Nghiệm không bị chặn của phương trình truyền nhiệt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (387.24 KB, 1 trang )
31
6417
3iv
7519
28
20
21
26
22
24
23
10
13
19
14
15
16
25
18
12
39 2736
43
44
45
40
42
46
30
29
11
241
iii
34
35
33
38
32
37
47
1
n
n
Với
К
=
[ỊxỊ/р]
thì
ta
được:
-70
N
Bộ
GIÁO
Bộ
GIÁO
DỤC
DỤC
VẢ
ĐẢO
VẢ
ĐẢO
TẠO
TẠO
6ư(x,
0)
=
(theo
nghĩa
liên
tục)
và
N
+
a0
l)trong
M
chuẩn,
với
chuẩn
xác
định
bởi:
Khi
phương
Chứng
đó
nó
khơng
minh.
nên
(n
—
Vì
1)
tồn
có
lần,
\x
u
tại
—
<
n
nghiệm
u
y\
đếm
hầu
<
2тах{|ж|,
khắp
số
khơng
lần
nơi.
J
,
âm
|í/Ị},
từ
của
đó
nên
quy
bài
ta
ước
tốn
có
J*°
(2.1
=chỉ
ỗ)-(2.2).
Jpmột
*địa
=
J.cln(|x|)
và
ta
kết
thúc
chứng
minh
như
trong
Mệnh
đề
2.3.
Định
lý
2.4.
Cho
J
là
một
nhân
thỏa
mãn
(2.11).
Giả
sử
rằng
2.1.3
Nghiệm
trên
chập
trừ
việc
f(x
J
khơng
+
h)*
có
g
giá
(
x
)
compact.
cũng
tồn
Đặt
tại
với
mọi
h=
etrên)
R
,(2.22)
và
một
số
tính
chất
cơ
bản
của
phần
chính
quy
của
nhân
nhân
nhiệt
khơng
địa
tồn
5.
tại
Phương
với
hầu
pháp
hết
nghiên
mọi
X
€
cứu
R
và
xác
định
một
hàm
khả
tổng
phương
trong
ữnghiệm
Hệ
quả
2.1.
Giả
sử
и
là
một
nghiệm
khơng
âm
tốn
(2.1)-(2.2).
Khi
đó,
này.
Những
phép
chuyển
là
khơng
phức
khi
đó
việc
thành
Bổ
với
nghĩa
Chẳng
đề
Số
2.6.
Л
là
hạn,
sẽ
J
Cho
*
được
ở
V
đây
J
và
là
chọn
J
ta
một
*
xét
и
sau.
nhân
là
J
(
các
x
)
sao
~
hàm
c
cho
e
thuộc
^.
supp(
LỊ
J)
X
R
với
).
mỗi
Vì
иkhơng
pta
là
>
0.
Khi
hàm
đó
trong
tồn
tại
L\
Dễ thấy
hạng
rằng
Bây
thứ
c
giờ,
{
hai,
x
)
ta
bị
với
cố
chặn
mỗi
định
dưới
hằng
Ị
3
€
đều.
số
(a,
с(7,
1
Thật
/
p
N)
vậy,
và
>
0
xét
ta
nghiệm
có:
trên
sau
(
u
)
ỵ
và
theo
ngun
lý
so
sánh
X
R
ta
có
Số
Bằng
thiết
tác
(iii)
rằng
cách
giả
t
trong
tương
là
Một
hữu
thời
tự,
nghiệm
hạn.
gian
ta
sử
Vì
gần
dụng
dưới
и
đây
—
một
(hoặc
ũ
và
Ф
lần
theo
đều
nghiệm
nữa
những
địa
c(R
phương
ĩBp
pcủa
hướng
như
thường
nên
một
khác
được
nhau.
nhận
định
được
Những
trên
nghĩa
khơng
xbằng
kết
<
bằng
quả
00.
âm
Trong
thực
tế,
chúng
ta
sẽ
xem
xét
ba
dạng
khác
nhau
của
J,
tất
cả
chúng
đều
phân
2.2
mình.
Sự
tồn
Chúng
tại
và
ta
tách
tính
các
duy
phần
nhất
âm
và
của
dương
nghiệm
:ta
(iío)+
và
(wo)bị
của
chặn
dữ
kiện
0
0C
+
ữc
0
2.5Nghiệm
+
n
hiện.
Dáng
điệu
tiệm
+
cận
(iv)Những
lập
luận
như
trong
Chú
ý
2.3.1
cũng
đúng
trong
hợp
này
1.2Biến
ữ
đổi
Fourier
ữvới
ữ
p
>
0.
Giả
sử
Щ
là
một
hàm
bị
chặn
địa
phương,
abài
eЩ
(о,
1,trường
/evới
)thay
và
>
0.
Nếu
Chứng
minh.
Trước
hết
ta
kiểm
tra
rằng
иtạp,
cho
bỏi
là
một
nghiệm
của
(2.1)
<
2
(
l
+
М)**“
(
[
J
{
y
)
e
d
y
2.3
Dáng
điệu
tối
ưu
của
các
dữ
kiện
ban
đầu
đối
với
nhân
Định
lý
2.9.
Cho
J
là
một
nhân
đối
xứng
tâm
và
có
giá
compact
trong
Bp
với
p□|
0
lượng,
do
đó
xác
định
lại
c
và
ụ
,
bằng
cách
lấy
min
trên
tất
cả
các
đại
lượng
và
Vớita
2.4
cách
cũng
Dáng
chọn
nhận
này,
điệu
được
tính
tối
đánh
chất
ưu
giá
(2.13)
của
tương
dữ
thỏa
tự
kiện
mãn
đối
ban
u
n
đầu
~.
=
Với
đối
và
t
ta
sẽ
(0,
chỉ
nhân
T),
ra
ta
có
phân
đánh
quy
o •
•
o
•
•
•
\ J B HỌC
{ sư
0,1*1)
TRƯỜNG
TRƯỜNG
ĐẠI
ĐẠI
HỌC
PHẠM
sư PHẠM
HÀ NỘI
HÀ NỘI
2 2
n Thật
+
1 2yậy, avì
n5
5
/ìngiải
là
một
hàm
dương
và
xC
xu
Lời
mỏ
đầu
phương:
Tìm
R
,
hiểu
thì
đó
tư
được
liệu
ữong
gọi
là
sách,
tích
báo;
chập
của
các
hàm
f
và
g
và
được
ký
hiệu
f*cùng,
*nđược
g,
tức
ịKhỉ
ỉlà
ltrình
J.tuyến
(Do
+hàm
vết
ban
đầu
Щ
=
(
,
0
)
>
0
của
и
thỏa
mãn
đánh
giá:
ln(lxl)
/
với
|ж|
>
1.
hai
nên
hằng
u
cũng
số
C
là
,
một
4
>
hàm
0
sao
trong
cho
ta
L\
có
.
đánh
Do
đó
giá
и
là
trên,
một
tức
nghiệm
là:
mạnh.
Cuối
nếu
V—^
t
.
J
+
t
này
Hơn
chủ
nữa,
các
yếu
vì
bất
hàm
là
đẳng
U
)
quyết
thức
là
liên
^
với
(hoặc
tục
các
và
thay
lớp
U
)
của
vì
(
x
đẳng
một
0)
<
thức
trong
—
ỏ
ữong
,
hai
do
đó
các
tâm
kiện
phương
>
0.
ban
đầu
bị
và
chặn
các
rã
và
ở
đạt
vơ
được
cùng
một
chậm
nghiệm
hơn
so
u~
với
với
exp(—а|ж|),
dữ
kiện
ban
а
đầu
>
0.
(lío)-(phầĩi
Cả
ba
trường
của
hợp
щ
đều
)tồn
đó,
xử
и
ban
đầu
u
và
giải
quyết
N
một
cách
riêng
biệt
hai
bài
tốn
tính
chất
tính
t
3
oc
bằng
cách
thay
thế
điều
kiện
đối
với
dữ
kiện
ban
đầu
bởi
:
0c
wo(ỉ)|
<
c
e
\
\
\
\,
thì
với
bất
kỳ
T
>
0,ß
G
(a,
1
/
p
)
và
A
>thiết
0có
lớn,
các
nếu
hệ
số
C
0
ỵ
được
đưa
ra
theo
đệ
quy
bởi
(2.23).
phân
rã
chậm....................................................................................
21
Như
hệ
quả
trực
tiếp,
ta
có
kết
quả
về
tính
duy
nhất
sau
đây,
kết
quả
đó
chỉ
>
0.
Giả
sử
Щ
là
dữ
kiện
ban
đầu
bị
chặn
địa
phương
và
>
0.
đó
ta
có
ữ
đầu
ta
được
(2.13)
với
nýsố^>nhân
1.
□
0cho
giá
nạp
rằng
các
tính
chất
này
đúng
n\ )tiếp.
>=đạt
77,0.
có
thể
rằng
trong
B1)
có
2hệ
—mãn
~trơn,
^ +Ta
ekết
~1đó,
(duy
jvới
+giả
^dữ
2do
Bổ >
đề
2.4.
Cho
là
thỏa
(2.8).
Khi
mối
7đủ
<
7o
ln
tồn
tại
(iii)
Hơn
nữa,
từ
Nếu
Chú
rmột
:R
2.3.1
R
ta
làvới
cũng
một
hàm
được
khơng
quả
âm
về
và
sự
khơng
giá
compact
tại
nơcác
Dưới
đây
một
quả
ưực
Để
thiết
lập
một
lý
thuyết
đầy
đủ
về
nhất
nghiệm
của
bài
7một
7->
7sự
72 tồn7 tạiк và tính
-т
<
cc't
.JBiến
n\
rã
nhanh
2ự
2* +
Kvnà0,7 > 7oe_í
M
2.2.1
Sự
so
sánh
:=
/
J
{
y
)
d
y
>
J
*
(1
+
|ж|
)
(1
+
|ỉ|
)
=
J
|ỉ|
|ỉ|
U
Q
(
X
)
>
co(l
|ж|
)
v
ớ
i
C
Q
>
0
f
(
x
+
h
)
*
g
(
x
)
=
(/
*
g
)
(
x
+
h
)
.
(1.3)
Định
nghĩa
1.4.
đổi
Fourier
của
một
hàm
/eL
(R
)
được
xác
định
bởi
I5,=pt71
)w(í)
A(w(í
+\)nghiệm
{ux\+)
\ xchúng
- uy((\ xo)+Xn
){\xx<
\ +t211/11=
С+
(:=\Ъ■
yМ
\*(thức
(-Iсu2^2
Xỵà{in*V
-,p^ )'\hiện
. bài stốn
p+1)
=,xét
00.
\ (2.1)- (2.2)
Trong
phần này,00
ta
sẽ
cơng
Q
\/Ш
fnghiên
ịe)-iuif<
1 f+n
+ + kiến thức,
—
U( t7xubằng
Tổng
là
vận
dụng
cho
đích
cứu
đề
tài.
Để
n,hợp
tránh
n2.3.1
vấn
đề
đối
với
log
\này,
xyvói
\eliptic.
<(2.7)
ta
xét
hàm
unghiệm
0—
)trong
=xcác
vpvà
(sao
x
,
0
)
là
liên
tục
ứiì
theo
V
là
liên
tục
theo
biến
khơng
gian
và
hoặc
Chú
thuộc
dữ
ý
rằng
kiện
lớp
L
ban
J
*
.
Trong
đầu.
