc và u là một
nghiệm mạnh của (2.1). Hơn nữa, nếu u(x, 0+ ) là liên tục thì u cũng là một
nghiệm cổ điển.
Chứng minh. Ta xét hàm phụ v(x, t) := et u(x, t) , khi đó ta có
∂t v(x, t) = J ∗ v ≥ 0.
Điều này chỉ ra rằng giới hạn v(x, 0+ ) được xác định. Bây giờ, vì u ∈
L1loc (RN × R+ ), nên u(x, t) ∈ L1loc (RN ) với t > 0 bất kỳ, vì vậy
0 ≤ u(x, 0+ ) = v(x, 0+ ) ≤ v(x, t) = et u(x, t) ∈ L1loc (RN ).
Điều này chứng tỏ rằng các vết ban đầu của u thực sự là một hàm trong
L1loc . Thậm chí điều này còn chỉ ra rằng các hàm u(x, t) ∈ L1loc (RN ) với
mọi t > 0. Ta có thể viết
t
+

(J ∗ v)(x, s)ds,

v(x, t) = v(x, 0 ) +
0

(2.7)


14

nghĩa là J ∗ v và J ∗ u là các hàm thuộc L1loc (RN × R+ ). Vì u là một hàm

trong L1loc nên ut cũng là một hàm trong L1loc . Do đó u là một nghiệm mạnh.
Cuối cùng, nếu u(x, 0+ ) = v(x, 0+ ) là liên tục thì theo (2.7) v là liên tục
theo biến không gian và thời gian cho tới t = 0. Do đó u là liên tục và thỏa
mãn phương trình theo nghĩa cổ điển.

Kỹ thuật sau đây là hữu ích cho việc so sánh các kết quả về tính liên tục.
Bổ đề 2.2. Giả sử u là một nghiệm mạnh của bài toán (2.1)-(2.2). Khi đó
với hàm trơn bất kỳ và có giá compact τ : RN → R, hàm
uτ (x, t) := (τ ∗ u)(x, t) =

τ (x − y)u(y, t)dy
RN

là một nghiệm cổ điển của bài toán (2.1)-(2.2) với dữ kiện ban đầu τ ∗ u0 .
Chứng minh. Vì τ có giá compact và trơn nên tích chập τ ∗ u và uτ cũng
được xác định và hơn nữa từ tính chất cơ bản của tích chập suy ra:
∂t (uτ ) = τ ∗ ut = τ ∗ (J ∗ u) − τ ∗ u = J ∗ uτ − uτ .
Cuối cùng, uτ là liên tục do đó nó là một nghiệm cổ điển và vết ban đầu
của nó là τ ∗ u0 .
Tất nhiên, các kết quả tương tự cũng đúng cho các nghiệm dưới, nghiệm
trên : vì τn là không âm, nên các bất đẳng thức tích chập vẫn không đổi.


15

2.1.3

Nghiệm trên

Để thiết lập một lý thuyết đầy đủ về sự tồn tại và tính duy nhất cho nghiệm

của bài toán (2.1)-(2.2) chúng ta sử dụng nghiệm trên đặc biệt ψ thỏa mãn:
ψ ∈ C 0 (RN × [0, ∞)), ψ ≥ 0,
ψ(x, t) → +∞ khi |x| → ∞ đều với t ∈ [0, ∞),

(2.8)

ψt ≥ J ∗ ψ − ψ.
Một cách điển hình để xây dựng nghiệm trên đó là sử dụng các chặn, đó là
các hàm f : RN → R liên tục, không âm, với f (x) → ∞ khi |x| → ∞ và
sao cho với mỗi λ > 0,
J ∗ f − f ≤ λf,

λ > 0.

(2.9)

Khi đó, ψ(x, t) := eλt f (x) thỏa mãn (2.8). Ví dụ, nếu J có một xung lượng
bậc hai hữu hạn m2 thì f (x) = x2 thỏa mãn yêu cầu, với λ = m2 đây là
một phép tính tương tự như trong Mục 2.5.
Một cách tiếp cận khác mà chúng ta sẽ sử dụng trong trường hợp nhân
phân rã nhanh như sau: do ω thỏa mãn (2.6) khi đó nó là một nghiệm trên
của phương trình (2.1). Do đó, nếu f là không âm và sao cho tích chập theo
biến không gian của ω và f là hội tụ, khi đó hàm
(x, t) → (ω(t + 1) ∗ f ) (x)
cũng là một nghiệm trên.


