đề thi học sinh giỏi bảng A

Sở Giáo dục và Đào tạo
Tuyên Quang
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12
THPT cấp tỉnh năm học 2005-2006
Môn: Toán bảng A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao nhận đề)
Bài 1(4 điểm ).
Giải hệ phơng trình:





=+++++++
=+++++++++
211
1811
22
22
yyxyxyxx
yyxyxyxx
Bài 2(5 điểm ).
Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC;
RRRR ,,,
321
lần lợt là bán
kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác OBC, OAC, OAB, ABC;
r
là bán
kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và
cba ,,

tơng ứng là độ dài các cạnh
BC, AC, AB của tam giác ABC. Chứng minh:
r
R
c
R
b
R
a
R
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
++
Bài 3 (6 điểm).
Cho hình hộp chữ nhật
''''
DCBABCDA
và điểm M trên cạnh AD. Mặt phẳng (
BMA
'
) cắt đờng chéo
'

AC
của hình hộp tại điểm
H
.
1) Chứng minh rằng khi
M
thay đổi trên cạnh
AD
thì đờng thẳng
MH
cắt đờng thẳng
BA
'
tại một điểm cố định.
2) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện đợc tạo bởi mặt phẳng (
BMA
'
) cắt hình hộp trong trờng hợp
M
là trung điểm của cạnh
AD
.
3) Giả sử
ABAA
=
'
và
MB
vuông góc với
'

AC
. Chứng minh rằng mặt
phẳng (
BMA
'
) vuông góc với
'
AC
và điểm
H
là trực tâm của tam giác
BMA
'
.
Bài 4 (5 điểm).
Dãy số
{ }
n
u
đợc xác định nh sau:
1
21
==
uu
,....5,4,3;
2
2
1
2
=

+
=


n
u
u
u
n
n
n
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy là số nguyên.
------------------------------------