C
Ü
luận
<
—
văn
ỗ
/
e
(0,í
tơi
xét
đó,
bài
d
tốn
(
c
ú
Cauchy
)
<
0( nvói
trong
ethỏa
các
(0,
ỉf=
7sẽ
lý
một
cách:
sử
dụng
các
vấn
đề
là
đi
tìm
hàm
/
nhất
=
của
phương
u~
là
trình
một
(2.1).
nghiệm
với
dữ
kiện
ban
đầu
(wo)+
Ы
—
Việc
sánh
Nlớn
0)của
t trình
Jnếu
{chặn
3mục
/lũy
22
}t1,
ĩ
p
{
x
,
t
)
:
=
(
u
j
(
t
+
l
*
ß
)
(
x
)
Thật
vậy,
ta
có
0Khi
Nhân
dạng
thừa
....................
22
đúng
lớp
nghiệm
phù
hợp
như
trường
hợp
phương
ưuyền
địa
khẳng
định
sau:
n=l
77)so
,các
J*
>
Cịi
với
X
€
-S(
)
ta
có
:
X
=
A(
n
>
J,
[
\
7)
\
/
\
cho
J
thỏa
mãn
(2.9)
f(x)
=
e
l
L
trong
trường
hợp
n+1
dữ
CT
kiện
ban
đầu
đổi
dấu
nếu
chúng
ta
hạn
chế
Bchọn
i ,chúng
sao
cho
/ Ttục
= 1chứng
thì
Tn—
được
xác
định
bởi
Tthỏa
) trong
=Lú
n được
rMệnh
xnhiệt
.t phần
'E
tốn1.
(2.1)-(2.2)
tatiếp
sử
dụng
nghiệm
trên
đặc
biệt
tbên
p2.1.
n ( x mãn:
Sau
đây
chúng
ta
sẽ
minh
ước
lượng
dưới
Lý
do
đề
tài
n xác
BƠ
đê
Hàm
cho
bởi
(
l/p)|a:
|
ln
|x|
+
(c
+
ln
t
)
\
x
\
Định
lý
2.11.
Cho
J
được
định
trong
(2.19)
với
mối
7
>
0,
giả
sử
Щ
là
hàm
\
x
y
\
M
<
M
U0-(1/р)1*|ь|*|+с(г
(X)
< 00,
bất
kỳ.
< sokiện
Jsánh
* ịxự
=đầu
/U
J/lớp
{cụ
y((J)tthể.
yQoc
ự
ybịmột
,!
)cư(s,í)
)\*x* <*—
(ií
)_
oo
và
U )đã
(với
t sao
) *n {>
щ1>) +
)|*|^
0 —
( )00,
với
dữ
ban
Cho
J)
cho
Việc
trong
các
nghiệm
chặn
s được nghiên cứu nhiều ữong trường
Nnhư
Bây
giờ
chúng
ta
xét
trường
hợp
nhân
phân
rã
nhanh.
Trong
nhiều
trường
hợp
thời
gian
cho
tới
t
=
0.
Do
đó
и
là
liên
tục
và
thỏa
mãn
phương
ữình
theo
nghĩa
cổ
tTức
lớp
)
của
điều
dữ
này
kiện
dẫn
khơng
tới
mâu
nhất
thuẫn.
thiết
Do
bị
chặn,
đó,
U
cũng
)
<
khơng
—
ỏ
với
khả
mọi
tích,
thời
vì
điểm
vậy
mà
t
>
các
0.hai
cơng
Cuối
mãn
giả
thiết
(2.9).
Sự
tồn
tại
của
hàm
vậy
sẽ
suy
ra
sự
tồn
tại
của
nghiệm
trên
Gọi
1Í+
là
nghiệm
duy
nhất
của
bài
tốn
chặt
cụt
với
Ф
là
rất
đơn
giản.
□
2
2
ữ
ln
N
=
—tư
+
e
*
Ị
»7
-I-1/
*
^
^
2.3.2
Nhân
dạng
mũ
..........................
24
phương.
nên tập
Bây
{
\
x
giờ
—
để
y
\
tối
>
ưu
|ж|}
hóa
chứa
đánh
ít
nhất
giá
{
này
y
ị
X
khi
ị
<
|x|
0
với
—>
i
00
=
1
,
ta
,
.
chọn
.
.
,
N
к
}
.
sao
Hơn
cho
nữa,
cả
vì
số
n
n
a
x
ln
x
J
R
'
\
n
=
1
Khi
đó,
khơng
tồn
tại
nghiệm
âm
của
bài
tốn
(2.1)-(2.2).
là,
pâm
tốn
tửtịnh
và
tích
chập
hốn,
nói
cách
pR
ịyếu
k,khác,
tử
tích
khơng
của
các
dữ
kiện
ban
đầu.
Nhưng
mặt
khác,
và
như
vậy
nếu
|ж|
<
n0tiến
và
3/2
<
2giao
thì
\1xtrên
—
уX
—
1/2)
+âm
đó
với
nghiệm
này
tăng
tníỏng
ứiiểu
cỡ
1*1
M
.|cũng
[0,
T
]nghiệm
,tốn
(xem
(2.18)).
Vì
Kết
quả
sau
đây
chỉ
ra
rằng
ữong
thực
tế,
nghiệm
khơng
là)trình
N(2.1
là
một
nghiệm
trên
của
bài
tốn
)-(2.2)
trên
[о,
Т].
,
- ±tiêu
^
. :
Đỉnh
nghĩa
1.2.
Giả
sử
íĩtối
c\ phương
M
là
một
mỏ
trong
1
<
p
<
00.
Hàm
f
(i)
Nếu
|wo(ỉ)|
<
c
\
\
\
0
<
a
<
/
p
,
khi
đó
tồn
tại
tồn
cục
(2.
xkhẳng
tDo
=nghiệm
đề
2.3.
Phương
trình
nhiệt
miêu
tả
sự
tiêu
tán
nhiệt,
như
nhiều
q
0e
a tập
ln
ỉ
+1
1/2
Nc
Khi
đó,
với
c
,
>
ta
CĨ
Chứng
minh.
Ta
sẽ
chứng
minh
như
trường
hợp
trước.
Chú
ý
rằng
\x
—
y
I
—
|ж|
3
4
giá
trị
ban
đầu
bị
chặn
địa
và
Co
>
0
tùy
ý.
Khi
đó
ta
có
các
định
=
J
*
U
J
—
ŨJ
+
e~
J.
9
)
{
x
)
=
Ị
f
y
g
{
x
ỳ)dy
V
n=l
+k(/
1 ) 1*—
g
{
x
)
:=
n
N(
(l
l
))
.
n
(vi)
Với
>
M
ta
viết
/nếu
f
i
x
)
=
g
(
x
)
e
(
x
)
với
б(ж)
—>•
0
a
e
C/, gx{:nĩR
/(»)
=
//(*),—<«,,
»
«-.
e quan
f Jvà{JyX
x- - yvăn
ựJdJ*u
Ị>
)(x)-C
\yx. - so
y kự(x)),
p~dựng
e(:xdụng
ĩ+(p0-u
, sẽ
Jk(
*cách
)==>
x\J[0,oo))
*5ựychúng
)<
yooj
=ta
J ( ytâm
) Jnhận
*tới
( j-(J
xcác
- J*C
y( )ydáng
U
ị6.
= J'ỵ
2thể
)t
J()*u-u
+
'tối
n\
hợp
có
giá
compact.
Trong
luận
ta
kết
quả
sánh
kd
0d0
Giả
thuyết
khoa
học
đó,
bằng
sử
với
cũng
có
xây
các
chặn,
chúng
khơng
điệu
:=
sup
^7
0N(2.14)
:dạng
(tuy
ydựng
)=)khả
\nhiên
y—
d>yyĐịnh
G
(0,
oo).
(2.21)
điển.
cụ
cùng,
"bình
cho
thường"
ỗsánh
—>
0,
như
ta
được
Biến
kết
đổi
quả
Fourier,
mong
muốn.
lý
điểm
bất
động
sẽ
khơng
thực
ф.
Chứng
minh.
Ta
sử
dụng
các
xây
tương
tự
như
trên,
xét
uữong
X...
nnhiều
như
là
một
dữ
nên
tlớn
có
Cú
2.3.3
Nhân
ữ-ổn
định
...................
26
ữđược
Định
lý
2.1.
Cho
lị)
thỏa
mãn
phương
trình
(2.8).
Khi
đó
tồn
tại
nhất
một
n,là
=1
hàmDo
số
hạng
dưới
là
dấu
so
tích
được,
phân
là
nghĩa
đối
tâm
khi
và
|x|
tích
00,
nên
sử
ta
dụng
có
thức
Stirling:
Ncơng
với
t
>
0
bất
kỳ.
chập
n
Do
đó,
n
nghiệm
trên
này
tăng
ngặt
nhanh
hơn
các
nghiệm
thỏa
mãn
\
u
(
x
,
t
)
\
<
n
mạnh.
đủ
Điều
và
với
này
các
cho
giá
phép
J
trị
B
{
X
chúng
0,1*1)
у
đó
ta
ta
chỉ
có
I
xét
ж
—
у
nghiệm
I
<
та
và
mạnh
ta
0,1*1)
có
thể
luận
văn
,
đối
Chú
2.2.1.
Ta
có
một
số
chú
ý
sau:
—>
cxét
được
gọi
JJvì
là
R*hạt
(fỉ)
nó
đonên
JRR thế
Lebesgue
vàtrong
cóứng
chuẩn
bài
tốn
(2.1)-(2.2).
R"
Chứng
tiếp
Mệnh
Ước
lượng
trên
được
khẳng
định
tán
khác,
như
là|x|
tiêu
tán
là
sựpnếu
lan
truyền
của
năng
phản
trong
tế
kcủa
=7o
1 minh
=
ucũng
-hoặc
u2.3.
,rằng
(x,
t)được
egiản
kX
=1(0,
oo),
:=
Chứng
minh.
Thứ
nhất,
Jthuộc
có
khối
lượng
đơn
vị
< |y|,
khi
đó
đánh
giá
nđề
nƯ
sau
(ta
chỉ
>00.
1J:
khi
|ỉ|
—
>
Ta
có
thể
mở
rộng
cho
các
hàm
phụ
thuộc
thời
gian
Chứng
minh.
Chúng
ta
giả
thiết
=
1
để
đơn
hóa
chứng
minh,
các
biến
Theo
Hệ
quả
2.1
nếu
tồn
tại
một
nghiệm
khơng
âm
thì
c
e
I
p
(
x
,
t
)
—►
+oo
khi
|rcỊ
—►
oo
đều
với
t
e
[0,
oo),
(2.8)
□
đối
với
các
nhân
tổng
qt
hơn
khơng
với
lớp
các
chặn.
Để
ßta
>thống
1/cr,
oJJ(nới
tgxây
){và
*fylỏng
(m
){>
+x
X-dữ
nfy-chỉ
+00
—>■
-f0với
{*
ld
/ cách
p9
) \ xchặn
\ ln
|я|+(
сn+1п
t ) \ 00
xnghiệm
\ / p trình bị
Trình
bày
một
cách
hệ
nghiệm
khơng
bị
của
phương
truyền
=сvề
)—•►
yđối
=
{tính
gkhi
*đầu
(1.1)
7 Dáng
7chúng
Ưu
và
cần
phải
dựng
một
tiếp
cận
khác.
hiện
Bước
được.
2.
Bây
giờ
ta
cần
phải
giả
thiết
về
liên
tục.
Để
đạt
được
điều
kiện
ban
đầu.