16

2.2

2.2.1

Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm không bị chặn
Sự so sánh

Việc so sánh trong lớp các nghiệm bị chặn đã được nghiên cứu nhiều trong
trường hợp J có giá compact. Trong luận văn chúng ta sẽ quan tâm tới các
kết quả so sánh đối với các nhân tổng quát hơn và không chỉ đối với lớp
các nghiệm bị chặn. Để làm được như vậy chúng ta cần quan tâm xem cực
đại sẽ đạt được tại đâu bằng cách sử dụng nghiệm trên ψ được định nghĩa
như ở mục trên.
Mệnh đề 2.2. Cho ψ thỏa mãn (2.8). Giả sử u là một nghiệm dưới mạnh
của phương trình (2.1) và u¯ là một nghiệm trên mạnh của (2.1) sao cho
u(x, 0) ≤ u¯(x, 0). Nếu u − u¯

ψ đều địa phương trong [0, ∞) thì u ≤ u¯

hầu khắp nơi trong RN × R+ .
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh qua hai bước: đầu tiên ta giả sử rằng
nghiệm dưới và nghiệm trên là liên tục và sau đó ta sử dụng một phương
pháp chính quy hóa để đưa tới kết quả.
Bước 1. Giả sử rằng cả u và u¯ là các hàm liên tục và ta xét hàm sau
ω δ (x, t) = et (u(x, t) − u¯(x, t) − δψ(x, t) − δ) ,
với δ > 0. Hàm này thỏa mãn đánh giá
∂t (ω δ ) − J ∗ ω δ ≤ 0.
Giả sử rằng (x0 , t0 ) là điểm đầu tiên mà tại đó ω δ đạt tới mức −δ/2 và giả


17

thiết rằng t0 là hữu hạn. Vì u − u¯

ψ đều địa phương nên ta nhận được

x0 < ∞. Hơn nữa, vì hàm ω δ là liên tục và ω δ (x, 0) ≤ −δ, do đó t0 > 0.
Chú ý rằng J ∗ ω δ ≤ −δ/2 với t ∈ (0, t0 ). Khi đó, ∂t (ω δ ) ≤ 0 với
t ∈ (0, t0 ) điều này dẫn tới mâu thuẫn. Do đó, ω δ ≤ −δ với mọi thời điểm
t > 0. Cuối cùng, cho δ → 0, ta được kết quả mong muốn.
Bước 2. Bây giờ ta cần phải nới lỏng giả thiết về tính liên tục. Để đạt được
điều cần có, ta sử dụng Bổ đề 2.2 với τn phù hợp để thấy rằng un := τn ∗ u
là một nghiệm dưới liên tục và tương tự u¯n := τn ∗ u¯ là một nghiệm trên
liên tục. Hơn nữa, vì τn ≥ 0 nên các dữ kiện ban đầu được sắp theo thứ tự:
un (x, 0+ ) = τn ∗ u0 ≤ τn ∗ u¯0 = u¯n (x, o+ ).
Để sử dụng Bước 1 cho các tích chập của un và u¯n trước hết ta chú ý rằng
nếu ψ thỏa mãn (2.8) thì ψn := τn ∗ ψ cũng là một nghiệm trên. Ta chỉ cần
chỉ ra rằng un − u¯n

ψn đều địa phương.

Thật vậy, điều này xuất phát từ định nghĩa u − u¯

ψ và vì ta lấy tích

chập với một hàm τn không âm
un − u¯n ≤ c(t)τn ∗ ( (·)ψ(·, t)) (x) ≤ (x)(τn ∗ ψ)(x),
trong đó (x) = max{ (y) : |y − x| ≤ 1/n} sao cho (x) → 0 khi
|x| → ∞. Do đó, un − u¯n

ψn và áp dụng Bước 1 với un , u¯n và ψn ta

được
un ≤ u¯n

trong RN × [0, ∞).