Các
dãy
u
kiện
ban
u
X
n
là
dãy
đơn
điệu
2.3.3
Nhân
dạng
a-ổn
định
ado
xmạnh
lnđó
nnghiệm
2.4
điệu
tối
ưu
của
dữ
kiện
ban
đầu
đối
với
nhân
phân
rã
n)
0địa
nghiệm
u
của
bài
tốn
(2.1)-(2.2)
sao
cho
|w|
phương
trong
[0,
<
|ж|
2
J
(
y
)
d
y
+
2
J
(
y
)
\
y
ự
d
y
Bổ
đề
được
chứng
minh.
n
Tất
cả
các
ưóc
lượng
trong
Bổ
đề
2.8
vẫn
đúng
và
được
phát
biểu
như
sau:
N
+
a
N
+
a
C
(Ở
tBây
)thần
ethành
\mất
\nghiệm
1*1,
ta
có
thể
đụng
lý
2.1
để
có
được
tính
duy
nhất.
với
các
dấu
thì
được
như
làhệkết
hiệu
giữa
hai
đây
xkinh.
vvì
ầtổng
w
thuộc
R
,giả
Xáp
. có
W(lại
xĐịnh
là
tích
vơ
hướng
của
hai
phần
tửcơ
ưong
hồn
được
minh
bằng
quy
nạp
như
trong
Bổ
đề
2.7.
□□
?tốn
Bổ
+chứng
chúng
ta
quay
dưới.
bào
Mặc
dù
khơng
bản
chất
tiêu
tán,
số
bài
ữong
học
Khơng
ta
(0,...,
0,
X
)ysẽ
u{vậy
()nên
xthay
,ygiản.
0\lại
)ylnЛđổi
=xây
(ovà
u111
)phương
x=
)chúng
ỵmãn
x=ế)w
, )\ước
xylý
&
R
.xây
nqt
=
>
2các
Jvới
((ịX
),các
"sẽ
\2duy
(nên
llượng
+
\\ dựng
)Để
N\một
nu
0sử
+rằng
ny(trình
giờ
ta
quay
với
kết
quả
về
tính
nhất.
đạt
được
quả
này,
a1thỏa
từ
ta2.6,
thấy
rằng
и
mãn
bằng
cách
thay
các
số
bằng
biểu
N
N\ thế
++d
ay
172
(i)
Nghiệm
được
dựng
2)<
ữong
định
này
có
thể
được
sử
dụng
như
một
như
sau
ịlàm
đổi
ỉс ỉđó
)đề
sẽ
N
trở
ế
u
lên
щ
đơn
х
>
Vì
cư
thỏa
với
ß
(2.6)
>
1Ị
p
,
thì
hàm
Ф
khơng
thỏa
tồn
mãn
tại
nghiệm
c ( x ) >(i)
íNếu
\
M
\
+
{
T
\
y
\
\
y
l
n
\
y
c
(
T
)
\
y
\
>
0,
(cư(í)*e
^
^)(ж)
c'
/
e-^/zOMinM+c'CnM+alz-ylinlz-yi^
=
c
p
d
y
I
p
ị
>
J
*
I
p
—
I
p
.
NGUYỄN
VẴN
HỒNG
J
B
{
0,1*1)
J
R
\
B
(
0,1*1)
(1
+
\
x
y
\
)
d
y
\ u Qnhư
( x tịnh
)phương
I
^)
với
a\)
<~
7,{xem
khi
đó
sẽ
tồn
nghiệm
c(ụ2bằng
c.20)
2.3.1
Nhân
dạng
Ÿ\x
~
thừa
К
K
ì ĩi\I Kcực
.nữa,
x sẽtại
UJ
là
của
bài
tốn
được
vậy
chúng
ta
cần
quan
tâm
đại
đạt
được
đâu
\chúng
\lũy
f_\2.2
\là
\đây
p
nJЫ(К
)rằng
=n7l*l
Ự
\
j.)nhiệt
2
Ntồn
Ldụng
là
một
tử
bất
biến.
Jsau
*rằng
7l*l
*liên
7l*l
Jgiá
(0xythấy
e ^bất
- rằng
^ -khơng
^compact,
d ynghiệm
nhiệt
khơng
địa
và
ứng
của
nó.
đề
chính
ởnên
đây
là
cần
đánh
giá
<
llJlloo
=)có
cnhân
>d
□
J7M
R
Vì
JVấn
là{tốn
đối
xứng
dễ
dàng
thấy
với
số
ngun
kỳ
puquả
(0,
7tại
o)
tính
N với
cần
Trường
có,
ta
sử
hợp
dụng
dữ
Bổ
ban
đề
đầu
Щ
T>
phù
tục
và
hợp
để
:=
nghiệm
unên
làcủa
một
Kỹ
thuật
đây
hữu
ích
cho
so
sánh
các
kết
tính
liên
tục.
khơng
giảm
(nhớ
lại
ở
Щ
0).
Hơn
nữa,
Leđịa
(về
RTphương
tasau:
có
n)* phép
nkiện
nhanh................................................................................................
29
oo).
N vì ЩXn € n
J
M
.
J
V
i
,
X
i
y
i
<
0
}
0
}
nghiệm
khơng
âm.
M
.
Ta
cũng
có
dạng
viết
khác
của
phép
biến
đổi
Fourier
như
J
*
u
<
00,
Bổ
đề
2.10.
Cho
а
€
(0,7)
và
cho
Щ
là
một
hàm
liên
tục
khơng
âm
sao
cho
0
J
R
Bây
giờ
ta
giả
sử
rằng
nhân
J
thỏa
mãn
00
Trước
hết
ta
thấy
rằng
với
n
cố
định
lượng
tử
cũng
được
miêu
tả
bằng
một
phương
trình
tương
tự
như
là
phương
trình
Lài
cảm
ơn
ỉ
chúng
ta
sử
dụng
một
thực
tế
rằng
với
một
hàm
/
>
0
cho
trước
thì
hàm
f
là
một
thức
đệ
quy
của
nó.
Cũng
chú
ý
rằng
u
(
x
,
0)
=
u
(ж).
□
điều
này
là
mâu
thuẫn
với
các
ràng
buộc
ữên.
Vậy
kết
luận
khơng
thể
tồn
<
Adrrp
+
l),
Các
tính
chất
của
tích
chập
2 tiểu
N phần
nghiệm
trong
lớp
các
nghiệm
khơng
âm.
fn
7|ж|
khơng
ầm
của
bài
tốn
Những
kiến
thức
trong
được
khảo
liệu
[1].
aсеxdụng
Mệnh
đề
2.5.
Cho
Jtrình
được
xác
định
bởi
vchặn
ớ+)n0aichính
Khi
đó
tồn
tạitruyền
cnhân
á cnữa,
hằng
Do(d)
ucsử
(Tính
,Iphương
e{/cực
L
(tmong
nên
biểu
diễn
trong
cơng
thức
(2.4)
tồn
tại.
Hơn
vì
<
e0)
^
V
^
M
o^R
M
+1
+) (2.1).
cV
'tích
C-ệ
nnày
inghiệm
ỵ(2.1)-(2.2).
/NGUYỄN
l +tồn
aM
H
ztham
l(2.19)
+nghĩa
atích
M
ibị
nchập
M
if7
xnhất
in>
+M,
a0.
itừ
ỵcho
/trên.
i tài
^nói
nủ
[
J
y
)
e
d
y
cách
nghiệm
trên
được
định
như
ở
mục
đây
là
ưóc
lượng
ta
muốn.
□
_í
VẴN
HỒNG
\
phản
xạ
của
chập.
Nếu
*
g
tồn
tại,
thì
tích
chập
f
(
—
Trong
mục
con
này
ta
sẽ
xét
sự
tại
và
tính
duy
trường
hợp
dạng
Luận
văn
nghiên
cứu
về
lớp
khơng
của
phương
trình
nhiệt
2.1.2Nghiệm
yếu
và
mạnh
Định
nghĩa
2.1.
Nếu
и
,
:
X
[0,
oo)
—»■
ta
rằng
ìi<«
đều
địa
J*<”
>(z)
>
/
J
{
y
J
*
{
x
—
y
)
d
y
.
tốn
sau
đây
có
nghĩa
:
bài
nghiệm
dưới
(2.1)
liên
-Giả
(2.2)
tục
có
thể
tương
được
U
)(
x,
viết
ũ+
t)
:như
==1eữí+1
Tsau
^-rJ*
*ị*bài
ũđó
(z),
là>
một
nghiệm
trên
liên
tục.
cơng
ứiức
biểu
diễn:
n compact
2.4.1
Nhân
có
giá
...................
29
Chứng
minh.
sửđược
ucủa
Vф
nghiệm
(2.1)-(2.2)
thỏa
mãn
|w|,
\v\□
Một
cách
điển
hình
để
xây
dựng
dụng
các
đó
làHơn
các
taLuận
sẽ tốn
đạt
được
kết
quả.
□
7o|a;|
ịcủa
xtrên
ycăn
1 bậc
ữtốn
ịNlà
x ị Jhai
Nchặn,
+ a ta
=thành
Jvà
*một
—
ф
Ae“(
)n}được
Jchứng
ф
—
ĩp,
Llà
PTrường
Ũ
Jbài
R
Làm
tròn
chúng
tị
ln
|x|
~tự
к)cơ
và
lấy
trong
(2.20)
được
4minh
щ
{nghiệm
х[(hai
)(J=
tại
nghiệm
khơng
tốn.
chứng
minh
Bổ
đề
2.2.
Giả
sử
иnđã
là
{<
<
N
tốn
(2.1
Khi
đó
với
=là
ebài
Jnln
{Jơnghiệm
yĐịnh
)mạnh
eyCú
'yếu
-của
-giải
'fß
{sử
l*.Hà
+
\trình
x -tại,
y)-(2.2).
\truyền
)thì
dcần
ynhiệt
nhiệt.
văn
Như
được
chúng
hồn
tâm
biết
tại
kỹ
thuật
Đại
bản
học
để
Sư
phạm
phương
Nội
2.
đó
n'*
ndo
nghiệm
trên
của
(2.1).
Trước
hết
chúng
ta
sẽ
rằng
các
nghiệm
được
'
n\
Mệnh
đề
2.1.
Giả
sử
u
một
nghiệm
khơng
âm
của
(2.1).
Khi
đó,
u
có
một
Thứ
hai,
vì
giá
của
J*
chính
là
U)ị
B
I
p
—
đó
00
với
+
e
t
>
0
cố
định,
ta
chỉ
ước
(a)
Tính
giao
hốn
của
tích
chập.
Nếu
tích
chập
f
*
g
tồn
tích
chập
g
*là
2
+
)
NGHIỆM
KHƠNG
BỊ
CHẶN
CỦA
PHƯƠNG
TRÌNH
,
_
t
J
*
(
x
)
N
f thuộc
Sau
đây
làChúng
niệm
nghiệm
chúng
tatrình
sẽ
sử
dụng
trong
luận
văn.
từ đó số
ta
được
Ví
dụ.
Xét
ban
đầu
u
=
.
Nghiệm
của
(2.1)
được
xác
định
bởi
dương
C
lcác
,g
ccác
,khái
c
,
c
>
0
chỉ
phụ
vào
7
và
N
sao
cho
với
|z|
>
1,
x xét
lnvề
ỉ{
1/2
u
(
x
,
0)
e
L
°
°
(R^)
nên
0mà
27
7|ỉ|
30dữ
4kiện
wnghiệm
nnhận
Thật
vậy,
giả
sử
rằng
V
là
một
nghiệm
n|ж|
=1
khơng
âm
khác
cũng
với
dữ
kiện
ban
>
:
1
Chứng
minh.
Chúng
ta
u
}
là
dãy
các
của
phương
trình
(2.1)
với
dữ
x
)
*
(
—
x
)
cũng
tồn
tại
và
lũy
thừa.
ta
cũng
sẽ
trình
n
bày
kết
quả
về
sự
khơng
tồn
tại
nghiệm
và
các
tối
khơng
địa
phương.
Trong
luận
văn,
tác
giả
đã
bày
về
một
số
vấn
đề
chính
ịỉi)
Nếu
u
(x
)
>
c
e^
^
l
^
với
ß
>
7
1
thì
khơng
tồn
tại
bất
kỳ
nghiệm
điều
này
là
mâu
thuẫn
với
độ
của
Щ.
(ucủa
2sao
N
Lời
phương
[0,00
) dữ
ỉỉ6
/(“)
ctăng
=
odíkhi
( xJfntồn
(, xtđó
)))tại
ecủa
-Giả
-------:----.
xx.theo
eLthứ
R”Ĩ
Q
Q
nữa,
vì
rRữong
>
01—
các
đầu
được
sắp
tự:
7o
=Ae
sup
/7liên
Jnếu
(a [0,
ykiện
émãn
^ban
<
e(“\сeTN(0,oo),
(2.13)
Mệnh
đề
2.2.
Cho
'ệ
thỏa
u,)\w
một
dưới
mạnh
nđoan
2.4.2
Nhân
............................
40
'ệ
đều
phương
1 >R
trong
1)Gauss
oo)
]y(2.8).
đồng
cy
thời
t1là
£2ịi
C
unghiệm
—chỉ
và
—
nếu
лbất
2
Jkhơng
y)\ooị
ydariêng
}77Ỉ2Í.
□)
hàm
/đúng
:địa
>
âm,
fsử
()0
—
oo
khi
\vhướng
xđược
\phụ
—
>
oVohiểu
và
Bổ
đề
2.7.
Với
kỳ
О
<
>
G
(0,1)
thuộc
vào
J.□
2.4.2
Nhân
Gauss
“^"
"“^
Ị max{l,
ivăn
~tục,
/ơppК
)<
\đổi
yr(Np,
\x
-К
\{tyt~
+7|ж|(1п
'với
)2d
+và
\với
ynvà
y>
e giá
In
l^l)
( j/imong
i.hàm
Tơi
cam
đoan
luận
là
cơng
trình
của
tơi
dưới
dẫn
của
TS.
+tồn
u(27T)
,Fourier...
=
|ж|
+
ж
Các
kết
quả
về
sự
tại,
tính
duy
nhất
và
khơng
tồn
tại
nghiệm
dễ
đạt
\y
hàm
trơn
bất
kỳ
và
có
T
:()\mãn
M
—>•
R,
phương
pháp
tách
biến,
biến
muốn
tìm
sâu
2tại,
p0
2compact
2)
2có
psự
Khi
đó,
vì
\
x
\
<
(
n
+
1)(7,
nếu
y
thỏa
ơ'
<
<
p,
ta
Npu*
xây
dựng
vẫn
còn
thuộc
một
lớp
các
nghiệm
thích
hợp
và
sau
đó
sử
dụng
nghiệm
TRUYEN
NHIỆT
vết
ban
đầu
u
(
x
,
)
u(
là
x
một
,
t)
=
hàm
e~
khơng
u
(
x
)
âm
+
(
trong
w
(t
L\
w
)
và
(
u
))
là
một
nghiệm
mạnh
lượng
hàm
f
7o|x|
cũng
tồn
ĩ
M
và
chúng
bằng
nhau
N
+
a
7o|x|
0
á
J
oc
0
K
h
i
đ
ó
,
v
ớ
i
T
>
0,
n
ế
A
>
0
l
à
đ
ủ
l
ớ
n
t
h
ì
h
à
m
J
*
\
x
\
—
\
x
\
=
Ị
J
(
y
(
\
x
—
y
\
—
\
x
\
)
d
y
Chú
ýđầu
2.4.1.
có
một
số
chý
ýỵ-của
sau:
, iđó,
еtrên
~
щ
(ylà
хxđược
),một
х0)
хnghiệm
+
(eutrên
(vàt/.tiệm
) bây
*cho
(u
))
(ж).
tương
với
để
có
dáng
điệu
cận
ưuđược
đối
với
dữ sánh
kiện
nKhi
п (=
0 ỵcó
ntối
1.1Khơng
<đó
e,ứng
[có
J>Ta
{phương
yuhồn
)gian
'xcủa
{)=ưtrình
1=uV
+
xU
\Các
d)y0.
=
J,
)trình
kđể
Щ
0.
cũng
và
nó
thể
từ
đểtrình
phương
trình
giờ
chúng
ta cần
so
kiện
ban
đầu
umột
(Một
xue(,nghiệm
0)
x\*yếu
)Dáng
.của
hàm
này
được
bởi
tích
chập:
Luận
văn
được
thành
tại
trường
Đại
học
Sư
phạm
Hà
Nội
2hàm
dưói
sự
ưu
của
các
chặn.
nnào
Q(
nnghiệm
sau:
khơng
âm
phương
(2.1).
Định
nghĩa
2.2.
nghiệm
bài
tốn
(2.1)
-cận
(2.2)
làtồn
một
usử
6(dụng
l;hướng
(r
X
octrong
___
+n
R"
_imỗi
7|:r|(ln|x|)1/2
(c2+lni)|ỉ|
phương
(2.1)
và
ũ
là
một
trên
mạnh
của
(2.1)
sao
cho
u
x
,
0)
<
Chú
ý
2.3.1.
Nếu
dữ
kiện
ban
đầu
đổi
dấu,
định
lý
khơng
tại
vẫn
đúng
2.5
Nghiệm
hiện.
điệu
tiệm
...........
45
lỊ)
đều
địa
phương
trong
[0,
oo).
Sử
dụng
các
nghiệm
đó
như
là
nghiệm
dưới
và
7o
N
+
a
0
cho
với
À
>
0,
và
ơ
sao
cho
_í
|ỉ|ln|a:|
Cie
e“
e
<
ü
j
(
x
,
t
)
<
с
-7к1(1п
зе
2
Nguyễn
Hữu
Thọ.
a
=
sup
ị
a
>
0
:
J
J(y)e
^(
1
+
Iy
\
)
d
y
<
ooị
G
(0,
oo).
a
a:
ln
x
a
x
+
ÿ
7
được
như
trong
các
định
lý
dưới
đây.
0
u
+
(
x
,
t
)
=
e
M
(a:,0)
+
(
u
(
t
)
*
u
(
x
,
Q
)
)
(
x
)
<
\
\
u
(
x
,
0)||oo.
(2.10)
hơn
về
nghiệm
của
{
u
j
phương
{
x
,
t
+
trình
1
)
*
truyền
f
ß
)
{
x
nhiệt,
>
dưới
e^
sự
.
hướng
dẫn
của
TS.
(2.18)
Nguyễn
4 áp
n
n
n
Định
lý
sau
cho
ta
kết
quả
về
sự
tồn
tại
và
tính
duy
nhất
nghiệm
tồn
cục
của
+
+
Cl
u
(
x
,
t
)
=
е
~
*
и
о
(
х
)
х
(
х
)
+
(w(t)
*
u
ỵ
)
(
x
)
.
trên
o
j
(
t
+
1)
*
/
để
dụng
ngun
tắc
so
sánh
và
nhận
được
tính
duy
nhất.
Trong
phần
này
chúng
ta
giả
thiết
rằng
J
là
một
hàm
Gauss
với
phương
sai
ơ
=
l/
của
<
(2.1).
c”e
Hơn
l
l
l
nữa,
l+
n
l
l
nếu
f
(
u
x
(
)
x
*
,
g
0
(
)
x
là
)
=
liên
(
f
п
tục
*
g
)
thì
(
x
u
)
cũng
.
là
0
một
n
nghiệm
cổ
điển.
(1.4)
(JV-1)
là
đúng
nếu
л>
/
J(y)e
l
ldy.
Lời
mở
đầu
1
NếuTrường
ta lấy
n này
=pRJV
[|x|/cr]
có
thể)bị. sử
dụng
Bổ đề□
Với
cách
chọn
\)—
t )thì
<
t (ri)
)nơTe (nvà
x2*)giới
\chúng
(0 xhạn
, t )ũta
\2n, (được
Còn
với
Щ
=
|x|
ta=có
uiị).
(ước
xoo,
, 0lượng
*\thành:
UXLQCe° (°
=
x , ovà
hợp
=chúng
hàm
/1Ttrở
thuộc
nếu
đo
được
chặn
cốt yếu,
ban
đầu.
Tn Do đó, 1Í+ n< 2V và cho qua
thay
cho
c
ta
и y
ữu
các
dữ
kiện
ban
đầu.
dẫn
của
thầy
giáo
TS.
Nguyễn
Hữu
Thọ.
Sự
giúp
đỡ
và
hướng
dẫn
tình,
nghiêm
Đăt
(i)
Trên
thực
tế
ước
lượng
trên
L
Ü
cho
phép
chúng
ta
xử
lý
các
tình
1.
Mối
quan
hệ
giữa
một
số
loại
nghiệm
cho
bài
tốn
Cauchy
đối
với
phương
NGHIỆM
KHƠNG
BỊ
CHẶN
•
*
•
(
x
,
t
)
:
=
(
r
*
u
)
(
x
,
t
)
=
/
T
(
X
y
)
u
(
y
,
t
)
d
R
)
thỏa
mãn
phương
trình
theo
nghĩa
phân
bố.
\
x
y
I
=
\
x
y
I
+
^2
\Vỉ\
7
a:
ln
a:
1/2+
:r
với
)0).
là
phần
chính
của
nhân
nhiệt
địa
phương.
N f . nó
ũ (+x2U
,ta
N
ếi11
unhấn
uCho
- ũcmạnh
iquy
đều
phương
trong
[0,
00)
tsđược
uthừa
h- uầtra
u.sviết
khắp
nơi
lớp
các
nghiệm
mà
âm
(hoặc
phần
của
kiểm
bằng
cách
nghiệm
trên
(2.1)-(2.2)
nhận
được
<
Vi
V
<<
Như
vậy
u
f*g
=
Định
một
khơng
và
một
đo
một
đại
Tchứng
trên
Chứng
minh.
u0^phần
và
biến
đổi
Fourier
của
khả
tích,
taf<
thể
Do
nghiệm
tại,
nghiệm
cực
иlà
được
ф
хvà
t )^gian
:=
A
unsẽ
)khơng
t*tiểu
+ 1)
*là
gtơi
(xây
)hkế
ịiỉi)
Nếu
uem
(của
xNếu
)tồn
=bài
elũy
lpkhi
^thừa
l(đó
l),địa
l)
vtaEớ(chú
iFourier
ag(dương)
<
ßauụ,
,)nó
axtrên
(có
sũơ)như
ßtrong
tsố
h ìnghiệm
Khi
muốn
rằng
biến
đổi
một
tốn
tử
tuyến
tính
tác
động
0tốn
Q1.1.
N
2nghĩa
pq
2trình
Trong
nghiên
cứu
hồn
thành
luận
văn
đã
những
thành
quả
Để
xử
lý
các
số
hạng
chúng
ta
ý
Hữu
Thọ,
chọn
đề
tài
cho
luận
văn
là:
bài
tốn
(2.1)-(2.2)
trong
trường
hợp
này.
J
R
=
E
(
)
M
J
H
v
M
^
đ
y
i=1
(27
)
(ta
viết
nó
dưới
dạng
này
để
đơn
giản
hóa
các
cho
các
phát
biểu
sau
này)
đó
Ailà7 dữ kiện ban
(2.14)
2.7
sẽ
thấy
CỦA
tồn
tại
PHƯƠNG
các
số
c,
ụ,
>
TRÌNH
0
phụ
thuộc
TRUYEN
vào
ơ
sao
cho
NHIỆT
Định
Kết
lý
luận
2.7.
Cho
J
là
một
nhân
thỏa
mãn
(2.13).
Giả
sử
rằng
u
47
n
n
ữ
nghĩa
là
ừ
\
2i
)
Do
đó,
bằng
cách
lập
luận
như
trước,
1
(.ivà
хnày
, [0,
tvới
)dụng
=1)
e>K^,
chúng
Mệnh
đề trình
2.4.
Jđầu
là
nhân
xứng
tâm
và
có
trong
Bp
vói
pta
0.