Cuối cùng, ta cho qua giới hạn khi n → ∞. Vì u và u¯ là khả tích địa


18

phương nên ta có u ≤ u¯ hầu khắp nơi.
Như hệ quả trực tiếp, ta có kết quả về tính duy nhất sau đây, kết quả đó
chỉ đúng lớp các nghiệm phù hợp như trường hợp của phương trình truyền
nhiệt địa phương.
Định lý 2.1. Cho ψ thỏa mãn phương trình (2.8). Khi đó tồn tại nhiều nhất
một nghiệm mạnh u của bài toán (2.1)-(2.2) sao cho |u|

ψ đều địa

phương trong [0, ∞).
Chứng minh. Giả sử u và v là hai nghiệm của bài toán (2.1)-(2.2) thỏa mãn
|u|, |v|

ψ đều địa phương trong [0, ∞) khi đó đồng thời ta có u − v

và v − u

ψ

ψ đều địa phương trong [0, ∞). Sử dụng các nghiệm đó như là

nghiệm dưới và nghiệm trên của bài toán (2.1)-(2.2) ta sẽ nhận được u ≤ v
và v ≤ u . Như vậy u = v, và ta được điều phải chứng minh.
2.2.2

Xây dựng công thức nghiệm

Định lý 2.2. Cho ψ thỏa mãn (2.8), dữ kiện ban đầu u0 là hàm bị chặn địa
phương và giả sử rằng với mỗi c0 > 0, ta có
|u0 (x)| ≤ c0 ψ(x, 0) trong RN .
Khi đó, tồn tại một nghiệm u của bài toán (2.1)-(2.2), được xác định bởi
u(x, t) = e−t u0 (x) + (ω(t) ∗ uo ) (x).
Hơn nữa, ta có đánh giá sau:
|u(x, t)| ≤ c0 ψ(x, t) trong RN × R+ .


19

Chứng minh. Chúng ta tách các phần âm và dương : (u0 )+ và (u0 )− của dữ
kiện ban đầu u0 và giải quyết một cách riêng biệt hai bài toán do tính chất
tuyến tính của phương trình (2.1).
Gọi u+
n là nghiệm duy nhất của bài toán chặt cụt
(un )t = J ∗ un − un ,

(x, t) ∈ Rn × (0, ∞),

un (x, 0) = (u0 )+ (x)χn (x), x ∈ Rn .
Do un (x, 0) ∈ L2 (RN ) nên biểu diễn trong công thức (2.4) tồn tại. Hơn
nữa, vì un (x, 0) ∈ L∞ (RN ) nên

−t
u+
n (x, t) = e un (x, 0) + (ω(t) ∗ un (x, 0)) (x) ≤ un (x, 0)

Từ đó, hiển nhiên ta có u+
n

∞.

(2.10)

ψ đều địa phương trong [0, ∞). Vậy nên,

chúng ta có thể áp dụng nguyên lý so sánh trong Mệnh đề 2.2 để có được
(i) Dãy {u+
n } là đơn điệu không giảm.
(ii) u+
¯0 ψ(x, t).
n (x, t) ≤ c
+
N
Do đó, sẽ tồn tại một giới hạn lim u+
n = u xác định trong R × (0, ∞).
n→∞

Ta cần kiểm tra liệu nó có là một nghiệm của (2.1). Cho qua giới hạn trong
phương trình được thực hiện bằng cách sử dụng nguyên lý hội tụ trội đối
với tích chập: hàm giới hạn u+ là hàm thuộc L1loc (RN × (0, ∞)) và J ∗ u+
n
hội tụ tới J ∗ u+ trong L1loc (RN ), do đó ta nhận được một nghiệm mạnh với

dữ kiện ban đầu (u0 )+ . Hơn nữa, cho qua giới hạn trong (2.10) và từ (ii)
như ở trên ta được
u+ (x, t) = e−t (u0 )+ (x) + (ω(t) ∗ (u0 )+ ) (x),

u+ (x, t) ≤ c¯0 ψ(x, t).