(i)
Nếu
|и
(ж)|
a[1,
lvới
/giá
tрcompact
ìsử
(í)
*giả
Mo
xác
J21đối
*Va;
/phần
<
A
>pgiản
>
,
,<
x)
>pTcách
Cịi
(>
2(2.9)
.tích
17
)
0tinh
n0
ơ
trđơn
Chúng
taCho
bắt
với
thực
tế
rằng
với
t\=({Mã
esự
(о,
)lấy
ơKegiúp
đánh
minh.
Trước
hết,
cố
định
Ị€
ж
ỊA/,
cơng
nhiện
>
x<
/luận
\ 0.
TừV(e)
đó,
hiển
nhiên
ta
có
1Í+
ĩ/địa
p-кthì
đều
địa
phương
trong
oo).
Vậy
chúng
ta
2.1Giói
thiệu
túc
của
thầy
trong
suốt
q
trình
thực
văn
đã
tác
trưởng
huống
tế
hơn
chẳng
hạn
кphương.
ta
pCƯ
=
l1
a nên,
K,thức
+ta
0 có
K về
truyền
nhiệt
khơng
4
2u
2có
Chun
ngành:
Tốn
giải
tích
Chứng
minh.
Ta
xét
hàm
phụ
v(x,
t)
:=
e>
x\obằng
t,/.
,*G+
khi
đó
ta)hết
(ii)
Có
một
khoảng
cách
giữa
định
lý
về
tồn
tại
và
duy
nhất:
một
u
cầu
đặt
trong
X
M
1
Kiến
thức
chuẩn
bị
3
Điều Chứng
này
chỉ
ra
rằng
nếu
A
>
Co/Cl,
I
p
(
0)
(cj(1)
*
f
ß
)
>
Щ
.
□
ì(a^)Ị
phù
hợp.
Cụ
thể
hơn,
nếu
ta
xét
Tóm
các
dữ
lại,
kiện
với
mọi
ban
đầu
ß)f4có
(a,
1/p)
sao
cho
và
XJ
đủ
*
(
lớn
u
)
ta
<
đạt
oo
được
và
+.tkhả
o
j
(
x
,
)
<
2
С
(
М
)
(
с
Ш
е
^
<
2
C
(
y
N
)
(
c
(
y
t
)
e
~
^
\
u
(x
,t
)
=
|ỉ
|
H—
mị
t
+
(m
2m
\x
\
)t.
—
,các
và
ta
được
điều
phải
chứng
minh.
□
ữ
0là
Tính
vi
của
tích
chập.
Nếu
tích
chập
g
tồn
tại,
thì
tồn
tại
các
tích
3
Ъ
các
tập
con
của
E.
Họ
tất
cả
các
hàm
số
f
(x)
luỹ
thừa
bậc
p,
(1
<
p
<
oo),
với
biến
tần
số
như
sau:
minh
С
ữên
G
([0,
là
giới
oo))
hạn
và
e
của
(
x
)
u
,
Ï
nghiệm
0
khi
ỊxỊ
này
—
hữu
>
hạn
o
.
hầu
khắp
nơi.
Nghĩa
nghiệm
cực
tiểu
của
(2.1)
bùng
nổ
trong
thời
gian
hữu
hạn.
trên
một
khơng
gian
hàm,
ll/IL~(n)
ta
viết
T
=
(
f
esssup
)
thay
cho
I/
<
00,
<
((n
+
l)cr
ơ'Ỷ
+
p
n
,
Để
sử
dụng
Bước
1
cho
các
tích
chập
của
u
và
ũ
trước
ta
chú
ý
rằng
nếu
Ф
Và
dưới
đây
là
định
nghĩa
về
nghiệm
mạnh
và
nghiệm
cổ
điển.
khoa
họctacủa
các
nhà
khoa
học
và1 đồng
nghiệp
trọng
và biết ơn. TơiJ
ntrìnhvới
n sự trân
p2.4.1
Nhân
có
giá
compact
Như
đã
biết,
trong
trường
hợp
phương
truyền
nhiệt
"cổ
điển"
là:
Nghiệm
khơng
bị
chặn
của
trình
truyền
nhiệt.
x
n ooj
:=
sup
^7
>
0
:
J
(
y
)
\
y
ự
d
<
G
(0,
oo).
(2.11)
đầu
bị
chặn
địa
phương
sao
cho
N .(о,
nhận
được
các
kết
sau.
fmột
*lýphần
gđầu
*cách
htốn
=tiếp
f(2.1
* htốn
*của
gMệnh
=
h0
*P_1
fluận
*2.2
g2Giả
.dữ
. .Щ
Giả
sử
Щ
làdụng
dữ
kiện
ban
bị
chặn
địa
phương,
a=
G
1kiện
/p)
và
Co
>btồn
Nếu
là
một
nghiệm
cổ
điển
của
bài
(2.1)-(2.2)
với
ban
đầu
T0.
U
QG
định
với
Định
lý
2.3.
Cho
Jyquả
là
nhân
thỏa
mãn
(2.11).
sử
là
dữ
kiện
avới
n*tại
đtầvà
u.
là
một
nghiệm
trên
của
bài
)-(2.2)
trên
~R
Xcó
[о,
Т].
Hơn
nữa,
p văn
giá
chập
của
luật
Gauss
trong
đó
[r]
là
viết
tắt
ngun
r
>
(là
số
ngun
lớn
nhất
bé
hơn
số:
60
46
01
02
có
thể
áp
ngun
so
sánh
ữong
đề
để
được
thành
hơn
rất
nhiều
ữong
cận
một
vấn
đề
mới.
Tác
giả
xin
bày
tỏ
lòng
2.
Qua
cách
sử
dụng
nghiệm
trên
phù
hợp,
trình
bày
về
sự
7o
a
a
p
1
<
(1
+
\
x
\
)
<
2(1
+
тах{|ж|,
\
y
\
}
)
,
'
«
|2i
ra
là
и
«с
Ф
để
có
được
tính
duy
nhất
trong
khi
ta
chỉ
có
thể
xây
dựng
một
*
(и
)+
=
oo
thì
khơng
có
nghiệm
nào
trong
{
и
<
Ф
}
.
Thật
vậy,
giả
sử
rằng
Tài
liệu
tham
khảo
48
0
chập
D
f
*
g
\ầ
f
*
D
g
và
ta
có
°° lớp
n
\
của
mơ
đun
khả
tích
trên
E,
tức
là
2
1.1Khơng
gian
L
..................................................................................
3
f
Kết
quả
về
tính
duy
nhất
trong
trường
hợp
này
được
phát
biểu
trong
định
lý
x
t
thỏa
mãn
thì
Ifơ'Ỷ
pefsẽ
n(xthơng
:=
т
* Qvề
Ф
cũng
một
nghiệm
trên.
Ta
chỉ
cần
chỉ
rằng
xin
Chứng
cam
minh.
đoan
ta
trích
trong
qua
hai
luận
bước:
văn
đã
đầu
được
tiên
chỉ
ta
rõ
giả
nguồn
sửraxu
rằng
gốc.
6пchứng
<
(nơ
+
ơChúng
+
pđược
.tin
trong
đóphần
\Jcác
nghĩa
cận
dưới
đúng
của
tập
các
hằng
số
M
U
(định
Xđổi
~\dẫn
loo.
l là
lminh
l việc
l Ví
l của
(ta
l cần
l)hàm
Định
nghĩa
này
được
dụng
trong
xây
dựng
nghiệm
trên
Ф
có
Khita2.
đó,
ĩesssup
p(2.8)
(1.5.
,rằng
txỉ
)—
:=
(cứu
x+(là
)đề
thỏa
mãn
(2.8).
dụ,
nếu
có
một
xung
lượng
bậc
Luận
văn
nhằm
cứu
bài
tốn
Cauchy
cho
các
phương
trình
nhiệt
Chứng
minh.
Do
một
ngun
nhân
kỹ
thuật,
đưa
vào
hiệu
Đinh
nghĩa
Cho
w)fthiết
)\sẽ
biến
Fourier
đó
Chứng
minh.
Phần
(i)
(ii)
được
tương
tự
trường
hợp
của
N
Chẳng
hạn
ta
xét
{nghiên
xu{số
)0và
~Bổ
|sử
khi
x.minh
Khi
đó
dễ
dàng
đểtrong
kiểm
tragiá
được
rằng
аx
1п
1+
Trong
này
ta
giả
rằng
J))\(
hàm
đối
xứng
tâm
có
compact
a|a;|ln|a:|+a|a;|
ạ ị0.
lqua
nf,
ị như
ị2khi
7x ịsố
Mục
đích
nghiên
và
lập
luận
như
trong
2.6.
Chú
ýhầu
rằng
các
hệ
cxJ—
và
N
cký
chứa
hằng
số
Định
nghĩa
2.3.
Cho
£
L
Ị
(
R
Ta
có
4và
oQtại
c)t,A'
Ịwo(a01
<
с
е
^
1Ч
thì
sẽ
tồn
d
v
(
x
,
>
t
)
0
—
sao
J
cho
*
V
>
T0à( хcác
t
>
0
bất
kỳ
và
dãy
{
u
}
là
bị
chặn
đều
bởi
ф
(ж,
t
)
е
~
*
и
)
+
U
)
(
t)
0
u
(
x
t
)
<
Ce
<
e
(c
o
(
t
)
*
U
(
X
)
oo
khắp
nơi
trong
R
,
b
ị
chặn
địa
phương
sao
cho
\
u
x
\
<
c
(l
+
|ж|
)
v
ớ
i
Со
>
0
v
n
[о,
T]
thì
tồn
tại
một
hằng
số
>
0
sao
cho
2.2.2
Xây
dựng
cơng
thức
nghiệm
Q
0
hoặc
bằng
r). duy
Sử
dụng
khai
triển
Taylor
của
hàm
mũ,
\0 nhận
—
1* được
/trên
biết
ơn,
lòng
kính
sâu
sắc
nhất
với
thầy.
Chứng
minh.
rJvới
có
giá
compact
vàvới
trơn
nên
tích
chập
rmuốn
и và
U2kỳ
cũng
được
xác
tính
nhất
nghiệm
mạnh.
N
Định
lýTích
2.5.
Cho
nhân
mãn
(2.8).
Giả
sử
uta
lànghiệm
một
dữ
kiện
ban
(b)
hàm
Tích
chập
của
hàm
suy
bất
/ trong
V'V tồn
với
ulà
(1/ст)|ж|1п|ж|+с(г)|ж|
ị=0
nghiệm
có
thể
so
sánh
ф.
Do
đó,
nếu
ta
có
một
kếtâm
quả
tồn
tại
một
nghiệm
иcủa
trong
lớp
này,
khi
đó
ta
có
thể
xét
khơng
—
7+
—
A\ớđối
utục
trong
R
X
R
(i)
Dãy
{chập
uVì
}trọng
là
đơn
điệu
khơng
giảm.
UFourier
)trên
(delta.
xthỏa
, tđược
+
1)
>
се+
, rộng
1.2Biến
đổi
............................
5и
sau: sao
2Щ
и
—
ũ
р
п
đều
địa
phương.
|uo(z)|
<
c
e
^(l
+
v
i
Co
>
0,
0
<
7
<
7o,
о
<
а
<
а
.
nghiệm
dưới
và
nghiệm
là
liên
và
sau
đó
ta
-W/2
sử
dụng
một
phương
pháp
п
n
(
x
7
0
0
cho
I/giá
(rằng
xđến
)compact.
\ra<
M
khắp
Xchặn
ebậc
ri.
hướng
hai
hữu
tiến
hạn
+00
thì
fhầu
(khi
xTa
)có
=tcòn
—
X >
ứiỏa
00.
mãn
u
cầu,
với
À l=Để
m
là
một
phép
tính
khơng
địa
phương
có
dạng:
2J
2 đây
nhân
có
phải
chứng
minh
phần
(iii).
Vì
Ta
giả
sử
có
xung
lượng
7
với
mọi
7
<
7
rằng,
do
tính
liên
tục
f
(
x
)
=
e
l
l,
với
7
<
7o
là
một
nhưng
nó
chưa
phải
là
tối
ưu
.
ta
sẽ
thấy
trong
trong
B
p
vói
p
>
0.
Ta
nhận
định
sau.
2
ị
y
ị
2
Tìm
hiểu
về
nghiệm
khơng
bị
chặn
của
phương
ưình
truyền
nhiệt
khơng
địa
c(
7
)
vì
ln(c(
7
)t)
=
lnc(
7
)
+
lní.
khi
đó
D°f
*thì
gcơ
=
D
“cơng
(trong
*đã
gIthức
)chứng
=
*1Trường
ж
D“g.
(1.5)
*đầu
Do
lập
luận
tương
tự
như
7cục
minh
evới
~của
dtốn
y j giai
lý
=
2.2
Jphạm
tachặn
có
được
0.bị
<
7đó,
<
7oKhi
đó,
tồn
tại
nghiệm
tồn
của
bài
(2.1)-(2.2)
thỏa
Vì
0^
ơ'
nên
với
nĩtính
lón
Bằng
cách
sử
dụng
lần
nữa
Sterling
đối
với
thừa,
ta7dáng
thấy
ỊI/№
4utI ơ
s<
fhàm
,2.2.
ephép
V
Tác
trân
trọng
cảm
ơn
Ban
Giám
hiệu
Đại
Sư
Nội
Cũng
trong
luận
văn
này,
tác
giả
trình
bày
cách
có
hệ
thống
về
hơn
nữa
từ
chất
bản
của
chập
suy
ra:
chặn
địa
phương
sao
cho
\duy
щ
(+
хnhất,
)ptích
<2kiện
еfsẽ
1x).một
Co
>
0đầu
và
0.
É sxin
iỏ
tồn
tại
và
bằng
với
/tồn
Đinh
lý
Cho
jđủ
j một
thỏa
mãn
(2.8),
dữ
ban
đầu
uĐịnh
là
hàm
bị
địa
0 học
sẽ
cho
tồn
tại
nghiệm
(i)
Một
nghiệm
mạnh
của
bài
tốn
(2.1)
-сGạ0(2.2)
một
hàm
cục
cho
sự
tồn
tại
và
tính
ta
dụng
hai
hàm
ĩpi
ф
cùng
+
p3.
, và
từ
đó
ta
xây
dựng
được
nghiệm
cực
tiểu
dữ
kiện
ban
v
+
2щ
a
'
=
(cr
)
/
(
,
ữ =
ịи
xơ
ị ỉvới
Isử
lpịlà
ịũ
1.3Tích
1
chập
...................................
5)
M
N
+
a
+
(
2
.
16
Thật
vậy,
điều
này
xuất
phát
từ
định
nghĩa
и
—
Ф
và
vì
ta
lấy
tích
chập
với
1
chính
quy
hóa
để
đưa
tới
kết
quả.
và
ứiực
sự
ở!-»■
khắp
nơi
ÜJ
Sử
dụng
cơng
thức
(2.5)
cho
LÜ
ta
suy
ra
Với
biểu
thức
này
ta
sẽ
chứng
định
lý
\dlàuvminh
{liên
xtâm
, t0các
)tục.
\)và
<
C
ecó
, Bây
Đặc
biệt
L(CoV>(M)(íỉ)
làxyvì
khơng
gian
hàm
tích
phân
hội
tụ Bp
tuyệt
đối
với
Điều
=
[
này
J
(
y
)
chỉ
e
^
ra
rằng
l
+
\
giới
y
hạn
\
)
(
d
x
y
,
J
B
(
được
0
,
\
Xsau:
xác
\
)
định.
giờ,
vì
li
£
tương
tự
như
trong
Mục
2.5.
và
của
hàm
7
Ị
J
(
)
\
y
\
y
,
ta
thấy
rằng
xung
lượng
(momen)
bậc
7o
là
vơ
(ii)
<(M)
<
Định1lý
2.10.
Cho
J
là
nhân
đối
xứng
E
có
giá
compact
trong
vói
p
>
0.
bổ
đề
sau
đây.
với
с
>
0
và
c(T)
€
M.
Do
đó,
Hà
Nội,
ngày
10
tháng
8
năm
2015
phương.
Để
có
được
cận
dưới,
để
ý
rằng
vói
n
cố
định
u
K
K
Do
đó,
trở
lại
với
các
biến
ban
đầu
ta
được
một
nghiệm
cực
tiểu
tồn
cục
được
cho
bởi
tích
chập.
với
dữ
kiện
ban
đầu
"tối
ưu"
thỏa
mãn
ước
lượng:
rằng
với
c,Sau
c'
>
0:
R"
jv
ằí
' (hPhòng
' đề
'mãn
LUẬN
THẠC
TỐN
HỌC
2,
đại
học,
các
giáo
Khoa
Tốn
cũng
như
trong
trường
Mệnh
2.3.
Cho
JЩ
là(tồn
nhân
sao
=
Bp
với
pvìvì
>
0.
Khi
đó
hai
N
Nvà
điệu
tối
ưu
của
dữ
kiện
ban
để
đảm
bảo
cho
sự
tồn
tại
và
tính
nhất
<
7o.
Khi
đó,
tồn
tại
nghiệm
cục
bài
(2.1
thỏa
mãn
phương
và
giả
sử
rằng
với
>đầu
0,
ta
có
Uị
=
J2.2.
*mối
uLVĂN
—
(x,í)ễM
x1
(2.1)
0ccho
thỏa
mãn
(2.8):
sao
cho
иcoCơ
nó
là
duy
иlàvậy
<
ĩpi
iị)tồn
- tại
sM
<.supp(
ftốn
( sữong
<
+,*
ф
02.1.1
)với
như
ưong
Định
Nhưng
khi
đ) +SĨ
óJ)
Js2khắp
vnhất
phải
hữu
hạn
,2duy
điều
này
Ll
Ợl
X
nên
uu“(a:,í)
xlý
, ttương
)Thầy
e<ũcó
Ịcủa
(như
)được
vói
tßtục
>
0)-(2.2)
bất
kỳ,
N
0C
M
<(nơ)
N
a hàm
2+
Nhân
nhiệt
khơng
địa
phương
một
hàm
TnM+),
khơng
âm
Bước
1.
Giả
sử
rằng
cả
u
và
là
các
hàm
liên
và
ta
xét
sau
rằng
bất
kỳ
n
>
1
ta
phải
J*
*
1ÍQ
<
oo
nơi
trong
M>
.
N
Ta
sử
dụng
phương
pháp
tự
trong
trường
hợp
nhân
có
giá
compact
(ii)
Ưóc
lượng
min
hơn
thể
thu
bằng
sử
dụng
một
mở
rộng
về
giai
+
J
{
y
{
l
+
\
x
y
\
)
d
y
T
T
T
y
(nơ
+
ơ
—
ơ'Ỷ
+
p
<
Một
cách
tiếp
cận
khác
mà
chúng
ta
sẽ
sử
dụng
trong
trường
hợp
nhân
phân
hạn.
Nhân
thỏa
điều
kiện
(2.11)
là
dụ
cho
những
thế
rã
~. 2để
|)□
Khi đó
với
0Nhiệm
<
/p
tồn
tại
duy
nhất
một
của
tốn
2(0,
J )UM
-nghiệm
ị+)2. J.truyền
2( x) ()001duy
ж|
Do
đó,
sẽ
tại
một
giới
+
unghiệm
định
X(Nphân
=
T
*Coe^l
Uhạn
ị (2.21),
=lim
(ßNJ=ví
*s
u*
)xác
—
T,bất
*đó,
=
JpL]
*R
—
nrã
111
fỊi).
*Tvới
su*trong
=
fvới
f*(íUưong
.tại
t{
được
gọi
gian
Ư
(E,
Định
lý
2.13.
giả
thiết
với
ngun
kỳ
€.aU
(0,7o)
,oo).
Tác
giả
3.
vụ
nghiên
cứu
udlà
e/atồn
ckhơng
([0,00);
sao
u=
Jphương
ubài
£hàm
(R
X
2
Nghiệm
khơng
bị
chặn
của
trình
nsố
n/cho
t tồn
OC
(
t
Bổ
đề
2.5.
Cho
J
là
một
nhân
thỏa
mãn
(2.13).
Khi
với
<
a
bất
kỳ,
tồn
tại
(ii)
Giả
sử
u
(
x
)
>
^
>
1
p
và
một
nghiệm
khơng
âm
и\
0
0
với
ß
e
(0,1
p
)
.
Vì
J
là
đối
xứng
và
có
giá
compact
Bp,
y
=
/1
,
.
.
,
y
)
ta
đặt
N
n
¥
0
o
,
_
t
J
*
(
x
)
R
\
B
{
0
,
\
X
\
)
cùng
các
bạn
học
viên
đã
giúp
đỡ,
tạo
điều
kiện
thuận
lợi
cho
tác
giả
trong
suốt
hằng
số
c
,
c
>
0
và
với
0
<
ơ
<
p
tồn
tại
hai
hằng
số
Cl,
c
phụ
thuộc
vào
ơ
sao
NJ
f Sĩ
cũng
như
sự
khơng
tồn
tại
nghiệm
ưong
các
trường
hợp:
đối
với
nhân
phân
Khi
đó,
tồn
tại
một
nghiệm
tồn
cục
của
bài
tốn
ị2.1
)-(2.2),
thỏa
mãn
3
4
2
LUẬN
VĂN
THẠC
TỐN
HỌC
gọi
là
phép
biến
đổi
ngược
của
phép
biến
đổi
Fourier.
t
n
t
(
u
{
t
+
1)
*
f
ß
)
(
x
)
>
с
[
^
/
^
\
y
\
^
\
y
\
+
<
T
)
\
y
\
+
P
\
x
y
\
i
n
\
x
y
\
^
eđầu trong
ấ y2.8 điều
Chứng
minh.
Ta
chứng
minh
tương
tự
như
chứng
minh
của
Bổ
đề
mâu
thuẫn
với
giả
thiết
ữên
dữ
kiện
ban
vì
hiển
nhiên
J
*
v
0
<
oo.
(,X,
t)
=
e~
ỏ
(
x
)
+
—
J
*
7
{
x
)
*
u
(
x
)
=
e
~
u
(
x
)
+
(
c
o
(
t
)
*
u
)
o1>
ơvói
(Ịa:Ị
xe“^
,giai
t (c
))phương
>đều
elní)|a;|
---------:----.
0 quan
0ta
Chúng
tahạt
thúc
mục
này
với
một
ước
lượng
đầu
tiên
cho
vết
ban
đầu,
ở đây
uxác
(làиxđịnh
tжkhơng
ce-ie-aAOMMsI+ic'+M/**))!*!.
ước
lượng
nhân
địa
liên
đến
phương
trình.
Trước
hết
thừa,
nhưng
dù
sao
số
+thừa
thể
tránh
khỏi
vìphương
nó
cần
thiết
:c
Nkết
Áp
dụng
cơng
thức
đối
\tác
u0do
(,giả
xStirling
,)nhiệt
tj\thỏa
)đã
Itо(
(0thừa
địa
phương
trong
[0,
oo).
nhanh
như
sau:
Lú
mãn
(2.6)
khi
đó
nó
là
một
nghiệm
ữên
của
trình
27p có
—(to+ìv)
3ị
|ỉrằng
|(với
(Ịủlớn.
7+
+а
0)
Cuối
cùng,
do
T0giá
là
tùy
ýcơng
nên
ta
có
1
)|
<
c
,
với
а,
Co
>
0,
(2.3)
+
+
iV
tkhơng
1biến
vR
sao cho
0
N
Trong
đó
[3]
c(7)
các
được
chỉ
trong
ra
rằng,
(2.19).
nếu
dữ
Khi
liệu
đó,
ban
ta
đầu
thể
và
đánh
лг+а
đổi
trên
Fourier
như
của
sau
nó
utrong
ở
đây,
J
:
—>■
M
mật
độ
xác
suất
liên
tục
đối
xứng
và
/
*
g
là
tích
nhất
khi
đó
của
ta
(2.1)
biết
dữ
với
kiện
>
ban
đủ
đầu
nhỏ
tích
u
(
x
chập
)
=
\
U
x
n\
\
)
{
t
)
được
*
u
xác
hội
định
tụ.
Từ
bởi
đó
ta
có
thức
thể
\
u
x
t
c
e
^(
1
+
|ж|)^
đều
địa
phương
trong
[0,
oo).
Tìm
hiểu
phương
trình
truyền
nhiệt
khơng
địa
phương.
0
<
m(x,
0
)
=
t>(a:,
0
)
<
v(
x
,
t
)
=
e
u(
x,
t
)
€
L
(M
).
ữ
0
0
k
p
1
0
(
x
)
,
C
nhiệt
8
sliệu
(^c)Ị
Q
i—
p,R
(thấy
xũy,
0)x\x),cũng
trong
ĩ)ơl{nơ.
. (dạng
X
A(J,
cc)
sao
cho
thỏa
mãn
(2.9)
với
=
e)еy\
°'(2.1).
1*1(1+
|ж|)
.ta
Ta=ta
cần
tra
là
nghiệm
của
Cho
hạn
0có
:(và
của
bài
tốn.
đó
trước
hết
tại
một
ơgiói
€ổn
(0,
p )trong
Khi
Ekiểm
là
tập
đo
Lebesgue
,f(x)
nthành
độ
đo
Lebesgue,
viết
Lsao
uU
ũlại
<
cKhi
{tục
t|íx
T
*đó
(e(-)^(-,
tta
(nghiệm
X
{tồn
хđiển
*vết
Iqua
p)số
(—
xthì
)cố
, ta
T-o
ơ
,J1X,
tnó
))ta
(u
(thức
,trong
tđầu
)fđẳng
—
ĩт
psuy
,rộng
tvà
ntập
nvà
nélũy
пx
q
trình
học
hồn
luận
văn
này!
cho
và
suy
ra
rằng
với
ythành
như
yậy
thì
X))
—
<
Từ
đó
định
Щ
rã
chậm
(nhân
dạng
thừa,
nhân
dạng
mũ,
nhân
a) phần
định),
và
n=
nnó<
n(được
ĩx
Cuối
cùng,
là
liên
do
nó
là
một
cổ
và
ban
đầu
của
nó
là=
chỉnh
duy
nhất
chúng
cần
là
bất
thức
(tlà
avà
Chứng
minh.
Ta
chia
dữ
kiện
ban
của
phần
âm
dương
Nhận
xét
1.1.
Ý
nghĩa
của
cơng
=
f
*
ỗ
:
một
hàm
/
bất
kỳ
ln
có
Định
lý
1.1.
Nếu
f
£
L
(M
)
thì
/
thuộc
L°°(R
)
và
lim
\
f
(
w
)
\
=
0.
V
t
l
)
7
x
cũng
sử
dụng
cách
xây
dựng
như
trong
định
lý
về
sự
tồn
tại.
Chú
ý
rằng
ước
lượng
thỏa
mãn
phương
ữình
theo
nghĩa
ữong
L\
u
(
x
,
0)
=
u
(
x
)
hầu
khắp
nơi
chúng
ta
bày
ước
lượng
sothừa.
với
Bổ
đề
2.7:
ữ ).vớigian
đểtrình
suy
ra
ước
lượng
bậc
|x|
các
lũy
2.3Dáng
điệu
tối
ưu
của
dữ
ban
đầu
đối
nhân
(2.1).
Do
đó,
nếu
//một
là
khơng
âm
sao
cho
chập
theo
biến
khơng
co
Iu
x<
, hệ
í)|
'và
'ttốt
đcác
ue{trong
đa một
aị l ĩtích
phương
ichút
trong
[0,
ựcủa
:=
/ềhơn
Jđầu
y(«o)+
)ịßịxkhơng
d~
yCkiện
>ocW-0,
chập
của
các
và
g,
dữ
kiện
ban
) l /lớn
2bởi:
< asử
l của
/truyền
2dụng
là
khả
tích,
nghiệm
của
bài
tốn
(2.1)-(2.2)
duy
nhất
và
được
cho
+ &
+ ò l/2
hiện
chọn
sau
ßbày
+ln
cchọn
+hàm
ln
t(1tại
0,
và
từ
đó
<
~
khác,
nếu
t<00
là
đủ
l ị x+
ị.làMặt
|iu|—KX)
Trình
một
cách
thống
về
nghiệm
bị
chặn
của
phương
trình
2thì
KI
=
2.1Giới
thiệu..........................................................................................
phương
trình
được
thực
hiện
bằng
cách
sử
dụng
ngun
lý
hội
tụ
trội
đối
với
tích
cho
ß
>
/
ơ
và
một
trong
hai
phần
âm
hoặc
phần
dương
của
u
thỏa
Bổ
đề
2.3.
Cho
J
là
một
nhân
thỏa
mãn
(2.11).
Khi
đó,
với
7
7o
ln
tồn
Л
\u{
x
,t
)\
<
C
{t
)e
,
Khi
đó
ta
n
=
[
K
(
x
)
]
là
phần
ngun
к
được
xác
định
bởi
(2.20),
chúng
ta8
ữ tại
Do
yậy,
tồn
Cl,
c
>
0
sao
cho
(E).
2
K
J
{
\
x
y
\
>
\
x
\
}
N
+
a
+a
l
M
2.3.2
Nhân
dạng
mũ
đối
vói
nhân
phân
rã
nhanh
(nhân
NGƯỜI
có
giá
HƯỚNG
compact,
DẪN
nhân
KHOA
Gauss).
HỌC:
n
(ơ,
ơ',
p)
sao
cho
với
bất
kỳ
n
>
Щ
và
X
e
-B(
)
chúng
ta
có
đây
tatheo
dùng
lũy
thừa
N
a<+
thay
aơ nđể
phù
hợp ữong
hơn với
ký
hiệu
0*
Hơn
и{chúng
làNtriển
nghiệm
nhất
trong
lớp
này.
\
{
x
,
t
)
\
<
với
mọi
t
>
0.
Kuĩ duy
=
V
27r
K(
Krd/e
)+
(l
0(
1/K
))
để
TĐiều
.
□
2
l
+
|a;|)*
[
J
{
y
)
e
y
0nữa,
và
khi
đó
ta
nhận
được
tính
duy
nhất
nghiệm.
thể
được
khai
hàm
ỗ,
một
cách
hình
thức,
ta
có
thể
viết
này
chứng
tỏ
rằng
các
yết
ban
đầu
của
u
thực
sự
là
một
hàm
LỊ
.
Thậm
J
{
<
<
y
N
p
}
0C
gíg(tồn
/U
)|a
;|được
| đó
(c
+lní
)|a:
| kiện
íg(! /p)M
ln
|x|
(c
+ln
HKhi
ơ n/ đó,
nữa,
ỉà
duy
trong
lớp
này.
này
chỉ
liên
đến
dữ
ban
đầu
âm
(hoặc
khơng
nhưng
vì
trong
~R
.|a:
trong
đó
cho
(2.5).
Chũ
ý(khơng
rằng
IIcho
='định
chuỗi
hội+|
tại
một
nghiệm
uthỏa
bài
tốn
được
xác
bỏỉ
và
là
hội
khi
trong
đó
e<и'tụ,
xquan
)nghiệm
=phương
:ịi
\chỉ
yđánh
x(2.1)-(2.2),
\iV
<
}||iMo)
sao
e,dương),
(t )1,
x\uxít)\0nên
0với
khi
2hạn,
—
ơ(iii)
),
với
ơ{ủ1.3.
>
0.pmax{e(y)
Hàm
+
này
mãn
giá
1 phụ
Bổ
đề
2.9.
Tồn
tại
cNhân
>
0dụng
và
(0,1)
thuộc
vào
J=1sao
cho
B
(~
0,1*1)
uhàm
(ra:
xbởi
,tập
tnhiệt
)hàm
=
еthuộc
*khơng
иbiết
х—
)(M
+
(ü
j1(+(0,
t/J*
)ntrưng
7*
xJ||i
)*khi
(2.4)
ước
lượng
phân
từ
bên
rã
Một
dưới
chậm
vấn
của
đề
thú
usố
jJ€của
{ký
vị
tdụng
)(ln(l
liên
ta
quan
rằng
đến
tích
độ
tăng
chập
tới
sẽ
bùng
nổ,
(nhất
xtới
) có
là
dáng
t
0L
nhiệt
khơng
địa
và
ứng
của
nó.
cho
ước
lượng
trên,
áp
với
+
|ỉ|)
+
ln(l
Ị2/I))
/Xvà
.A( tháng
2.1.1
địa
phương
...........
10
Định
nghĩa
Với
mỗi
con
A
của
E,
hàm
đặc
của
Ả
là
hàm
số
xác
chập:
hàm
giới
hạn
u
là
X
oo))
J
hội
tụ
J
*
uị□
mãn
đánh
giá
tương
tự,
chẳng
hạn:
=
Л(
J,
7)
sao
cho
J
thỏa
mãn
(2.9)
với
f(x)
=
1
+
|ỉ|
.
1
oc
sử
dụng
Bổ
đề
2.9
suy
p
h
Trước
hết
ta
liệt
kê
một
hiệu
sẽ
được
sử
dụng
trong
luận
văn:
TS.
NGUYỄN
HỮU
THỌ
Khơng
gian
L
(E,
/i),
trong
đó
ta
khơng
phân
biệt
các
hàm
tương
đương
nhau
Hà
Nội,
ngày
10
8
năm
2015
Khi
đó
Do
thời
gian
trình
độ
hạn
nên
chắc
chắn
văn sẽ khơng tránh khỏi
Hơn
nữa,
иCho
làcủa
duy
nhất
trong
lóp
này.
xcó
thơng
thường
luật
cc-ổn
định.
N luận
lý{dữ
2.8.
J và
nhân
thỏa
mãn
(2.13).
Giả
sửNrằng
ßnghiệm
xlà
n thể
u )kiện
u xmột
f
)
=
Ị
£
)
d
£
.
1
u
(
x
,
0)
=
u
(
x
)
,
X
e
R
,
(2.2)
trongĐịnh
đó
с
■
bị
chặn
địa
phương
trong
[0,
00).
chí
điều
này
còn
chỉ
ra
rằng
các
hàm
u
t
)
e
L
Ị
(
M
)
vói
mọi
t
>
0.
Ta
có
1.3Tích
chập
0
Nếu
ban
đầu
là
một
hàm
kiểu
hàm
2
p
mũ,
c
tương
tự
trường
hợp
xung
lượng
:
o
c
đại
lượng
bất
đối
với
phép
quay
trục
tọa1ravới
độ.
Nhớ
lạitừ
rằng
supp(J*
)2.2
=T
{kết
x\,ibiến
^e-íe-ÍV^I^inl^lg^+iní)!
w
=
(aoo.
c{x)e
ữLCnày
)2Do
+
—
^){non\>+)định
~ltương
trong
nên
chúng
hàm
(có
xdụng
)các
thể
sử
dụng
các
lập
luận
đểф có
được
một
Tất
nhiên,
các
quả
tự
đúng
cho
các
dưới,
nghiệm
trên
: vì
Chứng
0|trong
minh.
Khẳng
Định
lý
trên
được
suy
tiếp
2.1,
tụ
. uHơn
bằng
tính
thấy
N=
+ ata
y ũ
N
+
a (2.22)
xIđược
tChúng
)cũng
\ccứu
xtrực
+
^nta
*(z)-p
я,đó
|ж|
->
đó,
utvà
—
ũln)(của
С
ф
và
áp
Bước
được
n>
n^,Cịi
п\ngắn
*nữa,
\0xbởi
ínghiên
( ctiếp
ụ ,....................
) Jtrong
( ynghiệm
)Jkhoảng
drằng
yyữực
.+Định
n J
+
2пtốn
{các
)u=
etrường
\ {nn+l
1và
\ kiện
ygaussian
)talý
d(2.15)
y đầu
>
e4.
~¥trên
điệu
~
dạng
.(tượng
Do
đó
nghiệm
I.yếu
xác
định
ta\mạnh
sẽ
ữong
thấy
một
thời
hợp
gian
nhưng
□
Đối
phạm
vi
2.1.2
Nghiệm
và
12
u
định
E
và
xác
định
nhận
được
sự
tồn
tại
c'
>
sao
cho
trong
L
Ị
R
)
,
do
đó
ta
nhận
được
một
nghiệm
mạnh
với
dữ
ban
o
c
(ii)
Một
nghiệm
cổ
điển
của
bài
tốn
(2.1)(2.2)
là
một
hàm
u
sao
cho
(nghĩa
là
bằng
nhau
hầu
khắp
nơi),
là
một
khơng
gian
véc
tơ
định
Tác
giả
t ° ' có
Nguyễn
Văn
Hồng
những
Với
Bổ
khuyết,
đề
này,
tác
Định
giả
rất
lý
mong
thể
được
phát
những
biểu
góp
dưới
dạng
q
báu
sau.
củacác
Q
N
với
Ü Jkhiếm
là
hàm
trơn.
Tất
nhiên,
điều
này
đúng
trường
hợp
kiện
ban
đầu
là
(x
,t
)e1J2.10
+
1được
*
{Va;
<
уnhận
<
})nJQ
лг+а
7G
su
Sfc=1
№|lnW
dụng
các
kết
quả
phần
ữên,
ta
có
thể
tìm
lớp
tối
ưu
của
dữ
ucác
(quả
,rằng,
tvề
)d>
=sự
~,K)+M>Coe
((u(t
x°1
*định
).sau),
(x).
xđầu
\ýdữ
0е
0nđược
Jtồn
,.dữ
\
\kiện
)u(z)
Vn
,BрU
r7(+
{với
x)
>cị
igtrong
viết
_íkhi
n\tiếp
Chứng
minh.
Ta
kiểm
ữa
rằng
f(x)
1(1
|ж|)
thực
tế
là
mơt
chăn:
bậc
7chứa
(xem
(2.11))
đặt:
uщ
jgiả
)=0chúng
—
J+)R+яжBa+
*được
0.
Chứng
Trước
hết
chú
ýxcố
thết
thì
các
ban
thỏa
mãn
BSử
B
do
đó
với
định
>
1
(sẽ
xác
ta
có
thể
định
nghĩa
Và
dưới
đây
là
kết
khơng
tại
nghiệm
trong
trường
hợp
này.
Định
t (từ
ước
lượng
nghiệm
đổi
dấu
(trong
phần
theo).
pBổ
nơì
là
khơng
âm,
nên
các
bất
đẳng
thức
tích
chập
vẫn
khơng
đổi.
vànminh.
đề
2.3
bằng
cách
chọn
ĩp
=
c
e
(l
I^Ị
).
□
(c)
Phép
tịnh
tiến
của
tích
chập.
Nếu
tích
chập
f
*
tồn
tại,
thì
tích
7|x|
N
>
ce
-^!jp
u
<
ũ
trong
X
[0,
oo).
nthời
n \ )bị
Chúng
ta
bắt
giá
phía
sau
đây:
U
q (rằng
xđầu
)r Nghiệm
>với
cvà
eđánh
(làtrên
1với
4-thiết
\trong
xgian
v kính
ớ
iâm).
C□
> phương
7trình
7o,
аđặc
а;n.0.Nếu
cuối
cùng
dưới
nó
đây
sẽ
bùng
nổ
trong
các
hữu
kiện
hạn.
ban
đấu
hạn
sẽ
bùng
nổcủa
trong
Q
Đối
tượng
nghiên
cứu:
khơng
chặn
của
ừuyền
nhiệt.
(i)
Ta
ký
hiệu
B
là
hình
tâm
tại
0trên
bán
rphương
và
X0,như
rtới
là>(X
hàm
trưng
nó.
bị
chặn
địa
phương
(khơng
nhất
làdữ
khơng
2.1.3
..........................
15
Đinh
nghĩa
1.6.
Cho
fqua
gcầu
các
hàm
khả
tổng
địa
trong
K
tích
ln
(w
Hơn
cho
giới
hạn
(2.10)
và
từ
(ii)
ở
ưên
ta>
được
пnghiệm
>nghiệm
к0 bản
2nữa,
N
0)+Trong
phần
tiếp
theo
ta
ký
hiệu
f
ß
là
hàm
xác
định
bỏi
f
ß
)
=
e^l
.
Bổ
đề
2.8.
Thầy
Cơ
và
các
bạn
để
thân
tác
giả
cũng
như
bản
luận
văn
này
được
hồn
thuộc
lớp
L
(
R
)
hoặc
bị
chặn
và
có
giá
compact
(chúng
ta
sẽ
sử
dụng
kết
quả
được
cho
bởi
Đinh
lý 2.12.
Cho
Jnày
được
xácchứng
định
hởi
(2.19)
với
7 >nạp
0.
Khi
bất
kỳ 0
đầu
đạtđược
được
sự tồn
tại
và
duy
nhất
nghiệm
bài
tốn
(2.1)Như ban
vậy
tính sao
chất
minh
bằng
quy
với đó
ncủa
>với
Щ.
Cuối
cùng,
< cho
a|ỉ|ln|a:|
ữ
N
đó
1
w
do
đó
ta
có
thể
xây
dựng
được
một
nghiệm
thỏa
mãn
giả
thiết
của
định
u
,
u
,
J
*
u
€
c
(
M
X
[0,
00))
và
thỏa
mãn
t
+
lý
2.6.
Cho
J
là
nhân
thỏa
mãn
(2.8).
Giả
sử
rằng
thời
gian
hữu
hạn,
như
là
trưòng
hợp
của
phương
trình
truyền
nhiệt
địa
Phạm
vi
nghiên
cứu:
phương
trình
khơng
địa
phương.
ĩ )khi
cđược
x(M
)quả
=qua
cvà
ív
( l*
/nhất
) ịoo.
y \(l nx
ịVì
\của
+и) dữích
cs( T,nghiệm
ịâm.
ydẫn
\ ^khả
Các
kiến
thức
bày
trong
chương
này
trực
tiếp
từ(2.12)
tài
2.2Sự
tính
khơng
bị lý.
Cuối
cùng,
ta
cho
hạn
—
¥cnghiệm
và
й)âm
là
tích
phân
Và
dưới
là
kết
về
sự
tồn
tại
khơng
Ntồn
Hơn
nữa,
ta
có
đánh
v7(tiếp
xgiá
,0trình
t: sau:
)đổi
=giới
xkhơng
,đổi
0liên
ínnnhiệt
((2.1)-(2.2)
J-đối
,yoo).
scủa
(2.7)
nv
=1)nhất
nsao
> Kcác
7o
=đây
sup
>tại
Jbổ
( :=
yxét
)bài
étruyền
^tốn
d+J*
yduy
<%
ooị
G
(0,được
Liên
quan
đến
việc
sự
dấu
và
tính
duy
nghiệm,
kếtđịa
quả
cho
с
min
>
0.
ẽ
và
ta
(ii)
hồn
J
:
thành
R
—>
chứng
minh
là
một
hàm
đề.
tục
xứng,
khơng
cho
thiện
hơn!
này
ữong
các
phần
theo
của
luận
văn).
Bổ
đề
sau
đây
cho
ta
<
7
tồn
tại
nghiệm
duy
nhất
của
sao
(2.2).
Trong
phần
này,
chúng
ta
J
phân
rã
chậm
ở
vơ
cùng.
cũng
là
một
nghiệm
trên.
ữong
trường
hợp
n
<
Щ
chỉ
liên
quan
đến
một
số
hữu
hạn
các
đại
Khi đó, khơng tồnCho
tại nghiệm
khơng
âm
của
tốn
(2.1)-(2.2).
J { ị xnhân
- y ị > \ x \đối
J là một
xứngbài
tâm
XvàA {có giá compact trong Bp với
J} 0minh
2p
2p
phương.
Chứng
minh.
Phương
pháp
chứng
giống
như
trong
2.7
ngoại
liệu
[4].
chặn
...
16
Ị
f
{
y
)
g
{
x
y
)
d
y
) đó
= JКlý
*>
\ xdụng
- \một
xta
\ kết
]) ngun
cquả
xvới
)1.
=
—
(có
J *ban
c*Xkn.-chuyển
ibiểu
(tồn
) thị
—
cvà
ichập
( xđề
)sang
)của
, số
k trường
>
2. tại
C l { xĐịnh
kgiá
k -Bổ
ay
x(=
compact
có
X
)l xo bị
trực
tiếp
hợp
cho
về
sự
tồn
tại
cục
sự
khơng
Jtrường
Các
ký—
hiệu
Jthể
tích
Jtồn
với
chính
trong
1\) là
phụ
thuộc
vào
Sử
dụng
(2.16)
cho
Chúng
xấp
các
dữ
đầu
giá
compact
N2015
+nghiệm
a С
ị có
x ị chặn
7NỘI,
Nkiện
IJbài
(l sử
xị x,ịsau
I r
tyhợp
e0dHÀ
\)eln7o
1*1,
trong
đó
(•)
là
địa
phương
trong
[0,
HÀ
2015
*uta
etốn
{ttheo
l +
1x1)^+“
^(l
+
\
x
\
)
<
X
e
{
l
+
1x1)^+“,
u) cổ
( \x-xỉ
>NỘI,
ctrong
e
^
v
ớ
i
c
>
0
v
à
7
>
7onghĩa
điển
R
X
[0,00).
0 (« - !)
0
N
s
\
u
(
x
,
t
)
\
<
C
Q
I
P
^
T
Ì
)
trong
R
X
M
.
+
B„mà
GiảPhương
sử rằng2.2.1
(x0, t 0này
)Sự
làvà
điểm
đầu
tiên
đó
U ) được
đạtln tới
mức — ỗ / 2a và
giả(2.23)
0a tại
một
số*(2.1)-(2.2)
biến
nó
so
sánh
16
+trình
x một
ln
x nghiên cứu bởi
(м)êm
=t е-*ы+(ж)+иг)
M+...........................
)thể
{x )của
<
e-ícđã
\+t c)này.
nghiệm
khơng
bài
tốn
ữong
trường
0e“^ +\ hợp
0o j( t)* e \ \
00).
Hồng
u + ( x,
tи
)=
( ucủa
( x,
x ,t ).
ữ ) + (x ) + (u j(t ) * (w0)+) { x) , uNguyễn
•
•
V
\
o
E ỉ/ ”« * сзе
Chương
Mục
lục 1 Kiến
ỊJ
í
Chương
2
thức
chuẩn bị Lời cam đoan
Kết luận
•
o
•
•
N
се
với c
4
và C T
e
71— 1
00
f Y. - * ỊỊ
e
.
(2 5)
f
4
Lời cảm ơn
Nghiệm khơng bị chặn của phương
e
dy
e
e
e
e
= Cl
e
trình truyền nhiệt
*
/(*)== E
Ị
с
e
ỉ ln ỉ _ :r ln ln a:
Ị
1
L^íì) —
Cl
1
J
ln
e
2
C3
e
4
Ị
n
5
ị
J
e
/L.
dy
